Uniform probability distribution ng tuluy-tuloy na random variable. Unipormeng pamamahagi

Ang isyung ito ay matagal nang pinag-aralan nang detalyado, at ang pinakamalawak na ginagamit na paraan ay ang polar coordinate method, na iminungkahi nina George Box, Mervyn Muller at George Marsaglia noong 1958. Ang pamamaraang ito ay nagbibigay-daan sa amin na makakuha ng isang pares ng mga independiyenteng normally distributed random variable na may inaasahan 0 at variance 1 gaya ng sumusunod:

Kung saan ang Z 0 at Z 1 ay ang nais na mga halaga, ang s = u 2 + v 2, at ang u at v ay mga random na variable na pantay na ipinamamahagi sa pagitan (-1, 1), pinili sa paraang nasiyahan ang kundisyon 0< s < 1.
Maraming mga tao ang gumagamit ng mga formula na ito nang hindi nag-iisip, at marami ang hindi naghihinala sa kanilang pag-iral, dahil gumagamit sila ng mga handa na pagpapatupad. Ngunit may mga taong may mga tanong: “Saan nanggaling ang pormula na ito? At bakit nakakakuha ka ng ilang dami nang sabay-sabay?" Susunod, susubukan kong magbigay ng malinaw na sagot sa mga tanong na ito.

Upang magsimula sa, hayaan mo akong ipaalala sa iyo kung ano ang probability density, distribution function ng isang random variable at inverse function. Ipagpalagay na mayroong isang tiyak na random na variable, ang pamamahagi nito ay tinukoy ng density function f(x), na mayroong sumusunod na anyo:

Nangangahulugan ito na ang posibilidad na ang halaga ng isang naibigay na random na variable ay nasa pagitan (A, B) ay katumbas ng lugar ng may kulay na lugar. At bilang kinahinatnan, ang lugar ng buong shaded area ay dapat na katumbas ng isa, dahil sa anumang kaso ang halaga ng random variable ay mahuhulog sa domain ng kahulugan ng function f.
Ang distribution function ng isang random variable ay ang integral ng density function. At sa kasong ito, ang tinatayang hitsura nito ay magiging ganito:

Ang kahulugan dito ay ang halaga ng random na variable ay magiging mas mababa sa A na may probabilidad B. At bilang kinahinatnan, ang function ay hindi kailanman bumababa, at ang mga halaga nito ay nasa pagitan.

Ang inverse function ay isang function na nagbabalik ng argument sa orihinal na function kung ang halaga ng orihinal na function ay ipinasa dito. Halimbawa, para sa function na x 2 ang inverse ay ang function ng pagkuha ng ugat, para sa sin(x) ito ay arcsin(x), atbp.

Dahil karamihan sa mga generator pseudorandom na mga numero Dahil ang output ay nagbibigay lamang ng isang pare-parehong pamamahagi, madalas na kailangan itong ibahin ang anyo sa iba. Sa kasong ito, sa normal na Gaussian:

Ang batayan ng lahat ng mga paraan ng conversion pare-parehong pamamahagi sa alinmang iba ay ang inverse conversion method. Gumagana ito bilang mga sumusunod. Nahanap ang isang function na kabaligtaran sa function ng kinakailangang distribusyon, at isang random na variable na pantay na ipinamamahagi sa pagitan (0, 1) ay ipinapasa dito bilang isang argumento. Sa output nakakakuha kami ng isang halaga na may kinakailangang pamamahagi. Para sa kalinawan, ibibigay ko ang sumusunod na larawan.

Kaya, ang isang pare-parehong segment ay, kumbaga, pinahiran alinsunod sa bagong pamamahagi, na inaasahang papunta sa isa pang axis sa pamamagitan ng baligtad na pag-andar. Ngunit ang problema ay ang integral ng density ng isang Gaussian distribution ay hindi madaling kalkulahin, kaya ang mga siyentipiko sa itaas ay kailangang mandaya.

Mayroong chi-square distribution (Pearson distribution), na siyang distribusyon ng kabuuan ng mga parisukat ng k independent normal random variables. At sa kaso kung k = 2, ang distribusyon na ito ay exponential.

Nangangahulugan ito na kung ang isang punto sa isang rectangular coordinate system ay may random na X at Y na mga coordinate na ipinamamahagi nang normal, pagkatapos ay pagkatapos i-convert ang mga coordinate na ito sa polar system (r, θ), ang parisukat ng radius (ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto) ipapamahagi ayon sa exponential law, dahil ang parisukat ng radius ay ang kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate (ayon sa batas ng Pythagorean). Ang density ng pamamahagi ng naturang mga punto sa eroplano ay magiging ganito:

Dahil ito ay pantay sa lahat ng direksyon, ang anggulo θ ay magkakaroon ng pare-parehong distribusyon sa hanay mula 0 hanggang 2π. Totoo rin ang kabaligtaran: kung tutukuyin mo ang isang punto sa polar coordinate system gamit ang dalawang independiyenteng random na mga variable (isang anggulo na ibinahagi nang pantay at isang radius na ipinamamahagi nang exponential), kung gayon ang mga parihaba na coordinate ng puntong ito ay magiging independiyenteng normal na mga random na variable. At mas madaling makakuha ng exponential distribution mula sa isang unipormeng gamit ang parehong inverse transformation method. Ito ang kakanyahan ng pamamaraang polar Box-Muller.
Ngayon, kunin natin ang mga formula.

(1)

Upang makakuha ng r at θ, kinakailangan na makabuo ng dalawang random na variable na pantay na ipinamamahagi sa pagitan (0, 1) (tawagin natin silang u at v), ang distribusyon ng isa kung saan (sabihin nating v) ay dapat i-convert sa exponential sa makuha ang radius. Ang exponential distribution function ay ganito ang hitsura:

Ang inverse function nito ay:

Dahil ang pare-parehong pamamahagi ay simetriko, ang pagbabago ay gagana nang katulad sa function

Mula sa chi-square distribution formula sumusunod na λ = 0.5. Palitan ang λ, v sa function na ito at kunin ang parisukat ng radius, at pagkatapos ay ang radius mismo:

Nakukuha namin ang anggulo sa pamamagitan ng pag-stretch ng segment ng unit sa 2π:

Ngayon ay pinapalitan natin ang r at θ sa mga formula (1) at makuha ang:

(2)

Ang mga formula na ito ay handa nang gamitin. Ang X at Y ay magiging independyente at normal na ipinamamahagi na may pagkakaiba-iba ng 1 at isang mathematical na inaasahan na 0. Upang makakuha ng distribusyon na may iba pang mga katangian, sapat na upang i-multiply ang resulta ng function sa pamamagitan ng standard deviation at idagdag inaasahang halaga.
Ngunit mayroong isang paraan upang mapupuksa trigonometriko function, ang pagtatakda ng anggulo hindi direkta, ngunit hindi direkta sa pamamagitan ng mga parihabang coordinate ng isang random na punto sa bilog. Pagkatapos, sa pamamagitan ng mga coordinate na ito, posibleng kalkulahin ang haba ng radius vector, at pagkatapos ay hanapin ang cosine at sine sa pamamagitan ng paghahati ng x at y nito, ayon sa pagkakabanggit. Paano at bakit ito gumagana?
Pumili tayo ng random na punto mula sa mga pantay na ibinahagi sa isang bilog ng unit radius at tukuyin ang parisukat ng haba ng radius vector ng puntong ito sa pamamagitan ng titik s:

Ginagawa ang pagpili sa pamamagitan ng pagtukoy ng mga random na rectangular coordinate x at y, pantay na ipinamamahagi sa pagitan (-1, 1), at pagtatapon ng mga puntos na hindi kabilang sa bilog, pati na rin ang gitnang punto kung saan ang anggulo ng radius vector hindi nakalagay. Ibig sabihin, dapat matugunan ang kundisyon 0< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее malinaw na katotohanan- s ay magkakaroon din ng pare-parehong pamamahagi. Ang magreresultang s at θ ay magiging independyente sa isa't isa. Samakatuwid, maaari nating gamitin ang halaga ng s upang makakuha ng exponential distribution nang hindi bumubuo ng ikatlong random variable. Ipalit natin ngayon ang s sa mga formula (2) sa halip na v, at sa halip na mga trigonometric function, kalkulahin ang mga ito sa pamamagitan ng paghahati ng coordinate sa haba ng radius vector, na sa kasong ito ay ang ugat ng s:

Nakukuha namin ang mga formula tulad ng sa simula ng artikulo. Ang kawalan ng pamamaraang ito ay ang pagtatapon ng mga puntos na hindi kasama sa bilog. Iyon ay, gamit lamang ang 78.5% ng nabuong mga random na variable. Sa mas lumang mga computer, ang kakulangan ng mga function ng trigonometry ay isang malaking kalamangan. Ngayon, kapag kinakalkula ng isang utos ng processor ang parehong sine at cosine sa isang iglap, sa palagay ko ay maaari pa ring makipagkumpitensya ang mga pamamaraang ito.

Sa personal, mayroon pa akong dalawang katanungan:

• Bakit pantay-pantay ang halaga ng s?
• Bakit ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawang normal na random na mga variable ay ipinamamahagi nang exponentially?

Kung ang isang katulad na pagbabago ay ginawa para sa isang normal na random na variable, kung gayon ang density ng function ng parisukat nito ay magiging katulad ng isang hyperbola. At ang pagdaragdag ng dalawang parisukat ng mga normal na random na variable ay higit pa mahirap na proseso, na nauugnay sa dobleng pagsasama. At ang katotohanan na ang resulta ay magiging exponential distribution, kailangan ko lang suriin gamit ang praktikal na paraan o tanggapin bilang axiom. At para sa mga interesado, iminumungkahi ko na tingnan mo ang paksa, pagkakaroon ng kaalaman mula sa mga aklat na ito:

• Ventzel E.S. Teorya ng posibilidad
• Knut D.E. Ang Sining ng Programming, Tomo 2

Sa konklusyon, narito ang isang halimbawa ng pagpapatupad ng isang karaniwang ibinahagi na random na generator ng numero sa JavaScript:

Function Gauss() ( var ready = false; var second = 0.0; this.next = function(mean, dev) ( mean = mean == undefined ? 0.0: mean; dev = dev == undefined ? 1.0: dev; if ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - 1.0; s = u * u + v * v; ) habang (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = true; return r * v * dev + mean; ) ); ) g = new Gauss(); // lumikha ng isang bagay a = g.next(); // bumuo ng isang pares ng mga halaga at kunin ang una b = g.next(); // kunin ang pangalawang c = g.next(); // bumuo muli ng isang pares ng mga halaga at makuha ang una
Ang ibig sabihin ng mga parameter (pang-mathematical expectation) at dev (standard deviation) ay opsyonal. Iginuhit ko ang iyong pansin sa katotohanan na ang logarithm ay natural.

Bilang isang halimbawa ng isang tuluy-tuloy na random na variable, isaalang-alang ang isang random na variable X na pantay na ipinamamahagi sa pagitan (a; b). Ang random variable X ay sinasabing pantay na ipinamahagi sa pagitan (a; b), kung ang density ng pamamahagi nito ay hindi pare-pareho sa pagitan na ito:

Mula sa kondisyon ng normalisasyon natutukoy natin ang halaga ng pare-pareho c. Ang lugar sa ilalim ng curve ng density ng pamamahagi ay dapat na katumbas ng pagkakaisa, ngunit sa aming kaso ito ay ang lugar ng isang rektanggulo na may base (b - α) at ​​taas c (Fig. 1).

kanin. 1 Unipormeng density ng pamamahagi
Mula dito nakita namin ang halaga ng pare-pareho c:

Kaya, ang density ng isang pare-parehong ibinahagi na random na variable ay katumbas ng

Hanapin natin ngayon ang function ng pamamahagi gamit ang formula:
1) para sa
2) para sa
3) para sa 0+1+0=1.
kaya,

Ang pagpapaandar ng pamamahagi ay tuloy-tuloy at hindi bumababa (Larawan 2).

kanin. 2 Distribution function ng isang pare-parehong ipinamamahagi na random variable

Hahanapin natin mathematical na inaasahan ng isang pare-parehong ibinahagi na random variable ayon sa formula:

Pagpapakalat ng pare-parehong pamamahagi ay kinakalkula ng formula at katumbas ng

Halimbawa Blg. 1. Ang halaga ng paghahati ng sukat ng aparato sa pagsukat ay 0.2. Ang mga pagbabasa ng instrumento ay bilugan sa pinakamalapit na buong dibisyon. Hanapin ang posibilidad na magkaroon ng error habang nagbibilang: a) mas mababa sa 0.04; b) malaki 0.02
Solusyon. Ang error sa pag-round ay isang random na variable na pantay na ipinamamahagi sa pagitan ng mga katabing integer division. Isaalang-alang natin ang pagitan (0; 0.2) bilang isang dibisyon (Larawan a). Ang pag-ikot ay maaaring isagawa kapwa patungo sa kaliwang hangganan - 0, at patungo sa kanan - 0.2, na nangangahulugan na ang isang error na mas mababa sa o katumbas ng 0.04 ay maaaring gawin nang dalawang beses, na dapat isaalang-alang kapag kinakalkula ang posibilidad:



P = 0.2 + 0.2 = 0.4

Para sa pangalawang kaso, ang halaga ng error ay maaari ding lumampas sa 0.02 sa parehong mga hangganan ng dibisyon, iyon ay, maaari itong maging higit sa 0.02 o mas mababa sa 0.18.


Pagkatapos ang posibilidad ng isang error tulad nito:

Halimbawa Blg. 2. Ipinapalagay na ang katatagan ng sitwasyong pang-ekonomiya sa bansa (kawalan ng mga digmaan, natural na sakuna, atbp.) sa nakalipas na 50 taon ay maaaring hatulan ng likas na katangian ng pamamahagi ng populasyon ayon sa edad: sa isang kalmadong sitwasyon dapat itong uniporme. Bilang resulta ng pag-aaral, ang mga sumusunod na datos ay nakuha para sa isa sa mga bansa.

Isinasagawa namin ang solusyon gamit ang isang calculator. Pagsubok ng mga hypotheses. Talahanayan para sa pagkalkula ng mga tagapagpahiwatig.

Solusyon:
1. Maghanap ng mga pagtatantya ng mga parameter a * at b * ng pare-parehong pamamahagi gamit ang mga formula:


2. Hanapin ang density ng ipinapalagay na pare-parehong pamamahagi:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84.42 - 1.58) = 0.0121
3. Hanapin natin ang theoretical frequency:
n 1 = n*f(x)(x 1 - a *) = 1 * 0.0121(10-1.58) = 0.1
n 8 = n*f(x)(b * - x 7) = 1 * 0.0121(84.42-70) = 0.17
Ang natitirang n s ay magiging katumbas ng:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)

x(1) = min (x1,x2, ... xn) at x(2)= max(x1, x2, ...xn).

Patunayan na Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.

Random na halaga ibinahagi ayon sa batas ni Cauchy Hanapin ang: a) koepisyent a; b) pagpapaandar ng pamamahagi; c) ang posibilidad na mahulog sa pagitan (-1, 1). Ipakita na ang mathematical na inaasahan ng x ay hindi umiiral. Ang random variable ay napapailalim sa batas ni Laplace na may parameter na l (l>0): Hanapin ang koepisyent a; bumuo ng mga distribution density graph at distribution function; hanapin ang Mx at Dx; hanapin ang mga probabilidad ng mga kaganapan (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Sumulat ng formula para sa density ng pamamahagi, hanapin ang Mx at Dx.

Mga gawain sa computational.

Ang isang random na punto A ay may pare-parehong distribusyon sa isang bilog na radius R. Hanapin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng distansya r ng punto sa gitna ng bilog. Ipakita na ang halaga r2 ay pantay na ipinamamahagi sa segment.

Ang density ng pamamahagi ng isang random na variable ay may anyo:

Kalkulahin ang constant C, ang distribution function F(x), at ang probabilidad Ang density ng pamamahagi ng isang random na variable ay may anyo:

Kalkulahin ang constant C, ang distribution function F(x), at ang probabilidad Ang density ng pamamahagi ng isang random na variable ay may anyo:
Kalkulahin ang constant C, ang distribution function F(x), , variance at probability. Ang isang random variable ay may distribution function

Kalkulahin ang density ng isang random variable, mathematical expectation, variance at probability Suriin na ang function ay =
maaaring isang distribution function ng isang random variable. Hanapin ang mga numerical na katangian ng dami na ito: Mx at Dx. Ang random na variable ay pantay na ipinamamahagi sa segment. Isulat ang density ng pamamahagi. Hanapin ang function ng pamamahagi. Hanapin ang posibilidad ng isang random na variable na bumabagsak sa segment at sa segment. Ang density ng pamamahagi x ay katumbas ng

.

Hanapin ang pare-pareho c, ang density ng pamamahagi h = at ang posibilidad

P (0.25

Ang oras ng operasyon na walang kabiguan ng isang computer ay ipinamamahagi ayon sa isang exponential law na may parameter l = 0.05 (mga pagkabigo kada oras), ibig sabihin, mayroon itong function ng density

p(x) = .

Ang paglutas ng isang partikular na problema ay nangangailangan ng walang problemang pagpapatakbo ng makina sa loob ng 15 minuto. Kung ang isang pagkabigo ay nangyari habang nilulutas ang isang problema, ang error ay makikita lamang pagkatapos na makumpleto ang solusyon, at ang problema ay malulutas muli. Hanapin: a) ang posibilidad na sa panahon ng paglutas ng problema ay walang isang pagkabigo na magaganap; b) ang average na oras kung saan malulutas ang problema.

Ang isang baras na 24 cm ang haba ay nahahati sa dalawang bahagi; Ipagpalagay namin na ang break point ay ibinahagi nang pantay-pantay sa buong haba ng baras. Ano ang karaniwang haba ng karamihan sa pamalo? Ang isang piraso ng haba na 12 cm ay random na pinutol sa dalawang bahagi. Ang cut point ay pantay na ibinahagi sa buong haba ng segment. Ano ang average na haba ng maliit na bahagi ng segment? Ang random na variable ay pantay na ipinamamahagi sa segment. Hanapin ang density ng distribution ng random variable a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = .

Ipakita na kung ang x ay may tuluy-tuloy na function ng pamamahagi

F(x) = P(x

Hanapin ang density function at distribution function ng kabuuan ng dalawang independent quantity x at h na may pare-parehong mga batas sa pamamahagi sa mga segment at, ayon sa pagkakabanggit. Ang mga random na variable na x at h ay independyente at pantay na ipinamamahagi sa mga segment at, ayon sa pagkakabanggit. Kalkulahin ang density ng kabuuan x+h. Ang mga random na variable na x at h ay independyente at pantay na ipinamamahagi sa mga segment at, ayon sa pagkakabanggit. Kalkulahin ang density ng kabuuan x+h. Ang mga random na variable na x at h ay independyente at pantay na ipinamamahagi sa mga segment at, ayon sa pagkakabanggit. Kalkulahin ang density ng kabuuan x+h. Ang mga random na variable ay independyente at may exponential distribution na may density . Hanapin ang density ng pamamahagi ng kanilang kabuuan. Hanapin ang distribusyon ng kabuuan ng mga independiyenteng random na variable na x at h, kung saan ang x ay may pare-parehong distribusyon sa pagitan, at ang h ay may exponential distribution na may parameter na l. Hanapin si P , kung ang x ay may: a) normal na pamamahagi na may mga parameter a at s2; b) exponential distribution na may parameter l; c) pare-parehong pamamahagi sa segment [-1;1]. Ang pinagsamang pamamahagi ng x, h ay parisukat na uniporme
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Maghanap ng posibilidad . Independent ba ang x at h? Ang isang pares ng mga random na variable na x at h ay pantay na ipinamamahagi sa loob ng tatsulok na K=. Kalkulahin ang mga densidad x at h. Independyente ba ang mga random na variable na ito? Hanapin ang posibilidad. Ang mga random na variable na x at h ay independyente at pantay na ipinamamahagi sa mga segment at [-1,1]. Hanapin ang posibilidad. Ang dalawang-dimensional na random na variable (x, h) ay pantay na ipinamamahagi sa isang parisukat na may mga vertices (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Hanapin ang halaga ng joint distribution function sa punto (1, -1). Ang isang random na vector (x, h) ay pantay na ipinamamahagi sa loob ng isang bilog na radius 3 na nakasentro sa pinanggalingan. Sumulat ng isang expression para sa joint distribution density. Tukuyin kung ang mga random na variable na ito ay umaasa. Kalkulahin ang posibilidad. Ang isang pares ng mga random na variable na x at h ay pantay na ipinamamahagi sa loob ng isang trapezoid na may mga vertices sa mga puntos (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Hanapin ang pinagsamang density ng pamamahagi para sa pares na ito ng mga random na variable at ang density ng mga bahagi. Nakadepende ba ang x at h? Ang isang random na pares (x, h) ay pantay na ipinamamahagi sa loob ng kalahating bilog. Hanapin ang mga densidad x at h, siyasatin ang tanong ng kanilang pagtitiwala. Ang magkasanib na density ng dalawang random na variable na x at h ay katumbas ng .
Hanapin ang mga densidad x, h. Siyasatin ang tanong ng dependence ng x at h. Ang isang random na pares (x, h) ay pantay na ipinamamahagi sa set. Hanapin ang mga densidad x at h, siyasatin ang tanong ng kanilang pagtitiwala. Hanapin ang M(xh). Ang mga random na variable na x at h ay independyente at ibinahagi ayon sa exponential law na may parameter na Find

Sa tulong kung saan maraming mga tunay na proseso ang ginagaya. At ang pinakakaraniwang halimbawa ay ang iskedyul ng pampublikong sasakyan. Ipagpalagay na ang isang tiyak na bus (trolleybus/tram) tumatakbo tuwing 10 minuto, at huminto ka sa isang random na sandali sa oras. Ano ang posibilidad na dumating ang bus sa loob ng 1 minuto? Malinaw na 1/10th. Ano ang posibilidad na kailangan mong maghintay ng 4-5 minuto? Parehong . Ano ang posibilidad na maghintay ka ng bus nang higit sa 9 na minuto? Isang ikasampu!

Isaalang-alang natin ang ilan may hangganan pagitan, hayaan para sa katiyakan na ito ay isang segment. Kung random na halaga may pare-pareho density ng pamamahagi ng posibilidad sa isang ibinigay na segment at zero density sa labas nito, pagkatapos ay sinasabi nila na ito ay ipinamamahagi pantay-pantay. Sa kasong ito, ang pagpapaandar ng density ay mahigpit na tutukuyin:

Sa katunayan, kung ang haba ng segment (tingnan ang pagguhit) ay , kung gayon ang halaga ay hindi maiiwasang pantay - upang ang unit area ng rektanggulo ay makuha, at ito ay sinusunod kilalang ari-arian:


Suriin natin ito nang pormal:
, atbp. Mula sa isang probabilistic point of view, nangangahulugan ito na ang random variable mapagkakatiwalaan will take one of the values ​​of the segment..., eh, unti-unti na akong nagiging boring na matanda =)

Ang kakanyahan ng pagkakapareho ay ang anumang panloob na puwang nakapirming haba hindi namin isinasaalang-alang (tandaan ang "bus" minuto)– ang posibilidad na ang isang random na variable ay kukuha ng isang halaga mula sa pagitan na ito ay magiging pareho. Sa pagguhit ay na-shade ko ang tatlong gayong mga probabilidad - muli kong binibigyang-diin iyon ang mga ito ay tinutukoy ng mga lugar, hindi mga halaga ng function!

Isaalang-alang natin ang isang karaniwang gawain:

Halimbawa 1

Ang isang tuluy-tuloy na random na variable ay tinukoy ng density ng pamamahagi nito:

Hanapin ang pare-pareho, kalkulahin at i-compose ang distribution function. Bumuo ng mga graph. Hanapin

Sa madaling salita, lahat ng pwede mong pangarapin :)

Solusyon: dahil sa pagitan (may hangganang pagitan) , pagkatapos ay ang random na variable ay may pare-parehong pamamahagi, at ang halaga ng "ce" ay matatagpuan gamit ang direktang formula . Ngunit mas mabuti ito sa pangkalahatang paraan - gamit ang isang property:

...bakit mas maganda? Upang walang mga hindi kinakailangang katanungan;)

Kaya ang density function ay:

Gawin natin ang pagguhit. Mga halaga imposible , at samakatuwid ang mga bold na tuldok ay inilalagay sa ibaba:


Bilang isang mabilis na pagsusuri, kalkulahin natin ang lugar ng rektanggulo:
, atbp.

Hanapin natin inaasahang halaga, at malamang na mahulaan mo na kung ano ang katumbas nito. Tandaan ang "10 minutong" bus: kung nang random papalapit sa hintuan ng maraming, maraming araw, pagkatapos karaniwan kailangan mo siyang hintayin ng 5 minuto.

Oo, tama iyan - ang inaasahan ay dapat na eksaktong nasa gitna ng pagitan ng "kaganapan":
, tulad ng inaasahan.

Kalkulahin natin ang pagkakaiba gamit pormula . At dito kailangan mo ng mata at mata kapag kinakalkula ang integral:

kaya, pagpapakalat:

Mag-compose tayo function ng pamamahagi . Walang bago dito:

1) kung , pagkatapos at ;

2) kung , pagkatapos at:

3) at sa wakas, kung kailan , Kaya naman:

Ang resulta:

Gawin natin ang pagguhit:


Sa "live" na pagitan, ang distribution function lumalaki linear, at ito ay isa pang senyales na mayroon tayong pantay na ipinamamahaging random variable. Well, siyempre, pagkatapos ng lahat derivative linear function- may pare-pareho.

Ang kinakailangang probabilidad ay maaaring kalkulahin sa dalawang paraan, gamit ang nahanap na function ng pamamahagi:

o paggamit ng isang tiyak na integral ng density:

Kung sino man ang may gusto nito.

At dito ka rin magsulat sagot: ,
, ang mga graph ay binuo kasama ang solusyon.

... “posible” dahil karaniwang walang parusa sa kawalan nito. Karaniwan;)

Mayroong mga espesyal na formula para sa pagkalkula ng isang pare-parehong random na variable, na iminumungkahi kong kunin mo ang iyong sarili:

Halimbawa 2

Ang isang tuluy-tuloy na random na variable ay ibinibigay sa pamamagitan ng density .

Kalkulahin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba. Pasimplehin ang mga resulta hangga't maaari (pinaikling mga pormula ng pagpaparami para tumulong).

Ang mga resultang formula ay maginhawang gamitin para sa pag-verify; lalo na, suriin ang problema na nalutas mo lamang sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga tiyak na halaga ng "a" at "b" sa mga ito. Maikling solusyon sa ibaba ng pahina.

At sa pagtatapos ng aralin, titingnan natin ang ilang mga problema sa "teksto":

Halimbawa 3

Ang halaga ng paghahati ng sukat ng aparato sa pagsukat ay 0.2. Ang mga pagbabasa ng instrumento ay bilugan sa pinakamalapit na buong dibisyon. Ipagpalagay na ang mga error sa pag-ikot ay naipamahagi nang pantay, hanapin ang posibilidad na sa susunod na pagsukat ay hindi ito lalampas sa 0.04.

Para sa mas magandang pang-unawa mga solusyon Isipin natin na ito ay isang uri ng mekanikal na aparato na may isang arrow, halimbawa, isang sukat na may halaga ng paghahati na 0.2 kg, at kailangan nating timbangin ang isang baboy sa isang sundot. Ngunit hindi upang malaman ang kanyang katabaan - ngayon ay magiging mahalaga kung SAAN huminto ang arrow sa pagitan ng dalawang katabing dibisyon.

Isaalang-alang natin ang isang random na variable - distansya mga arrow mula sa pinakamalapit kaliwang dibisyon. O mula sa pinakamalapit sa kanan, hindi mahalaga.

Buuin natin ang probability density function:

1) Dahil ang distansya ay hindi maaaring negatibo, pagkatapos ay sa pagitan . Lohikal.

2) Mula sa kondisyon na sumusunod na ang arrow ng mga kaliskis na may pantay na posibilidad maaaring huminto kahit saan sa pagitan ng mga dibisyon * , kabilang ang mga dibisyon mismo, at samakatuwid ay nasa pagitan:

* Ito ay isang mahalagang kondisyon. Kaya, halimbawa, kapag tumitimbang ng mga piraso ng cotton wool o kilo na pakete ng asin, pananatilihin ang pagkakapareho sa mas makitid na pagitan.

3) At dahil ang distansya mula sa PINAKAMlapit na kaliwang dibisyon ay hindi maaaring mas malaki sa 0.2, kung gayon ang sa ay katumbas din ng zero.

kaya:

Dapat pansinin na walang nagtanong sa amin tungkol sa pagpapaandar ng density, at ipinakita ko ang kumpletong pagtatayo nito nang eksklusibo sa mga cognitive chain. Kapag natapos ang gawain, sapat na upang isulat lamang ang 2nd point.

Ngayon sagutin natin ang tanong ng problema. Kailan hindi lalampas sa 0.04 ang error sa pag-round sa pinakamalapit na dibisyon? Mangyayari ito kapag huminto ang arrow nang hindi hihigit sa 0.04 mula sa kaliwang dibisyon sa kanan o hindi hihigit sa 0.04 mula sa tamang dibisyon umalis. Sa pagguhit ay nilagyan ko ng kulay ang mga kaukulang lugar:

Ito ay nananatili upang mahanap ang mga lugar na ito gamit ang mga integral. Sa prinsipyo, maaari silang kalkulahin "sa fashion ng paaralan" (tulad ng mga lugar ng mga parihaba), ngunit ang pagiging simple ay hindi palaging nauunawaan;)

Sa pamamagitan ng ang teorama ng pagdaragdag ng mga probabilidad ng mga hindi tugmang kaganapan:

– ang posibilidad na ang error sa pag-ikot ay hindi lalampas sa 0.04 (40 gramo para sa aming halimbawa)

Madaling makita na ang maximum na posibleng error sa pag-ikot ay 0.1 (100 gramo) at samakatuwid posibilidad na ang error sa pag-ikot ay hindi lalampas sa 0.1 katumbas ng isa.

Sagot: 0,4

May mga alternatibong paliwanag/pormulasyon ng problemang ito sa ibang mga mapagkukunan ng impormasyon, at pinili ko ang opsyon na tila pinaka-maiintindihan sa akin. Espesyal na atensyon ito ay kinakailangan upang bigyang-pansin ang katotohanan na sa kondisyon maaari naming makipag-usap tungkol sa mga error HINDI rounding, ngunit tungkol sa random mga error sa pagsukat, na kadalasan (ngunit hindi palagi), ipinamahagi sa ibabaw normal na batas. kaya, Isang salita lang ang makakapagpabago ng iyong desisyon! Maging alerto at unawain ang kahulugan.

At sa sandaling lumiko ang lahat, dinadala kami ng aming mga paa sa parehong hintuan ng bus:

Halimbawa 4

Ang mga bus sa isang partikular na ruta ay tumatakbo nang mahigpit sa iskedyul at bawat 7 minuto. Bumuo ng isang function ng density ng isang random na variable - ang oras ng paghihintay para sa susunod na bus ng isang pasahero na random na lumapit sa hintuan. Hanapin ang posibilidad na maghintay siya ng bus nang hindi hihigit sa tatlong minuto. Hanapin ang distribution function at ipaliwanag ang makabuluhang kahulugan nito.

Unipormeng pamamahagi. Random na halaga X ay may kahulugan ng mga coordinate ng isang punto na pinili nang random sa isang segment

[a, b. Uniform density ng pamamahagi ng isang random na variable X(Larawan 10.5, A) maaaring tukuyin bilang:

kanin. 10.5. Unipormeng pamamahagi ng isang random na variable: A- density ng pamamahagi; b- function ng pamamahagi

Random na Variable Distribution Function X ay may anyo:

Ang graph ng pare-parehong function ng pamamahagi ay ipinapakita sa Fig. 10.5, b.

Kinakalkula namin ang pagbabago ng Laplace ng isang pare-parehong pamamahagi gamit ang (10.3):

Ang inaasahang halaga at pagkakaiba ay madaling kalkulahin nang direkta mula sa kaukulang mga kahulugan:

Ang mga katulad na formula para sa mathematical na inaasahan at dispersion ay maaari ding makuha gamit ang Laplace transform gamit ang mga formula (10.8), (10.9).

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng isang sistema ng serbisyo na maaaring ilarawan ng isang pare-parehong pamamahagi.

Ang trapiko sa intersection ay kinokontrol ng isang awtomatikong traffic light, kung saan naka-on ang berdeng ilaw sa loob ng 1 minuto at pula sa loob ng 0.5 minuto. Ang mga driver ay lumalapit sa intersection sa mga random na oras na may pare-parehong pamamahagi na hindi nauugnay sa pagpapatakbo ng ilaw ng trapiko. Hanapin natin ang posibilidad na madaanan ng kotse ang intersection nang walang tigil.

Ang sandaling dumaan ang isang kotse sa intersection ay ibinahagi nang pantay sa pagitan ng 1 + 0.5 = 1.5 minuto. Ang sasakyan ay dadaan sa intersection nang hindi humihinto kung ang sandali ng pagdaan sa intersection ay nasa loob ng agwat ng oras. Para sa isang pare-parehong ibinahagi na random na variable sa isang pagitan, ang posibilidad na mahulog sa pagitan ay 1/1.5=2/3. Ang oras ng paghihintay Гож ay isang mixed random variable. Sa probabilidad na 2/3 ito ay katumbas ng zero, at sa probabilidad na 0.5/1.5 ito ay tumatagal ng anumang halaga sa pagitan ng 0 at 0.5 min. Samakatuwid, ang average na oras ng paghihintay at pagkakaiba sa intersection

Exponential (exponential) distribution. Para sa isang exponential distribution, ang distribution density ng isang random variable ay maaaring isulat bilang:

kung saan ang A ay tinatawag na parameter ng pamamahagi.

Ang probability density graph ng exponential distribution ay ipinapakita sa Fig. 10.6, A.

Ang distribution function ng isang random variable na may exponential distribution ay may anyo

kanin. 10.6. Exponential distribution ng isang random variable: A- density ng pamamahagi; b - function ng pamamahagi

Ang graph ng exponential distribution function ay ipinapakita sa Fig. 10.6, 6.

Kinakalkula namin ang pagbabago ng Laplace ng exponential distribution gamit ang (10.3):

Ipakita natin iyon para sa isang random na variable X, pagkakaroon ng exponential distribution, ang mathematical expectation ay katumbas ng standard deviation a at inversely sa parameter A:

Kaya, para sa exponential distribution mayroon tayo: Maaari din itong ipakita na

mga. Ang exponential distribution ay ganap na nailalarawan sa pamamagitan ng mean o parameter X .

Ang exponential distribution ay may ilang kapaki-pakinabang na katangian na ginagamit sa pagmomodelo ng mga sistema ng serbisyo. Halimbawa, wala itong memorya. Kailan , Iyon

Sa madaling salita, kung ang random na variable ay tumutugma sa oras, kung gayon ang pamamahagi ng natitirang tagal ay hindi nakasalalay sa oras na lumipas na. Ang ari-arian na ito ay inilalarawan sa Fig. 10.7.

kanin. 10.7.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng isang system na ang mga operating parameter ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng isang exponential distribution.

Kapag gumagana ang isang device, nangyayari ang mga malfunction sa random na oras. Oras ng pagpapatakbo ng device T mula sa paglipat nito hanggang sa paglitaw ng isang malfunction ay ipinamamahagi ayon sa isang exponential law na may parameter X. Kung ang isang madepektong paggawa ay napansin, ang aparato ay agad na nag-aayos, na tumatagal ng oras / 0. Hanapin natin ang density at distribution function ng time interval Г sa pagitan ng dalawang magkatabing fault, ang mathematical expectation at dispersion, pati na rin ang probabilidad na ang oras T x magkakaroon pa 2t 0 .

Simula noon

Normal na pamamahagi. Ang normal ay ang probability distribution ng isang tuluy-tuloy na random variable, na inilalarawan ng density

Mula sa (10.48) sumusunod na ang normal na distribusyon ay tinutukoy ng dalawang parameter - ang inaasahan sa matematika T at pagpapakalat a 2. Probability density graph ng isang random variable na may normal na distribution sa t= 0, at 2 =1 ay ipinapakita sa Fig. 10.8, A.

kanin. 10.8. Normal na batas sa pamamahagi ng isang random na variable sa T= 0, st 2 = 1: A- density ng posibilidad; 6 - function ng pamamahagi

Ang function ng pamamahagi ay inilalarawan ng formula

Graph ng probability distribution function ng isang normally distributed random variable sa T= 0, at 2 = 1 ay ipinapakita sa Fig. 10.8, b.

Alamin natin ang posibilidad na X kukuha ng halagang kabilang sa pagitan (a, p):

saan ay ang Laplace function, at ang posibilidad na

na ang absolute value ng deviation ay mas mababa sa positive number 6:

Sa partikular, kapag t = 0 ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Tulad ng nakikita mo, ang isang random na variable na may normal na distribusyon ay maaaring tumagal ng parehong positibo at negatibong mga halaga. Samakatuwid, upang makalkula ang mga sandali, kinakailangan na gumamit ng two-way na pagbabago ng Laplace

Gayunpaman, ang integral na ito ay hindi kinakailangang umiiral. Kung ito ay umiiral, sa halip na (10.50) ang expression ay karaniwang ginagamit

na tinatawag na katangiang pag-andar o pagbuo ng function ng mga sandali.

Kalkulahin natin ang pagbuo ng function ng mga sandali ng normal na distribusyon gamit ang formula (10.51):

Matapos baguhin ang numerator ng subexponential expression sa form na nakukuha natin

integral

dahil ito ang integral ng normal na probability density sa mga parameter t + kaya 2 at isang 2. Kaya naman,

Differentiating (10.52), nakuha namin

Mula sa mga ekspresyong ito makikita mo ang mga sumusunod na punto:

Ang normal na distribusyon ay malawakang ginagamit sa pagsasanay, dahil, ayon sa central limit theorem, kung ang isang random na variable ay ang kabuuan ng isang napakalaking bilang ng mutually independent random variable, ang impluwensya ng bawat isa sa kabuuan ay bale-wala, kung gayon ito ay may distribusyon na malapit sa normal.

Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng isang sistema na ang mga parameter ay maaaring ilarawan ng isang normal na distribusyon.

Ang kumpanya ay gumagawa ng isang bahagi ng isang naibigay na laki. Ang kalidad ng isang bahagi ay tinatasa sa pamamagitan ng pagsukat sa laki nito. Ang mga random na error sa pagsukat ay napapailalim sa normal na batas na may standard deviation A- Yumkm. Hanapin natin ang posibilidad na ang error sa pagsukat ay hindi lalampas sa 15 microns.

Mula sa (10.49) nakita namin

Para sa kadalian ng paggamit ng mga isinasaalang-alang na pamamahagi, ibubuod namin ang mga nakuhang formula sa Talahanayan. 10.1 at 10.2.

Talahanayan 10.1. Mga pangunahing katangian ng tuluy-tuloy na pamamahagi

Talahanayan 10.2. Bumubuo ng mga function ng tuluy-tuloy na pamamahagi

CONTROL QUESTIONS

• 1. Anong mga pamamahagi ng posibilidad ang itinuturing na tuloy-tuloy?
• 2. Ano ang pagbabago ng Laplace-Stieltjes? Ano ang gamit nito?
• 3. Paano makalkula ang mga sandali ng mga random na variable gamit ang pagbabagong-anyo ng Laplace-Stieltjes?
• 4. Ano ang pagbabago ng Laplace ng isang kabuuan ng mga independiyenteng random na variable?
• 5. Paano makalkula ang average na oras at pagkakaiba-iba ng oras ng paglipat ng isang system mula sa isang estado patungo sa isa pa gamit ang mga signal graph?
• 6. Ibigay ang mga pangunahing katangian ng pare-parehong pamamahagi. Magbigay ng mga halimbawa ng paggamit nito sa mga gawaing paglilingkod.
• 7. Ibigay ang mga pangunahing katangian ng exponential distribution. Magbigay ng mga halimbawa ng paggamit nito sa mga gawaing paglilingkod.
• 8. Ibigay ang mga pangunahing katangian ng isang normal na distribusyon. Magbigay ng mga halimbawa ng paggamit nito sa mga gawaing paglilingkod.