Ang pagbabalangkas ng kabalintunaan ni Monty Hall. Monty Hall's Paradox - isang logic puzzle na hindi para sa mahina ang puso 3 pinto sa isang kotse

Ang kabalintunaan ng Monty Hall ay isa sa mga kilalang problema sa teorya ng posibilidad, ang solusyon kung saan, sa unang tingin, ay sumasalungat bait. Ang problema ay nabuo bilang isang paglalarawan ng isang hypothetical na laro batay sa palabas sa telebisyon sa Amerika na "Let's Make a Deal", at ipinangalan sa host ng programang ito. Ang pinakakaraniwang pormulasyon ng problemang ito, na inilathala noong 1990 sa Parade Magazine, ay ang mga sumusunod:

Isipin na ikaw ay isang kalahok sa isang laro kung saan kailangan mong pumili ng isa sa tatlong mga pinto. Sa likod ng isa sa mga pinto ay isang kotse, sa likod ng dalawa pang pinto ay mga kambing. Pumili ka ng isa sa mga pintuan, halimbawa, numero 1, pagkatapos kung saan ang pinuno, na nakakaalam kung nasaan ang kotse at kung nasaan ang mga kambing, ay nagbubukas ng isa sa mga natitirang pinto, halimbawa, numero 3, sa likod kung saan mayroong isang kambing. Pagkatapos ay tatanungin ka niya kung gusto mong baguhin ang iyong pinili at piliin ang numero ng pinto 2. Tataas ba ang iyong pagkakataong manalo sa kotse kung tatanggapin mo ang alok ng host at babaguhin ang iyong pinili?

Bagama't ang pormulasyon na ito ng problema ay ang pinakakilala, ito ay medyo may problema dahil nag-iiwan ito ng ilang mahahalagang kondisyon ng problema na hindi natukoy. Nasa ibaba ang isang mas kumpletong pagbabalangkas.

Kapag nilulutas ang problemang ito, kadalasan ay nangangatuwiran sila ng ganito: pagkatapos buksan ng pinuno ang pinto kung saan naroon ang kambing, ang kotse ay maaari lamang nasa likod ng isa sa dalawang natitirang pinto. Dahil ang manlalaro ay hindi makakatanggap ng anuman karagdagang impormasyon tungkol sa kung aling pinto ang nasa likod ng kotse, kung gayon ang posibilidad na makahanap ng kotse sa likod ng bawat pinto ay pareho, at ang pagbabago ng paunang pagpili ng pinto ay hindi nagbibigay ng anumang kalamangan sa manlalaro. Gayunpaman, ang linyang ito ng pangangatwiran ay hindi tama. Kung laging alam ng host kung aling pinto ang nasa likod ng kung ano, palaging binubuksan ang isa sa mga natitirang pinto kung saan naroon ang kambing, at palaging iniimbitahan ang manlalaro na baguhin ang kanyang pinili, kung gayon ang posibilidad na ang kotse ay nasa likod ng pinto na pinili ng manlalaro ay 1/3, at, nang naaayon, ang posibilidad na ang kotse ay nasa likod ng natitirang pinto ay 2/3. Kaya, ang pagpapalit ng paunang pagpipilian ay nagpapataas ng pagkakataon ng manlalaro na manalo sa kotse ng 2 beses. Ang konklusyon na ito ay sumasalungat sa intuitive na pang-unawa sa sitwasyon ng karamihan sa mga tao, kaya naman ang inilarawang problema ay tinatawag na Monty Hall paradox.

Berbal na solusyon

Ang tamang sagot sa problemang ito ay ang mga sumusunod: oo, ang pagkakataong manalo ng kotse ay tumaas ng 2 beses kung susundin ng manlalaro ang payo ng nagtatanghal at binago ang kanyang orihinal na pagpipilian.

Ang pinakasimpleng paliwanag para sa sagot na ito ay ang sumusunod na pagsasaalang-alang. Upang manalo ng kotse nang hindi binabago ang pagpipilian, dapat hulaan agad ng manlalaro ang pinto sa likod kung saan matatagpuan ang kotse. Ang posibilidad nito ay 1/3. Kung ang manlalaro ay unang nakarating sa isang pinto sa likod kung saan mayroong isang kambing (at ang posibilidad ng kaganapang ito ay 2/3, dahil mayroong dalawang kambing at isang kotse lamang), kung gayon maaari niyang tiyak na mapanalunan ang kotse sa pamamagitan ng pagbabago ng kanyang desisyon, dahil nananatili ang kotse at isang kambing, at binuksan na ng nagtatanghal ang pinto kasama ang kambing.

Kaya, nang hindi binabago ang pagpipilian, ang manlalaro ay nananatili sa kanyang unang posibilidad na manalo ng 1/3, at kapag binago ang paunang pagpipilian, ang manlalaro ay makikinabang sa dalawang beses sa natitirang posibilidad na mali ang kanyang nahulaan sa simula.

Pagkatapos ang problema ay maaaring mabawasan sa sumusunod na pagbabalangkas. Sa unang sandali ng oras, hinati ng manlalaro ang mga pinto sa dalawang grupo: sa unang grupo ay may isang pinto (ang pinili niya), sa pangalawang grupo ay may dalawang natitirang pinto. Sa susunod na sandali sa oras, ang manlalaro ay gagawa ng pagpili sa pagitan ng mga grupo. Malinaw, para sa unang grupo ang posibilidad na manalo ay 1/3, para sa pangalawang grupo ito ay 2/3. Pinipili ng manlalaro ang pangalawang pangkat. Sa pangalawang grupo, maaari niyang buksan ang magkabilang pinto. Ang isa ay binuksan ng nagtatanghal, at ang pangalawa ay ng manlalaro mismo.

Subukan nating ibigay ang "pinaka-naiintindihan" na paliwanag. Reformulate natin ang problema: Ang isang tapat na nagtatanghal ay nag-aanunsyo sa player na may kotse sa likod ng isa sa tatlong pinto, at inaanyayahan siyang ituro muna ang isa sa mga pinto, at pagkatapos ay pumili ng isa sa dalawang aksyon: buksan ang nakasaad na pinto (sa ang lumang pormulasyon na ito ay tinatawag na "huwag baguhin ang iyong pinili ") o buksan ang iba pang dalawa (sa lumang pagbabalangkas ito ay magiging "baguhin ang pagpipilian". Isipin, narito ang susi sa pag-unawa!). Malinaw na pipiliin ng manlalaro ang pangalawa sa dalawang aksyon, dahil ang posibilidad na makatanggap ng kotse sa kasong ito ay dalawang beses na mas mataas. At ang maliit na bagay na "ipinakita ng nagtatanghal ang kambing" bago pa man pumili ng isang aksyon ay hindi nakakatulong o nakahahadlang sa pagpili, dahil sa likod ng isa sa dalawang pinto ay palaging may isang kambing at tiyak na ipapakita ito ng nagtatanghal sa anumang pagliko ng laro , para magamit ng manlalaro ang kambing na ito huwag tumingin. Ang trabaho ng manlalaro, kung pipiliin niya ang pangalawang aksyon, ay magsabi ng "salamat" sa pinuno para sa pagligtas sa kanya sa problema ng pagbukas ng isa sa dalawang pinto mismo, at pagbukas ng isa. Well, o kahit na mas simple. Isipin natin ang sitwasyong ito mula sa punto ng view ng isang nagtatanghal na nagsasagawa ng katulad na pamamaraan sa dose-dosenang mga manlalaro. Dahil alam na alam niya kung ano ang nasa likod ng mga pintuan, kung gayon, sa karaniwan, sa dalawang kaso sa tatlo, nakikita niya nang maaga na pinili ng manlalaro ang "maling" pinto. Samakatuwid, para sa kanya ay tiyak na walang kabalintunaan sa katotohanan na ang tamang diskarte ay upang baguhin ang pagpipilian pagkatapos buksan ang unang pinto: pagkatapos ng lahat, pagkatapos ay sa parehong dalawang kaso sa tatlo ang manlalaro ay aalis sa studio sa isang bagong kotse.

Sa wakas, ang pinaka "walang muwang" na patunay. Hayaan ang isa na naninindigan sa kanyang pinili ay tawaging "Matigas ang ulo," at ang isa na sumusunod sa mga tagubilin ng pinuno ay tinatawag na "Maasikaso." Pagkatapos ay mananalo si Stubborn kung una niyang nahulaan ang kotse (1/3), at nanalo si Attentive kung una niyang napalampas at natamaan ang kambing (2/3). Pagkatapos ng lahat, tanging sa kasong ito ay ituturo niya ang pinto na may kotse.

Mga Susi sa Pag-unawa

Sa kabila ng pagiging simple ng paliwanag para sa hindi pangkaraniwang bagay na ito, maraming tao ang intuitive na naniniwala na ang posibilidad na manalo ay hindi nagbabago kapag binago ng manlalaro ang kanyang pinili. Kadalasan, ang imposibilidad na baguhin ang posibilidad na manalo ay dahil sa katotohanan na kapag kinakalkula ang posibilidad, ang mga pangyayari na nangyari sa nakaraan ay hindi mahalaga, tulad ng nangyayari, halimbawa, kapag naghagis ng barya - ang posibilidad ng pagbagsak ng mga ulo o buntot ay mahalaga. hindi nakadepende kung ilang beses na bumagsak ang ulo o buntot. Samakatuwid, marami ang naniniwala na sa sandaling pinipili ng manlalaro ang isang pinto sa dalawa, hindi na mahalaga na noong nakaraan ay may pagpipilian ng isang pinto sa tatlo, at ang posibilidad na manalo ng kotse ay pareho pareho kapag binabago ang pagpipilian at kapag iniiwan ang orihinal na pagpipilian.

Gayunpaman, bagama't ang mga naturang pagsasaalang-alang ay totoo sa kaso ng mga tosses ng barya, hindi ito totoo para sa lahat ng mga laro. Sa kasong ito, ang pagbubukas ng pinto ng host ay dapat balewalain. Ang manlalaro ay mahalagang pipili sa pagitan ng isang pinto na una nilang pinili at sa iba pang dalawa - ang pagbubukas ng isa sa mga ito ay nagsisilbi lamang upang makagambala sa manlalaro. Nabatid na mayroong isang kotse at dalawang kambing. Ang unang pagpili ng manlalaro sa isa sa mga pinto ay naghahati sa mga posibleng resulta ng laro sa dalawang grupo: alinman sa kotse ay nasa likod ng pinto na pinili ng manlalaro (ang posibilidad na ito ay 1/3), o sa likod ng isa sa dalawa ( ang posibilidad nito ay 2/3). Kasabay nito, alam na na sa anumang kaso mayroong isang kambing sa likod ng isa sa dalawang natitirang pinto, at kapag binubuksan ang pintong ito, ang nagtatanghal ay hindi nagbibigay sa manlalaro ng anumang karagdagang impormasyon tungkol sa kung ano ang nasa likod ng pinto na pinili ng manlalaro. Kaya, ang pinuno na nagbukas ng pinto kasama ang kambing ay hindi nagbabago sa posibilidad (2/3) na ang kotse ay nasa likod ng isa sa mga natitirang pinto. At dahil hindi pipiliin ng manlalaro ang nakabukas na pinto, ang lahat ng posibilidad na ito ay lumalabas na puro kung sakaling ang kotse ay nasa likod ng natitirang saradong pinto.

Mas intuitive na pangangatwiran: Hayaang gamitin ng player ang diskarte na "change choice". Pagkatapos ay matatalo lamang siya kung una niyang pipiliin ang kotse. At ang posibilidad na ito ay isang ikatlo. Samakatuwid, ang posibilidad na manalo: 1-1/3=2/3. Kung susundin ng manlalaro ang diskarte na "huwag baguhin ang pagpipilian", mananalo siya kung at kung una niyang pinili ang kotse. At ang posibilidad na ito ay isang ikatlo.

Isipin natin ang sitwasyong ito mula sa punto ng view ng isang nagtatanghal na nagsasagawa ng katulad na pamamaraan sa dose-dosenang mga manlalaro. Dahil alam na alam niya kung ano ang nasa likod ng mga pintuan, kung gayon, sa karaniwan, sa dalawang kaso sa tatlo, nakikita niya nang maaga na pinili ng manlalaro ang "maling" pinto. Samakatuwid, para sa kanya ay tiyak na walang kabalintunaan sa katotohanan na ang tamang diskarte ay upang baguhin ang pagpipilian pagkatapos buksan ang unang pinto: pagkatapos ng lahat, pagkatapos ay sa parehong dalawang kaso sa tatlo ang manlalaro ay aalis sa studio sa isang bagong kotse.

Ang isa pang karaniwang dahilan para sa kahirapan sa pag-unawa sa solusyon sa problemang ito ay madalas na iniisip ng mga tao ang isang bahagyang naiibang laro - kapag hindi alam nang maaga kung bubuksan ng nagtatanghal ang pinto gamit ang isang kambing at anyayahan ang manlalaro na baguhin ang kanyang pinili. Sa kasong ito, hindi alam ng manlalaro ang mga taktika ng pinuno (iyon ay, mahalagang, hindi alam ang lahat ng mga patakaran ng laro) at hindi maaaring gawin pinakamainam na pagpipilian. Halimbawa, kung ang nagtatanghal ay nag-aalok lamang ng pagbabago ng opsyon kung ang player sa una ay pinili ang pinto na may kotse, kung gayon, malinaw naman, dapat palaging iwanan ng manlalaro ang orihinal na desisyon na hindi nagbabago. Ito ang dahilan kung bakit mahalagang isaisip ang eksaktong pagbabalangkas ng problema sa Monty Hall. (sa pagpipiliang ito, ang pinuno na may iba't ibang mga diskarte ay maaaring makamit ang anumang posibilidad sa pagitan ng mga pintuan, sa pangkalahatan (average) kaso ito ay magiging 1/2 hanggang 1/2).

Ang pagtaas ng bilang ng mga pinto

Upang mas madaling maunawaan ang kakanyahan ng kung ano ang nangyayari, maaari naming isaalang-alang ang kaso kapag ang player ay nakikita sa harap niya hindi tatlong pinto, ngunit, halimbawa, isang daan. Bukod dito, sa likod ng isa sa mga pintuan ay may isang kotse, at sa likod ng iba pang 99 ay may mga kambing. Pinipili ng manlalaro ang isa sa mga pintuan, at sa 99% ng mga kaso pipiliin niya ang pinto na may isang kambing, at ang mga pagkakataon na agad na pumili ng pinto na may kotse ay napakaliit - sila ay 1%. Pagkatapos nito, binuksan ng nagtatanghal ang 98 na pinto na may mga kambing at iniimbitahan ang manlalaro na piliin ang natitirang pinto. Gayunpaman, sa 99% ng mga kaso ang kotse ay nasa likod ng natitirang pinto, dahil ang mga pagkakataon na agad na pinili ng manlalaro ang tamang pinto ay napakaliit. Malinaw na sa sitwasyong ito ang isang makatwirang nag-iisip na manlalaro ay dapat palaging tanggapin ang alok ng pinuno.

Kung isasaalang-alang ang isang pagtaas ng bilang ng mga pintuan, madalas na lumitaw ang tanong: kung sa orihinal na gawain ang pinuno ay nagbukas ng isang pinto sa tatlo (iyon ay, 1/3 ng kabuuang bilang mga pinto), kung gayon bakit natin ipagpalagay na sa kaso ng 100 mga pinto ang nagtatanghal ay magbubukas ng 98 na mga pinto na may mga kambing, at hindi 33? Ang pagsasaalang-alang na ito ay karaniwang isa sa mga makabuluhang dahilan kung bakit sumasalungat ang kabalintunaan ng Monty Hall sa intuitive na pang-unawa sa sitwasyon. Tamang ipagpalagay na 98 na pinto ang bubuksan dahil ang isang mahalagang kondisyon ng gawain ay ang pagkakaroon lamang ng isang alternatibong pagpipilian para sa manlalaro, na iminungkahi ng nagtatanghal. Samakatuwid, upang ang mga gawain ay magkatulad, sa kaso ng 4 na pinto ang pinuno ay dapat magbukas ng 2 pinto, sa kaso ng 5 pinto - 3, at iba pa, upang laging may isang hindi natitira. binuksan ang pinto maliban sa isa na unang pinili ng manlalaro. Kung ang nagtatanghal ay magbubukas ng mas kaunting mga pinto, ang gawain ay hindi na katulad ng orihinal na gawain sa Monty Hall.

Dapat pansinin na sa kaso ng maraming mga pinto, kahit na ang nagtatanghal ay umalis hindi isang pinto na sarado, ngunit marami, at iniimbitahan ang manlalaro na pumili ng isa sa mga ito, pagkatapos ay kapag binago ang paunang pagpipilian, ang pagkakataon ng manlalaro na manalo ng kotse ay tumaas pa rin, bagaman hindi gaanong kapansin-pansin. Halimbawa, isaalang-alang ang isang sitwasyon kung saan ang isang manlalaro ay pumili ng isang pinto sa isang daan, at pagkatapos ay ang host ay magbubukas lamang ng isa sa mga natitirang pinto, na nag-iimbita sa manlalaro na baguhin ang kanyang pinili. Kasabay nito, ang mga pagkakataon na ang kotse ay nasa likod ng pinto na unang pinili ng manlalaro ay nananatiling pareho - 1/100, at para sa natitirang mga pinto ay nagbabago ang mga pagkakataon: ang kabuuang posibilidad na ang kotse ay nasa likod ng isa sa mga natitirang pinto ( 99/100) ay ipinamahagi na ngayon hindi sa ibabaw Mayroong 99 na mga pinto, ngunit 98. Samakatuwid, ang posibilidad na makahanap ng kotse sa likod ng bawat isa sa mga pintong ito ay hindi 1/100, ngunit 99/9800. Ang pagtaas ng posibilidad ay humigit-kumulang 0.01%.

Puno ng Desisyon

Puno posibleng solusyon manlalaro at nagtatanghal, na nagpapakita ng posibilidad ng bawat resulta

Sa mas pormal na paraan, maaaring ilarawan ang senaryo ng laro gamit ang isang puno ng desisyon.

Sa unang dalawang kaso, kung saan unang pinili ng manlalaro ang pinto kung saan matatagpuan ang kambing, ang pagbabago ng pagpipilian ay nagreresulta sa isang panalo. Sa huling dalawang kaso, noong unang pinili ng manlalaro ang pinto gamit ang kotse, ang pagbabago ng pagpipilian ay nagreresulta sa pagkatalo.

Ang kabuuang posibilidad na ang pagbabago sa pagpili ay hahantong sa isang panalo ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad ng unang dalawang resulta, iyon ay

Alinsunod dito, ang posibilidad na ang pagtanggi na baguhin ang pagpipilian ay hahantong sa isang pakinabang ay katumbas ng

Isakatuparan katulad na eksperimento

Mayroong isang simpleng paraan upang i-verify na ang pagbabago ng iyong unang pagpipilian ay nagreresulta sa isang panalo dalawa sa tatlong beses sa karaniwan. Upang gawin ito, maaari mong gayahin ang larong inilarawan sa problema sa Monty Hall gamit Baraha. Ang isang tao (nakikitungo sa mga card) ay gumaganap ng papel ng host na si Monty Hall, at ang pangalawa ay gumaganap ng papel ng manlalaro. Para sa laro, tatlong card ang kinuha, kung saan ang isa ay naglalarawan ng isang pinto na may kotse (halimbawa, isang ace of spades), at ang iba pang dalawa, magkapareho (halimbawa, dalawang red deuces) ay kumakatawan sa mga pinto na may mga kambing.

Ang nagtatanghal ay naglatag ng tatlong card nang nakaharap, na nag-aanyaya sa manlalaro na kunin ang isa sa mga card. Pagkatapos pumili ng card ang manlalaro, titingnan ng pinuno ang dalawang natitirang card at ipapakita ang isang pulang dalawa. Pagkatapos nito, ang mga kard na natitira para sa manlalaro at nagtatanghal ay bubuksan, at kung ang kard na pinili ng manlalaro ay ang ace of spades, kung gayon ang isang punto ay naitala pabor sa opsyon kapag hindi binago ng manlalaro ang kanyang pinili, at kung ang manlalaro ay lumabas na may pulang dalawa, at ang pinuno ay nananatili sa ace of spades, pagkatapos ay itatala ang isang punto na pabor sa opsyon kapag binago ng manlalaro ang kanyang pinili. Kung maraming mga ganitong round ng laro ang nilalaro, kung gayon ang ratio ng mga puntos na pabor sa dalawang pagpipilian ay medyo mahusay na sumasalamin sa ratio ng mga probabilidad ng mga pagpipiliang ito. Lumalabas na ang bilang ng mga puntos na pabor sa pagbabago ng paunang pagpipilian ay humigit-kumulang dalawang beses na mas malaki.

Ang ganitong eksperimento ay nagbibigay-daan sa amin hindi lamang upang i-verify na ang posibilidad na manalo kapag binago ang pagpipilian ay dalawang beses na mas malaki, ngunit mahusay na naglalarawan kung bakit ito nangyayari. Sa sandaling pumili ang manlalaro ng card, natukoy na kung ang ace of spades ay nasa kanyang kamay o wala. Ang karagdagang pagbubukas ng pinuno ng isa sa kanyang mga card ay hindi nagbabago sa sitwasyon - hawak na ng manlalaro ang card sa kanyang kamay, at nananatili ito doon anuman ang mga aksyon ng pinuno. Ang posibilidad para sa isang manlalaro na pumili ng ace of spades mula sa tatlong baraha ay malinaw na 1/3, at sa gayon ang posibilidad na hindi ito mapili (at pagkatapos ay mananalo ang manlalaro kung binago niya ang kanyang orihinal na pagpipilian) ay 2/3.

Banggitin

Sa pelikulang Twenty-One, tinanong ng guro, si Miki Rosa, ang pangunahing karakter, si Ben, na lutasin ang isang palaisipan: sa likod ng tatlong pinto ay may dalawang scooter at isang kotse, kailangan mong hulaan ang pinto upang manalo sa kotse. Pagkatapos ng unang pagpipilian, iminumungkahi ni Miki na baguhin ang pagpipilian. Sumang-ayon si Ben at nakipagtalo sa matematika para sa kanyang desisyon. Kaya hindi niya sinasadyang pumasa sa pagsusulit para sa koponan ni Mika.

Sa nobela ni Sergei Lukyanenko na "The Klutz," ginagamit ng mga pangunahing tauhan ang diskarteng ito upang manalo ng karwahe at ng pagkakataong ipagpatuloy ang kanilang paglalakbay.

Sa serye sa telebisyon na "4isla" (episode 13 ng season 1 "Man Hunt"), isa sa mga pangunahing karakter, si Charlie Epps, ay nagpapaliwanag ng kabalintunaan ng Monty Hall sa isang tanyag na panayam sa matematika, na biswal na naglalarawan nito gamit ang mga marker board, sa downsides kung saan ang mga kambing at isang kotse ay iginuhit. Hinahanap talaga ni Charlie ang kotse pagkatapos baguhin ang kanyang pinili. Gayunpaman, dapat tandaan na siya ay nagsasagawa lamang ng isang eksperimento, habang ang bentahe ng pagpipiliang diskarte sa paglipat ay istatistika, at isang serye ng mga eksperimento ay dapat isagawa upang mailarawan ito nang maayos.

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/36146

Pamilyar tayong lahat sa sitwasyon kung kailan, sa halip na matino na pagkalkula, umasa tayo sa ating intuwisyon. Pagkatapos ng lahat, dapat nating aminin na hindi laging posible na kalkulahin ang lahat bago gumawa ng isang pagpipilian. At gaano man kawalang-halaga ang mga tao, na nakasanayan nang gumawa ng kanilang pagpili pagkatapos lamang ng maingat na pagsusuri, hindi nila ito kinailangang gawin sa prinsipyo ng "marahil ay gayon." Ang isa sa mga dahilan para sa naturang aksyon ay maaaring ang simpleng kakulangan ng kinakailangang oras upang masuri ang sitwasyon.

Kasabay nito, ang pagpipilian ay naghihintay sa kasalukuyang sitwasyon ngayon, at hindi pinapayagan kang makatakas sa sagot o aksyon. Ngunit mas nakakalito na mga sitwasyon para sa amin, na nasa literal nagiging sanhi ng spasm ng utak - ito ay ang pagkasira ng kumpiyansa sa kawastuhan ng pagpili o sa posibleng higit na kahusayan nito sa iba pang mga opsyon batay sa mga lohikal na konklusyon. Ang lahat ng umiiral na kabalintunaan ay nakabatay dito.

Paradox sa laro ng palabas sa TV na "Let's Make a Deal"

Ang isa sa mga kabalintunaan na nagdudulot ng mainit na debate sa mga mahilig sa palaisipan ay tinatawag na Monty Hall Paradox. Ipinangalan ito sa host ng isang palabas sa TV sa US na tinatawag na "Let's Make a Deal". Sa isang palabas sa TV, nag-aalok ang host na buksan ang isa sa tatlong pinto, kung saan ang premyo ay isang kotse, habang sa likod ng dalawa ay may tig-isang kambing.

Ang kalahok sa laro ay pumipili, ngunit ang nagtatanghal, na alam kung nasaan ang kotse, ay hindi nagbubukas ng pinto na ipinahiwatig ng manlalaro, ngunit isa pa, kung saan matatagpuan ang kambing, at nag-aalok na baguhin ang paunang pagpipilian ng manlalaro. Para sa karagdagang pagsusuri, tinatanggap namin ang partikular na variant ng pag-uugali ng pinuno, bagama't sa katunayan maaari itong magbago nang pana-panahon. Ililista lang namin ang iba pang mga opsyon sa senaryo ng pag-unlad sa ibaba sa artikulo.

Ano ang diwa ng kabalintunaan?

Muli, punto sa punto, italaga natin ang mga kundisyon at baguhin ang mga bagay sa laro sa sarili natin para sa iba't-ibang.

Ang kalahok ng laro ay nasa isang silid na may tatlong safe deposit box. Sa isa sa tatlong mga cell mayroong isang gintong bar ng ginto, sa iba pang dalawa ay may isang barya na may halaga ng mukha ng 1 kopeck ng USSR.

Kaya, ang kalahok ay nahaharap sa isang pagpipilian at ang mga kondisyon ng laro ay ang mga sumusunod:

Ang kalahok ay maaaring pumili lamang ng isa sa tatlong mga cell.
Alam ng bangkero sa simula ang lokasyon ng bullion.
Ang bangkero ay palaging nagbubukas ng isang cell na may barya na iba sa pinili ng manlalaro at nag-aalok na baguhin ang pinili ng manlalaro.
Ang manlalaro ay maaaring, sa turn, baguhin ang kanyang pinili o iwanan ang orihinal.

Ano ang sinasabi ng intuwisyon?

Ang kabalintunaan ay para sa karamihan ng mga tao na nakasanayan nang mag-isip nang lohikal, ang mga pagkakataong manalo kung babaguhin nila ang kanilang paunang pagpipilian ay 50 hanggang 50. Pagkatapos ng lahat, pagkatapos na magbukas ang bangkero ng isa pang cell na may barya, naiiba sa unang pagpipilian ng manlalaro, 2 nananatili ang mga cell, ang isa ay naglalaman ng gold bar, at ang isa ay barya. Panalo ang player sa bullion kung tatanggapin niya ang alok ng banker na palitan ang cell, sa kondisyon na walang bullion sa orihinal na napiling cell ng player. And vice versa, under this condition, talo siya kung tatanggi siyang tanggapin ang offer.

Tulad ng iminumungkahi ng sentido komun, ang posibilidad na pumili ng isang ingot at manalo sa kasong ito ay 1/2. Ngunit sa katotohanan ay iba ang sitwasyon! "Ngunit paano ito mangyayari, ang lahat ay malinaw dito?" - tanong mo. Sabihin nating pinili mo ang cell No. 1. Sa madaling salita, oo, anuman ang iyong pinili sa una, sa huli ay mayroon ka talagang pagpipilian sa pagitan ng isang barya at isang ingot. At kung sa una ay mayroon kang 1/3 na posibilidad na makatanggap ng premyo, sa huli, kapag ang isang bangkero ay nagbukas ng isang cell, makakakuha ka ng 1/2 na posibilidad. Ang posibilidad ay tila tumaas mula 1/3 hanggang 1/2. Sa maingat na pagsusuri ng laro, lumalabas na kapag binago ang desisyon, ang posibilidad ay tataas sa 2/3 sa halip na ang intuitive na 1/2. Tingnan natin kung bakit ito nangyayari.

Hindi tulad ng intuitive level, kung saan isinasaalang-alang ng ating kamalayan ang kaganapan pagkatapos na baguhin ang cell bilang isang bagay na hiwalay at nakalimutan ang tungkol sa paunang pagpili, hindi pinaghihiwalay ng matematika ang dalawang kaganapang ito, sa halip ay pinapanatili ang kadena ng mga kaganapan mula simula hanggang katapusan. Kaya, tulad ng sinabi namin kanina, ang aming mga pagkakataon na manalo kung makarating kami kaagad sa isang ingot ay 1/3, at ang posibilidad na pumili kami ng isang cell na may barya ay 2/3 (dahil mayroon kaming isang ingot at dalawang barya) .

Una kaming pumili ng isang bank cell na may ingot - probability 1/3.
- Kung binago ng manlalaro ang kanyang pinili sa pamamagitan ng pagtanggap sa alok ng bangkero, natatalo siya.
- Kung hindi binago ng manlalaro ang kanyang pinili sa pamamagitan ng hindi pagtanggap sa alok ng bangkero, siya ang nanalo.
Pumili kami ng safe deposit box na may barya sa unang pagkakataon - ang posibilidad ay 2/3.
- Kung binago ng manlalaro ang kanyang pinili, siya ang nanalo.
- Kung hindi binago ng manlalaro ang kanyang pinili, talo siya.

Kaya, upang ang isang manlalaro ay umalis sa bangko na may isang gintong bar sa kanyang bulsa, dapat siyang pumili ng isang posisyon sa unang pagkawala na may isang barya (probability 1/3), at pagkatapos ay tanggapin ang alok ng banker na baguhin ang cell.

Upang maunawaan ang kabalintunaan na ito at makawala sa mga tanikala ng pattern ng unang pagpipilian at ang natitirang mga cell, isipin natin ang pag-uugali ng manlalaro sa eksaktong kabaligtaran na paraan. Bago mag-alok ang bangkero ng isang cell para sa pagpili, tinutukoy ng manlalaro na binabago niya ang kanyang pinili, at pagkatapos lamang nito ang kaganapan ng pagbubukas ng karagdagang pinto ay susunod para sa kanya. Bakit hindi? Pagkatapos ng lahat, ang isang bukas na pinto ay hindi nagbibigay sa kanya ng karagdagang impormasyon sa gayong lohikal na pagkakasunud-sunod. Sa unang yugto ng oras, hinahati ng manlalaro ang mga cell sa dalawang magkaibang lugar: ang una ay isang lugar na may isang cell na may una niyang pinili, ang pangalawa sa dalawang natitirang mga cell. Susunod, ang manlalaro ay kailangang pumili sa pagitan ng dalawang lugar. Ang posibilidad na makakuha ng gold bar mula sa cell mula sa unang lugar ay 1/3, mula sa pangalawa ay 2/3. Ang pagpipilian ay sumusunod sa isang pangalawang lugar kung saan maaari niyang buksan ang dalawang mga cell, ang una ay bubuksan ng bangkero, ang pangalawa sa pamamagitan ng kanyang sarili.

Mayroong mas malinaw na paliwanag para sa Monty Hall Paradox. Upang gawin ito, kailangan mong baguhin ang mga salita ng gawain. Nilinaw ng bangkero na mayroong gold bar sa isa sa tatlong safe deposit box. Sa unang kaso, nag-aalok siya upang buksan ang isa sa tatlong mga cell, at sa pangalawa - dalawa sa parehong oras. Ano ang pipiliin ng manlalaro? Well, siyempre, dalawa nang sabay-sabay, sa pamamagitan ng pagdodoble ng posibilidad. At sa sandaling binuksan ng banker ang isang cell na may barya, ito ay talagang hindi nakakatulong sa player sa anumang paraan at hindi hadlangan ang pagpili, dahil ang banker ay magpapakita ng cell na ito na may isang barya sa anumang kaso, kaya ang player ay maaaring balewalain lamang pagkilos na ito. Mula sa panig ng manlalaro, maaari lamang pasalamatan ng isa ang bangkero sa pagpapadali ng kanyang buhay, at sa halip na dalawa, kailangan niyang magbukas ng isang cell. Sa wakas, maaari mong mapupuksa ang paradox syndrome kung ilalagay mo ang iyong sarili sa lugar ng isang bangkero na sa simula ay alam na ang manlalaro ay tumuturo sa maling pinto sa dalawa sa tatlong mga kaso. Para sa bangkero, walang kabalintunaan tulad nito, dahil eksakto sa naturang pagbabaligtad ng mga kaganapan ay sigurado siya na kung magbago ang mga kaganapan, ang manlalaro ay kukuha ng gold bar.

Ang kabalintunaan ng Monty Hall ay malinaw na hindi pinapayagan ang mga konserbatibo na manalo, na matatag na nakatayo sa kanilang paunang pagpili at nawawala ang kanilang pagkakataon na tumaas ang posibilidad. Para sa mga konserbatibo, mananatili itong 1/3. Para sa mapagbantay at matitinong mga tao ito ay lumalaki sa itaas 2/3.

Ang lahat ng mga pahayag sa itaas ay may kaugnayan lamang kung ang mga kundisyon na napagkasunduan sa una ay natutugunan.

Paano kung dagdagan natin ang bilang ng mga cell?

Paano kung dagdagan natin ang bilang ng mga cell? Sabihin nating sa halip na tatlo ay magkakaroon ng 50. Ang gold bar ay nasa isang cell lamang, at ang natitirang 49 ay maglalaman ng mga barya. Alinsunod dito, sa kaibahan sa klasikong kaso, ang posibilidad na matamaan ang target sa paglipat ay 1/50 o 2% sa halip na 1/3, habang ang posibilidad ng pagpili ng isang cell na may barya ay 98%. Pagkatapos ay bubuo ang sitwasyon, tulad ng sa nakaraang kaso. Nag-aalok ang bangkero upang buksan ang alinman sa 50 mga cell, pipiliin ng kalahok. Sabihin nating nagbubukas ang manlalaro ng cell na may mga serial number na 49. Ang banker naman, tulad ng sa klasikong bersyon, ay hindi nagmamadaling tuparin ang pagnanais ng manlalaro at nagbukas ng isa pang 48 na cell na may mga barya at nag-aalok na baguhin ang kanyang pinili sa natitira. sa numero 50.

Mahalagang maunawaan dito na ang bangkero ay nagbubukas ng eksaktong 48 na mga cell, hindi 30, at nag-iiwan ng 2, kabilang ang pinili ng manlalaro. Ang pagpipiliang ito ang nagpapahintulot sa kabalintunaan na sumalungat sa intuwisyon. Tulad ng klasikong opsyon, ang banker na nagbubukas ng 48 cell ay nag-iiwan lamang ng isang alternatibong opsyon na mapagpipilian. Ang kaso ng variant ng mas maliit na pagbubukas ng mga cell ay hindi nagpapahintulot sa amin na ilagay ang problema sa isang par sa mga classic at pakiramdam ang kabalintunaan.

Ngunit dahil hinawakan natin ang opsyong ito, ipagpalagay natin na ang bangkero ay hindi nag-iiwan ng isa maliban sa pinili ng manlalaro, ngunit ilang mga cell. Iniharap, tulad ng dati, 50 mga cell. Pagkatapos piliin ang manlalaro, ang bangkero ay magbubukas lamang ng isang cell, na iniiwan ang 48 na mga cell na sarado, kabilang ang pinili ng manlalaro. Ang posibilidad ng pagpili ng isang ingot sa unang pagkakataon ay 1/50. Sa kabuuan, ang posibilidad na makahanap ng ingot sa natitirang mga cell ay 49/50, na kumakalat naman hindi sa 49, ngunit higit sa 48 na mga cell. Hindi mahirap kalkulahin na ang posibilidad na makahanap ng ingot sa opsyong ito ay (49/50)/48=49/2900. Ang posibilidad, bagaman hindi gaanong, ay mas mataas pa rin sa 1/50 ng humigit-kumulang 1%.

Gaya ng nabanggit namin sa simula pa lang, ang host ng Monty Hall sa klasikong senaryo ng laro na may mga pinto, kambing at isang premyong kotse ay maaaring magbago ng mga kondisyon ng laro at, kasama nito, ang posibilidad na manalo.

Ang matematika ng kabalintunaan

Pwede ba sila mga pormula sa matematika patunayan ang pagtaas ng posibilidad kapag nagbabago ng mga pagpipilian?
Isipin natin ang kadena ng mga kaganapan sa anyo ng isang set na nahahati sa dalawang bahagi, ang unang bahagi ay kukunin bilang X - ito ang pagpili ng manlalaro ng isang ligtas na cell sa unang yugto; at ang pangalawang set Y - ang natitirang dalawang natitirang mga cell. Ang posibilidad (B) na manalo para sa mga cell 2 at 3 ay maaaring ipahayag gamit ang mga formula.

B(2) = 1/2 * 2/3 = 1/3
B(3) = 1/2 * 2/3= 1/3

Kung saan ang 1/2 ay ang posibilidad na mabuksan ng banker ang mga cell 2 at 3, sa kondisyon na ang manlalaro sa una ay pumili ng isang cell na walang bullion.
Dagdag pa kondisyon na maaaring mangyari Kapag ang bangkero ay nagbukas ng isang cell na may barya, ang 1/2 ay nagbabago sa 1 at 0. Pagkatapos ang mga formula ay nasa sumusunod na anyo:

B(2) = 0 * 2/3 = 0
B(3) = 1 * 2/3 = 1

Dito ay malinaw nating nakikita na ang posibilidad ng pagpili ng isang ingot sa cell 3 ay 2/3, na higit sa 60 porsyento lamang.
Ang isang napaka entry-level na programmer ay madaling masubok ang kabalintunaan na ito sa pamamagitan ng pagsusulat ng isang programa na kinakalkula ang posibilidad kapag ang isang pagpipilian ay nagbago o vice versa at inihambing ang mga resulta.

Paliwanag ng kabalintunaan sa pelikulang 21 (Dalawampu't isa)

Ang isang visual na paliwanag ng Monty Paul paradox ay ibinigay sa pelikulang "21" (Dalawampu't isa), sa direksyon ni Robert Luketic. Sa kanyang panayam, si Propesor Mickey Rosa ay nagbigay ng halimbawa mula sa palabas na Let's Make a Deal at nagtanong sa mag-aaral na si Ben Campbell (aktor at mang-aawit na si James Anthony) ng tanong tungkol sa probability distribution, na nagbibigay ng tamang pamamahagi at sa gayon ay nagulat ang guro.

Pag-aaral sa sarili ng kabalintunaan

Para sa mga taong gustong suriin ang resulta sa kanilang sarili sa pagsasanay, ngunit walang mathematical na batayan, iminumungkahi namin na gayahin ang isang laro sa iyong sarili, kung saan ikaw ang magiging host at ibang tao ang magiging manlalaro. Maaari mong isali ang mga bata sa larong ito, na pipili ng mga candies o candy wrapper mula sa kanila sa mga pre-prepared na karton na kahon. Sa bawat pagpipilian, siguraduhing itala ang resulta para sa karagdagang pagkalkula.

Isipin na ang isang bangkero ay nag-aalok sa iyo na pumili ng isa sa tatlong saradong kahon. Sa isa sa kanila mayroong 50 cents, sa isa pa - isang dolyar, sa pangatlo - 10 libong dolyar. Alinman ang pipiliin mo, matatanggap mo ito bilang isang premyo.

Pumili ka nang random, halimbawa, kahon No. 1. At pagkatapos ay ang bangkero (na, natural, alam kung nasaan ang lahat) bago ang iyong mga mata ay nagbukas ng isang kahon na may isang dolyar (sabihin natin na ito ang No. 2), pagkatapos nito ay inaanyayahan ka niyang palitan ang unang napiling kahon No. 1 sa kahon No. 3.

Dapat mo bang baguhin ang iyong isip? Tataas ba nito ang iyong pagkakataong makakuha ng 10 libo?

Ito ang kabalintunaan ng Monty Hall - isang problema sa teorya ng posibilidad, ang solusyon kung saan, sa unang tingin, ay sumasalungat sa sentido komun. Ang mga tao ay nalilito sa problemang ito mula pa noong 1975.

Ang kabalintunaan ay ipinangalan sa host ng sikat na American TV show na "Let's Make a Deal." Ang palabas sa TV na ito ay may katulad na mga patakaran, ang mga kalahok lamang ang pumili ng mga pintuan, sa likod ng dalawa kung saan may mga kambing na nagtatago, sa likod ng pangatlo - isang Cadillac.

Karamihan sa mga manlalaro ay nangatuwiran pagkatapos mga saradong pinto may dalawang natira at sa likod ng isa ay may Cadillac, tapos ang tsansa na makuha ito ay 50-50. Obviously, kapag binuksan ng nagtatanghal ang isang pinto at iniimbitahan kang baguhin ang iyong desisyon, siya ay nagsisimula. bagong laro. Baguhin mo man ang iyong desisyon o hindi, ang iyong mga pagkakataon ay magiging 50 porsyento pa rin. tama?

Hindi pala. Sa katunayan, sa pamamagitan ng pagbabago ng iyong isip, maaari mong doblehin ang iyong mga pagkakataon na magtagumpay. Bakit?

Ang isang intuitive na paliwanag ay maaari ding gawin sa pamamagitan ng pagpapalit ng dalawang kaganapan. Ang unang kaganapan ay ang manlalaro na gumagawa ng desisyon na baguhin ang pinto, ang pangalawang kaganapan ay ang pagbubukas ng dagdag na pinto. Ito ay katanggap-tanggap, dahil ang pagbubukas ng karagdagang pinto ay hindi nagbibigay sa manlalaro ng anumang bagong impormasyon (tingnan ang artikulong ito para sa dokumentasyon). Pagkatapos ang problema ay maaaring mabawasan sa sumusunod na pagbabalangkas. Sa unang sandali ng oras, hinati ng manlalaro ang mga pinto sa dalawang grupo: sa unang grupo ay may isang pinto (ang pinili niya), sa pangalawang grupo ay may dalawang natitirang pinto. Sa susunod na sandali sa oras, ang manlalaro ay gagawa ng pagpili sa pagitan ng mga grupo. Malinaw, para sa unang grupo ang posibilidad na manalo ay 1/3, para sa pangalawang grupo ito ay 2/3. Pinipili ng manlalaro ang pangalawang pangkat. Sa pangalawang grupo, maaari niyang buksan ang magkabilang pinto. Ang isa ay binuksan ng nagtatanghal, at ang pangalawa ay ng manlalaro mismo.

Subukan nating ibigay ang "pinaka-naiintindihan" na paliwanag. Reformulate natin ang problema: Ang isang tapat na nagtatanghal ay nag-aanunsyo sa player na may kotse sa likod ng isa sa tatlong pinto, at inaanyayahan siyang ituro muna ang isa sa mga pinto, at pagkatapos ay pumili ng isa sa dalawang aksyon: buksan ang nakasaad na pinto (sa ang lumang pormulasyon na ito ay tinatawag na "huwag baguhin ang iyong pinili ") o buksan ang iba pang dalawa (sa lumang pagbabalangkas ito ay magiging "baguhin ang pagpipilian". Isipin, narito ang susi sa pag-unawa!). Malinaw na pipiliin ng manlalaro ang pangalawa sa dalawang aksyon, dahil ang posibilidad na makatanggap ng kotse sa kasong ito ay dalawang beses na mas mataas. At ang maliit na bagay na "ipinakita ng nagtatanghal ang kambing" bago pa man pumili ng isang aksyon ay hindi nakakatulong o nakahahadlang sa pagpili, dahil sa likod ng isa sa dalawang pinto ay palaging may isang kambing at tiyak na ipapakita ito ng nagtatanghal sa anumang pagliko ng laro , para magamit ng manlalaro ang kambing na ito huwag tumingin. Nasa player, kung pipiliin niya ang pangalawang aksyon, na sabihin ang "salamat" sa pinuno para sa pagligtas sa kanya sa problema ng pagbukas ng isa sa dalawang pinto mismo, at pagbubukas ng isa. Well, o kahit na mas simple. Isipin natin ang sitwasyong ito mula sa punto ng view ng isang nagtatanghal na nagsasagawa ng katulad na pamamaraan sa dose-dosenang mga manlalaro. Dahil alam na alam niya kung ano ang nasa likod ng mga pintuan, kung gayon, sa karaniwan, sa dalawang kaso sa tatlo, nakikita niya nang maaga na pinili ng manlalaro ang "maling" pinto. Samakatuwid, para sa kanya ay tiyak na walang kabalintunaan sa katotohanan na ang tamang diskarte ay upang baguhin ang pagpipilian pagkatapos buksan ang unang pinto: pagkatapos ng lahat, pagkatapos ay sa parehong dalawang kaso sa tatlo ang manlalaro ay aalis sa studio sa isang bagong kotse.

Monty Hall, producer at show host Gumawa tayo ng Deal mula 1963 hanggang 1991.

Noong 1990, ang problemang ito at ang solusyon nito ay inilathala sa American magazine na Parade. Ang publikasyon ay nagdulot ng matinding galit na mga pagsusuri mula sa mga mambabasa, na marami sa kanila ay may mga siyentipikong degree.

Ang pangunahing reklamo ay hindi lahat ng mga kondisyon ng gawain ay tinukoy, at anumang nuance ay maaaring makaapekto sa resulta. Halimbawa, maaaring mag-alok ang nagtatanghal na baguhin ang desisyon kung pinili ng manlalaro ang isang kotse bilang unang hakbang. Malinaw, ang pagbabago ng paunang pagpipilian sa ganitong sitwasyon ay hahantong sa isang garantisadong pagkawala.

Gayunpaman, sa buong pag-iral ng Monty Hall TV show, ang mga taong nagbago ng isip ay talagang nanalo ng dalawang beses nang mas madalas:

Sa 30 manlalaro na nagbago ng kanilang orihinal na desisyon, nanalo si Cadillac ng 18 - iyon ay, 60%

Sa 30 manlalaro na nanatili sa kanilang pinili, nanalo si Cadillac ng 11 - iyon ay, humigit-kumulang 36%

Kaya ang pangangatwiran na ibinigay sa desisyon, gaano man ito hindi makatwiran, ay kinukumpirma ng pagsasanay.

Ang pagtaas ng bilang ng mga pinto

Kung isasaalang-alang ang isang pagtaas ng bilang ng mga pintuan, madalas na lumitaw ang tanong: kung sa orihinal na problema ang pinuno ay nagbukas ng isang pinto sa tatlo (iyon ay, 1/3 ng kabuuang bilang ng mga pinto), kung gayon bakit natin ipagpalagay na sa kaso sa 100 pinto ang pinuno ay magbubukas ng 98 na pinto na may mga kambing, at hindi 33? Ang pagsasaalang-alang na ito ay karaniwang isa sa mga makabuluhang dahilan kung bakit sumasalungat ang kabalintunaan ng Monty Hall sa intuitive na pang-unawa sa sitwasyon. Tamang ipagpalagay na 98 na pinto ang bubuksan dahil ang isang mahalagang kondisyon ng gawain ay ang pagkakaroon lamang ng isang alternatibong pagpipilian para sa manlalaro, na iminungkahi ng nagtatanghal. Samakatuwid, upang ang mga gawain ay magkatulad, sa kaso ng 4 na pinto ang pinuno ay dapat magbukas ng 2 pinto, sa kaso ng 5 pinto - 3, at iba pa, upang palaging mayroong isang hindi nakabukas na pinto maliban sa isa na unang pinili ng manlalaro. Kung ang nagtatanghal ay magbubukas ng mas kaunting mga pinto, ang gawain ay hindi na katulad ng orihinal na gawain sa Monty Hall.

Isang puno ng mga posibleng desisyon ng manlalaro at ng pinuno, na nagpapakita ng posibilidad ng bawat resulta. Sa mas pormal na paraan, maaaring ilarawan ang senaryo ng laro gamit ang decision tree. Sa unang dalawang kaso, kung saan unang pinili ng manlalaro ang pinto kung saan matatagpuan ang kambing, ang pagbabago ng pagpipilian ay nagreresulta sa isang panalo. Sa huling dalawang kaso, noong unang pinili ng manlalaro ang pinto gamit ang kotse, ang pagbabago ng pagpipilian ay nagreresulta sa pagkatalo.

Kung hindi pa rin malinaw sa iyo, dumura sa mga formula at makatarungansuriin ang lahat ng istatistika. Isa pang posibleng paliwanag:

Ang isang manlalaro na ang diskarte ay upang baguhin ang napiling pinto sa bawat oras ay matatalo lamang kung una niyang pinili ang pinto kung saan may sasakyan sa likod nito.
Dahil ang posibilidad ng pagpili ng kotse sa unang pagsubok ay isa sa tatlo (o 33%), ang pagkakataon na hindi pumili ng kotse kung binago ng manlalaro ang kanyang pinili ay isa rin sa tatlo (o 33%).
Nangangahulugan ito na ang manlalaro na gumamit ng diskarte sa pagpapalit ng pinto ay mananalo na may posibilidad na 66% o dalawa hanggang tatlo.
Doblehin nito ang mga pagkakataong manalo para sa isang manlalaro na ang diskarte ay hindi baguhin ang kanyang pinili sa bawat oras.

Hindi pa rin naniniwala sa akin? Ipagpalagay natin na pinili mo ang pinto #1. Narito ang lahat ng posibleng opsyon para sa kung ano ang maaaring mangyari sa kasong ito.

Isipin na ikaw ay naging isang kalahok sa isang laro kung saan kailangan mong pumili ng isa sa tatlong mga pinto. Sa likod ng isa sa mga pinto ay isang kotse, sa likod ng dalawa pang pinto ay mga kambing. Pumili ka ng isa sa mga pintuan, halimbawa, numero 1, pagkatapos kung saan ang pinuno, na nakakaalam kung nasaan ang kotse at kung nasaan ang mga kambing, ay nagbubukas ng isa sa mga natitirang pinto, halimbawa, numero 3, sa likod kung saan mayroong isang kambing. Pagkatapos ay tatanungin ka niya kung gusto mong baguhin ang iyong pinili at piliin ang numero ng pinto 2. Tataas ba ang iyong pagkakataong manalo sa kotse kung tatanggapin mo ang alok ng host at babaguhin ang iyong pinili?

Solusyon. Tandaan natin kaagad na ang problemang ito ay hindi naglalaman ng anumang kabalintunaan. Karaniwang gawain ( Unang antas) sa formula ng Bayes, na sumusunod mula sa kahulugan ng conditional probability.

Formula ng Bayes

Tukuyin natin sa pamamagitan ng A ang kaganapan - nanalo ka ng kotse.

Naglagay kami ng dalawang hypotheses: H 1 - hindi mo binabago ang pinto, at H 2 - binago mo ang pinto.

P(H 1) = 1/3 - a priori (ang ibig sabihin ng priori bago ang eksperimento, hindi pa nagbubukas ng pinto ang nagtatanghal) posibilidad ng hypothesis na binabago mo ang pinto.

P H1 (A) - kondisyon na posibilidad na mahulaan mo ang pinto sa likod kung saan matatagpuan ang kotse kung ang unang hypothesis H 1 ay nangyari

P H2 (A) - kondisyon na posibilidad na mahulaan mo ang pinto sa likod kung saan matatagpuan ang kotse, kung ang pangalawang hypothesis H 2 ay nangyari

Hanapin ang posibilidad ng kaganapan A kung mangyari ang hypothesis H 1 (ang posibilidad na nanalo ka sa kotse kung hindi mo binago ang pinto):

Hanapin ang posibilidad ng kaganapan A kung nangyari ang hypothesis H 2 (ang posibilidad na nanalo ka ng kotse kung binago mo ang pinto):

Kaya, dapat baguhin ng kalahok ang kanyang orihinal na pagpipilian - sa kasong ito, ang posibilidad na manalo ay magiging katumbas ng 2 ⁄3.

Statistical test ng Monty Hall paradox

Dito: "diskarte 1" - huwag baguhin ang pagpipilian, "diskarte 2" - baguhin ang pagpipilian. Theoretically, para sa kaso na may 3 pinto, ang probability distribution ay 33.(3)% at 66.(6)%. Ang mga numerical simulation ay dapat magbunga ng mga katulad na resulta.

Ang solusyon kung saan, sa unang tingin, ay sumasalungat sa sentido komun.

Encyclopedic YouTube

1 / 5

Ang problema ay binuo bilang isang paglalarawan ng isang laro batay sa American game show na Let's Make a Deal, at ipinangalan sa host ng palabas na iyon. Ang pinaka-karaniwang pagbabalangkas ng problemang ito, na inilathala noong 1990 sa journal Parade Magazine, parang ganito:

Isipin na ikaw ay naging isang kalahok sa isang laro kung saan kailangan mong pumili ng isa sa tatlong mga pinto. Sa likod ng isa sa mga pinto ay may kotse, sa likod ng dalawa pang pinto ay may mga kambing. Pumili ka ng isa sa mga pintuan, halimbawa, numero 1, pagkatapos kung saan ang pinuno, na nakakaalam kung nasaan ang kotse at kung nasaan ang mga kambing, ay nagbubukas ng isa sa mga natitirang pinto, halimbawa, numero 3, sa likod kung saan mayroong isang kambing. Pagkatapos nito, tatanungin ka niya kung gusto mong baguhin ang iyong pinili at piliin ang numero 2 ng pinto? Tataas ba ang iyong pagkakataong manalo ng kotse kung tatanggapin mo ang alok ng nagtatanghal at babaguhin ang iyong pinili?

Pagkatapos ng paglalathala, agad na naging malinaw na ang gawain ay nabuo nang hindi tama: hindi lahat ng mga kondisyon ay tinukoy. Halimbawa, maaaring sundin ng nagtatanghal ang diskarte na "Monty mula sa Impiyerno": mag-alok ng pagbabago ng pagpipilian kung at kung pumili lang ang manlalaro ng kotse bilang kanilang unang paglipat. Malinaw, ang pagbabago sa paunang pagpipilian ay hahantong sa isang garantisadong pagkawala sa ganoong sitwasyon (tingnan sa ibaba).

Ang pinakasikat ay isang gawain na may karagdagang kundisyon - alam ng kalahok sa laro ang mga sumusunod na patakaran nang maaga:

ang kotse ay pantay na malamang na nakalagay sa likod ng alinman sa tatlong pinto;
Sa anumang kaso, ang nagtatanghal ay obligadong buksan ang pinto kasama ang kambing (ngunit hindi ang pinili ng manlalaro) at anyayahan ang manlalaro na baguhin ang pagpipilian;
Kung ang pinuno ay may pagpipilian kung alin sa dalawang pinto ang bubuksan, pipiliin niya ang alinman sa mga ito na may pantay na posibilidad.

Ang sumusunod na teksto ay tumatalakay sa problema ng Monty Hall sa tiyak na pagbabalangkas na ito.

Pagsusuri

Para sa diskarte sa panalong, mahalaga ang sumusunod: kung babaguhin mo ang pagpili ng pinto pagkatapos ng mga aksyon ng pinuno, pagkatapos ay panalo ka kung pinili mo ang natalong pinto. Ito ay malamang na mangyari 2 ⁄ 3 , dahil sa una ay maaari kang pumili ng nawawalang pinto sa 2 sa 3 paraan.

Ngunit kadalasan kapag nilulutas ang problemang ito, nangangatuwiran sila ng ganito: palaging tinatanggal ng pinuno ang isang nawawalang pinto, at pagkatapos ay ang posibilidad na lumitaw ang isang kotse sa likod ng dalawang hindi bukas ay magiging katumbas ng ½, anuman ang paunang pagpipilian. Ngunit hindi ito totoo: bagama't mayroon talagang dalawang posibilidad para sa pagpili, ang mga posibilidad na ito (isinasaalang-alang ang background) ay hindi pantay na posibilidad! Totoo ito dahil ang lahat ng pinto sa una ay may pantay na pagkakataong manalo, ngunit pagkatapos ay may iba't ibang posibilidad na maalis.

Para sa karamihan ng mga tao, ang konklusyong ito ay sumasalungat sa intuitive na pang-unawa ng sitwasyon, at dahil sa nagresultang pagkakaiba sa pagitan ng lohikal na konklusyon at ang sagot na kung saan ang intuitive na opinyon ay nakahilig, ang problema ay tinatawag na Monty Hall kabalintunaan.

Ang sitwasyon na may mga pinto ay nagiging mas malinaw kung iniisip mo na walang 3 mga pinto, ngunit, sabihin nating, 1000, at pagkatapos ng pagpili ng manlalaro, ang nagtatanghal ay nag-aalis ng 998 na dagdag, na nag-iiwan ng 2 pinto: ang pinili ng manlalaro at isa pa. Mukhang mas malinaw na ang mga posibilidad na makahanap ng premyo sa likod ng mga pintuan na ito ay iba at hindi katumbas ng ½. Kung babaguhin natin ang pinto, matatalo lang tayo kung pipiliin muna natin ang pintuan ng premyo, na ang posibilidad ay 1:1000. Panalo kami kung ang aming unang pagpipilian ay Hindi tama, at ang posibilidad nito ay 999 sa 1000. Sa kaso ng 3 pinto, nananatili ang lohika, ngunit ang posibilidad na manalo kapag binago ang desisyon ay mas mababa, lalo na 2 ⁄ 3 .

Ang isa pang paraan ng pangangatwiran ay ang palitan ang kondisyon ng isang katumbas. Isipin natin na sa halip na ang manlalaro ang gumawa ng paunang pagpili (hayaan itong palaging maging pinto No. 1) at pagkatapos ay buksan ng pinuno ang pinto kasama ang kambing sa mga natitira (iyon ay, palaging nasa No. 2 at No. 3), isipin na ang manlalaro ay kailangang hulaan ang pinto sa unang pagsubok, ngunit siya ay dati nang sinabihan na maaaring mayroong isang kotse sa likod ng pinto No. 1 na may paunang posibilidad (33%), at kabilang sa mga natitirang pinto ay ipinahiwatig kung alin sa mga pinto ay tiyak na walang sasakyan sa likod (0%). Alinsunod dito, ang huling pinto ay palaging account para sa 67%, at ang diskarte para sa pagpili nito ay mas kanais-nais.

Iba pang pag-uugali ng nagtatanghal

Ang klasikong bersyon ng kabalintunaan ng Monty Hall ay nagsasaad na ang host ay tiyak na mag-aalok sa manlalaro na baguhin ang pinto, hindi alintana kung pinili niya ang kotse o hindi. Ngunit ang mas kumplikadong pag-uugali ng pinuno ay posible rin. Maikling inilalarawan ng talahanayang ito ang ilang pag-uugali.

Posibleng pag-uugali ng nagtatanghal
Pag-uugali ng nagtatanghal	Resulta
"Hell Monty": Iminumungkahi ng host na baguhin kung tama ang pinto.	Ang pagbabago ay palaging magbubunga ng isang kambing.
"Angel Monty": iminumungkahi ng host na baguhin kung mali ang pinto.	Ang pagbabago ay palaging magbibigay sa iyo ng kotse.
"Ignorant Monty" o "Monty Buh": aksidenteng nahulog ang nagtatanghal, bumukas ang pinto, at lumabas na walang sasakyan sa likod nito. Sa madaling salita, ang nagtatanghal mismo ay hindi alam kung ano ang nasa likod ng mga pintuan, binuksan niya ang pinto nang random, at nagkataon lamang na walang sasakyan sa likod nito.	Ang pagbabago ay nagbibigay ng pakinabang sa ½ ng mga kaso. Ito ay eksakto kung paano gumagana ang American show na "Deal or No Deal" - gayunpaman, ang isang random na pinto ay binuksan ng player mismo, at kung walang sasakyan sa likod nito, nag-aalok ang host na baguhin ito.
Pinipili ng host ang isa sa mga kambing at bubuksan ito kung pumili ng isa pang pinto ang manlalaro.	Ang pagbabago ay nagbibigay ng pakinabang sa ½ ng mga kaso.
Palaging binubuksan ng pinuno ang kambing. Kung ang isang kotse ay napili, ang kaliwang kambing ay bubukas na may posibilidad p at tama na may posibilidad q=1−p.	Kung binuksan ng pinuno ang kaliwang pinto, ang shift ay nagbibigay ng panalo na may posibilidad 1 1 + p (\displaystyle (\frac (1)(1+p))). Kung tama - 1 1 + q (\displaystyle (\frac (1)(1+q))). Gayunpaman, hindi maaaring maimpluwensyahan ng paksa sa anumang paraan ang posibilidad na mabuksan ang tamang pinto - anuman ang kanyang pinili, mangyayari ito nang may posibilidad. 1 + q 3 (\displaystyle (\frac (1+q)(3))).
Pareho, p=q= ½ (classical case).	Ang pagbabago ay nagbibigay ng panalo na may posibilidad 2 ⁄ 3 .
Pareho, p=1, q=0 (“walang kapangyarihan na si Monty” - ang pagod na nagtatanghal ay nakatayo sa kaliwang pinto at binuksan ang kambing na mas malapit).	Kung bubuksan ng pinuno ang tamang pinto, ang pagbabago ay nagbibigay ng garantisadong panalo. Kung naiwan - probabilidad ½.
Palaging binubuksan ng nagtatanghal ang kambing kung pipiliin ang isang kotse, at may posibilidad na ½ kung hindi man.	Ang pagbabago ay nagbibigay ng panalo na may posibilidad na ½.
Pangkalahatang kaso: ang laro ay paulit-ulit nang maraming beses, ang posibilidad na itago ang isang kotse sa likod ng isa o isa pang pinto, pati na rin ang pagbubukas ng isa o isa pang pinto ay di-makatwiran, ngunit alam ng pinuno kung nasaan ang kotse at palaging nag-aalok ng pagbabago, pagbubukas ng isa sa ang mga kambing.	Nash equilibrium: higit na nakikinabang ang pinuno mula sa kabalintunaan ng Monty Hall sa klasikal nitong anyo (posibilidad na manalo 2 ⁄ 3 ). Ang kotse ay nagtatago sa likod ng alinman sa mga pinto na may posibilidad na ⅓; kung may pagpipilian, binubuksan namin ang anumang kambing nang random.
Ang parehong bagay, ngunit ang nagtatanghal ay maaaring hindi buksan ang pinto sa lahat.	Nash equilibrium: kumikita ang pinuno na hindi buksan ang pinto, ang posibilidad na manalo ay ⅓.

Tingnan din

Mga Tala

Tierney, John (Hulyo 21, 1991), "Behind Monty's Hall"s Doors: Puzzle, Debate and Answer? ", Ang New York Times, . Hinango noong Enero 18, 2008.