Vector na produkto ng mga normal. Cross product ng mga vector, kahulugan, mga katangian

Kahulugan. Ang produkto ng vector ng isang vector a (multiplier) ng isang vector (multiplier) na hindi collinear dito ay ang pangatlong vector c (produkto), na itinayo bilang mga sumusunod:

1) ang modulus nito ay katumbas ng numero sa lugar ng parallelogram sa fig. 155), na binuo sa mga vector, ibig sabihin, ito ay katumbas ng direksyon na patayo sa eroplano ng nabanggit na paralelogram;

3) sa kasong ito, ang direksyon ng vector c ay pinili (mula sa dalawang posibleng mga isa) upang ang mga vectors c ay bumuo ng isang kanang kamay na sistema (§ 110).

Pagtatalaga: o

Addendum sa kahulugan. Kung ang mga vector ay collinear, pagkatapos ay isinasaalang-alang ang figure bilang isang (kondisyon) parallelogram, natural na magtalaga ng zero na lugar. Samakatuwid, ang produkto ng vector ng mga collinear vector ay itinuturing na katumbas ng null vector.

Dahil ang null vector ay maaaring italaga sa anumang direksyon, ang convention na ito ay hindi sumasalungat sa mga aytem 2 at 3 ng kahulugan.

Remark 1. Sa terminong "vector product", ang unang salita ay nagpapahiwatig na ang resulta ng isang aksyon ay isang vector (kumpara sa isang scalar product; cf. § 104, remark 1).

Halimbawa 1. Hanapin ang produkto ng vector kung saan ang mga pangunahing vector ng tamang sistema ng coordinate (Fig. 156).

1. Dahil ang mga haba ng mga pangunahing vector ay katumbas ng scale unit, ang lugar ng parallelogram (parisukat) ay numerong katumbas ng isa. Samakatuwid, ang modulus ng produkto ng vector ay katumbas ng isa.

2. Dahil ang patayo sa eroplano ay ang axis, ang nais na produkto ng vector ay isang vector collinear sa vector k; at dahil pareho silang may modulus 1, ang kinakailangang cross product ay alinman sa k o -k.

3. Sa dalawang posibleng vector na ito, dapat piliin ang una, dahil ang mga vector k ay bumubuo ng isang tamang sistema (at ang mga vector ay bumubuo ng isang kaliwa).

Halimbawa 2. Hanapin ang cross product

Solusyon. Tulad ng sa halimbawa 1, napagpasyahan namin na ang vector ay alinman sa k o -k. Ngunit ngayon kailangan nating pumili -k, dahil ang mga vector ay bumubuo ng tamang sistema (at ang mga vector ay bumubuo sa kaliwa). Kaya,

Halimbawa 3 Ang mga vector ay may haba na 80 at 50 cm, ayon sa pagkakabanggit, at bumubuo ng isang anggulo na 30°. Pagkuha ng metro bilang isang yunit ng haba, hanapin ang haba ng produkto ng vector a

Solusyon. Ang lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vector ay katumbas ng Ang haba ng nais na produkto ng vector ay katumbas ng

Halimbawa 4. Hanapin ang haba ng cross product ng parehong mga vector, na kumukuha ng isang sentimetro bilang isang yunit ng haba.

Solusyon. Dahil ang lugar ng parallelogram na binuo sa mga vector ay katumbas ng haba ng produkto ng vector ay 2000 cm, i.e.

Ang paghahambing ng mga halimbawa 3 at 4 ay nagpapakita na ang haba ng vector ay nakasalalay hindi lamang sa mga haba ng mga kadahilanan, kundi pati na rin sa pagpili ng yunit ng haba.

Ang pisikal na kahulugan ng produkto ng vector. Sa maraming pisikal na dami na kinakatawan ng produkto ng vector, isasaalang-alang lamang natin ang sandali ng puwersa.

Hayaan ang A ang punto ng aplikasyon ng puwersa. Ang sandali ng puwersa na nauugnay sa punto O ay tinatawag na produkto ng vector. Dahil ang module ng produktong vector na ito ay katumbas ng numero sa lugar ng parallelogram (Larawan 157), ang module ng sandali ay katumbas ng produkto ng base sa pamamagitan ng taas, ibig sabihin, ang puwersa na pinarami ng distansya mula sa puntong O hanggang sa tuwid na linya kung saan kumikilos ang puwersa.

Sa mekanika, pinatunayan na para sa balanse ng isang matibay na katawan, kinakailangan na hindi lamang ang kabuuan ng mga vector na kumakatawan sa mga puwersa na inilapat sa katawan, kundi pati na rin ang kabuuan ng mga sandali ng mga puwersa ay dapat na katumbas ng zero. Sa kaso kapag ang lahat ng pwersa ay parallel sa parehong eroplano, ang pagdaragdag ng mga vector na kumakatawan sa mga sandali ay maaaring mapalitan ng pagdaragdag at pagbabawas ng kanilang moduli. Ngunit para sa mga di-makatwirang direksyon ng mga puwersa, ang gayong kapalit ay imposible. Alinsunod dito, ang cross product ay tiyak na tinukoy bilang isang vector, at hindi bilang isang numero.

Malinaw, sa kaso ng isang cross product, ang pagkakasunud-sunod kung saan kinuha ang mga vector ay mahalaga, bukod dito,

Gayundin, direkta mula sa kahulugan ay sumusunod na para sa anumang scalar factor k (numero) ang sumusunod ay totoo:

Ang cross product ng collinear vectors ay katumbas ng zero vector. Bukod dito, ang cross product ng dalawang vectors ay zero kung at kung sila ay collinear. (Kung sakaling ang isa sa kanila ay isang zero vector kailangang tandaan na ang zero vector ay collinear sa anumang vector sa pamamagitan ng kahulugan).

Vector produkto ay may distributive na ari-arian, yan ay

Ang pagpapahayag ng cross product sa mga tuntunin ng mga coordinate ng mga vectors.

Hayaang magbigay ng dalawang vector

(kung paano hanapin ang mga coordinate ng isang vector sa pamamagitan ng mga coordinate ng simula at pagtatapos nito - tingnan ang artikulong Dot product ng mga vectors, talata Alternatibong kahulugan ng dot product, o pagkalkula ng dot product ng dalawang vectors na ibinigay ng kanilang mga coordinate. )

Bakit kailangan mo ng produkto ng vector?

Mayroong maraming mga paraan upang gamitin ang cross product, halimbawa, tulad ng nakasulat sa itaas, sa pamamagitan ng pagkalkula ng cross product ng dalawang vectors, maaari mong malaman kung collinear ang mga ito.

O maaari itong magamit bilang isang paraan upang makalkula ang lugar ng isang paralelogram na binuo mula sa mga vector na ito. Batay sa kahulugan, ang haba ng nagresultang vector ay ang lugar ng parallelogram na ito.

Online na calculator ng produkto ng vector.

Upang mahanap ang scalar product ng dalawang vectors gamit ang calculator na ito, kailangan mong ipasok ang mga coordinate ng unang vector sa unang linya sa pagkakasunud-sunod, at ang pangalawa sa pangalawa. Ang mga coordinate ng mga vector ay maaaring kalkulahin mula sa kanilang simula at pagtatapos na mga coordinate (tingnan ang artikulo Produkto ng tuldok ng mga vector , item Isang alternatibong kahulugan ng produkto ng tuldok, o pagkalkula ng produkto ng tuldok ng dalawang vector na ibinigay sa kanilang mga coordinate.)

7.1. Kahulugan ng cross product

Tatlong non-coplanar vectors a , b at c , na kinuha sa ipinahiwatig na pagkakasunud-sunod, ay bumubuo ng right triple kung mula sa dulo ng ikatlong vector c ang pinakamaikling pagliko mula sa unang vector a hanggang sa pangalawang vector b ay makikita na counterclockwise, at isang kaliwa kung clockwise (tingnan ang Fig. 16).

Ang vector product ng isang vector a at vector b ay tinatawag na vector c, na:

1. Patayo sa mga vectors a at b, ibig sabihin, c ^ a at c ^ b;

2. Ito ay may haba ayon sa bilang na katumbas ng lugar ng paralelogram na binuo sa mga vectors a atb tulad ng sa mga gilid (tingnan ang fig. 17), i.e.

3. Ang mga vectors a , b at c ay bumubuo ng right triple.

Ang produkto ng vector ay tinutukoy ng isang x b o [a,b]. Mula sa kahulugan ng isang produkto ng vector, ang mga sumusunod na ugnayan sa pagitan ng mga orts ay direktang sinusunod ko, j at k(tingnan ang fig. 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Patunayan natin, halimbawa, iyon i xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k |=1, ngunit | ako x j| = |i | |J| kasalanan(90°)=1;

3) mga vector i , j at k bumuo ng tamang triple (tingnan ang Fig. 16).

7.2. Mga katangian ng cross product

1. Kapag ang mga kadahilanan ay muling inayos, ang produkto ng vector ay nagbabago ng tanda, i.e. at xb \u003d (b xa) (tingnan ang Fig. 19).

Ang mga vector a xb at b xa ay collinear, may parehong mga module (ang lugar ng parallelogram ay nananatiling hindi nagbabago), ngunit magkasalungat na direksyon (triples a, b, at xb at a, b, b x a ng kabaligtaran na oryentasyon). Yan ay axb = -(bxa).

2. Ang produkto ng vector ay may kumbinasyon na pag-aari na may paggalang sa isang scalar factor, i.e. l ​​​​(a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

Hayaan ang l >0. Ang vector l (a xb) ay patayo sa mga vectors a at b. Vector ( l a) x b ay patayo din sa mga vectors a at b(mga vector a, l ngunit nakahiga sa parehong eroplano). Kaya ang mga vectors l(a xb) at ( l a) x b collinear. Halata naman na magkasabay ang kanilang mga direksyon. Sila ay may parehong haba:

kaya lang l(a xb)= l isang xb. Ito ay napatunayang katulad para sa l<0.

3. Dalawang di-zero na vector a at b ay collinear kung at kung ang kanilang produkto ng vector ay katumbas ng zero vector, ibig sabihin, at ||b<=>at xb \u003d 0.

Sa partikular, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Ang produkto ng vector ay may katangian ng pamamahagi:

(a+b) xs = isang xs + b xs .

Tanggapin nang walang patunay.

7.3. Cross product expression sa mga tuntunin ng mga coordinate

Gagamitin namin ang vector cross product table i , j at k:

kung ang direksyon ng pinakamaikling landas mula sa unang vector hanggang sa pangalawa ay tumutugma sa direksyon ng arrow, kung gayon ang produkto ay katumbas ng ikatlong vector, kung hindi ito tumugma, ang ikatlong vector ay kinuha na may minus sign.

Hayaan ang dalawang vectors a =a x i +a y j+az k at b=bx i+ni j+bz k. Hanapin natin ang produkto ng vector ng mga vector na ito sa pamamagitan ng pagpaparami sa kanila bilang mga polynomial (ayon sa mga katangian ng produkto ng vector):

Ang resultang pormula ay maaaring maisulat nang mas maikli:

dahil ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (7.1) ay tumutugma sa pagpapalawak ng third-order na determinant sa mga tuntunin ng mga elemento ng unang hilera. Ang pagkakapantay-pantay (7.2) ay madaling matandaan.

7.4. Ang ilang mga aplikasyon ng cross product

Pagtatatag ng collinearity ng mga vectors

Paghahanap ng lugar ng isang paralelogram at isang tatsulok

Ayon sa kahulugan ng cross product ng mga vectors a at b |a xb | =| isang | * |b |sin g , ibig sabihin, S par = |a x b |. At, samakatuwid, D S \u003d 1/2 | a x b |.

Pagtukoy sa sandali ng puwersa tungkol sa isang punto

Hayaang maglapat ng puwersa sa punto A F =AB bumitaw O- ilang punto sa espasyo (tingnan ang Fig. 20).

Ito ay kilala mula sa pisika na metalikang kuwintas F kaugnay sa punto O tinatawag na vector M , na dumadaan sa punto O at:

1) patayo sa eroplano na dumadaan sa mga punto O, A, B;

2) ayon sa bilang na katumbas ng produkto ng puwersa at braso

3) bumubuo ng tamang triple na may mga vectors na OA at A B .

Samakatuwid, M \u003d OA x F.

Paghahanap ng linear na bilis ng pag-ikot

Bilis v point M ng isang matibay na katawan na umiikot sa isang angular na bilis w sa paligid ng isang nakapirming axis, ay tinutukoy ng Euler formula v \u003d w x r, kung saan r \u003d OM, kung saan ang O ay ilang nakapirming punto ng axis (tingnan ang Fig. 21).

produkto ng vector ay isang pseudovector na patayo sa eroplano na binuo ng dalawang salik, na resulta ng binary operation na "vector multiplication" sa mga vector sa three-dimensional na Euclidean space. Ang produkto ng vector ay walang mga katangian ng commutativity at associativity (ito ay anticommutative) at, hindi katulad ng scalar product ng mga vector, ay isang vector. Malawakang ginagamit sa maraming teknikal at pisikal na aplikasyon. Halimbawa, ang angular momentum at ang puwersa ng Lorentz ay mathematically na isinulat bilang isang cross product. Ang cross product ay kapaki-pakinabang para sa "pagsusukat" ng perpendicularity ng mga vectors - ang modulus ng cross product ng dalawang vectors ay katumbas ng produkto ng kanilang moduli kung sila ay patayo, at bumababa sa zero kung ang mga vectors ay parallel o anti-parallel.

Maaari mong tukuyin ang isang produkto ng vector sa iba't ibang paraan, at ayon sa teorya, sa isang puwang ng anumang dimensyon n, maaari mong kalkulahin ang produkto ng mga n-1 na vector, habang kumukuha ng isang solong vector na patayo sa kanilang lahat. Ngunit kung ang produkto ay limitado sa mga di-trivial na binary na produkto na may mga resulta ng vector, ang tradisyonal na produkto ng vector ay tinukoy lamang sa tatlong-dimensional at pitong-dimensional na espasyo. Ang resulta ng produkto ng vector, tulad ng produktong scalar, ay nakasalalay sa sukatan ng espasyo ng Euclidean.

Hindi tulad ng formula para sa pagkalkula ng scalar product mula sa mga coordinate ng mga vector sa isang three-dimensional na rectangular coordinate system, ang formula para sa vector product ay nakasalalay sa oryentasyon ng rectangular coordinate system, o, sa madaling salita, ang "chirality" nito.

Kahulugan:
Ang vector product ng vector a at vector b sa space R 3 ay tinatawag na vector c na nakakatugon sa mga sumusunod na kinakailangan:
ang haba ng vector c ay katumbas ng produkto ng mga haba ng mga vectors a at b at ang sine ng anggulo φ sa pagitan nila:
|c|=|a||b|sin φ;
ang vector c ay orthogonal sa bawat isa sa mga vectors a at b;
ang vector c ay nakadirekta upang ang triple ng mga vectors abc ay tama;
sa kaso ng space R7, ang pagkakaugnay ng triple ng mga vectors a,b,c ay kinakailangan.
pagtatalaga:
c===a×b

kanin. 1. Ang lugar ng isang paralelogram ay katumbas ng modulus ng cross product

Mga geometric na katangian ng cross product:
Ang isang kinakailangan at sapat na kundisyon para sa collinearity ng dalawang di-zero na vector ay ang pagkakapantay-pantay ng kanilang produkto ng vector sa zero.

Cross product module katumbas ng lugar S parallelogram na binuo sa mga vector na nabawasan sa isang karaniwang pinagmulan a at b(tingnan ang fig. 1).

Kung ang e- unit vector orthogonal sa mga vectors a at b at pinili upang ang triple a,b,e- tama, at S- ang lugar ng parallelogram na binuo sa kanila (binawasan sa isang karaniwang pinagmulan), kung gayon ang sumusunod na formula ay totoo para sa produkto ng vector:
=S e

Fig.2. Ang dami ng parallelepiped kapag ginagamit ang vector at scalar product ng mga vectors; ang mga tuldok na linya ay nagpapakita ng mga projection ng vector c sa a × b at ang vector a sa b × c, ang unang hakbang ay upang mahanap ang mga panloob na produkto

Kung ang c- anumang vector π - anumang eroplano na naglalaman ng vector na ito, e- unit vector na nakahiga sa eroplano π at orthogonal sa c,g- unit vector orthogonal sa eroplano π at nakadirekta upang ang triple ng mga vectors ecg ay tama, pagkatapos ay para sa anumang nakahiga sa eroplano π vector a ang tamang formula ay:
=Pr e a |c|g
kung saan ang Pr e a ay ang projection ng vector e sa a
|c|-modulus ng vector c

Kapag gumagamit ng mga produkto ng vector at scalar, maaari mong kalkulahin ang dami ng isang parallelepiped na binuo sa mga vector na nabawasan sa isang karaniwang pinagmulan a, b at c. Ang nasabing produkto ng tatlong vectors ay tinatawag na mixed.
V=|a (b×c)|
Ang figure ay nagpapakita na ang volume na ito ay matatagpuan sa dalawang paraan: ang geometric na resulta ay napanatili kahit na ang "scalar" at "vector" na mga produkto ay ipinagpalit:
V=a×b c=a b×c

Ang halaga ng cross product ay nakasalalay sa sine ng anggulo sa pagitan ng orihinal na mga vector, kaya ang cross product ay maaaring ituring bilang ang antas ng "perpendicularity" ng mga vector, tulad ng tuldok na produkto ay maaaring isipin bilang ang antas ng "paralelismo". Ang cross product ng dalawang unit vector ay katumbas ng 1 (isang unit vector) kung ang mga paunang vector ay patayo, at katumbas ng 0 (zero vector) kung ang mga vector ay parallel o antiparallel.

Cross product expression sa Cartesian coordinate
Kung dalawang vector a at b ay tinukoy sa pamamagitan ng kanilang mga parihabang Cartesian coordinate, o mas tiyak, ang mga ito ay kinakatawan sa isang orthonormal na batayan
a=(a x ,a y ,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
at tama yung coordinate system, tapos yung vector product nila yung may form
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Upang matandaan ang formula na ito:
i =∑ε ijk a j b k
saan ε ijk- ang simbolo ng Levi-Civita.

Kahulugan. Ang produkto ng vector ng isang vector a at vector b ay isang vector na tinutukoy ng simbolo [«, b] (o l x b), kung kaya't 1) ang haba ng vector [a, b] ay katumbas ng (p, kung saan ang y ay ang anggulo sa pagitan ng mga vectors a at b ( 31); 2) ang vector [a, b) ay patayo sa mga vectors a at b, i.e. patayo sa eroplano ng mga vector na ito; 3) ang vector [a, b] ay nakadirekta sa paraang mula sa dulo ng vector na ito ang pinakamaikling pagliko mula a hanggang b ay makikitang nangyayari sa counterclockwise (Larawan 32). kanin. 32 Fig.31 Sa madaling salita, ang mga vectors a, b at [а, b) ay bumubuo ng tamang triple ng mga vector, i.e. matatagpuan tulad ng hinlalaki, hintuturo at gitnang daliri ng kanang kamay. Kung ang mga vectors a at b ay collinear, ipagpalagay namin na [a, b] = 0. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang haba ng produkto ng vector ay numerically katumbas ng lugar Sa ng parallelogram (Fig. 33) na binuo sa multiplied vectors a at b tulad ng sa mga gilid: 6.1 . Mga katangian ng isang produkto ng vector 1. Ang isang produkto ng vector ay katumbas ng isang zero vector kung at kung hindi bababa sa isa sa mga pinarami na vector ay zero o kapag ang mga vector na ito ay collinear (kung ang mga vector a at b ay collinear, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay alinman sa 0 o 7r). Ito ay madaling makuha mula sa katotohanan na Kung isasaalang-alang natin ang zero vector collinsar sa anumang vector, kung gayon ang kondisyon para sa collinarity ng mga vectors a at b ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod 2. Ang produkto ng vector ay anticommutative, ibig sabihin, palagi. Sa katunayan, ang mga vectors (a, b) at may parehong haba at collinear. Ang mga direksyon ng mga vector na ito ay kabaligtaran, dahil mula sa dulo ng vector [a, b] ang pinakamaikling pagliko mula sa a hanggang b ay makikita na nagaganap sa counterclockwise, at mula sa dulo ng vector [b, a] - clockwise (Fig. 34). 3. Ang produkto ng vector ay may distributive na katangian na may kinalaman sa karagdagan 4. Ang numerical factor A ay maaaring alisin sa tanda ng vector product 6.2. Vector na produkto ng mga vector na ibinigay ng mga coordinate Hayaang ang mga vectors a at b ay ibigay sa pamamagitan ng kanilang mga coordinate sa batayan. Gamit ang ari-arian ng pamamahagi ng produkto ng vector, nakita namin ang produkto ng vector ng mga vector na ibinigay ng mga coordinate. Pinaghalong trabaho. Isulat natin ang mga produkto ng vector ng mga coordinate orts (Larawan 35): Samakatuwid, para sa produkto ng vector ng mga vectors a at b, nakukuha natin mula sa formula (3) ang sumusunod na expression na determinant sa mga elemento ng 1st row, nakukuha natin ( 4). Mga halimbawa. 1. Hanapin ang lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vector Hanapin ang lugar ng tatsulok (Larawan 36). Malinaw na ang lugar b "d ng tatsulok na JSC ay katumbas ng kalahati ng lugar S ng parallelogram O AC B. Pagkalkula ng produkto ng vector (a, b | ng mga vectors a \u003d OA at b \u003d b \u003d ob), nakukuha natin ang (a, b), c) = [a, |b, c)) ay hindi totoo sa pangkalahatang kaso. Halimbawa, para sa a = ss j mayroon tayong § 7. Mixed product of vectors Let we may tatlong vectors a, b at c. Multiply ang vectors a at 1> vectorially. Bilang resulta, nakuha natin ang vector [a, 1>]. I-multiply natin ito nang scalarly sa vector c: (k b), c. Ang numero ([a, b], e) ay tinatawag na pinaghalong produkto ng mga vectors a, b. c at ipinapahiwatig ng simbolo (a, 1), e) 7.1 Ang geometric na kahulugan ng pinaghalong produkto ang mga vectors a, b at mula sa pangkalahatang punto O (Larawan 37). Kung ang lahat ng apat na puntos O, A, B, C ay nasa parehong eroplano ( ang mga vectors a, b at c ay tinatawag sa kasong ito na coplanar), kung gayon ang pinaghalong produkto ([a, b], c) = 0. Ito ay sumusunod sa katotohanan na ang vector [a, b| ay patayo sa eroplano kung saan ang mga vectors a at 1 ay namamalagi ", at samakatuwid ay ang vector c. / Kung t Ang mga puntos na O, A, B, C ay hindi nakahiga sa parehong eroplano (mga vector a, b at c ay hindi coplanar), gagawa kami ng parallelepiped sa mga gilid ng OA, OB at OS (Fig. 38 a). Sa pamamagitan ng kahulugan ng cross product, mayroon tayong (a,b) = So c, kung saan ang So ay ang lugar ng parallelogram OADB, at c ay isang unit vector na patayo sa mga vectors a at b at tulad na ang triple a , b, c ay tama, ibig sabihin. vectors a, b at c ay matatagpuan ayon sa pagkakabanggit bilang ang hinlalaki, hintuturo at gitnang mga daliri ng kanang kamay (Larawan 38 b). Ang pagpaparami ng parehong bahagi ng huling pagkakapantay-pantay sa kanang scalar ng vector c, nakuha natin na ang produkto ng vector ng mga vector na ibinigay ng mga coordinate. Pinaghalong trabaho. Ang bilang na rc c ay katumbas ng taas h ng constructed parallelepiped, na kinukuha gamit ang "+" sign kung ang anggulo sa pagitan ng mga vectors c at c ay acute (ang triple a, b, c ay tama), at may sign na " -” kung ang anggulo ay obtuse (ang triple a, b, c - kaliwa), upang Kaya, ang pinaghalong produkto ng mga vectors a, b at c ay katumbas ng volume V ng parallelepiped na binuo sa mga vector na ito tulad ng sa mga gilid kung ang triple a, b, c ay tama, at -V kung ang triple a , b, c - kaliwa. Batay sa geometric na kahulugan ng pinaghalong produkto, maaari nating tapusin na sa pamamagitan ng pagpaparami ng parehong mga vectors a, b at c sa anumang iba pang pagkakasunud-sunod, palagi tayong makakakuha ng alinman sa +7 o -K. Ang tanda ng pro- Fig. 38 na sanggunian ay magdedepende lamang kung aling triplet ang bubuo ng mga multiplied na vector - kanan o kaliwa. Kung ang mga vectors a, b, c ay bumubuo ng tamang triple, ang triple b, c, a at c, a, b ay magiging tama din. Kasabay nito, lahat ng tatlong triplets b, a, c; a, c, b at c, b, a - kaliwa. Kaya, (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = - (b, a, c) = - (a, c, b) = - (c, b , a). Muli naming binibigyang-diin na ang pinaghalong produkto ng mga vector ay katumbas ng zero kung at lamang kung ang mga multiplied na vectors a, b, c ay coplanar: (a, b, c ay coplanar) 7.2. Pinaghalong Produkto sa Mga Coordinate Hayaang ibigay ang mga vectors a, b, c sa pamamagitan ng kanilang mga coordinate sa batayan na i, j, k: a = (x\,y\,z]), b= (x2,y2>z2), c = (x3, uz, 23). Maghanap tayo ng expression para sa kanilang pinaghalong produkto (a, b, c). Mayroon kaming isang halo-halong produkto ng mga vector na ibinigay ng kanilang mga coordinate sa batayan ng i, J, k, katumbas ng third-order determinant, ang mga linya na kung saan ay binubuo, ayon sa pagkakabanggit, ng mga coordinate ng una, pangalawa at pangatlo ng pinarami. mga vector. Ang kinakailangan at sapat na kundisyon para sa complanarity ng mga vectors a y\, Z|), b = (xx, y2.22), c = (x3, uz, 23) ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo z, ar2 y2 -2 =0. Halimbawa ng Uz. Suriin kung ang mga vectors v = (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17) ay coplanar. Ang mga vector na isinasaalang-alang ay magiging coplanar o non-coplanar, depende sa kung ang determinant ay katumbas ng zero o hindi. Ang pagpapalawak nito sa mga tuntunin ng mga elemento ng unang hilera, nakukuha namin 7.3. Double cross product Ang double cross product [a, [b, c]] ay isang vector na patayo sa mga vectors a at [b, c]. Samakatuwid, ito ay namamalagi sa eroplano ng mga vectors b at c at maaaring mapalawak sa mga vectors na ito. Maaaring ipakita na ang formula [a, [!>, c]] = b(a, e) - c(a, b) ay wasto. Mga Pagsasanay 1. Tatlong vectors AB = c, W? = o at CA = b nagsisilbing mga gilid ng tatsulok. Ipahayag sa mga tuntunin ng a, b at c ang mga vector na tumutugma sa mga median na AM, DN, CP ng tatsulok. 2. Anong kondisyon ang dapat na konektado sa pagitan ng mga vectors p at q upang ang vector p + q ay hatiin ang anggulo sa pagitan ng mga ito sa kalahati? Ipinapalagay na ang lahat ng tatlong mga vector ay nauugnay sa isang karaniwang pinagmulan. 3. Kalkulahin ang haba ng mga dayagonal ng parallelogram na binuo sa mga vectors a = 5p + 2q at b = p - 3q, kung alam na |p| = 2v/2, |q| = 3 H-(p7ci) = f. 4. Ang pagtukoy ng a at b sa mga gilid ng rhombus na umuusbong mula sa isang karaniwang vertex, patunayan na ang mga dayagonal ng rhombus ay magkaparehong patayo. 5. Kalkulahin ang dot product ng mga vectors a = 4i + 7j + 3k at b = 31 - 5j + k. 6. Hanapin ang unit vector a0 parallel sa vector a = (6, 7, -6). 7. Hanapin ang projection ng vector a = l+ j- kHa vector b = 21 - j - 3k. 8. Hanapin ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector IS "w, kung A (-4.0.4), B (-1.6.7), C (1.10.9). 9. Humanap ng unit vector p° na magkasabay na patayo sa vector a = (3, 6, 8) at ang x-axis. 10. Kalkulahin ang sine ng anggulo sa pagitan ng mga dayagonal ng parallelopham na binuo sa mga vectors a = 2i+J-k, b=i-3j + k tulad ng sa mga gilid. Kalkulahin ang taas h ng parallelepiped na binuo sa mga vectors a = 31 + 2j - 5k, b = i-j + 4knc = i-3j + k, kung ang parallelogram na binuo sa mga vectors a at I ay kinuha bilang base). Mga sagot