Pagpapalawak ng isang fraction sa isang serye ng Taylor. Pagpapalawak ng mga function sa power series

Kung ang function na f(x) ay may mga derivatives ng lahat ng mga order sa ilang pagitan na naglalaman ng point a, kung gayon ang Taylor formula ay maaaring ilapat dito:
,
saan rn- ang tinatawag na natitirang termino o ang natitira sa serye, maaari itong matantya gamit ang Lagrange formula:
, kung saan ang bilang na x ay nasa pagitan ng x at a.

Mga panuntunan sa pagpasok ng function:

Kung para sa ilang halaga X rn→0 sa n→∞, pagkatapos ay sa limitasyon ang Taylor formula para sa halagang ito ay nagiging convergent Serye ni Taylor:
,
Kaya, ang function na f(x) ay maaaring palawakin sa isang serye ng Taylor sa itinuturing na punto x kung:
1) mayroon itong mga derivatives ng lahat ng mga order;
2) ang itinayong serye ay nagtatagpo sa puntong ito.

Para sa isang = 0 nakakakuha tayo ng isang serye na tinatawag malapit sa Maclaurin:
,
Pagpapalawak ng pinakasimpleng (elementarya) na mga function sa serye ng Maclaurin:
exponential function
, R=∞
Trigonometric function
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
Ang function na actgx ay hindi lumalawak sa mga kapangyarihan ng x, dahil ctg0=∞
Hyperbolic function


Mga function ng logarithmic
, -1
Binomial na serye
.

Halimbawa #1. Palawakin ang function sa isang serye ng kapangyarihan f(x)= 2x.
Desisyon. Hanapin natin ang mga halaga ng function at mga derivatives nito sa X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, f"( 0) = 2 0 ln2=ln2;
f""(x) = 2x sa 2 2, f""( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;
…
f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.
Ang pagpapalit ng nakuha na mga halaga ng mga derivative sa pormula ng serye ng Taylor, nakukuha namin:

Ang radius ng convergence ng seryeng ito ay katumbas ng infinity, kaya ang pagpapalawak na ito ay wasto para sa -∞<x<+∞.

Halimbawa #2. Sumulat ng isang serye ni Taylor sa mga kapangyarihan ( X+4) para sa function f(x)= e x.
Desisyon. Paghahanap ng mga derivatives ng function e x at ang kanilang mga halaga sa punto X=-4.
f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;
f"(x)= e x, f"(-4) = e -4 ;
f""(x)= e x, f""(-4) = e -4 ;
…
f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .
Samakatuwid, ang nais na serye ng Taylor ng function ay may anyo:

Ang pagpapalawak na ito ay may bisa din para sa -∞<x<+∞.

Halimbawa #3. Palawakin ang function f(x)=ln x sa isang serye sa pamamagitan ng mga antas ( X- 1),
(ibig sabihin, sa isang serye ng Taylor sa paligid ng punto X=1).
Desisyon. Nahanap namin ang mga derivatives ng function na ito.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f(n)=(- 1) n-1 (n-1)!
Ang pagpapalit ng mga halagang ito sa formula, nakuha namin ang nais na serye ng Taylor:

Sa tulong ng pagsusulit ni d'Alembert, mapapatunayan ng isa na ang serye ay nagtatagpo sa ½x-1½<1 . Действительно,

Ang serye ay nagtatagpo kung ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 nakakakuha tayo ng alternating series na nakakatugon sa mga kondisyon ng Leibniz test. Para sa x=0 ang function ay hindi tinukoy. Kaya, ang rehiyon ng convergence ng serye ng Taylor ay ang kalahating bukas na pagitan (0;2).

Halimbawa #4. Palawakin ang function sa isang power series.
Desisyon. Sa decomposition (1) pinapalitan namin ang x ng -x 2, nakukuha namin ang:
, -∞

Halimbawa numero 5. Palawakin ang function sa isang Maclaurin series.
Desisyon. Meron kami
Gamit ang formula (4), maaari nating isulat ang:

pagpapalit sa halip na x sa formula -x, nakukuha natin:

Mula dito makikita natin ang: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Ang pagpapalawak ng mga bracket, muling pagsasaayos ng mga tuntunin ng serye at paggawa ng pagbabawas ng mga katulad na termino, nakukuha namin
. Ang seryeng ito ay nagtatagpo sa pagitan (-1;1) dahil ito ay nakuha mula sa dalawang serye, ang bawat isa ay nagtatagpo sa pagitan na ito.

Magkomento .
Ang mga formula (1)-(5) ay maaari ding gamitin upang palawakin ang mga kaukulang function sa isang Taylor series, i.e. para sa pagpapalawak ng mga function sa positive integer powers ( Ha). Upang gawin ito, kinakailangan na magsagawa ng mga katulad na pagbabago sa isang naibigay na function upang makuha ang isa sa mga function (1) - (5), kung saan sa halip na X gastos k( Ha) m , kung saan ang k ay isang pare-parehong numero, ang m ay isang positibong integer. Kadalasan ay maginhawa upang baguhin ang variable t=Ha at palawakin ang resultang function na may paggalang sa t sa serye ng Maclaurin.

Ang pamamaraang ito ay batay sa theorem sa pagiging natatangi ng pagpapalawak ng isang function sa isang serye ng kapangyarihan. Ang kakanyahan ng theorem na ito ay na sa kapitbahayan ng parehong punto, dalawang magkaibang serye ng kapangyarihan ay hindi maaaring makuha na magsasama-sama sa parehong function, gaano man ang pagpapalawak nito ay ginanap.

Halimbawa Blg. 5a. Palawakin ang function sa isang Maclaurin series, ipahiwatig ang lugar ng convergence.
Desisyon. Una naming mahanap ang 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
hanggang elementarya:

Ang fraction na 3/(1-3x) ay maaaring tingnan bilang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad na may denominator na 3x kung |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

may convergence region |x|< 1/3.

Halimbawa numero 6. Palawakin ang function sa isang serye ng Taylor sa paligid ng puntong x = 3.
Desisyon. Ang problemang ito ay maaaring malutas, tulad ng dati, gamit ang kahulugan ng serye ng Taylor, kung saan kinakailangan upang mahanap ang mga derivatives ng mga function at ang kanilang mga halaga sa X=3. Gayunpaman, magiging mas madaling gamitin ang kasalukuyang agnas (5):
=
Ang resultang serye ay nagtatagpo sa o -3

Halimbawa numero 7. Sumulat ng serye ng Taylor sa mga kapangyarihan (x -1) ng function na ln(x+2) .
Desisyon.


Ang serye ay nagtatagpo sa , o -2< x < 5.

Halimbawa numero 8. Palawakin ang function na f(x)=sin(πx/4) sa isang serye ng Taylor sa paligid ng puntong x =2.
Desisyon. Gawin natin ang kapalit na t=x-2:

Gamit ang pagpapalawak (3), kung saan pinapalitan natin ang π / 4 t para sa x, nakukuha natin ang:

Ang resultang serye ay nagtatagpo sa ibinigay na function sa -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞kaya,
, (-∞

Tinatayang mga kalkulasyon gamit ang power series

• kung ang resultang serye ay character-alternating, ang sumusunod na property ay gagamitin: para sa isang alternatibong serye na nakakatugon sa mga kundisyon ng Leibniz, ang ganap na halaga ng natitira sa serye ay hindi lalampas sa unang itinapon na termino.
• kung ang ibinigay na serye ay pare-pareho ang tanda, kung gayon ang serye na binubuo ng mga itinapon na termino ay inihahambing sa isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad.
• sa pangkalahatang kaso, upang matantya ang natitira sa serye ng Taylor, maaari mong gamitin ang Lagrange formula: a x ).

Halimbawa #1. Compute ln(3) sa loob ng 0.01.
Desisyon. Gamitin natin ang decomposition , kung saan x=1/2 (tingnan ang halimbawa 5 sa nakaraang paksa):

Suriin natin kung maaari nating itapon ang natitira pagkatapos ng unang tatlong termino ng pagpapalawak, para dito sinusuri natin ito gamit ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad:

Kaya maaari naming itapon ang natitira at makuha

Halimbawa #2. Kalkulahin sa pinakamalapit na 0.0001.
Desisyon. Gamitin natin ang binomial series. Dahil ang 5 3 ay ang pinakamalapit na integer cube sa 130, ipinapayong katawanin ang bilang na 130 bilang 130=5 3 +5.



dahil ang pang-apat na termino ng nakuhang sign-alternating series na nakakatugon sa Leibniz test ay mas mababa na sa kinakailangang katumpakan:
, kaya ito at ang mga tuntuning kasunod nito ay maaaring itapon.
Maraming mga praktikal na kinakailangan na tiyak o hindi wastong mga integral ay hindi maaaring kalkulahin gamit ang Newton-Leibniz formula, dahil ang paggamit nito ay nauugnay sa paghahanap ng isang antiderivative, kadalasang walang expression sa elementarya na mga function. Nangyayari din na ang paghahanap ng isang antiderivative ay posible, ngunit hindi kinakailangang matrabaho. Gayunpaman, kung ang integrand ay pinalawak sa isang serye ng kapangyarihan, at ang mga limitasyon ng pagsasama ay nabibilang sa pagitan ng convergence ng seryeng ito, kung gayon ang isang tinatayang pagkalkula ng integral na may paunang natukoy na katumpakan ay posible.

Halimbawa #3. Kalkulahin ang integral ∫ 0 1 4 sin (x) x sa loob ng 10 -5 .
Desisyon. Ang katumbas na indefinite integral ay hindi maaaring ipahayag sa elementarya function, i.e. ay isang "imposibleng integral". Ang Newton-Leibniz formula ay hindi maaaring ilapat dito. Kalkulahin natin ang humigit-kumulang integral.
Paghahati sa termino sa pamamagitan ng termino ang serye para sa kasalanan x sa x, nakukuha natin:

Pagsasama-sama ng terminong ito ng serye ayon sa termino (posible ito, dahil ang mga limitasyon ng pagsasama ay nabibilang sa pagitan ng tagpo ng seryeng ito), nakukuha namin ang:

Dahil ang resultang serye ay nakakatugon sa mga kundisyon ng Leibniz at sapat na upang kunin ang kabuuan ng unang dalawang termino upang makuha ang nais na halaga na may ibinigay na katumpakan.
Kaya, nahanap namin
.

Halimbawa #4. Kalkulahin ang integral ∫ 0 1 4 e x 2 hanggang sa loob ng 0.001.
Desisyon.
. Tingnan natin kung maaari nating itapon ang natitira pagkatapos ng ikalawang termino ng resultang serye.
0.0001<0.001. Следовательно, .

16.1. Pagpapalawak ng mga elementary function sa Taylor series at

Maclaurin

Ipakita natin na kung ang isang arbitrary function ay tinukoy sa set
, sa paligid ng punto
ay may maraming mga derivatives at ang kabuuan ng isang serye ng kapangyarihan:

pagkatapos ay mahahanap mo ang mga coefficient ng seryeng ito.

Palitan sa isang serye ng kapangyarihan
. Pagkatapos
.

Hanapin ang unang derivative ng function
:

Sa
:
.

Para sa pangalawang derivative makuha namin:

Sa
:
.

Ang pagpapatuloy ng pamamaraang ito n sa sandaling makuha natin ang:
.

Kaya, nakakuha kami ng isang serye ng kapangyarihan ng form:

,

na tinatawag na malapit kay taylor para sa function
sa paligid ng punto
.

Ang isang espesyal na kaso ng serye ng Taylor ay Serye ng Maclaurin sa
:

Ang natitira sa serye ng Taylor (Maclaurin) ay nakuha sa pamamagitan ng pagtatapon sa pangunahing serye n ang mga unang termino at tinutukoy bilang
. Pagkatapos ang pag-andar
maaaring isulat bilang kabuuan n ang mga unang miyembro ng serye
at ang natitira
:,

.

Ang natitira ay kadalasan
ipinahayag sa iba't ibang mga formula.

Ang isa sa mga ito ay nasa Lagrange form:

, saan
.
.

Tandaan na sa pagsasanay ang serye ng Maclaurin ay ginagamit nang mas madalas. Kaya, upang maisulat ang function
sa anyo ng kabuuan ng isang serye ng kapangyarihan, kinakailangan:

1) hanapin ang mga coefficient ng serye ng Maclaurin (Taylor);

2) hanapin ang rehiyon ng convergence ng nagresultang serye ng kapangyarihan;

3) patunayan na ang ibinigay na serye ay nagtatagpo sa function
.

Teorama1 (isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa convergence ng serye ng Maclaurin). Hayaan ang convergence radius ng serye
. Upang ang seryeng ito ay magtagpo sa pagitan
upang gumana
, ito ay kinakailangan at sapat na ang sumusunod na kondisyon ay natugunan:
sa loob ng tinukoy na agwat.

Teorama 2. Kung derivatives ng anumang pagkakasunud-sunod ng isang function
sa ilang pagitan
limitado sa ganap na halaga sa parehong numero M, ibig sabihin
, pagkatapos ay sa pagitan na ito ang function
maaaring mapalawak sa isang serye ng Maclaurin.

Halimbawa1 . Palawakin sa isang serye ng Taylor sa paligid ng punto
function.

Desisyon.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

Lugar ng convergence
.

Halimbawa2 . Palawakin ang function sa isang serye ng Taylor sa paligid ng isang punto
.

Desisyon:

Nahanap namin ang halaga ng function at ang mga derivatives nito sa
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Palitan ang mga halagang ito nang sunud-sunod. Nakukuha namin:

o
.

Hanapin natin ang rehiyon ng convergence ng seryeng ito. Ayon sa pagsubok ng d'Alembert, ang serye ay nagtatagpo kung

.

Samakatuwid, para sa anumang ang limitasyong ito ay mas mababa sa 1, at samakatuwid ang lugar ng convergence ng serye ay magiging:
.

Isaalang-alang natin ang ilang mga halimbawa ng pagpapalawak sa serye ng Maclaurin ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya. Alalahanin na ang serye ng Maclaurin:

.

nagtatagpo sa pagitan
upang gumana
.

Tandaan na upang mapalawak ang function sa isang serye, ito ay kinakailangan:

a) hanapin ang mga coefficient ng serye ng Maclaurin para sa isang naibigay na function;

b) kalkulahin ang radius ng convergence para sa resultang serye;

c) patunayan na ang nagresultang serye ay nagtatagpo sa function
.

Halimbawa 3 Isaalang-alang ang function
.

Desisyon.

Kalkulahin natin ang halaga ng function at ang mga derivative nito para sa
.

Pagkatapos ang mga numerical coefficient ng serye ay may anyo:

para kahit kanino n. Pinapalitan namin ang mga nakitang coefficient sa serye ng Maclaurin at makuha ang:

Hanapin ang radius ng convergence ng nagresultang serye, katulad:

.

Samakatuwid, ang serye ay nagtatagpo sa pagitan
.

Ang seryeng ito ay nagtatagpo sa function para sa anumang mga halaga , dahil sa anumang pagitan
function at ang mga derivatives ng absolute value nito ay nililimitahan ng bilang .

Halimbawa4 . Isaalang-alang ang function
.

Desisyon.

:

Madaling makita ang mga even-order na derivatives
, at mga derivative ng kakaibang ayos. Pinapalitan namin ang mga nakitang coefficient sa serye ng Maclaurin at makuha ang pagpapalawak:

Hanapin natin ang pagitan ng convergence ng seryeng ito. Ayon kay d'Alembert:

para kahit kanino . Samakatuwid, ang serye ay nagtatagpo sa pagitan
.

Ang seryeng ito ay nagtatagpo sa function
, dahil ang lahat ng derivatives nito ay limitado sa isa.

Halimbawa5 .
.

Desisyon.

Hanapin natin ang halaga ng function at ang mga derivatives nito sa
:

Kaya, ang mga coefficient ng seryeng ito:
at
, kaya:

Katulad din sa nakaraang serye, ang lugar ng convergence
. Ang serye ay nagtatagpo sa function
, dahil ang lahat ng derivatives nito ay limitado sa isa.

Tandaan na ang function
kakaiba at serye ng pagpapalawak sa kakaibang kapangyarihan, pag-andar
– pantay at pagpapalawak sa isang serye sa pantay na kapangyarihan.

Halimbawa6 . Binomial na serye:
.

Desisyon.

Hanapin natin ang halaga ng function at ang mga derivatives nito sa
:

Ito ay nagpapakita na:

Pinapalitan namin ang mga halagang ito ng mga coefficient sa serye ng Maclaurin at makuha ang pagpapalawak ng function na ito sa isang serye ng kapangyarihan:

Hanapin natin ang radius ng convergence ng seryeng ito:

Samakatuwid, ang serye ay nagtatagpo sa pagitan
. Sa limitasyon ng mga punto sa
at
ang mga serye ay maaaring o hindi maaaring magtagpo depende sa exponent
.

Ang pinag-aralan na serye ay nagtatagpo sa pagitan
upang gumana
, iyon ay, ang kabuuan ng serye
sa
.

Halimbawa7 . Palawakin natin ang function sa isang serye ng Maclaurin
.

Desisyon.

Upang palawakin ang function na ito sa isang serye, ginagamit namin ang binomial na serye para sa
. Nakukuha namin:

Batay sa pag-aari ng power series (maaaring isama ang isang power series sa rehiyon ng convergence nito), nakita namin ang integral ng kaliwa at kanang bahagi ng seryeng ito:

Hanapin ang lugar ng convergence ng seryeng ito:
,

ibig sabihin, ang convergence region ng seryeng ito ay ang interval
. Alamin natin ang convergence ng serye sa mga dulo ng interval. Sa

. Ang seryeng ito ay isang maharmonya na serye, iyon ay, ito ay nag-iiba. Sa
nakakakuha kami ng serye ng numero na may karaniwang termino
.

Ang serye ng Leibniz ay nagtatagpo. Kaya, ang rehiyon ng convergence ng seryeng ito ay ang pagitan
.

16.2. Application ng power series of powers sa tinatayang mga kalkulasyon

Napakahalaga ng papel ng power series sa tinatayang mga kalkulasyon. Sa kanilang tulong, ang mga talahanayan ng mga pag-andar ng trigonometriko, mga talahanayan ng logarithms, mga talahanayan ng mga halaga ng iba pang mga pag-andar na ginagamit sa iba't ibang larangan ng kaalaman, halimbawa, sa teorya ng posibilidad at mga istatistika ng matematika, ay pinagsama-sama. Bilang karagdagan, ang pagpapalawak ng mga function sa isang serye ng kapangyarihan ay kapaki-pakinabang para sa kanilang teoretikal na pag-aaral. Ang pangunahing isyu kapag gumagamit ng power series sa tinatayang mga kalkulasyon ay ang tanong ng pagtantya ng error kapag pinapalitan ang kabuuan ng isang serye ng kabuuan ng una nito. n mga miyembro.

Isaalang-alang ang dalawang kaso:

ang function ay pinalawak sa isang alternating serye;

ang function ay pinalawak sa isang patuloy na-sign serye.

Pagkalkula gamit ang alternating series

Hayaan ang function
pinalawak sa isang alternating power series. Pagkatapos, kapag kinakalkula ang function na ito para sa isang tiyak na halaga nakakakuha kami ng serye ng numero kung saan maaari naming ilapat ang pagsubok sa Leibniz. Alinsunod sa pamantayang ito, kung ang kabuuan ng isang serye ay papalitan ng kabuuan ng una nito n mga miyembro, kung gayon ang ganap na error ay hindi lalampas sa unang termino ng natitira sa seryeng ito, iyon ay:
.

Halimbawa8 . Kalkulahin
na may katumpakan na 0.0001.

Desisyon.

Gagamitin namin ang serye ng Maclaurin para sa
, pinapalitan ang halaga ng anggulo sa radians:

Kung ihahambing natin ang una at pangalawang miyembro ng serye na may ibinigay na katumpakan, kung gayon: .

Pangatlong termino ng pagpapalawak:

mas mababa kaysa sa tinukoy na katumpakan ng pagkalkula. Samakatuwid, upang makalkula
sapat na ang mag-iwan ng dalawang termino ng serye, i.e.

.

Sa gayon
.

Halimbawa9 . Kalkulahin
na may katumpakan na 0.001.

Desisyon.

Gagamitin namin ang formula ng binomial series. Para dito nagsusulat kami
bilang:
.

Sa ekspresyong ito
,

Ihambing natin ang bawat isa sa mga tuntunin ng serye sa katumpakan na ibinigay. Malinaw na
. Samakatuwid, upang makalkula
sapat na ang mag-iwan ng tatlong miyembro ng serye.

o
.

Pagkalkula gamit ang sign-positive series

Halimbawa10 . Kalkulahin ang numero na may katumpakan na 0.001.

Desisyon.

Sa isang hilera para sa isang function
kapalit
. Nakukuha namin:

Tantyahin natin ang error na lumitaw kapag ang kabuuan ng serye ay pinalitan ng kabuuan ng una mga miyembro. Isulat natin ang halatang hindi pagkakapantay-pantay:

ibig sabihin, 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Ayon sa kondisyon ng problema, kailangan mong hanapin n na ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay nagtataglay:
o
.

Madaling suriin iyon kung kailan n= 6:
.

Kaya naman,
.

Halimbawa11 . Kalkulahin
na may katumpakan na 0.0001.

Desisyon.

Tandaan na upang kalkulahin ang logarithms, maaaring ilapat ng isa ang serye para sa function
, ngunit ang seryeng ito ay nagsasama-sama nang napakabagal at 9999 na termino ang kailangang kunin upang makamit ang ibinigay na katumpakan! Samakatuwid, upang kalkulahin ang mga logarithms, bilang panuntunan, ginagamit ang isang serye para sa function
, na nagtatagpo sa pagitan
.

Compute
kasama ang hilera na ito. Hayaan
, pagkatapos .

Kaya naman,
,

Upang makalkula
na may ibinigay na katumpakan, kunin ang kabuuan ng unang apat na termino:
.

Ang natitirang bahagi ng hilera
itapon. Tantyahin natin ang pagkakamali. Obvious naman yun

o
.

Kaya, sa serye na ginamit para sa pagkalkula, sapat na na kumuha lamang ng unang apat na termino sa halip na 9999 sa serye para sa function.
.

Mga tanong para sa self-diagnosis

1. Ano ang isang serye ng Taylor?

2. anong uri ng serye mayroon si Maclaurin?

3. Bumuo ng isang teorama sa pagpapalawak ng isang function sa isang serye ng Taylor.

4. Isulat ang pagpapalawak sa serye ng Maclaurin ng mga pangunahing function.

5. Ipahiwatig ang mga lugar ng convergence ng itinuturing na serye.

6. Paano matantya ang error sa tinatayang mga kalkulasyon gamit ang power series?

"Hanapin ang pagpapalawak ng Maclaurin ng f(x)"- Ito ay eksakto kung ano ang gawain sa mas mataas na matematika, na maaaring gawin ng ilang mga mag-aaral, habang ang iba ay hindi makayanan ang mga halimbawa. Mayroong ilang mga paraan upang mapalawak ang isang serye sa mga kapangyarihan, dito ay magbibigay kami ng isang paraan para sa pagpapalawak ng mga function sa isang serye ng Maclaurin. Kapag bumubuo ng isang function sa isang serye, kailangan mong maging mahusay sa pagkalkula ng mga derivatives.

Halimbawa 4.7 Palawakin ang isang function sa isang serye sa mga kapangyarihan ng x

Mga Pagkalkula: Ginagawa namin ang pagpapalawak ng function ayon sa formula ng Maclaurin. Una, pinalawak namin ang denominator ng function sa isang serye

Sa wakas, pinarami namin ang pagpapalawak ng numerator.
Ang unang termino ay ang halaga ng function sa zero f (0) = 1/3.
Hanapin ang mga derivatives ng una at mas mataas na order function na f (x) at ang halaga ng mga derivatives na ito sa puntong x=0




Dagdag pa, kasama ang pattern ng pagbabago ng halaga ng mga derivatives sa 0, isinusulat namin ang formula para sa n-th derivative.

Kaya, kinakatawan namin ang denominator bilang isang pagpapalawak sa serye ng Maclaurin

Nag-multiply tayo sa numerator at makuha ang nais na pagpapalawak ng function sa isang serye sa mga kapangyarihan ng x

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado dito.
Ang lahat ng mga pangunahing punto ay batay sa kakayahang kalkulahin ang mga derivative at mabilis na gawing pangkalahatan ang halaga ng derivative ng mas mataas na mga order sa zero. Ang mga sumusunod na halimbawa ay makakatulong sa iyong matutunan kung paano mabilis na palawakin ang isang function sa isang serye.

Halimbawa 4.10 Hanapin ang pagpapalawak ng Maclaurin ng isang function

Mga Pagkalkula: Tulad ng maaaring nahulaan mo, palalawakin namin ang cosine sa numerator sa isang serye. Upang gawin ito, maaari kang gumamit ng mga formula para sa mga infinitesimal na halaga, o maaari mong makuha ang pagpapalawak ng cosine sa mga tuntunin ng mga derivative. Bilang resulta, dumating kami sa susunod na serye sa kapangyarihan ng x

Gaya ng nakikita mo, mayroon kaming minimum na mga kalkulasyon at isang compact na representasyon ng pagpapalawak ng serye.

Halimbawa 4.16 Palawakin ang isang function sa isang serye sa mga kapangyarihan ng x:
7/(12-x-x^2)
Mga Pagkalkula: Sa ganitong uri ng mga halimbawa, kinakailangang palawakin ang fraction sa pamamagitan ng kabuuan ng mga simpleng fraction.
Kung paano ito gagawin, hindi namin ipapakita ngayon, ngunit sa tulong ng mga hindi tiyak na coefficient ay makakarating kami sa kabuuan ng mga ex fraction.
Susunod, isinusulat namin ang mga denominador sa exponential form

Nananatili itong palawakin ang mga termino gamit ang formula ng Maclaurin. Pagbubuod ng mga termino na may parehong kapangyarihan ng "x", binubuo namin ang formula para sa pangkalahatang termino ng pagpapalawak ng function sa isang serye



Ang huling bahagi ng paglipat sa serye sa simula ay mahirap ipatupad, dahil mahirap pagsamahin ang mga pormula para sa mga ipinares at hindi ipinares na mga indeks (mga kapangyarihan), ngunit sa pagsasanay ay magiging mas mahusay ka dito.

Halimbawa 4.18 Hanapin ang pagpapalawak ng Maclaurin ng isang function

Mga Pagkalkula: Hanapin ang derivative ng function na ito:

Pinalawak namin ang function sa isang serye gamit ang isa sa mga formula ng McLaren:

Binubuod namin ang serye ng termino sa pamamagitan ng termino sa batayan na pareho ay ganap na nagtutugma. Sa pamamagitan ng pagsasama ng buong termino ng serye ayon sa termino, nakukuha natin ang pagpapalawak ng function sa isang serye sa mga kapangyarihan ng x

Sa pagitan ng huling dalawang linya ng agnas mayroong isang paglipat na sa simula ay magdadala sa iyo ng maraming oras. Ang pag-generalize ng isang serye na formula ay hindi madali para sa lahat, kaya huwag mag-alala na hindi makakuha ng maganda at compact na formula.

Halimbawa 4.28 Hanapin ang pagpapalawak ng Maclaurin ng function:

Sinusulat namin ang logarithm tulad ng sumusunod

Gamit ang formula ng Maclaurin, pinalawak namin ang logarithm ng function sa isang serye sa mga kapangyarihan ng x

Ang panghuling pagtitiklop ay sa unang tingin ay kumplikado, ngunit kapag nagpapalit-palit ng mga character, palagi kang makakakuha ng katulad. Ang panimulang aralin sa paksa ng pag-iiskedyul ng function sa isang hilera ay nakumpleto. Ang iba pang hindi gaanong kawili-wiling mga scheme ng decomposition ay tatalakayin nang detalyado sa mga sumusunod na materyales.

Decomposition ng isang function sa isang serye ng Taylor, Maclaurin at Laurent sa site para sa pagsasanay ng mga praktikal na kasanayan. Ang serye na pagpapalawak ng isang function ay nagbibigay sa mga mathematician ng ideya ng pagtantya ng tinatayang halaga ng isang function sa ilang punto sa domain ng kahulugan nito. Mas madaling kalkulahin ang gayong halaga ng pag-andar, kumpara sa paggamit ng talahanayan ng Bredis, na napakaluma sa edad ng pag-compute. Upang palawakin ang isang function sa isang serye ng Taylor ay nangangahulugang kalkulahin ang mga coefficient sa harap ng mga linear na function ng seryeng ito at isulat ito sa tamang anyo. Nalilito ng mga mag-aaral ang dalawang row na ito, hindi nauunawaan kung ano ang pangkalahatang kaso at kung ano ang espesyal na kaso ng pangalawa. Ipinapaalala namin sa iyo minsan at para sa lahat, ang serye ng Maclaurin ay isang espesyal na kaso ng serye ng Taylor, iyon ay, ito ay ang serye ng Taylor, ngunit sa puntong x = 0. Lahat ng maikling talaan ng pagpapalawak ng mga kilalang function, tulad ng e ^x, Sin(x), Cos(x) at iba pa, ito ay mga pagpapalawak sa isang serye ng Taylor, ngunit sa puntong 0 para sa argumento. Para sa mga function ng isang kumplikadong argumento, ang serye ng Laurent ay ang pinakakaraniwang problema sa TFKT, dahil ito ay kumakatawan sa isang dalawang panig na walang katapusan na serye. Ito ay ang kabuuan ng dalawang hanay. Iminumungkahi namin na tumingin ka sa isang halimbawa ng agnas nang direkta sa site ng site, napakadaling gawin ito sa pamamagitan ng pag-click sa "Halimbawa" sa anumang numero, at pagkatapos ay ang pindutan ng "Solusyon". Sa pagpapalawak na ito ng isang function sa isang serye na nauugnay ang majorizing series, na naglilimita sa orihinal na function sa isang partikular na rehiyon kasama ang ordinate axis, kung ang variable ay kabilang sa abscissa region. Ang pagtatasa ng vector ay inihambing sa isa pang kawili-wiling disiplina sa matematika. Dahil kailangang imbestigahan ang bawat termino, maraming oras ang kailangan para sa proseso. Anumang serye ng Taylor ay maaaring iugnay sa isang serye ng Maclaurin sa pamamagitan ng pagpapalit ng x0 ng zero, ngunit para sa serye ng Maclaurin, kung minsan ay hindi halata ang reverse representasyon ng serye ng Taylor. Hindi mahalaga kung gaano ito hindi kinakailangang gawin sa dalisay nitong anyo, ito ay kawili-wili para sa pangkalahatang pag-unlad ng sarili. Ang bawat serye ng Laurent ay tumutugma sa isang dalawang-panig na walang katapusang serye ng kapangyarihan sa mga integer na kapangyarihan ng z-a, sa madaling salita, isang serye ng parehong uri ng Taylor, ngunit bahagyang naiiba sa pagkalkula ng mga coefficient. Pag-uusapan natin ang tungkol sa rehiyon ng convergence ng serye ng Laurent sa ibang pagkakataon, pagkatapos ng ilang mga teoretikal na kalkulasyon. Tulad noong nakaraang siglo, ang isang dahan-dahang pagpapalawak ng isang function sa isang serye ay halos hindi makakamit lamang sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga termino sa isang karaniwang denominator, dahil ang mga function sa mga denominator ay hindi linear. Ang tinatayang pagkalkula ng functional na halaga ay nangangailangan ng pagbabalangkas ng mga problema. Isipin ang katotohanan na kapag ang argumento ng serye ng Taylor ay isang linear na variable, kung gayon ang pagpapalawak ay nagaganap sa ilang mga hakbang, ngunit isang ganap na magkakaibang larawan, kapag ang isang kumplikado o hindi linear na pag-andar ay nagsisilbing argumento ng pagpapalawak ng pagpapaandar, kung gayon ang proseso ng kumakatawan sa naturang function sa isang power series ay halata, dahil, sa paraang kaya, ito ay madaling kalkulahin, kahit na tinatayang, ngunit ang halaga sa anumang punto ng domain ng kahulugan, na may isang minimum na error na may maliit epekto sa karagdagang mga kalkulasyon. Nalalapat din ito sa serye ng Maclaurin. kapag kinakailangan upang kalkulahin ang function sa zero point. Gayunpaman, ang serye ng Laurent mismo ay kinakatawan dito ng pagpapalawak ng eroplano na may mga haka-haka na yunit. Gayundin, hindi walang tagumpay ang magiging tamang solusyon ng problema sa kurso ng pangkalahatang proseso. Sa matematika, ang pamamaraang ito ay hindi kilala, ngunit ito ay talagang umiiral. Bilang resulta, maaari kang makarating sa konklusyon ng tinatawag na pointwise subset, at sa pagpapalawak ng isang function sa isang serye, kailangan mong mag-apply ng mga pamamaraan na kilala para sa prosesong ito, tulad ng paglalapat ng teorya ng mga derivatives. Muli kaming kumbinsido sa kawastuhan ng guro, na gumawa ng kanyang mga pagpapalagay tungkol sa mga resulta ng mga kalkulasyon ng post-computational. Tandaan natin na ang serye ng Taylor, na nakuha ayon sa lahat ng mga canon ng matematika, ay umiiral at tinukoy sa buong numerical axis, gayunpaman, mahal na mga gumagamit ng serbisyo sa website, huwag kalimutan ang anyo ng orihinal na pag-andar, dahil maaari itong lumabas. na sa una ay kinakailangan upang itakda ang domain ng function, iyon ay, isulat at ibukod mula sa karagdagang mga pagsasaalang-alang ang mga punto kung saan ang function ay hindi tinukoy sa domain ng mga tunay na numero. Kung sabihin, ito ay magpapakita ng iyong kabilisan sa paglutas ng problema. Ang pagtatayo ng serye ng Maclaurin na may zero na halaga ng argumento ay hindi magiging eksepsiyon sa sinabi. Kasabay nito, walang kinansela ang proseso ng paghahanap ng domain ng kahulugan ng isang function, at dapat mong lapitan ang aksyong matematika na ito nang buong kaseryosohan. Kung ang serye ng Laurent ay naglalaman ng pangunahing bahagi, ang parameter na "a" ay tatawaging isang nakahiwalay na puntong isahan, at ang serye ng Laurent ay lalawak sa singsing - ito ang intersection ng mga lugar ng convergence ng mga bahagi nito, kung saan ang kaukulang susundan ng theorem. Ngunit hindi lahat ay kasing hirap na tila sa unang tingin sa isang walang karanasan na estudyante. Ang pagkakaroon ng pag-aaral lamang ng serye ng Taylor, madaling maunawaan ng isa ang serye ng Laurent - isang pangkalahatang kaso para sa pagpapalawak ng espasyo ng mga numero. Ang anumang pagpapalawak ng isang function sa isang serye ay maaari lamang gawin sa isang punto sa domain ng function. Dapat isaalang-alang ng isa ang mga katangian ng naturang mga pag-andar, halimbawa, periodicity o walang katapusang pagkakaiba-iba. Iminumungkahi din namin na gamitin mo ang talahanayan ng mga nakahandang pagpapalawak sa serye ng Taylor ng mga elementarya na function, dahil ang isang function ay maaaring katawanin ng hanggang dose-dosenang serye ng kapangyarihan na naiiba sa bawat isa, na makikita mula sa paggamit ng aming online calculator. Ang online na serye ng Maclaurin ay mas madali kaysa dati upang matukoy kung ginagamit mo ang natatanging serbisyo ng site, kailangan mo lamang na ipasok ang tamang nakasulat na function at matatanggap mo ang ipinakitang sagot sa loob ng ilang segundo, ito ay magagarantiyahan na tumpak at sa isang karaniwang nakasulat na form . Maaari mong muling isulat ang resulta kaagad sa isang malinis na kopya para ihatid sa guro. Tamang tukuyin muna ang analyticity ng function na isinasaalang-alang sa mga singsing, at pagkatapos ay malinaw na sabihin na maaari itong palawakin sa isang serye ng Laurent sa lahat ng naturang mga singsing. Ang isang mahalagang sandali ay hindi malimutan ang mga miyembro ng serye ng Laurent na naglalaman ng mga negatibong antas. Tumutok dito hangga't maaari. Gamitin nang husto ang theorem ni Laurent sa pagpapalawak ng isang function sa isang serye sa mga integer na kapangyarihan.

Paano magpasok ng mga mathematical formula sa site?

Kung sakaling kailanganin mong magdagdag ng isa o dalawang mathematical formula sa isang web page, kung gayon ang pinakamadaling paraan upang gawin ito ay tulad ng inilarawan sa artikulo: ang mga mathematical formula ay madaling naipasok sa site sa anyo ng mga larawan na awtomatikong nabubuo ng Wolfram Alpha. Bilang karagdagan sa pagiging simple, ang unibersal na paraan na ito ay makakatulong na mapabuti ang visibility ng site sa mga search engine. Ito ay gumagana nang mahabang panahon (at sa tingin ko ito ay gagana magpakailanman), ngunit ito ay luma na sa moral.

Kung, sa kabilang banda, palagi kang gumagamit ng mga mathematical formula sa iyong site, pagkatapos ay inirerekomenda ko na gumamit ka ng MathJax, isang espesyal na JavaScript library na nagpapakita ng mathematical notation sa mga web browser gamit ang MathML, LaTeX, o ASCIIMathML markup.

Mayroong dalawang paraan upang simulan ang paggamit ng MathJax: (1) gamit ang isang simpleng code, maaari mong mabilis na ikonekta ang isang MathJax script sa iyong site, na awtomatikong mai-load mula sa isang malayong server sa tamang oras (listahan ng mga server); (2) i-upload ang MathJax script mula sa isang malayuang server patungo sa iyong server at ikonekta ito sa lahat ng pahina ng iyong site. Ang pangalawang paraan ay mas kumplikado at nakakaubos ng oras at magbibigay-daan sa iyong mapabilis ang paglo-load ng mga pahina ng iyong site, at kung ang parent na MathJax server ay pansamantalang hindi magagamit sa ilang kadahilanan, hindi ito makakaapekto sa iyong sariling site sa anumang paraan. Sa kabila ng mga pakinabang na ito, pinili ko ang unang paraan, dahil ito ay mas simple, mas mabilis at hindi nangangailangan ng mga teknikal na kasanayan. Sundin ang aking halimbawa, at sa loob ng 5 minuto ay magagamit mo na ang lahat ng feature ng MathJax sa iyong website.

Maaari mong ikonekta ang script ng MathJax library mula sa isang malayuang server gamit ang dalawang opsyon sa code na kinuha mula sa pangunahing website ng MathJax o mula sa pahina ng dokumentasyon:

Kailangang kopyahin at i-paste ang isa sa mga opsyon sa code na ito sa code ng iyong web page, mas mabuti sa pagitan ng mga tag at o pagkatapos mismo ng tag . Ayon sa unang opsyon, ang MathJax ay naglo-load nang mas mabilis at nagpapabagal sa pahina nang mas kaunti. Ngunit awtomatikong sinusubaybayan at nilo-load ng pangalawang opsyon ang pinakabagong bersyon ng MathJax. Kung ilalagay mo ang unang code, kakailanganin itong i-update sa pana-panahon. Kung i-paste mo ang pangalawang code, ang mga pahina ay maglo-load nang mas mabagal, ngunit hindi mo kailangang patuloy na subaybayan ang mga update sa MathJax.

Ang pinakamadaling paraan upang ikonekta ang MathJax ay nasa Blogger o WordPress: sa control panel ng site, magdagdag ng widget na idinisenyo upang magpasok ng third-party na JavaScript code, kopyahin ang una o pangalawang bersyon ng load code na ipinakita sa itaas dito, at ilagay ang widget nang mas malapit. sa simula ng template (sa pamamagitan ng paraan, ito ay hindi sa lahat ng kailangan , dahil ang MathJax script ay load asynchronously). Iyon lang. Ngayon matutunan ang MathML, LaTeX, at ASCIIMathML markup syntax at handa ka nang mag-embed ng mga math formula sa iyong mga web page.

Ang anumang fractal ay binuo ayon sa isang tiyak na panuntunan, na patuloy na inilalapat ng walang limitasyong bilang ng beses. Ang bawat ganoong oras ay tinatawag na isang pag-ulit.

Ang umuulit na algorithm para sa paggawa ng isang Menger sponge ay medyo simple: ang orihinal na cube na may gilid 1 ay hinati ng mga eroplanong parallel sa mga mukha nito sa 27 pantay na cube. Ang isang gitnang kubo at 6 na kubo na katabi nito kasama ang mga mukha ay tinanggal mula dito. Ito ay lumiliko ang isang set na binubuo ng 20 natitirang mas maliliit na cubes. Ang paggawa ng pareho sa bawat isa sa mga cube na ito, nakakakuha kami ng isang set na binubuo ng 400 mas maliliit na cube. Ang pagpapatuloy ng prosesong ito nang walang katapusan, nakukuha namin ang Menger sponge.