Ang lugar ng figure na inilalarawan sa figure ay online. Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya

a)

Desisyon.

Ang una at pinakamahalagang sandali ng desisyon ay ang pagtatayo ng isang pagguhit.

Gumawa tayo ng drawing:

Ang equation y=0 nagtatakda ng x-axis;

- x=-2 at x=1 - tuwid, parallel sa axis OU;

- y \u003d x 2 +2 - isang parabola na ang mga sanga ay nakadirekta paitaas, na may vertex sa punto (0;2).

Magkomento. Upang makabuo ng isang parabola, sapat na upang mahanap ang mga punto ng intersection nito sa mga coordinate axes, i.e. paglalagay x=0 hanapin ang intersection sa axis OU at pagpapasya ng angkop quadratic equation, hanapin ang intersection sa axis Oh .

Ang vertex ng isang parabola ay matatagpuan gamit ang mga formula:

Maaari kang gumuhit ng mga linya at punto sa punto.

Sa pagitan [-2;1] ang graph ng function y=x 2 +2 matatagpuan sa ibabaw ng axis baka , Kaya naman:

Sagot: S \u003d 9 square units

Matapos makumpleto ang gawain, palaging kapaki-pakinabang na tingnan ang pagguhit at alamin kung ang sagot ay totoo. Sa kasong ito, "sa pamamagitan ng mata" binibilang namin ang bilang ng mga cell sa pagguhit - mabuti, mga 9 ang mai-type, tila totoo. Ito ay lubos na malinaw na kung mayroon tayo, sabihin nating, ang sagot: 20 square units, kung gayon, malinaw naman, isang pagkakamali ang ginawa sa isang lugar - 20 mga cell ay malinaw na hindi magkasya sa figure na pinag-uusapan, hindi hihigit sa isang dosenang. Kung ang sagot ay naging negatibo, kung gayon ang gawain ay nalutas din nang hindi tama.

Ano ang gagawin kung matatagpuan ang curvilinear trapezoid sa ilalim ng ehe Oh?

b) Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya y=-e x , x=1 at coordinate axes.

Desisyon.

Gumawa tayo ng drawing.

Kung isang curvilinear trapezoid ganap sa ilalim ng ehe Oh , kung gayon ang lugar nito ay matatagpuan sa pamamagitan ng pormula:

Sagot: S=(e-1) sq. unit" 1.72 sq. unit

Pansin! Huwag malito ang dalawang uri ng mga gawain:

1) Kung hihilingin sa iyo na lutasin nang simple tiyak na integral walang kahit ano geometriko na kahulugan, pagkatapos ay maaari itong maging negatibo.

2) Kung hihilingin sa iyo na hanapin ang lugar ng isang figure gamit ang isang tiyak na integral, kung gayon ang lugar ay palaging positibo! Iyon ang dahilan kung bakit lumilitaw ang minus sa formula na isinasaalang-alang lamang.

Sa pagsasagawa, kadalasan ang figure ay matatagpuan sa parehong itaas at mas mababang kalahating eroplano.

kasama) Hanapin ang lugar ng isang figure ng eroplano na may hangganan ng mga linya y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Desisyon.

Una kailangan mong gumawa ng pagguhit. Sa pangkalahatan, kapag gumagawa ng isang guhit sa mga problema sa lugar, kami ay pinaka-interesado sa mga intersection point ng mga linya. Hanapin ang mga intersection point ng parabola at direktang Magagawa ito sa dalawang paraan. Ang unang paraan ay analytical.

Malutas namin ang equation:

Kaya ang mas mababang limitasyon ng pagsasama a=0 , ang pinakamataas na limitasyon ng pagsasama b=3 .

Posible na bumuo ng mga linya ng punto sa pamamagitan ng punto, habang ang mga limitasyon ng pagsasama ay nalaman na parang "sa kanilang sarili". Gayunpaman, ang analytical na paraan ng paghahanap ng mga limitasyon kung minsan ay kailangang gamitin kung, halimbawa, ang graph ay sapat na malaki, o ang sinulid na konstruksyon ay hindi nagpahayag ng mga limitasyon ng pagsasama (maaari silang maging fractional o hindi makatwiran).

Ang nais na pigura ay limitado ng isang parabola mula sa itaas at isang tuwid na linya mula sa ibaba.

Sa segment , ayon sa kaukulang formula:

Sagot: S \u003d 4.5 sq. na unit

Sa artikulong ito, matututunan mo kung paano hanapin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya gamit ang mga integral na kalkulasyon. Sa kauna-unahang pagkakataon, nakatagpo namin ang pagbabalangkas ng naturang problema sa mataas na paaralan, kapag ang pag-aaral ng ilang mga integral ay katatapos pa lamang at oras na upang simulan ang geometric na interpretasyon ng kaalaman na nakuha sa pagsasanay.

Kaya, kung ano ang kinakailangan upang matagumpay na malutas ang problema ng paghahanap ng lugar ng isang figure gamit ang mga integral:

• Kakayahang gumuhit nang tama ng mga guhit;
• Kakayahang malutas ang isang tiyak na integral gamit ang kilalang formula ng Newton-Leibniz;
• Ang kakayahang "makita" ang isang mas kumikitang solusyon - i.e. upang maunawaan kung paano ito o sa kasong iyon ay magiging mas maginhawa upang isakatuparan ang pagsasama? Kasama ang x-axis (OX) o y-axis (OY)?
• Buweno, kung saan walang tamang mga kalkulasyon?) Kabilang dito ang pag-unawa kung paano lutasin ang iba pang uri ng integral at tamang mga kalkulasyon ng numero.

Algorithm para sa paglutas ng problema ng pagkalkula ng lugar ng isang figure na nalilimitahan ng mga linya:

1. Bumubuo kami ng drawing. Maipapayo na gawin ito sa isang piraso ng papel sa isang hawla, sa isang malaking sukat. Pinirmahan namin ng lapis sa itaas ng bawat graph ang pangalan ng function na ito. Ang lagda ng mga graph ay ginagawa lamang para sa kaginhawahan ng karagdagang mga kalkulasyon. Ang pagkakaroon ng natanggap na graph ng nais na figure, sa karamihan ng mga kaso ay agad na malinaw kung aling mga limitasyon ng pagsasama ang gagamitin. Kaya't nalutas namin ang problema graphic na pamamaraan. Gayunpaman, nangyayari na ang mga halaga ng mga limitasyon ay fractional o hindi makatwiran. Samakatuwid, maaari kang gumawa ng karagdagang mga kalkulasyon, pumunta sa ikalawang hakbang.

2. Kung ang mga limitasyon sa pagsasama ay hindi tahasang itinakda, makikita natin ang mga punto ng intersection ng mga graph sa isa't isa, at tingnan kung ang aming graphical na solusyon ay tumutugma sa analytical.

3. Susunod, kailangan mong pag-aralan ang pagguhit. Depende sa kung paano matatagpuan ang mga graph ng mga function, mayroong iba't ibang mga diskarte sa paghahanap ng lugar ng figure. Isipin mo iba't ibang halimbawa upang mahanap ang lugar ng isang figure gamit ang mga integral.

3.1. Ang pinaka-klasiko at pinakasimpleng bersyon ng problema ay kapag kailangan mong hanapin ang lugar curvilinear trapezoid. Ano ang isang curvilinear trapezoid? Ito ay isang flat figure na nililimitahan ng x-axis (y=0), diretso x = a, x = b at anumang kurba na tuloy-tuloy sa pagitan mula sa a dati b. Kasabay nito, ang figure na ito ay hindi negatibo at matatagpuan hindi mas mababa kaysa sa x-axis. Sa kasong ito, ang lugar ng curvilinear trapezoid ay numerong katumbas ng tiyak na integral na kinakalkula gamit ang Newton-Leibniz formula:

Halimbawa 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Anong mga linya ang tumutukoy sa pigura? Mayroon kaming parabola y = x2 - 3x + 3, na matatagpuan sa itaas ng axis OH, ito ay hindi negatibo, dahil lahat ng mga punto ng parabola na ito ay positibo. Susunod, binigyan ng mga tuwid na linya x = 1 at x = 3 na tumatakbo parallel sa axis OU, ay ang mga hangganang linya ng pigura sa kaliwa at kanan. Well y = 0, siya ang x-axis, na naglilimita sa figure mula sa ibaba. Ang resultang figure ay may kulay, tulad ng nakikita sa figure sa kaliwa. Sa kasong ito, maaari mong simulan agad na malutas ang problema. Bago sa amin ay isang simpleng halimbawa ng isang curvilinear trapezoid, na pagkatapos ay malulutas namin gamit ang Newton-Leibniz formula.

3.2. Sa nakaraang talata 3.1, nasuri ang kaso kapag ang curvilinear trapezoid ay matatagpuan sa itaas ng x-axis. Ngayon isaalang-alang ang kaso kapag ang mga kondisyon ng problema ay pareho, maliban na ang function ay nasa ilalim ng x-axis. Ang isang minus ay idinagdag sa karaniwang formula ng Newton-Leibniz. Kung paano malutas ang gayong problema, isasaalang-alang pa natin.

Halimbawa 2 . Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

Sa halimbawang ito, mayroon tayong parabola y=x2+6x+2, na nagmumula sa ilalim ng axis OH, diretso x=-4, x=-1, y=0. Dito y = 0 nililimitahan ang nais na pigura mula sa itaas. Direkta x = -4 at x = -1 ito ang mga hangganan kung saan kakalkulahin ang tiyak na integral. Ang prinsipyo ng paglutas ng problema sa paghahanap ng lugar ng isang figure ay halos ganap na tumutugma sa halimbawa ng numero 1. Ang pagkakaiba lamang ay iyon ibinigay na function ay hindi positibo, at lahat ay tuloy-tuloy din sa pagitan [-4; -1] . Ano ang ibig sabihin ng hindi positibo? Tulad ng makikita mula sa figure, ang figure na nasa loob ng ibinigay na x ay may eksklusibong "negatibong" coordinate, na kung ano ang kailangan nating makita at tandaan kapag nilulutas ang problema. Hinahanap namin ang lugar ng figure gamit ang Newton-Leibniz formula, na may minus sign lamang sa simula.

Ang artikulo ay hindi nakumpleto.

Paano i-paste mga pormula sa matematika sa website?

Kung sakaling kailanganin mong magdagdag ng isa o dalawang mathematical formula sa isang web page, kung gayon ang pinakamadaling paraan upang gawin ito ay tulad ng inilarawan sa artikulo: ang mga mathematical formula ay madaling naipasok sa site sa anyo ng mga larawan na awtomatikong nabubuo ng Wolfram Alpha. Bilang karagdagan sa pagiging simple, ang unibersal na paraan na ito ay makakatulong na mapabuti ang visibility ng site sa mga search engine. Ito ay gumagana nang mahabang panahon (at sa tingin ko ito ay gagana magpakailanman), ngunit ito ay luma na sa moral.

Kung patuloy kang gumagamit ng mga mathematical formula sa iyong site, pagkatapos ay inirerekomenda kong gumamit ka ng MathJax, isang espesyal na JavaScript library na nagpapakita ng mathematical notation sa mga web browser gamit ang MathML, LaTeX, o ASCIIMathML markup.

Mayroong dalawang paraan upang simulan ang paggamit ng MathJax: (1) gamit ang isang simpleng code, maaari mong mabilis na ikonekta ang isang MathJax script sa iyong site, na awtomatikong mai-load mula sa isang malayong server sa tamang oras (listahan ng mga server); (2) i-upload ang MathJax script mula sa isang malayuang server patungo sa iyong server at ikonekta ito sa lahat ng pahina ng iyong site. Ang pangalawang paraan ay mas kumplikado at nakakaubos ng oras at magbibigay-daan sa iyong mapabilis ang paglo-load ng mga pahina ng iyong site, at kung ang parent na MathJax server ay pansamantalang hindi magagamit sa ilang kadahilanan, hindi ito makakaapekto sa iyong sariling site sa anumang paraan. Sa kabila ng mga pakinabang na ito, pinili ko ang unang paraan, dahil ito ay mas simple, mas mabilis at hindi nangangailangan ng mga teknikal na kasanayan. Sundin ang aking halimbawa, at sa loob ng 5 minuto ay magagamit mo na ang lahat ng feature ng MathJax sa iyong site.

Maaari mong ikonekta ang script ng MathJax library mula sa isang malayuang server gamit ang dalawang opsyon sa code na kinuha mula sa pangunahing website ng MathJax o mula sa pahina ng dokumentasyon:

Kailangang kopyahin at i-paste ang isa sa mga opsyon sa code na ito sa code ng iyong web page, mas mabuti sa pagitan ng mga tag at o pagkatapos mismo ng tag . Ayon sa unang opsyon, ang MathJax ay naglo-load nang mas mabilis at nagpapabagal sa pahina nang mas kaunti. Ngunit awtomatikong sinusubaybayan at nilo-load ng pangalawang opsyon ang pinakabagong bersyon ng MathJax. Kung ilalagay mo ang unang code, kakailanganin itong i-update sa pana-panahon. Kung i-paste mo ang pangalawang code, ang mga pahina ay maglo-load nang mas mabagal, ngunit hindi mo kailangang patuloy na subaybayan ang mga update sa MathJax.

Ang pinakamadaling paraan upang ikonekta ang MathJax ay nasa Blogger o WordPress: sa control panel ng site, magdagdag ng widget na idinisenyo upang magpasok ng third-party na JavaScript code, kopyahin ang una o pangalawang bersyon ng load code na ipinakita sa itaas dito, at ilagay ang widget nang mas malapit. sa simula ng template (sa pamamagitan ng paraan, ito ay hindi sa lahat ng kailangan , dahil ang MathJax script ay load asynchronously). Iyon lang. Ngayon matutunan ang MathML, LaTeX, at ASCIIMathML markup syntax at handa ka nang mag-embed ng mga math formula sa iyong mga web page.

Ang anumang fractal ay binuo ayon sa isang tiyak na panuntunan, na patuloy na inilalapat walang limitasyong dami minsan. Ang bawat ganoong oras ay tinatawag na isang pag-ulit.

Ang umuulit na algorithm para sa paggawa ng isang Menger sponge ay medyo simple: ang orihinal na cube na may gilid 1 ay hinati ng mga eroplanong parallel sa mga mukha nito sa 27 pantay na cube. Ang isang gitnang kubo at 6 na kubo na katabi nito kasama ang mga mukha ay tinanggal mula dito. Ito ay lumiliko ang isang set na binubuo ng 20 natitirang mas maliliit na cubes. Ang paggawa ng pareho sa bawat isa sa mga cube na ito, nakakakuha kami ng isang set na binubuo ng 400 mas maliliit na cube. Ang pagpapatuloy ng prosesong ito nang walang katapusan, nakukuha namin ang Menger sponge.

Bumaling tayo ngayon sa pagsasaalang-alang ng mga aplikasyon ng integral calculus. Sa araling ito, susuriin natin ang isang tipikal at pinakakaraniwang gawain. pagkalkula ng lugar ng isang patag na pigura gamit ang isang tiyak na integral. Sa wakas, lahat ng mga naghahanap ng kahulugan sa mas mataas na matematika - nawa'y mahanap nila ito. Hindi mo malalaman. Kailangan nating maging mas malapit sa buhay lugar ng cottage ng bansa elementarya function at hanapin ang lugar nito gamit ang isang tiyak na integral.

Upang matagumpay na makabisado ang materyal, dapat mong:

1) Unawain ang hindi tiyak na integral kahit man lang sa isang intermediate na antas. Kaya, dapat basahin muna ng mga dummies ang aralin Hindi.

2) Magagawang ilapat ang Newton-Leibniz formula at kalkulahin ang tiyak na integral. Maaari kang magtatag ng mainit na pakikipagkaibigan sa ilang mga integral sa pahina Tiyak na integral. Mga halimbawa ng solusyon. Ang gawain na "kalkulahin ang lugar gamit ang isang tiyak na integral" ay palaging nagsasangkot ng pagbuo ng isang guhit, Kaya naman paksang isyu ang iyong kaalaman at kasanayan sa pagguhit. Sa pinakamababa, ang isa ay dapat na makabuo ng isang tuwid na linya, isang parabola at isang hyperbola.

Magsimula tayo sa isang curvilinear trapezoid. Ang curvilinear trapezoid ay isang flat figure na nililimitahan ng graph ng ilang function y = f(x), aksis OX at mga linya x = a; x = b.

Ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay numerong katumbas ng isang tiyak na integral

Anumang tiyak na integral (na umiiral) ay may napakagandang geometric na kahulugan. Sa aralin Tiyak na integral. Mga halimbawa ng solusyon sinabi namin na ang isang tiyak na integral ay isang numero. At ngayon ay oras na upang magpahayag ng isa pang kapaki-pakinabang na katotohanan. Mula sa punto ng view ng geometry, ang tiyak na integral ay ang AREA. I.e, ang tiyak na integral (kung mayroon) geometrically tumutugma sa lugar ng ilang figure. Isaalang-alang ang tiyak na integral

Integrand

ay tumutukoy sa isang kurba sa eroplano (maaari itong iguhit kung ninanais), at ang tiyak na integral mismo ay ayon sa bilang na katumbas ng lugar ng kaukulang curvilinear trapezoid.

Halimbawa 1

, , , .

Ito ay isang tipikal na pahayag ng gawain. Ang pinakamahalagang sandali solusyon - pagguhit. Bukod dito, ang pagguhit ay dapat na binuo TAMA.

Kapag gumagawa ng blueprint, inirerekomenda ko ang sumusunod na pagkakasunud-sunod: sa simula ito ay mas mahusay na bumuo ng lahat ng mga linya (kung mayroon man) at lamang pagkatapos- mga parabola, hyperbola, mga graph ng iba pang mga function. Ang point-by-point construction technique ay matatagpuan sa reference na materyal Mga Graph at Properties elementarya na pag-andar . Doon ay makakahanap ka rin ng materyal na lubhang kapaki-pakinabang na may kaugnayan sa aming aralin - kung paano mabilis na bumuo ng isang parabola.

Sa problemang ito, maaaring magmukhang ganito ang solusyon.

Gumawa tayo ng drawing (tandaan na ang equation y= 0 ay tumutukoy sa axis OX):

Hindi namin mapisa ang curvilinear trapezoid, malinaw dito kung anong lugar sa tanong. Ang solusyon ay nagpapatuloy tulad nito:

Sa pagitan [-2; 1] function graph y = x 2 + 2 matatagpuan sa ibabaw ng axisOX, Kaya naman:

Sagot: .

Sino ang nahihirapan sa pagkalkula ng tiyak na integral at paglalapat ng Newton-Leibniz formula

,

sumangguni sa panayam Tiyak na integral. Mga halimbawa ng solusyon. Matapos makumpleto ang gawain, palaging kapaki-pakinabang na tingnan ang pagguhit at alamin kung ang sagot ay totoo. Sa kasong ito, "sa pamamagitan ng mata" binibilang namin ang bilang ng mga cell sa pagguhit - mabuti, mga 9 ang mai-type, tila totoo. Ito ay lubos na malinaw na kung mayroon tayo, sabihin nating, ang sagot: 20 square units, kung gayon, malinaw naman, isang pagkakamali ang ginawa sa isang lugar - 20 mga cell ay malinaw na hindi magkasya sa figure na pinag-uusapan, hindi hihigit sa isang dosenang. Kung ang sagot ay naging negatibo, kung gayon ang gawain ay nalutas din nang hindi tama.

Halimbawa 2

Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya xy = 4, x = 2, x= 4 at axis OX.

Ito ay isang halimbawa para sa malayang solusyon. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Ano ang gagawin kung matatagpuan ang curvilinear trapezoid sa ilalim ng eheOX?

Halimbawa 3

Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya y = e-x, x= 1 at coordinate axes.

Solusyon: Gumawa tayo ng drawing:

Kung isang curvilinear trapezoid ganap sa ilalim ng ehe OX , kung gayon ang lugar nito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Sa kasong ito:

.

Pansin! Ang dalawang uri ng mga gawain ay hindi dapat malito:

1) Kung hihilingin sa iyo na lutasin ang isang tiyak na integral nang walang anumang geometric na kahulugan, kung gayon maaari itong maging negatibo.

2) Kung hihilingin sa iyo na hanapin ang lugar ng isang figure gamit ang isang tiyak na integral, kung gayon ang lugar ay palaging positibo! Iyon ang dahilan kung bakit lumilitaw ang minus sa formula na isinasaalang-alang lamang.

Sa pagsasagawa, kadalasan ang figure ay matatagpuan sa parehong itaas at mas mababang kalahating eroplano, at samakatuwid, mula sa pinakasimpleng mga problema sa paaralan, lumipat kami sa mas makabuluhang mga halimbawa.

Halimbawa 4

Hanapin ang lugar ng isang figure ng eroplano na may hangganan ng mga linya y = 2x – x 2 , y = -x.

Solusyon: Una kailangan mong gumawa ng pagguhit. Kapag gumagawa ng isang guhit sa mga problema sa lugar, kami ay pinaka-interesado sa mga intersection point ng mga linya. Hanapin ang mga intersection point ng parabola y = 2x – x 2 at tuwid y = -x. Magagawa ito sa dalawang paraan. Ang unang paraan ay analytical. Malutas namin ang equation:

Kaya ang mas mababang limitasyon ng pagsasama a= 0, itaas na limitasyon ng pagsasama b= 3. Madalas na mas kumikita at mas mabilis ang pagbuo ng mga linya ng punto sa punto, habang ang mga limitasyon ng pagsasama ay nalaman na parang "sa kanilang sarili". Gayunpaman, ang analytical na paraan ng paghahanap ng mga limitasyon kung minsan ay kailangang gamitin kung, halimbawa, ang graph ay sapat na malaki, o ang sinulid na konstruksyon ay hindi nagpahayag ng mga limitasyon ng pagsasama (maaari silang maging fractional o hindi makatwiran). Bumalik tayo sa ating gawain: mas makatwiran na gumawa muna ng isang tuwid na linya at pagkatapos ay isang parabola. Gumawa tayo ng drawing:

Inuulit namin na sa pointwise construction, ang mga limitasyon ng pagsasama ay madalas na nalaman "awtomatikong".

At ngayon ang gumaganang formula:

Kung sa segment [ a; b] ilang tuluy-tuloy na pag-andar f(x) mas malaki kaysa o katumbas ilang tuluy-tuloy na pag-andar g(x), kung gayon ang lugar ng kaukulang figure ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Dito hindi na kailangang isipin kung saan matatagpuan ang figure - sa itaas ng axis o sa ibaba ng axis, ngunit mahalaga kung aling tsart ang nasa ITAAS(kaugnay sa isa pang graph), at alin ang nasa IBABA.

Sa halimbawang isinasaalang-alang, malinaw na sa segment ang parabola ay matatagpuan sa itaas ng tuwid na linya, at samakatuwid ay mula sa 2 x – x 2 ay dapat ibawas - x.

Ang pagkumpleto ng solusyon ay maaaring magmukhang ganito:

Ang nais na pigura ay limitado ng isang parabola y = 2x – x 2 itaas at tuwid y = -x galing sa ibaba.

Sa segment 2 x – x 2 ≥ -x. Ayon sa kaukulang formula:

Sagot: .

Sa katunayan, ang formula ng paaralan para sa lugar ng isang curvilinear trapezoid sa lower half-plane (tingnan ang halimbawa No. 3) ay isang espesyal na kaso ng formula

.

Mula sa axis OX ay ibinigay ng equation y= 0, at ang graph ng function g(x) ay matatagpuan sa ibaba ng axis OX, pagkatapos

.

At ngayon isang pares ng mga halimbawa para sa isang malayang solusyon

Halimbawa 5

Halimbawa 6

Hanapin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya

Sa kurso ng paglutas ng mga problema para sa pagkalkula ng lugar gamit ang isang tiyak na integral, minsan ang isang nakakatawang insidente ay nangyayari. Ang pagguhit ay ginawa nang tama, ang mga kalkulasyon ay tama, ngunit, dahil sa kawalan ng pansin, ... natagpuan ang lugar ng maling figure.

Halimbawa 7

Gumuhit muna tayo:

Ang pigura na ang lugar na kailangan nating hanapin ay may kulay na asul.(maingat na tingnan ang kondisyon - kung paano limitado ang figure!). Ngunit sa pagsasagawa, dahil sa kawalan ng pansin, madalas silang nagpasya na kailangan nilang hanapin ang lugar ng figure na may kulay. sa berde!

Ang halimbawang ito ay kapaki-pakinabang din na sa loob nito ang lugar ng figure ay kinakalkula gamit ang dalawang tiyak na integral. Talaga:

1) Sa segment [-1; 1] sa itaas ng ehe OX tuwid ang graph y = x+1;

2) Sa segment sa itaas ng axis OX ang graph ng hyperbola ay matatagpuan y = (2/x).

Malinaw na ang mga lugar ay maaaring (at dapat) idagdag, samakatuwid:

Sagot:

Halimbawa 8

Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya

Ipakita natin ang mga equation sa anyong "paaralan".

at gawin ang pagguhit ng linya:

Makikita sa drawing na ang ating upper limit ay “good”: b = 1.

Ngunit ano ang mas mababang limitasyon? Ito ay malinaw na ito ay hindi isang integer, ngunit ano?

maaaring, a=(-1/3)? Ngunit nasaan ang garantiya na ang pagguhit ay ginawa nang may perpektong katumpakan, maaari itong lumabas a=(-1/4). Paano kung hindi namin nakuha ang graph nang tama?

Sa ganitong mga kaso, ang isa ay kailangang gumugol ng karagdagang oras at pinuhin ang mga limitasyon ng pagsasama nang analytical.

Hanapin ang mga intersection point ng mga graph

Upang gawin ito, lutasin namin ang equation:

.

Dahil dito, a=(-1/3).

Ang karagdagang solusyon ay walang kuwenta. Ang pangunahing bagay ay hindi malito sa mga pamalit at palatandaan. Ang mga kalkulasyon dito ay hindi ang pinakamadali. Sa segment

, ,

ayon sa kaukulang formula:

Sagot:

Sa pagtatapos ng aralin, isasaalang-alang natin ang dalawang gawain na mas mahirap.

Halimbawa 9

Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya

Solusyon: Gumuhit itong pigura sa pagguhit.

Para sa point-by-point drawing, kailangan mong malaman hitsura sinusoids. Sa pangkalahatan, kapaki-pakinabang na malaman ang mga graph ng lahat ng elementarya na pag-andar, pati na rin ang ilang mga halaga ng sine. Matatagpuan ang mga ito sa talahanayan ng mga halaga trigonometriko function . Sa ilang mga kaso (halimbawa, sa kasong ito), pinapayagan na bumuo ng isang eskematiko na pagguhit, kung saan ang mga graph at mga limitasyon ng pagsasama ay dapat na maipakita nang tama sa prinsipyo.

Walang mga problema sa mga limitasyon sa pagsasama dito, direkta silang sumusunod sa kundisyon:

- Ang "x" ay nagbabago mula sa zero hanggang sa "pi". Gumawa kami ng karagdagang desisyon:

Sa segment, ang graph ng function y= kasalanan 3 x matatagpuan sa itaas ng axis OX, Kaya naman:

(1) Makikita mo kung paano pinagsama-sama ang mga sine at cosine sa mga kakaibang kapangyarihan sa aralin Integrals ng trigonometriko function. Kinurot namin ang isang sine.

(2) Ginagamit namin ang pangunahing trigonometric identity sa form

(3) Baguhin natin ang variable t= cos x, pagkatapos: matatagpuan sa itaas ng axis , kaya:

.

.

Tandaan: tandaan kung paano kinuha ang integral ng tangent sa kubo, dito ang kinahinatnan ng pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan

.