Hanapin ang derivative: algorithm at mga halimbawa ng mga solusyon. Derivative ng natural logarithm at logarithm sa base a

Patunayan ang mga formula 3 at 5 sa iyong sarili.

BATAYANG TUNTUNIN NG PAGKAKAIBA

Gamit ang pangkalahatang paraan ng paghahanap ng derivative gamit ang limitasyon, maaaring makuha ng isa ang pinakasimpleng formula ng pagkita ng kaibhan. Hayaan u=u(x),v=v(x)– dalawang naiba-iba na function ng isang variable x.

Patunayan ang mga formula 1 at 2 sa iyong sarili.

Katibayan ng Formula 3.

Hayaan y = u(x) + v(x). Para sa halaga ng argumento x+Δ x meron kami y(x+Δ x)=u(x+Δ x) + v(x+Δ x).

Δ y=y(x+Δ x) – y(x) = u(x+Δ x) + v(x+Δ x) – u(x) – v(x) = Δ u +Δ v.

Kaya naman,

Katibayan ng formula 4.

Hayaan y=u(x)·v(x). Pagkatapos y(x+Δ x)=u(x+Δ x)· v(x+Δ x), Kaya naman

Δ y=u(x+Δ x)· v(x+Δ x) – u(x)· v(x).

Tandaan na dahil ang bawat isa sa mga function u At v differentiable sa punto x, pagkatapos ay tuloy-tuloy ang mga ito sa puntong ito, ibig sabihin u(x+Δ x)→u(x), v(x+Δ x)→v(x), sa Δ x→0.

Kaya maaari tayong magsulat

Batay sa ari-arian na ito, maaaring makakuha ng isang panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng produkto ng anumang bilang ng mga function.

Hayaan, halimbawa, y=u·v·w. pagkatapos,

y " = u "·( v w) + u·( v·w) " = u "· v·w + u·( v"·w+ v·w") = u "· v·w + u· v"·w+ u·v·w ".

Katibayan ng formula 5.

Hayaan . Pagkatapos

Sa patunay na ginamit namin ang katotohanan na v(x+Δ x)→v(x) sa Δ x→0.

Mga halimbawa.

THEOREM ON THE DERIVATIVE OF COMPLEX FUNCTION

Hayaan y = f(u), A u= u(x). Nakukuha namin ang function y depende sa argumento x: y = f(u(x)). Ang huling function ay tinatawag na function ng isang function o kumplikadong pag-andar.

Domain ng kahulugan ng function y = f(u(x)) ay alinman sa buong domain ng kahulugan ng function u=u(x) o bahaging iyon kung saan tinutukoy ang mga halaga u, hindi umaalis sa domain ng kahulugan ng function y= f(u).

Ang pagpapatakbo ng function-from-function ay maaaring isagawa hindi lamang isang beses, ngunit kahit ilang beses.

Magtatag tayo ng isang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function.

Teorama. Kung ang function u= u(x) ay mayroon sa ilang mga punto x 0 derivative at kinukuha ang halaga sa puntong ito ikaw 0 = u(x 0), at ang function y=f(u) ay nasa punto ikaw 0 derivative y"ikaw = f "(ikaw 0), pagkatapos ay isang kumplikadong function y = f(u(x)) sa tinukoy na punto x 0 mayroon ding derivative, na katumbas ng y"x = f "(ikaw 0)· u "(x 0), saan sa halip na u dapat palitan ang expression u= u(x).

Kaya, ang derivative ng isang kumplikadong function ay katumbas ng produkto ng derivative ng isang ibinigay na function na may paggalang sa intermediate argument. u sa hinango ng intermediate argument na may paggalang sa x.

Patunay. Para sa isang nakapirming halaga X 0 magkakaroon tayo u 0 =u(x 0), sa 0 =f(u 0 ). Para sa isang bagong halaga ng argumento x 0+Δ x:

Δ u= u(x 0 + Δ x) – u(x 0), Δ y=f(ikaw 0+Δ u) – f(ikaw 0).

kasi u– naiba sa isang punto x 0, Iyon u– ay tuloy-tuloy sa puntong ito. Samakatuwid, sa Δ x→0 Δ u→0. Katulad din para sa Δ u→0 Δ y→0.

Sa pamamagitan ng kondisyon . Mula sa kaugnayang ito, gamit ang kahulugan ng limitasyon, nakukuha natin (sa Δ u→0)

kung saan α→0 sa Δ u→0, at, dahil dito, sa Δ x→0.

Muli nating isulat ang pagkakapantay-pantay na ito bilang:

Δ y=y"uΔ u+α·Δ u.

Ang resultang pagkakapantay-pantay ay may bisa din para sa Δ u=0 para sa arbitrary na α, dahil ito ay nagiging pagkakakilanlan na 0=0. Sa Δ u=0 ipagpalagay natin na α=0. Hatiin natin ang lahat ng mga termino ng nagresultang pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng Δ x

.

Sa pamamagitan ng kondisyon . Samakatuwid, ang pagpasa sa limitasyon sa Δ x→0, nakukuha namin y"x = y"u·u" x. Ang teorama ay napatunayan.

Kaya, para magkaiba kumplikadong pag-andar y = f(u(x)), kailangan mong kunin ang derivative ng "panlabas" na function f, tinatrato ang argumento nito bilang isang variable, at i-multiply sa derivative ng "panloob" na function na may paggalang sa independent variable.

Kung ang function y=f(x) maaaring katawanin sa anyo y=f(u), u=u(v), v=v(x), pagkatapos ay ang paghahanap ng derivative y " x ay isinasagawa sa pamamagitan ng sequential application ng nakaraang theorem.

Ayon sa napatunayang tuntunin, mayroon tayo y"x = y"ikaw u"x. Paglalapat ng parehong teorama para sa u"x namin makuha, i.e.

y"x = y"x u"v v"x = f"ikaw( u)· u"v ( v)· v"x( x).

Mga halimbawa.

ANG KONSEPTO NG ISANG INVERSE FUNCTION

Magsimula tayo sa isang halimbawa. Isaalang-alang ang function y= x 3. Isasaalang-alang natin ang pagkakapantay-pantay y= x 3 bilang kamag-anak ng equation x. Ito ang equation para sa bawat halaga sa tumutukoy sa isang solong halaga x: . Sa geometriko, nangangahulugan ito na ang bawat tuwid na linya ay kahanay sa axis baka nag-intersect sa graph ng isang function y= x 3 sa isang punto lamang. Samakatuwid maaari nating isaalang-alang x bilang isang katangian ng y. Ang isang function ay tinatawag na kabaligtaran ng isang function y= x 3.

Bago lumipat sa pangkalahatang kaso, ipinakilala namin ang mga kahulugan.

Function y = f(x) tinawag dumarami sa isang partikular na segment, kung ang mas malaking halaga ng argument x mula sa segment na ito ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function, i.e. Kung x 2 >x 1, pagkatapos f(x 2 ) > f(x 1 ).

Ang function ay tinatawag na katulad bumababa, kung ang isang mas maliit na halaga ng argument ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function, i.e. Kung X 2 < X 1, pagkatapos f(x 2 ) > f(x 1 ).

Kaya, bigyan tayo ng pagtaas o pagbaba ng function y=f(x), tinukoy sa ilang pagitan [ a; b]. Para sa katiyakan, isasaalang-alang namin ang isang pagtaas ng pag-andar (para sa isang bumababa ang lahat ay magkatulad).

Isaalang-alang ang dalawang magkaibang halaga X 1 at X 2. Hayaan y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). Mula sa kahulugan ng isang pagtaas ng function ay sumusunod na kung x 1 <x 2, pagkatapos sa 1 <sa 2. Samakatuwid, dalawang magkaibang mga halaga X 1 at X 2 ay tumutugma sa dalawang magkaibang mga halaga ng function sa 1 at sa 2. Ang kabaligtaran ay totoo rin, i.e. Kung sa 1 <sa 2, pagkatapos ay mula sa kahulugan ng isang pagtaas ng function na ito ay sumusunod na x 1 <x 2. Yung. muli dalawang magkaibang halaga sa 1 at sa 2 ay tumutugma sa dalawang magkaibang mga halaga x 1 at x 2. Kaya, sa pagitan ng mga halaga x at ang kanilang mga katumbas na halaga y isang isa-sa-isang sulat ay itinatag, i.e. ang equation y=f(x) para sa bawat isa y(kinuha mula sa hanay ng function y=f(x)) tumutukoy sa isang solong halaga x, at masasabi natin iyan x mayroong ilang function ng argumento y: x= g(y).

Ang function na ito ay tinatawag reverse para sa function y=f(x). Malinaw, ang pag-andar y=f(x) ay ang kabaligtaran ng function x=g(y).

Tandaan na ang inverse function x=g(y) natagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng equation y=f(x) medyo X.

Halimbawa. Hayaang maibigay ang function y= e x . Ang function na ito ay tumataas sa –∞< x <+∞. Она имеет обратную функцию x= log y. Domain ng inverse function 0< y < + ∞.

Gumawa tayo ng ilang komento.

Tandaan 1. Kung ang isang tumataas (o bumababa) na function y=f(x) ay tuloy-tuloy sa pagitan [ a; b], at f(a)=c, f(b)=d, pagkatapos ay ang inverse function ay tinukoy at tuloy-tuloy sa pagitan [ c; d].

Tandaan 2. Kung ang function y=f(x) ay hindi tumataas o bumababa sa isang tiyak na agwat, kung gayon maaari itong magkaroon ng ilang kabaligtaran na mga pag-andar.

Halimbawa. Function y=x2 tinukoy sa –∞<x<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x≤ 0 function – bumababa at kabaligtaran nito.

Tandaan 3. Kung ang mga function y=f(x) At x=g(y) ay magkabaligtaran, pagkatapos ay ipinapahayag nila ang parehong relasyon sa pagitan ng mga variable x At y. Samakatuwid, ang graph ng pareho ay parehong curve. Ngunit kung tukuyin natin ang argumento ng kabaligtaran na pag-andar muli ng x, at ang function sa pamamagitan ng y at i-plot ang mga ito sa parehong coordinate system, makakakuha tayo ng dalawang magkaibang graph. Madaling mapansin na ang mga graph ay magiging simetriko kaugnay ng bisector ng 1st coordinate angle.

TEOREM SA DERIVATIVE INVERSE FUNCTION

Patunayan natin ang isang teorama na nagpapahintulot sa amin na mahanap ang derivative ng function y=f(x), alam ang derivative ng inverse function.

Teorama. Kung para sa function y=f(x) mayroong isang kabaligtaran na pag-andar x=g(y), na sa isang punto sa Ang 0 ay may derivative g "(v 0), nonzero, pagkatapos ay sa kaukulang punto x 0=g(x 0) function y=f(x) may derivative f "(x 0), katumbas ng , ibig sabihin. tama ang formula.

Patunay. kasi x=g(y) differentiable sa punto y 0, Iyon x=g(y) ay tuloy-tuloy sa puntong ito, kaya ang function y=f(x) tuloy-tuloy sa isang punto x 0=g(y 0). Samakatuwid, sa Δ x→0 Δ y→0.

Ipakita natin yan .

Hayaan . Pagkatapos, sa pamamagitan ng pag-aari ng limitasyon . Ipasa natin ang pagkakapantay-pantay na ito sa limitasyon sa Δ y→0. Pagkatapos Δ x→0 at α(Δx)→0, ibig sabihin. .

Kaya naman,

,

Q.E.D.

Ang formula na ito ay maaaring isulat sa form .

Tingnan natin ang aplikasyon ng teorama na ito gamit ang mga halimbawa.

Mga kumplikadong derivative. Logarithmic derivative.
Derivative ng isang power-exponential function

Patuloy naming pinapabuti ang aming diskarte sa pagkita ng kaibhan. Sa araling ito, pagsasama-samahin natin ang materyal na ating tinakpan, titingnan ang mas kumplikadong mga derivative, at makikilala rin ang mga bagong diskarte at trick para sa paghahanap ng derivative, lalo na, sa logarithmic derivative.

Ang mga mambabasa na may mababang antas ng paghahanda ay dapat sumangguni sa artikulo Paano mahahanap ang derivative? Mga halimbawa ng solusyon, na magbibigay-daan sa iyo na itaas ang iyong mga kasanayan halos mula sa simula. Susunod, kailangan mong maingat na pag-aralan ang pahina Derivative ng isang kumplikadong function, unawain at lutasin Lahat ang mga halimbawang ibinigay ko. Ang araling ito ay lohikal na ang pangatlo sa isang hilera, at pagkatapos ng mastering ito ay may kumpiyansa kang mag-iba ng medyo kumplikadong mga function. Hindi kanais-nais na kunin ang posisyon na “Saan pa? Tama na!", dahil ang lahat ng mga halimbawa at solusyon ay kinuha mula sa mga totoong pagsubok at madalas na nakatagpo sa pagsasanay.

Magsimula tayo sa pag-uulit. Sa aralin Derivative ng isang kumplikadong function Tumingin kami sa isang bilang ng mga halimbawa na may mga detalyadong komento. Sa kurso ng pag-aaral ng differential calculus at iba pang sangay ng mathematical analysis, kailangan mong mag-iba nang madalas, at hindi palaging maginhawa (at hindi palaging kinakailangan) upang ilarawan ang mga halimbawa nang detalyado. Samakatuwid, magsasanay kami sa paghahanap ng mga derivative nang pasalita. Ang pinaka-angkop na "mga kandidato" para dito ay mga derivatives ng pinakasimpleng mga kumplikadong function, halimbawa:

Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng mga kumplikadong pag-andar :

Kapag nag-aaral ng iba pang mga paksa ng matan sa hinaharap, ang gayong detalyadong tala ay kadalasang hindi kinakailangan; ipinapalagay na alam ng mag-aaral kung paano maghanap ng mga naturang derivatives sa autopilot. Isipin natin na sa alas-3 ng umaga ay tumunog ang telepono at isang kaaya-ayang boses ang nagtanong: "Ano ang derivative ng tangent ng dalawang X?" Dapat itong sundan ng halos madalian at magalang na tugon: .

Ang unang halimbawa ay agad na inilaan para sa independiyenteng solusyon.

Halimbawa 1

Hanapin ang mga sumusunod na derivatives nang pasalita, sa isang aksyon, halimbawa: . Upang makumpleto ang gawain kailangan mo lamang gamitin talahanayan ng mga derivatives ng elementarya function(kung hindi mo pa ito naaalala). Kung mayroon kang anumang mga paghihirap, inirerekumenda kong basahin muli ang aralin Derivative ng isang kumplikadong function.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Mga sagot sa pagtatapos ng aralin

Mga kumplikadong derivative

Pagkatapos ng paunang paghahanda ng artilerya, ang mga halimbawa na may 3-4-5 na mga pugad ng mga function ay hindi gaanong nakakatakot. Ang sumusunod na dalawang halimbawa ay maaaring mukhang kumplikado sa ilan, ngunit kung naiintindihan mo ang mga ito (may magdurusa), kung gayon halos lahat ng iba pa sa differential calculus ay magmumukhang biro ng isang bata.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function

Tulad ng nabanggit na, kapag naghahanap ng derivative ng isang kumplikadong function, una sa lahat, ito ay kinakailangan Tama UNAWAIN ang iyong mga pamumuhunan. Sa mga kaso kung saan may mga pagdududa, ipinaaalala ko sa iyo ang isang kapaki-pakinabang na pamamaraan: kinukuha namin ang pang-eksperimentong halaga ng "x", halimbawa, at subukan (sa isip o sa isang draft) na palitan ang halagang ito sa "kakila-kilabot na expression".

1) Una kailangan nating kalkulahin ang expression, na nangangahulugang ang kabuuan ay ang pinakamalalim na pag-embed.

2) Pagkatapos ay kailangan mong kalkulahin ang logarithm:

4) Pagkatapos ay i-cube ang cosine:

5) Sa ikalimang hakbang ang pagkakaiba:

6) At sa wakas, ang pinakalabas na function ay ang square root:

Formula para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function ay inilapat sa reverse order, mula sa pinakalabas na function hanggang sa pinakaloob. Nagpasya kami:

Parang walang mali...

(1) Kunin ang derivative ng square root.

(2) Kinukuha namin ang derivative ng pagkakaiba gamit ang panuntunan

(3) Ang derivative ng isang triple ay zero. Sa pangalawang termino ay kinukuha namin ang derivative ng degree (cube).

(4) Kunin ang derivative ng cosine.

(5) Kunin ang derivative ng logarithm.

(6) At sa wakas, kinukuha namin ang derivative ng pinakamalalim na pag-embed.

Maaaring mukhang napakahirap, ngunit hindi ito ang pinaka-brutal na halimbawa. Kunin, halimbawa, ang koleksyon ni Kuznetsov at mapapahalagahan mo ang lahat ng kagandahan at pagiging simple ng nasuri na hinalaw. Napansin ko na gusto nilang magbigay ng katulad na bagay sa isang pagsusulit upang suriin kung naiintindihan ng isang mag-aaral kung paano hanapin ang derivative ng isang kumplikadong function o hindi naiintindihan.

Ang sumusunod na halimbawa ay para sa iyo upang malutas sa iyong sarili.

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function

Hint: Inilapat muna namin ang mga panuntunan sa linearity at ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto

Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Panahon na upang lumipat sa isang bagay na mas maliit at mas maganda.
Ito ay hindi pangkaraniwan para sa isang halimbawa upang ipakita ang produkto ng hindi dalawa, ngunit tatlong mga function. Paano mahahanap ang derivative ng produkto ng tatlong mga kadahilanan?

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function

Una nating tingnan, posible bang gawing produkto ng dalawang function ang produkto ng tatlong function? Halimbawa, kung mayroon kaming dalawang polynomial sa produkto, maaari naming buksan ang mga bracket. Ngunit sa halimbawang isinasaalang-alang, ang lahat ng mga pag-andar ay iba: degree, exponent at logarithm.

Sa ganitong mga kaso ito ay kinakailangan sunud-sunod ilapat ang panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto dalawang beses

Ang lansihin ay na sa pamamagitan ng "y" ay tinutukoy namin ang produkto ng dalawang function: , at sa pamamagitan ng "ve" ay tinutukoy namin ang logarithm: . Bakit ito magagawa? Talaga ba – hindi ito produkto ng dalawang salik at hindi gumagana ang panuntunan?! Walang kumplikado:

Ngayon ay nananatili itong ilapat ang panuntunan sa pangalawang pagkakataon sa bracket:

Maaari ka ring mapilipit at maglagay ng isang bagay mula sa mga bracket, ngunit sa kasong ito, mas mahusay na iwanan ang sagot nang eksakto sa form na ito - mas madaling suriin.

Ang itinuturing na halimbawa ay maaaring malutas sa pangalawang paraan:

Ang parehong mga solusyon ay ganap na katumbas.

Halimbawa 5

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon; sa sample ito ay nalutas gamit ang unang paraan.

Tingnan natin ang mga katulad na halimbawa na may mga fraction.

Halimbawa 6

Hanapin ang derivative ng isang function

Mayroong ilang mga paraan na maaari mong puntahan dito:

O tulad nito:

Ngunit ang solusyon ay isusulat nang mas compact kung gagamitin muna natin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient , pagkuha para sa buong numerator:

Sa prinsipyo, ang halimbawa ay nalutas, at kung ito ay naiwan na, hindi ito magiging isang pagkakamali. Ngunit kung mayroon kang oras, palaging ipinapayong tingnan ang isang draft upang makita kung ang sagot ay maaaring pasimplehin? Bawasan natin ang expression ng numerator sa isang common denominator at tanggalin na natin ang tatlong palapag na fraction:

Ang kawalan ng mga karagdagang pagpapasimple ay may panganib na magkamali hindi kapag naghahanap ng hinalaw, ngunit sa panahon ng mga pagbabago sa paaralan. Sa kabilang banda, madalas na tinatanggihan ng mga guro ang takdang-aralin at hinihiling na "iisipan" ang hinalaw.

Isang mas simpleng halimbawa upang malutas nang mag-isa:

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function

Patuloy naming pinagkadalubhasaan ang mga paraan ng paghahanap ng derivative, at ngayon ay isasaalang-alang namin ang isang tipikal na kaso kapag ang "kakila-kilabot" logarithm ay iminungkahi para sa pagkita ng kaibhan

Halimbawa 8

Hanapin ang derivative ng isang function

Dito maaari kang pumunta sa mahabang paraan, gamit ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function:

Ngunit ang pinakaunang hakbang ay agad na naglalagay sa iyo sa kawalan ng pag-asa - kailangan mong kunin ang hindi kasiya-siyang derivative mula sa isang fractional power, at pagkatapos ay mula sa isang fraction.

kaya lang dati kung paano kunin ang derivative ng isang "sopistikadong" logarithm, ito ay unang pinasimple gamit ang mga kilalang katangian ng paaralan:

! Kung mayroon kang hawak na notebook ng pagsasanay, direktang kopyahin ang mga formula na ito doon. Kung wala kang notebook, kopyahin ang mga ito sa isang piraso ng papel, dahil ang natitirang mga halimbawa ng aralin ay iikot sa mga formula na ito.

Ang solusyon mismo ay maaaring isulat tulad nito:

Ibahin natin ang function:

Paghahanap ng derivative:

Ang paunang pag-convert ng function mismo ay lubos na pinasimple ang solusyon. Kaya, kapag ang isang katulad na logarithm ay iminungkahi para sa pagkita ng kaibhan, ito ay palaging ipinapayong "masira ito".

At ngayon ang ilang simpleng halimbawa para malutas mo nang mag-isa:

Halimbawa 9

Hanapin ang derivative ng isang function

Halimbawa 10

Hanapin ang derivative ng isang function

Ang lahat ng pagbabago at sagot ay nasa dulo ng aralin.

Logarithmic derivative

Kung ang derivative ng logarithms ay tulad ng matamis na musika, kung gayon ang tanong ay lumitaw: posible ba sa ilang mga kaso na ayusin ang logarithm nang artipisyal? Pwede! At kahit kailangan.

Halimbawa 11

Hanapin ang derivative ng isang function

Kamakailan ay tumingin kami sa mga katulad na halimbawa. Anong gagawin? Maaari mong sunud-sunod na ilapat ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng quotient, at pagkatapos ay ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng produkto. Ang kawalan ng pamamaraang ito ay napupunta ka sa isang malaking bahagi ng tatlong palapag, na hindi mo gustong harapin.

Ngunit sa teorya at kasanayan mayroong isang kahanga-hangang bagay tulad ng logarithmic derivative. Ang mga logarithm ay maaaring artipisyal na ayusin sa pamamagitan ng "pagbitin" sa mga ito sa magkabilang panig:

Ngayon ay kailangan mong "maghiwa-hiwalay" ang logarithm ng kanang bahagi hangga't maaari (mga formula sa harap ng iyong mga mata?). Ilalarawan ko ang prosesong ito nang detalyado:

Magsimula tayo sa pagkakaiba-iba.
Tinatapos namin ang parehong bahagi sa ilalim ng prime:

Ang derivative ng kanang bahagi ay medyo simple; hindi ako magkomento tungkol dito, dahil kung binabasa mo ang tekstong ito, dapat mong mahawakan ito nang may kumpiyansa.

Paano ang kaliwang bahagi?

Sa kaliwang bahagi mayroon kami kumplikadong pag-andar. Nakikita ko ang tanong: "Bakit, may isang letra bang "Y" sa ilalim ng logarithm?"

Ang katotohanan ay ang "isang larong ito" - AY MISMONG FUNCTION(kung ito ay hindi masyadong malinaw, sumangguni sa artikulong Derivative ng isang function na implicitly na tinukoy). Samakatuwid, ang logarithm ay isang panlabas na function, at ang "y" ay isang panloob na function. At ginagamit namin ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function :

Sa kaliwang bahagi, na parang sa pamamagitan ng magic, mayroon kaming isang derivative. Susunod, ayon sa panuntunan ng proporsyon, inililipat namin ang "y" mula sa denominator ng kaliwang bahagi hanggang sa tuktok ng kanang bahagi:

At ngayon tandaan natin kung anong uri ng "manlalaro" -function ang napag-usapan natin sa panahon ng pagkita ng kaibhan? Tingnan natin ang kondisyon:

Panghuling sagot:

Halimbawa 12

Hanapin ang derivative ng isang function

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Ang isang halimbawang disenyo ng isang halimbawa ng ganitong uri ay nasa dulo ng aralin.

Gamit ang logarithmic derivative, posible na malutas ang alinman sa mga halimbawa No. 4-7, isa pang bagay ay ang mga function doon ay mas simple, at, marahil, ang paggamit ng logarithmic derivative ay hindi masyadong makatwiran.

Derivative ng isang power-exponential function

Hindi pa namin isinasaalang-alang ang function na ito. Ang power-exponential function ay isang function kung saan parehong ang degree at ang base ay nakasalalay sa "x". Isang klasikong halimbawa na ibibigay sa iyo sa anumang aklat-aralin o panayam:

Paano mahahanap ang derivative ng isang power-exponential function?

Kinakailangang gamitin ang pamamaraan na tinalakay lamang - ang logarithmic derivative. Nag-hang kami ng mga logarithms sa magkabilang panig:

Bilang isang patakaran, sa kanang bahagi ang degree ay kinuha mula sa ilalim ng logarithm:

Bilang isang resulta, sa kanang bahagi mayroon kaming produkto ng dalawang pag-andar, na magkakaiba ayon sa karaniwang formula .

Nahanap namin ang derivative; upang gawin ito, isinama namin ang parehong mga bahagi sa ilalim ng mga stroke:

Ang mga karagdagang aksyon ay simple:

Sa wakas:

Kung ang anumang conversion ay hindi lubos na malinaw, mangyaring muling basahin nang mabuti ang mga paliwanag ng Halimbawa #11.

Sa mga praktikal na gawain, ang power-exponential function ay palaging magiging mas kumplikado kaysa sa halimbawa ng lecture na isinasaalang-alang.

Halimbawa 13

Hanapin ang derivative ng isang function

Ginagamit namin ang logarithmic derivative.

Sa kanang bahagi mayroon kaming isang pare-pareho at ang produkto ng dalawang mga kadahilanan - "x" at "logarithm ng logarithm x" (isa pang logarithm ay naka-nest sa ilalim ng logarithm). Kapag nag-iiba, tulad ng naaalala natin, mas mahusay na agad na ilipat ang pare-pareho mula sa derivative sign upang hindi ito makasagabal; at, siyempre, inilalapat namin ang pamilyar na panuntunan :

Tulad ng nakikita mo, ang algorithm para sa paggamit ng logarithmic derivative ay hindi naglalaman ng anumang mga espesyal na trick o trick, at ang paghahanap ng derivative ng isang power-exponential function ay karaniwang hindi nauugnay sa "torment."

Patunay at derivation ng mga formula para sa derivative ng exponential (e sa x power) at exponential function (a sa x power). Mga halimbawa ng pagkalkula ng mga derivative ng e^2x, e^3x at e^nx. Mga formula para sa mga derivatives ng mas matataas na order.

Ang derivative ng isang exponent ay katumbas ng exponent mismo (ang derivative ng e sa x power ay katumbas ng e sa x power):
(1) (e x )′ = e x.

Ang derivative ng isang exponential function na may base a ay katumbas ng function mismo na pinarami ng natural na logarithm ng a:
(2) .

Derivation ng formula para sa derivative ng exponential, e sa x power

Ang exponential ay isang exponential function na ang base ay katumbas ng bilang e, na siyang sumusunod na limitasyon:
.
Dito maaari itong maging natural na numero o totoong numero. Susunod, nakukuha namin ang formula (1) para sa derivative ng exponential.

Derivation ng exponential derivative formula

Isaalang-alang ang exponential, e sa x power:
y = e x .
Ang function na ito ay tinukoy para sa lahat. Hanapin natin ang derivative nito patungkol sa variable na x. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang derivative ay ang sumusunod na limitasyon:
(3) .

Ibahin natin ang ekspresyong ito upang bawasan ito sa mga kilalang katangian at panuntunan sa matematika. Upang gawin ito kailangan namin ang mga sumusunod na katotohanan:
A) Exponent property:
(4) ;
B) Katangian ng logarithm:
(5) ;
SA) Pagpapatuloy ng logarithm at pag-aari ng mga limitasyon para sa tuluy-tuloy na pag-andar:
(6) .
Narito ang isang function na may limitasyon at ang limitasyong ito ay positibo.
G) Ang kahulugan ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon:
(7) .

Ilapat natin ang mga katotohanang ito sa ating limitasyon (3). Ginagamit namin ang ari-arian (4):
;
.

Gumawa tayo ng substitution. Pagkatapos ; .
Dahil sa pagpapatuloy ng exponential,
.
Samakatuwid, kapag , . Bilang resulta, nakukuha namin ang:
.

Gumawa tayo ng substitution. Tapos . Sa , . At mayroon kaming:
.

Ilapat natin ang logarithm property (5):
. Pagkatapos
.

Ilapat natin ang ari-arian (6). Dahil mayroong positibong limitasyon at ang logarithm ay tuloy-tuloy, kung gayon:
.
Dito rin namin ginamit ang pangalawang kapansin-pansing limitasyon (7). Pagkatapos
.

Kaya, nakuha namin ang formula (1) para sa derivative ng exponential.

Derivation ng formula para sa derivative ng isang exponential function

Ngayon ay nakukuha namin ang formula (2) para sa derivative ng exponential function na may base ng degree a. Naniniwala kami na at . Pagkatapos ay ang exponential function
(8)
Tinukoy para sa lahat.

Ibahin natin ang formula (8). Para dito gagamitin namin katangian ng exponential function at logarithm.
;
.
Kaya, binago namin ang formula (8) sa sumusunod na anyo:
.

Higher order derivatives ng e sa x power

Ngayon, hanapin natin ang mga derivatives ng mas matataas na order. Tingnan muna natin ang exponent:
(14) .
(1) .

Nakikita natin na ang derivative ng function (14) ay katumbas ng function (14) mismo. Sa pagkakaiba (1), nakakakuha tayo ng mga derivatives ng pangalawa at pangatlong order:
;
.

Ipinapakita nito na ang nth order derivative ay katumbas din ng orihinal na function:
.

Higher order derivatives ng exponential function

Ngayon isaalang-alang ang isang exponential function na may base ng degree a:
.
Natagpuan namin ang first-order derivative nito:
(15) .

Sa differentiating (15), nakakakuha tayo ng derivatives ng ikalawa at ikatlong order:
;
.

Nakikita namin na ang bawat pagkakaiba ay humahantong sa pagpaparami ng orihinal na function sa pamamagitan ng . Samakatuwid, ang nth order derivative ay may sumusunod na anyo:
.

Kapag hinango ang pinakaunang formula ng talahanayan, magpapatuloy tayo mula sa kahulugan ng derivative function sa isang punto. Dalhin natin kung saan x– anumang tunay na numero, iyon ay, x– anumang numero mula sa domain ng kahulugan ng function. Isulat natin ang limitasyon ng ratio ng increment ng function sa increment ng argument sa :

Dapat pansinin na sa ilalim ng limit sign ang expression ay nakuha, na hindi ang kawalan ng katiyakan ng zero na hinati ng zero, dahil ang numerator ay hindi naglalaman ng isang infinitesimal na halaga, ngunit tiyak na zero. Sa madaling salita, ang pagtaas ng isang pare-parehong pag-andar ay palaging zero.

kaya, derivative ng isang pare-parehong functionay katumbas ng zero sa buong domain ng kahulugan.

Derivative ng isang power function.

Ang formula para sa derivative ng isang power function ay may anyo , kung saan ang exponent p– anumang tunay na numero.

Patunayan muna natin ang formula para sa natural na exponent, iyon ay, para sa p = 1, 2, 3, …

Gagamitin natin ang kahulugan ng derivative. Isulat natin ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng isang function ng kapangyarihan sa pagtaas ng argumento:

Upang gawing simple ang expression sa numerator, bumaling tayo sa Newton binomial formula:

Kaya naman,

Pinatutunayan nito ang formula para sa derivative ng isang power function para sa isang natural na exponent.

Derivative ng isang exponential function.

Ipinakita namin ang derivation ng derivative formula batay sa kahulugan:

Dumating kami sa kawalan ng katiyakan. Upang palawakin ito, ipinakilala namin ang isang bagong variable, at sa . Tapos . Sa huling paglipat, ginamit namin ang formula para sa paglipat sa isang bagong logarithmic base.

Palitan natin ang orihinal na limitasyon:

Kung naaalala natin ang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon, dumating tayo sa formula para sa derivative ng exponential function:

Derivative ng isang logarithmic function.

Patunayan natin ang formula para sa derivative ng isang logarithmic function para sa lahat x mula sa domain ng kahulugan at lahat ng wastong halaga ng base a logarithm Sa pamamagitan ng kahulugan ng derivative mayroon kaming:

Tulad ng napansin mo, sa panahon ng patunay ang mga pagbabago ay isinagawa gamit ang mga katangian ng logarithm. Pagkakapantay-pantay ay totoo dahil sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon.

Mga derivative ng trigonometriko function.

Upang makakuha ng mga formula para sa mga derivatives ng trigonometriko function, kailangan nating alalahanin ang ilang mga formula ng trigonometry, pati na rin ang unang kapansin-pansing limitasyon.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng derivative para sa sine function na mayroon tayo .

Gamitin natin ang pagkakaiba ng sinus formula:

Ito ay nananatiling lumiko sa unang kapansin-pansing limitasyon:

Kaya, ang derivative ng function kasalanan x meron kasi x.

Ang formula para sa derivative ng cosine ay napatunayan sa eksaktong parehong paraan.

Samakatuwid, ang derivative ng function kasi x meron – kasalanan x.

Magkukuha tayo ng mga formula para sa talahanayan ng mga derivatives para sa tangent at cotangent gamit ang mga napatunayang panuntunan ng pagkita ng kaibhan (derivative ng isang fraction).

Mga derivative ng hyperbolic function.

Ang mga patakaran ng pagkita ng kaibhan at ang formula para sa derivative ng exponential function mula sa talahanayan ng mga derivatives ay nagbibigay-daan sa amin upang makakuha ng mga formula para sa mga derivatives ng hyperbolic sine, cosine, tangent at cotangent.

Derivative ng inverse function.

Upang maiwasan ang pagkalito sa panahon ng pagtatanghal, tukuyin natin sa subscript ang argumento ng function kung saan ginagawa ang pagkita ng kaibhan, iyon ay, ito ay ang derivative ng function. f(x) Sa pamamagitan ng x.

Ngayon ay magbalangkas tayo panuntunan para sa paghahanap ng derivative ng isang inverse function.

Hayaan ang mga function y = f(x) At x = g(y) magkabaligtaran, tinukoy sa pagitan at ayon sa pagkakabanggit. Kung sa isang punto ay mayroong isang finite non-zero derivative ng function f(x), pagkatapos ay sa puntong mayroong isang finite derivative ng inverse function g(y), at . Sa ibang post .

Ang panuntunang ito ay maaaring reformulated para sa alinman x mula sa pagitan , pagkatapos ay makuha namin .

Suriin natin ang bisa ng mga formula na ito.

Hanapin natin ang inverse function para sa natural na logarithm (Dito y ay isang function, at x- argumento). Nang malutas ang equation na ito para sa x, nakukuha natin (dito x ay isang function, at y- ang kanyang argumento). Yan ay, at magkabaligtaran na mga pag-andar.

Mula sa talahanayan ng mga derivatives makikita natin iyon At .

Siguraduhin natin na ang mga formula para sa paghahanap ng mga derivatives ng inverse function ay magdadala sa atin sa parehong mga resulta:

Kung susundin mo ang kahulugan, kung gayon ang derivative ng isang function sa isang punto ay ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function na Δ y sa argumentong pagtaas Δ x:

Tila malinaw na ang lahat. Ngunit subukang gamitin ang formula na ito upang kalkulahin, sabihin, ang derivative ng function f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x kasalanan x. Kung gagawin mo ang lahat sa pamamagitan ng kahulugan, pagkatapos pagkatapos ng ilang mga pahina ng mga kalkulasyon ay matutulog ka lang. Samakatuwid, may mga mas simple at mas epektibong paraan.

Upang magsimula sa, tandaan namin na mula sa buong iba't ibang mga pag-andar maaari naming makilala ang tinatawag na elementarya na mga pag-andar. Ang mga ito ay medyo simpleng mga expression, ang mga derivatives na kung saan ay matagal nang kinakalkula at na-tabulate. Ang ganitong mga function ay medyo madaling matandaan - kasama ang kanilang mga derivatives.

Mga derivatives ng elementary functions

Ang mga elementary function ay ang lahat ng nakalista sa ibaba. Ang mga derivatives ng mga function na ito ay dapat na kilala sa puso. Bukod dito, hindi mahirap kabisaduhin ang mga ito - kaya't sila ay elementarya.

Kaya, ang mga derivatives ng elementarya na pag-andar:

Kung ang isang elementary function ay pinarami ng isang arbitrary na pare-pareho, kung gayon ang derivative ng bagong function ay madaling kalkulahin:

(C · f)’ = C · f ’.

Sa pangkalahatan, ang mga constant ay maaaring alisin sa tanda ng derivative. Halimbawa:

(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Malinaw, ang mga elementary function ay maaaring idagdag sa isa't isa, multiply, hinati - at marami pang iba. Ito ay kung paano lilitaw ang mga bagong function, hindi na partikular na elementarya, ngunit naiiba din ayon sa ilang mga patakaran. Ang mga patakarang ito ay tinalakay sa ibaba.

Derivative ng kabuuan at pagkakaiba

Hayaang ibigay ang mga function f(x) At g(x), ang mga derivatives nito ay alam natin. Halimbawa, maaari mong kunin ang mga elementary function na tinalakay sa itaas. Pagkatapos ay mahahanap mo ang derivative ng kabuuan at pagkakaiba ng mga function na ito:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Kaya, ang derivative ng kabuuan (difference) ng dalawang function ay katumbas ng sum (difference) ng mga derivatives. Baka marami pang terms. Halimbawa, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Sa mahigpit na pagsasalita, walang konsepto ng "pagbabawas" sa algebra. Mayroong isang konsepto ng "negatibong elemento". Samakatuwid ang pagkakaiba f − g maaaring isulat muli bilang kabuuan f+ (−1) g, at pagkatapos ay isang formula na lang ang natitira - ang derivative ng kabuuan.

f(x) = x 2 + kasalanan x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Function f(x) ay ang kabuuan ng dalawang elementarya na pag-andar, samakatuwid:

f ’(x) = (x 2 + kasalanan x)’ = (x 2)’ + (kasalanan x)’ = 2x+ cos x;

Pareho kaming nangangatuwiran para sa pag-andar g(x). Tanging mayroon nang tatlong termino (mula sa punto ng view ng algebra):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Sagot:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Derivative ng produkto

Ang matematika ay isang lohikal na agham, kaya maraming tao ang naniniwala na kung ang derivative ng isang sum ay katumbas ng sum ng derivatives, kung gayon ang derivative ng produkto strike">katumbas ng produkto ng mga derivatives. Ngunit sirain mo! Ang derivative ng isang produkto ay kinakalkula gamit ang isang ganap na naiibang formula. Namely:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Ang formula ay simple, ngunit ito ay madalas na nakalimutan. At hindi lamang mga mag-aaral, kundi pati na rin ang mga mag-aaral. Ang resulta ay hindi wastong nalutas ang mga problema.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Function f(x) ay ang produkto ng dalawang elementarya na pag-andar, kaya ang lahat ay simple:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3) dahil x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− kasalanan x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x)

Function g(x) ang unang multiplier ay medyo mas kumplikado, ngunit ang pangkalahatang pamamaraan ay hindi nagbabago. Malinaw, ang unang kadahilanan ng pag-andar g(x) ay isang polynomial at ang derivative nito ay ang derivative ng sum. Meron kami:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Sagot:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x kasalanan x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Pakitandaan na sa huling hakbang ang derivative ay factorized. Pormal, hindi ito kailangang gawin, ngunit karamihan sa mga derivatives ay hindi kinakalkula sa kanilang sarili, ngunit upang suriin ang function. Nangangahulugan ito na ang karagdagang derivative ay itutumbas sa zero, ang mga palatandaan nito ay matutukoy, at iba pa. Para sa ganoong kaso, mas mainam na magkaroon ng expression na factorized.

Kung may dalawang function f(x) At g(x), at g(x) ≠ 0 sa set na interesado kami, maaari naming tukuyin ang isang bagong function h(x) = f(x)/g(x). Para sa naturang function maaari mo ring mahanap ang derivative:

Hindi mahina, ha? Saan nagmula ang minus? Bakit g 2? At ganito! Ito ay isa sa mga pinaka-kumplikadong formula - hindi mo maiisip ito nang walang bote. Samakatuwid, mas mahusay na pag-aralan ito na may mga tiyak na halimbawa.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function:

Ang numerator at denominator ng bawat fraction ay naglalaman ng mga elementary function, kaya ang kailangan lang natin ay ang formula para sa derivative ng quotient:

Ayon sa tradisyon, i-factorize natin ang numerator - ito ay lubos na magpapasimple sa sagot:

Ang isang kumplikadong function ay hindi nangangahulugang isang kalahating kilometrong haba na formula. Halimbawa, ito ay sapat na upang kunin ang function f(x) = kasalanan x at palitan ang variable x, sabihin, sa x 2 + ln x. Ito ay gagana f(x) = kasalanan ( x 2 + ln x) - ito ay isang kumplikadong function. Mayroon din itong derivative, ngunit hindi ito posibleng mahanap gamit ang mga panuntunang tinalakay sa itaas.

Anong gagawin ko? Sa ganitong mga kaso, ang pagpapalit ng variable at formula para sa derivative ng isang kumplikadong function ay nakakatulong:

f ’(x) = f ’(t) · t', Kung x ay pinalitan ng t(x).

Bilang isang tuntunin, ang sitwasyon na may pag-unawa sa formula na ito ay mas malungkot kaysa sa derivative ng quotient. Samakatuwid, mas mainam din na ipaliwanag ito gamit ang mga partikular na halimbawa, na may detalyadong paglalarawan ng bawat hakbang.

Gawain. Maghanap ng mga derivatives ng mga function: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = kasalanan ( x 2 + ln x)

Tandaan na kung sa function f(x) sa halip na expression 2 x+ 3 ay magiging madali x, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang elementarya function f(x) = e x. Samakatuwid, gumawa kami ng kapalit: hayaan 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Hinahanap namin ang derivative ng isang kumplikadong function gamit ang formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

At ngayon - pansin! Ginagawa namin ang reverse replacement: t = 2x+ 3. Nakukuha namin ang:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Ngayon tingnan natin ang function g(x). Malinaw na kailangan itong palitan x 2 + ln x = t. Meron kami:

g ’(x) = g ’(t) · t’ = (kasalanan t)’ · t' = kasi t · t ’

Baliktad na kapalit: t = x 2 + ln x. Pagkatapos:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Iyon lang! Tulad ng makikita mula sa huling expression, ang buong problema ay nabawasan sa pagkalkula ng derivative sum.

Sagot:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) dahil ( x 2 + ln x).

Kadalasan sa aking mga aralin, sa halip na ang terminong "derivative," ginagamit ko ang salitang "prime." Halimbawa, ang stroke ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga stroke. Mas malinaw ba iyon? Well, mabuti iyon.

Kaya, ang pagkalkula ng derivative ay bumababa sa pag-alis ng parehong mga stroke ayon sa mga patakarang tinalakay sa itaas. Bilang huling halimbawa, bumalik tayo sa derivative power na may rational exponent:

(x n)’ = n · x n − 1

Iilan lang ang nakakaalam niyan sa role n maaaring isang fractional number. Halimbawa, ang ugat ay x 0.5. Paano kung may magarbong bagay sa ilalim ng ugat? Muli, ang resulta ay magiging isang kumplikadong pag-andar - gusto nilang magbigay ng gayong mga konstruksyon sa mga pagsusulit at pagsusulit.

Gawain. Hanapin ang derivative ng function:

Una, muling isulat natin ang ugat bilang isang kapangyarihan na may makatwirang exponent:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Ngayon gumawa kami ng kapalit: hayaan x 2 + 8x − 7 = t. Nahanap namin ang derivative gamit ang formula:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0.5)’ · t’ = 0.5 · t−0.5 · t ’.

Gawin natin ang reverse replacement: t = x 2 + 8x− 7. Mayroon kaming:

f ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) −0.5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0.5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Sa wakas, bumalik sa mga ugat: