Расчет ранговой корреляции спирмена в mathcad. Коэффициент корреляции спирмена

Коэффициент корреляции Пирсона

Коэффициентr- Пирсона применяется для изучения взаимосвязи двух метрических переменных, измеренных на одной и той же выборке. Существует множество ситуаций, в которых уместно его применение. Влияет ли интеллект на успеваемость на старших курсах университета? Связан ли размер заработной платы работника с его доброжелательностью к коллегам? Влияет ли настроение школьника на успешность решения сложной арифметической задачи? Для ответа на подобные вопросы исследователь должен измерить два интересующих его показателя у каждого члена выборки.

На величину коэффициента корреляции не влияет то, в каких единицах измерения представлены признаки. Следовательно, любые линейные преобразования признаков (умножение на константу, прибавление константы) не меняют значения коэффициента корреляции. Исключением является умножение одного из признаков на отрицательную константу: коэффициент корреляции меняет свой знак на противоположный.

Применение корреляции Спирмена и Пирсона.

Корреляция Пирсона есть мера линейной связи между двумя переменными. Она позволяет определить, насколько пропорциональна изменчивость двух переменных. Если переменные пропорциональны друг другу, то графически связь между ними можно представить в виде прямой линии с положительным (прямая пропорция) или отрицательным (обратная пропорция) наклоном.

На практике связь между двумя переменными, если она есть, является вероятностной и графически выглядит как облако рассеивания эллипсоидной формы. Этот эллипсоид, однако, можно представить (аппроксимировать) в виде прямой линии, или линии регрессии. Линия регрессии - это прямая, построенная методом наименьших квадратов: сумма квадратов расстояний (вычисленных по оси Y) от каждой точки графика рассеивания до прямой является минимальной.

Особое значение для оценки точности предсказания имеет дисперсия оценок зависимой переменной. По сути, дисперсия оценок зависимой переменной Y - это та часть ее полной дисперсии, которая обусловлена влиянием независимой переменной X. Иначе говоря, отношение дисперсии оценок зависимой переменной к ее истинной дисперсии равно квадрату коэффициента корреляции.

Квадрат коэффициента корреляции зависимой и независимой переменных представляет долю дисперсии зависимой переменной, обусловленной влиянием независимой переменной, и называется коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации, таким образом, показывает, в какой степени изменчивость одной переменной обусловлена (детерминирована) влиянием другой переменной.

Коэффициент детерминации обладает важным преимуществом по сравнению с коэффициентом корреляции. Корреляция не является линейной функцией связи между двумя переменными. Поэтому, среднее арифметическое коэффициентов корреляции для нескольких выборок не совпадает с корреляцией, вычисленной сразу для всех испытуемых из этих выборок (т.е. коэффициент корреляции не аддитивен). Напротив, коэффициент детерминации отражает связь линейно и поэтому является аддитивным: допускается его усреднение для нескольких выборок.

Дополнительную информацию о силе связи дает значение коэффициента корреляции в квадрате - коэффициент детерминации: это часть дисперсии одной переменной, которая может быть объяснена влиянием другой переменной. В отличие от коэффициента корреляции коэффициент детерминации линейно возрастает с увеличением силы связи.

Коэффициенты корреляции Спирмена и τ- Кендалла (ранговые корреляции)

Если обе переменные, между которыми изучается связь, представлены в порядковой шкале, или одна из них - в порядковой, а другая - в метрической, то применяются ранговые коэффициенты корреляции: Спирмена или τ- Кенделла. И тот, и другой коэффициент требует для своего применения предварительного ранжирования обеих переменных.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - это непараметрический метод, который используется с целью статистического изучения связи между явлениями. В этом случае определяется фактическая степень параллелизма между двумя количественными рядами изучаемых признаков и дается оценка тесноты установленной связи с помощью количественно выраженного коэффициента.

Если члены группы численностью были ранжированы сначала по переменной x, затем - по переменной y, то корреляцию между переменными x и y можно получить, просто вычислив коэффициент Пирсона для двух рядов рангов. При условии отсутствия связей в рангах (т.е. отсутствия повторяющихся рангов) по той и другой переменной, формула для Пирсона может быть существенно упрощена в вычислительном отношении и преобразована в формулу, известную как Спирмена.

Мощность коэффициента ранговой корреляции Спирмена несколько уступает мощности параметрического коэффициента корреляции.

Коэффицент ранговой корреляции целесообразно применять при наличии небольшого количества наблюдений. Данный метод может быть использован не только для количественно выраженных данных, но также и в случаях, когда регистрируемые значения определяются описательными признаками различной интенсивности.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена при большом количестве одинаковых рангов по одной или обеим сопоставляемым переменным дает огрубленные значения. В идеале оба коррелируемых ряда должны представлять собой две последовательности несовпадающих значений

Альтернативу корреляции Спирмена для рангов представляет корреляция τ- Кендалла. В основе корреляции, предложенной М.Кендаллом, лежит идея о том, что о направлении связи можно судить, попарно сравнивая между собой испытуемых: если у пары испытуемых изменение по x совпадает по направлению с изменением по y, то это свидетельствует о положительной связи, если не совпадает - то об отрицательной связи.

Коэффициенты корреляции были специально разработаны для численного определения силы и направления связи между двумя свойствами, измеренными в числовых шкалах (метрических или ранговых). Как уже упоминалось, максимальной силе связи соответствуют значения корреляции +1 (строгая прямая или прямо пропорциональная связь) и -1 (строгая обратная или обратно пропорциональная связь), отсутствию связи соответствует корреляция, равная нулю. Дополнительную информацию о силе связи дает значение коэффициента детерминации: это часть дисперсии одной переменной, которая может быть объяснена влиянием другой переменной.

9. Параметрические методы сравнения данных


Параметрические методы сравнения применяются в том случае, если ваши переменные были измерены в метрической шкале.

Сравнение дисперсий 2- х выборок по критерию Фишера.


Данный метод позволяет проверить гипотезу о том, что дисперсии 2-х генеральных совокупностей, из которых извлечены сравниваемые выборки, отличаются друг от друга. Ограничения метода - распределения признака в обеих выборках не должны отличаться от нормального.

Альтернативой сравнения дисперсий является критерий Ливена, для которого нет необходимости в проверке на нормальность распределения. Данный метод может применяться для проверки предположения о равенстве (гомогенности) дисперсий перед проверкой достоверности различия средних по критерию Стьюдента для независимых выборок разной численности.

Дисциплина "высшая математика" у некоторых вызывает неприятие, так как поистине не всем дано ее понять. Но те, кому посчастливилось изучать этот предмет и решать задачи, используя различные уравнения и коэффициенты, могут похвастаться практически полной в ней осведемленности. В психологической науке существует не только гуманитарная направленность, но и определенные формулы и способы для математической проверки выдвигаемой в ходе исследований гипотезы. Для этого применяются различные коэффициенты.

Коэффициент корреляции Спирмена

Это распространенное измерение по определению тесноты связи между какими-либо двумя признаками. Коэффициент еще называют непараметрическим методом. Он показывает статистику связи. То есть мы знаем, например, что у ребенка агрессия и раздражительность связаны между собой, а коэффициент корреляции рангов Спирмена показывает статистическую математическую связь этих двух признаков.

Как вычисляется ранговый коэффициент?

Естественно, что для всех математических определений или величин существуют свои формулы, по которым они вычисляются. Ею обладает и коэффициент корреляции Спирмена. Формула у него следующая:

С первого взгляда формула не совсем понятна, но если разобраться, все очень легко вычисляется:

• n - это количество признаков или показателей, которые проранжированы.
• d - разность определенных двух рангов, соответствующих конкретным двум переменным каждого испытуемого.
• ∑d 2 - сумма всех квадратов разностей рангов признака, квадраты которых вычисляются отдельно для каждого ранга.

Область применения математической меры связи

Для применения рангового коэффициента необходимо, чтобы количественные данные признака были проранжированы, то есть им был присвоен определенный номер в зависимости от места, на котором расположен признак, и от его значения. Доказано, что два ряда признаков, выраженных в числовом виде, несколько параллельны между собой. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена определяет степень этой параллельности, тесноты связи признаков.

Для математической операции по расчету и определению связи признаков с помощью указанного коэффициента нужно произвести некоторые действия:

1. Каждому значению какого-либо испытуемого или явления присваивается номер по порядку - ранг. Он может соответствовать значению явления по возрастанию и по убыванию.
2. Дальше сопоставляются ранги значения признаков двух количественных рядов для того, чтобы определить разность между ними.
3. В отдельном столбце таблицы для каждой полученной разности прописывается ее квадрат, а внизу результаты суммируются.
4. После этих действий применяется формула, по которой рассчитывается коэффициент корреляции Спирмена.

Свойства коэффициента корреляции

К основным свойствам коэффициента Спирмена относят следующие:

• Измерение значений в пределах от -1 до 1.
• Знак коэффициента интерпретаций не имеет.
• Теснота связи определяется по принципу: чем выше величина, тем теснее связь.

Как проверить полученное значение?

Для проверки связи признаков между собой необходимо выполнить определенные действия:

1. Выдвигается нулевая гипотеза (H0), она же основная, затем формулируется другая, альтернативная первой (H 1). Первая гипотеза будет заключаться в том, что коэффициент корреляции Спирмена равняется 0 - это значит, что связи не будет. Вторая, наоборот, гласит, что коэффициент не равен 0, тогда связь есть.
2. Следующим действием будет нахождение наблюдаемого значения критерия. Оно находится по основной формуле коэффициента Спирмена.
3. Далее находятся критические значения заданного критерия. Это можно сделать только с помощью специальной таблицы, где отображаются различные значения по заданным показателям: уровень значимости (l) и число, определяющее (n).
4. Теперь нужно сравнить два полученных значения: установленного наблюдаемого, а также критического. Для этого необходимо построить критическую область. Нужно начертить прямую линию, на ней отметить точки критического значения коэффициента со знаком "-" и со знаком"+". Слева и справа от критических значений полукругами от точек откладываются критические области. Посередине, объединяя два значения, отмечается полукругом ОПГ.
5. После этого делается вывод о тесноте связи между двумя признаками.

Где лучше использовать эту величину

Самой первой наукой, где активно использовался этот коэффициент, была психология. Ведь это наука, не основывающаяся на цифрах, однако для доказательства каких-либо важных гипотез, касающихся развития отношений, черт характера людей, знаний студентов, требуется статистическое подтверждение выводов. Также его используют в экономике, в частности, при валютных оборотах. Здесь оцениваются признаки без статистики. Очень удобен коэффициент ранговой корреляции Спирмена в этой области применения тем, что оценка производится независимо от распределения переменных, так как они заменяются ранговым числом. Активно применяется коэффициент Спирмена в банковском деле. Социология, политология, демография и другие науки также используют его в своих исследованиях. Результаты получаются быстро и максимально точно.

Удобно и быстро используется коэффициент корреляции Спирмена в Excel. Здесь существуют специальные функции, которые помогают быстро получить необходимые значения.

Какие еще коэффициенты корреляции существуют?

Кроме того, что мы узнали про коэффициент корреляции Спирмена, существуют еще различные корреляционные коэффициенты, позволяющие измерить, оценить качественные признаки, связь между количественными признаками, тесноту связи между ними, представленными в ранговой шкале. Это такие коэффициенты, как биссериальный, рангово-биссериальный, контенгенции, ассоциации, и так далее. Коэффициент Спирмена очень точно показывает тесноту связи, в отличие от всех остальных методов ее математического определения.

Дата публикации: 03.09.2017 13:01

Термин «корреляция» активно используется в гуманитарных науках, медицине; часто мелькает в СМИ. Ключевую роль корреляции играют в психологии. В частности, расчет корреляций выступает важным этапом реализации эмпирического исследования при написании ВКР по психологии.

Материалы по корреляциям в сети слишком научны. Неспециалисту трудно разобраться в формулах. В то же время понимание смысла корреляций необходимо маркетологу, социологу, медику, психологу - всем, кто проводит исследования на людях.

В этой статье мы простым языком объясним суть корреляционной связи, виды корреляций, способы расчета, особенности использования корреляции в психологических исследованиях, а также при написании дипломных работ по психологии.

Содержание

Что такое корреляция

Корреляция - это связь. Но не любая. В чем же ее особенность? Рассмотрим на примере.

Представьте, что вы едете на автомобиле. Вы нажимаете педаль газа - машина едет быстрее. Вы сбавляете газ - авто замедляет ход. Даже не знакомый с устройством автомобиля человек скажет: «Между педалью газа и скоростью машины есть прямая связь: чем сильнее нажата педаль, тем скорость выше».

Это зависимость функциональная - скорость выступает прямой функцией педали газа. Специалист объяснит, что педаль управляет подачей топлива в цилиндры, где происходит сжигание смеси, что ведет к повышению мощности на вал и т.д. Это связь жесткая, детерминированная, не допускающая исключений (при условии, что машина исправна).

Теперь представьте, что вы директор фирмы, сотрудники которой продают товары. Вы решаете повысить продажи за счет повышения окладов работников. Вы повышаете зарплату на 10%, и продажи в среднем по фирме растут. Через время повышаете еще на 10%, и опять рост. Затем еще на 5%, и опять есть эффект. Напрашивается вывод - между продажами фирмы и окладом сотрудников есть прямая зависимость - чем выше оклады, тем выше продажи организации. Такая же это связь, как между педалью газа и скоростью авто? В чем ключевое отличие?

Правильно, между окладом и продажами заисимость не жесткая. Это значит, что у кого-то из сотрудников продажи могли даже снизиться, невзирая на рост оклада. У кого-то остаться неизменными. Но в среднем по фирме продажи выросли, и мы говорим - связь продаж и оклада сотрудников есть, и она корреляционная.

В основе функциональной связи (педаль газа - скорость) лежит физический закон. В основе корреляционной связи (продажи - оклад) находится простая согласованность изменения двух показателей. Никакого закона (в физическом понимании этого слова) за корреляцией нет. Есть лишь вероятностная (стохастическая) закономерность.

Численное выражение корреляционной зависимости

Итак, корреляционная связь отражает зависимость между явлениями. Если эти явления можно измерить, то она получает численное выражение.

Например, изучается роль чтения в жизни людей. Исследователи взяли группу из 40 человек и измерили у каждого испытуемого два показателя: 1) сколько времени он читает в неделю; 2) в какой мере он считает себя благополучным (по шкале от 1 до 10). Ученые занесли эти данные в два столбика и с помощью статистической программы рассчитали корреляцию между чтением и благополучием. Предположим, они получили следующий результат -0,76. Но что значит это число? Как его проинтерпретировать? Давайте разбираться.

Полученное число называется коэффициентом корреляции. Для его правильной интерпретации важно учитывать следующее:

1. Знак «+» или «-» отражает направление зависимости.
2. Величина коэффициента отражает силу зависимости.

Прямая и обратная

Знак плюс перед коэффициентом указывает на то, что связь между явлениями или показателями прямая. То есть, чем больше один показатель, тем больше и другой. Выше оклад - выше продажи. Такая корреляция называется прямой, или положительной.

Если коэффициент имеет знак минус, значит, корреляция обратная, или отрицательная. В этом случае чем выше один показатель, тем ниже другой. В примере с чтением и благополучием мы получили -0,76, и это значит, что, чем больше люди читают, тем ниже уровень их благополучия.

Сильная и слабая

Корреляционная связь в численном выражении - это число в диапазоне от -1 до +1. Обозначается буквой «r». Чем выше число (без учета знака), тем корреляционная связь сильнее.

Чем ниже численное значение коэффициента, тем взаимосвязь между явлениями и показателями меньше.

Максимально возможная сила зависимости - это 1 или -1. Как это понять и представить?

Рассмотрим пример. Взяли 10 студентов и измерили у них уровень интеллекта (IQ) и успеваемость за семестр. Расположили эти данные в виде двух столбцов.

Посмотрите внимательно на данные в таблице. От 1 до 10 испытуемого растет уровень IQ. Но также растет и уровень успеваемости. Из любых двух студентов успеваемость будет выше у того, у кого выше IQ. И никаких исключений из этого правила не будет.

Перед нами пример полного, 100%-но согласованного изменения двух показателей в группе. И это пример максимально возможной положительной взаимосвязи. То есть, корреляционная зависимость между интеллектом и успеваемостью равна 1.

Рассмотрим другой пример. У этих же 10-ти студентов с помощью опроса оценили, в какой мере они ощущают себя успешными в общении с противоположным полом (по шкале от 1 до 10).

Смотрим внимательно на данные в таблице. От 1 до 10 испытуемого растет уровень IQ. При этом в последнем столбце последовательно снижается уровень успешности общения с противоположным полом. Из любых двух студентов успех общения с противоположным полом будет выше у того, у кого IQ ниже. И никаких исключений из этого правила не будет.

Это пример полной согласованности изменения двух показателей в группе - максимально возможная отрицательная взаимосвязь. Корреляционная связь между IQ и успешностью общения с противоположным полом равна -1.

А как понять смысл корреляции равной нулю (0)? Это значит, связи между показателями нет. Еще раз вернемся к нашим студентам и рассмотрим еще один измеренный у них показатель - длину прыжка с места.

Не наблюдается никакой согласованности между изменением IQ от человека к человеку и длинной прыжка. Это и свидетельствует об отсутствии корреляции. Коэффициент корреляции IQ и длины прыжка с места у студентов равен 0.

Мы рассмотрели крайние случаи. В реальных измерениях коэффициенты редко бывают равны точно 1 или 0. При этом принята следующая шкала:

• если коэффициент больше 0,70 - связь между показателями сильная;
• от 0,30 до 0,70 - связь умеренная,
• меньше 0,30 - связь слабая.

Если оценить по этой шкале полученную нами выше корреляцию между чтением и благополучием, то окажется, что эта зависимость сильная и отрицательная -0,76. То есть, наблюдается сильная отрицательная связь между начитанностью и благополучием. Что еще раз подтверждает библейскую мудрость о соотношении мудрости и печали.

Приведенная градация дает очень приблизительные оценки и в таком виде редко используются в исследованиях.

Чаще используются градации коэффициентов по уровням значимости. В этом случае реально полученный коэффициент может быть значимым или не значимым. Определить это можно, сравнив его значение с критическим значением коэффициента корреляции, взятым из специальной таблицы. Причем эти критические значения зависят от численности выборки (чем больше объем, тем ниже критическое значение).

Корреляционный анализ в психологии

Корреляционный метод выступает одним из основных в психологических исследованиях. И это не случайно, ведь психология стремится быть точной наукой. Получается ли?

В чем особенность законов в точных науках. Например, закон тяготения в физике действует без исключений: чем больше масса тела, тем сильнее оно притягивает другие тела. Этот физический закон отражает связь массы тела и силы притяжения.

В психологии иная ситуация. Например, психологи публикуют данные о связи теплых отношений в детстве с родителями и уровня креативности во взрослом возрасте. Означает ли это, что любой из испытуемых с очень теплыми отношениями с родителями в детстве будет иметь очень высокие творческие способности? Ответ однозначный - нет. Здесь нет закона, подобного физическому. Нет механизма влияния детского опыта на креативность взрослых. Это наши фантазии! Есть согласованность данных (отношения - креативность), но за ними нет закона. А есть лишь корреляционная связь. Психологи часто называют выявляемые взаимосвязи психологическими закономерностями, подчеркивая их вероятностный характер - не жесткость.

Пример исследования на студентах из предыдущего раздела хорошо иллюстрирует использование корреляций в психологии:

1. Анализ взаимосвязи между психологическими показателями. В нашем примере IQ и успешность общения с противоположным полом - это психологические параметры. Выявление корреляции между ними расширяет представления о психической организации человека, о взаимосвязях между различными сторонами его личности - в данном случае между интеллектом и сферой общения.
2. Анализ взаимосвязей IQ с успеваемостью и прыжками - пример связи психологического параметра с непсихологическими. Полученные результаты раскрывают особенности влияния интеллекта на учебную и спортивную деятельность.

Вот как могли выглядеть краткие выводы по результатам придуманного исследования на студентах:

1. Выявлена значимая положительная зависимость интеллекта студентов и их успеваемости.
2. Существует отрицательная значимая взаимосвязь IQ с успешностью общения с противоположным полом.
3. Не выявлено связи IQ студентов с умением прыгать с места.

Таким образом, уровень интеллекта студентов выступает позитивным фактором их академической успеваемости, в то же время негативно сказываясь на отношениях с противоположным полом и не оказывая значимого влияния на спортивные успехи, в частности, способность к прыгать с места.

Как видим, интеллект помогает студентам учиться, но мешает строить отношения с противоположным полом. При этом не влияет на их спортивные успехи.

Неоднозначное влияние интеллекта на личность и деятельность студентов отражает сложность этого феномена в структуре личностных особенностей и важность продолжения исследований в этом направлении. В частности, представляется важным провести анализ взаимосвязей интеллекта с психологическими особенностями и деятельностью студентов с учетом их пола.

Коэффициенты Пирсона и Спирмена

Рассмотрим два метода расчета.

Коэффициент Пирсона - это особый метод расчета взаимосвязи показателей между выраженностью численных значений в одной группе. Очень упрощенно он сводится к следующему:

1. Берутся значения двух параметров в группе испытуемых (например, агрессии и перфекционизма).
2. Находятся средние значения каждого параметра в группе.
3. Находятся разности параметров каждого испытуемого и среднего значения.
4. Эти разности подставляются в специальную форму для расчета коэффициента Пирсона.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена рассчитывается похожим образом:

1. Берутся значения двух индикаторов в группе испытуемых.
2. Находятся ранги каждого фактора в группе, то есть место в списке по возрастанию.
3. Находятся разности рангов, возводятся в квадрат и суммируются.
4. Далее разности рангов подставляются в специальную форму для вычисления коэффициента Спирмена.

В случае Пирсона расчет шел с использованием среднего значения. Следовательно, случайные выбросы данных (существенное отличие от среднего), например, из-за ошибки обработки или недостоверных ответов могут существенно исказить результат.

В случае Спирмена абсолютные значения данных не играют роли, так как учитывается только их взаимное расположение по отношению друг к другу (ранги). То есть, выбросы данных или другие неточности не окажут серьезного влияния на конечный результат.

Если результаты тестирования корректны, то различия коэффициентов Пирсона и Спирмена незначительны, при этом коэффициент Пирсона показывает более точное значение взаимосвязи данных.

Как рассчитать коэффициент корреляции

Коэффициенты Пирсона и Спирмена можно рассчитать вручную. Это может понадобиться при углубленном изучении статистических методов.

Однако в большинстве случаев при решении прикладных задач, в том числе и в психологии, можно проводить расчеты с помощью специальных программ.

Расчет с помощью электронных таблиц Microsoft Excel

Вернемся опять к примеру со студентами и рассмотрим данные об уровне их интеллекта и длине прыжка с места. Занесем эти данные (два столбца) в таблицу Excel.

Переместив курсор в пустую ячейку, нажмем опцию «Вставить функцию» и выберем «КОРРЕЛ» из раздела «Статистические».

Формат этой функции предполагает выделение двух массивов данных: КОРРЕЛ (массив 1; массив»). Выделяем соответственно столбик с IQ и длиной прыжков.

В таблицах Excel реализована формула расчета только коэффициента Пирсона.

Расчет с помощью программы STATISTICA

Заносим данные по интеллекту и длине прыжка в поле исходных данных. Далее выбираем опцию «Непараметрические критерии», «Спирмена». Выделяем параметры для расчета и получаем следующий результат.

Как видно, расчет дал результат 0,024, что отличается от результата по Пирсону - 0,038, полученной выше с помощью Excel. Однако различия незначительны.

Использование корреляционного анализа в дипломных работах по психологии (пример)

Большинство тем выпускных квалификационных работ по психологии (дипломов, курсовых, магистерских) предполагают проведение корреляционного исследования (остальные связаны с выявлением различий психологических показателей в разных группах).

Сам термин «корреляция» в названиях тем звучит редко - он скрывается за следующими формулировками:

• «Взаимосвязь субъективного ощущения одиночества и самоактуализации у женщин зрелого возраста»;
• «Особенности влияния жизнестойкости менеджеров на успешность их взаимодействия с клиентами в конфликтных ситуациях»;
• «Личностные факторы стрессоустойчивости сотрудников МЧС».

Таким образом, слова «взаимосвязь», «влияние» и «факторы» - верные признаки того, что методом анализа данных в эмпирическом исследовании должен быть корреляционный анализ.

Рассмотрим кратко этапы его проведения при написании дипломной работы по психологии на тему: «Взаимосвязь личностной тревожности и агрессивности у подростков».

1. Для расчета необходимы сырые данные, в качестве которых обычно выступают результаты тестирования испытуемых. Они заносятся в сводную таблицу и помещаются в приложение. Эта таблица устроена следующим образом:

• каждая строка содержит данные на одного испытуемого;
• каждый столбец содержит показатели по одной шкале для всех испытуемых.

2. Необходимо решить, какой из двух типов коэффициентов - Пирсона или Спирмена - будет использоваться. Напоминаем, что Пирсон дает более точный результат, но он чувствителен к выбросам в данных Коэффициенты Спирмена могут использоваться с любыми данными (кроме номинативной шкалы), поэтому именно они чаще всего используют в дипломах по психологии.

3. Заносим таблицу сырых данных в статистическую программу.

4. Рассчитываем значение.

5. На следующем этапе важно определить, значима ли взаимосвязь. Статистическая программа подсветила результаты красным, что означает, что корреляция статистически значимы при уровне значимости 0,05 (указано выше).

Однако полезно знать, как определить значимость вручную. Для этого понадобится таблица критических значений Спирмена.

Таблица критических значений коэффициентов Спирмена

Нас интересует уровень значимости 0,05 и объем нашей выборки 10 человек. На пересечении этих данных находим значение критического Спирмена: Rкр=0,63.

Правило такое: если полученное эмпирическое значение Спирмена больше либо равно критическому, то он статистически значим. В нашем случае: Rэмп (0,66) > Rкр (0,63), следовательно, взаимосвязь между агрессивностью и тревожностью в группе подростков статистически значима.

5. В текст дипломной нужно вставлять данные в таблице формата word, а не таблицу из статистической программы. Под таблицей описываем полученный результат и интерпретируем его.

Таблица 1

Коэффициенты Спирмена агрессивности и тревожности в группе подростков

* - статистически достоверна (р ≤ 0,05)

Анализ данных, приведенных в таблице 1, показывает, что существует статистически значимая положительная связьмежду агрессивностью и тревожностью подростков. Это означает, что чем выше личностная тревожность подростков, тем выше уровень их агрессивности. Такой результат дает основание предположить, что агрессия для подростков выступает одним из способов купирования тревожности. Испытывая неуверенность в себе, тревогу в связи с угрозами самооценке, особенно чувствительной в подростковом возрасте, подросток часто использует агрессивное поведение, таким непродуктивным способом снижая тревогу.

6. Можно ли при интерпретации связей говорить о влиянии? Можно ли сказать, что тревожность влияет на агрессивность? Строго говоря, нет. Выше мы показали, что корреляционная связь между явлениями носит вероятностный характер и отражает лишь согласованность изменений признаков в группе. При этом мы не можем сказать, что эта согласованность вызвана тем, что одно из явлений является причиной другого, влияет на него. То есть, наличие корреляции между психологическими параметрами не дает оснований говорить о существовании между ними причинно-следственной связи. Однако практика показывает, что термин «влияние» часто используется при анализе результатов корреляционного анализа.

Коэффициент корреляции рангов, предложенный К. Спирменом, относится к непараметрическим показателям связи между переменными, измеренными в ранговой шкале. При расчете этого коэффициента не требуется никаких предположений о характере распределений признаков в генеральной совокупности. Этот коэффициент определяет степень тесноты связи порядковых признаков, которые в этом случае представляют собой ранги сравниваемых величин.

Величина коэффициента корреляции Спирмена также лежит в интервале +1 и -1. Он, как и коэффициент Пирсона, может быть положительным и отрицательным, характеризуя направленность связи между двумя признаками, измеренными в ранговой шкале.

В принципе число ранжируемых признаков (качеств, черт и т.п.) может быть любым, но сам процесс ранжирования большего, чем 20 числа признаков -- затруднителен. Возможно, что именно поэтому таблица критических значений рангового коэффициента корреляции рассчитана лишь для сорока ранжируемых признаков (n < 40, табл. 20 приложения 6).

Ранговый коэффициент корреляции Спирмена подсчитывается по формуле:

где n - количество ранжируемых признаков (показателей, испытуемых);

D - разность между рангами по двум переменным для каждого испытуемого;

Сумма квадратов разностей рангов.

Используя ранговый коэффициент корреляции, рассмотрим следующий пример.

Пример : Психолог выясняет, как связаны между собой индивидуальные показатели готовности к школе, полученные до начала обучения в школе у 11 первоклассников и их средняя успеваемость в конце учебного года.

Для решения этой задачи были проранжированы, во-первых, значения показателей школьной готовности, полученные при поступлении в школу, и, во-вторых, итоговые показатели успеваемости в конце года у этих же учащихся в среднем. Результаты представим в табл. 13.

Таблица 13

Подставляем полученные данные в формулу и производим расчет. Получаем:

Для нахождения уровня значимости обращаемся к табл. 20 приложения 6, в которой приведены критические значения для коэффициентов ранговой корреляции.

Подчеркнем, что в табл. 20 приложения 6, как и в таблице для линейной корреляции Пирсона, все величины коэффициентов корреляции даны по абсолютной величине. Поэтому, знак коэффициента корреляции учитывается только при его интерпретации.

Нахождение уровней значимости в данной таблице осуществляется по числу n, т. е. по числу испытуемых. В нашем случае n = 11. Для этого числа находим :

0,61 для P 0,05

0,76 для P 0,01

Строим соответствующую ``ось значимости"":

Полученный коэффициент корреляции совпал с критическим значением для уровня значимости в 1%. Следовательно, можно утверждать, что показатели школьной готовности и итоговые оценки первоклассников связаны положительной корреляционной зависимостью - иначе говоря, чем выше показатель школьной готовности, тем лучше учится первоклассник. В терминах статистических гипотез психолог должен отклонить нулевую (Нгипотезу о сходстве и принять альтернативную (Но наличии различий, которая говорит о том, что связь между показателями школьной готовности и средней успеваемостью отлична от нуля.

Случай одинаковых (равных) рангов

При наличии одинаковых рангов формула расчета коэффициента линейной корреляции Спирмена будет несколько иной. В этом случае в формулу вычисления коэффициентов корреляции добавляются два новых члена, учитывающие одинаковые ранги. Они называются поправками на одинаковые ранги и добавляются в числитель расчетной формулы.

где n - число одинаковых рангов в первом столбце,

k - число одинаковых рангов во втором столбце.

Если имеется две группы одинаковых рангов, в каком-либо столбце то формула поправки несколько усложняется:

где n - число одинаковых рангов в первой группе ранжируемого столбца,

k - число одинаковых рангов в второй группе ранжируемого столбца. Модификация формулы в общем случае такова:

Пример : Психолог, используя тест умственного развития (ШТУР) проводит исследование интеллекта у 12 учащихся 9 класса. Одновременно с этим, но просит учителей литературы и математики провести ранжирование этих же учащихся по показателям умственного развития. Задача заключается в том, чтобы определить, как связаны между собой объективные показатели умственного развития (данные ШТУРа) и экспертные оценки учителей.

Экспериментальные данные этой задачи и дополнительные столбцы, необходимые для расчета коэффициента корреляции Спирмена, представим в виде табл. 14.

Таблица 14

Поскольку при ранжировании использовались одинаковые ранги, то необходимо проверить правильность ранжирования во втором, третьем и четвертом столбцах таблицы. Суммирование в каждом из этих столбцов дает одинаковую сумму - 78.

Проверяем по расчетной формуле. Проверка дает:

В пятом и шестом столбцах таблицы приведены величины разности рангов между экспертными оценками психолога по тесту ШТУР для каждого ученика и величинами экспертных оценок учителей, соответственно по математике и литературе. Сумма величин разностей рангов должна быть равна нулю. Суммирование величин D в пятом и шестом столбцах дало искомый результат. Следовательно, вычитание рангов проведено правильно. Подобную проверку необходимо делать каждый раз при проведении сложных видов ранжирования.

Прежде, чем начать расчет по формуле необходимо рассчитать поправки на одинаковые ранги для второго, третьего и четвертого столбцов таблицы.

В нашем случае во втором столбце таблицы два одинаковых ранга, следовательно, по формуле величина поправки D1 будет:

В третьем столбце три одинаковых ранга, следовательно, по формуле величина поправки D2 будет:

В четвертом столбце таблицы две группы по три одинаковых ранга, следовательно, по формуле величина поправки D3 будет:

Прежде, чем преступить к решению задачи, напомним, что психолог выясняет два вопроса - как связаны величины рангов по тесту ШТУР с экспертными оценками по математике и литературе. Именно поэтому расчет проводится дважды.

Считаем первый ранговый коэффициент с учетом добавок по формуле. Получаем:

Подсчитаем без учета добавки:

Как видим, разница в величинах коэффициентов корреляции оказалась очень незначительной.

Считаем второй ранговый коэффициент с учетом добавок по формуле. Получаем:

Подсчитаем без учета добавки:

И опять, различия оказались очень незначительны. Поскольку число учащихся в обоих случаях одинаково, по табл. 20 приложения 6 находим критические значения при n = 12 сразу для обоих коэффициентов корреляции.

0,58 для P 0,05

0,73 для P 0,01

Откладываем первое значение на ``оси значимости"":

В первом случае полученный коэффициент ранговой корреляции находится в зоне значимости. Поэтому психолог должен отклонить нулевую Нгипотезу о сходстве коэффициента корреляции с нулем и принять альтернативную Но значимом отличии коэффициента корреляции от нуля. Иными словами, полученный результат говорит о том, что чем выше экспертные оценки учащихся по тесту ШТУР, тем выше их экспертные оценки по математике.

Откладываем второе значение на ``оси значимости"":

Во втором случае коэффициент ранговой корреляции находится в зоне неопределенности. Поэтому психолог может принять нулевую Нгипотезу о сходстве коэффициента корреляции с нулем и отклонить альтернативную Но значимом отличии коэффициента корреляции от нуля. В этом случае полученный результат говорит о том, что экспертные оценки учащихся по тесту ШТУР не связаны с экспертными оценками по литературе.

Для применения коэффициента корреляции Спирмена, необходимо соблюдать следующие условия:

1. Сравниваемые переменные должны быть получены в порядковой (ранговой) шкале, но могут быть измерены также в шкале интервалов и отношений.

2. Характер распределения коррелируемых величин не имеет значения.

3. Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных X и Y должно быть одинаковым.

Таблицы для определения критических значений коэффициента корреляции Спирмена (табл. 20 приложение 6) рассчитаны от числа признаков равных n = 5 до n = 40 и при большем числе сравниваемых переменных следует использовать таблицу для пирсоновского коэффициента корреляции (табл. 19 приложение 6). Нахождение критических значений осуществляется при k = n.

Корреляция Пирсона есть мера линейной связи между двумя переменными. Она позволяет определить, насколько пропорциональна изменчивость двух переменных. Если переменные пропорциональны друг другу, то графически связь между ними можно представить в виде прямой линии с положительным (прямая пропорция) или отрицательным (обратная пропорция) наклоном.

На практике связь между двумя переменными, если она есть, является вероятностной и графически выглядит как облако рассеивания эллипсоидной формы. Этот эллипсоид, однако, можно представить (аппроксимировать) в виде прямой линии, или линии регрессии. Линия регрессии - это прямая, построенная методом наименьших квадратов: сумма квадратов расстояний (вычисленных по оси Y) от каждой точки графика рассеивания до прямой является минимальной

Особое значение для оценки точности предсказания имеет дисперсия оценок зависимой переменной. По сути, дисперсия оценок зависимой переменной Y - это та часть ее полной дисперсии, которая обусловлена влиянием независимой переменной X. Иначе говоря, отношение дисперсии оценок зависимой переменной к ее истинной дисперсии равно квадрату коэффициента корреляции.

Квадрат коэффициента корреляции зависимой и независимой переменных представляет долю дисперсии зависимой переменной, обусловленной влиянием независимой переменной, и называется коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации, таким образом, показывает, в какой степени изменчивость одной переменной обусловлена (детерминирована) влиянием другой переменной.

Коэффициент детерминации обладает важным преимуществом по сравнению с коэффициентом корреляции. Корреляция __________не является линейной функцией связи между двумя переменными. Поэтому, среднее арифметическое коэффициентов корреляции для нескольких выборок не совпадает с корреляцией, вычисленной сразу для всех испытуемых из этих выборок (т.е. коэффициент корреляции не аддитивен). Напротив, коэффициент детерминации отражает связь линейно и поэтому является аддитивным: допускается его усреднение для нескольких выборок.

Дополнительную информацию о силе связи дает значение коэффициента корреляции в квадрате - коэффициент детерминации: это часть дисперсии одной переменной, которая может быть объяснена влиянием другой переменной. В отличие от коэффициента корреляции коэффициент детерминации линейно возрастает с увеличением силы связи.

Коэффициенты корреляции Спирмена и τ-Кендалла (ранговые корреляции)

Если обе переменные, между которыми изучается связь, представлены в порядковой шкале, или одна из них - в порядковой, а другая - в метрической, то применяются ранговые коэффициенты корреляции: Спирмена или τ-Кенделла. И тот, и другой коэффициент требует для своего применения предварительного ранжирования обеих переменных.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - это непараметрический метод, который используется с целью статистического изучения связи между явлениями. В этом случае определяется фактическая степень параллелизма между двумя количественными рядами изучаемых признаков и дается оценка тесноты установленной связи с помощью количественно выраженного коэффициента.

Если члены группы численностью были ранжированы сначала по переменной x, затем – по переменной y, то корреляцию между переменными x и y можно получить, просто вычислив коэффициент Пирсона для двух рядов рангов. При условии отсутствия связей в рангах (т.е. отсутствия повторяющихся рангов) по той и другой переменной, формула для Пирсона может быть существенно упрощена в вычислительном отношении и преобразована в формулу, известную как Спирмена.

Мощность коэффициента ранговой корреляции Спирмена несколько уступает мощности параметрического коэффициента корреляции.

Коэффицент ранговой корреляции целесообразно применять при наличии небольшого количества наблюдений. Данный метод может быть использован не только для количественно выраженных данных, но также и в случаях, когда регистрируемые значения определяются описательными признаками различной интенсивности.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена при большом количестве одинаковых рангов по одной или обеим сопоставляемым переменным дает огрубленные значения. В идеале оба коррелируемых ряда должны представлять собой две последовательности несовпадающих значений.

Альтернативу корреляции Спирмена для рангов представляет корреляция τ-Кендалла. В основе корреляции, предложенной М.Кендаллом, лежит идея о том, что о направлении связи можно судить, попарно сравнивая между собой испытуемых: если у пары испытуемых изменение по x совпадает по направлению с изменением по y, то это свидетельствует о положительной связи, если не совпадает - то об отрицательной связи.