Теория вероятностей. Что изучает теория вероятностей

Мама мыла раму

Под занавес продолжительных летних каникул пришло время потихоньку возвращаться к высшей математике и торжественно открыть пустой вёрдовский файл, чтобы приступить к созданию нового раздела – . Признаюсь, нелегко даются первые строчки, но первый шаг – это пол пути, поэтому я предлагаю всем внимательно проштудировать вводную статью, после чего осваивать тему будет в 2 раза проще! Ничуть не преувеличиваю. …Накануне очередного 1 сентября вспоминается первый класс и букварь…. Буквы складываются в слоги, слоги в слова, слова в короткие предложения – Мама мыла раму. Совладать с тервером и математической статистикой так же просто, как научиться читать! Однако для этого необходимо знать ключевые термины, понятия и обозначения, а также некоторые специфические правила, которым и посвящён данный урок.

Но сначала примите мои поздравления с началом (продолжением, завершением, нужное отметить) учебного года и примите подарок. Лучший подарок – это книга, и для самостоятельной работы я рекомендую следующую литературу:

1) Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика

Легендарное учебное пособие, выдержавшее более десяти переизданий. Отличается доходчивостью и предельной простой изложения материала, а первые главы так и вовсе доступны, думаю, уже для учащихся 6-7-х классов.

2) Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике

Решебник того же Владимира Ефимовича с подробно разобранными примерами и задачами.

ОБЯЗАТЕЛЬНО закачайте обе книги из Интернета или раздобудьте их бумажные оригиналы! Подойдёт и версия 60-70-х годов, что даже лучше для чайников. Хотя фраза «теория вероятностей для чайников» звучит довольно нелепо, поскольку почти всё ограничивается элементарными арифметическими действиями. Проскакивают, правда, местами производные и интегралы , но это только местами.

Я постараюсь достичь той же ясности изложения, но должен предупредить, что мой курс ориентирован на решение задач и теоретические выкладки сведены к минимуму. Таким образом, если вам нужна развёрнутая теория, доказательства теорем (теорем-теорем!), пожалуйста, обратитесь к учебнику. Ну, а кто хочет научиться решать задачи по теории вероятностей и математической статистике в самые короткие сроки , следуйте за мной!

Для начала хватит =)

По мере прочтения статей целесообразно знакомиться (хотя бы бегло) с дополнительными задачами рассмотренных видов. На странице Готовые решения по высшей математике будут размещаться соответствующие pdf-ки с примерами решений. Также значительную помощь окажут ИДЗ 18.1 Рябушко (попроще) и прорешанные ИДЗ по сборнику Чудесенко (посложнее).

1) Суммой двух событий и называется событие которое состоит в том, что наступит или событие или событие или оба события одновременно. В том случае, если события несовместны , последний вариант отпадает, то есть может наступить или событие или событие .

Правило распространяется и на бОльшее количество слагаемых, например, событие состоит в том, что произойдёт хотя бы одно из событий , а если события несовместны – то одно и только одно событие из этой суммы: или событие , или событие , или событие , или событие , или событие .

Примеров масса:

События (при броске игральной кости не выпадет 5 очков) состоит в том, что выпадет или 1, или 2, или 3, или 4, или 6 очков.

Событие (выпадет не более двух очков) состоит в том, что появится 1 или 2 очка .

Событие (будет чётное число очков) состоит в том, что выпадет или 2 или 4 или 6 очков.

Событие заключается в том, что из колоды будет извлечена карта красной масти (черва или бубна), а событие – в том, что будет извлечена «картинка» (валет или дама или король или туз).

Чуть занятнее дело с совместными событиями:

Событие состоит в том, что из колоды будет извлечена трефа или семёрка или семёрка треф. Согласно данному выше определению, хотя бы что-то – или любая трефа или любая семёрка или их «пересечение» – семёрка треф. Легко подсчитать, что данному событию соответствует 12 элементарных исходов (9 трефовых карт + 3 оставшиеся семёрки).

Событие состоит в том, что завтра в 12.00 наступит ХОТЯ БЫ ОДНО из суммируемых совместных событий , а именно:

– или будет только дождь / только гроза / только солнце;
– или наступит только какая-нибудь пара событий (дождь + гроза / дождь + солнце / гроза + солнце);
– или все три события появятся одновременно.

То есть, событие включает в себя 7 возможных исходов.

Второй столп алгебры событий:

2) Произведением двух событий и называют событие , которое состоит в совместном появлении этих событий, иными словами, умножение означает, что при некоторых обстоятельствах наступит и событие , и событие . Аналогичное утверждение справедливо и для бОльшего количества событий, так, например, произведение подразумевает, что при определённых условиях произойдёт и событие , и событие , и событие , …, и событие .

Рассмотрим испытание, в котором подбрасываются две монеты и следующие события:

– на 1-й монете выпадет орёл;
– на 1-й монете выпадет решка;
– на 2-й монете выпадет орёл;
– на 2-й монете выпадет решка.

Тогда:
и на 2-й) выпадет орёл;
– событие состоит в том, что на обеих монетах (на 1-й и на 2-й) выпадет решка;
– событие состоит в том, что на 1-й монете выпадет орёл и на 2-й монете решка;
– событие состоит в том, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орёл.

Нетрудно заметить, что события несовместны (т.к. не может, например, выпасть 2 орла и в то же самое время 2 решки) и образуют полную группу (поскольку учтены все возможные исходы броска двух монет) . Давайте просуммируем данные события: . Как интерпретировать эту запись? Очень просто – умножение означает логическую связку И , а сложение – ИЛИ . Таким образом, сумму легко прочитать понятным человеческим языком: «выпадут два орла или две решки или на 1-й монете выпадет орёл и на 2-й решка или на 1-й монете выпадет решка и на 2-й монете орёл »

Это был пример, когда в одном испытании задействовано несколько объектов, в данном случае – две монеты. Другая распространенная в практических задачах схема – это повторные испытания , когда, например, один и тот же игральный кубик бросается 3 раза подряд. В качестве демонстрации рассмотрим следующие события:

– в 1-м броске выпадет 4 очка;
– во 2-м броске выпадет 5 очков;
– в 3-м броске выпадет 6 очков.

Тогда событие состоит в том, что в 1-м броске выпадет 4 очка и во 2-м броске выпадет 5 очков и в 3-м броске выпадет 6 очков. Очевидно, что в случае с кубиком будет значительно больше комбинаций (исходов), чем, если бы мы подбрасывали монету.

…Понимаю, что, возможно, разбираются не очень интересные примеры, но это часто встречающиеся в задачах вещи и от них никуда не деться. Помимо монетки, кубика и колоды карт вас поджидают урны с разноцветными шарами, несколько анонимов, стреляющих по мишени, и неутомимый рабочий, который постоянно вытачивает какие-то детали =)

Вероятность события

Вероятность события – это центральное понятие теории вероятностей. …Убийственно логичная вещь, но с чего-то надо было начинать =) Существует несколько подходов к её определению:

;
Геометрическое определение вероятности ;
Статистическое определение вероятности .

В данной статье я остановлюсь на классическом определении вероятностей, которое находит наиболее широкое применение в учебных заданиях.

Обозначения . Вероятность некоторого события обозначается большой латинской буквой , а само событие берётся в скобки, выступая в роли своеобразного аргумента. Например:

Также для обозначения вероятности широко используется маленькая буква . В частности, можно отказаться от громоздких обозначений событий и их вероятностей в пользу следующей стилистики::

– вероятность того, что в результате броска монеты выпадет «орёл»;
– вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет 5 очков;
– вероятность того, что из колоды будет извлечена карта трефовой масти.

Данный вариант популярен при решении практических задач, поскольку позволяет заметно сократить запись решения. Как и в первом случае, здесь удобно использовать «говорящие» подстрочные/надстрочные индексы.

Все уже давно догадались о числах, которые я только что записал выше, и сейчас мы узнаем, как они получились:

Классическое определение вероятности :

Вероятностью наступления события в некотором испытании называют отношение , где:

– общее число всех равновозможных , элементарных исходов этого испытания, которые образуют полную группу событий ;

– количество элементарных исходов, благоприятствующих событию .

При броске монеты может выпасть либо орёл, либо решка – данные события образуют полную группу , таким образом, общее число исходов ; при этом, каждый из них элементарен и равновозможен . Событию благоприятствует исход (выпадение орла). По классическому определению вероятностей: .

Аналогично – в результате броска кубика может появиться элементарных равновозможных исходов, образующих полную группу, а событию благоприятствует единственный исход (выпадение пятёрки). Поэтому: .ЭТОГО ДЕЛАТЬ НЕ ПРИНЯТО (хотя не возбраняется прикидывать проценты в уме).

Принято использовать доли единицы , и, очевидно, что вероятность может изменяться в пределах . При этом если , то событие является невозможным , если – достоверным , а если , то речь идёт о случайном событии.

! Если в ходе решения любой задачи у вас получилось какое-то другое значение вероятности – ищите ошибку!

При классическом подходе к определению вероятности крайние значения (ноль и единица) получаются посредством точно таких же рассуждений. Пусть из некой урны, в которой находятся 10 красных шаров, наугад извлекается 1 шар. Рассмотрим следующие события:

в единичном испытании маловозможное событие не произойдёт .

Именно поэтому Вы не сорвёте в лотерее Джек-пот, если вероятность этого события, скажем, равна 0,00000001. Да-да, именно Вы – с единственным билетом в каком-то конкретном тираже. Впрочем, бОльшее количество билетов и бОльшее количество розыгрышей Вам особо не помогут. ...Когда я рассказываю об этом окружающим, то почти всегда в ответ слышу: «но ведь кто-то выигрывает». Хорошо, тогда давайте проведём следующий эксперимент: пожалуйста, сегодня или завтра купите билет любой лотереи (не откладывайте!). И если выиграете... ну, хотя бы больше 10 килорублей, обязательно отпишитесь – я объясню, почему это произошло. За процент, разумеется =) =)

Но грустить не нужно, потому что есть противоположный принцип: если вероятность некоторого события очень близка к единице, то в отдельно взятом испытании оно практически достоверно произойдёт. Поэтому перед прыжком с парашютом не надо бояться, наоборот – улыбайтесь! Ведь должны сложиться совершенно немыслимые и фантастические обстоятельства, чтобы отказали оба парашюта.

Хотя всё это лирика, поскольку в зависимости от содержания события первый принцип может оказаться весёлым, а второй – грустным; или вообще оба параллельными.

Пожалуй, пока достаточно, на уроке Задачи на классическое определение вероятности мы выжмем максимум из формулы . В заключительной же части этой статьи рассмотрим одну важную теорему:

Сумма вероятностей событий, которые образуют полную группу, равна единице . Грубо говоря, если события образуют полную группу, то со 100%-й вероятностью какое-то из них произойдёт. В самом простом случае полную группу образуют противоположные события, например:

– в результате броска монеты выпадет орёл;
– в результате броска монеты выпадет решка.

По теореме:

Совершенно понятно, что данные события равновозможны и их вероятности одинаковы .

По причине равенства вероятностей равновозможные события часто называют равновероятными . А вот и скороговорка на определение степени опьянения получилась =)

Пример с кубиком: события противоположны, поэтому .

Рассматриваемая теорема удобна тем, что позволяет быстро найти вероятность противоположного события. Так, если известна вероятность того, что выпадет пятёрка, легко вычислить вероятность того, что она не выпадет:

Это гораздо проще, чем суммировать вероятности пяти элементарных исходов. Для элементарных исходов, к слову, данная теорема тоже справедлива:
. Например, если – вероятность того, что стрелок попадёт в цель, то – вероятность того, что он промахнётся.

! В теории вероятностей буквы и нежелательно использовать в каких-то других целях.

В честь Дня Знаний я не буду задавать домашнее задание =), но очень важно, чтобы вы могли ответить на следующие вопросы:

– Какие виды событий существуют?
– Что такое случайность и равновозможность события?
– Как вы понимаете термины совместность/несовместность событий?
– Что такое полная группа событий, противоположные события?
– Что означает сложение и умножение событий?
– В чём суть классического определения вероятности?
– Чем полезна теорема сложения вероятностей событий, образующих полную группу?

Нет, зубрить ничего не надо, это всего лишь азы теории вероятностей – своеобразный букварь, который довольно быстро уложится в голове. И чтобы это произошло как можно скорее, предлагаю ознакомиться с уроками

(или ТВиМС) - именно так часто звучит название предмета в вашем расписании или рекомендуемом учебнике. Почему два предмета в одном? Как они связаны? Если речь идет об углубленном изучении предмета, обычно первый семестр посвящен изучению теории вероятностей, и только во втором, основываясь на полученных знаниях, переходят к математической статистике.

Остановимся подробнее на каждом предмете и узнаем, как же они связаны друг с другом.

Полезная страница? Сохрани или расскажи друзьям

Что изучает теория вероятностей?

Теория вероятностей , как следует из названия, имеет дело с вероятностями. Нас окружают множество вещей и явлений, о которых, как бы ни была развита наука, нельзя сделать точных прогнозов. Мы не знаем, какую карту вытянем из колоды наугад или сколько дней в мае будет идти дождь, но, имея некоторую дополнительную информацию, можем строить прогнозы и вычислять вероятности этих случайных событий.

Таким образом, мы сталкиваемся с основным понятием случайного события - явления, поведение которого невозможно предсказать, опыта, результат которого заранее невозможно вычислить и т.п. Именно вероятности событий вычисляются в типовых задачах. Вероятность - это некоторая, строго говоря, функция, принимающая значения от 0 до 1 и характеризующая данное случайное событие. 0 - событие практически невозможно, 1 - событие практически достоверно, 0,5 (или "50 на 50") - с равной вероятностью событие произойдет или нет.

От теории вероятностей к математической статистике

Теория вероятностей изучает математические законы распределения случайных событий, и фактически является теоретической базой для математической статистики. Но, если в теории вероятностей обычно распределение задано тем или иным образом, и требуется найти вероятности, числовые характеристики (например, математическое ожидание, дисперсию и т.п.), построить графики функции и плотности распределения, то в задачах математической статистики , напротив, известны данные (выборка), собранные по результатам какого-то эксперимента или наблюдения, по которым следует определить закон распределения, наиболее подходящий в данном случае, достоверную с некоторой долей вероятности информацию о том, какими могут быть математическое ожидание или среднеквадратическое отклонение величины и т.п.

Что изучает математическая статистика?

Если говорить строго, то математическая статистика - это раздел математики, который изучеет методы сбора, систематизации, обработки и использования статистических данных для получения научно обоснованных выводов и принятия на их основе решений.

Почему же для обработки простых наборов данных требуется целая наука? Потом, что эти данные, как бы мы не старались, никогда не являются точными, содержат случайные ошибки. Это могут быть и погрешности измерительных приборов, и ошибки человеческие (связанные с тем, кто проводит исследование и измерение), и неоднородность данных или, конечно, их недостаточность (невозможно изучить, например, всех коров в мире, чтобы делать выводы об их удоях;), или опросить всех избирателей чтобы сделать прогноз выигрыша для кандидата на выборах).

Обычно исследователь многократно повторяет (если это физически возможно) свой опыт, получая большое количество однотипных данных, которые теперь надо обработать и сделать весомые выводы, которые позволят не только продвинуться глубже в изучении предмета (будь то удои коров или политические предпочтения), но и сделать выводы, прогнозы, принять важные экономические решения и т.д.

Именно математическая статистика дает методы для обработки данных, алгоритмы для проверки статистических гипотез, критерии адекватности и значимости выбранной модели или закона, обоснованные границы точности для параметров распределения, которые мы можем получить исходя из наших данных и т.п.

Как изучить теорию вероятностей и математическую статистику? Читайте (и прорешивайте в них примеры) учебники по математической статистике , изучите примеры решений , используйте калькуляторы по ТВ , таблицы и формулы статистики для удобства. Онлайн решебник по теории вероятностей поможет с трудными задачами.

"Случайности не случайны"... Звучит так, словно сказал философ, но на деле изучать случайности удел великой науки математики. В математике случайностями занимается теория вероятности. Формулы и примеры заданий, а также основные определения этой науки будут представлены в статье.

Что такое теория вероятности?

Теория вероятности - это одна из математических дисциплин, которая изучает случайные события.

Чтобы было немного понятнее, приведем небольшой пример: если подкинуть вверх монету, она может упасть «орлом» или «решкой». Пока монета находится в воздухе, обе эти вероятности возможны. То есть вероятность возможных последствий соотносится 1:1. Если из колоды с 36-ю картами вытащить одну, тогда вероятность будет обозначаться как 1:36. Казалось бы, что здесь нечего исследовать и предугадывать, тем более при помощи математических формул. Тем не менее, если повторять определенное действие много раз, то можно выявить некую закономерность и на ее основе спрогнозировать исход событий в других условиях.

Если обобщить все вышесказанное, теория вероятности в классическом понимании изучает возможность возникновения одного из возможных событий в числовом значении.

Со страниц истории

Теория вероятности, формулы и примеры первых заданий появились еще в далеком Средневековье, когда впервые возникли попытки спрогнозировать исход карточных игр.

Изначально теория вероятности не имела ничего общего с математикой. Она обосновывалась эмпирическими фактами или свойствами события, которое можно было воспроизвести на практике. Первые работы в этой сфере как в математической дисциплине появились в XVII веке. Родоначальниками стали Блез Паскаль и Пьер Ферма. Длительное время они изучали азартные игры и увидели определенные закономерности, о которых и решили рассказать обществу.

Такую же методику изобрел Христиан Гюйгенс, хотя он не был знаком с результатами исследований Паскаля и Ферма. Понятие «теория вероятности», формулы и примеры, что считаются первыми в истории дисциплины, были введены именно им.

Немаловажное значение имеют и работы Якоба Бернулли, теоремы Лапласа и Пуассона. Они сделали теорию вероятности больше похожей на математическую дисциплину. Свой теперешний вид теория вероятностей, формулы и примеры основных заданий получили благодаря аксиомам Колмогорова. В результате всех изменений теория вероятности стала одним из математических разделов.

Базовые понятия теории вероятностей. События

Главным понятием этой дисциплины является "событие". События бывают трех видов:

Достоверные. Те, которые произойдут в любом случае (монета упадет).
Невозможные. События, что не произойдут ни при каком раскладе (монета останется висеть в воздухе).
Случайные. Те, что произойдут или не произойдут. На них могут повлиять разные факторы, которые предугадать очень трудно. Если говорить о монете, то случайные факторы, что могут повлиять на результат: физические характеристики монеты, ее форма, исходное положение, сила броска и т. д.

Все события в примерах обозначаются заглавными латинскими буквами, за исключением Р, которой отведена другая роль. Например:

А = «студенты пришли на лекцию».
Ā = «студенты не пришли на лекцию».

В практических заданиях события принято записывать словами.

Одна из важнейших характеристик событий - их равновозможность. То есть, если подбросить монету, все варианты исходного падения возможны, пока она не упала. Но также события бывают и не равновозможными. Это происходит, когда кто-то специально воздействует на исход. Например, «меченые» игральные карты или игральные кости, в которых смещен центр тяжести.

Еще события бывают совместимыми и несовместимыми. Совместимые события не исключают появления друг друга. Например:

А = «студентка пришла на лекцию».
В = «студент пришел на лекцию».

Эти события независимы друг от друга, и появление одного из них не влияет на появление другого. Несовместимые события определяются тем, что появление одного исключает появление другого. Если говорить о той же монете, то выпадение «решки» делает невозможным появление «орла» в этом же эксперименте.

Действия над событиями

События можно умножать и складывать, соответственно, в дисциплине вводятся логические связки «И» и «ИЛИ».

Сумма определяется тем, что может появиться или событие А, или В, или два одновременно. В случае когда они несовместимы, последний вариант невозможен, выпадет или А, или В.

Умножение событий заключается в появлении А и В одновременно.

Теперь можно привести несколько примеров, чтобы лучше запомнились основы, теория вероятности и формулы. Примеры решения задач далее.

Задание 1 : Фирма принимает участие в конкурсе на получение контрактов на три разновидности работы. Возможные события, которые могут произойти:

А = «фирма получит первый контракт».
А 1 = «фирма не получит первый контракт».
В = «фирма получит второй контракт».
В 1 = «фирма не получит второй контракт»
С = «фирма получит третий контракт».
С 1 = «фирма не получит третий контракт».

С помощью действий над событиями попробуем выразить следующие ситуации:

К = «фирма получит все контракты».

В математическом виде уравнение будет иметь следующий вид: К = АВС.

М = «фирма не получит ни одного контракта».

М = А 1 В 1 С 1 .

Усложняем задание: H = «фирма получит один контракт». Поскольку не известно, какой именно контракт получит фирма (первый, второй или третий), необходимо записать весь ряд возможных событий:

Н = А 1 ВС 1 υ АВ 1 С 1 υ А 1 В 1 С.

А 1 ВС 1 - это ряд событий, где фирма не получает первый и третий контракт, но получает второй. Соответственным методом записаны и другие возможные события. Символ υ в дисциплине обозначает связку «ИЛИ». Если перевести приведенный пример на человеческий язык, то фирма получит или третий контракт, или второй, или первый. Подобным образом можно записывать и другие условия в дисциплине «Теория вероятности». Формулы и примеры решения задач, представленные выше, помогут сделать это самостоятельно.

Собственно, вероятность

Пожалуй, в этой математической дисциплине вероятность события - это центральное понятие. Существует 3 определения вероятности:

классическое;
статистическое;
геометрическое.

Каждое имеет свое место в изучении вероятностей. Теория вероятности, формулы и примеры (9 класс) в основном используют классическое определение, которое звучит так:

Вероятность ситуации А равняется отношению числа исходов, что благоприятствуют ее появлению, к числу всех возможных исходов.

Формула выглядит так: Р(А)=m/n.

А - собственно, событие. Если появляется случай, противоположный А, его можно записывать как Ā или А 1 .

m - количество возможных благоприятных случаев.

n - все события, которые могут произойти.

Например, А = «вытащить карту червовой масти». В стандартной колоде 36 карт, 9 из них червовой масти. Соответственно, формула решения задания будет иметь вид:

Р(А)=9/36=0,25.

В итоге вероятность того, что из колоды вытянут карту червовой масти, составит 0,25.

К высшей математике

Теперь стало немного известно, что такое теория вероятности, формулы и примеры решения заданий, которые попадаются в школьной программе. Однако теория вероятностей встречается и в высшей математике, которая преподается в вузах. Чаще всего там оперируют геометрическими и статистическими определениями теории и сложными формулами.

Очень интересна теория вероятности. Формулы и примеры (высшая математика) лучше начинать изучать с малого - со статистического (или частотного) определения вероятности.

Статистический подход не противоречит классическому, а немного расширяет его. Если в первом случае нужно было определить, с какой долей вероятности произойдет событие, то в этом методе необходимо указать, как часто оно будет происходить. Здесь вводится новое понятие «относительная частота», которую можно обозначить W n (A). Формула ничем не отличается от классической:

Если классическая формула вычисляется для прогнозирования, то статистическая - согласно результатам эксперимента. Возьмем, к примеру, небольшое задание.

Отдел технологического контроля проверяет изделия на качество. Среди 100 изделий нашли 3 некачественных. Как найти вероятность частоты качественного товара?

А = «появление качественного товара».

W n (A)=97/100=0,97

Таким образом, частота качественного товара составляет 0,97. Откуда взяли 97? Из 100 товаров, которые проверили, 3 оказались некачественными. От 100 отнимаем 3, получаем 97, это количество качественного товара.

Немного о комбинаторике

Еще один метод теории вероятности называют комбинаторикой. Его основной принцип состоит в том, что если определенный выбор А можно осуществить m разными способами, а выбор В - n разными способами, то выбор А и В можно осуществить путем умножения.

Например, из города А в город В ведет 5 дорог. Из города В в город С ведет 4 пути. Сколькими способами можно доехать из города А в город С?

Все просто: 5х4=20, то есть двадцатью разными способами можно добраться из точки А в точку С.

Усложним задание. Сколько существует способов раскладывания карт в пасьянсе? В колоде 36 карт - это исходная точка. Чтобы узнать количество способов, нужно от исходной точки «отнимать» по одной карте и умножать.

То есть 36х35х34х33х32…х2х1= результат не вмещается на экран калькулятора, поэтому его можно просто обозначить 36!. Знак «!» возле числа указывает на то, что весь ряд чисел перемножается между собой.

В комбинаторике присутствуют такие понятия, как перестановка, размещение и сочетание. Каждое из них имеет свою формулу.

Упорядоченный набор элементов множества называют размещением. Размещения могут быть с повторениями, то есть один элемент можно использовать несколько раз. И без повторений, когда элементы не повторяются. n - это все элементы, m - элементы, которые участвуют в размещении. Формула для размещения без повторений будет иметь вид:

A n m =n!/(n-m)!

Соединения из n элементов, которые отличаются только порядком размещения, называют перестановкой. В математике это имеет вид: Р n = n!

Сочетаниями из n элементов по m называют такие соединения, в которых важно, какие это были элементы и каково их общее количество. Формула будет иметь вид:

A n m =n!/m!(n-m)!

Формула Бернулли

В теории вероятности, так же как и в каждой дисциплине, имеются труды выдающихся в своей области исследователей, которые вывели ее на новый уровень. Один из таких трудов - формула Бернулли, что позволяет определять вероятность появления определенного события при независимых условиях. Это говорит о том, что появление А в эксперименте не зависит от появления или не появления того же события в ранее проведенных или последующих испытаниях.

Уравнение Бернулли:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Вероятность (р) появления события (А) неизменна для каждого испытания. Вероятность того, что ситуация произойдет ровно m раз в n количестве экспериментов, будет вычисляться формулой, что представлена выше. Соответственно, возникает вопрос о том, как узнать число q.

Если событие А наступает р количество раз, соответственно, оно может и не наступить. Единица - это число, которым принято обозначать все исходы ситуации в дисциплине. Поэтому q - число, которое обозначает возможность ненаступления события.

Теперь вам известна формула Бернулли (теория вероятности). Примеры решения задач (первый уровень) рассмотрим далее.

Задание 2: Посетитель магазина сделает покупку с вероятностью 0,2. В магазин зашли независимым образом 6 посетителей. Какова вероятность того, что посетитель сделает покупку?

Решение: Поскольку неизвестно, сколько посетителей должны сделать покупку, один или все шесть, необходимо просчитать все возможные вероятности, пользуясь формулой Бернулли.

А = «посетитель совершит покупку».

В этом случае: р = 0,2 (как указано в задании). Соответственно, q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (поскольку в магазине 6 посетителей). Число m будет меняться от 0 (ни один покупатель не совершит покупку) до 6 (все посетители магазина что-то приобретут). В итоге получим решение:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Ни один из покупателей не совершит покупку с вероятностью 0,2621.

Как еще используется формула Бернулли (теория вероятности)? Примеры решения задач (второй уровень) далее.

После вышеприведенного примера возникают вопросы о том, куда делись С и р. Относительно р число в степени 0 будет равно единице. Что касается С, то его можно найти формулой:

C n m = n! / m!(n-m)!

Поскольку в первом примере m = 0, соответственно, С=1, что в принципе не влияет на результат. Используя новую формулу, попробуем узнать, какова вероятность покупки товаров двумя посетителями.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × (0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Не так уж и сложна теория вероятности. Формула Бернулли, примеры которой представлены выше, прямое тому доказательство.

Формула Пуассона

Уравнение Пуассона используется для вычисления маловероятных случайных ситуаций.

Основная формула:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

При этом λ = n х p. Вот такая несложная формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач рассмотрим далее.

Задание 3 : На заводе изготовили детали в количестве 100000 штук. Появление бракованной детали = 0,0001. Какова вероятность, что в партии будет 5 бракованных деталей?

Как видим, брак - это маловероятное событие, в связи с чем для вычисления используется формула Пуассона (теория вероятности). Примеры решения задач подобного рода ничем не отличаются от других заданий дисциплины, в приведенную формулу подставляем необходимые данные:

А = «случайно выбранная деталь будет бракованной».

р = 0,0001 (согласно условию задания).

n = 100000 (количество деталей).

m = 5 (бракованные детали). Подставляем данные в формулу и получаем:

Р 100000 (5) = 10 5 /5! Х е -10 = 0,0375.

Так же как и формула Бернулли (теория вероятности), примеры решений с помощью которой написаны выше, уравнение Пуассона имеет неизвестное е. По сути его можно найти формулой:

е -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Однако есть специальные таблицы, в которых находятся практически все значения е.

Теорема Муавра-Лапласа

Если в схеме Бернулли количество испытаний достаточно велико, а вероятность появления события А во всех схемах одинакова, то вероятность появления события А определенное количество раз в серии испытаний можно найти формулой Лапласа:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Чтобы лучше запомнилась формула Лапласа (теория вероятности), примеры задач в помощь ниже.

Сначала найдем X m , подставляем данные (они все указаны выше) в формулу и получим 0,025. При помощи таблиц находим число ϕ(0,025), значение которого 0,3988. Теперь можно подставлять все данные в формулу:

Р 800 (267) = 1/√(800 х 1/3 х 2/3) х 0,3988 = 3/40 х 0,3988 = 0,03.

Таким образом, вероятность того, что рекламная листовка сработает ровно 267 раз, составляет 0,03.

Формула Байеса

Формула Байеса (теория вероятности), примеры решения заданий с помощью которой будут приведены ниже, представляет собой уравнение, которое описывает вероятность события, опираясь на обстоятельства, которые могли быть связаны с ним. Основная формула имеет следующий вид:

Р (А|B) = Р (В|А) х Р (А) / Р (В).

А и В являются определенными событиями.

Р(А|B) - условная вероятность, то есть может произойти событие А при условии, что событие В истинно.

Р (В|А) - условная вероятность события В.

Итак, заключительная часть небольшого курса «Теория вероятности» - формула Байеса, примеры решений задач с которой ниже.

Задание 5 : На склад привезли телефоны от трех компаний. При этом часть телефонов, которые изготавливаются на первом заводе, составляет 25%, на втором - 60%, на третьем - 15%. Известно также, что средний процент бракованных изделий у первой фабрики составляет 2%, у второй - 4%, и у третьей - 1%. Необходимо найти вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется бракованным.

А = «случайно взятый телефон».

В 1 - телефон, который изготовила первая фабрика. Соответственно, появятся вводные В 2 и В 3 (для второй и третьей фабрик).

В итоге получим:

Р (В 1) = 25%/100% = 0,25; Р(В 2) = 0,6; Р (В 3) = 0,15 - таким образом мы нашли вероятность каждого варианта.

Теперь нужно найти условные вероятности искомого события, то есть вероятность бракованной продукции в фирмах:

Р (А/В 1) = 2%/100% = 0,02;

Р(А/В 2) = 0,04;

Р (А/В 3) = 0,01.

Теперь подставим данные в формулу Байеса и получим:

Р (А) = 0,25 х 0,2 + 0,6 х 0,4 + 0,15 х 0,01= 0,0305.

В статье представлена теория вероятности, формулы и примеры решения задач, но это только вершина айсберга обширной дисциплины. И после всего написанного логично будет задаться вопросом о том, нужна ли теория вероятности в жизни. Простому человеку сложно ответить, лучше спросить об этом у того, кто с ее помощью не единожды срывал джек-пот.

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом .

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом .

Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.

Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле . Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .

Ответ получаем по формуле .

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков — 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А — это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. .

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае .

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого - 3, для пятого - 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается «шесть факториал».

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов В нашем случае .

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

В нашем случае .

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго - 5 способами, третьего - четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:

В нашем случае .

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

Ответ: 0,3.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

Ответ: 0,98.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие «У. верно решит ровно 9 задач» входит в условие «У. верно решит больше 8 задач», но не относится к условию «У. верно решит больше 9 задач».

Однако, условие «У. верно решит больше 9 задач» содержится в условии «У. верно решит больше 8 задач». Таким образом, если мы обозначим события: «У. верно решит ровно 9 задач» — через А, «У. верно решит больше 8 задач» — через B, «У. верно решит больше 9 задач» через С. То решение будет выглядеть следующим образом:

Ответ: 0,06.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме «Тригонометрия», либо к теме «Внешние углы». По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

Ответ: 0,35.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: — лампочка горит, — лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события «лампочка перегорела», «лампочка горит», «лампочка горит»: , где вероятность события «лампочка горит» подсчитывается как вероятность события, противоположного событию «лампочка не горит», а именно: .

Заметим, что благоприятных нам несовместных событий всего 7. Вероятность таких событий равна сумме вероятностей каждого из событий: .

Ответ: 0,975608.

Еще одну задачку вы можете посмотреть на рисунке:

Таким образом, мы с вами поняли, что такое теория вероятности формулы и примеры решения задач по которой вам могут встретиться в варианте ЕГЭ.

Курс математики готовит школьникам массу сюрпризов, один из которых - это задача по теории вероятности. С решением подобных заданий у учащихся возникает проблема практически в ста процентах случаев. Чтобы понимать и разбираться в данном вопросе, необходимо знать основные правила, аксиомы, определения. Для понимания текста в книге, нужно знать все сокращения. Всему этому мы и предлагаем обучиться.

Наука и ее применение

Так как мы предлагаем ускоренный курс «теория вероятности для чайников», то сначала необходимо ввести основные понятия и буквенные сокращения. Для начала определимся с самим понятием «теория вероятности». Что же это за наука и для чего она нужна? Теория вероятности - это один из разделов математики, который изучает случайные явления и величины. Так же она рассматривает закономерности, свойства и операции, совершаемые с этими случайными величинами. Для чего она нужна? Широкое распространение наука получила в изучении природных явлений. Любые природные и физические процессы не обходятся без присутствия случайности. Даже если во время опыта были максимально точно зарегистрированы результаты, при повторе того же испытания, результат с большой вероятностью не будет таким же.

Примеры задач по мы обязательно рассмотрим, вы сами сможете в этом убедиться. Исход зависит от множества различных факторов, которые практически невозможно учесть или зарегистрировать, но тем не менее они оказывают огромнейшее влияние на исход опыта. Яркими примерами могут служить задачи определения траектории движения планет или определение прогноза погоды, вероятность встретить знакомого человека во время пути на работу и определение высоты прыжка спортсмена. Так же теория вероятности оказывает большую помощь брокерам на фондовых биржах. Задача по теории вероятности, с решением которой раньше возникало много проблем, станет для вас сущим пустяком после трех-четырех примеров, приведенных ниже.

События

Как уже говорилось ранее, наука изучает события. Теория вероятностей, примеры решения задач мы рассмотрим немного позже, изучает только один вид - случайные. Но тем не менее необходимо знать, что события могут быть трех видов:

Невозможные.
Достоверные.
Случайные.

Предлагаем немного оговорить каждый из них. Невозможное событие никогда не произойдет, ни при каких условиях. Примерами могут служить: замерзание воды при плюсовой температуре, вытягивание кубика из мешка с шарами.

Достоверное событие происходит всегда со стопроцентной гарантией, если выполнены все условия. Например: вы получили заработную плату за проделанную работу, получили диплом о высшем профессиональном образовании, если добросовестно учились, сдали экзамены и защитили диплом и так далее.

Со все немного сложнее: в ходе опыта оно может произойти или нет, например, вытащить туз из карточной колоды, сделав не более трех попыток. Результат можно получить как с первой попытки, так и, вообще, не получить. Именно вероятность происхождения события и изучает наука.

Вероятность

Это в общем смысле оценка возможности удачного исхода опыта, при котором наступает событие. Вероятность оценивается на качественном уровне, особенно если количественная оценка невозможна или затруднительна. Задача по теории вероятности с решением, точнее с оценкой подразумевает нахождение той самой возможной доли благополучного исхода. Вероятность в математике - это числовая характеристики события. Она принимает значения от нуля до единицы, обозначается буквой Р. Если Р равняется нулю, то событие произойти не может, если единице, то событие произойдет со стопроцентной вероятностью. Чем больше Р приближается к единице, тем сильнее вероятность благополучного исхода, и наоборот, если близко к нулю, то и событие произойдет с малой вероятностью.

Сокращения

Задача по теории вероятности, с решением которой вы вскоре столкнетесь, может содержать следующие сокращения:

Р и Р(Х);
А, В, С и т. д;

Возможны и некоторые другие: по мере необходимости будут вноситься добавочные объяснения. Предлагаем, для начала, пояснить представленные выше сокращения. Первым в нашем списке встречается факториал. Для того чтобы было понятно, приведем примеры: 5!=1*2*3*4*5 или 3!=1*2*3. Далее, в фигурных скобках пишут заданные множества, например: {1;2;3;4;..;n} или {10;140;400;562}. Следующее обозначение - это множество натуральных чисел, довольно часто встречается в заданиях по теории вероятности. Как уже говорилось ранее, Р - это вероятность, а Р(Х) - это вероятность происхождения события Х. Большими буквами латинского алфавита обозначаются события, например: А - попался белый шар, В - синий, С - красный или соответственно, . Маленькая буква n - это количество всех возможных исходов, а m - количество благополучных. Отсюда и получаем правило нахождения классической вероятности в элементарных задачах: Р=m/n. Теория вероятности «для чайников», наверное, и ограничивается данными знаниями. Теперь для закрепления переходим к решению.

Задача 1. Комбинаторика

Студенческая группа насчитывает тридцать человек, из которых необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Необходимо найти количество способов сделать данное действие. Подобное задание может встретиться на ЕГЭ. Теория вероятности, решение задач которой мы сейчас рассматриваем, может включать задачи из курса комбинаторики, нахождение классической вероятности, геометрической и задачи на основные формулы. В данном примере мы решаем задание из курса комбинаторики. Переходим к решению. Это задание простейшее:

n1=30 - возможных старост студенческой группы;
n2=29 - те, кто могут занять пост заместителя;
n3=28 человек претендует на должность профорга.

Все, что нам остается сделать, это найти возможное количество вариантов, то есть перемножить все показатели. В результате мы получаем: 30*29*28=24360.

Это и будет ответом на поставленный вопрос.

Задача 2. Перестановка

На конференции выступают 6 участников, порядок определяется жеребьевкой. Нам нужно найти количество возможных вариантов жеребьевки. В данном примере, мы рассматриваем перестановку из шести элементов, то есть нам нужно найти 6!

В пункте сокращений мы уже упоминали, что это такое и как вычисляется. Итого получается, что существует 720 вариантов жеребьевки. На первый взгляд тяжелое задание имеет вполне короткое и простое решение. Это и есть задания, которые рассматривает теория вероятности. Как решать задачи более высокого уровня, мы рассмотрим в следующих примерах.

Задача 3

Группу студентов из двадцати пяти человек необходимо разбить на три подгруппы по шесть, девять и десять человек. Мы имеем: n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10. Осталось подставить значения в нужную формулу, мы получаем: N25(6,9,10). После несложных вычислений мы получаем ответ - 16 360 143 800. Если в задании не говорится о том, что необходимо получить числовое решение, то можно дать его в виде факториалов.

Задача 4

Три человека загадали числа от одного до десяти. Найдите вероятность того, что у кого-то числа совпадут. Сначала мы должны узнать число всех исходов - в нашем случае это тысяча, то есть десять в третей степени. Теперь найдем количество вариантов, когда все загадали разные числа, для этого перемножаем десять, девять и восемь. Откуда взялись эти числа? Первый загадывает число, у него есть десять вариантов, второй имеет уже девять, а третьему надо выбирать из восьми оставшихся, таким образом получаем 720 возможных вариантов. Как уже мы посчитали ранее, всего вариантов 1000, а без повторений 720, следовательно, нас интересуют оставшиеся 280. Теперь нам нужна формула нахождения классической вероятности: Р= . Мы получили ответ: 0,28.