Расчет параметров сетевых графиков. Методы расчёта сетевого графика

Помимо табличного метода существуют следующие способы расчета: графический метод , метод потенциалов .

Пример . Определить временные параметры сетевого графика на рисунке, пользуясь табличным методом.
Решение проводим через калькулятор : все вычисления будем заносить в таблицу 3.
Перечень работ и их продолжительность перенесем во вторую и третью графы. При этом работы следует записывать в графу 2 последовательно: сначала начиная с номера 1, затем с номера 2 и т.д.
В первой графе поставим число, характеризующее количество непосредственно предшествующих работ (КПР) тому событию, с которого начинается рассматриваемая работа. Так, для работы (5,10) в графу 1 поставим число 2, т.к. на номер 5 оканчиваются 2 работы: (1,5) и (3,5).
Таблица 3 – Табличный метод расчета сетевого графика

Далее заполняем графы 4 и 5. Для работ, имеющих цифру 0 в графе 1, в графу 4 также заносятся нули, а их значения в графе 5 получаются в результате суммирования граф 3 и 4 (по формуле (2.4)). В нашем случае для работ (1,2), (1,3), (1,5) в графе 4 ставим 0, а в графе 5 - 0+5=5, 0+7=7, 0+4=4. Для заполнения следующих строк графы 4 , т.е. строк начиная с номера 2, просматриваются заполненные строки графы 5, содержащие работы, которые оканчиваются на этот номер, и максимальное значение переносится в графу 4 обрабатываемых строк. В данном случае такая работа одна - (1,2). Цифру 5 из графы 5 переносим в графу 4 для всех работ, начиная с номера 2, т.е. в две последующие строки с номерами (2,4) и (2,6). Для каждой из этих работ путем суммирования значений граф 3 и 4 сформируем значение графы 5: t р.о. (2,4)=0+5=5, t р.о. (2,6)=8+5=13. Этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет заполнена последняя строка таблицы.
Графы 6 и 7 заполняются “обратным ходом”, т.е. “снизу вверх”. Для этого просматриваются строки, оканчивающиеся на номер последнего события, и из графы 5 выбирается максимальная величина, которая записывается в графу 7 по всем строчкам, оканчивающимся на номер последнего события (т.к. t р (i)= t п (i)). В нашем случае t(11)=27 . Затем для этих строчек находится содержание графы 6 как разности граф 7 и 3 по формуле (2.7). Далее просматриваются строки, оканчивающиеся на номер предпоследнего события, т.е. 10. Для определения графы 7 этих строк (работы (8,10) и (5,10)) просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 10. В графу 6 среди них выбирается минимальная величина, которая переносится в графу 7 по обрабатываемым строчкам. В нашем случае она одна - (10,11), поэтому заносим в строчки (8,10) и (5,10) графы 7 цифру 20. Процесс повторяется до тех пор, пока не будут заполнены все строчки по графам 6 и 7.
Содержимое графы 8 равно разности граф 6 и 4 или граф 7 и 5 (формула (2.8).
Содержимое графы 9 вычисляется по формуле (2.9):
R с (3,9)= t р.н (9,11)- t р.о. (3,9)=19-18=1.
Учитывая, что резерв времени имеют только события и работы, которые принадлежат критическому пути, получаем критический путь (1,3,4,7,11).

Расчет сетевых графиков сводиться к численному определению его пара-метров. Поэтому сначала перечислим их.

При расчете сетевых графиков определяются следующие параметры:

Ранние начала и окончания работ;

Поздние начала и окончания работ;

Продолжительность критического пути;

Общие и частные резервы работ.

За расчетную схему (рис. 18.8) выберем расположение работ, закодирован­ных буквами: h - предшествующая работа, i - рассматриваемая работа,j - после­дующая работа.

Рис. 18.8 Расчетная модель

Раннее начало работы - самый ранний из возможных сроков начала рабо­ты, который обуславливается выполнением всех предшествующих работ.

Раннее начало работы (рис. 18.9) равно продолжительности максимально­го пути от исходного события графика до начального события данной работы:

​

Рис. 18.9 Модель расчета ранних начал

Раннее окончание работы - самый ранний из возможных сроков окончания работы. Оно равно сумме раннего начала работы и ее продолжительности:

​

Для начальных (исходных) работ:

Раннее начало принимается равным 0;

Раннее окончание численно равно продолжительности работы. Максимальное раннее окончание одной из завершающих работ определяет продолжительность критического пути.

Позднее начало работы - самый поздний допустимый срок начала работы, при котором планируемый срок достижения конечной цели не меняется.

Позднее окончание работы определяется разностью между продолжитель­ностью критического пути и продолжительностью максимального пути от ко­нечного события данной работы до завершающего события графика.

Позднее окончание любой работы (рис. 18.1 О) равно наименьшему из поздних начал последующих работ:

​

Рис. 18.10 Модель расчета поздних окончаний

Позднее начало работы равно разности между величинами ее позднего окончания и продолжительности.

Для завершающих работ сетевого графика:

Позднее окончание равно величине продолжительности критического пути:

​

Позднее начало завершающей работы равно разности между продол­жительностью критического пути и продолжительностью данной работы:

​

Общий (или полный) резерв времени работы R;-1 (рис. 18.11) - это макси­мальное время, на которое можно увеличить продолжительность данной рабо­ты или перенести ее начало без увеличения продолжительности критического пути. Он равен разности между одноименными поздними и ранними парамет­рами этой работы:

​

Рис. 18.11 Модель расчета общих резервов

Частный резерв времени (рис. 18.12) - это максимальное время, на которое можно увеличить продолжительность данной работы или перенести ее начало без изменения ранних сроков начала последующих работ. Он равен разности между ранним началом последующей работы и ранним окончанием данной работы:

​

Рис. 18.12 Модель расчета частных резервов

Частный резерв времени отличается от нуля, если в конечное событие ра­боты входят две и более работы.

Методы расчета сетевых графиков

Сетевые графики можно рассчитывать с помощью компьютерной техники и вручную. В настоящее время известно несколько методов расчета сетевых графиков вручную: табличный метод; расчет на графике - четырехсекторный метод; метод дроби; метод потенциалов и др.

Классическим методом, положившим начало теории расчета сетевых гра­фиков, является табличный метод , или, как говорят, алгоритм расчета сетево­го графика по таблице.

Пример графика для расчета табличным методом приведен на рис. 18.13. В этом случае определение параметров сетевого графика выполняется в таблице.

​

Рис. 18.13 Пример графика для расчета табличным методом и методом потенциалов

Заполнение таблицы ведется в следующем порядке.

1) В первые три графы заносят исходные данные по каждой работе. Необходимо последовательно записывать все работы, выходящие из первого события (по часовой стрелке), затем - все работы, выходящие из второго события:, и т.д.

2) Производят расчет ранних параметров работ построчно сверху вниз.

­3) Определяют продолжительность критического пути, равная максималь­ному из ранних окончаний завершающих работ.

4) Рассчитывают поздние параметры работ. Расчет ведется построчно сни­зу вверх, от завершающих работ до исходных.

5) Определяют общие и частные резервы времени (их можно определить по каждой работе вразбивку).

Определяют перечень работ, составляющих критический путь, т.е. работ, не имеющих резервов времени.

При расчете сетевых графиков табличным методом заполняют следующую таблицу (табл. 18.1).

​

В графу 3 заносят шифр (код) каждой работы, запись ведут последова­тельно, начиная с первого события. Когда из события выходят несколько ра­бот, запись ведут в порядке возрастания номеров их конечных событий. После этой процедуры в графу 2 записывают номера событий, предшествующих каж­дой работе.

Следующей заполняют графу 4. Против каждой работы, записанной в гра­фе 3 из сетевого графика, проставляют её продолжительность t.

Графы 5 (раннее начало работы ТРН) и 6 (раннее окончание работы ТРН за­полняются одновременно. У работ 1-2 и 1-3 предшествующих событий нет; следовательно, их раннее начало равно нулю. Раннее окончание работы равно сумме его раннего начала и продолжительности . Таким образом, в графу 6 вно­сят сумму цифр граф 4 и 5. Для работы 2-4 раннее начало равно раннему окон­чанию предшествующей работы, т.е. работы 1-2 (в графе 2 записано предшест­вующее событие 1); следовательно, раннее начало работ, начинающихся с события 2 (2-3, 2-4), также равно 5 дням. Прибавляя к ранним началам работ их продолжительности, получим их раннее окончание. Если у работы есть два и более предшествующих события (например, работа 4-6), то в этом случае вы­бирают максимальное значение раннего окончания этих работ и заносят в гра­фу 5, и на ее основе определяют ранее окончание.

Максимальное раннее окончание последней работы равно величине кри­тического пути.

Критический путь, а следовательно, и позднее окончание завершающей работы, равен 16 дням. Вносим эту цифру в строку 8 графы 8. Позднее начало работы равно разности его позднего окончания и продолжительности.

Общий резерв R (графа 9) определяют как разность между числами в гра­фах 8 и 6 или 7 и 5.

Частный резерв r (графа 10) подсчитывают как разность между ранним на­чалом последующей работы и ранним началом данной. При заполнении данной графы необходимо учитывать следующее, если в конечное событие данной ра­боты входит только одна стрелка, то частный резерв ее равен нулю. Для работ, не лежащих на критическом пути, но входящих в события, лежащие на нем, общие и частные резервы численно равны. Частные и общие резервы работ, лежащих на критическом пути, равны нулю.

Правильность расчета сетевого графика подтверждают проверкой:

Ранние параметры никогда не превосходят по численному значению поздние параметры;

Критический путь должен представлять собой непрерывную последова­тельность работ от исходного события до завершающего;

Величина частного резерва времени работы не должна превосходить ве­личину общего резерва времени;

Позднее начало одной из исходных работ обязательно должно быть ну­левым.

Расчет сетевых графиков методом потенциалов

Потенциалом i-го события (ТjП) называют величину наиболее продолжи­тельного пути от данного события до завершающего:

​

Потенциал события (рис. 18.14) показывает, сколько дней осталось от дан­ного события до завершения всех работ планируемой программы. Потенциал определяют последовательно, начиная от завершающего события сети.

В качестве примера рассмотрим тот же график, размещенный на рис. 18.13. Расчет (рис. 18.15) начинают с завершающего события 6, потенциал ко­торого равен О. В верхний сектор ставим прочерк, в правый записываем О и пе­реходим к последующему событию.

​

Рис. 18.14 Запись в секторах при расчете методом потенциалов

​

Рис. 18.15. Пример расчета методом потенциалов

(номера событий соответствуют рис. 18.1 З)

Потенциал события 5 (продолжительность работы 5-6) равен 5 дням. Циф­ру 5 записываем в правый сектор события 5, цифру 6 - в его верхний сектор.

Потенциал события 4 Т4П = 0 + 4 = 4. Для события 2 потенциал определяют следующим образом: от события 3 - Т2П = 11 + О = 11 и от события 4 - Т2П = 4

3 = 7; выбирают наибольшее значение 11. Аналогичным образом рассчиты­вают остальные события. Потенциал исходного события составляет 16 дней, т.е. равен величине критического пути.

Зная потенциал события, позднее окончание работ можно определить по формуле

​

Поскольку ранние начала работ записаны в левых секторах, а на графике показаны продолжительности работ, по уже приведенным формулам частного и общего резерва времени можно определить их значение.

Изменения, возникающие в ходе выполнения работ, не влияют на потен­циалы последующих событий; поэтому оперативный пересчет графика занимает мало времени. В этом заключается главное преимущество расчета методом потенциалов.

Четырехсекторпый,метод расчета сетевых графиков

При этом методе каждое событие (рис. 18.16) графиком делится на 4 сек­тора, в которых указываются необходимые расчетные данные.

​

Рис. 18.16 Условные обозначения при четырехсекторном методе расчета

Исходным графиком для расчета четырехсекторным методом служит гра­фик, приведенный на рис. 18.17.

​

Рис. 18.17 Исходный график для расчета четырехсекторным методом

Вначале от исходного события до завершающего определяют все ранние начала работ.

Для завершающего события графика значения в левом и правом секторах равны, поскольку максимальное из ранних окончаний завершающей работы равно позднему окончанию этой работы.

Затем рассчитывают поздние окончания работ от завершающего к начально­му событию. Рассчитанный график будет иметь вид показанный на рис. 18.18.

Дополнительным требованием к критическим работам является требова­ние по соблюдению условия

​

20-12 = 8; 25-5 = 20; 25-11 = 12; следовательно, работы нижнего пути- не­критические.

​

Рис. 18.18 График, рассчитанный четырехсекторным методом

Резервы времени работ графика можно отметить на самом графике в виде Rr, а рассчитать их следует по формулам:

​

Четырехсекторный способ расчета сетевых графиков позволяет быстрее осуществить расчет и определить продолжительность критического пути (ино­гда требуется прикидочный расчет), но при повторном расчете требуется пере­бирать данные на графике. Этого не требуется при табличном способе, где пе­ресчитывается сама таблица. Кроме того, в таблице наглядно прослеживаются все без исключения параметры сетевого графика (включая резервы времени).

Построение сетевых графиков «вершины-работы»

В последнее время построение сетевых графиков всё чаще выполняют по принципу «вершины-работы», а не по принципу «вершины-события», как это было в предыдущих примерах (рис.18.19).

Для расчета сетевого графика «вершины-работы>> прямоугольник, изобра­жающий работу, делят на 7 частей (рис. 18.20). В верхних трех частях прямо­угольника записывают раннее начало, продолжительность и раннее окончание работы, в трех нижних - позднее начало, резервы времени и позднее оконча­ние. Центральная часть содержит код (номер) и наименование работы.

Расчет сетевого графика начинают с определения ранних сроков. Раннее начало и окончание вычисляют последовательно от исходной до завершающей работы, раннее начало исходной работы равно О, раннее окончание - сумме раннего начала работы и ее продолжительности.

Раннее начало последующей работы равно раннему окончанию предыду­щей работы. Если работе непосредственно предшествует несколько работ, то ее раннее начало будет равно максимальному значению из ранних окончаний предшествующих работ.

​

Рис. 18.19 График типа "вершины-работы"

​

Рис. 18.20 Изображение работы в сетевом графике "вершины-работы"

Раннее окончание завершающей работы определяет продолжительность критического пути.

Расчет поздних сроков ведут в обратном порядке, от завершающей работы до исходной. Позднее окончание завершающей работы равно ее раннему окон­чанию, т.е. продолжительности критического пути.

Позднее начало определяют как разность позднего окончания и продолжи­тельности работы.

Полный (общий) резерв времени, равный разности поздних и ранних сро­ков, заносят в числитель середины нижней части.

Частный резерв времени, равный разности между минимальным ранним началом последующих работ и ранним окончанием данной работы, записывают в знаменатель середины нижней части.

Частный резерв всегда меньше полного резерва работы или равен ему. По­следовательность работ с нулевыми резервами времени является критическим путем сетевого графика.

Расчет и анализ сетевых графиков

Основные понятия и определения

1.1. Сетевое планирование и управление (СПУ) - это система планирования комплекса работ, ориентированная на достижение конечной цели. СПУ основано на графическом изображении определенного комплекса работ, отражающих их логическую последовательность, взаимосвязь и длительность, с последующей оптимизацией разработанного графика при помощи методов прикладной математики и вычислительной техники и его использованием для текущего руководства этими работами.

Объектом управления в системе СПУ является коллектив людей, располагающий определенными ресурсами (людскими, материальными, финансовыми и др.) и выполняющий определенный комплекс работ (проект), призванный обеспечить достижение намеченной цели.

1.2. Сетевой график (сетевая модель или просто сеть) - это модель всего процесса выполнения данного комплекса робот, изображенная в виде ориентированного графа и отражающая взаимосвязь и параметры всех работ.

1.3. Работа - это трудовой процесс, приводящий к некоторому результату и требующий затрат времени и ресурсов. Работой считают и ожидание.

Ожидание - работа не требующая затрат труда (и других ресурсов), но требующая затрат времени.

Работа на сетевом графике обозначается сплошной линией со стрелкой.

Продолжительность работы указывается числом над стрелкой. Единицей измерения продолжительности работ может быть день, неделя, декада, месяц. Длина стрелки выбирается произвольно. Она не отражает продолжительности работы. Работа обозначается шифрами начального и конечного события (ij ). Продолжительность работы tij .

Зависимость или фиктивная работа - логическая связь между двумя или несколькими событиями, не требующими затрат ни времени, ни ресурсов. На графике фиктивная работа обозначается пунктирной стрелкой.

1.4. Событие - это результат свершения одной или нескольких работ, дающий возможность начать одну либо несколько следующих работ. Событие не имеет продолжительности по времени, оно означает лишь факт свершения какой-то работы. Событие на графике изображается кружком (i ), внутри которого, указывается номер его. Событие, за которым следует работа, называется начальным (обозначается индексом – i ), а которому предшествует робота - конечным (j ). В сети существует одно исходное событие (J ) и одно завершающее – (С).

I.5. Путь - это любая последовательность робот сетевой модели, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней. Путь обозначается индексом (L ). Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей вводящих в данный путь, работ и обозначается t(L ). Различают путь полный (L (J - C )), т. е. путь от исходного со­бытия до завершающего, и путь от любого события до другого L (m 1 - m 2).

Критический путь - это полный путь, обладающий максимальной продолжительностью из всех возможных на данном графике – L кр. В сетевом графике может быть несколько критических путей. Критический путь определяет срок выполнения данного комплекса работ (проекта в целом).

По построенной сетевой модели для каждой работы определяется ожидаемая продолжительность ее выполнения - t ож, а также дисперсия времени выполнения работы - .

В системе СПУ применяются два способа определения времени выполнения работ. В том случае, если работа часто повторяется (то есть имеются некоторые нормативные данные о ее продолжительности), или имеет достаточно близкий прототип, то продолжительность работы определяется однозначно (сети с детерминированными оценками). Но для большинства работ, выполняющихся впервые (например, научно-исследовательских, экспериментальных, опытно-конструкторских) этого сделать нельзя. В этом случае продолжительность выполнения работ носит неопределенный характер и для оценки времени ее выполнения применяют методы математической статистики. Продолжительность работы считается случайной величиной, подчиненной определенному закону распределения и ожидаемое время ее выполнения (а также и дисперсия) рассчитывается по определенным аппроксимирующим формулам на основании экспертных оценок, полученных от ответственных исполнителей работ.

Рассчитанная таким образом продолжительность выполнения работы представляет собой, с известным приближением, математическое ожидание времени ее выполнения, как случайной величины, подчиненной принятому закону ее распределения.

В практике СПУ наиболее широкое применение получили следующие формулы для определения ожидаемой продолжительности работы и дисперсии времени ее выполнения.

Ниже приведены три разновидности этих формул, которые соответствуют вариантам индивидуальных заданий:

1-й способ ; ;

2-й способ ; ;

3-й способ ; .

Для расчета по этим формулам от ответственных исполнителей получают путем опроса следующие экспертные оценки времени выполнения работ:

а (или tmin ) - минимальная (оптимистическая) продолжительность работы, т. е. оценка продолжительности работы в предположении наиболее благоприятного стечения обстоятельств;

b (или tmax ) - максимальная (пессимистическая) продолжительность работы, т. е. продолжительность работы в предположении наиболее неблагоприятного стечения обстоятельств;

m (или t н. в.) - наиболее вероятная оценка продолжительности работы - оценка продолжительности при наиболее часто встречающихся условиях выполнения работы.

Расчет параметров сетевого графика

Параметрами сетевого графика называются величины, характеризующие положение работ и событий, которые дают возможность проанализировать состояние работ и принять необходимые решения. Исходными для определения всех временных параметров сетевых моделей служит продолжительность работы (tij). На основании продолжительности работ в сетевом графике определяются его временные параметры, основными из них являются следующие.

1. Продолжительность пути

,

где К - количество работ, входящих в данный путь.

Таким образом, продолжительность пути это суммарная продолжительность работ, составляющих данный путь.

Продолжительность критического пути

Ткр = t [L (J -C )max ] .

Продолжительность критического пути определяет срок наступления завершающего события сети, то есть определяет срок выполнения проекта (планируемого комплекса работ) в целом.

2. Резерв времени пути - это разность между продолжительностью критического и данного пути. Он показывает, на сколько в сумме могут быть увеличены продолжительности работ, принадлежащих данному пути, не изменяя срока выполнения проектов

R (L ) = Tкр - t (L ) .

3. Ранний срок свершения события - срок, необходимый для выполнения всех работ, предшествующих данному событию i

Тр(i ) = t [L (J -i )max ] или Тр(j ) = max .

Ранний срок исходного события сети принимается равным нулю: Тр(J ) = 0 .

4. Поздний срок свершения события - это наиболее поздний из допустимых сроков свершения события, превышение которого на какую-то величину вызывает аналогичную задержку наступления завершающего события

Тп(i ) = Tкр - t [(i -C )max ] или Тп(i ) = [Тп(j )-tij ]min .

Поздний срок завершающего события равен его раннему сроку Тп(С )=Тр(С ), это же имеет место и для событий, лежащих на критическом пути Тр(i ) = Тп(i ).

5. Резерв времени свершения события - это такой предельно допустимый срок, на который можно задерживать свершение данного события, не вызывая при этом увеличения продолжительности критического пути (то есть не изменяя срока свершения завершающего события), то есть всего проекта в целом.

У событий, лежащих на критическом пути, резервов времени не существует. Резерв времени события определяется следующим образом:

R (i ) = Tп(i ) - Tp(i ) = R (Lmax ) .

Резерв времени события равен резерву времени максимального из путей, проходящих через данное событие.

6. Ранний срок начала работы - это самый ранний из возможных сроков начала работы: t р. н.(ij ) = Tp(i ) .

7. Ранний срок окончания работы - это самый ранний из возможных сроков окончания работы

t р. о.(ij ) = t р. н.(ij ) + tij = Tp(i ) + tij .

8. Поздний срок начала работы - самый поздний срок начала работы, при котором не увеличивается продолжительность критического пути, т. е. срок окончания проекта в целом

t п. н.(ij ) = t п. о.(ij ) - tij = Tп(j ) - tij .

9. Поздний срок окончания работы - самый поздний срок окончания работы, при котором не увеличивается продолжительность критического пути, то е. сть срок окончания проекта

t п. о.(ij ) = Tп(j ) .

Для работ критического пути:

t р. н.(ij ) = t п. н.(ij ) и t р. о.(ij ) = t п. о.(ij ) .

10. Полный резерв времени работы - это величина резерва времени максимального из путей, проходящих через данную работу. Он равен разности между поздним сроком наступления события и ранним сроком наступления события за вычетом продолжительности работы

R п(ij ) = Tп(j ) - Tp(i ) - tij .

Полный резерв времени работы показывает, на сколько может быть увеличена продолжительность отдельной работы или отсрочено ее начало, чтобы продолжительность проходящего через нее максимального пути не превысила продолжительности критического пути (то есть, чтобы не изменился срок выполнения проекта в целом).

Использование полного резерва целиком на данной работе отнимает все полные резервы времени у работ, лежащих на всех путях, которые проходят через данную работу.

Полный резерв времени работ критического пути равен нулю, а для остальных работ он положителен.

11. Свободный резерв времени работы - равен разности между ранними сроками наступления событий j и i за вычетом продолжительности работы (ij ):

R c(ij ) = Tp(j ) - Tp(i ) - tij .

Свободный резерв представляет собой часть полного резерва времени работы. Он указывает максимальное время, на которое можно увеличить продолжительность отдельной работы, или отсрочить ее начало, не меняя ранних сроков начала последующих работ, при условии, что непосредственно предшествующее событие наступило в свой ранний срок.

В качестве плановых сроков начала работ берутся при этом ранние сроки наступления событий. Сводный резерв времени является в определенном смысле независимым резервом, то есть использование его на одной из работ не меняет величины свободных резервов времени остальных работ сети.

3.12. Коэффициент напряженности работы используется в сетевом планировании для характеристики напряженности сроков выполнения работ и определяется по следующей формуле:

,

где t (Lmax ) - продолжительность максимального пути, проходящего через данную работу;

t ¢(L кр) - продолжительность отрезка пути t (Lmax ), совпадающего с критическим путем.

С помощью коэффициента напряженности получают оценку напряженности работ, лежащих на путях равной продолжительности и обладающих одинаковыми резервами времени.

Величина коэффициента напряженности у разных работ в сети лежит в пределах 0 £ Кн(ij ) £ i .

Для всех работ критического пути Кн(ij ) = 1.

Величина коэффициента напряженности помогает при установлении плановых сроков выполнения работ оценить, насколько свободно можно располагать имеющимися резервами времени. Этот коэффициент дает исполнителям работ предоставления степени срочности работ и позволяет установить очередность их выполнения, если она не определяется технологическими связями работ.

Способы расчета параметров сетевых графиков

Существует два способа ручного расчета параметров сетевых графиков (причем, в литературе по СПУ встречаются различные разновидности данных способов): непосредственно на графике; табличный способ.

1. Первый способ (расчет параметров непосредственно на графике) предусматривает определение, как правило, следующих параметров, ранних сроков свершения событий, поздних сроков свершения событий, резервов времени свершения событий и критического пути. При расчете по этому способу кружок, изображающий событие, делится на четыре сектора. Верхний сектор отводится для номера события - i , левый сектор для раннего срока свершения события Тр(i ), правый для позднего срока свершения события Тп(i ), а нижний сектор для резерва времени свершения события - R (i )

Расчет параметров производится на основании приведенных выше определений и формул (логических соотношений) по определенным правилам. Расчет начинается с определения ранних сроков свершения событий - Tp(i ). Определение Tp(i ) начинается с исходного события и далее через последующие события к завершающему (то есть расчет ведется слева направо), руководствуясь следующим общим правилом для определения ранних сроков событий.

Ранний срок свершения события j определяется путем прибавления к раннему сроку предшествующего ему события i продолжительности работы, ведущей к событию j . В том случае, если в событие j входит несколько работ, нужно определить ранний срок по каждой из этих работ и из них выбрать максимальный, который и будет ранним сроком свершения события j . Для исходного события J ранний срок его свершения принимается равным нулю.

Tp(J ) = 0 .

Определение поздних сроков свершения событий производится в обратном порядке, то есть справа налево, то есть от завершающего события к исходному. При определении поздних сроков принимается, что для завершающего события ранний срок его свершения является одновременно и наиболее поздним.

Тр(С ) = Тп(С ) .

Поздний срок свершения события j определяется путем вычитания из позднего срока предшествующего ему события i продолжительности работы, ведущей к этому событию j .

В случае, если к событию j подходит несколько работ, то определяется величина позднего срока по каждой из этих работ и из них выбирается минимальная, которая и будет определять поздний срок свершения данного события.

Резерв времени события i определяется непосредственно на сети путем вычитания из величины, записанной в правом секторе события Тп(i ) величины, записанной в левом секторе - Тр(i ). Найденная величина и является резервом времени свершения события и записывается в нижнем секторе события.

Все события в сети, за исключением событий, принадлежащих критическому пути, имеют резерв времени. Критический путь определится в результате выявления всех последовательно лежащих событий с резервами, равными нулю, а его продолжительность величиной позднего (тоже самое раннего) срока свершения завершающего события.

На рис. 1 приведен расчет сети непосредственно на графике.

Рис. 1. Расчет параметров сетевого графика

2. При табличном способе расчета определяются, как правило, параметры, относящиеся к работам, а именно: ранние и поздние сроки начал и окончаний работ, резервы времени работ. Расчет параметров в этом случае производится в таблице по определенной форме. Пример такого расчета для сетевого графика, изображенного на рис. 1, показан в нижеприводимой табл. 1.

Расчет табличным способом может производиться либо только на основании формул и сетевого графика с параметрами событий, либо по определенным правилам (алгоритмам). В последнем случае состав параметров и последовательность их расположения может быть иной. Расчет по таким алгоритмам излагается в литературе (см. список литературы).

Таблица 1

Расчет параметров работ сетевого графика

Анализ и оптимизация сетевого графика

После расчета параметров сетевого графика производится его анализ, и в нужных случаях, его оптимизация. Задачами анализа является пересмотр структуры сети с целью определения возможности увеличения числа параллельно выполняемых работ, определение коэффициентов напряженности работ, что позволяет наряду с расчетом резервов времени работ и путей, распределить все работы по зонам (критическая, подкритическая и резервная). Важной задачей анализа сетевого графика является определение вероятности свершения завершающего события в заданный срок.

Заданный срок свершения завершающего события (то есть директивный срок выполнения проекта) Тд может отличаться от расчетного Ткр, полученного на основе критического пути, но, несмотря на это (в силу того, что ожидаемые продолжительности работ определялись как случайные величины) сохраняется определенная вероятность, что завершающее событие наступит в заданный директивный срок или раньше его. При определении этой вероятности принимается, что продолжительность выполнения проекта (то есть величина критического пути) является случайной величиной, подчиняющейся нормальному закону распределения.

Аналитическая вероятность того, что завершающее событие наступит в заданный (директивный) срок или ранее него, определяется следующим образом:

,

где - соответствующее значение функции Ф(Z ), взятое из таблицы нормального распределения; Z - аргумент нормальной функции распределения вероятности.

Среднее квадратичное отклонение срока наступления завершающего события определяется по формуле:

,

где ij кр - последовательность работ, лежащих на критическом пути;

К - количество работ, составляющих критический путь;

Дисперсия работы, лежащей на критическом пути.

Пример. Для графика, изображенного на рис. 1, определить вероятность выполнения проекта в заданный директивный срок, равный 8 ед. времени. Ранее было определено, что расчетный срок выполнения проекта составляет Ткр = 9 ед. Предположим, что также определены и дисперсии работ, составляющих критический путь, пусть например:

тогда и .

Пользуясь таблицей значений функции Лапласа по величине Z = - 1,7 (см. табл. 2), находим искомую вероятность РК » 0,045.

Вывод. При планировании в системах СПУ принято, что если:

0,85 < РК < 0,65 - то это считается границами допустимого риска (то есть считается нормальным положением); при РК < 0,85 - то считается, что опасность нарушения заданного срока очень большая (неприемлема) и необходимо в этом случае и произвести повторное планирование с перераспределением ресурсов с целью минимизации срока выполнения проекта; при РК > 0,65 - считается вероятность слишком велика, то есть на работах критического пути имеются избыточные ресурсы. В этом случае тоже производят повторное планирование с целью сокращения потребных ресурсов.

При невозможности достижения удовлетворительного значения РК может потребоваться изменение заданного срока выполнения проекта. Эта задача решается как обратная рассмотренной выше. Задаваясь желаемой величиной вероятности РК свершения завершающего события в заданный срок, можно из вышеприведенного уравнения определить значение функции , и, зная величины Ткр и , определить величину Тд.

После анализа сетевого графика в необходимых случаях проводится его оптимизация. Она необходима для обеспечения большей надежности свершения завершающего события в заданный срок, для выравнивания загрузки работников, лучшего распределения ресурсов и т. д. Оптимизация графика во времени (то есть достижение минимального срока выполнения проекта при заданных ресурсах) производится путем переброски ресурсов с некритических путей, имеющих резервы времени, на критический путь, что приводит к сокращению его продолжительности. В пределе продолжительности всех полных путей могут быть равны и являются критическими и тогда все работы ведутся с одинаковым напряжением, а общий срок выполнения проекта существенно сократится.

Таблица 2

Таблица значений функции Лапласа Рк = Ф (Z )

Рис. 40 Сетевая модель к расчету параметров табличным методом

Таблица 2

Методика ручного расчета сетевого графика в табличной форме (табл. 2) заключается в следующем.

1. Нумеруем (кодируем) события, соблюдая правило: номер предшествующего события должен быть меньше номера последующего.

2. Заполняем первые три графы таблицы, в которые заносятся исходные данные по каждой работе - номера начальных событий предшествующих работ (графа 1), код работ (графа 2), продолжительность работы (графа 3). Заполнение следует начинать с графы 2. При этом следует придерживаться правила: в графу 2 нужно сначала записать все работы, выходящие из исходного события в порядке возрастания номеров, а затем записать продолжительность работ в графу 3. В графе 1 ставим прочерки для работ, выходящих из исходного события сетевого графика, так как они не имеют предшествующих работ. Закончив запись работ, выходящих из исходного события, переходим к работам, выходящим из второго и последующих событий в порядке их возрастания.

3. Определяем ранние сроки начала и окончания работ. Заполняем построчно графы 4, 5. Расчет ведем от исходных к завершающим событиям. Для исходного события сетевого графика ранние сроки начала работ принимаем равными нулю, а окончания работ их - продолжительности.

Если работе ij предшествует только одна работа hi, то раннее окончание работы hi равно раннему началу работы ij. Раннее начало рассматриваемой работы равно раннему окончанию предыдущей работы.

При рассмотрении сложного события, когда ему предшествуют две и более работ, раннее начало рассматриваемой работы равно наибольшему значению из ранних окончаний предшествующих работ.

4. Рассчитываем поздние параметры работ - позднее начало и позднее окончание и записываем построчно результаты в графы 6, 7. Расчет ведем в обратном порядке - от завершающих работ до исходной снизу вверх. Сначала по каждой строке определяем поздние окончания работ (графа 7), затем поздние начала работ (графа 6). Для простого события, из которого выходит только одна работа, позднее окончание предшествующей работы равно позднему началу рассматриваемой работы. Позднее начало данной работы равно разности между се поздним окончанием и продолжительностью.

Для сложного события, из которого выходит несколько работ, позднее окончание предшествующих работ равно меньшему из поздних начал рассматриваемых работ. При правильном расчете позднее начало исходной работы должно быть равно нулю.

5. Определяем полный резерв времени. Полный резерв времени по каждой строке определяется при сопоставлении граф 6, 4 или 7, 5, как разность позднего и раннего начал или позднего и раннего окончаний работ. Результат записываем в графу 8.

6. Определяем частный резерв времени по каждой работе как разность между ранним началом последующей работы по графе 4 и ранним окончанием данной работы по графе 5. Результат записываем в графу 9.

Работы не имеющие общего резерва, не имеют и частного резерва, поэтому в графе 9 должен быть всюду О, где 0 имеется в графе 8.

Представим себе ситуацию развития проекта капитального строительства на производственном предприятии. Проект успешно инициирован и полным ходом идут работы по его планированию. Сформирована и утверждена , план по вехам принят. Разработан первичный вариант календарного плана. Поскольку задача оказалась достаточно масштабной, куратор принял решение о разработке еще и сетевой модели. Расчет сетевого графика в прикладном аспекте его исполнения является предметом настоящей статьи.

Перед стартом моделирования

Методологический базис сетевого проектного планирования представлен на нашем сайте несколькими статьями. Я лишь сошлюсь на две из них. Это материалы, посвященные в целом и непосредственно . Если в ходе повествования у вас будут возникать вопросы, просмотрите ранее представленные осмысления, основная суть методологии в них изложена. В настоящей статье мы рассмотрим небольшой пример локальной части комплекса строительно-монтажных работ в рамках значительной проектной реализации. Расчеты и моделирование будем выполнять методом «вершина-работа» и классическим табличным способом («вершина-событие») с применением МКР (метода критического пути).

Построение сетевого графика мы начнем на основе первой итерации календарного плана, выполненного в форме диаграммы Ганта. Для целей наглядности предлагаю не учитывать отношения предшествования и максимально упростить последовательность действий. Хотя на практике такое бывает редко, представим в нашем примере, что операции выстроены в последовательность вида «окончание-начало». Ниже вашему вниманию представляются две таблицы: выписка из списка работ проекта (фрагмент из 15-ти операций) и список параметров сетевой модели, необходимый для представления формул.

Пример фрагмента списка операций инвестиционного проекта

Список параметров сетевой модели, подлежащих расчету

Пусть вас не пугает обилие элементов. Построение сетевой модели и расчет параметров достаточно просто выполнить. Важно тщательно подготовиться, иметь под рукой иерархическую структуру работ, линейный график Ганта – в общем, все, что дает возможность определиться с последовательностью и взаимосвязями действий. Еще в первые разы выполнения графика я рекомендую иметь перед собой формулы расчета требуемых значений. Они представлены ниже.

Формулы расчета параметров сетевого графика

Что нам потребуется определить в ходе построения графика?

1. Раннее начало текущей работы, в которую входят несколько связей от предыдущих операций. Выбираем максимальное значение из всех ранних окончаний предыдущих операций.
2. Позднее окончание текущего действия, из которого выходят несколько связей. Выбираем минимальное значение из всех поздних начал последующих действий.
3. Последовательность работ, формирующих критический путь. У этих действий раннее и позднее начала равны, как и раннее и позднее окончание соответственно. Резерв такой операции равен 0.
4. Полные и частные резервы.
5. Коэффициенты напряженности работ. Логику формул резервов и коэффициента напряженности работы мы рассмотрим в специальном разделе.

Последовательность действий по моделированию

Шаг первый

Построение сетевого графика начинаем путем размещения прямоугольников задач последовательно слева-направо, применяя правила, описанные в предыдущих статьях. При выполнении моделирования методом «вершина-работа» основным элементом диаграммы выступает семисегментный прямоугольник, в составе которого отражены параметры начала, окончания, длительности, резерва времени и наименования или номера операций. Схема представления ее параметров показана далее.

Схема изображения работы на сетевом графике

Результат первого этапа построения сетевого графика

В соответствии с логикой последовательности операций с помощью специализированной программы, MS Visio или любого редактора размещаем образы работ в заданном выше формате. В первую очередь заполняем наименования выполняемых действий, их номера и длительность. Рассчитываем раннее начало и раннее окончание с учетом формулы раннего начала текущего действия в условиях нескольких входящих связей. И так проходим до завершающей фрагмент операции. При этом, в нашем примере проекта тем же графиком Ганта не предусмотрены исходящие связи от операций 11, 12, 13 и 14. «Подвешивать» их на сетевой модели недопустимо, поэтому мы добавляем фиктивные связи к конечной работе фрагмента, выделенные на рисунке синим цветом.

Шаг второй

Находим критический путь. Как известно, это путь, имеющий самую большую продолжительность действий, которые в него входят. Просматривая модель, мы выбираем связи между работами, имеющими максимальные значения раннего окончания действий. Намеченный критический путь выделяем стрелочками красного цвета. Полученный результат представлен на промежуточной схеме далее.

Схема сетевого графика с выделенным критическим путем

Шаг третий

Заполняем значения позднего окончания, позднего начала и полного резерва работ. Для выполнения расчета переходим к конечной работе и берем ее за последнюю операцию критического пути. Это означает, что поздние значения окончания и начала идентичны ранним, и от последней операции фрагмента мы начинаем двигаться в обратную сторону, заполняя нижнюю строку схематического представления действия. Модель выполнения расчета показана ниже на схеме.

Схема расчета поздних начал и окончаний вне критического пути

Итоговый вид сетевого графика

Шаг четвертый

Четвертым шагом алгоритма сетевого моделирования и расчетов выполняется вычисление резервов и коэффициента напряженности. Первым делом имеет смысл обратить внимание на полные резервы путей некритических направлений (R). Они определяются путем вычитания из продолжительности критического пути временной длительности каждого из этих путей, пронумерованных на схеме итогового сетевого графика.

• R пути под номером 1 = 120 – 101 = 19;
• R пути под номером 2 = 120 – 84 = 36;
• R пути под номером 3 = 120 – 104 = 16;
• R пути под номером 4 = 120 – 115 = 5;
• R пути под номером 5 = 120 – 118 = 2;
• R пути под номером 6 = 120 – 115 = 5.

Дополнительные расчеты модели

Выполнение расчета общего резерва текущей операции производится путем вычитания из значения позднего начала раннего начала или из позднего окончания раннего окончания (см. схему расчета выше). Общий (полный) резерв показывает нам возможность начала текущей работы позже или увеличения продолжительности на длительность резерва. Но нужно понимать, что пользоваться полным резервом следует с большой осторожностью, потому что работы, стоящие от текущего события дальше остальных, могут оказаться без запаса времени.

Помимо полных резервов в сетевом моделировании оперируют также и частными или свободными резервами, которые представляют собой разницу между ранним началом последующей работы и ранним окончанием текущей. Частный резерв показывает, есть ли возможность сдвинуть ранее начало операции вперед без ущерба для начала следующей процедуры и всему графику в целом. Следует помнить, что сумма всех частных резервных значений тождественна полному значению резерва для рассматриваемого пути.

Главной задачей выполнения вычислений различных параметров является оптимизация сетевого графика и оценка вероятности выполнения проекта в срок. Одним из таких параметров является коэффициент напряженности, который показывает нам уровень сложности реализовать работу в намеченный срок. Формула коэффициента представлена выше в составе всех расчетных выражений, применяемых для анализа сетевого графика.

Коэффициент напряженности определяется как разница между единицей и частного от деления полного резерва времени работы на разницу длительности критического пути и особого расчетного значения. Это значение включает ряд отрезков критического пути, совпадающих с максимально возможным путем, к которому может быть отнесена текущая операция (i-j). Далее помещен расчет частных резервов и коэффициентов напряженности работ для нашего примера.

Таблица расчета частных резервов и коэффициента напряженности

Коэффициент напряженности варьируется от 0 до 1,0. Значение 1,0 устанавливается для работ, находящихся на критическом пути. Чем ближе значение некритической операции к 1,0, тем труднее удержаться в плановых сроках ее реализации. После того, как значения коэффициента по всем действиям графика посчитаны, операции, в зависимости от уровня этого параметра, могут быть отнесены к категории:

• критической зоны (Кн более 0,8);
• подкретической зоны (Кн более или равно 0,6, но менее или равно 0,8);
• резервной зоны (Кн менее 0,6).

Оптимизация сетевой модели, нацеленная на сокращение общей продолжительности проекта, как правило, обеспечивается следующими мероприятиями.

1. Перераспределение ресурсов в пользу наиболее напряженных процедур.
2. Снижение трудоемкости операций, расположенных на критическом пути.
3. Распараллеливание работ критического пути.
4. Переработка структуры сети и состава операций.

Использование табличного метода

Общепризнанные ПП календарного планирования (MS Project, Primavera Suretrack, OpenPlan и т.п.) способны вычислять ключевые параметры сетевой модели проекта. Мы же в настоящем разделе табличным методом выполним настройку подобного расчета обычными средствами MS Excel. Для этого возьмем наш пример фрагмента проектных операций проекта в области СМР. Расположим основные параметры сетевого графика в столбах электронной таблицы.

Модель расчета параметров сетевого графика табличным способом

Преимуществом выполнения расчетов табличным способом является возможность простой автоматизации вычислений и избежание массы ошибок, связанных с человеческим фактором. Красным цветом будем выделять номера операций, располагающихся на критическом пути, а синим цветом отметим расчетные позиции частных резервов, превышающих нулевое значение. Разберем пошагово расчет параметров сетевого графика по основным позициям.

1. Ранние начала операций, следующих за текущей работой . Алгоритм расчета настраиваем на выбор максимального значения из раннего времени окончания нескольких альтернативных предыдущих действий. Взять, например, операцию под номером 13. Ей предшествуют работы 6, 7, 8. Из трех ранних окончаний (71, 76, 74 соответственно) нам нужно выбрать максимальное значение – 76 и проставить его в качестве раннего начала операции 13.
2. Критический путь . Выполняя процедуру расчета по пункту 1 алгоритма, мы доходим до конца фрагмента, найдя значение продолжительности критического пути, которая в нашем примере составила 120 дней. Значения наибольших ранних окончаний среди альтернативных действий обозначают операции, лежащие на критическом пути. Отмечаем эти операции красным цветом.
3. Поздние окончания операций, предшествующих текущей работе . Начиная с концевой работы начинаем движение в обратную сторону от действий с большими номерами к операциям с меньшими. При этом из нескольких альтернатив исходящих работ выбираем наименьшее знание позднего начала. Поздние начала вычисляем как разницу между выбранными значениями поздних окончаний и продолжительности операций.
4. Резервы операций . Вычисляем полные (общие) резервы как разницу между поздними началами и ранними началами либо между поздними окончаниями и ранними окончаниями. Значения частных (свободных) резервов получаем в результате вычитания из числа раннего начала следующей операции раннего окончания текущей.

Мы рассмотрели практические механизмы составления сетевого графика и расчета основных параметров временной продолжительности проекта. Таким образом, вплотную приблизились к исследованию возможностей анализа, проводимого с целью оптимизации сетевой модели и формирования непосредственно плана действий по улучшению ее качества. Настоящая тема занимает немного места в комплексе знаний проект-менеджера и не так уж и сложна для восприятия. Во всяком случае, каждый РМ обязан уметь воспроизводить визуализацию графика и выполнять сопутствующие расчеты на хорошем профессиональном уровне.