Среднее квадратичное отклонение обозначение. Стандартное отклонение процентов

В данной статье я расскажу о том, как найти среднеквадратическое отклонение . Этот материал крайне важен для полноценного понимания математики, поэтому репетитор по математике должен посвятить его изучению отдельный урок или даже несколько. В этой статье вы найдёте ссылку на подробный и понятный видеоурок, в котором рассказано о том, что такое среднеквадратическое отклонение и как его найти.

Среднеквадратическое отклонение дает возможность оценить разброс значений, полученных в результате измерения какого-то параметра. Обозначается символом (греческая буква «сигма»).

Формула для расчета довольно проста. Чтобы найти среднеквадратическое отклонение, нужно взять квадратный корень из дисперсии. Так что теперь вы должны спросить: “А что же такое дисперсия?”

Что такое дисперсия

Определение дисперсии звучит так. Дисперсия — это среднее арифметическое от квадратов отклонений значений от среднего.

Чтобы найти дисперсию последовательно проведите следующие вычисления:

Определите среднее (простое среднее арифметическое ряда значений).
Затем от каждого из значений отнимите среднее и возведите полученную разность в квадрат (получили квадрат разности ).
Следующим шагом будет вычисление среднего арифметического полученных квадратов разностей (Почему именно квадратов вы сможете узнать ниже).

Рассмотрим на примере. Допустим, вы с друзьями решили измерить рост ваших собак (в миллиметрах). В результате измерений вы получили следующие данные измерений роста (в холке): 600 мм, 470 мм, 170 мм, 430 мм и 300 мм.

Вычислим среднее значение, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Сперва найдём среднее значение . Как вы уже знаете, для этого нужно сложить все измеренные значения и поделить на количество измерений. Ход вычислений:

Среднее мм.

Итак, среднее (среднеарифметическое) составляет 394 мм.

Теперь нужно определить отклонение роста каждой из собак от среднего :

Наконец, чтобы вычислить дисперсию , каждую из полученных разностей возводим в квадрат, а затем находим среднее арифметическое от полученных результатов:

Дисперсия мм 2 .

Таким образом, дисперсия составляет 21704 мм 2 .

Как найти среднеквадратическое отклонение

Так как же теперь вычислить среднеквадратическое отклонение, зная дисперсию? Как мы помним, взять из нее квадратный корень. То есть среднеквадратическое отклонение равно:

Мм (округлено до ближайшего целого значения в мм).

Применив данный метод, мы выяснили, что некоторые собаки (например, ротвейлеры) – очень большие собаки. Но есть и очень маленькие собаки (например, таксы, только говорить им этого не стоит).

Самое интересное, что среднеквадратическое отклонение несет в себе полезную информацию. Теперь мы можем показать, какие из полученных результатов измерения роста находятся в пределах интервала, который мы получим, если отложим от среднего (в обе стороны от него) среднеквадратическое отклонение.

То есть с помощью среднеквадратического отклонения мы получаем “стандартный” метод, который позволяет узнать, какое из значений является нормальным (среднестатистическим), а какое экстраординарно большим или, наоборот, малым.

Что такое стандартное отклонение

Но… все будет немного иначе, если мы будем анализировать выборку данных. В нашем примере мы рассматривали генеральную совокупность. То есть наши 5 собак были единственными в мире собаками, которые нас интересовали.

Но если данные являются выборкой (значениями, которые выбрали из большой генеральной совокупности), тогда вычисления нужно вести иначе.

Если есть значений, то:

Все остальные расчеты производятся аналогично, в том числе и определение среднего.

Например, если наших пять собак – только выборка из генеральной совокупности собак (всех собак на планете), мы должны делить на 4, а не на 5, а именно:

Дисперсия выборки = мм 2 .

При этом стандартное отклонение по выборке равно мм (округлено до ближайшего целого значения).

Можно сказать, что мы произвели некоторую “коррекцию” в случае, когда наши значения являются всего лишь небольшой выборкой.

Примечание. Почему именно квадраты разностей?

Но почему при вычислении дисперсии мы берём именно квадраты разностей? Допустим при измерении какого-то параметра, вы получили следующий набор значений: 4; 4; -4; -4. Если мы просто сложим абсолютные отклонения от среднего (разности) между собой … отрицательные значения взаимно уничтожатся с положительными:

Получается, этот вариант бесполезен. Тогда, может, стоит попробовать абсолютные значения отклонений (то есть модули этих значений)?

На первый взгляд получается неплохо (полученная величина, кстати, называется средним абсолютным отклонением), но не во всех случаях. Попробуем другой пример. Пусть в результате измерения получился следующий набор значений: 7; 1; -6; -2. Тогда среднее абсолютное отклонение равно:

Вот это да! Снова получили результат 4, хотя разности имеют гораздо больший разброс.

А теперь посмотрим, что получится, если возвести разности в квадрат (и взять потом квадратный корень из их суммы).

Для первого примера получится:

Для второго примера получится:

Теперь – совсем другое дело! Среднеквадратическое отклонение получается тем большим, чем больший разброс имеют разности … к чему мы и стремились.

Фактически в данном методе использована та же идея, что и при вычислении расстояния между точками, только примененная иным способом.

И с математической точки зрения использование квадратов и квадратных корней дает больше пользы, чем мы могли бы получить на основании абсолютных значений отклонений, благодаря чему среднеквадратическое отклонение применимо и для других математических задач.

О том, как найти среднеквадратическое отклонение, вам рассказал , Сергей Валерьевич

Математическое ожидание и дисперсия

Пусть мы измеряем случайную величину N раз, например, десять раз измеряем скорость ветра и хотим найти среднее значение. Как связано среднее значение с функцией распределения?

Будем кидать игральный кубик большое количество раз. Количество очков, которое выпадет на кубике при каждом броске, является случайной величиной и может принимать любые натуральные значения от 1 до 6. Среднее арифметическое выпавших очков, подсчитанных за все броски кубика, тоже является случайной величиной, однако при больших N оно стремится ко вполне конкретному числу – математическому ожиданию M x . В данном случае M x = 3,5.

Каким образом получилась эта величина? Пусть в N испытаниях раз выпало 1 очко, раз – 2 очка и так далее. Тогда При N → ∞ количество исходов, в которых выпало одно очко, Аналогично, Отсюда

Модель 4.5. Игральные кости

Предположим теперь, что мы знаем закон распределения случайной величины x , то есть знаем, что случайная величина x может принимать значения x 1 , x 2 , ..., x k с вероятностями p 1 , p 2 , ..., p k .

Математическое ожидание M x случайной величины x равно:

Ответ. 2,8.

Математическое ожидание не всегда является разумной оценкой какой-нибудь случайной величины. Так, для оценки средней заработной платы разумнее использовать понятие медианы, то есть такой величины, что количество людей, получающих меньшую, чем медиана, зарплату и большую, совпадают.

Медианой случайной величины называют число x 1/2 такое, что p (x < x 1/2) = 1/2.

Другими словами, вероятность p 1 того, что случайная величина x окажется меньшей x 1/2 , и вероятность p 2 того, что случайная величина x окажется большей x 1/2 , одинаковы и равны 1/2. Медиана определяется однозначно не для всех распределений.

Вернёмся к случайной величине x , которая может принимать значения x 1 , x 2 , ..., x k с вероятностями p 1 , p 2 , ..., p k .

Дисперсией случайной величины x называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

Пример 2

В условиях предыдущего примера вычислить дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины x .

Ответ. 0,16, 0,4.

Модель 4.6. Стрельба в мишень

Пример 3

Найти распределение вероятности числа очков, выпавших на кубике с первого броска, медиану, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.

Выпадение любой грани равновероятно, так что распределение будет выглядеть так:

Среднеквадратичное отклонение Видно, что отклонение величины от среднего значения очень велико.

Свойства математического ожидания:

Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

Пример 4

Найти математическое ожидание суммы и произведения очков, выпавшей на двух кубиках.

В примере 3 мы нашли, что для одного кубика M (x ) = 3,5. Значит, для двух кубиков

Свойства дисперсии:

Дисперсия суммы независимых случайных величин равно сумме дисперсий:

D x + y = D x + D y .

Пусть за N бросков на кубике выпало y очков. Тогда

Этот результат верен не только для бросков кубика. Он во многих случаях определяет точность измерения математического ожидания опытным путем. Видно, что при увеличении количества измерений N разброс значений вокруг среднего, то есть среднеквадратичное отклонение, уменьшается пропорционально

Дисперсия случайной величины связана с математическим ожиданием квадрата этой случайной величины следующим соотношением:

Найдём математические ожидания обеих частей этого равенства. По определению,

Математическое же ожидание правой части равенства по свойству математических ожиданий равно

Среднее квадратическое отклонение

Среднеквадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии:
При определении среднего квадратического отклонения при достаточно большом объеме изучаемой совокупности (n > 30) применяются формулы:

Похожая информация.

Определяется как обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Оно равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от средней арифметической, т.е. корень из и может быть найдена так:

1. Для первичного ряда:

2. Для вариационного ряда:

Преобразование формулы среднего квадратичного отклонени приводит ее к виду, более удобному для практических расчетов:

Среднее квадратичное отклонение определяет на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения, и к тому же является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, и поэтому хорошо интерпретируется.

Примеры нахождения cреднего квадратического отклонения: ,

Для альтернативных признаков формула среднего квадратичного отклонения выглядит так:

где р - доля единиц в совокупности, обладающих определенным признаком;

q - доля единиц, не обладающих этим признаком.

Понятие среднего линейного отклонения

Среднее линейное отклонение определяется как средняя арифметическая абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от .

1. Для первичного ряда:

2. Для вариационного ряда:

где сумма n - сумма частот вариационного ряда .

Пример нахождения cреднего линейного отклонения:

Преимущество среднего абсолютного отклонения как меры рассеивания перед размахом вариации, очевидно, так как эта мера основана на учете всех возможных отклонений. Но этот показатель имеет существенные недостатки. Произвольные отбрасывания алгебраических знаков отклонений могут привести к тому, что математические свойства этого показателя являются далеко не элементарными. Это сильно затрудняет использование среднего абсолютного отклонения при решении задач, связанных с вероятностными расчетами.

Поэтому среднее линейное отклонение как мера вариации признака применяется в статистической практике редко, а именно тогда, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл. С его помощью, например, анализируется оборот внешней торговли, состав работающих, ритмичность производства и т. д.

Среднее квадратическое

Среднее квадратическое применяется , например, для вычисления средней величины сторон n квадратных участков, средних диаметров стволов, труб и т. д. Она подразделяется на два вида.

Средняя квадратичная простая. Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратичной средней величиной.

Она является квадратным корнем из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:

Средняя квадратичная взвешенная вычисляется по формуле:

где f - признак веса.

Средняя кубическая

Средняя кубическая применяется , например, при определении средней длины стороны и кубов. Она подразделяется на два вида.
Средняя кубическая простая:

При расчете средних величин и дисперсии в интервальных рядах распределения истинные значения признака заменяются центральными значениями интервалов, которые отличны от средней арифметической значений, включенных в интервал. Это приводит к возникновению систематической погрешности при расчете дисперсии. В.Ф. Шеппард определил, что погрешность в расчете дисперсии , вызванная применением сгруппированных данных, составляет 1/12 квадрата величины интервала как в сторону повышения, так и в сторону понижения величины дисперсии.

Поправка Шеппарда должна применяться, если распределение близко к нормальному, относится к признаку с непрерывным характером вариации, построено по значительному количеству исходных данных (n > 500). Однако исходя из того, что в ряде случаев обе погрешности, действуя в разных направлениях компенсируют друг друга, можно иногда отказаться от введения поправок.

Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее совокупность и тем более типичной будет средняя величина.
В практике статистики часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста рабочих и их квалификации, стажа работы и размера заработной платы, себестоимости и прибыли, стажа работы и производительности труда и т.д. Для таких сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков непригодны: нельзя сравнивать колеблемость стажа работы, выраженного в годах, с вариацией заработной платы, выраженной в рублях.

Для осуществления таких сравнений, а также сравнений колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с разными средним арифметическим используется относительный показатель вариации - коэффициент вариации.

Структурные средние

Для характеристики центральной тенденции в статистических распределениях не редко рационально вместе со средней арифметической использовать некоторое значение признака X, которое в силу определенных особенностей расположения в ряду распределения может характеризовать его уровень.

Это особенно важно тогда, когда в ряду распределения крайние значения признака имеют нечеткие границы. В связи с этим точное определение средней арифметической, как правило, невозможно, либо очень сложно. В таких случаях средний уровень можно определить, взяв, например, значение признака, которое расположено в середине ряда частот или которое чаще всего встречается в текущем ряду.

Такие значения зависят только от характера частот т. е. от структуры распределения. Они типичны по месту расположения в ряду частот, поэтому такие значения рассматриваются в качестве характеристик центра распределения и поэтому получили определение структурных средних. Они применяются для изучения внутреннего строения и структуры рядов распределения значений признака. К таким показателям относятся .

Проведение любого статистического анализа немыслимо без расчетов. В это статье рассмотрим, как рассчитать дисперсию, среднеквадратичное отклонение, коэффиент вариации и другие статистические показатели в Excel.

Максимальное и минимальное значение

Среднее линейное отклонение

Среднее линейное отклонение представляет собой среднее из абсолютных (по модулю) отклонений от в анализируемой совокупности данных. Математическая формула имеет вид:

a – среднее линейное отклонение,

X – анализируемый показатель,

X̅ – среднее значение показателя,

В Эксель эта функция называется СРОТКЛ .

После выбора функции СРОТКЛ указываем диапазон данных, по которому должен произойти расчет. Нажимаем «ОК».

Дисперсия

{module 111}

Возможно, не все знают, что такое , поэтому поясню, — это мера, характеризующая разброс данных вокруг математического ожидания. Однако в распоряжении обычно есть только выборка, поэтому используют следующую формулу дисперсии:

s 2 – выборочная дисперсия, рассчитанная по данным наблюдений,

X – отдельные значения,

X̅ – среднее арифметическое по выборке,

n – количество значений в анализируемой совокупности данных.

Соответствующая функция Excel — ДИСП.Г . При анализе относительно небольших выборок (примерно до 30-ти наблюдений) следует использовать , которая рассчитывается по следующей формуле.

Отличие, как видно, только в знаменателе. В Excel для расчета выборочной несмещенной дисперсии есть функция ДИСП.В .

Выбираем нужный вариант (генеральную или выборочную), указываем диапазон, жмем кнопку «ОК». Полученное значение может оказаться очень большим из-за предварительного возведения отклонений в квадрат. Дисперсия в статистике очень важный показатель, но ее обычно используют не в чистом виде, а для дальнейших расчетов.

Среднеквадратичное отклонение

Среднеквадратичное отклонение (СКО) – это корень из дисперсии. Этот показатель также называют стандартным отклонением и рассчитывают по формуле:

по генеральной совокупности

по выборке

Можно просто извлечь корень из дисперсии, но в Excel для среднеквадратичного отклонения есть готовые функции: СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОН.В (по генеральной и выборочной совокупности соответственно).

Стандартное и среднеквадратичное отклонение, повторюсь, — синонимы.

Далее, как обычно, указываем нужный диапазон и нажимаем на «ОК». Среднеквадратическое отклонение имеет те же единицы измерения, что и анализируемый показатель, поэтому является сопоставимым с исходными данными. Об этом ниже.

Коэффициент вариации

Все показатели, рассмотренные выше, имеют привязку к масштабу исходных данных и не позволяют получить образное представление о вариации анализируемой совокупности. Для получения относительной меры разброса данных используют коэффициент вариации , который рассчитывается путем деления среднеквадратичного отклонения на среднее арифметическое . Формула коэффициента вариации проста:

Для расчета коэффициента вариации в Excel нет готовой функции, что не есть большая проблема. Расчет можно произвести простым делением стандартного отклонения на среднее значение. Для этого в строке формул пишем:

СТАНДОТКЛОН.Г()/СРЗНАЧ()

В скобках указывается диапазон данных. При необходимости используют среднее квадратичное отклонение по выборке (СТАНДОТКЛОН.В).

Коэффициент вариации обычно выражается в процентах, поэтому ячейку с формулой можно обрамить процентным форматом. Нужная кнопка находится на ленте на вкладке «Главная»:

Изменить формат также можно, выбрав из контекстного меню после выделения нужной ячейки и нажатия правой кнопкой мышки.

Коэффициент вариации, в отличие от других показателей разброса значений, используется как самостоятельный и весьма информативный индикатор вариации данных. В статистике принято считать, что если коэффициент вариации менее 33%, то совокупность данных является однородной, если более 33%, то – неоднородной. Эта информация может быть полезна для предварительного описания данных и определения возможностей проведения дальнейшего анализа. Кроме того, коэффициент вариации, измеряемый в процентах, позволяет сравнивать степень разброса различных данных независимо от их масштаба и единиц измерений. Полезное свойство.

Коэффициент осцилляции

Еще один показатель разброса данных на сегодня — коэффициент осцилляции. Это соотношение размаха вариации (разницы между максимальным и минимальным значением) к средней. Готовой формулы Excel нет, поэтому придется скомпоновать три функции: МАКС, МИН, СРЗНАЧ.

Коэффициент осцилляции показывает степень размаха вариации относительно средней, что также можно использовать для сравнения различных наборов данных.

В целом, с помощью Excel многие статистические показатели рассчитываются очень просто. Если что-то непонятно, всегда можно воспользоваться окошком для поиска во вставке функций. Ну, и Гугл в помощь.

Программа Excel высоко ценится как профессионалами, так и любителями, ведь работать с нею может пользователь любого уровня подготовки. Например, каждый желающий с минимальными навыками «общения» с Экселем может нарисовать простенький график, сделать приличную табличку и т.д.

Вместе с тем, эта программа даже позволяет выполнять различного рода расчеты, к примеру, расчет , но для этого уже необходим несколько иной уровень подготовки. Впрочем, если вы только начали тесное знакомство с данной прогой и интересуетесь всем, что поможет вам стать более продвинутым юзером, эта статья для вас. Сегодня я расскажу, что собой представляет среднеквадратичное отклонение формула в excel, зачем она вообще нужна и, собственно говоря, когда применяется. Поехали!

Что это такое

Начнем с теории. Средним квадратичным отклонением принято называть квадратный корень, полученный из среднего арифметического всех квадратов разностей между имеющимися величинами, а также их средним арифметическим. К слову, эту величину принято называть греческой буквой «сигма». Стандартное отклонение рассчитывается по формуле СТАНДОТКЛОН, соответственно, программа делает это за пользователя сама.

Суть же данного понятия заключается в том, чтобы выявить степень изменчивости инструмента, то есть, это, в своем роде, индикатор родом из описательной статистики. Он выявляет изменения волатильности инструмента в каком-либо временном промежутке. С помощью формул СТАНДОТКЛОН можно оценить стандартное отклонение при выборке, при этом логические и текстовые значения игнорируются.

Формула

Помогает рассчитать среднее квадратичное отклонение в excel формула, которая автоматически предусмотрена в программе Excel. Чтобы ее найти, необходимо найти в Экселе раздел формулы, а уже там выбрать ту, которая имеет название СТАНДОТКЛОН, так что очень просто.

После этого перед вами появится окошко, в котором нужно будет ввести данные для вычисления. В частности, в специальные поля следует вписать два числа, после чего программа сама высчитает стандартное отклонение по выборке.

Бесспорно, математические формулы и расчеты – вопрос достаточно сложный, и не все пользователи с ходу могут с ним справиться. Тем не менее, если копнуть немного глубже и чуть более детально разобраться в вопросе, оказывается, что не все так уж и печально. Надеюсь, на примере вычисления среднеквадратичного отклонения вы в этом убедились.