Kalkulahin ang dami ng isang katawan ng rebolusyon sa paligid ng isang axis online. Paano kalkulahin ang dami ng isang katawan ng rebolusyon gamit ang isang tiyak na integral

Hayaang ang T ay isang katawan ng rebolusyon na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng x-axis curvilinear trapezoid, na matatagpuan sa itaas na kalahating eroplano at nalilimitahan ng x-axis, mga tuwid na linya x=a at x=b at graph tuluy-tuloy na pag-andar y=f(x) .

Patunayan natin na ito ang katawan ng rebolusyon ay cubable at ang dami nito ay ipinahayag ng pormula

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Una, patunayan natin na ang katawan ng rebolusyong ito ay regular kung kukunin natin bilang \Pi ang eroplanong Oyz na patayo sa axis ng rebolusyon. Tandaan na ang seksyong matatagpuan sa layong x mula sa eroplanong Oyz ay isang bilog na radius f(x) at ang lugar nito na S(x) ay \pi f^2(x) (Fig. 46). Samakatuwid, ang function na S(x) ay tuloy-tuloy dahil sa pagpapatuloy ng f(x) . Susunod, kung S(x_1)\leqslant S(x_2), kung gayon ang ibig sabihin nito ay . Ngunit ang mga projection ng mga seksyon papunta sa eroplanong Oyz ay mga bilog ng radii f(x_1) at f(x_2) na may center O , at mula sa f(x_1)\leqslant f(x_2) sumusunod na ang bilog ng radius f(x_1) ay nakapaloob sa bilog ng radius f(x_2) .

Kaya, ang katawan ng pag-ikot ay regular. Samakatuwid, ito ay cubeable at ang dami nito ay kinakalkula ng formula

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Kung ang isang curvilinear trapezoid ay nakatali mula sa ibaba at mula sa itaas ng mga kurba y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) , kung gayon

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Ang formula (3) ay maaari ding gamitin upang kalkulahin ang volume ng isang katawan ng rebolusyon sa kaso kapag ang hangganan ng umiikot na pigura ay ibinigay ng mga parametric equation. Sa kasong ito, kailangang gamitin ng isa ang pagbabago ng variable sa ilalim ng sign tiyak na integral.

Sa ilang mga kaso, ito ay nagiging maginhawa upang mabulok ang mga katawan ng rebolusyon hindi sa mga tuwid na pabilog na silindro, ngunit sa mga pigura ng ibang uri.

Halimbawa, hanapin natin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng curvilinear trapezoid sa paligid ng y-axis. Una, hanapin natin ang volume na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang parihaba na may taas na y#, sa base kung saan matatagpuan ang segment . Ang volume na ito ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga volume ng dalawang tuwid na pabilog na silindro

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Ngunit ngayon ay malinaw na ang nais na dami ay tinatantya mula sa itaas at ibaba tulad ng sumusunod:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Mula dito madali itong sumunod formula para sa dami ng katawan ng rebolusyon sa paligid ng y-axis:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

Halimbawa 4 Hanapin ang volume ng bola na may radius R.

Desisyon. Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, isasaalang-alang namin ang isang bilog ng radius R na nakasentro sa pinanggalingan. Ang bilog na ito, na umiikot sa paligid ng axis Ox, ay bumubuo ng bola. Ang equation ng bilog ay x^2+y^2=R^2 , kaya y^2=R^2-x^2 . Dahil sa mahusay na proporsyon ng bilog tungkol sa y-axis, una nating mahanap ang kalahati ng nais na dami

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \kaliwa.(\pi\!\kaliwa(R^2x- \frac(x^3)(3)\kanan))\kanan|_(0)^(R)= \pi\ !\kaliwa(R^3- \frac(R^3)(3)\kanan)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Samakatuwid, ang dami ng buong globo ay \frac(4)(3)\pi R^3.

Halimbawa 5 Kalkulahin ang volume ng isang kono na ang taas ay h at ang radius ng base ay r.

Desisyon. Pinipili namin ang isang sistema ng coordinate upang ang axis ng Ox ay tumutugma sa taas h (Larawan 47), at kinukuha namin ang tuktok ng kono bilang pinagmulan. Pagkatapos ang equation ng linyang OA ay maaaring isulat bilang y=\frac(r)(h)\,x .

Gamit ang formula (3), nakukuha natin ang:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \kaliwa.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\kanan|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2h\,.

Halimbawa 6 Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng abscissa axis ng astroid \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(Larawan 48).

Desisyon. Bumuo tayo ng astroid. Isaalang-alang ang kalahati ng itaas na bahagi ng astroid, na matatagpuan sa simetriko tungkol sa y-axis. Gamit ang formula (3) at binabago ang variable sa ilalim ng definite integral sign, makikita natin ang mga limitasyon ng integration para sa bagong variable t.

Kung x=a\cos^3t=0 , kung gayon t=\frac(\pi)(2) , at kung x=a\cos^3t=a , kung gayon t=0 . Given na y^2=a^2\sin^6t at dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, nakukuha natin:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Ang dami ng buong katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng astroid ay magiging \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Halimbawa 7 Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng ordinate axis ng isang curvilinear trapezoid na nakatali ng abscissa axis at ang unang arc ng cycloid \begin(cases)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(cases).

Desisyon. Gumagamit kami ng formula (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, at palitan ang variable sa ilalim ng integral sign, na isinasaalang-alang na ang unang arc ng cycloid ay nabuo kapag ang variable t ay nagbabago mula 0 hanggang 2\pi . kaya,

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\kanan|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\kaliwa(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\kanan)= 6\pi^3a^3. \end(nakahanay)

Ang Javascript ay hindi pinagana sa iyong browser.
Dapat na pinagana ang mga kontrol ng ActiveX upang makagawa ng mga kalkulasyon!

Uri ng aralin: pinagsama.

Layunin ng aralin: matutong kalkulahin ang mga volume ng katawan ng rebolusyon gamit ang mga integral.

Mga gawain:

pagsama-samahin ang kakayahang pumili ng mga curvilinear trapezoid mula sa isang bilang ng mga geometric na hugis at bumuo ng kasanayan sa pagkalkula ng mga lugar ng curvilinear trapezoids;
alamin ang konsepto volumetric figure;
matutong kalkulahin ang dami ng mga katawan ng rebolusyon;
mag-ambag sa pag-unlad lohikal na pag-iisip, karampatang pagsasalita sa matematika, katumpakan sa pagbuo ng mga guhit;
upang linangin ang interes sa paksa, sa pagpapatakbo mga konsepto ng matematika at mga imahe, upang linangin ang kalooban, pagsasarili, tiyaga sa pagkamit ng huling resulta.

Sa panahon ng mga klase

I. Pansamahang sandali.

Pagbati ng grupo. Komunikasyon sa mga mag-aaral ng mga layunin ng aralin.

Pagninilay. Kalmadong himig.

Nais kong simulan ang aralin ngayon sa pamamagitan ng isang talinghaga. "Mayroong isang matalinong tao na alam ang lahat. Isang tao ang gustong patunayan na hindi alam ng pantas ang lahat. Hawak ang paru-paro sa kanyang mga kamay, nagtanong: "Sabihin mo sa akin, sage, kung aling paruparo ang nasa aking mga kamay: patay o buhay?" At siya mismo ang nag-iisip: "Kung sasabihin ng buhay, papatayin ko siya, kung sasabihin ng patay, palalayain ko siya." Ang pantas, nag-iisip, ay sumagot: "Lahat sa iyong mga kamay". (Pagtatanghal.Slide)

- Samakatuwid, gumawa tayo ng mabunga ngayon, kumuha ng bagong tindahan ng kaalaman, at ilalapat natin ang mga nakuhang kasanayan at kakayahan sa mamaya buhay at sa pagsasanay. "Lahat sa iyong mga kamay".

II. Pag-uulit ng dati nang natutunang materyal.

Suriin natin ang mga pangunahing punto ng naunang pinag-aralan na materyal. Upang gawin ito, gawin natin ang gawain "Alisin ang kalabisan na salita."(Mag-slide.)

(Ang mag-aaral ay pumunta sa I.D. sa tulong ng isang pambura ay nag-aalis ng karagdagang salita.)

- Tama "Differential". Subukang pangalanan ang natitirang mga salita sa isang karaniwang salita. (Integral na calculus.)

- Tandaan natin ang mga pangunahing yugto at konsepto na may kaugnayan sa integral calculus ..

"Mathematical bungkos".

Mag-ehersisyo. Ibalik ang mga pass. (Lalabas ang estudyante at isusulat ang mga kinakailangang salita gamit ang panulat.)

- Maririnig namin ang isang ulat sa aplikasyon ng mga integral sa ibang pagkakataon.

Magtrabaho sa mga notebook.

– Ang Newton-Leibniz formula ay binuo ng English physicist na si Isaac Newton (1643–1727) at pilosopong Aleman Gottfried Leibniz (1646–1716). At hindi ito nakakagulat, dahil ang matematika ang wikang sinasalita mismo ng kalikasan.

– Isaalang-alang kung paano ginagamit ang formula na ito sa paglutas ng mga praktikal na gawain.

Halimbawa 1: Kalkulahin ang lugar ng isang figure na may hangganan ng mga linya

Solusyon: Bumuo tayo ng mga graph ng mga function sa coordinate plane . Piliin ang lugar ng figure na makikita.

III. Pag-aaral ng bagong materyal.

- Bigyang-pansin ang screen. Ano ang ipinapakita sa unang larawan? (Slide) (Ang figure ay nagpapakita ng isang flat figure.)

Ano ang ipinapakita sa pangalawang larawan? Flat ba ang figure na ito? (Slide) (Ang figure ay nagpapakita ng isang three-dimensional na figure.)

sa kalawakan, sa lupa at sa loob Araw-araw na buhay nakakatugon tayo hindi lamang sa mga flat figure, kundi pati na rin sa mga three-dimensional, ngunit kung paano kalkulahin ang dami ng naturang mga katawan? Halimbawa, ang dami ng isang planeta, isang kometa, isang meteorite, atbp.

– Isipin ang dami at pagtatayo ng mga bahay, at pagbuhos ng tubig mula sa isang sisidlan patungo sa isa pa. Ang mga patakaran at pamamaraan para sa pagkalkula ng mga volume ay dapat na lumitaw, ang isa pang bagay ay kung gaano katumpak at makatwiran ang mga ito.

Mensahe ng mag-aaral. (Tyurina Vera.)

Ang taong 1612 ay napakabunga para sa mga naninirahan sa lungsod ng Linz ng Austria, kung saan nanirahan ang sikat na astronomer noon na si Johannes Kepler, lalo na para sa mga ubas. Ang mga tao ay naghahanda ng mga bariles ng alak at gustong malaman kung paano praktikal na matukoy ang kanilang mga volume. (Slide 2)

- Kaya, ang itinuturing na mga gawa ng Kepler ay minarkahan ang simula ng isang buong stream ng pananaliksik, na nagtapos sa huling quarter ng ika-17 siglo. disenyo sa mga gawa ni I. Newton at G.V. Leibniz differential at integral calculus. Mula noong panahong iyon, ang matematika ng magnitude na mga variable ay nakakuha ng isang nangungunang lugar sa sistema ng kaalaman sa matematika.

- Kaya ngayon ay makikibahagi tayo sa mga praktikal na aktibidad, samakatuwid,

Ang paksa ng ating aralin: "Pagkalkula ng mga volume ng katawan ng rebolusyon gamit ang isang tiyak na integral." (Slide)

- Matututuhan mo ang kahulugan ng isang katawan ng rebolusyon sa pamamagitan ng pagkumpleto sa sumusunod na gawain.

"Labyrinth".

Labyrinth (salitang Griyego) ay nangangahulugang daanan patungo sa piitan. Ang labirint ay isang masalimuot na network ng mga landas, daanan, mga silid na nakikipag-usap sa isa't isa.

Ngunit ang kahulugan ay "nag-crash", may mga pahiwatig sa anyo ng mga arrow.

Mag-ehersisyo. Maghanap ng isang paraan mula sa nakalilitong sitwasyon at isulat ang kahulugan.

Slide. "Kard ng pagtuturo" Pagkalkula ng mga volume.

Gamit ang isang tiyak na integral, maaari mong kalkulahin ang dami ng isang katawan, sa partikular, isang katawan ng rebolusyon.

Ang katawan ng rebolusyon ay isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng curvilinear trapezoid sa paligid ng base nito (Larawan 1, 2)

Ang dami ng isang katawan ng rebolusyon ay kinakalkula ng isa sa mga formula:

1. sa paligid ng x-axis.

2. , kung ang pag-ikot ng curvilinear trapezoid sa paligid ng y-axis.

Ang bawat mag-aaral ay tumatanggap ng instruction card. Itinatampok ng guro ang mga pangunahing punto.

Ipaliwanag ng guro ang solusyon ng mga halimbawa sa pisara.

Isaalang-alang ang isang sipi mula sa sikat na fairy tale A. S. Pushkin "Ang Kuwento ni Tsar Saltan, ng kanyang maluwalhati at makapangyarihang anak na si Prince Gvidon Saltanovich at ang magandang Prinsesa Lebed" (Slide 4):

…..
At nagdala ng isang lasing na sugo
Sa parehong araw, ang order ay:
"Inutusan ng hari ang kanyang mga boyars,
Walang pag-aaksaya ng oras,
At ang reyna at ang supling
Palihim na itinapon sa kalaliman ng tubig.”
Walang magawa: ang mga boyars,
Ang pagkakaroon ng dalamhati tungkol sa soberanya
At ang batang reyna
Dumating ang maraming tao sa kanyang kwarto.
Ipinahayag ang royal will -
Siya at ang kanyang anak ay may masamang kapalaran,
Basahin nang malakas ang kautusan
At ang reyna at the same time
Sa isang bariles na may anak na nakatanim,
Nagdasal, gumulong
At pinapasok nila ako sa okian -
Kaya iniutos ni de Tsar Saltan.

Ano dapat ang volume ng bariles para magkasya rito ang reyna at ang kanyang anak?

– Isaalang-alang ang mga sumusunod na gawain

1. Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng y-axis ng isang curvilinear trapezoid na may hangganan ng mga linya: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Sagot: 1163 cm 3 .

Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng parabolic trapezoid sa paligid ng abscissa y = , x = 4, y = 0.

IV. Pag-aayos ng bagong materyal

Halimbawa 2. Kalkulahin ang volume ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng talulot sa paligid ng x-axis y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

I-plot natin ang mga graph ng function. y=x2, y2=x. Iskedyul y 2 = x ibahin ang anyo y= .

Meron kami V \u003d V 1 - V 2 Kalkulahin natin ang volume ng bawat function

- Ngayon, tingnan natin ang tore para sa isang istasyon ng radyo sa Moscow sa Shabolovka, na itinayo ayon sa proyekto ng isang kahanga-hangang inhinyero ng Russia, honorary academician na si V. G. Shukhov. Binubuo ito ng mga bahagi - hyperboloids ng rebolusyon. Bukod dito, ang bawat isa sa kanila ay gawa sa mga rectilinear metal rod na nagkokonekta sa mga katabing bilog (Larawan 8, 9).

- Isaalang-alang ang problema.

Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng mga arko ng hyperbola sa paligid ng haka-haka na axis nito, tulad ng ipinapakita sa Fig. 8, saan

kubo mga yunit

Mga pangkatang takdang-aralin. Ang mga mag-aaral ay gumuhit ng maraming mga gawain, ang mga guhit ay ginawa sa whatman paper, isa sa mga kinatawan ng pangkat ang nagtatanggol sa gawain.

1st group.

Hit! Hit! Isa pang hit!
Isang bola ang lumipad sa gate - BOLA!
At ito ay isang pakwan na bola
Berde, bilog, masarap.
Magmukhang mas mahusay - kung ano ang isang bola!
Ito ay binubuo ng mga bilog.
Gupitin sa mga bilog na pakwan
At tikman ang mga ito.

Hanapin ang volume ng isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng OX axis ng isang function na nililimitahan ng

Nagkakamali! Ang bookmark ay hindi tinukoy.

- Sabihin mo sa akin, mangyaring, saan tayo magkikita ng figure na ito?

Bahay. gawain para sa pangkat 1. CYLINDER (slide) .

"Silindro - ano ito?" tanong ko sa tatay ko.
Ang ama ay tumawa: Ang tuktok na sumbrero ay isang sumbrero.
Upang magkaroon ng tamang ideya,
Ang silindro, sabihin natin, ay isang lata.
Ang tubo ng bapor ay isang silindro,
Ang tubo din sa aming bubong,

Ang lahat ng mga tubo ay katulad ng isang silindro.
At nagbigay ako ng isang halimbawa tulad nito -
Kaleidoscope Mahal ko,
Hindi mo maalis ang tingin mo sa kanya.
Parang cylinder din.

- Mag-ehersisyo. Takdang aralin i-plot ang function at kalkulahin ang volume.

2nd group. CONE (slide).

Sabi ni Nanay: At ngayon
Tungkol sa kono ang aking magiging kwento.
Stargazer na naka-high cap
Binibilang ang mga bituin sa buong taon.
CONE - sumbrero ng stargazer.
Ganyan siya. Naiintindihan? Ayan yun.
Nasa hapag si Nanay
Nagsalin siya ng langis sa mga bote.
- Nasaan ang funnel? Walang funnel.
Tingnan mo. Huwag tumayo sa gilid.
- Nanay, hindi ako lilipat sa lugar,
Sabihin sa akin ang higit pa tungkol sa kono.
- Ang funnel ay nasa anyo ng isang kono ng isang watering can.
Halika, hanapin mo ako dali.
Hindi ko mahanap ang funnel
Ngunit gumawa si nanay ng isang bag,
Balutin ang karton sa iyong daliri
At deftly fastened sa isang paper clip.
Bumubuhos ang langis, masaya si nanay
Sakto namang lumabas ang kono.

Mag-ehersisyo. Kalkulahin ang dami ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng x-axis

Bahay. gawain para sa 2nd group. PYRAMID(slide).

Nakita ko yung picture. Sa litratong ito
May PYRAMID sa mabuhanging disyerto.
Lahat ng nasa pyramid ay pambihira,
Mayroong ilang misteryo at misteryo sa loob nito.
Ang Spasskaya Tower sa Red Square
Parehong bata at matatanda ay kilala.
Tumingin sa tore - ordinaryo ang hitsura,
Ano ang nasa ibabaw niya? Pyramid!

Mag-ehersisyo. Takdang-aralin magplano ng isang function at kalkulahin ang volume ng pyramid

– Mga volume iba't ibang katawan kinakalkula namin batay sa pangunahing formula para sa mga volume ng katawan gamit ang integral.

Ito ay isa pang kumpirmasyon na ang tiyak na integral ay ilang pundasyon para sa pag-aaral ng matematika.

"Ngayon na tayo magpahinga."

Maghanap ng mag-asawa.

Tumutugtog ng melody na domino sa matematika.

"Ang daan na siya mismo ay naghahanap ay hindi malilimutan ..."

Pananaliksik. Paglalapat ng integral sa ekonomiya at teknolohiya.

Mga pagsusulit para sa matatapang na mag-aaral at football sa matematika.

Math simulator.

2. Ang set ng lahat ng antiderivatives ng isang ibinigay na function ay tinatawag

A) isang hindi tiyak na integral

B) pag-andar,

B) pagkita ng kaibhan.

7. Hanapin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng abscissa axis ng isang curvilinear trapezoid na may hangganan ng mga linya:

D/Z. Kalkulahin ang mga volume ng katawan ng rebolusyon.

Pagninilay.

Pagtanggap ng repleksyon sa anyo cinquain(limang linya).

1st line - ang pangalan ng paksa (isang pangngalan).

2nd line - isang paglalarawan ng paksa sa maikling salita, dalawang adjectives.

3rd line - isang paglalarawan ng aksyon sa loob ng paksang ito sa tatlong salita.

Ika-4 na linya - isang parirala ng apat na salita, ay nagpapakita ng saloobin sa paksa (isang buong pangungusap).

Ang ika-5 linya ay isang kasingkahulugan na inuulit ang kakanyahan ng paksa.

Dami.
Tiyak na integral, integrable function.
Bumubuo kami, paikutin, kalkulahin.
Isang katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang curvilinear trapezoid (sa paligid ng base nito).
Katawan ng rebolusyon (3D geometric na katawan).

Konklusyon (slide).

Ang isang tiyak na integral ay isang uri ng pundasyon para sa pag-aaral ng matematika, na gumagawa ng isang kailangang-kailangan na kontribusyon sa paglutas ng mga problema ng praktikal na nilalaman.
Ang paksang "Integral" ay malinaw na nagpapakita ng koneksyon sa pagitan ng matematika at pisika, biology, ekonomiya at teknolohiya.
Pag-unlad modernong agham hindi maiisip nang walang paggamit ng integral. Sa pagsasaalang-alang na ito, kinakailangan upang simulan ang pag-aaral nito sa loob ng balangkas ng pangalawang dalubhasang edukasyon!

Pagmamarka. (Na may komentaryo.)

Ang dakilang Omar Khayyam ay isang mathematician, makata, at pilosopo. Tumawag siya upang maging panginoon ng kanyang kapalaran. Makinig sa isang sipi mula sa kanyang trabaho:

Sabi mo sandali lang ang buhay na ito.
Pahalagahan ito, kumuha ng inspirasyon mula dito.
Habang ginagastos mo ito, lilipas din ito.
Huwag kalimutan: siya ang iyong nilikha.

Ang dami ng isang katawan ng rebolusyon ay maaaring kalkulahin ng formula:

Sa formula, dapat mayroong isang numero bago ang integral. Nagkataon lang - lahat ng umiikot sa buhay ay konektado sa pare-parehong ito.

Paano itakda ang mga limitasyon ng pagsasama "a" at "maging", sa palagay ko, ay madaling hulaan mula sa nakumpletong pagguhit.

Function... ano ang function na ito? Tingnan natin ang pagguhit. Ang flat figure ay nililimitahan ng parabolic graph sa itaas. Ito ang function na ipinahiwatig sa formula.

AT mga praktikal na gawain ang isang patag na pigura ay minsan ay matatagpuan sa ibaba ng axis. Hindi ito nagbabago ng anuman - ang integrand sa formula ay squared:, kaya ang integral ay palaging hindi negatibo , na medyo lohikal.

Kalkulahin ang dami ng katawan ng rebolusyon gamit ang formula na ito:

Tulad ng nabanggit ko na, ang integral ay halos palaging nagiging simple, ang pangunahing bagay ay maging maingat.

Sagot:

Sa sagot, kinakailangan upang ipahiwatig ang sukat - mga yunit ng kubiko. Iyon ay, sa aming katawan ng pag-ikot mayroong humigit-kumulang 3.35 "cubes". Bakit eksaktong kubiko mga yunit? Dahil ang pinaka-unibersal na pagbabalangkas. Maaaring may mga cubic centimeters, maaaring may cubic meters, maaaring may cubic kilometers, atbp., Ganyan karaming maliliit na berdeng lalaki ang kasya sa iyong imahinasyon sa isang flying saucer.

Halimbawa 2

Hanapin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng axis ng figure na nalilimitahan ng mga linya,,

Ito ay isang halimbawa para sa malayang desisyon. Kumpletong Solusyon at ang sagot sa pagtatapos ng aralin.

Isaalang-alang natin ang dalawang mas kumplikadong mga problema, na madalas ding nakatagpo sa pagsasanay.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng abscissa axis ng figure na nakatali ng mga linya ,, at

Desisyon: Gumuhit tayo ng isang patag na pigura sa pagguhit, na may hangganan ng mga linya ,,,, habang hindi nakakalimutan na ang equation ay nagtatakda ng axis:

Ang nais na pigura ay may kulay na asul. Kapag ito ay umiikot sa paligid ng axis, ang naturang surreal donut na may apat na sulok ay nakuha.

Ang dami ng katawan ng rebolusyon ay kinakalkula bilang pagkakaiba sa dami ng katawan.

Una, tingnan natin ang pigura na nakabilog sa pula. Kapag ito ay umiikot sa paligid ng axis, ang isang pinutol na kono ay nakuha. Tukuyin ang dami nitong pinutol na kono sa pamamagitan ng.

Isaalang-alang ang pigura na binilog sa berde. Kung paikutin itong pigura sa paligid ng axis, makakakuha ka rin ng pinutol na kono, mas maliit lang ng kaunti. Tukuyin natin ang dami nito sa pamamagitan ng .

At, malinaw naman, ang pagkakaiba sa mga volume ay eksaktong dami ng aming "donut".

Ginagamit namin ang karaniwang formula para sa paghahanap ng dami ng isang katawan ng rebolusyon:

1) Ang pigura na nakabilog sa pula ay nililimitahan mula sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

2) Ang pigurang nakabilog sa berde ay nakatali mula sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

3) Ang dami ng gustong katawan ng rebolusyon:

Sagot:

Nakakapagtataka na sa kasong ito ang solusyon ay maaaring masuri gamit ang formula ng paaralan para sa pagkalkula ng dami ng isang pinutol na kono.

Ang desisyon mismo ay kadalasang ginagawang mas maikli, tulad nito:

Ngayon, magpahinga tayo at pag-usapan ang tungkol sa mga geometric na ilusyon.

Ang mga tao ay madalas na may mga ilusyon na nauugnay sa mga volume, na napansin ni Perelman (isa pa) sa aklat Kawili-wiling geometry. Tingnan ang flat figure sa nalutas na problema - ito ay tila maliit sa lugar, at ang volume ng katawan ng rebolusyon ay higit lamang sa 50 cubic units, na tila masyadong malaki. Sa pamamagitan ng paraan, ang karaniwang tao sa kanyang buong buhay ay umiinom ng isang likido na may dami ng isang silid na may sukat na 18 metro kuwadrado, na, sa kabaligtaran, ay tila napakaliit.

Sa pangkalahatan, ang sistema ng edukasyon sa USSR ay talagang ang pinakamahusay. Ang parehong libro ni Perelman, na inilathala noong 1950, ay umuunlad nang napakahusay, gaya ng sinabi ng humorist, na nangangatuwiran at nagtuturo sa iyo na maghanap ng orihinal na hindi karaniwang mga solusyon sa mga problema. Kamakailan ay binasa kong muli ang ilang mga kabanata na may malaking interes, inirerekumenda ko ito, naa-access ito kahit para sa mga humanitarian. Hindi, hindi mo kailangang ngumiti na nagmungkahi ako ng isang mahusay na libangan, karunungan at isang malawak na pananaw sa komunikasyon ay isang magandang bagay.

Pagkatapos digression angkop lamang upang malutas ang isang malikhaing gawain:

Halimbawa 4

Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot tungkol sa axis ng isang patag na pigura na nakatali ng mga linya,, kung saan.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Tandaan na ang lahat ng bagay ay nangyayari sa banda , sa madaling salita, ang mga nakahanda na limitasyon sa pagsasama ay talagang ibinibigay. Tamang gumuhit ng mga graph ng trigonometriko function, ipapaalala ko sa iyo ang materyal ng aralin tungkol sa geometric na pagbabagong-anyo ng mga graph : kung ang argumento ay nahahati sa dalawa: , pagkatapos ay ang mga graph ay nakaunat sa kahabaan ng axis ng dalawang beses. Ito ay kanais-nais na makahanap ng hindi bababa sa 3-4 na puntos sa mga talahanayan ng trigonometriko upang mas tumpak na makumpleto ang pagguhit. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Sa pamamagitan ng paraan, ang gawain ay maaaring malutas nang makatwiran at hindi masyadong makatwiran.

Ang dami ng isang katawan ng rebolusyon ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng pormula:

Sa formula, dapat mayroong isang numero bago ang integral. Nagkataon lang - lahat ng umiikot sa buhay ay konektado sa pare-parehong ito.

Paano itakda ang mga limitasyon ng pagsasama "a" at "maging", sa palagay ko, ay madaling hulaan mula sa nakumpletong pagguhit.

Function... ano ang function na ito? Tingnan natin ang pagguhit. Ang flat figure ay nililimitahan ng parabola graph mula sa itaas. Ito ang function na ipinahiwatig sa formula.

Sa mga praktikal na gawain, ang isang flat figure ay minsan ay matatagpuan sa ibaba ng axis. Hindi nito binabago ang anuman - ang function sa formula ay squared: , kaya ang dami ng isang katawan ng rebolusyon ay palaging hindi negatibo, na medyo lohikal.

Kalkulahin ang dami ng katawan ng rebolusyon gamit ang formula na ito:

Tulad ng nabanggit ko na, ang integral ay halos palaging nagiging simple, ang pangunahing bagay ay maging maingat.

Sagot:

Halimbawa 2

Hanapin ang volume ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng axis ng figure na nakatali ng mga linya , ,

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Isaalang-alang natin ang dalawang mas kumplikadong mga problema, na madalas ding nakatagpo sa pagsasanay.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang volume ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng abscissa axis ng figure na nakatali ng mga linya , , at

Desisyon: Ilarawan natin sa pagguhit ang isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya , , , , habang hindi nakakalimutan na ang equation ay tumutukoy sa axis:

Ang nais na pigura ay may kulay na asul. Kapag ito ay umiikot sa paligid ng axis, ang naturang surreal donut na may apat na sulok ay nakuha.

Ang dami ng katawan ng rebolusyon ay kinakalkula bilang pagkakaiba sa dami ng katawan.

Una, tingnan natin ang pigura na nakabilog sa pula. Kapag ito ay umiikot sa paligid ng axis, ang isang pinutol na kono ay nakuha. Tukuyin natin ang dami ng pinutol na kono na ito bilang .

Isaalang-alang ang pigura na nakabilog sa berde. Kung paikutin mo ang figure na ito sa paligid ng axis, makakakuha ka rin ng pinutol na kono, mas maliit lang ng kaunti. Tukuyin natin ang dami nito sa pamamagitan ng .

At, malinaw naman, ang pagkakaiba sa mga volume ay eksaktong dami ng aming "donut".

Ginagamit namin ang karaniwang formula para sa paghahanap ng dami ng isang katawan ng rebolusyon:

1) Ang pigura na nakabilog sa pula ay nililimitahan mula sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

2) Ang pigurang nakabilog sa berde ay nakatali mula sa itaas ng isang tuwid na linya, samakatuwid:

3) Ang dami ng gustong katawan ng rebolusyon:

Sagot:

Nakakapagtataka na sa kasong ito ang solusyon ay maaaring masuri gamit ang formula ng paaralan para sa pagkalkula ng dami ng isang pinutol na kono.

Ang desisyon mismo ay kadalasang ginagawang mas maikli, tulad nito:

Ngayon, magpahinga tayo at pag-usapan ang tungkol sa mga geometric na ilusyon.

Ang mga tao ay madalas na may mga ilusyon na nauugnay sa mga volume, na napansin ni Perelman (hindi pareho) sa aklat Kawili-wiling geometry. Tingnan ang flat figure sa nalutas na problema - ito ay tila maliit sa lugar, at ang volume ng katawan ng rebolusyon ay higit lamang sa 50 cubic units, na tila masyadong malaki. Sa pamamagitan ng paraan, ang karaniwang tao sa kanyang buong buhay ay umiinom ng isang likido na may dami ng isang silid na 18 metro kuwadrado, na, sa kabaligtaran, ay tila napakaliit na dami.

Sa pangkalahatan, ang sistema ng edukasyon sa USSR ay talagang ang pinakamahusay. Ang parehong libro ni Perelman, na isinulat niya noong 1950, ay nabuo nang napakahusay, gaya ng sinabi ng humorist, na nangangatuwiran at nagtuturo sa iyo na maghanap ng mga orihinal na hindi karaniwang solusyon sa mga problema. Kamakailan ay binasa kong muli ang ilang mga kabanata na may malaking interes, inirerekumenda ko ito, naa-access ito kahit para sa mga humanitarian. Hindi, hindi mo kailangang ngumiti na nagmungkahi ako ng isang mahusay na libangan, karunungan at isang malawak na pananaw sa komunikasyon ay isang magandang bagay.

Pagkatapos ng lyrical digression, nararapat lamang na lutasin ang isang malikhaing gawain:

Halimbawa 4

Kalkulahin ang volume ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot tungkol sa axis ng isang patag na pigura na nakatali ng mga linya , , kung saan .

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Pakitandaan na lahat ng bagay ay nangyayari sa banda, sa madaling salita, halos handa na ang mga limitasyon sa pagsasama ay ibinibigay. Subukan din na iguhit nang tama ang mga graph. trigonometriko function, kung ang argumento ay nahahati sa dalawa: , pagkatapos ay ang mga graph ay nakaunat sa kahabaan ng axis ng dalawang beses. Subukang maghanap ng hindi bababa sa 3-4 na puntos ayon sa trigonometric tables at gawing mas tumpak ang pagguhit. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Sa pamamagitan ng paraan, ang gawain ay maaaring malutas nang makatwiran at hindi masyadong makatwiran.

Pagkalkula ng dami ng isang katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot
flat figure sa paligid ng isang axis

Ang pangalawang talata ay magiging mas kawili-wili kaysa sa una. Ang gawain ng pagkalkula ng volume ng isang katawan ng rebolusyon sa paligid ng y-axis ay medyo madalas ding panauhin sa kontrol sa trabaho. Sa pagpasa ay isasaalang-alang problema sa paghahanap ng lugar ng isang pigura ang pangalawang paraan - pagsasama sa kahabaan ng axis, ito ay magbibigay-daan sa iyo hindi lamang upang mapabuti ang iyong mga kasanayan, ngunit din magturo sa iyo kung paano hanapin ang pinaka kumikitang solusyon. Mayroon din itong praktikal na kahulugan! Habang nakangiti ang aking guro sa mga pamamaraan sa pagtuturo ng matematika, maraming mga nagtapos ang nagpasalamat sa kanya sa mga salitang: "Nakatulong nang malaki sa amin ang iyong paksa, ngayon kami ay epektibong mga tagapamahala at pinamamahalaan namin ang aming mga kawani nang mahusay." Sa pagkakataong ito, nagpapasalamat din ako sa kanya, lalo na't ginagamit ko ang nakuhang kaalaman para sa layunin nito =).

Halimbawa 5

Binigyan ng flat figure may hangganan ng mga linya , , .

1) Hanapin ang lugar ng isang patag na pigura na may hangganan ng mga linyang ito.
2) Hanapin ang dami ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang patag na pigura na nakatali ng mga linyang ito sa paligid ng axis.

Pansin! Kahit na gusto mo lang basahin ang pangalawang talata, una kinakailangan basahin mo yung una!

Desisyon: Ang gawain ay binubuo ng dalawang bahagi. Magsimula tayo sa parisukat.

1) Isagawa natin ang pagguhit:

Madaling makita na ang function ay tumutukoy sa itaas na sangay ng parabola, at ang function ay tumutukoy sa mas mababang sangay ng parabola. Sa harap natin ay isang maliit na parabola, na "namamalagi sa gilid nito."

Ang nais na pigura, ang lugar kung saan matatagpuan, ay may kulay na asul.

Paano mahahanap ang lugar ng isang figure? Ito ay matatagpuan sa "karaniwan" na paraan, na isinasaalang-alang sa aralin. Tiyak na integral. Paano makalkula ang lugar ng isang figure. Bukod dito, ang lugar ng figure ay matatagpuan bilang kabuuan ng mga lugar:
- sa segment ;
- sa segment.

Kaya:

Ano ang mali sa karaniwang solusyon sa kasong ito? Una, mayroong dalawang integral. Pangalawa, ang mga ugat sa ilalim ng mga integral, at ang mga ugat sa mga integral ay hindi isang regalo, bukod dito, ang isa ay maaaring malito sa pagpapalit ng mga limitasyon ng pagsasama. Sa katunayan, ang mga integral, siyempre, ay hindi nakamamatay, ngunit sa pagsasanay ang lahat ay mas malungkot, kinuha ko lang ang "mas mahusay" na mga pag-andar para sa gawain.

Mayroong mas makatwirang solusyon: ito ay binubuo sa paglipat sa mga kabaligtaran na pag-andar at pagsasama sa kahabaan ng axis.

Paano pumasa sa mga inverse function? Sa halos pagsasalita, kailangan mong ipahayag ang "x" sa pamamagitan ng "y". Una, harapin natin ang parabola:

Ito ay sapat na, ngunit tiyakin natin na ang parehong function ay maaaring makuha mula sa ilalim na sangay:

Sa isang tuwid na linya, ang lahat ay mas madali:

Ngayon tingnan ang axis: mangyaring pana-panahong ikiling ang iyong ulo sa kanan 90 degrees habang ipinapaliwanag mo (ito ay hindi isang biro!). Ang figure na kailangan namin ay namamalagi sa segment, na ipinahiwatig ng pulang tuldok na linya. Bukod dito, sa segment, ang tuwid na linya ay matatagpuan sa itaas ng parabola, na nangangahulugan na ang lugar ng figure ay dapat matagpuan gamit ang formula na pamilyar sa iyo: . Ano ang nagbago sa formula? Isang sulat lang, at wala nang iba pa.

! Tandaan: Ang mga limitasyon ng pagsasama sa kahabaan ng axis ay dapat itakda mahigpit mula sa ibaba hanggang sa itaas!

Paghahanap ng lugar:

Sa segment , samakatuwid:

Bigyang-pansin kung paano ko isinagawa ang pagsasama, ito ang pinaka-makatuwirang paraan, at sa susunod na talata ng takdang-aralin ay magiging malinaw kung bakit.

Para sa mga mambabasa na nagdududa sa kawastuhan ng pagsasama, hahanap ako ng mga derivatives:

Ang orihinal na integrand ay nakuha, na nangangahulugan na ang pagsasama ay ginanap nang tama.

Sagot:

2) Kalkulahin ang dami ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng figure na ito sa paligid ng axis.

Ire-redraw ko ang drawing sa isang bahagyang naiibang disenyo:

Kaya, ang figure na may kulay na asul ay umiikot sa paligid ng axis. Ang resulta ay isang "hovering butterfly" na umiikot sa paligid ng axis nito.

Upang mahanap ang dami ng katawan ng rebolusyon, isasama natin ang axis. Una kailangan nating lumipat sa mga inverse function. Ito ay nagawa na at inilarawan nang detalyado sa nakaraang talata.

Ngayon ay ikiling namin ang aming ulo sa kanan muli at pag-aralan ang aming figure. Malinaw, ang dami ng katawan ng rebolusyon ay dapat makita bilang pagkakaiba sa pagitan ng mga volume.

Pinaikot namin ang figure na bilog sa pula sa paligid ng axis, na nagreresulta sa isang pinutol na kono. Tukuyin natin ang volume na ito sa pamamagitan ng .

Pinaikot namin ang pigura, na bilog sa berde, sa paligid ng axis at ipahiwatig ito sa pamamagitan ng dami ng nagresultang katawan ng rebolusyon.

Ang dami ng ating butterfly ay katumbas ng pagkakaiba ng volume.

Ginagamit namin ang formula upang mahanap ang dami ng isang katawan ng rebolusyon:

Paano ito naiiba sa pormula ng nakaraang talata? Sa mga titik lamang.

At narito ang bentahe ng pagsasama na aking pinag-uusapan kanina, ito ay mas madaling mahanap kaysa sa paunang itaas ang integrand sa ika-4 na kapangyarihan.

Sagot:

Gayunpaman, isang may sakit na butterfly.

Tandaan na kung ang parehong flat figure ay pinaikot sa paligid ng axis, pagkatapos ay isang ganap na naiibang katawan ng rebolusyon ay lalabas, ng isang naiiba, natural, dami.

Halimbawa 6

Ibinigay ang isang patag na pigura na may hangganan ng mga linya, at isang axis.

1) Pumunta sa mga inverse function at hanapin ang lugar ng isang flat figure na bounded ng mga linyang ito sa pamamagitan ng pagsasama sa variable .
2) Kalkulahin ang dami ng katawan na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang patag na pigura na nakatali ng mga linyang ito sa paligid ng axis.

I. Dami ng mga katawan ng rebolusyon. Paunang pag-aaral, ayon sa aklat-aralin ni G. M. Fikhtengolts, Kabanata XII, p ° p ° 197, 198 * Pag-aralan nang detalyado ang mga halimbawang ibinigay sa p ° 198.

508. Kalkulahin ang volume ng katawan na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng ellipse Sa paligid ng x-axis.

kaya,

530. Hanapin ang surface area, nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng axis Ox ng arko ng sinusoid y \u003d sin x mula sa punto X \u003d 0 hanggang sa punto X \u003d Ito.

531. Kalkulahin ang surface area ng isang kono na may taas h at radius r.

532. Kalkulahin ang surface area na nabuo sa pamamagitan ng

pag-ikot ng astroid x3 -) - y* - a3 sa paligid ng x-axis.

533. Kalkulahin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pagbabaligtad ng loop ng curve 18 y-x(6-x)r sa paligid ng x-axis.

534. Hanapin ang ibabaw ng torus na ginawa ng pag-ikot ng bilog X2 - j - (y-3)2 = 4 sa paligid ng x-axis.

535. Kalkulahin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng bilog X = isang gastos, y = asint sa paligid ng Ox axis.

536. Kalkulahin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng loop ng curve x = 9t2, y = St - 9t3 sa paligid ng axis Ox.

537. Hanapin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng arko ng curve x = e * sint, y = el cost sa paligid ng axis Ox

mula t = 0 hanggang t = -.

538. Ipakita na ang ibabaw na ginawa ng pag-ikot ng arko ng cycloid x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) sa paligid ng axis Oy, ay katumbas ng 16 u2 o2.

539. Hanapin ang ibabaw na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng cardioid sa paligid ng polar axis.

540. Hanapin ang lugar ng ibabaw na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng lemniscate sa paligid ng polar axis.