Операции над событиями (сумма, разность, произведение). Операции над событиями Достоверное и невозможное события

Алгебраические операции над событиями определяют правила действий с событиями и позволяют выражать одни события через другие. Операции над событиями применимы только для событий, представляющих подмножества одного и того же пространства элементарных событий.

Действия с событиями можно наглядно изобразить с помощью диаграмм Венна. В диаграммах событиям соответствуют различные области на плоскости, условно обозначающие подмножества элементарных событий, из которых состоят события. Так, на диаграммах рис.1.1 пространству элементарных событий соответствуют внутренние точки квадрата, событию А _ внутренние точки круга, событию В _ внутренние точки треугольника. То, что события А и В являются подмножествами пространства элементарных событий (А, В), изображено на диаграммах рис.1.1а,б.

Суммой (объединением) событий А и В называется событие С=А+В (или С=АВ), состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из событий А или В. Событие С состоит из всех элементарных событий, принадлежащих по крайней мере одному из событий А или В, или обеим событиям. На диаграмме (рис 1.2.) событию С соответствует заштрихованная область С, представляющая объединение областей А и В. Аналогично суммой нескольких событий А 1 , А 2 ,…, А n называется событие С, состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из событий А i , i=:

Сумма событий объединяет все элементарные события, из которых состоят А i , i=. Если события Е 1 , Е 2 ,…, Е n образуют полную группу, то их сумма равна достоверному событию:

Сумма элементарных событий равна достоверному событию

Произведением (пересечением) событий А и В называется событие С=АВ (или С=АВ), состоящее в совместном появлении событий А и В. Событие С состоит из тех элементарных событий, которые принадлежат и А, и В. На рис 1.3.а событие С представлено пересечением областей А и В. Если А и В - несовместные события, то их произведение - невозможное событие, т. е. АВ= (рис. 1.3.б).

Произведение событий А 1 , А 2 ,…, А n - это событие С, состоящее в одновременном выполнении всех событий А i , i=:

Произведения попарно несовместных событий А 1 , А 2 ,…, А n - невозможные события: А i А j =, для любого ij. Произведения событий, составляющих полную группу - невозможные события: Е i Е j =, ij, произведения элементарных событий - также невозможные события: ij =, ij.

Разностью событий А и В называется событие С=А_В (С=АВ), которое состоит в том, что происходит событие А и не происходит событие В. Событие С состоит из тех элементарных событий, которые принадлежат А и не принадлежат В. Диаграмма разности событий приведена на рис. 1.4. Из диаграммы видно, что С=А_В=

Противоположным событием для события А (или его дополнением) называется событие, которое состоит в том, что событие А не произошло. Противоположное событие дополняет событие А до полной группы и состоит из тех элементарных событий, которые принадлежат пространству и не принадлежат событию А (рис. 1.5). Таким образом, - это разность достоверного события и события А: =_А.

Свойства операций над событиями.

Переместительные свойства: А+В=В+А, А·В=В·А.

Сочетательные свойства: (А+В)+С=А+(В+С), (АВ)С=А(ВС).

Распределительное свойство: А(В+С)=АВ+АС.

Из определений операций над событиями следуют свойства

А+А=А; А+=; А+=А; А·А=А; А·=А; А·=

Из определения противоположного события следует, что

А+=; А=; =А; =; =; ;

Из диаграммы рис.1.4 очевидны свойства разности совместных событий:

Если А и В - несовместные события, то

Очевидны также свойства совместных событий

Для противоположных событий верны свойства, которые иногда называют правилом де Моргана или принципом двойственности: операции объединения и пересечения меняются местами при переходе к противоположным событиям

Доказательство принципа двойственности можно получить графически с помощью диаграмм Венна или аналитически, применив свойства 1-6

Следует обратить внимание на то, что действия, аналогичные действиям "приведение подобных членов" и возведения в степень в алгебре чисел, недопустимы при операциях с событиями.

Например, при операциях с событиями правильными являются действия:

Ошибочное применение действий по аналогии с алгебраическими: (А+В)В=А+ВВ=А проводит к неверному результату (проверьте с помощью диаграмм Венна!).

Пример 1.11. Доказать тождества

а) (А+С)(В+С)=АВ+С;

б) АС_В=АС_ВС

а) (А+С)(В+С) = АВ+СВ+АС+СС = АВ+С(А+В)+С= =АВ+С(А+В)+С = АВ+С(А+В+) = АВ+С = АВ+С;

б) АС_В = АС = СА = С(А_В) = СА_СВ = АС_ВС

Пример 1.12. Приз разыгрывается между двумя финалистами шоу-программы. Розыгрыш производится по очереди до первой удачной попытки, число попыток для каждого участника ограничено тремя. Первый финалист начинает первым. Рассматриваются события: А={приз выиграл первый финалист}; В={приз выиграл второй финалист}. 1) Дополнить эти события до полной группы и составить для нее достоверное событие. 2) Составить полную группу элементарных событий. 3) Выразить события первой полной группы через элементарные. 4) Составить другие полные группы событий и записать через них достоверные события.

1) События А и В несовместные, до полной группы они дополняются несовместным событием С={приз не выиграл никто}. Достоверное событие ={приз выиграет или первый финалист, или второй, или никто не выиграет} равно: =А+В+С.

2) Введем события, которые описывают исход каждой попытки для каждого игрока и не зависят от условий конкурса: А i ={первый финалист успешно провел i-тую попытку}, В i ={второй финалист успешно провел i-тую попытку}, . Эти события не учитывают условий конкурса, поэтому не являются элементарными относительно факта выигрыша приза. Но через эти события с помощью операций над событиями можно составить полную группу элементарных событий, которые учитывают условия выигрыша с первой удачной попытки: 1 ={первый финалист выиграл приз с первой попытки}, 2 ={второй финалист выиграл приз с первой попытки}, 3 ={первый финалист выиграл приз со второй попытки}, 4 ={второй финалист выиграл приз со второй попытки}, 5 ={первый финалист выиграл приз с третьей попытки}, 6 ={второй финалист выиграл приз с третьей попытки}, 7 ={оба финалиста не выиграли приз за три попытки}. По условиям конкурса

1 =А 1 , 2 =, 3 =, 4 =,

5 =, 6 = , 7 = .

Полная группа элементарных событий: ={ 1 ,…, 7 }

3) События А и В через элементарные выражаются с помощью операций суммирования, С совпадает с элементарным событием:

4) Полные группы событий также составляют события

Соответствующие им достоверные события:

={первый финалист или выиграет приз, или не выиграет}=;

={второй финалист или выиграет приз, или не выиграет}=;

={приз или не выиграют, или выиграют}=.

^ Правило умножения - если элемент A можно выбрать n способами, и при любом выборе A элемент B можно выбрать m способами, то пару (A, B) можно выбрать n·m способами.

Перестановка. Перестановкой множества из элементов называется расположение элементов в определенном порядке. Так, все различные перестановки множества из трех элементов - это

Число всех перестановок из элементов обозначается . Следовательно, число всех различных перестановок вычисляется по формуле

Размещение. Число размещений множества из элементов по элементов равно

^ Размещение с повторением. Если есть множество из n типов элементов, и нужно на каждом из m мест расположить элемент какого-либо типа (типы элементов могут совпадать на разных местах), то количество вариантов этого будет n m .

^ Cочетание. Определение. Сочетаниями из различных элементов по элементов называются комбинации, которые составлены из данных элементов по элементов и отличаются хотя бы одним элементом (иначе говоря, -элементные подмножества данного множества из элементов). butback="" onclick="goback(684168)">^ " ALIGN=BOTTOM WIDTH=230 HEIGHT=26 BORDER=0>

1. 
   Пространство элементарных событий. Случайное событие. Достоверное событие. Невозможное событие.

Случайное событие – любое подмножество пространства элементарных событий.

^ Достоверное событие – обязательно произойдет в результате эксперимента.

Невозможное событие – не произойдет в результате эксперимента.

1. 
   Действия над событиями: сумма, произведение и разность событий. Противоположное событие. Совместные и несовместные события. Полная группа событий.

^ Несовместные события – если они не могут произойти одновременно в результате эксперимента. Говорят, что несколько несовместных событий образуют полную группу событий , если в результате эксперимента появится одно из них.

Если первое событие состоит из всех элементарных исходов, кроме тех, которые входят во второе событие, то такие события называются противоположными.

Сумма двух событий А и В – событие, состоящее из элементарных событий, принадлежащих хотя бы одному из событий А или В. ^ Произведение двух событий А и В – событие, состоящее из элементарных событий, принадлежащих одновременно А и В. Разность А и В – событие, состоящее из элементов А, не принадлежащих событию В.

1. 
   Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности. Основные свойства вероятности события.

^ Основные свойства вероятности: 1) 0≤Р(А)≤1, 2) Вероятность достоверного события равна 1, 3) Вероятность невозможного события равна 0.

1. 
   Теорема сложения вероятностей несовместных событий и следствия из нее.

1. 
   Условная вероятность. Независимые события. Умножение вероятностей зависимых и независимых событий.

^ Умножение вероятностей: Для зависимых. Теорема. Р(А∙В) = Р(А)∙Р А (В). Замечание. Р(А∙В) = Р(А)∙Р А (В) = Р(В)∙Р В (А). Следствие. Р(А 1 ∙…∙А к) = Р(А 1)∙Р А1 (А 2)∙…∙Р А1-Ак-1 (А к). Для независимых. Р(А∙В) = Р(А)∙Р(В).

1. 
   ^ Т еорема сложения вероятностей совместных событий. Теорема . Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

1. 
   Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Н 1, Н 2 …Н n – образуют полную группу – гипотезы.

Событие А может наступить только при условии появления Н 1, Н 2 …Н n ,

Тогда Р(А)=Р(Н 1)* Р н1 (А)+Р(Н 2)*Р н2 (А)+…Р(Н n)*Р н n (А)

^ Формула Байеса

Пусть Н 1, Н 2 …Н n – гипотезы, событие А может наступить при одной из гипотез

Р(А)= Р(Н 1)* Р н1 (А)+Р(Н 2)*Р н2 (А)+…Р(Н n)*Р н n (А)

Допустим, что событие А наступило.

Как изменилась вероятность Н 1 в связи с тем, что А наступило? Т.е. Р А (Н 1)

Р(А* Н 1)=Р(А)* Р А (Н 1)= Р(Н 1)* Р н1 (А) => Р А (Н 1)= (Р(Н 1)* Р н1 (А))/ Р(А)

Аналогично определяются Н 2 , Н 3 …Н n

Общий вид:

Р А (Н i)= (Р(Н i)* Р н i (А))/ Р(А) , где i=1,2,3…n.

Формулы позволяют переоценить вероятности гипотез в результате того, как становится известным результат испытаний, в итоге которого появилось событие А.

«До» испытания – априорные вероятности - Р(Н 1), Р(Н 2)…Р(Н n)

«После» испытания – апостериорные вероятности - Р А (Н 1), Р А (Н 2)… Р А (Н n)

Апостериорные вероятности, также как и априорные, в сумме дают 1.
9.Формулы Бернулли и Пуассона.

Формула Бернулли

Пусть проводятся n испытаний, в каждом из которых событие А может появиться или нет. Если вероятность события А в каждом из этих испытаний постоянна, то эти испытания независимы относительно А.

Рассмотрим n независимых испытаний, в каждом из которых А может наступить с вероятностью p. Такая последовательность испытаний называется схемой Бернулли.

Теорема: вероятность того, что при n испытаниях событие А произойдет ровно m раз, равна: P n (m)=C n m *p m *q n - m

Число m 0 – наступление события А называется наивероятнейшим, если соответствующая ему вероятность P n (m 0) не меньше других P n (m)

P n (m 0)≥ P n (m), m 0 ≠ m

Для нахождения m 0 используют:

np-q≤ m 0 ≤np+q

^ Формула Пуассона

Рассмотрим испытание Бернулли:

n- число испытаний, p – вероятность успеха

Пусть p мало (p→0), а n велико (n→∞)

среднее число появлений успеха в n испытаниях

λ=n*p → p= λдставим в формулу Бернулли:

P n (m)=C n m *p m *(1-q) n-m ; C n m = n!/((m!*(n-m)!) →

→ P n (m)≈ (λ m /m!)*e - λ (Пуассона)

Если p≤0,1 и λ=n*p≤10, то формула дает хорошие результаты.
10. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Пусть n- число испытаний, p – вероятность успеха, n велико и стремится к бесконечности. (n->∞)

^ Локальная теорема

Р n (m)≈(f(x)/(npg)^ 1/2 , где f(x)= (e - x ^2/2)/(2Pi)^ 1/2

Если npq≥ 20 – дает хорошие результаты, х=(m-np)/(npg)^ 1/2

^ Теорема интегральная

P n (a≤m≤b)≈ȹ(x 2)-ȹ(x 1),

где ȹ(x)=1/(2Pi)^ 1/2 * 0 ʃ x e (Pi ^2)/2 dt – функция Лапласа

х 1 =(a-np)/(npq)^ 1/2 , х 2 =(b-np)/(npq)^ 1/2

Свойства функции Лапласа

1. 
   ȹ(x) – нечетная функция: ȹ(-x)=- ȹ(x)
2. 
   ȹ(x) – монотонно возрастает
3. 
   значения ȹ(x) (-0.5;0.5), причем lim x →∞ ȹ(x)=0,5; lim x →-∞ ȹ(x)=-0,5

1. 
   P n (│m-np│≤Ɛ) ≈ 2 ȹ (Ɛ/(npq) 1/2)
2. 
   P n (ɑ≤m/n≤ƥ) ≈ ȹ(z 2)- ȹ(z 1), где z 1=(ɑ-p)/(pq/n)^ 1/2 z 2=(ƥ -p)/(pq/n)^ 1/2
3. 
   P n (│(m/n) - p│≈ ∆) ≈ 2 ȹ(∆n 1/2 /(pq)^ 1/2)

11. Случайная величина. Виды случайных величин. Способы задания случайной величины.

СВ – функция, заданная на множестве элементарных событий.

X,Y,Z – СВ, а ее значение x,y,z

Случайной называют величину, которая в результате испытаний примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

СВ дискретна , если множество ее значений конечно или сочтено (их можно пронумеровать). Она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной СВ может быть конечным или бесконечным.

СВ непрерывна , если она принимает все возможные значения из некоторого промежутка (на всей оси). Ее значения могут очень мало отличаться.

^ Закон распределения дискретной СВ м.б. задан:

1.таблицей

Х=х 1 } несовместны

р 1 + р 2 +… p n =1= ∑p i

2.графический

Многоугольник распределения вероятности

3.аналитический

Р=Р(Х)
12. Функция распределения случайной величины. Основные свойства функции распределения.

Функция распределения СВ Х – функция F(Х), определяющая вероятность того, что СВ Х примет значение меньшее х., т.е.

x x = интегральная функция распределения

У непрерывной СВ функция непрерывная, кусочно дифференцируемая.

События

Событие. Элементарное событие.

Пространство элементарных событий.

Достоверное событие. Невозможное событие.

Тождественные события.

Сумма, произведение, разность событий.

Противоположные события. Несовместные события.

Равновозможные события.

Под событием в теории вероятностей понимают любой факт, который может произойти или не произойти в результате опыта со случайным исходом. Самый простой результат такого опыта (например, появление "орла" или "решки" при бросании монеты, попадание в цель при стрельбе, появление туза при вынимании карты из колоды, случайное выпадение числа при бросании игральной кости и т.д.) называется элементарным событием .

Множество всех элементарных событий Е называется пространством элемен тарных событий . Так, при бросании игральной кости это пространство состоит из шести элементарных событий, а при вынимании карты из колоды – из 52. Событие может состоять из одного или нескольких элементарных событий, например, появление двух тузов подряд при вынимании карты из колоды, или выпадение одного и того же числа при трёхкратном бросании игральной кости. Тогда можно определить событие как произвольное подмножество пространства элементарных событий.

Достоверным событием называется всё пространство элементарных событий. Таким образом, достоверное событие – это событие, которое обязательно должно произойти в результате данного опыта. При бросании игральной кости таким событием является её падение на одну из граней.

Невозможным событием () называется пустое подмножество пространства элементарных событий. То есть, невозможное событие не может произойти в результате данного опыта. Так, при бросании игральной кости невозможным событием является её падение на ребро.

События А и В называются тождественными ( А = В ), если событие А происходит тогда и только тогда, когда проиходит событие В .

Говорят, что событие А влечёт за собой событие В ( А В ), если из условия "произошло событие А" следует "произошло событие В" .

Событие С называется суммой событий А и В ( С = А В ), если событие С происходит тогда и только тогда, когда происходит либо А , либо В .

Событие С называется произведением событий А и В ( С = А В ), если событие С происходит тогда и только тогда, когда происходит и А , и В .

Событие С называется разностью событий А и В ( С = А – В ), если событие С происходит тогда и только тогда, когда происходит событие А , и не происходит событие В .

Событие А" называется противоположным событию А , если не произошло событие А . Так, промах и попадание при стрельбе – противоположные события.

События А и В называются несовместными ( А В = ) , если их одновременное появление невозможно. Например, выпадение и "решки", и "орла" при бросании монеты.

Если при проведении опыта могут произойти несколько событий и каждое из них по объективным условиям не является более возможным, чем другое, то такие события называются равновозможными . Примеры равновозможных событий: появление двойки, туза и валета при вынимании карты из колоды, выпадение любого из чисел от 1 до 6 при бросании игральной кости и т.п.

Достоверное и невозможное события

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий.

Событие, совпадающее с пустым множеством, называется невозможным событием, а событие, совпадающее со всем множеством, называется достоверным событием.

События называют равновозможными , если нет основания полагать, что одно событие является более возможным, чем другие.

Теория вероятностей есть наука, изучающая закономерности случайных событий. Одной из главных задач в теории вероятностей является задача определения количественной меры возможности появления события.

АЛГЕБРА СОБЫТИЙ

Операции над событиями (сумма, разность, произведение)

С каждым испытанием связан ряд интересующих нас событий, которые, вообще говоря, могут появляться одновременно. Например, при бросании игральной кости (т.е. кубика, на гранях которого имеются очки 1, 2, 3, 4, 5, 6) событие есть выпадение двойки, а событие - выпадение четного числа очков. Очевидно, что эти события не исключают друг друга.

Пусть все возможные результаты испытания осуществляются в ряде единственно возможных частных случаев, взаимно исключающих друг друга. Тогда:

• · каждый исход испытания представляется одним и только одним элементарным событием;
• · всякое событие, связанное с этим испытанием, есть множество конечного или бесконечного числа элементарных событий;
• · событие происходит тогда и только тогда, когда реализуется одно из элементарных событий, входящих в это множество.

Другими словами, задано произвольное, но фиксированное пространство элементарных событий, которое можно представить в виде некоторой области на плоскости. При этом элементарные события - это точки плоскости, лежащие внутри. Поскольку событие отождествляется с множеством, то над событиями можно совершать все операции, выполнимые над множествами. То есть, по аналогии с теорией множеств, строится алгебра событий . В частности, определены следующие операции и отношения между событиями:

(отношение включения множеств: множество является подмножеством множества) - событие A влечет за собой событие В. Иначе говоря, событие В происходит всякий раз, как происходит событие A. (отношение эквивалентности множеств) - событие тождественно или эквивалентно событию. Это возможно в том и только в том случае, когда и одновременно, т.е. каждое из них происходит всякий раз, когда происходит другое. () - сумма событий. Это событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух событий или (не исключающее логическое «или»). В общем случае, под суммой нескольких событий понимается событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

() - произведение событий. Это событие, состоящее в совместном осуществлении событий и (логическое «и»). В общем случае, под произведением нескольких событий понимается событие, состоящее в одновременном осуществлении всех этих событий. Таким образом, события и несовместны, если произведение их есть событие невозможное, т.е. .

(множество элементов, принадлежащих, но не принадлежащих) - разность событий. Это событие, состоящее из исходов, входящих в, но не входящих в. Оно заключается в том, что происходит событие, но при этом не происходит событие.

Противоположным (дополнительным) для события (обозначается) называется событие, состоящее из всех исходов, которые не входят в. Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого. Событие, противоположное событию, происходит тогда и только тогда, когда событие не происходит. Другими словами, наступление события означает просто то, что событие не наступило.

Симметрическая разность двух событий и (обозначается) называется событие, состоящее из исходов, входящих в или, но не входящих в и в одновременно. Смысл события состоит в том, что наступает одно и только одно из событий или. Обозначается симметрическая разность: или.