Все числа которые делятся на 12. Старт в науке

Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:

• На 2 : последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
• На 3 : сумма цифр числа должна делиться на 3;
• На 4 : число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
• На 5 : последняя цифра должна быть 0 или 5;
• На 6 : число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
• Признак делимости на 7 часто пропускается;
• Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8 , хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
• Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
• Признак делимости на 10 , наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
• Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11 . Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.

Берём число. Разбиваем его на блоки по 3 цифры в каждом (самый левый блок может содержать одну или 2 цифры) и попеременно складываем/вычитаем эти блоки.

Если результат делится на 7, 13 (или 11), то и само число делится на 7, 13 (илb 11).

Основан этот способ, как и ряд математических фокусов на том, что 7х11х13 = 1001. Однако что делать с трехзначными числами, для которых вопрос делимости, бывает, тоже не решить без самого деления.

Используя универсальный признак делимости , можно построить относительно простые алгоритмы определения, делится ли число на 7 и другие "неудобные" числа.

Усовершенствованный признак делимости на 7
Чтобы проверить, делится ли число на 7, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру дважды отнять. Если результат делится на 7, то и само число делится на 7.

Пример 1:
Делится ли на 7 число 238?
23-8-8 = 7. Значит, число 238 делится на 7.
Действительно, 238 = 34х7

Это действие можно проводить многократно.
Пример 2:
Делится ли на 7 число 65835?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 делится на 7 (если бы мы этого не заметили, то могли бы сделать ещё 1 шаг: 6-3-3 = 0, а 0 уж точно делится на 7).

Значит, и число 65835 делится на 7.

На основе универсиального признака делимости, можно усовершенствовать признаки делимости на 4 и на 8.

Усовершенствованный признак делимости на 4
Если половина числа единиц в сумме с числом десятков - чётнное число, то число делится на 4.

Пример 3
Делится ли число 52 на 4?
5+2/2 = 6, число чётное, значит, число на 4 делится.

Пример 4
Делится ли число 134 на 4?
3+4/2 = 5, число нечётное, значит, 134 на 4 не делится.

Усовершенствованный признак делимости на 8
Если сложить удвоенное число сотен, число десятков и половину числа единиц, и результат будет делиться на 4, то само число делится на 8.

Пример 5
Делится ли число 512 на 8?
5*2+1+2/2 = 12, число делится на 4, значит, 512 делится на 8.

Пример 6
Делится ли число 1984 на 8?
9*2+8+4/2 = 28, число делится на 4, значит, 1984 делится на 8.

Признак делимости на 12 - это объединение признаков делимсоти на 3 и на 4. Это же работает и для любых n, являющихся произведением взаимнопростых p и q. Чтобы число делилось на n (которое равно произведению pq,актих, что НОД(p,q)=1), одно должно делиться одновремено на p и на q.

Однако будьте внимательны! Чтобы работали составные признаки делимости, множители числа должны быть именно взаимнопростыми. Нельзая сказать, что число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4.

Усовершенствованный признак делимости на 13
Чтобы проверить, делится ли число на 13, надо от числа отбросить последнюю цифру и к получившемуся результату её четырежды прибавить. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 7
Делится ли на 8 число 65835?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

Число 43 не делится на 13, значит, и число 65835 не делится на 13.

Пример 8
Делится ли на 13 число 715?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 делится на 13, значит, и число 715 делится на 13.

Признаки делимости на 14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 и прочие составные числа, не являющиеся степенями простых, аналогичны признакам делимости на 12. Мы проверяем делимость на взаимно-простыем множители этих чисел.

• Для14: на 2 и на 7;
• Для 15: на 3 и на 5;
• Для 18: на 2 и на 9;
• Для 21: на 3 и на 7;
• Для 20: на 4 и на 5 (или, по-другому, последняя цифра должна быть нулём, а предпоследняя - чётной);
• Для 24: на 3 и на 8;
• Для 26: на 2 и на 13;
• Для 28: на 4 и на 7.

Пример 9
Делится ли число 1984 на 16?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 не делится на 16, значит, и 1984 не делится на 16.

Пример 10
Делится ли число 1526 на 16?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 не делитсся на 16, значит, и 1526 делится на 16.

Усовершенствованный признак делимости на 17.
Чтобы проверить, делится ли число на 17, надо от числа отбросить последнюю цифру и от получившегося результата эту цифру пять раз отнять. Если результат делится на 13, то и само число делится на 13.

Пример 11
Делится ли число 59772 на 17?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 делится на 17, значит и число 59772 делится на 17.

Пример 12
Делится ли число 4913 на 17?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 делится на 17, значит и число 4913 делится на 17.

Усовершенствованный признак делимости на 19.
Чтобы проверить, делится ли число на 19, надо удвоенную последнюю цифру прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 13
Делится ли число 9044 на 19?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 делится на 19, значит и число 9044 делится на 19.

Усовершенствованный признак делимости на 23.
Чтобы проверить, делится ли число на 23, надо последнюю цифру, увеличенную в 7 раз, прибавить к числу, оставшемуся после отбрасывания последней цифры.

Пример 14
Делится ли число 208012 на 23?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Вообще-то, уже можно заметить, что 253 - это 23,

Продолжаем изучать признаки делимости . В этой статье разобран признак делимости на 4 . Сначала дана его формулировка и приведены примеры использования. Дальше показано доказательство признака делимости на 4 . В заключение рассмотрены подходы, позволяющие доказывать делимость на 4 чисел, заданных в виде значения буквенного выражения.

Навигация по странице.

Признак делимости на 4, примеры

Чтобы проверить, делится ли на 4 данное , проще всего выполнить деление непосредственно, из однозначных чисел на 4 делятся только 4 и 8 . Разделить двузначное натуральное число на 4 также не составит труда (даже при устном делении). Например, 24 делится на 4 без остатка, так как 24:4=6 , а 83 не делится нацело на 4 , так как 83:4=20 (ост. 3) (при необходимости смотрите статьи и ). Но чем больше цифр содержится в записи числа, тем «неприятнее» проводить деление.

Для более простой проверки делимости данного многозначного числа существует признак делимости на 4 , который сводит исследование данного числа a на его способность делиться на 4 к проверке на делимость однозначного или двузначного числа. Приведем формулировку этого признака. Целое число a делится на 4 , если число, составленное из двух последних цифр в записи числа a (в порядке их следования) делится на 4 ; если же составленное число не делится на 4 , то и число a не делится на 4 .

Рассмотрим примеры применения признака делимости на 4 .

Пример.

Какие из чисел −98 028 , 7 612 и 999 888 777 делятся на 4 ?

Решение.

Воспользуемся признаком делимости на 4 .

Две последние цифры −98 028 дают число 28 , так как 28 делится на 4 (28:4=7 ), то и число −98 028 делится на 4 .

Две последние цифры числа 7 612 составляют число 12 , а 12 делится на 4 (12:4=3 ), следовательно, 7 612 делится на 4 .

Наконец, две последние цифры числа 999 888 777 дают число 77 , так как 77 не делится нацело на 4 (77:4=19 (ост.1) ), то и исходное число не делится на 4 .

Ответ:

−98 028 и 7 612 .

А как применять признак делимости на 4 , если две последние цифры в записи числа представляют собой, например, 01 , 02 , 03 , …, 09 ? В этих случаях цифру 0 , стоящую слева, нужно отбросить, после чего останется однозначное число 1 , 2 , 3 , …, 9 .

Пример.

Делится ли числа 75 003 и −88 108 на 4 ?

Решение.

Посмотрим на две последние цифры в записи числа 75 003 - видим 03 , отбрасываем нуль слева и имеем число 3 . Так как 3 не делится на 4 , то по признаку делимости на 4 можно сделать вывод о том, что 75 003 не делится на 4 .

Аналогично две последние цифры в записи числа −88 108 составляют число 8 , а так как 8 делится на 4 , то и число −88 108 делится на 4 .

Ответ:

75 003 не делится на 4 , а −88 108 – делится.

Отдельно нужно сказать о числах, в записи которых справа две подряд цифры (или большее их количество) являются нулями. Приведем примеры таких чисел: 100 , 893 900 , 40 000 , 373 002 000 и т.п. Такие числа делятся на 4 . Обоснуем это.

Число 100 делится на 4 . Действительно, 100:4=25 . позволяет представить любое другое целое число a , запись которого оканчивается двумя нулями, в виде произведения a 1 ·100 , где число a 1 получается из числа a , если в его записи справа отбросить два нуля. Например, 588 300=5 883·100 и 30 000=300·100 . А произведение a 1 ·100 делится на 4 , так как содержит множитель 100 , который делится на 4 (смотрите свойства делимости). Так доказано, что любое целое число, в записи которого справа находятся два нуля, делится на 4 .

Доказательство признака делимости на 4

Для доказательства признака делимости на 4 нам понадобится следующее представление натурального числа a . Любое натуральное число a можно представить в виде a=a 1 ·100+a 0 , где число a 1 получается из числа a , если в его записи убрать две последние цифры, а число a 0 отвечает двум последним цифрам в записи числа a . Например, 5 431=54·100+31 . Если же число a однозначное или двузначное, то a=a 0 .

Также нам пригодятся два свойства делимости:

• чтобы целое число a делилось на целое число b необходимо и достаточно, чтобы модуль числа a делился на модуль числа b ;
• если в равенстве a=s+t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .

Теперь можно привести доказательство признака делимости на 4 , который мы предварительно переформулируем в виде необходимого и достаточного условия делимости на 4 .

Теорема.

Для делимости целого числа a на 4 необходимо и достаточно, чтобы число, отвечающее двум последним цифрам в записи числа a , делилось на 4 .

Доказательство.

Для a=0 теорема очевидна.

Для остальных целых a a есть число положительное, и его можно представить как , о чем мы сказали перед теоремой.

В конце первого пункта данной статьи мы показали, что произведение a 1 ·100 всегда делится на 4 . Если еще учесть приведенные перед теоремой свойства делимости, то приходим к следующим выводам.

Если число a делится на 4 , то и модуль числа a делится на 4 , тогда из равенства следует делимость на 4 числа a 0 . Этим доказана необходимость.

С другой стороны из делимости a 0 на 4 и равенства следует делимость на 4 модуля a , откуда следует делимость на 4 и самого числа a . Этим доказана достаточность.

Другие случаи делимости на 4

Иногда требуется проверить делимость на 4 целого числа, которое задано в виде значения некоторого выражения. В таких случаях провести непосредственное деление не представляется возможным. Также использование признака делимости на 4 возможно далеко не всегда. Как же быть в этих случаях?

Основная идея состоит в приведении исходного выражения к произведению нескольких множителей, один из которых делится на 4 . В этом случае на основании соответствующего свойства делимости можно будет сделать вывод о делимости исходного выражения на 4 .

Иногда получить такое представление помогает . Приведем пример для пояснения.

Пример.

Делится ли на 4 значение выражения при некотором натуральном n ?

Решение.

Представим 9 как 8+1 , после чего воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Полученное произведение делится на 4 , так как содержит множитель 4 , а выражение в скобках представляет собой натуральное число. Следовательно,

Ответ:

Да.

Достаточно часто доказать делимость на 4 некоторого выражения позволяет . Покажем, как это делается, воспользовавшись условием предыдущего примера.

Пример.

Докажите, что делится на 4 при любом натуральном n .

Решение.

Покажем, что при n=1 значение выражения делится на 4 . Имеем , а 4 делится на 4 .

Предположим, что делится на 4 при n=k , то есть, будем считать, что делится на 4 .

Данный материал посвящен такому понятию, как признак делимости на 2 . В первом пункте мы сформулируем его и приведем примеры – задачи, в которым нужно выяснить, делится ли конкретное число на 2 . Затем мы докажем этот признак и поясним, какие еще существуют методы определения делимости на два чисел, заданных в виде значения выражений.

Формулировка и примеры признака делимости на 2

Чтобы лучше понять, что такое признаки делимости, нужно повторить тему, связанную с делимостью целых чисел. Определение основного понятия выглядит так:

Определение 1

Целое число, которое заканчивается цифрами 8 , 6 , 4 , 2 и 0 , может быть разделено на 2 без остатка. Если в конце числа стоит цифра 9 , 7 , 5 , 3 или 1 , то такое число делимостью на 2 не обладает.

С помощью данного признака можно выявить делимость не только целого положительного (натурального), но и целого отрицательного числа, поскольку они тоже могут быть разделены на 2 без остатка.

Приведем несколько примеров использования признака в задачах.

Пример 1

Условие: определите, какие из чисел 8 , − 946 , 53 , 10 900 , − 988 123 761 можно разделить на два.

Решение

Разумеется, мы можем просто разделить все эти числа на два в столбик и проверить, будет ли в конце остаток или нет. Но зная признак делимости на два, можно решить эту задачу гораздо быстрее.

Три числа из перечисленных, а именно 8 , - 946 и 10 900 , имеют в конце цифры 8 , 6 и 0 , значит, их деление на 2 возможно.

Остальные числа (53 и − 988 123 761) заканчиваются на 3 и 1 , значит, нацело на два они не делятся.

Ответ: на два можно разделить 8 , − 946 и 10 900 , а все прочие заданные числа нельзя.

Этот признак широко используется в задачах, где нужно раскладывать число на простые множители. Решим один такой пример.

Пример 2

Условие: выполните разложение 352 на простые множители.

Решение

Поскольку последняя цифра в исходном числе – 2 , то согласно признаку делимости, мы можем разделить его на два без остатка. Сделаем это: 352: 2 = 176 , а 352 = 2 · 176 . Полученное число 176 тоже делится на два: 176: 2 = 88 , а 176 = 2 · 88 . Это число тоже можно разделить: 88: 2 = 44 , 88 = 2 · 44 и 352 = 2 · 2 · 88 = 2 · 2 · 2 · 44 . Продолжаем разложение: 44: 2 = 22 и 44 = 2 · 22 , следовательно, 352 = 2 · 2 · 2 · 44 = 2 · 2 · 2 · 2 · 22 ; потом 22: 2 = 11 , откуда 22 = 2 · 11 и 352 = 2 · 2 · 2 · 2 · 22 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 11 . Наконец мы дошли до числа, которое на 2 не делится. Таблица простых чисел говорит нам, что это число является простым, значит, на этом разложение на множители заканчивается.

Ответ: 352 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 11 .

Деление чисел на четные и нечетные основано как раз на том, делятся ли они на 2 или нет. Зная этот признак делимости, можно сказать, что все четные числа имеют в конце цифру 0 , 2 , 4 , 6 или 8 , а все нечетные – 1 , 3 , 5 , 7 или 9 .

Как можно доказать признак делимости на 2

Перед тем, как перейти непосредственно к доказательству этого признака, нам надо доказать дополнительное утверждение. Оно формулируется так:

Определение 2

Все натуральные числа, которые заканчиваются на нуль, могут быть разделены на два без остатка.

Пользуясь правилом умножения натурального числа на 10 , мы можем представить некое число a как a = a 1 · 10 . Число a 1 , в свою очередь, получится из a , если убрать у него последнюю цифру.

Приведем примеры такого действия: 470 = 47 · 10 , где a = 470 и a 1 = 47 ; или же 38 010 · 10 , здесь a = 380 100 и a 1 = 38 010 . Второй множитель в этом произведении (10) может быть разделен на 2 , значит, все произведение может быть разделено на 2 . Это утверждение основано на соответствующем свойстве делимости.

Переходим к доказательству признака делимости на 2 . Чтобы было удобнее, представим его как теорему, т.е. как необходимое и достаточное условие делимости целого числа на два.

Теорема 1

Для деления целого числа a на два необходимым и достаточным условием является наличие последней цифры 0 , 2 , 4 , 6 или 8 .

Доказательство 1

Как доказать это утверждение? Для начала представим исходное число a в виде суммы десятков и единиц, т.е. запишем его как a = a 1 · 10 + a 0 . Здесь a 1 будет числом, получившимся из a при устранении последней цифры, а a 0 соответствует последней цифре данного числа (примерами такого представления также могут быть выражения 49 = 4 · 10 + 9 , 28 378 = 2 837 · 10 + 8). Произведение a 1 · 10 , взятое из равенства a = a 1 · 10 + a 0 , всегда будет делиться на два, что и показано с помощью этой теоремы.

Остальная часть доказательства основана на определенном свойстве делимости, а именно: если у нас есть три числа, образующие равенство t = u + v , и два из них делятся на целое число z , то и третье число также можно разделить на z .

Если a можно разделить на два, то согласно этому свойству, а также представлению a = a 1 · 10 + a 0 , число a 0 будет делиться на два, а такое возможно, только если a 0 = 0 , 2 , 4 , 6 или 8 .

А если a на 2 не делится, то исходя из того же самого свойства, число a 0 на 2 тоже делиться не будет, что возможно только при a 0 = 1 , 3 , 5 , 7 или 9 . Это и есть нужное нам доказательство необходимости.

Теперь разберем обратную ситуацию. Если у нас есть число a , последней цифрой которого является число 0 , 2 , 4 , 6 или 8 , то a 0 делится на 2 . Указанное свойство делимости и представление a = a 1 · 10 + a 0 позволяют нам заключить, что a делится на 2 . Если a имеет последнюю цифру 1 , 3 , 5 , 7 или 9 , то то a 0 не делится на 2 , значит, a тоже не делится на 2 , иначе само представление a = a 1 · 10 + a 0 делилось бы на 2 , что невозможно. Достаточность условия доказана.

В конце отметим, что числа с последней цифрой 1 , 3 , 5 , 7 или 9 при делении на два всегда дают в остатке единицу.

Возьмем случай, когда заданное число кончается одной из этих цифр. Тогда мы можем представить a как a = b + 1 , при этом число b будет иметь в качестве последней цифры 0 , 2 , 4 , 6 или 8 . В силу признака делимости на 2 число b можно разделить на 2 , значит, по определению делимости оно также может быть представлено в виде b = 2 · q , где q будет некоторым целым числом. Мы получили, что a = 2 · q + 1 . Данное представление показывает нам, что при делении числа a на 2 получается неполное частное q и остаток 1 (если нужно, перечитайте статью о делении целых чисел с остатком).

Прочие случаи определения делимости на 2

В этом пункте мы разберем те случаи, когда число, делимость которого на 2 нужно определить, не задано непосредственно, а определяется некоторым значением буквенного выражения. Здесь воспользоваться признаком, приведенным выше, мы не можем, и непосредственно разделить это выражение на 2 тоже невозможно. Значит, нужно найти какое-то другое решение.

Существует подход к решению таких задач, который основан на следующем свойстве делимости: произведение целых чисел можно разделить на некое число тогда, когда на него делится хотя бы один из множителей. Следовательно, если мы сможем преобразовать буквенное выражение в произведение отдельных множителей, один из которых делится на два, то тогда возможно будет доказать делимость на 2 и исходного выражения.

Чтобы преобразовать заданное выражение, мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона. Посмотрим такую задачу.

Пример 3

Условие: определите, можно ли разделить на 2 значение выражения 3 n + 4 n - 1 для некоторого натурального n .

Решение

Сначала запишем очевидное равенство 3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 . Теперь берем формулу бинома Ньютона, применяем ее и упрощаем то, что у нас получилось:

3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 = = C n 0 · 2 n + C n 1 · 2 n - 1 · 1 + ⋯ + C n n - 2 · 2 2 + 1 n - 2 + C n n · 2 + 1 n - 1 + C n n · 1 n + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 · 2 n - 1 + … + C n n - 2 · 2 2 + n · 2 + 1 + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 · 2 n - 1 + … + C n n - 2 · 2 2 + 6 n

В последнем равенстве выносим два за скобки и получаем следующее равенство:

3 n + 4 n - 1 = 2 · 2 n - 1 + C n 1 · 2 n - 2 + … + C n n - 2 · 2 + 3 n

В данном равенстве можно разделить правую часть на два при любом натуральном значении n , поскольку там есть множитель, равный 2 . Поскольку между выражениями стоит знак равенства, то выполнить деление на 2 можно и для левой части.

Ответ: данное выражение можно разделить на 2 .

Довольно часто доказать делимость можно с помощью метода математической индукции. Возьмем то же выражение, что и в примере выше, и покажем, как применить данный метод на практике.

Пример 4

Условие: выясните, будет ли выражение 3 n + 4 n - 1 делиться на 2 при любом натуральном значении n .

Решение

Используем математическую индукцию. Для начала докажем, что значение выражения 3 n + 4 n - 1 при n , равном единице, можно разделить на 2 . У нас получится 3 1 + 4 · 1 - 1 = 6 , шесть делится на два без остатка. Идем дальше. Возьмем n , равное k , и сделаем предположение, что 3 k + 4 k - 1 делится на два.

Используя данное предположение, докажем, что 3 n + 4 n - 1 можно разделить на 2 , если это возможно для 3 k + 4 k - 1 . Чтобы это доказать, нам нужно выполнить несколько преобразований.

3 · 3 k + 4 k - 1 делится на два, поскольку это возможно для 3 k + 4 k - 1 , выражение 2 · 4 k - 3 тоже можно поделить на 2 , потому что у него есть множитель 2 , значит, разность этих двух выражений тоже делится на 2 , что объясняется соответствующим свойством делимости.

Ответ : выражение 3 n + 4 n - 1 делится на 2 при любом натуральном n .

Отдельно остановимся на случае, когда в произведении рядом стоят два числа, идущие друг за другом в натуральном ряду чисел. Такое произведение тоже делится на два.

Пример 5

К примеру, выражение вида (n + 7) · (n − 1) · (n + 2) · (n + 6) делится на 2 при любом натуральном значении n , поскольку в нем есть числа, идущие в натуральном ряду друг за другом – это n + 6 и n + 7 .

Точно также при наличии двух множителей, между которыми расположено четное число членов натурального ряда, произведение может быть разделено на 2 . Так, на два делится значение (n + 1) · (n + 6) при любом натуральном n , поскольку между n + 5 и n + 6 расположено четное количество чисел: n + 2 , n + 3 , n + 4 и n + 5 .

Объединим все, о чем мы говорили в предыдущих пунктах. Если можно показать, что значение выражения делится на два при n = 2 · m , а также при n = 2 · m + 1 и произвольном целом m , то это будет доказательством делимости исходного выражения на 2 при любых целых значениях n .

Пример 6

Условие: выясните, делится ли на 2 выражение n 3 + 7 · n 2 + 16 · n + 12 при любых натуральных значениях n .

Решение

Сначала представим данное выражение в виде произведения (n + 2) 2 · (n + 3) . При необходимости повторите, как правильно раскладывать многочлен на множители. Мы имеем два множителя n + 2 и n + 3 , которые соответствуют числам, стоящим рядом в натуральном ряду. Одно из них в любом случае делится на 2 , значит, и все произведение тоже делится на 2 . То же относится и к исходному выражению.

У этой задачи есть и другое решение. Если n = 2 · m , то n + 2 2 · n + 3 = 2 m + 2 2 · 2 m + 2 2 = 4 · m + 1 2 · 2 m + 3 . Здесь есть множитель, равный четырем, благодаря чему все произведение будет делиться на 2 .

Если же n = 2 · m + 1 , то

(n + 2) 2 · n + 3 = 2 m + 1 + 2 2 · 2 m + 1 + 3 = 2 m + 3 2 · 2 m + 4 = = 2 m + 3 2 · 2 · 2

Здесь присутствует множитель 2 , значит, все произведение обладает делимостью на 2 .

Ответ: это и есть доказательство того, что выражение n 3 + 7 · n 2 + 16 · n + 12 = (n + 2) 2 · (n + 3) можно разделить на два при любом натуральном значении n .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Признак делимости – это своеобразный алгоритм, который позволяет быстро определить, делится ли заданное число на другое заданное число. Знание признаков делимости значительно сокращает время при счете, а также позволяет развивать память и логическое мышление при выполнении вычислений в уме.

Кроме того, существует ряд заданий, где нужно определить, делится ли какое-либо число без остатка на иное число. И при его решении вовсе не нужно производить деление (а числа в таких заданиях немаленькие), нужно всего лишь воспользоваться признаком делимости.

Самым простым признаком делимости является признак делимости на 2 . Число делится на 2 только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, иными словами, она должна быть четной.

Число 123456 делится на 2, т.к. 6 – последняя цифра – четная. Число 12345 на 2 не делится, т.к. на 2 не делится 5.

Признак делимости на 3: число делится на 3 тогда, когда суммы всех его цифр кратна 3.

Число 123456 делится на 3, т.к. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, где 21: 3 = 7.

Число 1234 не делится на 3, т.к 1 + 2 + 3 + 4 = 10, где 10: 3 ≠.

Признак делимости на 4: число делится на 4 тогда, когда его две последние цифры делятся на 4.

Число 123456 делится на 4, т.к. 56: 4 = 14.

Число 1234 не делится на 4, т.к 34: 4 ≠.

А как быть с признаком делимости на 4, если число двузначное? Для двузначных чисел работает такое правило: если сумма половины единиц числа и десятков делится на 2, то само число делится на 4; в противном случает – число на 4 не делится.

Число 92 делится на 4, т.к. (2: 2) + 9 = 1 + 9 = 10, где 10: 2 = 5.

Одним из наиболее простых признаков является признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра делится на пять.

Число 12345 делится на 5, т.к. 5 – последняя цифра и она делится на 5.

Число 1234 на 5 не делится, т.к. 4: 5 ≠.

Признак делимости на 6: на 6 делится число, которое делится на делители 6, т.е. на 2 и на 3. Значит, нам нужно вспомнить признаки делимости на 2 и 3: последняя цифра числа должна быть четной, а сумма всех цифр должна делиться на 3.

Число 123456 делится на 6, т.к. его последняя цифра четная (6), а сумма цифр 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 делится на 3.

Число 12345 не делится на 6, т.к. не подходит по одному признаку: 5 – нечетное число (хотя сумма цифр делится на 3).

Признак делимости на 7: на 7 делится число, в котором результат вычитания удвоенной последней цифры этого числа без последней цифры делится на 7.

Число 364 мы сможем разделить на 7 без остатка, т.к. удвоенная последняя цифра – это 4 ∙ 2, т.е. 8; результат вычитания равен 36 – 8 = 28, где 28: 7 = 4.

Признак делимости на 8: если три последних цифры числа делятся на 8, то тамо число делится на 8. Процесс определения делимости трехзначного числа на 8 более сложный: нужно к десяткам прибавить половину единиц и повторить то же самое с получившимся числом; если результат делится на 2, то он делится и на 8.

952 делится на 8, потому что:

Признак делимости на 9: на 9 делится число, сумма цифр которого без остатка делится на 9.

Число 12348 делится на 9, т.к. 1 + 2 + 3 + 4 + 8 = 18, где 18: 9 = 2.

Признак делимости на 10 очень прост: число делится на 10 в том случае, если оно оканчивается на 0. Например: 100, 3458903456890 и др.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Продолжим знакомство с признаками делимости . Сейчас мы изучим признак делимости на 6 . Сначала приведем его формулировку. Дальше рассмотрим примеры применения признака делимости на 6 . После этого докажем признак делимости на 6 . В заключение остановимся на примерах, в которых доказывается делимость на 6 значений некоторых выражений.

Навигация по странице.

Признак делимости на 6, примеры

Формулировка признака делимости на 6 объединяет в себе признак делимости на 2 и признак делимости на 3 . Она такова: если запись целого числа оканчивается одной из цифр 0 , 2 , 4 , 6 или 8 , а также сумма цифр в записи числа делится на 3 , то такое число делится на 6 ; если же нарушено хотя бы одно из указанных условий, то число не делится на 6 . Другими словами, целое число делится на 6 тогда и только тогда, когда это число делится на 2 и на 3 .

Итак, признак делимости на 6 применяется в два этапа:

• На первом этапе проверяется делимость числа на 2 . Для этого рассматривается последняя цифра в записи числа. Если запись числа оканчивается цифрой 2 , то это число делится на 2 , и для дальнейшей проверки его делимости на 6 переходим ко второму этапу. Если же последняя цифра в записи числа отлична от 0 , 2 , 4 , 6 или 8 , то число не делится на 2 , следовательно, не делится и на 6 .
• На втором этапе проверяется делимость числа на 3 . Для этого вычисляется сумма цифр исходного числа и проверяется, делится ли она на 3 (например, при помощи признака делимости на 3 ). Если сумма цифр делится на 3 , то число делится на 3 , и, учитывая его делимость на 2 (установленную на предыдущем этапе), можно делать вывод о делимости числа на 6 . Если же сумма цифр исходного числа не делится на 3 , то это число не делится на 3 , следовательно, не делится и на 6 .

Теперь можно рассмотреть конкретные примеры применения признака делимости на 6 .

Пример.

Делится ли число 8 813 на 6 ?

Решение.

Для ответа на поставленный вопрос воспользуемся признаком делимости на 6 . Так как запись числа 8 813 оканчивается цифрой 3 , то можно делать вывод, что число 8 813 на 6 не делится.

Ответ:

Нет.

Пример.

Возможно ли разделить 934 на 6 без остатка?

Решение.

Число 934 оканчивается цифрой 4 , поэтому первое условие признака делимости на 6 выполняется. Проверим, делится ли сумма цифр числа 934 на 3 . Имеем 9+3+4=16 , а 16 на 3 не делится. Следовательно, второе условие признака делимости на 6 не выполняется, поэтому исходное число на 6 не делится.

Ответ:

Нет.

Пример.

Делится ли число −7 269 708 на 6 ?

Решение.

Последней цифрой в записи данного числа является 8 , значит первое условие признака делимости на 6 выполнено. Теперь находим сумму цифр числа −7 269 708 , имеем 7+2+6+9+7+0+8=39 . Так как 39 делится на 3 (39:3=13 ), то можно делать вывод о делимости исходного числа на 6 .

Ответ:

Да, делится.

В заключение этого пункта отметим, что для проверки делимости заданного числа на 6 можно выполнить деление непосредственно, а не прибегать к признаку делимости на 6 .

Доказательство признака делимости на 6

Приведем доказательство признака делимости на 6 . Для удобства используем формулировку этого признака в форме необходимого и достаточного условия.

Теорема.

Для делимости целого числа a на 6 необходимо и достаточно, чтобы число a делилось на 2 и на 3 .

Доказательство.

Сначала докажем необходимость, то есть докажем, что если целое число a делится на 6 , то оно делится на 2 и на 3 .

Для этого нам понадобится следующее свойство делимости : если целое число a делится на b , то произведение m·a , где m – любое целое число, тоже делится на b .

Так как a делится на 6 , то понятие делимости позволяет нам записать равенство a=6·q , где q – некоторое целое число. В записанном произведении множитель 6 делится и на 2 и на 3 , тогда из указанного выше свойства делимости следует, что произведение 6·q делится и на 2 и на 3 . Этим доказана необходимость.

Чтобы признак делимости на 6 оказался полностью доказанным, осталось доказать достаточность. Докажем, что если целое число a делится на 2 и на 3 , то оно делится на 6 .

Здесь нам потребуется теорема из статьи основная теорема арифметики . Вот ее формулировка: если произведение нескольких целых положительных и отличных от единицы множителей делится на простое число p , то хотя бы один множитель делится на p .

Так как целое число a делится на 2 , то существует такое целое число q , что a=2·q . Но целое число a=2·q делится и на 3 , откуда 2·q должно делиться на 3 . Так как 2 на 3 не делится, то в силу указанной выше теоремы на 3 должно делиться q . Тогда существует такое целое число q 1 , что q=3·q 1 . Следовательно, a=2·q=2·3·q 1 =6·q 1 . Из полученного равенства следует делимость числа a на 6 . Этим доказана достаточность.

Другие случаи делимости на 6

В этом пункте мы остановимся на способах доказательства делимости на 6 значения заданного при указанном значении переменной. В этих случаях (когда целое число задано не в явном виде) непосредственное деление и применение признака делимости на 6 часто невозможно, поэтому нужен другой подход к решению.

Один из подходов основан на утверждении: если один из целых множителей в произведении делится на заданное число, то и все произведение делится на это число. То есть, если заданное выражение представить в виде произведения, в котором один из множителей будет делиться на 6 , то этим будет доказана делимость на 6 исходного выражения. Осталось обговорить способы представления в виде произведения.

Иногда представить заданное выражение в виде нужного произведения позволяет . Рассмотрим пример.

Пример.

Делится ли на 6 значение выражения при некотором натуральном n .

Решение.

Число 7 равно сумме 6+1 , поэтому . Теперь применим формулу бинома Ньютона, после чего проведем необходимые преобразования:

Так мы пришли к произведению, которое делится на 6 , так как оно содержит множитель 6 , а значение выражения в скобках является натуральным числом при любом натуральном n (так как сумма и произведение натуральных чисел есть натуральное число). Следовательно, значение исходного выражения при любом натуральном n делится на 6 .

Ответ:

Да.

Если выражение задано в виде многочлена, то иногда получить произведение с множителем, делящимся на 6 , позволяет . После чего переменной n в полученном разложении придаются значения n=6·m , n=6·m+1 , n=6·m+2 , …, n=6·m+5 , где m – целое число. Если будет показана делимость при каждом таком n , то этим будет доказана делимость исходного выражения на 6 при любом целом n .

Пример.

Докажите, что при любом целом n значение выражения делится на 6 .

Решение.

Разложение на множители данного выражения имеет вид .

При n=6·m имеем . В полученном произведении содержится множитель 6 , поэтому оно делится на 6 при любом целом m .