Ito ay halos mahirap na makahanap ng ganoong halaga Sa, Kung saan (b-a) f (c) ay eksaktong katumbas ng . Upang makakuha ng isang mas tumpak na halaga, ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay nahahati sa n parihaba na ang taas ay pantay y 0 , y 1 , y 2 , …, y n -1 at mga bakuran.

Kung susumahin namin ang mga lugar ng mga parihaba na sumasaklaw sa lugar ng isang curvilinear trapezoid na may kawalan, ang pag-andar ay hindi bumababa, pagkatapos ay sa halip na formula ay ginagamit namin ang formula

Kung sobra, kung gayon

Ang mga halaga ay matatagpuan mula sa pagkakapantay-pantay. Ang mga formula na ito ay tinatawag mga formula ng parihaba at magbigay ng tinatayang resulta. Sa pagtaas n nagiging mas tumpak ang resulta.

Halimbawa 1 . Kalkulahin gamit ang rectangle formula

Hatiin natin ang integration interval sa 5 bahagi. Tapos . Gamit ang isang calculator o talahanayan, makikita natin ang mga halaga ng integrand (tumpak sa 4 na decimal na lugar):

Ayon sa formula ng mga parihaba (na may disadvantage)

Sa kabilang banda, ayon sa formula ng Newton-Leibniz

Hanapin natin ang relatibong error sa pagkalkula gamit ang rectangle formula:

Pagkalkula ng mga integral gamit ang mga formula ng trapezoidal. Error sa pagtatantya:

Ang geometric na kahulugan ng sumusunod na paraan ng tinatayang pagkalkula ng mga integral ay upang mahanap ang lugar ng humigit-kumulang pantay na laki ng "rectilinear" na trapezoid.

Hayaang kinakailangan upang kalkulahin ang lugar A 1 AmBB 1 curvilinear trapezoid, na ipinahayag ng formula.

Palitan natin ang arko AmB chord AB at sa halip na ang lugar ng isang curvilinear trapezoid A 1 AmBB 1 kalkulahin ang lugar ng trapezoid A 1 ABB 1: , Saan AA 1 At BB 1 - ang mga base ng trapezoid, at A 1 B 1 - ang taas nito.

Tukuyin natin f(a)=A 1 A,f(b)=B 1 B. taas ng trapezoid A 1 B 1 =b-a, parisukat . Kaya naman, o

Ito ang tinatawag na maliit na trapezoid formula.

Mga gawaing pang-edukasyon:

• Didactic na layunin. Ipakilala sa mga mag-aaral ang mga paraan ng tinatayang pagkalkula ng isang tiyak na integral.
• Layunin ng edukasyon. Ang paksa ng araling ito ay may malaking praktikal at pang-edukasyon na kahalagahan. Ang pinakasimpleng paraan upang lapitan ang ideya ng numerical integration ay ang umasa sa kahulugan ng isang tiyak na integral bilang limitasyon ng integral sums. Halimbawa, kung kukuha tayo ng anumang sapat na maliit na partition ng segment [ a; b] at bumuo ng integral sum para dito, kung gayon ang halaga nito ay maaaring tinatayang kunin bilang halaga ng katumbas na integral. Kasabay nito, mahalaga na mabilis at tama na magsagawa ng mga kalkulasyon gamit ang teknolohiya ng computer.

Pangunahing kaalaman at kasanayan. Magkaroon ng pag-unawa sa mga tinatayang pamamaraan para sa pagkalkula ng isang tiyak na integral gamit ang mga formula ng mga parihaba at trapezoid.

Pagbibigay ng mga klase

• Handout. Mga card-gawain para sa malayang gawain.
• TSO. Multi-projector, PC, laptop.
• kagamitan sa TSO. Mga Presentasyon: "Geometric na kahulugan ng mga derivatives", "Paraan ng mga parihaba", "Paraan ng mga trapezoid". (Maaaring makuha ang mga presentasyon mula sa may-akda).
• Mga kagamitan sa pag-compute: PC, microcalculators.
• Mga Alituntunin

Uri ng aralin. Pinagsamang praktikal.

Pagganyak ng aktibidad na nagbibigay-malay ng mga mag-aaral. Kadalasan kinakailangan upang kalkulahin ang mga tiyak na integral kung saan imposibleng makahanap ng isang antiderivative. Sa kasong ito, ang mga tinatayang pamamaraan para sa pagkalkula ng mga tiyak na integral ay ginagamit. Minsan ang tinatayang paraan ay ginagamit din para sa "kinuha" na mga integral, kung ang pagkalkula gamit ang Newton-Leibniz formula ay hindi makatwiran. Ang ideya ng tinatayang pagkalkula ng integral ay ang curve ay pinalitan ng isang bagong curve na sapat na "malapit" dito. Depende sa pagpili ng bagong curve, maaaring gamitin ang isa o isa pang tinatayang formula ng pagsasama.

Pagkakasunod-sunod ng aralin.

1. Parihaba na formula.
2. Pormula ng trapezoid.
3. Solusyon ng mga pagsasanay.

Lesson plan

1. Pag-uulit ng pangunahing kaalaman ng mga mag-aaral.

Ulitin sa mga mag-aaral: ang mga pangunahing pormula ng pagsasama, ang kakanyahan ng mga pinag-aralan na pamamaraan ng pagsasama, ang geometriko na kahulugan ng isang tiyak na integral.

1. Gumagawa ng praktikal na gawain.

Ang solusyon ng maraming mga teknikal na problema ay bumababa sa pagkalkula ng ilang mga integral, ang eksaktong pagpapahayag ng kung saan ay kumplikado, ay nangangailangan ng mahahabang kalkulasyon at hindi palaging makatwiran sa pagsasanay. Dito ang kanilang tinatayang halaga ay sapat na.

Hayaan, halimbawa, kailangan mong kalkulahin ang lugar na nalilimitahan ng isang linya na ang equation ay hindi alam. Sa kasong ito, maaari mong palitan ang linyang ito ng isang mas simple, ang equation na kung saan ay kilala. Ang lugar ng curvilinear trapezoid na nakuha sa ganitong paraan ay kinuha bilang isang tinatayang halaga ng nais na integral.

Ang pinakasimpleng tinatayang paraan ay ang rectangle method. Geometrically, ang ideya ng paraan ng pagkalkula ng tiyak na integral gamit ang rectangle formula ay ang lugar ng curvilinear trapezoid. A B C D ay pinalitan ng kabuuan ng mga lugar ng mga parihaba, ang isang gilid nito ay katumbas ng , at ang isa pa - .

Kung susumahin namin ang mga lugar ng mga parihaba na nagpapakita ng lugar ng isang hubog na trapezoid na may kawalan [Larawan 1], nakuha namin ang formula:

[Larawan 1]

pagkatapos ay makuha namin ang formula:

Kung sobra

[Figure 2],

yun

Mga halaga y 0, y 1,..., y n natagpuan mula sa pagkakapantay-pantay , k = 0, 1..., n.Ang mga formula na ito ay tinatawag na mga formula ng parihaba at magbigay ng tinatayang resulta. Sa pagtaas n nagiging mas tumpak ang resulta.

Kaya, upang mahanap ang tinatayang halaga ng integral, kailangan mo:

Upang mahanap ang error sa pagkalkula, kailangan mong gamitin ang mga formula:

Halimbawa 1. Kalkulahin gamit ang rectangle formula. Hanapin ang ganap at kamag-anak na mga error ng mga kalkulasyon.

Hatiin natin ang segment [ a, b] sa ilang (halimbawa, 6) pantay na bahagi. Pagkatapos a = 0, b = 3 ,

x k = a + k x
X 0 = 2 + 0 = 2
X 1 = 2 + 1 = 2,5
X 2 = 2 + 2 =3
X 3 = 2 + 3 = 3
X 4 = 2 + 4 = 4
X 5 = 2 + 5 = 4,5

f(x 0) = 2 2 = 4
f (x 1) = 2 ,5 2 = 6,25
f (x 2) = 3 2 = 9
f (x 3) = 3,5 2 = 12,25
f (x 4) = 4 2 = 16
f (x 5) = 4,5 2 = 20,25.

Ayon sa formula (1):

Upang makalkula ang kamag-anak na error ng mga kalkulasyon, kinakailangan upang mahanap ang eksaktong halaga ng integral:

Ang mga kalkulasyon ay tumagal ng mahabang panahon at natapos kami sa isang medyo magaspang na pag-ikot. Upang kalkulahin ang integral na ito na may mas maliit na approximation, maaari mong gamitin ang mga teknikal na kakayahan ng isang computer.

Upang mahanap ang tiyak na integral gamit ang rectangle method, dapat mong ipasok ang mga halaga ng integrand f(x) sa Excel worksheet sa hanay X na may ibinigay na hakbang X= 0,1.

1. Paggawa ng talahanayan ng data (X At f(x)). X f(x). Pangangatwiran, at sa cell B1 - ang salita Function2 2,1 ). Pagkatapos, ang pagpili ng bloke ng mga cell A2:A3, gamit ang autofill, nakukuha namin ang lahat ng mga halaga ng argumento (i-drag namin ang ibabang kanang sulok ng bloke sa cell A32, sa halaga x=5).
2. Susunod, ipinasok namin ang mga halaga ng integrand. Sa cell B2 kailangan mong isulat ang equation nito. Upang gawin ito, ilagay ang cursor ng talahanayan sa cell B2 at ipasok ang formula mula sa keyboard =A2^2(na may layout ng English na keyboard). Pindutin ang key Pumasok. Sa cell B2 ay lilitaw 4 . Ngayon ay kailangan mong kopyahin ang function mula sa cell B2. Gamit ang autofill, kopyahin ang formula na ito sa hanay na B2:B32.
   Ang resulta ay dapat na isang talahanayan ng data para sa paghahanap ng integral.
3. Ngayon sa cell B33 ang tinatayang halaga ng integral ay matatagpuan. Upang gawin ito, ilagay ang formula sa cell B33 = 0,1*, pagkatapos ay tawagan ang Function Wizard (sa pamamagitan ng pag-click sa Insert Function na button sa toolbar (f(x)). Sa dialog box na lalabas, Function Wizard - hakbang 1 ng 2, sa kaliwa sa Category field, piliin ang Mathematical. Sa kanan sa field ng Function ay ang Sum function. Pindutin ang pindutan OK. Lumilitaw ang dialog box ng Mga Halaga. Gamit ang mouse, ilagay ang hanay ng pagbubuod B2:B31 sa field ng trabaho. Pindutin ang pindutan OK. Sa cell B33, lumilitaw ang tinatayang halaga ng nais na integral na may disadvantage ( 37,955 ) .

Paghahambing ng nakuhang tinatayang halaga sa tunay na halaga ng integral ( 39 ), makikita ng isa na ang approximation error ng rectangle method sa kasong ito ay katumbas ng

= |39 - 37 , 955| = 1 ,045

Halimbawa 2. Gamit ang rectangle method, kalkulahin gamit ang isang naibigay na hakbang X = 0,05.

Paghahambing ng nakuhang tinatayang halaga sa tunay na halaga ng integral , makikita ng isa na ang approximation error ng rectangle method sa kasong ito ay katumbas ng

Ang pamamaraang trapezoidal ay karaniwang nagbibigay ng isang mas tumpak na halaga ng integral kaysa sa paraan ng hugis-parihaba. Ang hubog na trapezoid ay pinalitan ng kabuuan ng ilang mga trapezoid at ang tinatayang halaga ng tiyak na integral ay matatagpuan bilang kabuuan ng mga lugar ng mga trapezoid.

[Figure3]

Halimbawa 3. Hanapin gamit ang trapezoidal method sa mga hakbang X = 0,1.

1. Magbukas ng blangkong worksheet.
2. Paggawa ng talahanayan ng data (X At f(x)). Hayaang ang unang hanay ay ang mga halaga X, at ang pangalawa na may kaukulang mga tagapagpahiwatig f(x). Upang gawin ito, ipasok ang salita sa cell A1 Pangangatwiran, at sa cell B1 - ang salita Function. Ang unang halaga ng argument ay ipinasok sa cell A2 - ang kaliwang hangganan ng saklaw ( 0 ). Ang pangalawang halaga ng argument ay ipinasok sa cell A3 - ang kaliwang hangganan ng hanay kasama ang hakbang sa pagtatayo ( 0,1 ). Pagkatapos, ang pagpili ng bloke ng mga cell A2:A3, gamit ang autofill, nakukuha namin ang lahat ng mga halaga ng argumento (na-drag namin ang ibabang kanang sulok ng bloke sa cell A33, sa halaga x=3.1).
3. Susunod, ipinasok namin ang mga halaga ng integrand. Sa cell B2 kailangan mong isulat ang equation nito (sa halimbawa ng sine). Upang gawin ito, ang cursor ng talahanayan ay dapat ilagay sa cell B2. Dito dapat mayroong halaga ng sine na tumutugma sa halaga ng argumento sa cell A2. Upang makuha ang halaga ng sine, gagamit kami ng isang espesyal na function: mag-click sa pindutan ng Insert Function sa toolbar f(x). Sa dialog box na lalabas, Function Wizard - hakbang 1 ng 2, sa kaliwa sa Category field, piliin ang Mathematical. Sa kanan sa field ng Function - function KASALANAN. Pindutin ang pindutan OK. May lalabas na dialog box KASALANAN. Sa pamamagitan ng paglalagay ng mouse pointer sa gray na field ng window, nang pinindot ang kaliwang button, ilipat ang field sa kanan upang buksan ang column ng data ( A). Ipinapahiwatig namin ang halaga ng argument ng sine sa pamamagitan ng pag-click sa cell A2. Pindutin ang pindutan OK. Lumilitaw ang isang 0 sa cell B2. Ngayon ay kailangan mong kopyahin ang function mula sa cell B2. Gamit ang autofill, kopyahin ang formula na ito sa hanay na B2:B33. Ang resulta ay dapat na isang talahanayan ng data para sa paghahanap ng integral.
4. Ngayon sa cell B34 ang tinatayang halaga ng integral ay matatagpuan gamit ang trapezoidal method. Upang gawin ito, ilagay ang formula sa cell B34 = 0.1*((B2+B33)/2+, pagkatapos ay tawagan ang Function Wizard (sa pamamagitan ng pag-click sa Insert Function na button sa toolbar (f(x)). Sa dialog box na lalabas, Function Wizard - hakbang 1 ng 2, sa kaliwa sa Category field, piliin ang Mathematical. Sa kanan sa field ng Function ay ang Sum function. Pindutin ang pindutan OK. Lumilitaw ang dialog box ng Mga Halaga. Ipasok ang hanay ng pagbubuod B3:B32 sa field ng trabaho gamit ang mouse. Pindutin ang pindutan OK muli OK. Sa cell B34, lumilitaw ang tinatayang halaga ng gustong integral na may disadvantage ( 1,997 ) .

Ang paghahambing ng nakuha na tinatayang halaga sa totoong halaga ng integral, makikita ng isa na ang error sa pagtatantya ng paraan ng rektanggulo sa kasong ito ay lubos na katanggap-tanggap para sa pagsasanay.

1. Solusyon ng mga pagsasanay.

Paano makalkula ang isang tiyak na integral gamit ang trapezoidal na pamamaraan?

Una, ang pangkalahatang formula. Marahil ay hindi agad ito magiging malinaw sa lahat... oo, kasama mo si Karlsson - ang mga praktikal na halimbawa ay magpapalinaw sa lahat! Kalmado. Tanging kapayapaan.

Isaalang - alang natin ang tiyak na integral , kung saan ang isang function ay tuloy - tuloy sa pagitan . Hatiin natin ang segment sa pantay mga segment:
. Sa kasong ito, ito ay malinaw: (mas mababang limitasyon ng pagsasama) at (itaas na limitasyon ng pagsasama). Mga puntos tinatawag din mga node.

Pagkatapos ang tiyak na integral ay maaaring kalkulahin nang humigit-kumulang ayon sa trapezoidal formula:
, Saan:
– ang haba ng bawat maliit na segment o hakbang;
– mga halaga ng integrand sa mga punto .

Halimbawa 1

Kalkulahin ang humigit-kumulang tiyak na integral gamit ang trapezoidal formula. Bilugan ang mga resulta sa tatlong decimal na lugar.

a) Paghahati sa bahagi ng pagsasama sa 3 bahagi.
b) Paghahati sa bahagi ng integrasyon sa 5 bahagi.

Solusyon:
a) Lalo na para sa mga dummies, iniugnay ko ang unang punto sa isang guhit na malinaw na nagpakita ng prinsipyo ng pamamaraan. Kung mahirap, tingnan ang drawing habang nagkokomento ka, narito ang isang piraso nito:

Ayon sa kondisyon, ang segment ng pagsasama ay dapat nahahati sa 3 bahagi, iyon ay.
Kalkulahin natin ang haba ng bawat bahagi ng partisyon: . Ang parameter, ipinaalala ko sa iyo, ay tinatawag din hakbang.

Gaano karaming mga punto (mga partition node) ang magkakaroon? magkakaroon isa pa kaysa sa bilang ng mga segment:

Kaya, ang pangkalahatang pormula ng mga trapezoid ay nabawasan sa isang kaaya-ayang sukat:

Para sa mga kalkulasyon, maaari kang gumamit ng isang regular na microcalculator:

Tandaan na, alinsunod sa mga kondisyon ng problema, ang lahat ng mga kalkulasyon ay dapat na bilugan sa ika-3 decimal na lugar.

Sa wakas:

Hayaan akong ipaalala sa iyo na ang resultang halaga ay isang tinatayang halaga ng lugar (tingnan ang figure sa itaas).

b) Hatiin natin ang bahagi ng pagsasama sa 5 pantay na bahagi, ibig sabihin. Bakit kailangan ito? Upang maiwasan ang Phobos-Grunt na mahulog sa karagatan, sa pamamagitan ng pagtaas ng bilang ng mga segment, pinapataas namin ang katumpakan ng mga kalkulasyon.

Kung , kung gayon ang trapezoidal formula ay tumatagal ng sumusunod na anyo:

Hanapin natin ang hakbang ng partition:
, ibig sabihin, ang haba ng bawat intermediate na segment ay 0.6.

Kapag tinatapos ang gawain, maginhawa upang gawing pormal ang lahat ng mga kalkulasyon gamit ang isang talahanayan ng pagkalkula:

Sa unang linya isinulat namin ang "counter"

Sa palagay ko makikita ng lahat kung paano nabuo ang pangalawang linya - una naming isulat ang mas mababang limitasyon ng pagsasama, ang natitirang mga halaga ay nakuha sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagdaragdag ng hakbang.

Sa palagay ko halos lahat ay naunawaan ang prinsipyo kung saan pinupunan ang ilalim na linya. Halimbawa, kung , pagkatapos . Tulad ng sinasabi nila, bilangin, huwag maging tamad.

Ang resulta:

Well, may paglilinaw talaga, at seryoso!
Kung para sa 3 partition segment, pagkatapos ay para sa 5 segment. Kaya, na may mataas na antas ng kumpiyansa ay masasabi natin iyan, hindi bababa sa.

Halimbawa 2

Kalkulahin ang humigit-kumulang tiyak na integral gamit ang trapezoidal formula na tumpak sa dalawang decimal na lugar (hanggang 0.01).

Solusyon: Halos parehong gawain, ngunit sa isang bahagyang naiibang pagbabalangkas. Ang pangunahing pagkakaiba sa Halimbawa 1 ay tayo hindi namin alam, ILANG mga segment ang dapat nating hatiin sa bahagi ng pagsasama upang makakuha ng dalawang tamang decimal na lugar? Sa madaling salita, hindi natin alam ang kahulugan ng .

Mayroong isang espesyal na pormula na nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang bilang ng mga segment ng pagkahati upang masiguro ang kinakailangang katumpakan, ngunit sa pagsasagawa ito ay madalas na mahirap ilapat. Samakatuwid, ito ay kapaki-pakinabang na gumamit ng isang pinasimple na diskarte.

Una, ang segment ng integration ay nahahati sa ilang malalaking segment, karaniwang 2-3-4-5. Hatiin natin ang segment ng pagsasama, halimbawa, sa parehong 5 bahagi. Ang formula ay pamilyar na:

At ang hakbang, siyempre, ay kilala rin:

Ngunit lumitaw ang isa pang tanong: sa anong digit dapat bilugan ang mga resulta? Walang sinasabi ang kundisyon tungkol sa kung gaano karaming mga decimal na lugar ang iiwan. Ang pangkalahatang rekomendasyon ay: kailangan mong magdagdag ng 2-3 digit sa kinakailangang katumpakan. Sa kasong ito, ang kinakailangang katumpakan ay 0.01. Ayon sa rekomendasyon, pagkatapos ng decimal point ay mag-iiwan kami ng limang character pagkatapos ng decimal point (apat ang posible):

Ang resulta:

Pagkatapos ng pangunahing resulta, ang bilang ng mga segment doble. Sa kasong ito, kinakailangan na hatiin sa 10 mga segment. At kapag ang bilang ng mga segment ay lumalaki, ang maliwanag na pag-iisip ay pumasok sa isip ko na kahit papaano ay pagod na ako sa pagsundot ng aking mga daliri sa microcalculator. Samakatuwid, muli kong iminumungkahi ang pag-download at paggamit ng aking semi-awtomatikong calculator (link sa simula ng aralin).

Para sa trapezoid formula ay tumatagal ng sumusunod na anyo:

Sa papel na bersyon, ang entry ay maaaring ligtas na ilipat sa susunod na linya.

Kalkulahin natin ang hakbang ng pagkahati:

Ibuod natin ang mga resulta ng pagkalkula sa isang talahanayan:


Kapag natapos sa isang kuwaderno, ito ay kapaki-pakinabang upang gawing dalawang-palapag ang isang mahabang mesa.

Ngayon ay makikilala natin ang isa pang paraan ng pagsasama ng numero, ang paraan ng trapezoidal. Sa tulong nito, kakalkulahin namin ang mga tiyak na integral na may ibinigay na antas ng katumpakan. Sa artikulo ay ilalarawan namin ang kakanyahan ng paraan ng trapezoid, pag-aralan kung paano nakuha ang formula, ihambing ang pamamaraan ng trapezoid sa paraan ng rektanggulo, at isulat ang isang pagtatantya ng ganap na pagkakamali ng pamamaraan. Ipapakita namin ang bawat seksyon na may mga halimbawa para sa mas malalim na pag-unawa sa materyal.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ipagpalagay na kailangan nating humigit-kumulang kalkulahin ang tiyak na integral ∫ a b f (x) d x , na ang integrand y = f (x) ay tuloy-tuloy sa pagitan [ a ; b ] . Upang gawin ito, hatiin ang segment [a; b ] sa ilang pantay na pagitan ng haba h na may mga puntos na a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

Hanapin natin ang hakbang ng partisyon: h = b - a n. Tukuyin natin ang mga node mula sa pagkakapantay-pantay x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n.

Sa elementarya na mga segment ay isinasaalang - alang namin ang integrand function x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . , n.

Habang tumataas nang walang hanggan ang n, binabawasan namin ang lahat ng kaso sa apat na pinakasimpleng opsyon:

Piliin natin ang mga segment x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n. Palitan natin ang function na y = f (x) sa bawat isa sa mga graph ng isang tuwid na segment ng linya na dumadaan sa mga puntos na may mga coordinate x i - 1 ; f x i - 1 at x i ; f x i . Markahan natin sila ng asul sa mga larawan.

Kunin natin ang expression na f (x i - 1) + f (x i) 2 · h bilang tinatayang halaga ng integral ∫ x i - 1 x i f (x) d x. Yung. kunin natin ang ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h .

Tingnan natin kung bakit tinatawag na trapezoidal method ang numerical integration method na ating pinag-aaralan. Upang gawin ito, kailangan nating malaman kung ano ang ibig sabihin ng nakasulat na humigit-kumulang pagkakapantay-pantay mula sa isang geometric na punto ng view.

Upang makalkula ang lugar ng isang trapezoid, kinakailangan upang i-multiply ang kalahating kabuuan ng mga base nito sa taas nito. Sa unang kaso, ang lugar ng isang curved trapezoid ay humigit-kumulang katumbas ng isang trapezoid na may mga base f (x i - 1), f (x i) taas h. Sa ikaapat na kaso na aming isinasaalang-alang, ang ibinigay na integral ∫ x i - 1 x f (x) d x ay humigit-kumulang katumbas ng lugar ng trapezoid na may mga base - f (x i - 1), - f (x i) at taas h, na dapat kunin gamit ang "-" sign. Upang makalkula ang tinatayang halaga ng tiyak na integral ∫ x i - 1 x i f (x) d x sa pangalawa at pangatlo ng mga kasong isinasaalang-alang, kailangan nating hanapin ang pagkakaiba sa mga lugar ng pula at asul na mga rehiyon, na minarkahan namin ng pagpisa sa figure sa ibaba.

I-summarize natin. Ang kakanyahan ng pamamaraang trapezoidal ay ang mga sumusunod: maaari nating katawanin ang isang tiyak na integral ∫ a b f (x) d x bilang kabuuan ng mga integral ng anyo ∫ x i - 1 x i f (x) d x sa bawat elementarya na segment at sa kasunod na tinatayang kapalit ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h.

Formula ng paraan ng trapezoid

Alalahanin natin ang ikalimang katangian ng tiyak na integral: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Upang makuha ang formula ng pamamaraang trapezoidal, kinakailangang palitan ang kanilang tinatayang mga halaga sa halip na mga integral ∫ x i - 1 x i f (x) d x: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Kahulugan 1

Formula ng pamamaraang trapezoidal:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Ang pagtatantya ng ganap na pagkakamali ng pamamaraan ng trapezoidal

Tantyahin natin ang ganap na pagkakamali ng pamamaraang trapezoidal tulad ng sumusunod:

Kahulugan 2

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2

Ang isang graphic na paglalarawan ng trapezoidal na pamamaraan ay ipinapakita sa figure:

Mga halimbawa ng pagkalkula

Tingnan natin ang mga halimbawa ng paggamit ng paraan ng trapezoidal para sa tinatayang pagkalkula ng mga tiyak na integral. Bibigyan namin ng espesyal na pansin ang dalawang uri ng mga gawain:

• pagkalkula ng isang tiyak na integral sa pamamagitan ng trapezoidal method para sa isang naibigay na partition number ng isang segment n;
• paghahanap ng tinatayang halaga ng isang tiyak na integral na may tinukoy na katumpakan.

Para sa isang naibigay na n, ang lahat ng mga intermediate na kalkulasyon ay dapat isagawa nang may sapat na mataas na antas ng katumpakan. Ang katumpakan ng mga kalkulasyon ay dapat na mas mataas, mas malaki n.

Kung mayroon tayong ibinigay na katumpakan sa pagkalkula ng isang tiyak na integral, kung gayon ang lahat ng mga intermediate na kalkulasyon ay dapat na isagawa ng dalawa o higit pang mga order ng magnitude nang mas tumpak. Halimbawa, kung nakatakda ang katumpakan sa 0.01, nagsasagawa kami ng mga intermediate na kalkulasyon na may katumpakan na 0.0001 o 0.00001. Para sa malaking n, ang mga intermediate na kalkulasyon ay dapat isagawa nang may mas mataas na katumpakan.

Tingnan natin ang panuntunan sa itaas na may isang halimbawa. Upang gawin ito, ihambing ang mga halaga ng tiyak na integral na kinakalkula gamit ang Newton-Leibniz formula at nakuha gamit ang trapezoidal na pamamaraan.

Kaya, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9, 613805.

Halimbawa 1

Gamit ang pamamaraang trapezoidal, kinakalkula namin ang tiyak na integral ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x para sa n katumbas ng 10.

Solusyon

Ang formula para sa trapezoidal method ay ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Upang mailapat ang formula, kailangan nating kalkulahin ang hakbang h gamit ang formula h = b - a n, tukuyin ang mga node x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n, kalkulahin ang mga halaga ng integrand function f (x) = 7 x 2 + 1.

Ang hakbang sa paghahati ay kinakalkula tulad ng sumusunod: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0. 5 . Upang kalkulahin ang integrand sa mga node x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , n kukuha tayo ng apat na decimal na lugar:

i = 0: x 0 = 0 + 0 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0. 5) = 7 0. 5 2 + 1 = 5. 6. . . i = 10: x 10 = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0, 2692

Ipasok natin ang mga resulta ng pagkalkula sa talahanayan:

Palitan natin ang mga nakuhang halaga sa formula ng trapezoidal method: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0, 5 2 7 + 2 5.6 + 3.5 + 2.1538 + 1.4 + 0.9655 + 0.7 + 0.5283 + 0.4117 + 0.3294 + 0.2692 = 9.6117

Ihambing natin ang ating mga resulta sa mga resultang kinakalkula gamit ang Newton-Leibniz formula. Ang nakuha na mga halaga ay nag-tutugma sa daan-daang.

Sagot:∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117

Halimbawa 2

Gamit ang pamamaraang trapezoidal, kinakalkula namin ang halaga ng tiyak na integral ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x na may katumpakan na 0.01.

Solusyon

Ayon sa kondisyon ng problema a = 1; b = 2 , f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; δn ≤ 0.01.

Hanapin natin ang n, na katumbas ng bilang ng mga punto ng partition ng integration segment, gamit ang hindi pagkakapantay-pantay para sa pagtantya ng absolute error δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 . Gagawin natin ito bilang mga sumusunod: mahahanap natin ang mga halaga ng n kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0.01. Dahil sa n, ang trapezoidal na formula ay magbibigay sa atin ng tinatayang halaga ng tiyak na integral na may ibinigay na katumpakan.

Una, hanapin natin ang pinakamalaking halaga ng modulus ng pangalawang derivative ng function sa pagitan [1; 2].

f " (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 " = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

Ang pangalawang derivative function ay isang quadratic parabola f "" (x) = x 2 . Mula sa mga katangian nito alam natin na ito ay positibo at tumataas sa pagitan [1; 2]. Kaugnay nito, m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .

Sa halimbawang ibinigay, ang proseso ng paghahanap ng m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) naging medyo simple. Sa mga kumplikadong kaso, maaari mong gamitin ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga ng function upang magsagawa ng mga kalkulasyon. Pagkatapos isaalang-alang ang halimbawang ito, magpapakita kami ng alternatibong paraan para sa paghahanap ng m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .

Palitan natin ang resultang halaga sa hindi pagkakapantay-pantay m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0.01

4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0.01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5.7735

Ang bilang ng mga elementarya na pagitan kung saan nahahati ang segment ng integration n ay isang natural na numero. Para sa pag-uugali ng pagkalkula, kumukuha kami ng n katumbas ng anim. Ang halagang ito ng n ay magpapahintulot sa amin na makamit ang tinukoy na katumpakan ng trapezoidal na pamamaraan na may pinakamababang mga kalkulasyon.

Kalkulahin natin ang hakbang: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .

Hanapin natin ang mga node x i = a + i · h, i = 1, 0, . . . , n , tinutukoy namin ang mga halaga ng integrand sa mga node na ito:

i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0, 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 1 6 = 7 6 ⇒ f (x 1) = f 7 6 = 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0.5266. . . i = 6: x 10 = 1 + 6 1 6 = 2 ⇒ f (x 6) = f (2) = 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1.9833

Isinulat namin ang mga resulta ng pagkalkula sa anyo ng isang talahanayan:

Palitan natin ang mga resultang nakuha sa trapezoidal formula:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0.5266 + 0.6911 + 0.9052 + 1.1819 + 1.5359 + 1.9833 ≈ 1.0054

Upang makagawa ng paghahambing, kinakalkula namin ang orihinal na integral gamit ang formula ng Newton-Leibniz:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

Gaya ng nakikita mo, nakamit namin ang nakuhang katumpakan ng pagkalkula.

Sagot: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1.0054

Para sa mga integrand ng kumplikadong anyo, ang paghahanap ng numero n mula sa hindi pagkakapantay-pantay para sa pagtantya ng ganap na error ay hindi laging madali. Sa kasong ito, ang sumusunod na pamamaraan ay magiging angkop.

Ipahiwatig natin ang tinatayang halaga ng tiyak na integral, na nakuha gamit ang trapezoidal na pamamaraan para sa n node, bilang I n. Pumili tayo ng arbitraryong numero n. Gamit ang formula ng paraan ng trapezoidal, kinakalkula namin ang paunang integral para sa isang solong (n = 10) at doble (n = 20) na bilang ng mga node at hanapin ang ganap na halaga ng pagkakaiba sa pagitan ng dalawang nakuha na tinatayang mga halaga I 20 - ako 10.

Kung ang ganap na halaga ng pagkakaiba sa pagitan ng dalawang nakuhang tinatayang halaga ay mas mababa sa kinakailangang katumpakan I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Kung ang ganap na halaga ng pagkakaiba sa pagitan ng dalawang nakuha na tinatayang mga halaga ay mas malaki kaysa sa kinakailangang katumpakan, kung gayon kinakailangan na ulitin ang mga hakbang na may dalawang beses ang bilang ng mga node (n = 40).

Ang pamamaraang ito ay nangangailangan ng isang malaking halaga ng mga kalkulasyon, kaya matalino na gumamit ng teknolohiya ng computer upang makatipid ng oras.

Lutasin natin ang problema gamit ang algorithm sa itaas. Upang makatipid ng oras, aalisin namin ang mga intermediate na kalkulasyon gamit ang trapezoidal na paraan.

Halimbawa 3

Kinakailangang kalkulahin ang tiyak na integral ∫ 0 2 x e x d x gamit ang trapezoidal method na may katumpakan na 0.001.

Solusyon

Kunin natin ang n katumbas ng 10 at 20. Gamit ang trapezoidal formula, nakukuha namin ang I 10 = 8.4595380, I 20 = 8.4066906.

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, na nangangailangan ng karagdagang mga kalkulasyon.

Kunin natin ang n katumbas ng 40: I 40 = 8, 3934656.

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, na nangangailangan din ng patuloy na pagkalkula.

Kunin natin ang n katumbas ng 80: I 80 = 8, 3901585.

I 80 - I 40 = 8.3901585 - 8.3934656 = 0.0033071 > 0.001, na nangangailangan ng isa pang pagdodoble ng bilang ng mga node.

Kunin natin ang n katumbas ng 160: I 160 = 8, 3893317.

I 160 - I 80 = 8.3893317 - 8.3901585 = 0.0008268< 0 , 001

Ang tinatayang halaga ng orihinal na integral ay maaaring makuha sa pamamagitan ng pag-round sa I 160 = 8, 3893317 hanggang thousandths: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389.

Para sa paghahambing, kalkulahin natin ang orihinal na tiyak na integral gamit ang Newton-Leibniz formula: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8, 3890561. Ang kinakailangang katumpakan ay nakamit.

Sagot: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389

Mga pagkakamali

Ang mga intermediate na kalkulasyon upang matukoy ang halaga ng isang tiyak na integral ay kadalasang isinasagawa nang humigit-kumulang. Nangangahulugan ito na habang tumataas ang n, ang error sa computational ay nagsisimulang maipon.

Ihambing natin ang mga pagtatantya ng ganap na mga pagkakamali ng pamamaraang trapezoidal at ang average na paraan ng rektanggulo:

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 24 n 2 .

Ang rectangle method para sa isang naibigay na n na may parehong dami ng computational work ay nagbibigay sa kalahati ng error. Ginagawa nitong mas kanais-nais ang pamamaraan sa mga kaso kung saan ang mga halaga ng function sa gitnang mga segment ng elementarya na mga segment ay kilala.

Sa mga kaso kung saan ang mga function na isasama ay hindi tinukoy nang analytical, ngunit bilang isang hanay ng mga halaga sa mga node, maaari naming gamitin ang trapezoidal na pamamaraan.

Kung ihahambing natin ang katumpakan ng paraan ng trapezoid at ang kanan at kaliwang paraan ng rektanggulo, kung gayon ang unang paraan ay higit na mataas sa pangalawa sa katumpakan ng resulta.

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter