Решение линейного дифференциального уравнения бернулли. Уравнение бернулли
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид
\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x),
где p(x) и q(x) - заданные функции от x , непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1).
Если q(x)\equiv0 , то уравнение (1) называется линейным однородным . Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение
Y=C\exp\!\left(-\int{p(x)}\,dx\right)\!,
Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной , который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде
Y=C(x)\exp\!\left(-\int{p(x)}\,dx\right) , где C(x) - новая неизвестная функция от x .
Пример 1. Решить уравнение y"+2xy=2xe^{-x^2} .
Решение. Применим метод вариации постоянной. Рассмотрим однородное уравнение y"+2xy=0 , соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид y=Ce^{-x^2} .
Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде y=C(x)e^{-x^2} , где C(x) - неизвестная функция от x . Подставляя, получаем C"(x)=2x , откуда C(x)=x^2+C . Итак, общее решение неоднородного уравнения будет y=(x^2+C)e^{-x^2} , где C - постоянная интегрирования.
Замечание. Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно x как функция от y . Нормальный вид такого уравнения
\frac{dx}{dy}+r(y)x=\varphi(y).
Пример 2. Решить уравнение \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\cos{y}+\sin2y} .
Решение. Данное уравнение является линейным, если рассматривать x как функцию от y :
\frac{dx}{dy}-x\cos{y}=\sin{2y}.
Применяем метод вариации произвольной постоянной. Сначала решаем соответствующее однородное уравнение
\frac{dx}{dy}-x\cos{y}=0,
которое является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид x=Ce^{\sin{y}},~C=\text{const} .
Общее решение уравнения ищем в виде x=C(y)e^{\sin{y}} , где C(y) - неизвестная функция от y . Подставляя, получаем
C"(y)e^{\sin{y}}=\sin2y или C"(y)=e^{-\sin{y}}\sin2y.
Отсюда, интегрируя по частям, будем иметь
\begin{aligned}C(y)&=\int{e^{-\sin{y}}\sin2y}\,dy=2\int{e^{-\sin{y}}\cos{y}\sin{y}}\,dy=2\int\sin{y}\,d(-e^{-\sin{y}})=\\ &=-2\sin{y}\,e^{-\sin{y}}+2\int{e^{-\sin{y}}\cos{y}}\,dy=C-2(\sin{y}+1)e^{-\sin{y}},\end{aligned}
Итак,
C(y)=-2e^{-\sin{y}}(1+\sin{y})+C.
Подставляя это уравнение в x=C(y)e^{\sin{y}} , получаем общее решение исходного уравнения, а значит, и данного уравнения:
X=Ce^{\sin{y}}-2(1+\sin{y})
Исходное уравнение может быть проинтегрировано также следующим образом. Полагаем
Y=u(x)v(x),
где u(x) и v(x) - неизвестные функции от x , одна из которых, например v(x) , может быть выбрана произвольно.
Подставляя y=u(x)v(x) в , после преобразования получаем
Vu"+(pv+v")u=q(x).
Определяя v(x) из условия v"+pv=0 , найдем затем из vu"+(pv+v")u=q(x) функцию u(x) , а следовательно, и решение y=uv уравнения \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x) . В качестве v(x) можно взять любое частое решение уравнения v"+pv=0,~v\not\equiv0 .
Пример 3. Решить задачу Коши: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_{x=2}=4 .
Решение. Ищем общее решение уравнения в виде y=u(x)v(x) ; имеем y"=u"v+uv" . Подставляя выражение для y и y" в исходное уравнение, будем иметь
X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1) или x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)
Функцию v=v(x) находим из условия x(x-1)v"+v=0 . Беря любое частное решение последнего уравнения, например v=\frac{x}{x-1} , и подставляя его, получаем уравнение u"=2x-1 , из которого находим функцию u(x)=x^2-x+C . Следовательно, общее решение уравнения x(x-1)y"+y=x^2(2x-1) будет
Y=uv=(x^2-x+C)\frac{x}{x-1}, или y=\frac{Cx}{x-1}+x^2.
Используя начальное условие y|_{x=2}=4 , получаем для нахождения C уравнение 4=\frac{2C}{2-1}+2^2 , откуда C=0 ; так что решением поставленной задачи Коши будет функция y=x^2 .
Пример 4. Известно, что между силой тока i и электродвижущей силой E в цепи, имеющей сопротивление R и самоиндукцию L , существует зависимость E=Ri+L\frac{di}{dt} , где R и L - постоянные. Если считать E функцией времени t , то получим линейное неоднородное уравнение для силы тока i :
\frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i(t)=\frac{E(t)}{L}.
Найти силу тока i(t) для случая, когда E=E_0=\text{const} и i(0)=I_0 .
Решение. Имеем \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i(t)=\frac{E_0}{L},~i(0)=I_0 . Общее решение этого уравнения имеем вид i(t)=\frac{E_0}{R}+Ce^{-(R/L)t} . Используя начальное условие (13), получаем из C=I_0-\frac{E_0}{R} , так что искомое решение будет
I(t)=\frac{E_0}{R}+\left(I_0-\frac{E_0}{R}\right)\!e^{-(R/L)t}.
Отсюда видно, что при t\to+\infty сила тока i(t) стремится к постоянному значению \frac{E_0}{R} .
Пример 5. Дано семейство C_\alpha интегральных кривых линейного неоднородного уравнения y"+p(x)y=q(x) .
Показать, что касательные в соответственных точках к кривым C_\alpha , определяемым линейным уравнением, пересекаются в одной точке (рис. 13).
Решение. Рассмотрим касательную к какой-либо кривой C_\alpha в точке M(x,y) .Уравнение касательной в точке M(x,y) имеет вид
\eta-q(x)(\xi-x)=y , где \xi,\eta - текущие координаты точки касательной.
По определению, в соответственных точках x является постоянным, а y переменным. Беря любые две касательные к линиям C_\alpha в соответственных точках, для координат точки S их пересечения, получаем
\xi=x+\frac{1}{p(x)}, \quad \eta=x+\frac{q(x)}{p(x)}.
Отсюда видно, что все касательные к кривым C_\alpha в соответственных точках ( x фиксировано) пересекаются в одной и той же точке
S\!\left(x+\frac{1}{p(x)};\,x+\frac{q(x)}{p(x)}\right).
Исключая в системе аргумент x , получаем уравнение геометрического места точек S \colon f(\xi,\eta)=0 .
Пример 6. Найти решение уравнения y"-y=\cos{x}-\sin{x} , удовлетворяющее условию: y ограничено при y\to+\infty .
Решение. Общее решение данного уравнения y=Ce^x+\sin{x} . Любое решение уравнения, получаемое из общего решения при C\ne0 , будет неограниченно, так как при x\to+\infty функция \sin{x} ограничена, а e^x\to+\infty . Отсюда следует, что данное уравнение имеет единственное решение y=\sin{x} , ограниченное при x\to+\infty , которое получается из общего решения при C=0 .
Уравнение Бернулли
Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид
\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n , где n\ne0;1 (при n=0 и n=1 это уравнение является линейным).
С помощью замены переменной z=\frac{1}{y^{n-1}} уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.
Пример 7. Решить уравнение Бернулли y"-xy=-xy^3 .
Решение. Делим обе части уравнения на y^3 :
\frac{y"}{y^3}-\frac{x}{y^2}=-x
Делаем замену переменной \frac{1}{y^2}=z\Rightarrow-\frac{2y"}{y^3}=z" , откуда \frac{y"}{y^3}=-\frac{z"}{2} . После подстановки последнее уравнение обратится в линейное уравнение
-\frac{z"}{2}-xz=-x или z"+2xz=2x , общее решение которого z=1+Ce^{-x^2}.
Отсюда получаем общий интеграл данного уравнения
\frac{1}{y^2}=1+Ce^{-x^2} или y^2(1+Ce^{-x^2})=1.
Замечание. Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной, как и линейное уравнение, и с помощью подстановки y(x)=u(x)v(x) .
Пример 8. Решить уравнение Бернулли xy"+y=y^2\ln{x}. .
Решение. Применим метод вариации произвольной постоянной. Общее решение соответствующего однородного уравнения xy"+y=0 имеет вид y=\frac{C}{x} . Общее решение уравнения ищем в виде y=\frac{C(x)}{x} , где C(x) - новая неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение, будем иметь
C"(x)=C^2(x)\frac{\ln{x}}{x^2}.
Для нахождения функции C(x) получим уравнение с разделяющимися переменными, из которого, разделяя переменные и интегрируя, найдем
\frac{1}{C(x)}=\frac{\ln{x}}{x}+\frac{1}{x}+C~\Rightarrow~C(x)=\frac{x}{1+Cx+\ln{x}}.
Итак, общее решение исходного уравнения y=\frac{1}{1+Cx+\ln{x}} .
Некоторые нелинейные уравнения первого порядка с помощью удачно найденной замены переменных сводятся к линейным уравнениям или к уравнениям Бернулли.
Пример 9. Решить уравнение y"+\sin{y}+x\cos{y}+x=0 .
Решение. Запишем данное уравнение в виде y"+2\sin\frac{y}{2}\cos\frac{y}{2}+2x\cos^2\frac{y}{2}=0. .
Деля обе части уравнения на 2\cos^2\frac{y}{2} , получаем \frac{y"}{2\cos^2\dfrac{y}{2}}+\operatorname{tg}\frac{y}{2}+x=0 .
Замена \operatorname{tg}\frac{y}{2}=z\Rightarrow\frac{dz}{dx}=\frac{y"}{\cos^2\dfrac{y}{2}} приводит это уравнение к линейному \frac{dz}{dx}+z=-x , общее решение которого z=1-x+Ce^{-x} .
Заменяя z его выражением через y , получаем общий интеграл данного уравнения \operatorname{tg}\frac{y}{2}=1-x+Ce^{-x} .
В некоторых уравнениях искомая функция y(x) может находиться под знаком интеграла. В этих случаях иногда удается путем дифференцирования свести данное уравнение к дифференциальному.
Пример 10. Решить уравнение x\int\limits_{x}^{0}y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_{0}^{x}ty(t)\,dt,~x>0 .
Решение. Дифференцируя обе части этого уравнения по x , получаем
\int\limits_{0}^{x}y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_{0}^{x}ty(t)\,dt+x(x+1)y(x) или Источник информации
Уравнение вида y’ + Р(х)у = Q(x), где Р(х) и Q(x) – известные функции от х, линейные относительно функции у и её производной y’, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Если q(x)=0, уравнение называется линейным однородным уравнением. q(x)=0 – линейное неоднородное уравнение.
Линейное уравнение приводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными при помощи подстановки у = u*v, где u = u(х) и v = v(x) – некоторые вспомогательные непрерывные функции.
Итак, у = u*v, у’ = u’*v + u * v’ (1),
тогда исходное уравнение перепишем в виде: u’*v + u * v’ + Р(х)*v = Q(x) (2).
Так как неизвестная функция у ищется в виде произведения двух функций, то одна из них может быть выбрана произвольно, другая – определяться уравнением (2).
Выберем так, чтобы v’ + Р(х)*v = 0 (3). Для этого достаточно, чтобы v(x) была частным решением уравнения (3) (при С = 0). Найдём это решение:
V*P(x) ; = -;ln |v| = -;v = (4)
Подставляя функцию (4) в уравнение (2), получим второе уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим функцию u(x):
u’ * = Q(x) ; du = Q(x) *; u =+ C (5)
Окончательно получаем:
y(x) = u(x)*v(x) = *(+C)
Уравнение Бернулли: y ’ + y = x * y 3
Данное уравнение имеет вид: y’ + Р(х)*у = y’’ * Q(x), где Р(х) и Q(x) – непрерывные функции.
Если n = 0, то уравнение Бернулли становится линейным дифф.уравнением. Если n = 1, уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.
В общем случае, когда n ≠ 0, 1, ур. Бернулли сводится к линейному дифф.уравнению с помощью подстановки: z = y 1- n
Новое дифф.уравнение для ф-ции z(x) имеет вид: z" + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x) и может быть решено теми же способами, что и линейные дифф.уравнения 1-ого порядка.
20. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Рассмотрим уравнение, не содержащие функцию в явном виде:
Порядок этого уравнения понижается на единицу с помощью подстановки:
Действительно, тогда:
И мы получили уравнение, в котором порядок понижен на единицу:
Дифф. уравнения порядка выше второго имеют вид и , где - действительные числа, а функция f(x) непрерывна на интервале интегрирования X .
Аналитически решить такие уравнения далеко не всегда возможно и обычно используют приближенные методы. Однако в некоторых случаях возможно отыскать общее решение.
Теорема.
Общим решением y 0 линейного однородного дифференциального уравнения на интервале X с непрерывными коэффициентами на X является линейная комбинация n линейно независимых частных решений ЛОДУ с произвольными постоянными коэффициентами , то есть .
Теорема.
Общее решение y линейного неоднородного дифференциального
уравнения на интервале X с непрерывными на том же
промежутке X коэффициентами и функцией f(x) представляет собой сумму ,
где y 0 - общее решение соответствующего ЛОДУ , а - какое-нибудь частное решение исходного ЛНДУ.
Таким образом, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами ищем в виде , где - какое-нибудь
его частное решение, а – общее решение соответствующего однородного дифференциального
уравнения .
21. Испытания и события. Виды событий. Примеры.
Испытание – создание определённого комплекса условий для совершения событий. Пример: бросание игральной кости
Событие – появление\непоявление того или иного исхода испытания; результат испытания. Пример: выпадение числа 2
Случайное событие – событие, которое может произойти или не произойти при данном испытании. Пример: выпадение числа, большего чем 5
Достоверное – событие, которое неизбежно происходит при данном испытании. Пример: выпадение числа, большего или равного 1
Возможное – событие, которое может произойти при данном испытании. Пример: выпадение числа 6
Невозможное – событие, которое не может произойти при данном испытании. Пример: выпадение числа 7
Пусть А – некоторое событие. Под событием, противоположным ему, будем понимать событие, состоящее в ненаступлении события А. Обозначение: Ᾱ. Пример: А – выпадение числа 2, Ᾱ - выпадение любого другого числа
События А и В несовместны, если наступление одного из них исключает наступление другого в одном и том же испытании. Пример: выпадение при одном броске чисел 1 и 3.
События А и В называются совместными, если они могут появиться в одном испытании. Пример: выпадение при одном броске числа, большего, чем 2, и числа 4.
22. Полная группа событий. Примеры.
Полная группа событий – события A, B, C, D, …, L, которые принято считать единственно возможными, если в результате каждого испытания хотя бы одно из них обязательно наступит. Пример: выпадение на игральной кости числа 1, числа 2, 3, 4, 5, 6.
23. Частота события. Статистическое определение вероятности.
Пусть проведено n испытаний, причём событие А наступило m раз. Такое отношение m:n является частотой наступления события А.
Опр. Вероятность случайного события – связанное с данным событием постоянное число, вокруг которого колеблется частота наступления этого события в длинных сериях испытаний.
Вероятность вычисляется до опыта, а частота – после него.
24. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности события.
Вероятностью события х называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу всех равновозможных попарно несовместных и единственно возможных исходов опыта. Р(А) =
Свойства вероятности события:
Для любого события А 0<=m<=n
Поделив каждый член на n, получим для вероятности любого события А: 0<=Р(А) <=1
Если m=0, то событие невозможно: Р(А)=0
Если m=n, то событие достоверно: Р(А)=1
Если
m 25.
Геометрическое определение вероятности.
Примеры.
Классическое
определение вероятности требует
рассмотрение конечного числа элементарных
исходов, причем равновозможных. Но на
практике часто встречаются испытания,
число возможных исходов которых
бесконечно. Опр
.
Если точка случайным образом появляется
одномерной\ двумерно\ или 3х мерной
области меры S
(мера – ее длина, площадь или объём) то
вероятность ее появления в части этой
области меры S
равна где
S
– геометрическая мера, выражающая общее
число всех
возможных и равновозможных
исходов данного испытания, а Si
– мера, выражающая количество
благоприятствующих событию A
исходов. Пример
1.
Круг радиусом R помещен меньший круг
радиусом г. Найти вероятность того, что
точка, наудачу брошенная в больший круг,
попадет также и в малый круг. Пример
2.
Пусть
отрезок длиной l включается в отрезок
длиной L. Най ти вероятность события А
«наудачу брошенная точка попала на
отрезок длиной l». Пример
3
. В круге произвольно выбирается точка.
Какова вероятность того, что ее расстояние
до центра круга больше половины? Пример
4.
Два лица и условились встретиться в
определённом месте между двумя и тремя
часами дня. Пришедший первым ждет другого
в течение 10 минут, после чего уходит.
Чему равна вероятность встречи этих
лиц, если каждый из них может прийти в
любое время в течение указанного часа
независимо от другого? 26.
Элементы комбинаторики: Размещение,
перестановка, сочетания.
1)
Перестановкой
называется
установленный в конечном множестве
порядок. Число
всех различных перестановок вычисляется
по формуле 2)
Размещением
из
n
элементов по m
называется
всякое упорядоченное
подмножество основного множества,
содержащее m
элементов. 3)
Сочетанием
из
n
элементов
по m
называется
всякое неупорядоченное
подмножество основного множества,
содержащее элементов. Характеристика уравнения Бернулли Определение 1
Дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее стандартный вид $y"+P\left(x\right)\cdot y=Q\left(x\right)\cdot y^{n}$, где $P\left(x\right)$ и $Q\left(x\right)$ - непрерывные функции, а $n$ - некоторое число, называется дифференциальным уравнением Якоба Бернулли. При этом на число $n$ накладываются ограничения: Кроме того, не рассматривается специально тривиальное решение дифференциального уравнения Бернулли $y=0$. Не следует путать дифференциальное уравнение математика Якоба Бернулли с законом Бернулли, названным в честь дяди его племянника, известного как Даниил Бернулли. Замечание 1
Даниил Бернулли - физик, наиболее известная найденная им закономерность состоит в описании взаимосвязи скорости потока жидкости и давления. Закон Бернулли также применим и для ламинарных течений газа. В целом он применяется в гидравлике и гидродинамике. Основной метод решения дифференциального уравнения Бернулли состоит в том, что посредством преобразований оно приводится к линейному неоднородному. Эти преобразования следующие: Полученное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным относительно функции $z$, которое решаем следующим образом: Пример:
Найти общее решение дифференциального уравнения $\frac{dy}{dx} +\frac{y}{x} =y^{2} \cdot \left(4-x^{2} \right)$. Записать частное решение, удовлетворяющее начальному условию $y=1$ при $x=1$. В данном случае имеем дифференциальное уравнение Бернулли, представленное в стандартном виде. При этом $n=2$, $P\left(x\right)=\frac{1}{x} $, $Q\left(x\right)=4-x^{2} $. Представляем его в форме относительно замены $z$: $z"+\left(1-2\right)\cdot \frac{1}{x} \cdot z=\left(1-2\right)\cdot \left(4-x^{2} \right)$ или $z"-\frac{1}{x} \cdot z=-\left(4-x^{2} \right)$. Полученное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным относительно функции $z$, которое решаем описанным выше методом. Вычисляем интеграл $I_{1} =\int \left(1-n\right)\cdot P\left(x\right)\cdot dx $. Имеем $I_{1} =\int \left(1-2\right)\cdot \frac{1}{x} \cdot dx =-\ln \left|x\right|$. Записываем частное решение в виде $v\left(x\right)=e^{-I_{1} } $ и выполняем упрощающие преобразования: $v\left(x\right)=e^{\ln \left|x\right|} $; $\ln v\left(x\right)=\ln \left|x\right|$; $v\left(x\right)=\left|x\right|$. Выбираем для $v\left(x\right)$ простейший ненулевой вариант: $v\left(x\right)=x$. Вычисляем интеграл $I_{2} =\int \frac{\left(1-n\right)\cdot Q\left(x\right)}{v\left(x\right)} \cdot dx $. Записываем выражение в виде $u\left(x,C\right)=I_{2} +C$, то есть $u\left(x,C\right)=\frac{x^{2} }{2} -4\cdot \ln \left|x\right|+C$. Окончательно записываем общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения относительно функции $z$ в виде $z=u\left(x,C\right)\cdot v\left(x\right)$, то есть $z=\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$. Теперь возвращаемся к функции $y$, заменяя $z$ на $y^{1-n} $: $y^{1-2} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$ или $\frac{1}{y} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$. Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения Бернулли, записанное в неявной форме. Для поиска частного решения используем данное начальное условие $y=1$ при $x=1$: Следовательно, частное решение имеет вид: $\frac{1}{y} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+\frac{x}{2} $. Второе возможное решение уравнения Бернулли состоит в методе подстановки. Пример:
Найти общее решение дифференциального уравнения $y"+\frac{y}{x} =y^{2} \cdot \left(4-x^{2} \right)$ методом подстановки. Применяем подстановку $y=u\cdot v$. После дифференцирования получаем: Функцию $v\left(x\right)$ находим из уравнения $v"+\frac{v}{x} =0$, для этого переносим второе слагаемое в правую часть. Получаем: $\frac{dv}{dx} =-\frac{v}{x} $; разделяем переменные $\frac{dv}{v} =-\frac{dx}{x} $; интегрируем $\ln \left|v\right|=-\ln \left|x\right|$, откуда $v=\frac{1}{x} $. Функцию $u\left(x\right)$ находим из уравнения $u"\cdot \frac{1}{x} =u^{2} \cdot \frac{1}{x^{2} } \cdot \left(4-x^{2} \right)$, в котором учтено $v=\frac{1}{x} $ и $v"+\frac{v}{x} =0$. После простых преобразований получаем: $u"=u^{2} \cdot \frac{1}{x} \cdot \left(4-x^{2} \right)$. Разделяем переменные: $\frac{du}{u^{2} } =\frac{1}{x} \cdot \left(4-x^{2} \right)\cdot dx$. Интегрируем: $-\frac{1}{u} =4\cdot \ln \left|x\right|-\frac{x^{2} }{2} +C$ или $\frac{1}{u} =\frac{x^{2} }{2} -4\cdot \ln \left|x\right|+C$. Возвращаемся к старой переменной. Учитываем, что $y=u\cdot v$ или $y=u\cdot \frac{1}{x} $, откуда $u=x\cdot y$. Получаем общее решение данного дифференциального уравнения: $\frac{1}{y} =\frac{x^{3} }{2} -4\cdot x\cdot \ln \left|x\right|+C\cdot x$. Дифференциальное уравнение Бернулли
- это уравнение вида: Рассмотрим дифференциальное уравнение Бернулли: Рассматриваемое уравнение (1)
также можно решить методом Бернулли . Для этого ищем решение исходного уравнения в виде произведения двух функций: На первый взгляд, кажется, что это дифференциальное уравнение не похоже на уравнение Бернулли. Если считать x
независимой переменной, а y
- зависимой (то есть если y
- это функция от x
), то это так. Но если считать y
независимой переменной, а x
- зависимой, то легко увидеть, что это - уравнение Бернулли. Итак, считаем что x
является функцией от y
.
Подставим и умножим на :
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и её производной. Оно имеет вид \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x),
где p(x)
и q(x)
- заданные функции от x
, непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1). Если q(x)\equiv0
, то уравнение (1) называется линейным однородным
. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение y=C\exp\!\left(-\int{p(x)}\,dx\right)\!,
Общее решение неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольной постоянной
, который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде y=C(x)\exp\!\left(-\int{p(x)}\,dx\right)
, где C(x)
- новая неизвестная функция от x
. Пример 1.
Решить уравнение y"+2xy=2xe^{-x^2}
. Решение.
Применим метод вариации постоянной. Рассмотрим однородное уравнение y"+2xy=0
, соответствующее данному неоднородному уравнению. Это уравнение с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид y=Ce^{-x^2}
. Общее решение неоднородного уравнения ищем в виде y=C(x)e^{-x^2}
, где C(x)
- неизвестная функция от x
. Подставляя, получаем C"(x)=2x
, откуда C(x)=x^2+C
. Итак, общее решение неоднородного уравнения будет y=(x^2+C)e^{-x^2}
, где C
- постоянная интегрирования. Замечание.
Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно x
как функция от y
. Нормальный вид такого уравнения \frac{dx}{dy}+r(y)x=\varphi(y).
Пример 2.
Решить уравнение \frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\cos{y}+\sin2y}
. Решение.
Данное уравнение является линейным, если рассматривать x
как функцию от y
: \frac{dx}{dy}-x\cos{y}=\sin{2y}.
Применяем метод вариации произвольной постоянной. Сначала решаем соответствующее однородное уравнение \frac{dx}{dy}-x\cos{y}=0,
которое является уравнением с разделяющимися переменными. Его общее решение имеет вид x=Ce^{\sin{y}},~C=\text{const}
. Общее решение уравнения ищем в виде , где C(y)
- неизвестная функция от y
. Подставляя, получаем C"(y)e^{\sin{y}}=\sin2y
или C"(y)=e^{-\sin{y}}\sin2y.
Отсюда, интегрируя по частям, будем иметь \begin{aligned}C(y)&=\int{e^{-\sin{y}}\sin2y}\,dy=2\int{e^{-\sin{y}}\cos{y}\sin{y}}\,dy=2\int\sin{y}\,d(-e^{-\sin{y}})=\\ &=-2\sin{y}\,e^{-\sin{y}}+2\int{e^{-\sin{y}}\cos{y}}\,dy=C-2(\sin{y}+1)e^{-\sin{y}},\end{aligned}
C(y)=-2e^{-\sin{y}}(1+\sin{y})+C.
x=Ce^{\sin{y}}-2(1+\sin{y})
Исходное уравнение может быть проинтегрировано также следующим образом. Полагаем y=u(x)v(x),
где u(x)
и v(x)
- неизвестные функции от x
, одна из которых, например v(x)
, может быть выбрана произвольно. Подставляя y=u(x)v(x)
в , после преобразования получаем vu"+(pv+v")u=q(x).
Определяя v(x)
из условия v"+pv=0
, найдем затем из vu"+(pv+v")u=q(x)
функцию u(x)
, а следовательно, и решение y=uv
уравнения \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)
. В качестве v(x)
можно взять любое частое решение уравнения v"+pv=0,~v\not\equiv0
. Пример 3.
Решить задачу Коши: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_{x=2}=4
. Решение.
Ищем общее решение уравнения в виде y=u(x)v(x)
; имеем y"=u"v+uv"
. Подставляя выражение для y
и y"
в исходное уравнение, будем иметь x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)
или x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)
Функцию v=v(x)
находим из условия x(x-1)v"+v=0
. Беря любое частное решение последнего уравнения, например v=\frac{x}{x-1}
, и подставляя его, получаем уравнение u"=2x-1
, из которого находим функцию u(x)=x^2-x+C
. Следовательно, общее решение уравнения x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)
будет y=uv=(x^2-x+C)\frac{x}{x-1},
или y=\frac{Cx}{x-1}+x^2.
Используя начальное условие y|_{x=2}=4
, получаем для нахождения C
уравнение 4=\frac{2C}{2-1}+2^2
, откуда C=0
; так что решением поставленной задачи Коши будет функция y=x^2
. Пример 4.
Известно, что между силой тока i
и электродвижущей силой E
в цепи, имеющей сопротивление R
и самоиндукцию L
, существует зависимость E=Ri+L\frac{di}{dt}
, где R
и L
- постоянные. Если считать E
функцией времени t
, то получим линейное неоднородное уравнение для силы тока i
: \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i(t)=\frac{E(t)}{L}.
Найти силу тока i(t)
для случая, когда E=E_0=\text{const}
и i(0)=I_0
. Решение.
Имеем \frac{di}{dt}+\frac{R}{L}i(t)=\frac{E_0}{L},~i(0)=I_0
. Общее решение этого уравнения имеем вид i(t)=\frac{E_0}{R}+Ce^{-(R/L)t}
. Используя начальное условие (13), получаем из C=I_0-\frac{E_0}{R}
, так что искомое решение будет i(t)=\frac{E_0}{R}+\left(I_0-\frac{E_0}{R}\right)\!e^{-(R/L)t}.
Отсюда видно, что при t\to+\infty
сила тока i(t)
стремится к постоянному значению \frac{E_0}{R}
. Пример 5.
Дано семейство C_\alpha
интегральных кривых линейного неоднородного уравнения y"+p(x)y=q(x)
. Показать, что касательные в соответственных точках к кривым C_\alpha
, определяемым линейным уравнением, пересекаются в одной точке (рис. 13). Решение.
Рассмотрим касательную к какой-либо кривой C_\alpha
в точке M(x,y)
.Уравнение касательной в точке M(x,y)
имеет вид \eta-q(x)(\xi-x)=y
, где \xi,\eta
- текущие координаты точки касательной. По определению, в соответственных точках x
является постоянным, а y
переменным. Беря любые две касательные к линиям C_\alpha
в соответственных точках, для координат точки S
их пересечения, получаем \xi=x+\frac{1}{p(x)}, \quad \eta=x+\frac{q(x)}{p(x)}.
Отсюда видно, что все касательные к кривым C_\alpha
в соответственных точках (x
фиксировано) пересекаются в одной и той же точке S\!\left(x+\frac{1}{p(x)};\,x+\frac{q(x)}{p(x)}\right).
Исключая в системе аргумент x
, получаем уравнение геометрического места точек S \colon f(\xi,\eta)=0
. Пример 6.
Найти решение уравнения y"-y=\cos{x}-\sin{x}
, удовлетворяющее условию: y
ограничено при y\to+\infty
. Решение.
Общее решение данного уравнения y=Ce^x+\sin{x}
. Любое решение уравнения, получаемое из общего решения при C\ne0
, будет неограниченно, так как при x\to+\infty
функция \sin{x}
ограничена, а e^x\to+\infty
. Отсюда следует, что данное уравнение имеет единственное решение y=\sin{x}
, ограниченное при x\to+\infty
, которое получается из общего решения при C=0
. Дифференциальное уравнение Бернулли
имеет вид \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n
, где n\ne0;1
(при n=0
и n=1
это уравнение является линейным). С помощью замены переменной z=\frac{1}{y^{n-1}}
уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное. Пример 7.
Решить уравнение Бернулли y"-xy=-xy^3
. Решение.
Делим обе части уравнения на y^3
: \frac{y"}{y^3}-\frac{x}{y^2}=-x
Делаем замену переменной \frac{1}{y^2}=z\Rightarrow-\frac{2y"}{y^3}=z"
, откуда \frac{y"}{y^3}=-\frac{z"}{2}
. После подстановки последнее уравнение обратится в линейное уравнение -\frac{z"}{2}-xz=-x
или z"+2xz=2x
, общее решение которого z=1+Ce^{-x^2}.
\frac{1}{y^2}=1+Ce^{-x^2}
или y^2(1+Ce^{-x^2})=1.
Замечание.
Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной, как и линейное уравнение, и с помощью подстановки y(x)=u(x)v(x)
. Пример 8.
Решить уравнение Бернулли xy"+y=y^2\ln{x}.
. Решение.
Применим метод вариации произвольной постоянной. Общее решение соответствующего однородного уравнения xy"+y=0
имеет вид y=\frac{C}{x}
. Общее решение уравнения ищем в виде y=\frac{C(x)}{x}
, где C(x)
- новая неизвестная функция. Подставляя в исходное уравнение, будем иметь C"(x)=C^2(x)\frac{\ln{x}}{x^2}.
Для нахождения функции C(x)
получим уравнение с разделяющимися переменными, из которого, разделяя переменные и интегрируя, найдем \frac{1}{C(x)}=\frac{\ln{x}}{x}+\frac{1}{x}+C~\Rightarrow~C(x)=\frac{x}{1+Cx+\ln{x}}.
Итак, общее решение исходного уравнения y=\frac{1}{1+Cx+\ln{x}}
. Некоторые нелинейные уравнения первого порядка с помощью удачно найденной замены переменных сводятся к линейным уравнениям или к уравнениям Бернулли. Пример 9.
Решить уравнение y"+\sin{y}+x\cos{y}+x=0
. Решение.
Запишем данное уравнение в виде y"+2\sin\frac{y}{2}\cos\frac{y}{2}+2x\cos^2\frac{y}{2}=0.
. Деля обе части уравнения на 2\cos^2\frac{y}{2}
, получаем \frac{y"}{2\cos^2\dfrac{y}{2}}+\operatorname{tg}\frac{y}{2}+x=0
. Замена \operatorname{tg}\frac{y}{2}=z\Rightarrow\frac{dz}{dx}=\frac{y"}{\cos^2\dfrac{y}{2}}
приводит это уравнение к линейному \frac{dz}{dx}+z=-x
, общее решение которого z=1-x+Ce^{-x}
. Заменяя z
его выражением через y
, получаем общий интеграл данного уравнения \operatorname{tg}\frac{y}{2}=1-x+Ce^{-x}
. В некоторых уравнениях искомая функция y(x)
может находиться под знаком интеграла. В этих случаях иногда удается путем дифференцирования свести данное уравнение к дифференциальному. Пример 10.
Решить уравнение x\int\limits_{x}^{0}y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_{0}^{x}ty(t)\,dt,~x>0
. Решение.
Дифференцируя обе части этого уравнения по x
, получаем \int\limits_{0}^{x}y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_{0}^{x}ty(t)\,dt+x(x+1)y(x)
или \int\limits_{0}^{x}y(t)\,dx=\int\limits_{0}^{x}ty(t)\,dt+x^2y(x).
Дифференцируя еще раз по x
, будем иметь линейное однородное уравнение относительно y(x)\colon
y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x)
или x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0.
Разделяя переменные и интегрируя, найдем y=\frac{C}{x^3}e^{-1/x}
. Это решение, как легко проверить, удовлетворяет исходному уравнению. Решение уравнения Бернулли сведением к линейному неоднородному
Решение дифференциального уравнения Бернулли методом подстановки
,
где n ≠ 0
,
n ≠ 1
,
p
и q
- функции от x
.
Решение дифференциального уравнения Бернулли приведением к линейному уравнению
(1)
,
где n ≠ 0
,
n ≠ 1
,
p
и q
- функции от x
.
Разделим его на y n
.
При y ≠ 0
или n < 0
имеем:
(2)
.
Это уравнение сводится к линейному с помощью замены переменной:
.
Покажем это. По правилу дифференцирования сложной функции:
;
.
Подставим в (2)
и преобразуем:
;
.
Это - линейное , относительно z
,
дифференциальное уравнение. После его решения, при n > 0
,
следует рассмотреть случай y = 0
.
При n > 0
,
y = 0
также является решением уравнения (1)
и должно входить в ответ.Решение методом Бернулли
y = u·v
,
где u
и v
- функции от x
.
Дифференцируем по x
:
y′ = u′ v + u v′
.
Подставляем в исходное уравнение (1)
:
;
(3)
.
В качестве v
возьмем любое, отличное от нуля, решение уравнения:
(4)
.
Уравнение (4)
- это уравнение с разделяющимися переменными . Решаем его и находим частное решение v = v(x)
.
Подставляем частное решение в (3)
. Поскольку оно удовлетворяет уравнению (4)
, то выражение в круглых скобках обращается в нуль. Получаем:
;
.
Здесь v
- уже известная функция от x
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Находим его общее решение, а вместе с ним и решение исходного уравнения y = uv
.
Пример решения дифференциального уравнения Бернулли
Решить уравнение
Решение
;
;
(П.1)
.
Это - уравнение Бернулли с n = 2
.
Оно отличается от рассмотренного выше, уравнения (1)
, только обозначением переменных (x
вместо y
). Решаем методом Бернулли. Делаем подстановку:
x = u v
,
где u
и v
- функции от y
.
Дифференцируем по y
:
.
Подставим в (П.1)
:
;
(П.2)
.
Ищем любую, отличную от нуля функцию v(y)
,
удовлетворяющую уравнению:
(П.3)
.
Разделяем переменные :
;
;
.
Положим C = 0
,
поскольку нам нужно любое решение уравнения (П.3)
.
;
.
Подставим в (П.2)
учитывая, что выражение в скобках равно нулю (ввиду (П.3)
):
;
;
.
Разделяем переменные. При u ≠ 0
имеем:
;
(П.4)
;
.
Во втором интеграле делаем подстановку :
;
.
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка
и уравнение Бернулли
Подставляя это уравнение в x=C(y)e^{\sin{y}}
, получаем общее решение исходного уравнения, а значит, и данного уравнения:Уравнение Бернулли
Отсюда получаем общий интеграл данного уравнения