Paano mag-imbestiga ng isang function para sa isang conditional extremum. Extremum ng isang function ng ilang mga variable Ang konsepto ng isang extremum ng isang function ng ilang mga variable
Isaalang-alang muna natin ang kaso ng isang function ng dalawang variable. Ang conditional extremum ng function na $z=f(x,y)$ sa puntong $M_0(x_0;y_0)$ ay ang extremum ng function na ito, na naabot sa ilalim ng kondisyon na ang mga variable na $x$ at $y$ sa sa paligid ng puntong ito ay nakakatugon sa constraint equation $\ varphi(x,y)=0$.
Ang pangalang "conditional" extremum ay dahil sa katotohanan na ang karagdagang kundisyon na $\varphi(x,y)=0$ ay ipinapataw sa mga variable. Kung posible na ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa mula sa equation ng koneksyon, kung gayon ang problema sa pagtukoy ng conditional extremum ay nabawasan sa problema ng karaniwang extremum ng isang function ng isang variable. Halimbawa, kung ang $y=\psi(x)$ ay sumusunod mula sa constraint equation, pagkatapos ay papalitan ang $y=\psi(x)$ sa $z=f(x,y)$, makakakuha tayo ng function ng isang variable $ z=f\kaliwa (x,\psi(x)\kanan)$. Sa pangkalahatang kaso, gayunpaman, ang pamamaraang ito ay hindi gaanong ginagamit, kaya kinakailangan ang isang bagong algorithm.
Paraan ng Lagrange multiplier para sa mga function ng dalawang variable.
Ang paraan ng mga multiplier ng Lagrange ay upang mahanap ang conditional extremum, ang Lagrange function ay binubuo: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (ang parameter na $\lambda $ ay tinatawag na Lagrange multiplier ). Ang mga kinakailangang extremum na kondisyon ay ibinibigay ng isang sistema ng mga equation kung saan ang mga nakatigil na puntos ay tinutukoy:
$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(aligned)\right.$$
Ang sign na $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Kung sa isang nakatigil na punto $d^2F > 0$, ang function na $z=f(x,y)$ ay may conditional na minimum sa puntong ito, ngunit kung $d^2F< 0$, то условный максимум.
May isa pang paraan upang matukoy ang likas na katangian ng extremum. Mula sa constraint equation nakukuha natin: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, kaya sa anumang nakatigil na punto mayroon tayo:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "") dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\kanan)$$
Ang pangalawang kadahilanan (na matatagpuan sa mga bracket) ay maaaring katawanin sa form na ito:
Mga elemento ng $\left| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array) \right|$ na siyang Hessian ng Lagrange function. Kung $H > 0$ pagkatapos ay $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, ibig sabihin. mayroon kaming conditional na minimum ng function na $z=f(x,y)$.
Tandaan sa anyo ng $H$ determinant. Ipakita itago
$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$
Sa sitwasyong ito, ang panuntunang binalangkas sa itaas ay nagbabago tulad ng sumusunod: kung $H > 0$, ang function ay may conditional na minimum, at para sa $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
Algorithm para sa pag-aaral ng function ng dalawang variable para sa conditional extremum
- Buuin ang Lagrange function na $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- Lutasin ang system $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(aligned)\right.$
- Tukuyin ang likas na katangian ng extremum sa bawat isa sa mga nakatigil na punto na matatagpuan sa nakaraang talata. Upang gawin ito, gamitin ang alinman sa mga sumusunod na pamamaraan:
- Buuin ang determinant na $H$ at alamin ang sign nito
- Isinasaalang-alang ang constraint equation, kalkulahin ang sign ng $d^2F$
Lagrange multiplier method para sa mga function ng n variable
Ipagpalagay na mayroon tayong function ng $n$ variables $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ at $m$ constraint equation ($n > m$):
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
Tinutukoy ang mga multiplier ng Lagrange bilang $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, binubuo namin ang Lagrange function:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
Ang mga kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang conditional extremum ay ibinibigay ng isang sistema ng mga equation kung saan matatagpuan ang mga coordinate ng mga nakatigil na puntos at ang mga halaga ng mga multiplier ng Lagrange:
$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$
Posibleng malaman kung ang isang function ay may conditional minimum o conditional maximum sa nahanap na punto, tulad ng dati, gamit ang sign na $d^2F$. Kung sa nahanap na punto $d^2F > 0$, ang function ay may conditional na minimum, ngunit kung $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Matrix determinant $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$ naka-highlight sa pula sa $L$ matrix ay ang Hessian ng Lagrange function. Ginagamit namin ang sumusunod na panuntunan:
- Kung ang mga palatandaan ng mga menor de edad sa sulok ay $H_(2m+1),\; Ang H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrice $L$ ay tumutugma sa sign na $(-1)^m$, kung gayon ang stationary point na pinag-aaralan ay ang conditional na minimum point ng function na $z =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
- Kung ang mga palatandaan ng mga menor de edad sa sulok ay $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ alternate, at ang sign ng minor na $H_(2m+1)$ ay kasabay ng sign ng numerong $(-1)^(m+1 )$, pagkatapos ang pinag-aralan na nakatigil ang punto ay ang conditional na pinakamataas na punto ng function na $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
Halimbawa #1
Hanapin ang conditional extremum ng function na $z(x,y)=x+3y$ sa ilalim ng condition na $x^2+y^2=10$.
Ang geometric na interpretasyon ng problemang ito ay ang mga sumusunod: kinakailangan upang mahanap ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng applicate ng eroplano $z=x+3y$ para sa mga punto ng intersection nito sa cylinder $x^2+y^2 =10$.
Medyo mahirap ipahayag ang isang variable sa mga tuntunin ng isa pa mula sa constraint equation at i-substitute ito sa function na $z(x,y)=x+3y$, kaya gagamitin natin ang Lagrange method.
Tinutukoy ang $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, binubuo namin ang Lagrange function:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
Isulat natin ang sistema ng mga equation para sa pagtukoy ng mga nakatigil na punto ng Lagrange function:
$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (nakahanay)\kanan.$$
Kung ipagpalagay natin na $\lambda=0$, ang unang equation ay magiging: $1=0$. Ang resultang kontradiksyon ay nagsasabi na ang $\lambda\neq 0$. Sa ilalim ng kundisyong $\lambda\neq 0$, mula sa una at pangalawang equation na mayroon kami: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Ang pagpapalit ng nakuha na mga halaga sa ikatlong equation, nakukuha namin:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$
Kaya, ang system ay may dalawang solusyon: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ at $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Alamin natin ang katangian ng extremum sa bawat nakatigil na punto: $M_1(1;3)$ at $M_2(-1;-3)$. Upang gawin ito, kinakalkula namin ang determinant na $H$ sa bawat isa sa mga puntos.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\left| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$
Sa puntong $M_1(1;3)$ makukuha natin: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, kaya sa punto $M_1(1;3)$ ang function na $z(x,y)=x+3y$ ay may conditional maximum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
Katulad nito, sa puntong $M_2(-1;-3)$ makikita natin ang: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Mula noong $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
Pansinin ko na sa halip na kalkulahin ang halaga ng determinant na $H$ sa bawat punto, mas maginhawang palawakin ito sa pangkalahatang pananaw. Upang hindi kalat ang teksto sa mga detalye, itatago ko ang pamamaraang ito sa ilalim ng isang tala.
Determinant $H$ notation sa pangkalahatang anyo. Ipakita itago
$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$
Sa prinsipyo, malinaw na kung aling sign ang mayroon si $H$. Dahil wala sa mga puntos na $M_1$ o $M_2$ ang tumutugma sa pinanggalingan, kung gayon ang $y^2+x^2>0$. Samakatuwid, ang tanda ng $H$ ay kabaligtaran ng tanda ng $\lambda$. Maaari mo ring kumpletuhin ang mga kalkulasyon:
$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(nakahanay) $$
Ang tanong tungkol sa likas na katangian ng extremum sa mga nakatigil na puntos na $M_1(1;3)$ at $M_2(-1;-3)$ ay malulutas nang hindi ginagamit ang determinant na $H$. Hanapin ang tanda ng $d^2F$ sa bawat nakatigil na punto:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\kanan) $$
Pansinin ko na ang notasyong $dx^2$ ay nangangahulugang eksaktong $dx$ na itinaas sa pangalawang kapangyarihan, i.e. $\left(dx\right)^2$. Kaya mayroon kaming: $dx^2+dy^2>0$, kaya para sa $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ nakakakuha kami ng $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
Sagot: sa puntong $(-1;-3)$ ang function ay may kondisyon na minimum, $z_(\min)=-10$. Sa puntong $(1;3)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=10$
Halimbawa #2
Hanapin ang conditional extremum ng function na $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ sa ilalim ng kundisyon na $x+y=0$.
Ang unang paraan (ang paraan ng mga multiplier ng Lagrange)
Tinutukoy ang $\varphi(x,y)=x+y$ binubuo namin ang Lagrange function: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(aligned)\right.$$
Ang paglutas ng system, makakakuha tayo ng: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ at $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. Mayroon kaming dalawang nakatigil na punto: $M_1(0;0)$ at $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Alamin natin ang katangian ng extremum sa bawat nakatigil na punto gamit ang determinant na $H$.
$$ H=\kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \kaliwa| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$
Sa puntong $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, kaya sa puntong ito ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
Sinisiyasat namin ang likas na katangian ng extremum sa bawat isa sa mga punto sa pamamagitan ng ibang pamamaraan, batay sa tanda ng $d^2F$:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
Mula sa constraint equation na $x+y=0$ mayroon kaming: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
Dahil ang $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, kung gayon ang $M_1(0;0)$ ang conditional na minimum point ng function na $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Katulad nito, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
Pangalawang paraan
Mula sa constraint equation na $x+y=0$ makuha namin ang: $y=-x$. Ang pagpapalit ng $y=-x$ sa function na $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, makakakuha tayo ng ilang function ng variable na $x$. Tukuyin natin ang function na ito bilang $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
Kaya, binawasan namin ang problema sa paghahanap ng conditional extremum ng isang function ng dalawang variable sa problema ng pagtukoy ng extremum ng isang function ng isang variable.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$
Nakakuha ng mga puntos na $M_1(0;0)$ at $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Ang karagdagang pananaliksik ay kilala mula sa kurso ng differential calculus ng mga function ng isang variable. Sinusuri ang tanda ng $u_(xx)^("")$ sa bawat nakatigil na punto o sinusuri ang pagbabago ng tanda ng $u_(x)^(")$ sa mga nahanap na punto, nakuha namin ang parehong mga konklusyon tulad ng sa unang solusyon . Halimbawa, check sign $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
Dahil $u_(xx)^("")(M_1)>0$, kung gayon ang $M_1$ ang pinakamababang punto ng function na $u(x)$, habang $u_(\min)=u(0)=0 $ . Mula noong $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
Ang mga halaga ng function na $u(x)$ sa ilalim ng ibinigay na kundisyon ng koneksyon ay nag-tutugma sa mga halaga ng function na $z(x,y)$, i.e. ang nakitang extrema ng function na $u(x)$ ay ang gustong conditional extrema ng function na $z(x,y)$.
Sagot: sa puntong $(0;0)$ ang function ay may kondisyon na minimum, $z_(\min)=0$. Sa puntong $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
Isaalang-alang natin ang isa pang halimbawa, kung saan malalaman natin ang kalikasan ng extremum sa pamamagitan ng pagtukoy sa tanda ng $d^2F$.
Halimbawa #3
Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga function na $z=5xy-4$ kung ang mga variable na $x$ at $y$ ay positibo at natutugunan ang constraint equation na $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1= 0$ .
Buuin ang Lagrange function: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Hanapin ang mga nakatigil na punto ng Lagrange function:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \kaliwa \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(aligned) \right.$$
Ang lahat ng karagdagang pagbabago ay isinasagawa na isinasaalang-alang ang $x > 0; \; y > 0$ (ito ay itinakda sa kondisyon ng problema). Mula sa pangalawang equation, ipinapahayag namin ang $\lambda=-\frac(5x)(y)$ at pinapalitan ang nahanap na halaga sa unang equation: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Ang pagpapalit ng $x=2y$ sa ikatlong equation, makukuha natin ang: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.
Dahil $y=1$, pagkatapos ay $x=2$, $\lambda=-10$. Ang katangian ng extremum sa puntong $(2;1)$ ay tinutukoy mula sa tanda ng $d^2F$.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
Dahil $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, kung gayon:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
Sa prinsipyo, dito maaari mong agad na palitan ang mga coordinate ng nakatigil na punto $x=2$, $y=1$ at ang parameter na $\lambda=-10$, upang makuha ang:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
Gayunpaman, sa iba pang mga problema para sa isang conditional extremum, maaaring mayroong ilang nakatigil na mga punto. Sa ganitong mga kaso, mas mainam na katawanin ang $d^2F$ sa isang pangkalahatang anyo, at pagkatapos ay palitan ang mga coordinate ng bawat isa sa mga nahanap na nakatigil na punto sa resultang expression:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$
Ang pagpapalit ng $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, makuha namin ang:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
Dahil $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
Sagot: sa puntong $(2;1)$ ang function ay may conditional maximum, $z_(\max)=6$.
Sa susunod na bahagi, isinasaalang-alang namin ang aplikasyon ng pamamaraan ng Lagrange para sa mga function higit pa mga variable.
KONDISYONAL NA SOBRA
Ang minimum o maximum na halaga na nakamit ng isang naibigay na function (o functional) sa kondisyon na ang ilang iba pang mga function (functional) ay kumukuha ng mga halaga mula sa isang ibinigay na admissible set. Kung walang mga kundisyon na naglilimita sa mga pagbabago sa mga independiyenteng mga variable (function) sa ipinahiwatig na kahulugan, kung gayon ang isa ay nagsasalita ng isang walang kondisyon na extremum.
Klasiko gawain para kay W. e. ay ang problema ng pagtukoy ng minimum ng isang function ng ilang mga variable
Sa kondisyon na ang ilang iba pang mga function ay kumukuha ng mga ibinigay na halaga:
Sa problemang ito G, kung saan ang mga halaga ng function ng vector g=(g 1, ...,g m),
kasama sa mga karagdagang kundisyon (2) ay isang nakapirming punto c=(c 1, ..., na may t) sa m-dimensional na Euclidean space
Kung sa (2) kasama ang equal sign, pinapayagan ang inequality sign
Ito ay humahantong sa problema non-linear programming(13). Sa problema (1), (3), ang set G ng mga tinatanggap na halaga ng vector function g ay isang tiyak na curvilinear , na kabilang sa (n-m 1)-dimensional na hypersurface na tinukoy ng m 1 , m 1
Isang espesyal na kaso ng problema (1), (3) sa isang U.v. ay ang gawain linear programming, kung saan ang lahat ng itinuturing na function f at gi ay linear sa x l , ... , x p. Sa isang linear programming problem, ang set G ng mga posibleng halaga ng isang vector function g, kasama sa mga kundisyong naglilimita sa hanay ng mga variable x 1 , .....x n , ay , na kabilang sa (n-t 1)-dimensional na hyperplane na tinukoy ng m 1 equality-type na kondisyon sa (3).
Katulad nito, karamihan sa mga problema sa pag-optimize para sa mga functional na kumakatawan sa praktikal interes, ay binabawasan sa mga gawain sa U. e. (cm. Isoperimetric problem, Ring problem, Lagrange problem, Manner problem).
Parang sa math lang. programming, ang mga pangunahing problema ng calculus of variations at theory of optimal control ay mga problema sa convex e.
Kapag nilulutas ang mga problema sa U. e., lalo na kapag isinasaalang-alang ang teoretikal. mga tanong na may kaugnayan sa mga problema sa C. e., lumalabas na lubhang kapaki-pakinabang ang paggamit ng hindi tiyak Mga multiplier ng Lagrangian, na nagpapahintulot na bawasan ang problema sa U. e. sa problema sa unconditional at gawing simple ang mga kinakailangang kondisyon ng optimality. Ang paggamit ng mga multiplier ng Lagrange ay sumasailalim sa karamihan ng mga klasikal pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa U. e.
Lit.: Hadley J., Nonlinear at , trans. mula sa English, M., 1967; Bliss G.A., Lectures on the calculus of variations, trans. mula sa English, M., 1950; Pontryagin L. S. [et al.], Mathematical Optimal Processes, 2nd ed., M., 1969.
I. B. Vapnyarsky.
Mathematical encyclopedia. - M.: Soviet Encyclopedia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.
Tingnan kung ano ang "CONDITIONAL EXTREME" sa ibang mga diksyunaryo:
Relative extremum, extremum ng function f (x1,..., xn + m) ng n + m variables, sa pag-aakalang ang mga variable na ito ay napapailalim sa m higit pang coupling equation (kondisyon): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (tingnan ang Extremum).… …
Hayaang mabigyan ng mga function ang isang bukas na set at on. Hayaan. Ang mga equation na ito ay tinatawag na constraint equation (ang terminolohiya ay hiniram mula sa mechanics). Hayaang tukuyin ang isang function sa G ... Wikipedia
- (mula sa lat. extreme extreme) na halaga ng tuluy-tuloy na function f (x), na maaaring maximum o minimum. Mas tiyak: ang isang function na f (x) na tuloy-tuloy sa puntong x0 ay may maximum (minimum) sa x0 kung mayroong isang neighborhood (x0 + δ, x0 δ) ng puntong ito, ... ... Great Soviet Encyclopedia
Ang terminong ito ay may iba pang kahulugan, tingnan ang Extreme (mga kahulugan). Ang Extremum (Latin extreme extreme) sa matematika ay ang maximum o minimum na halaga ng isang function sa isang naibigay na set. Ang punto kung saan naabot ang extremum ay ... ... Wikipedia
Isang function na ginagamit sa paglutas ng mga problema sa isang conditional extremum ng mga function ng ilang variable at functional. Sa tulong ni L. f. ang mga kinakailangang kondisyon ng pinakamainam ay isinulat sa mga problema para sa isang conditional extremum. Hindi na kailangang magpahayag lamang ng mga variable... Mathematical Encyclopedia
Isang disiplina sa matematika na nakatuon sa paghahanap ng matinding (maximum at minimum) na mga halaga ng mga pag-andar ng mga variable depende sa pagpili ng isa o higit pang mga function. Sa at. ay isang likas na pag-unlad ng kabanatang iyon…… Great Soviet Encyclopedia
Mga variable, sa tulong ng kung saan ang Lagrange function ay itinayo sa pag-aaral ng mga problema para sa isang conditional extremum. Ang paggamit ng L. m. at ang Lagrange function ay ginagawang posible upang makuha ang mga kinakailangang kondisyon ng optimality sa isang pare-parehong paraan sa mga problema para sa isang conditional extremum ... Mathematical Encyclopedia
Ang calculus of variations ay isang sangay ng functional analysis na nag-aaral ng mga variation sa functionals. Ang pinakakaraniwang gawain ng calculus ng mga pagkakaiba-iba ay ang paghahanap ng isang function kung saan ang isang ibinigay na functional ay umaabot ... ... Wikipedia
Isang sangay ng matematika na nakatuon sa pag-aaral ng mga pamamaraan para sa paghahanap ng extrema ng mga functional na nakasalalay sa pagpili ng isa o higit pang mga function sa ilalim ng iba't ibang uri ng mga paghihigpit (phase, differential, integral, atbp.) na ipinataw sa mga ito ... ... Mathematical Encyclopedia
Ang calculus of variations ay isang sangay ng matematika na nag-aaral sa mga variation ng functionals. Ang pinakakaraniwang gawain ng calculus ng mga pagkakaiba-iba ay upang mahanap ang isang function kung saan ang functional ay umabot sa isang matinding halaga. Pamamaraan ... ... Wikipedia
Mga libro
- Mga lektura sa teorya ng kontrol. Volume 2. Optimal Control, V. Boss. Ang mga klasikal na problema ng teorya ng pinakamainam na kontrol ay isinasaalang-alang. Nagsisimula ang pagtatanghal sa mga pangunahing konsepto ng pag-optimize sa mga may hangganang dimensyon na espasyo: conditional at unconditional extremum, ...
Conditional extremum.
Extrema ng isang Function ng Ilang Variable
Pinakamababang parisukat na pamamaraan.
Lokal na extremum ng FNP
Hayaan ang function At= f(P), RÎDÌR n at hayaan ang puntong Р 0 ( ngunit 1 , ngunit 2 , ..., isang p) –panloob punto ng set D.
Kahulugan 9.4.
1) Tinatawag ang puntong P 0 pinakamataas na punto mga function At= f(P) kung mayroong isang kapitbahayan ng puntong ito U(P 0) Ì D na para sa anumang punto P( X 1 , X 2 , ..., x n)н U(P 0) , Р¹Р 0 , ang kundisyon f(P) £ f(P0) . Ibig sabihin f(P 0) function sa pinakamataas na punto ay tinatawag maximum na function at ipinapahiwatig f(P 0) = max f(P) .
2) Tinatawag ang puntong P 0 pinakamababang punto mga function At= f(P) kung mayroong isang kapitbahayan ng puntong ito U(P 0)Ì D na para sa anumang punto P( X 1 , X 2 , ..., x n)нU(P 0), Р¹Р 0 , ang kundisyon f(P)³ f(P0) . Ibig sabihin f(P 0) function sa pinakamababang punto ay tinatawag minimum na function at ipinapahiwatig f(P 0) = min f(P).
Tinatawag ang pinakamababa at pinakamataas na puntos ng isang function matinding puntos, ang mga halaga ng function sa mga extremum point ay tinatawag function extrema.
Tulad ng sumusunod mula sa kahulugan, ang hindi pagkakapantay-pantay f(P) £ f(P0), f(P)³ f Ang (P 0) ay dapat gawin lamang sa isang tiyak na kapitbahayan ng puntong P 0 , at hindi sa buong domain ng function, na nangangahulugan na ang function ay maaaring magkaroon ng ilang extrema ng parehong uri (maraming minima, ilang maxima). Samakatuwid, ang extrema na tinukoy sa itaas ay tinatawag lokal(lokal) extremes.
Theorem 9.1. (kinakailangang kundisyon para sa extremum ng FNP)
Kung ang function At= f(X 1 , X 2 , ..., x n) ay may extremum sa puntong P 0 , pagkatapos ang unang-order na mga partial derivatives nito sa puntong ito ay maaaring katumbas ng zero o wala.
Patunay. Hayaan sa puntong Р 0 ( ngunit 1 , ngunit 2 , ..., isang p) function At= f(P) ay may sukdulan, tulad ng maximum. Ayusin natin ang mga argumento X 2 , ..., x n, paglalagay X 2 =ngunit 2 ,..., x n = isang p. Pagkatapos At= f(P) = f 1 ((X 1 , ngunit 2 , ..., isang p) ay isang function ng isang variable X isa. Dahil ang function na ito ay may X 1 = ngunit 1 extremum (maximum), pagkatapos f 1 ¢=0 o wala kapag X 1 =ngunit 1 (isang kinakailangang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang extremum ng isang function ng isang variable). Ngunit , pagkatapos o wala sa puntong P 0 - ang punto ng extremum. Katulad nito, maaari nating isaalang-alang ang mga partial derivatives na may paggalang sa iba pang mga variable. CHTD.
Ang mga punto ng domain ng isang function kung saan ang first-order partial derivatives ay katumbas ng zero o wala ay tinatawag kritikal na mga punto function na ito.
Tulad ng mga sumusunod mula sa Theorem 9.1, ang mga extremum point ng FNP ay dapat hanapin sa mga kritikal na punto ng function. Ngunit, para sa isang function ng isang variable, hindi bawat isa kritikal na punto ay ang matinding punto.
Teorama 9.2
Hayaang maging kritikal na punto ng function ang Р 0 At= f(P) at 
ay ang second-order differential ng function na ito. Pagkatapos
at kung d 2 u(P 0) > 0 para sa , pagkatapos ay ang Р 0 ay isang punto pinakamababa mga function At= f(P);
b) kung d 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка maximum mga function At= f(P);
c) kung d 2 u Ang (P 0) ay hindi tinukoy sa pamamagitan ng pag-sign, kung gayon ang P 0 ay hindi isang extremum point;
Isinasaalang-alang namin ang teorama na ito nang walang patunay.
Tandaan na hindi isinasaalang-alang ng theorem ang kaso kung kailan d 2 u(P 0) = 0 o wala. Nangangahulugan ito na ang tanong ng pagkakaroon ng isang extremum sa punto P 0 sa ilalim ng naturang mga kundisyon ay nananatiling bukas - ang mga karagdagang pag-aaral ay kinakailangan, halimbawa, ang pag-aaral ng pagtaas ng pag-andar sa puntong ito.
Sa mas detalyadong mga kurso sa matematika, pinatunayan na, sa partikular, para sa function z = f(x,y) ng dalawang variable na ang second-order differential ay kabuuan ng form
ang pag-aaral ng pagkakaroon ng isang extremum sa kritikal na punto Р 0 ay maaaring gawing simple.
Ipahiwatig , , . Buuin ang determinant
.
Kinalabasan:
d 2 z> 0 sa puntong P 0 , ibig sabihin. P 0 - pinakamababang punto, kung A(P 0) > 0 at D(P 0) > 0;
d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;
kung D(P 0)< 0, то d 2 z sa paligid ng puntong Р 0 ay nagbabago ng tanda at walang extremum sa puntong Р 0;
kung D(Р 0) = 0, kung gayon ang mga karagdagang pag-aaral ng function sa paligid ng kritikal na punto Р 0 ay kinakailangan din.
Kaya, para sa pag-andar z = f(x,y) dalawang variable, mayroon kaming sumusunod na algorithm (tawagin natin itong "algorithm D") para sa paghahanap ng extremum:
1) Hanapin ang domain ng kahulugan D( f) mga function.
2) Maghanap ng mga kritikal na punto, ibig sabihin. puntos mula sa D( f) kung saan at katumbas ng zero o wala.
3) Sa bawat kritikal na punto Р 0 suriin ang sapat na mga kondisyon para sa extremum. Upang gawin ito, hanapin , kung saan , , at kalkulahin ang D(Р 0) at PERO(P 0). Pagkatapos:
kung D(Р 0) >0, pagkatapos ay mayroong isang extremum sa puntong Р 0, bukod dito, kung PERO(P 0) > 0 - kung gayon ito ay isang minimum, at kung PERO(P 0)< 0 – максимум;
kung D(P 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;
Kung D(Р 0) = 0, kailangan ng karagdagang pag-aaral.
4) Kalkulahin ang halaga ng function sa mga nahanap na extremum point.
Halimbawa1.
Hanapin ang extremum ng isang function z = x 3 + 8y 3 – 3xy .
Solusyon. Ang domain ng function na ito ay ang buong coordinate plane. Hanapin natin ang mga kritikal na punto.
, 
, 
Þ Р 0 (0,0) , .
Suriin natin ang katuparan ng sapat na matinding kondisyon. Hanapin natin
6X, = -3, = 48sa At 
= 288hu – 9.
Pagkatapos D (P 0) \u003d 288 × 0 × 0 - 9 \u003d -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.
D(Р 1) = 36-9>0 - mayroong isang extremum sa puntong Р 1, at dahil PERO(P 1) = 3 >0, kung gayon ang extremum na ito ay isang minimum. Kaya min z=z(P1) = 
.
Halimbawa 2
Hanapin ang extremum ng isang function 
.
Solusyon: D( f) = R 2 . Mga kritikal na puntos: 
; ay hindi umiiral sa sa= 0, kaya P 0 (0,0) ang kritikal na punto ng function na ito.
2, = 0, = , = , ngunit ang D(Р 0) ay hindi tinukoy, kaya imposibleng pag-aralan ang sign nito.
Para sa parehong dahilan, imposibleng ilapat ang Theorem 9.2 nang direkta − d 2 z ay wala sa puntong ito.
Isaalang-alang ang pagtaas ng function f(x, y) sa puntong Р 0 . Kung si D f =f(P)- f(P 0)>0 "P, pagkatapos ay P 0 ang pinakamababang punto, kung D f < 0, то Р 0 – точка максимума.
Mayroon kaming sa aming kaso
D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .
Sa D x= 0.1 at D y= -0.008 nakukuha natin ang D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 at D y= 0.001D f= 0.01 + 0.1 > 0, ibig sabihin. sa paligid ng punto Р 0 ni ang kondisyon D f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) at, samakatuwid, ang P 0 ay hindi isang pinakamataas na punto), o ang kundisyon D f>0 (ibig sabihin. f(x, y) > f(0, 0) at pagkatapos ay ang Р 0 ay hindi isang minimum na punto). Kaya, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang extremum, ibinigay na function walang extremes.
May kundisyon na sukdulan.
Ang itinuturing na extremum ng function ay tinatawag walang kondisyon, dahil walang mga paghihigpit (kondisyon) na ipinapataw sa mga argumento ng function.
Kahulugan 9.2. Extremum ang pag-andar At = f(X 1 , X 2 , ... , x n), natagpuan sa ilalim ng kondisyon na ang mga argumento nito X 1 , X 2 , ... , x n matugunan ang mga equation j 1 ( X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j T(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, kung saan ang P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( f), ay tinatawag na conditional extremum .
Mga Equation j k(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , k = 1, 2,..., m, ay tinatawag mga equation ng koneksyon.
Isaalang-alang ang mga function z = f(x,y) ng dalawang variable. Kung mayroon lamang isang constraint equation, i.e. , pagkatapos ay ang paghahanap ng conditional extremum ay nangangahulugan na ang extremum ay hinahanap hindi sa buong domain ng function, ngunit sa ilang curve na nasa D( f) (ibig sabihin, hindi ang pinakamataas o pinakamababang punto ng surface ang hinahanap z = f(x,y), at ang pinakamataas o pinakamababang punto sa mga punto ng intersection ng ibabaw na ito sa silindro, Fig. 5).
Conditional extremum ng function z = f(x,y) ng dalawang variable ay matatagpuan sa sumusunod na paraan( paraan ng pag-aalis). Mula sa equation, ipahayag ang isa sa mga variable bilang function ng isa pa (halimbawa, write ) at, pagpapalit ng value na ito ng variable sa function , isulat ang huli bilang function ng isang variable (sa isinasaalang-alang na kaso 
). Hanapin ang extremum ng resultang function ng isang variable.
Hayaang tukuyin ang function na z - f(x, y) sa ilang domain D at hayaan ang Mo(xo, y0) na maging interior point ng domain na ito. Kahulugan. Kung mayroong isang bilang na ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo para sa lahat na nakakatugon sa mga kundisyon, kung gayon ang puntong Mo(xo, yo) ay tinatawag na punto ng lokal na maximum ng function na f(x, y); kung, gayunpaman, para sa lahat ng Dx, Du ay natutugunan ang mga kondisyon | kung gayon ang puntong Mo(x0, y0) ay tinatawag na fine local minimum. Sa madaling salita, ang puntong M0(x0, y0) ay ang punto ng maximum o minimum ng function na f(x, y) kung mayroong 6 na kapitbahayan ng puntong A/o(x0, y0) nang sa gayon ay puntos M(x, y) ng kapitbahayan na ito, ang pagtaas ng function ay nagpapanatili ng tanda. Mga halimbawa. 1. Para sa isang function, ang isang punto ay isang minimum na punto (Larawan 17). 2. Para sa function, ang punto 0(0,0) ay ang pinakamataas na punto (Fig. 18). 3. Para sa function, ang puntong 0(0,0) ay ang lokal na pinakamataas na punto. 4 Sa katunayan, mayroong isang kapitbahayan ng puntong 0(0, 0), halimbawa, isang bilog ng radius j (tingnan ang Fig. 19), sa anumang punto kung saan, naiiba sa puntong 0(0, 0), ang halaga ng function f(x, y) mas mababa sa 1 = Isasaalang-alang lamang namin ang mahigpit na maximum at minimum na puntos ng mga function kapag mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay o ang mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay para sa lahat ng mga puntos na M(x) y) mula sa ilang nabutas na 6-kapitbahayan ng puntong Mq. Ang halaga ng function sa pinakamataas na punto ay tinatawag na maximum, at ang halaga ng function sa pinakamababang punto ay tinatawag na minimum ng function na ito. Ang pinakamataas at pinakamababang punto ng isang function ay tinatawag na extremum point ng function, at ang maxima at minima ng function mismo ay tinatawag na extrema nito. Theorem 11 (kinakailangang kondisyon para sa isang extremum). Kung ang function ay ang extremum ng function ng ilang variables Konsepto extremum ng isang function ng ilang mga variable. Kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa isang extremum Conditional extremum Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na mga pag-andar ay may isang extremum sa punto at sa puntong ito ang bawat bahagyang derivative at u ay maglalaho o wala. Hayaang ang function na z = f(x) y) ay may extremum sa puntong M0(x0, y0). Bigyan natin ang variable y ang halaga yo. Pagkatapos ang function na z = /(x, y) ay magiging function ng isang variable x\ Dahil sa x = xo ito ay may extremum (maximum o minimum, Fig. 20), kung gayon ang derivative nito na may kinalaman sa x = "o, | (*o,l>)" Ay katumbas ng zero, o wala. Katulad nito, bini-verify namin iyon) o katumbas ng zero, o wala. Ang mga punto kung saan = 0 at u = 0 o wala ay tinatawag kritikal na mga punto ng function z = Dx, y). Ang mga punto kung saan $£ = u = 0 ay tinatawag ding mga nakatigil na punto ng function. Ang Theorem 11 ay nagpapahayag lamang ng mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum, na hindi sapat. Halimbawa. Function Fig. 18 Fig. 20 Ngunit ang function na ito ay manipis sa imvatum ng strumum. Sa katunayan, ang function ay katumbas ng zero sa puntong 0(0, 0) at sa mga puntong M(x, y), kasing lapit ng gusto mo hanggang sa puntong 0(0, 0), ang kk ay positibo, kaya mga negatibong halaga. Para dito, kaya sa mga punto sa mga punto (0, y) para sa mga di-makatwirang maliliit na punto, ang puntong 0(0, 0) ng ganitong uri ay tinatawag na mini-max na punto (Fig. 21). Ang mga sapat na kondisyon para sa isang extremum ng isang function ng dalawang variable ay ipinahayag ng sumusunod na theorem. Theorem 12 (sapat na mga kondisyon para sa isang labis na malabo na mga variable). Hayaang ang puntong Mo(xo, y0) ay isang nakatigil na punto ng function na f(x, y), at sa ilang kapitbahayan ng punto / kasama ang mismong puntong Mo, ang function na f(r, y) ay may tuluy-tuloy na partial derivatives pataas sa pangalawang order kasama. Pagkatapos "1) sa puntong Mq(xq, V0) ang function na f(x, y) ay may maximum kung ang determinant ay nasa puntong ito 2) sa puntong Mo(x0, V0) ang function na f(x, y) ay may pinakamababa kung sa puntong Mo(xo, yo) ang function na f(x, y) ay walang extremum kung D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>Wo) ang extremum ng function na f(x, y) ay maaaring o hindi. Sa kasong ito, kinakailangan ang karagdagang pananaliksik. Kinulong namin ang aming sarili sa pagpapatunay ng mga assertion 1) at 2) ng theorem. Isulat natin ang Taylor formula ng pangalawang order para sa function /(i, y): kung saan. Sa pamamagitan ng pagpapalagay, kung saan malinaw na ang tanda ng pagtaas ng D/ ay tinutukoy ng tanda ng trinomial sa kanang bahagi ng (1), ibig sabihin, ang tanda ng pangalawang kaugalian d2f. Ipahiwatig natin para sa kaiklian. Pagkatapos ang pagkakapantay-pantay (l) ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: Hayaan sa puntong MQ(so, y0) mayroon tayong kapitbahayan ng puntong M0(s0,yo). Kung ang kundisyon (sa puntong A/0) ay nasiyahan, at, dahil sa pagpapatuloy, ang derivative /,z(s, y) ay mananatili sa sign nito sa ilang kapitbahayan ng puntong Af0. Sa rehiyon kung saan ang A ∆ 0, mayroon tayong 0 sa ilang kapitbahayan ng puntong M0(x0) y0), pagkatapos ay ang tanda ng trinomial na AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 ay tumutugma sa tanda A sa puntong C ay hindi maaaring magkaroon ng magkakaibang mga palatandaan). Dahil tinutukoy ng tanda ng kabuuan AAs2 + 2BAxAy + CAy2 sa punto (s0 + $ Ax, yo + 0 Du) ang tanda ng pagkakaiba, dumating tayo sa sumusunod na konklusyon: kung ang function na f(s, y) sa ang nakatigil na punto (s0, yo) ay nakakatugon sa kundisyon, pagkatapos ay para sa sapat na maliit || mananatili ang hindi pagkakapantay-pantay. Kaya, sa punto (sq, y0) ang function /(s, y) ay may maximum. Ngunit kung ang kondisyon ay nasiyahan sa nakatigil na punto (s0, yo), pagkatapos ay para sa lahat ng sapat na maliit |Ar| at |Gawin| ang hindi pagkakapantay-pantay ay totoo, na nangangahulugan na ang function /(s, y) ay may pinakamababa sa punto (so, yo). Mga halimbawa. 1. Siyasatin ang function 4 para sa isang extremum Gamit ang mga kinakailangang kondisyon para sa isang extremum, hinahanap namin ang mga nakatigil na punto ng function. Upang gawin ito, hinahanap namin ang mga partial derivatives, u at itinutumbas ang mga ito sa zero. Nakukuha namin ang isang sistema ng mga equation mula sa kung saan - isang nakatigil na punto. Gamitin natin ngayon ang Theorem 12. Mayroon tayong Kaya, mayroong isang extremum sa puntong Ml. Dahil ito ang pinakamababa. Kung ibahin natin ang function r sa anyo, kung gayon madali itong makita kanang bahagi (") ang magiging minimum kung kailan ang absolute minimum ng ibinigay na function. 2. Siyasatin ang function para sa isang extremum.Nahanap namin ang mga nakatigil na punto ng function, kung saan binubuo namin ang isang sistema ng mga equation Mula dito upang ang punto ay nakatigil. Dahil, sa bisa ng Theorem 12, walang extremum sa puntong M. * 3. Siyasatin ang function para sa isang extremum Hanapin ang mga nakatigil na punto ng function. Mula sa sistema ng mga equation ay nakuha natin iyon, upang ang punto ay nakatigil. Dagdag pa, mayroon tayo upang ang Theorem 12 ay hindi magbigay ng sagot sa tanong ng pagkakaroon o kawalan ng isang extremum. Gawin natin ito sa ganitong paraan. Para sa isang function tungkol sa lahat ng mga punto maliban sa isang punto upang, sa pamamagitan ng kahulugan, sa puntong A/o(0,0) ang function r ay may ganap na minimum. Sa pamamagitan ng analogous drying, itinatatag namin na ang function ay may maximum sa punto, ngunit ang function ay walang extremum sa punto. Hayaang maging differentiable ang isang function ng η independent variable sa isang punto. Ang puntong Mo ay tinatawag na stationary point ng function kung. Theorem 13 (sapat na kundisyon para sa isang extremum). Hayaang tukuyin ang function at magkaroon ng tuluy-tuloy na partial derivatives ng pangalawang order sa ilang kapitbahayan ng fine line Mc(xi..., na isang nakatigil na fine function, kung ang quadratic form (ang pangalawang differential ng function f sa fine point ay positive-definite (negative-definite), point of minimum (respectively, fine maximum) ng function f ay fine Kung ang quadratic form (4) ay sign-alternating, kung gayon walang extremum sa fine LG0. 15.2 Conditional extremum Sa ngayon, nag-aalala kami sa paghahanap ng lokal na extrema ng isang function sa buong domain ng kahulugan nito, kapag ang mga argumento ng function ay hindi nakatali sa anumang karagdagang kundisyon. Hayaang tukuyin ang function na z \u003d / (x, y) sa rehiyon D. Ipagpalagay natin na ang isang curve L ay ibinibigay sa rehiyong ito, at ito ay kinakailangan upang mahanap ang extrema ng function na f (x> y) lamang kabilang sa mga halaga nito na tumutugma sa mga punto ng curve L. Ang parehong extrema ay tinatawag na conditional extrema ng function na z = f(x) y) sa curve L. Depinisyon Sinasabi na sa isang puntong nakahiga sa curve L, ang function na f(x, y) ay may conditional maximum (minimum) kung ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan, ayon sa pagkakabanggit, sa lahat ng mga point M (s, y) curve L na kabilang sa ilang kapitbahayan ng point M0(x0, Yo) at iba sa puntong M0 (Kung ang kurba L ay ibinibigay ng isang equation, ang problema sa paghahanap ng conditional extremum ng function r - f(x, y) sa curve! ay maaaring bumalangkas tulad ng sumusunod: hanapin ang extrema ng function na x = /(z, y) sa rehiyon D, sa kondisyon na Kaya, kapag hinahanap ang conditional extrema ng function z = y), ang mga argumentong zn ay hindi na maisasaalang-alang. bilang mga independiyenteng variable: ang mga ito ay magkakaugnay ng kaugnayan y ) = 0, na tinatawag na constraint equation. Upang maipaliwanag ang pagkakaiba sa pagitan ng m «*D y bilang unconditional at conditional extremum, tingnan natin ang isang halimbawa sa tv, ang unconditional maximum ng function (Fig. 23) ay katumbas ng isa at naabot sa punto (0, 0). Ito ay tumutugma sa eksaktong M - ang vertex ng pvvboloid. Idagdag natin ang constraint equation na y = j. Kung gayon ang maximum na kondisyon ay malinaw na magiging pantay. Naabot ito sa punto (o, |), at tumutugma ito sa vertex Afj ng pvvboloid, na siyang linya ng intersection ng pvvboloid na may eroplanong y = j. Sa kaso ng unconditional minimum s, mayroon kaming pinakamaliit na applicate sa lahat ng explicts ng surface * = 1 - n;2 ~ y1; slumvv conditional - lamang sa mga vllkvt point pvrboloidv, na tumutugma sa isang punto * ng tuwid na linya y = j hindi ng xOy plane. Ang isa sa mga pamamaraan para sa paghahanap ng conditional extremum ng isang function sa presensya at koneksyon ay ang mga sumusunod. Hayaan ang connection equation na y) - O tukuyin ang y bilang isang single-valued differentiable function ng argument x: Ang pagpapalit ng function sa halip na y sa function, makakakuha tayo ng function ng isang argument kung saan ang kundisyon ng koneksyon ay isinasaalang-alang na. . Ang (unconditional) extremum ng function ay ang gustong conditional extremum. Halimbawa. Hanapin ang extremum ng isang function sa ilalim ng kundisyon Extremum ng isang function ng ilang mga variable Ang konsepto ng isang extremum ng isang function ng ilang mga variable. Kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa extremum Conditional extremum Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na mga function A \u003d 1 - kritikal na punto;, upang maghatid ng isang kondisyon na minimum ng function r (Larawan 24). Ipahiwatig natin ang isa pang paraan upang malutas ang problema ng conditional extremum, na tinatawag na Lagrange multiplier method. Hayaang magkaroon ng punto ng conditional extremum ng function sa pagkakaroon ng isang koneksyon. Ipagpalagay natin na ang equation ng koneksyon ay tumutukoy sa isang natatanging patuloy na naiba-iba na function sa ilang kapitbahayan ng punto xi. Ipagpalagay na nakuha natin na ang derivative na may paggalang sa x ng function /(r, ip(x)) sa puntong xq ay dapat na katumbas ng zero o, katumbas, ay dapat na sero kaugalian ng f(x, y) sa puntong Mo" O) Mula sa equation ng koneksyon mayroon tayong (5) arbitrariness ng dx, nakukuha natin ang Equalities (6) at (7) ipahayag ang mga kinakailangang kondisyon para sa isang unconditional extremum sa isang punto ng isang function na tinatawag na Lagrange function.numerical coefficient Mula rito ay nakakuha tayo ng panuntunan para sa paghahanap ng conditional extrema: upang makahanap ng mga punto na maaaring maging mga punto ng absolute extremum ng isang function sa pagkakaroon ng isang koneksyon, 1) binubuo natin ang Lagrange function , 2) equating ang mga derivatives at W ng function na ito sa zero at pagdaragdag ng koneksyon equation sa mga resultang equation, nakuha namin ang system mula sa tatlong equation kung saan namin mahanap ang mga halaga ng A at ang mga coordinate x, y ng posibleng extremum point .Napagdesisyunan ang tanong ng pagkakaroon at kalikasan ng conditional extremum ang pag-aaral ng tanda ng pangalawang kaugalian ng Lagrange function para sa isinasaalang-alang na sistema ng mga halaga x0, Yo, A, nakuha mula sa (8) sa ilalim ng kondisyon na Kung, pagkatapos ay sa punto (x0, Yo) ang function f (x, y) ay may conditional maximum; kung d2F > 0 - kung gayon ang minimum na kondisyon. Sa partikular, kung sa isang nakatigil na punto (xo, J/o) ang determinant D para sa function na F(x, y) ay positibo, pagkatapos ay sa punto (®o, V0) mayroong isang conditional maximum ng function /( x, y) kung, at kondisyon na minimum ng function /(x, y), kung Halimbawa. Balikan natin muli ang mga kundisyon ng nakaraang halimbawa: hanapin ang extremum ng function na ibinigay na x + y = 1. Lutasin natin ang problema gamit ang Lagrange multiplier method. Ang Lagrange function sa kasong ito ay may anyo Upang makahanap ng mga nakatigil na puntos, bumubuo kami ng isang sistema Mula sa unang dalawang equation ng system, nakuha namin na x = y. Pagkatapos mula sa ikatlong equation ng system (coupling equation) nakita namin na x - y = j - ang mga coordinate ng punto ng isang posibleng extremum. Sa kasong ito (ipinapahiwatig na ang A \u003d -1. Kaya, ang Lagrange function. ay isang kondisyon na minimum na punto ng function * \u003d x2 + y2 sa ilalim ng kondisyon na walang unconditional extremum para sa Lagrangian function. P ( x, y) ay hindi pa nangangahulugan ng kawalan ng conditional extremum para sa function /(x, y) sa pagkakaroon ng koneksyon Halimbawa: Hanapin ang extremum ng function sa ilalim ng kundisyong y 4 Binubuo namin ang Lagrange function at isinusulat isang sistema para sa pagtukoy ng A at ang mga coordinate ng posibleng extremum point: Mula sa unang dalawang equation ay nakukuha natin ang x + y = 0 at dumating sa system na y = A = 0. Kaya, ang kaukulang Lagrange function ay may anyo Sa punto (0). , 0), ang function na F(x, y; 0) ay walang unconditional extremum, ngunit ang conditional extremum ng function r = xy. kapag y = x, meron. Sa katunayan, sa kasong ito r = x2. Ipinapakita nito na mayroong kondisyon na minimum sa punto (0,0). » Ang paraan ng mga multiplier ng Lagrange ay inililipat sa kaso ng mga function ng anumang bilang ng mga argumento. Hayaang hanapin ang extremum ng function sa pagkakaroon ng mga equation ng koneksyon. Ang equating sa zero ang lahat ng mga partial derivatives ng unang pagkakasunud-sunod ng function F at idinagdag sa nakuha na mga equation ang mga connection equation (9), nakakakuha tayo ng isang sistema ng n + m equation, kung saan natin tinutukoy ang Ab A3|..., Am at ang mga coordinate x\) x2) . » xn posibleng mga punto ng conditional extremum. Ang tanong kung ang mga puntong natagpuan ng pamamaraang Lagrange ay talagang mga conditional extremum point ay kadalasang malulutas sa batayan ng mga pagsasaalang-alang ng pisikal o geometriko na kalikasan. 15.3. Pinakamataas at pinakamababang halaga ng tuluy-tuloy na mga pag-andar Hayaang kailanganin upang mahanap ang maximum (pinakamaliit) na halaga ng isang function z = f(x, y) tuloy-tuloy sa ilang polynomial bounded domain D. Sa pamamagitan ng Theorem 3, sa domain na ito ay mayroong isang punto (xo, yo) kung saan ang function ay tumatagal ng pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga. Kung ang punto (xo, y0) ay nasa loob ng domain D, kung gayon ang function / ay mayroong maximum (minimum) dito, upang sa kasong ito ang punto ng interes sa amin ay nakapaloob sa mga kritikal na punto ng function /(x , y). Gayunpaman, ang function na /(x, y) ay maaari ding maabot ang maximum (pinakamaliit) na halaga nito sa hangganan ng rehiyon. Samakatuwid, upang mahanap ang pinakamalaking (pinakamaliit) na halaga na kinuha ng function na z \u003d / (x, y) sa isang limitadong saradong lugar 2), kinakailangang hanapin ang lahat ng maxima (minimum) ng function na naabot sa loob ng rehiyong ito, pati na rin ang maximum (pinakamaliit) na halaga ng function sa hangganan ng rehiyong ito. Ang pinakamalaki (pinakamaliit) sa lahat ng mga numerong ito ay ang nais na maximum (pinakamaliit) na halaga ng function na z = /(x, y) sa rehiyon 27. Ipakita natin kung paano ito ginagawa sa kaso ng isang differentiable function. Prmmr. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function ng area 4. Nahanap namin ang mga kritikal na punto ng function sa loob ng area D. Upang gawin ito, bumuo kami ng isang sistema ng mga equation. Mula dito makakakuha kami ng x \u003d y \u003e 0 , upang ang puntong 0 (0,0) ay ang kritikal na punto ng function na x. Dahil Hanapin natin ngayon ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function sa hangganan Г ng rehiyon D. Sa bahagi ng hangganan na mayroon tayo upang ang y \u003d 0 ay isang kritikal na punto, at dahil \u003d pagkatapos dito ituro ang function na z \u003d 1 + y2 ay may pinakamababang katumbas ng isa. Sa mga dulo ng segment G", sa mga punto (, mayroon kami. Gamit ang mga pagsasaalang-alang sa symmetry, nakukuha namin ang parehong mga resulta para sa iba pang mga bahagi ng hangganan. Sa wakas, nakuha namin: ang pinakamaliit na halaga ng function na z \u003d x2 + y2 sa ang rehiyon na "B" ay katumbas ng zero at ito ay naabot sa panloob na punto 0( 0, 0) na mga lugar, at pinakamataas na halaga ng function na ito, katumbas ng dalawa, ay naabot sa apat na punto ng hangganan (Fig.25) Fig.25 Mga Pagsasanay Hanapin ang domain ng mga function: Iguhit ang mga linya ng antas ng mga function: 9 Hanapin ang mga antas ng ibabaw ng mga function ng tatlong independent variable: Kalkulahin ang mga limitasyon ng mga function: Hanapin ang mga partial derivatives ng mga function at ang kanilang kabuuang pagkakaiba: Hanapin ang mga derivatives ng mga kumplikadong function: 3 Hanapin ang J. Extremum ng isang function ng ilang mga variable Ang konsepto ng isang extremum ng isang function ng ilang mga variable. Kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa isang extremum Conditional extremum Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng tuluy-tuloy na mga function 34. Gamit ang derivative formula kumplikadong pag-andar dalawang variable, find at function: 35. Gamit ang formula para sa derivative ng complex function ng dalawang variables, hanapin |J at functions: Find jj implicit functions: 40. Find dalisdis ang tangent ng curve sa punto ng intersection sa tuwid na linya x = 3. 41. Hanapin ang mga punto kung saan ang tangent ng x curve ay parallel sa x-axis. . Sa mga sumusunod na gawain, hanapin at Z: Isulat ang mga equation ng tangent plane at ang normal ng surface: 49. Buuin ang mga equation ng tangent plane ng surface x2 + 2y2 + Zr2 = 21, parallel sa eroplano x + 4y + 6z = 0. Hanapin ang unang tatlo o apat na termino ng pagpapalawak gamit ang Taylor formula: 50. y sa paligid ng punto (0, 0). Gamit ang kahulugan ng extremum ng isang function, siyasatin ang mga sumusunod na function para sa isang extremum:). Gamit ang sapat na mga kondisyon para sa extremum ng isang function ng dalawang variable, siyasatin ang extremum ng function: 84. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit na value ng function z \u003d x2 - y2 sa isang closed circle 85. Hanapin ang pinakamalaki at pinakamaliit mga halaga ng function * \u003d x2y (4-xy) sa isang tatsulok na nililimitahan ng mga linya x \u003d 0, y = 0, x + y = b. 88. Tukuyin ang mga sukat ng isang hugis-parihaba na panlabas na pool na may pinakamaliit na ibabaw, sa kondisyon na ang volume nito ay V. 87. Hanapin ang mga sukat kuboid, pagkakaroon ng ibinigay na kabuuang ibabaw na 5 maximum na volume. Mga sagot 1. at | Isang parisukat na nabuo ng mga segment ng linya x kasama ang mga gilid nito. 3. Pamilya ng concentric rings 2= 0,1,2,... .4. Ang buong eroplano maliban sa mga punto ng mga tuwid na linya y. Ang bahagi ng eroplano na matatagpuan sa itaas ng parabola y \u003d -x?. 8. Bilugan ang mga puntos x. Ang buong eroplano maliban sa mga tuwid na linya x Ang radikal na expression ay hindi negatibo sa dalawang kaso j * ^ o jx ^ ^ na katumbas ng isang walang katapusang serye ng mga hindi pagkakapantay-pantay, ayon sa pagkakabanggit. Ang domain ng kahulugan ay may kulay na mga parisukat (Fig. 26) ; l na katumbas ng isang walang katapusang serye Ang function ay tinukoy sa mga punto. a) Mga linyang parallel sa linya x b) Mga concentric na bilog na nakasentro sa pinanggalingan. 10. a) parabolas y) parabolas y a) parabolas b) hyperbolas | .Eroplano xc. 13.Prim - isang-cavity hyperboloids ng rebolusyon sa paligid ng Oz axis; para sa at mga dalawang-sheet na hyperboloids ng rebolusyon sa paligid ng Oz axis, ang parehong mga pamilya ng mga ibabaw ay pinaghihiwalay ng isang kono; Walang limitasyon, b) 0. 18. Let y = kxt then z lim z = -2, so that ibinigay na function sa puntong (0,0) ay walang limitasyon. 19. a) Punto (0.0); b) punto (0,0). 20. a) Break line - bilog x2 + y2 = 1; b) ang break line ay isang tuwid na linya y \u003d x. 21. a) Break lines - coordinate axes Ox at Oy; b) 0 (empty set). 22. Lahat ng mga puntos (m, n), kung saan at n ay mga integer
