Talaan ng mga inverse function. Inverse trigonometriko function, ang kanilang mga graph at formula

Inverse ang function sa cosine

Ang hanay ng function na y=cos x (tingnan ang Fig. 2) ay isang segment. Sa agwat, ang function ay tuloy-tuloy at monotonically bumababa.

kanin. 2

Nangangahulugan ito na ang isang function ay tinukoy sa pagitan na kabaligtaran sa function na y=cos x. Ang inverse function na ito ay tinatawag na arccosine at denoted y=arccos x .

Kahulugan

Ang arccosine ng numerong a, kung |a|1, ay ang anggulo na ang cosine ay kabilang sa segment; ito ay itinalagang arccos a.

Kaya, ang arccos a ay isang anggulo na nakakatugon sa sumusunod na dalawang kundisyon: cos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?r.

Halimbawa, arccos, dahil cos at; arccos, dahil cos.

Ang function na y = arccos x (Fig. 3) ay tinukoy sa isang segment, ang saklaw nito ay isang segment. Sa segment, ang function na y=arccos x ay tuloy-tuloy at monotonically bumababa mula p hanggang 0 (dahil ang y=cos x ay isang tuluy-tuloy at monotonically decreasing function sa segment); sa mga dulo ng segment, naabot nito ang mga sukdulang halaga nito: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Tandaan na arccos 0 = . Ang graph ng function na y \u003d arccos x (tingnan ang Fig. 3) ay simetriko sa graph ng function na y \u003d cos x na may paggalang sa tuwid na linya y \u003d x.

kanin. 3

Ipakita natin na ang equality arccos(-x) = p-arccos x ay nagaganap.

Sa katunayan, ayon sa kahulugan, 0 ? arccos x? R. Ang pagpaparami ng (-1) sa lahat ng bahagi ng huling dobleng hindi pagkakapantay-pantay, makuha natin - p? arccos x? 0. Pagdaragdag ng p sa lahat ng bahagi ng huling hindi pagkakapantay-pantay, makikita natin na 0? p-arccos x? R.

Kaya, ang mga halaga ng mga anggulo arccos (-x) at p - arccos x ay nabibilang sa parehong segment. Dahil monotonically bumababa ang cosine sa isang segment, hindi maaaring magkaroon ng dalawang magkaibang anggulo dito na may magkaparehong cosine. Hanapin ang mga cosine ng mga anggulong arccos(-x) at p-arccos x. Sa pamamagitan ng kahulugan cos (arccos x) = - x, ayon sa mga pormula ng pagbabawas at ayon sa kahulugan mayroon tayo: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Kaya, ang mga cosine ng mga anggulo ay pantay, na nangangahulugan na ang mga anggulo mismo ay pantay.

Inverse ang function sa sine

Isaalang-alang ang function na y=sin x (Larawan 6), na sa segment [-p/2; p/2] ay tumataas, tuluy-tuloy at kumukuha ng mga halaga mula sa segment [-1; isa]. Samakatuwid, sa segment [- p / 2; p/2] ang isang function ay tinukoy na kabaligtaran sa function na y=sin x.

kanin. 6

Ang inverse function na ito ay tinatawag na arcsine at denoted y=arcsin x. Ipinakilala namin ang kahulugan ng arcsine ng numero a.

Ang arcsine ng numerong a, kung tinatawag nila ang anggulo (o arko), ang sine kung saan ay katumbas ng bilang a at alin ang kabilang sa segment [-p/2; p/2]; ito ay itinalagang arcsin a.

Kaya, ang arcsin a ay isang anggulo na nakakatugon sa mga sumusunod na kondisyon: sin (arcsin a)=a, |a| ?isa; -r/2 ? arcsin huh? p/2. Halimbawa, dahil kasalanan at [- p/2; p/2]; arcsin since sin = at [-p/2; p/2].

Ang function na y=arcsin x (Fig. 7) ay tinukoy sa segment [- 1; 1], ang saklaw nito ay ang segment [-р/2;р/2]. Sa segment [- 1; 1] ang function na y=arcsin x ay tuloy-tuloy at monotonically na tumataas mula -p/2 hanggang p/2 (ito ay sumusunod sa katotohanan na ang function na y=sin x sa segment [-p/2; p/2] ay tuloy-tuloy at monotonically pagtaas). Pinakamataas na halaga ito ay tumatagal sa x \u003d 1: arcsin 1 \u003d p / 2, at ang pinakamaliit - sa x \u003d -1: arcsin (-1) \u003d -r / 2. Sa x \u003d 0, ang function ay zero: arcsin 0 \u003d 0.

Ipakita natin na ang function na y = arcsin x ay kakaiba, i.e. arcsin(-x)= - arcsin x para sa anumang x [ - 1; 1].

Sa katunayan, ayon sa kahulugan, kung |x| ?1, mayroon kaming: - р/2 ? arcsin x ? ? p/2. Kaya ang mga anggulo ay arcsin(-x) at - arcsin x nabibilang sa parehong segment [ - p/2; p/2].

Hanapin ang mga sine ng mga ito anggulo: sin (arcsin (-x)) = - x (sa pamamagitan ng kahulugan); dahil ang function na y \u003d sin x ay kakaiba, pagkatapos ay kasalanan (-arcsin x) \u003d - sin (arcsin x) \u003d - x. Kaya, ang mga sine ng mga anggulo na kabilang sa parehong pagitan [-p/2; p/2], ay pantay, na nangangahulugan na ang mga anggulo mismo ay pantay, i.e. arcsin (-x) = - arcsin x. Kaya, ang function na y=arcsin x ay kakaiba. Ang graph ng function na y=arcsin x ay simetriko na may kinalaman sa pinagmulan.

Ipakita natin na ang arcsin (sin x) = x para sa anumang x [-p/2; p/2].

Sa katunayan, ayon sa kahulugan -p/2 ? arcsin (sin x) ? р/2, at ayon sa kondisyon -р/2 ? x? p/2. Nangangahulugan ito na ang mga anggulo x at arcsin (sin x) ay nabibilang sa parehong pagitan ng monotonicity ng function na y=sin x. Kung ang mga sine ng naturang mga anggulo ay pantay, kung gayon ang mga anggulo mismo ay pantay. Hanapin natin ang mga sine ng mga anggulong ito: para sa anggulo x mayroon tayong sin x, para sa anggulong arcsin (sin x) mayroon tayong kasalanan (arcsin (sin x)) = sin x. Nakuha namin na ang mga sine ng mga anggulo ay pantay, samakatuwid, ang mga anggulo ay pantay, i.e. arcsin (sin x) = x. .

kanin. 7

kanin. 8

Ang graph ng arcsin (sin|x|) function ay nakukuha ng karaniwang modulo transformations mula sa graph y=arcsin (sin x) (inilalarawan ng dashed line sa Fig. 8). Ang nais na graph y=arcsin (sin |x-/4|) ay nakuha mula dito sa pamamagitan ng paglilipat ng /4 pakanan kasama ang x-axis (inilalarawan ng isang solidong linya sa Fig. 8)

Function inverse sa tangent

Ang function na y=tg x sa pagitan ay tumatagal ng lahat ng mga numerong halaga: E (tg x)=. Sa agwat na ito, ito ay tuloy-tuloy at monotonically na tumataas. Kaya, ang isang function ay tinukoy sa pagitan na kabaligtaran sa function na y = tg x. Ang inverse function na ito ay tinatawag na arc tangent at denoted y = arctg x.

Ang arc tangent ng numero a ay ang anggulo mula sa pagitan, ang padaplis nito ay katumbas ng a. Kaya, ang arctg a ay isang anggulo na nakakatugon sa mga sumusunod na kondisyon: tg (arctg a) = a at 0 ? arctg a ? R.

Kaya, ang anumang numero x ay palaging tumutugma sa tanging halaga ng function na y \u003d arctg x (Larawan 9).

Malinaw, D (arctg x) = , E (arctg x) = .

Ang function na y = arctg x ay tumataas dahil ang function y = tg x ay tumataas sa pagitan. Madaling patunayan na ang arctg(-x) = - arctgx, i.e. na ang arc tangent ay isang kakaibang function.

kanin. 9

Ang graph ng function na y = arctg x ay simetriko sa graph ng function na y = tg x na may paggalang sa tuwid na linya y = x, ang graph y = arctg x ay dumadaan sa pinanggalingan (dahil arctan 0 = 0) at ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan (bilang ang graph ng isang kakaibang function).

Mapapatunayan na ang arctg (tg x) = x kung x.

Cotangent inverse function

Ang function na y = ctg x sa pagitan ay kumukuha ng lahat ng mga numerong halaga mula sa pagitan. Ang hanay ng mga halaga nito ay tumutugma sa hanay ng lahat ng tunay na numero. Sa pagitan, ang function na y = ctg x ay tuloy-tuloy at monotonically tumataas. Samakatuwid, ang isang function ay tinukoy sa pagitan na ito na kabaligtaran sa function na y = ctg x. Ang kabaligtaran na pag-andar ng cotangent ay tinatawag na arc cotangent at ipinapahiwatig na y = arcctg x.

Ang arc tangent ng numero a ay ang anggulo na kabilang sa pagitan, ang cotangent nito ay katumbas ng a.

Kaya, ang arcctg a ay isang anggulo na nakakatugon sa mga sumusunod na kondisyon: ctg (arcctg a)=a at 0 ? arcctg a ? R.

Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng inverse function at ang kahulugan ng arc tangent na D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Ang arc tangent ay isang nagpapababang function dahil ang function na y = ctg x ay bumababa sa pagitan.

Ang graph ng function na y \u003d arcctg x ay hindi tumatawid sa Ox axis, dahil y\u003e 0 R. Sa x \u003d 0 y \u003d arcctg 0 \u003d.

Ang graph ng function na y = arcctg x ay ipinapakita sa Figure 11.

kanin. 11

Tandaan na para sa lahat ng tunay na halaga ng x, ang pagkakakilanlan ay totoo: arcctg(-x) = p-arcctg x.

Ang mga inverse trigonometric function ay mga mathematical function na kabaligtaran ng trigonometric functions.

Function y=arcsin(x)

Ang arcsine ng numerong α ay isang bilang na α mula sa pagitan [-π/2; π/2], na ang sine ay katumbas ng α.
Function Graph
Ang function na y \u003d sin⁡ (x) sa pagitan [-π / 2; π / 2], ay mahigpit na tumataas at tuluy-tuloy; samakatuwid, mayroon itong kabaligtaran na pag-andar na mahigpit na tumataas at tuluy-tuloy.
Ang inverse function para sa function na y= sin⁡(x), kung saan ang x ∈[-π/2;π/2], ay tinatawag na arcsine at ipinapahiwatig ang y=arcsin(x), kung saan ang x∈[-1;1 ].
Kaya, ayon sa kahulugan ng inverse function, ang domain ng kahulugan ng arcsine ay ang segment [-1; 1], at ang hanay ng mga halaga ay ang segment [-π/2; π/2].
Tandaan na ang graph ng function na y=arcsin(x), kung saan ang x ∈[-1;1].ay simetriko sa graph ng function na y= sin(⁡x), kung saan ang x∈[-π/2;π /2], na may paggalang sa bisector ng mga anggulo ng coordinate una at ikatlong quarter.

Ang saklaw ng function y=arcsin(x).

Halimbawa numero 1.

Hanapin ang arcsin(1/2)?

Dahil ang hanay ng function na arcsin(x) ay kabilang sa pagitan [-π/2;π/2], ang halaga lamang na π/6 ang angkop. Samakatuwid, arcsin(1/2) = π/6.
Sagot: π/6

Halimbawa #2.
Hanapin ang arcsin(-(√3)/2)?

Dahil ang hanay ng arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2], ang halaga lamang na -π/3 ang angkop. Samakatuwid, arcsin(-(√3)/2) =- π/3.

Function y=arccos(x)

Ang arccosine ng isang numerong α ay isang numerong α mula sa pagitan na ang cosine ay katumbas ng α.

Function Graph

Ang function na y= cos(⁡x) sa pagitan ay mahigpit na bumababa at tuloy-tuloy; samakatuwid, mayroon itong kabaligtaran na pag-andar na mahigpit na bumababa at tuloy-tuloy.
Ang inverse function para sa function na y= cos⁡x, kung saan x ∈, ay tinatawag arc cosine at denoted y=arccos(x), kung saan x ∈[-1;1].
Kaya, ayon sa kahulugan ng inverse function, ang domain ng kahulugan ng arccosine ay ang segment [-1; 1], at ang hanay ng mga halaga ay ang segment.
Tandaan na ang graph ng function na y=arccos(x), kung saan ang x ∈[-1;1] ay simetriko sa graph ng function na y= cos(⁡x), kung saan ang x ∈, na may paggalang sa bisector ng i-coordinate ang mga anggulo ng una at ikatlong quarter.

Ang saklaw ng function y=arccos(x).

Halimbawa #3.

Maghanap ng mga arccos(1/2)?

Dahil ang hanay ng mga arccos(x) ay x∈, ang halagang π/3 lamang ang angkop. Samakatuwid, arccos(1/2) =π/3.
Halimbawa numero 4.
Hanapin ang arccos(-(√2)/2)?

Dahil ang hanay ng function na arccos(x) ay kabilang sa interval , kung gayon ang value na 3π/4 lamang ang angkop. Samakatuwid, arccos(-(√2)/2) =3π/4.

Sagot: 3π/4

Function y=arctg(x)

Ang arc tangent ng isang numerong α ay isang numerong α mula sa pagitan [-π/2; π/2], na ang tangent ay katumbas ng α.

Function Graph

Ang tangent function ay tuloy-tuloy at mahigpit na tumataas sa pagitan (-π/2; π/2); samakatuwid, mayroon itong kabaligtaran na pag-andar na tuloy-tuloy at mahigpit na tumataas.
Ang inverse function para sa function na y= tg⁡(x), kung saan x∈(-π/2;π/2); ay tinatawag na arctangent at denoted y=arctg(x), kung saan x∈R.
Kaya, ayon sa kahulugan ng inverse function, ang domain ng kahulugan ng arctangent ay ang agwat (-∞; +∞), at ang hanay ng mga halaga ay ang agwat.
(-π/2;π/2).
Tandaan na ang graph ng function na y=arctg(x), kung saan ang x∈R, ay simetriko sa graph ng function na y=tg⁡x, kung saan ang x ∈ (-π/2;π/2), na may kinalaman sa ang bisector ng mga coordinate na anggulo ng una at ikatlong quarter.

Ang saklaw ng function y=arctg(x).

Halimbawa #5?

Hanapin ang arctg((√3)/3).

Dahil ang hanay ng arctan(x) x ∈(-π/2;π/2), tanging ang value na π/6 lang ang angkop. Samakatuwid, arctg((√3)/3) =π/6.
Halimbawa numero 6.
Hanapin ang arctg(-1)?

Dahil ang hanay ng arctg(x) x ∈(-π/2;π/2), tanging ang value -π/4 lang ang angkop. Samakatuwid, arctg(-1) = - π/4.

Function y=arctg(x)

Ang arc tangent ng isang numerong α ay isang numerong α mula sa pagitan (0; π) na ang cotangent ay katumbas ng α.

Function Graph

Sa pagitan (0;π), ang cotangent function ay mahigpit na bumababa; bukod dito, ito ay tuloy-tuloy sa bawat punto ng agwat na ito; samakatuwid, sa pagitan (0;π), ang function na ito ay may kabaligtaran na function na mahigpit na bumababa at tuluy-tuloy.
Ang inverse function para sa function na y=ctg(x), kung saan ang x ∈(0;π), ay tinatawag na arc cotangent at denoted na y=arcctg(x), kung saan x∈R.
Kaya, ayon sa kahulugan ng inverse function, ang domain ng kahulugan ng inverse tangent ay magiging R values – interval (0; π). Ang graph ng function na y=arcctg(x), kung saan ang x∈R ay simetriko sa graph ng function na y=ctg(x) x∈(0; π), na may paggalang sa bisector ng mga anggulo ng coordinate ng una at ikatlong quarter.

Ang saklaw ng function y=arcctg(x).

Halimbawa numero 7.
Hanapin ang arcctg((√3)/3)?

Dahil ang hanay ng arcctg(x) x ∈(0;π), tanging ang value na π/3 ang angkop. Samakatuwid, arccos((√3)/3) =π/3.

Halimbawa numero 8.
Hanapin ang arcctg(-(√3)/3)?

Dahil ang hanay ng arcctg(x) x∈(0;π), tanging ang value na 2π/3 lang ang angkop. Samakatuwid, arccos(-(√3)/3) =2π/3.

Mga editor: Ageeva Lyubov Alexandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Inverse trigonometriko function malawakang ginagamit sa pagsusuri ng matematika. Gayunpaman, para sa karamihan ng mga mag-aaral sa high school, ang mga gawaing nauugnay sa ganitong uri ng function ay nagdudulot ng malaking paghihirap. Ito ay higit sa lahat dahil sa ang katunayan na sa maraming mga aklat-aralin at pantulong sa pagtuturo masyadong maliit na atensyon ang ibinibigay sa mga ganitong problema. At kung may mga gawain para sa pagkalkula ng mga halaga ng kabaligtaran trigonometriko function ang mga mag-aaral sa paanuman ay namamahala, pagkatapos ay ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng gayong mga pag-andar, para sa karamihan, ay nalilito sa mga bata. Sa katunayan, hindi ito nakakagulat, dahil halos walang aklat-aralin ang nagpapaliwanag ng pamamaraan para sa paglutas ng kahit na ang pinakasimpleng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga inverse trigonometriko function.

Isaalang-alang ang ilang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga inverse trigonometric function at lutasin ang mga ito gamit ang isang detalyadong paliwanag.

Halimbawa 1

Lutasin ang equation: 3arccos (2x + 3) = 5π/2.

Desisyon.

Ipinapahayag namin ang inverse trigonometric function mula sa equation, nakukuha namin:

arccos (2x + 3) = 5π/6. Ngayon ay gamitin natin ang kahulugan ng arccosine.

Ang arccosine ng isang tiyak na numero na kabilang sa segment mula -1 hanggang 1 ay anggulong y mula sa segment mula 0 hanggang π na ang cosine nito ay katumbas ng numerong x. Samakatuwid, maaari itong isulat tulad nito:

2x + 3 = cos 5π/6.

Pirmahan na natin kanang bahagi ang resultang equation sa pamamagitan ng reduction formula:

2x + 3 = cos(π - π/6).

2x + 3 = -cos π/6;

2x + 3 = -√3/2;

2x = -3 - √3/2.

Dalhin natin ang kanang bahagi sa isang karaniwang denominator.

2x = -(6 + √3) / 2;

x = -(6 + √3) / 4.

Sagot: -(6 + √3) / 4 .

Halimbawa 2

Lutasin ang equation: cos (arccos (4x - 9)) = x 2 - 5x + 5.

Desisyon.

Dahil cos (arcсos x) = x na may x na kabilang sa [-1; 1], kung gayon ang equation na ito ay katumbas ng system:

(4x - 9 = x 2 - 5x + 5,
(-1 ≤ 4x – 9 ≤ 1.

Solusyonan natin ang equation na kasama sa system.

4x - 9 = x 2 - 5x + 5.

Ito ay parisukat, kaya nakuha namin iyon

x 2 - 9x + 14 \u003d 0;

D \u003d 81 - 4 14 \u003d 25;

x 1 \u003d (9 + 5) / 2 \u003d 7;

x 2 \u003d (9 - 5) / 2 \u003d 2.

Lutasin natin ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay na kasama sa sistema.

1 ≤ 4x – 9 ≤ 1. Magdagdag ng 9 sa lahat ng bahagi, magkakaroon tayo ng:

8 ≤ 4x ≤ 10. Hatiin ang bawat numero sa 4, nakukuha natin ang:

2 ≤ x ≤ 2.5.

Ngayon pagsamahin natin ang mga tugon. Madaling makita na ang ugat na x = 7 ay hindi nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay na sagot. Samakatuwid, ang tanging solusyon sa equation ay x = 2.

Sagot: 2.

Halimbawa 3

Lutasin ang equation: tg (arctg (0.5 - x)) = x 2 - 4x + 2.5.

Desisyon.

Dahil tg (arctg x) = x para sa lahat ng tunay na numero, ang equation na ito ay katumbas ng equation:

0.5 - x \u003d x 2 - 4x + 2.5.

Solusyonan natin ang natanggap quadratic equation gamit ang discriminant, na dati ay dinala ito sa karaniwang anyo.

x 2 - 3x + 2 = 0;

D \u003d 9 - 4 2 \u003d 1;

x 1 \u003d (3 + 1) / 2 \u003d 2;

x 2 \u003d (3 - 1) / 2 \u003d 1.

Sagot: 1; 2.

Halimbawa 4

Lutasin ang equation: arcctg (2x - 1) = arcctg (x 2 /2 + x/2).

Desisyon.

Dahil arcctg f(x) = arcctg g(x) kung at kung f(x) = g(x) lang, kung gayon

2x - 1 \u003d x 2 / 2 + x / 2. Lutasin natin ang nagresultang quadratic equation:

4x - 2 \u003d x 2 + x;

x 2 - 3x + 2 = 0.

Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta, nakukuha natin iyon

x=1 o x=2.

Sagot: 1; 2.

Halimbawa 5

Lutasin ang equation: arcsin (2x - 15) = arcsin (x 2 - 6x - 8).

Desisyon.

Dahil ang isang equation ng anyong arcsin f(x) = arcsin g(x) ay katumbas ng sistema

(f(x) = g(x),
(f(x) € [-1; 1],

kung gayon ang orihinal na equation ay katumbas ng system:

(2x - 15 = x 2 - 6x + 8,
(-1 ≤ 2x – 15 ≤ 1.

Lutasin natin ang resultang sistema:

(x 2 - 8x + 7 \u003d 0,
(14 ≤ 2x ≤ 16.

Mula sa unang equation, ayon sa Vieta theorem, mayroon tayong x = 1 o x = 7. Ang paglutas ng pangalawang hindi pagkakapantay-pantay ng system, nakukuha natin na 7 ≤ x ≤ 8. Samakatuwid, ang ugat na x = 7 lamang ang angkop sa ang huling sagot.

Sagot: 7.

Halimbawa 6

Lutasin ang equation: (arccos x) 2 - 6 arccos x + 8 = 0.

Desisyon.

Hayaan ang arccos x = t, kung gayon ang t ay kabilang sa segment at ang equation ay magiging:

t 2 - 6t + 8 = 0. Nire-solve natin ang resultang quadratic equation gamit ang Vieta theorem, nakukuha natin na t = 2 o t = 4.

Dahil ang t = 4 ay hindi kabilang sa segment , nakukuha natin na t = 2, i.e. arccos x \u003d 2, na nangangahulugang x \u003d cos 2.

Sagot: cos 2.

Halimbawa 7

Lutasin ang equation: (arcsin x) 2 + (arccos x) 2 = 5π 2 /36.

Desisyon.

Ginagamit namin ang equality arcsin x + arccos x = π/2 at isulat ang equation bilang

(arcsin x) 2 + (π/2 - arcsin x) 2 = 5π 2 /36.

Hayaan ang arcsin x = t, kung gayon ang t ay kabilang sa pagitan [-π/2; π/2] at ang equation ay nagiging:

t 2 + (π / 2 - t) 2 \u003d 5π 2 / 36.

Lutasin natin ang resultang equation:

t 2 + π 2 /4 - πt + t 2 = 5π 2 /36;

2t 2 - πt + 9π 2 /36 - 5π 2 /36 = 0;

2t 2 – πt + 4π 2 /36 = 0;

2t 2 - πt + π 2 / 9 = 0. I-multiply ang bawat termino sa 9 upang maalis ang mga fraction sa equation, nakukuha natin ang:

18t 2 - 9πt + π 2 \u003d 0.

Hanapin ang discriminant at lutasin ang resultang equation:

D \u003d (-9π) 2 - 4 18 π 2 \u003d 9π 2.

t = (9π - 3π) / 2 18 o t = (9π + 3π) / 2 18;

t = 6π/36 o t = 12π/36.

Pagkatapos ng pagbabawas mayroon kaming:

t = π/6 o t = π/3. Pagkatapos

arcsin x = π/6 o arcsin x = π/3.

Kaya x = sin π/6 o x = sin π/3. Ibig sabihin, x = 1/2 o x = √3/2.

Sagot: 1/2; √3/2.

Halimbawa 8

Hanapin ang halaga ng expression na 5nx 0, kung saan ang n ay ang bilang ng mga ugat, at ang x 0 ay ang negatibong ugat ng equation 2 arcsin x = - π - (x + 1) 2.

Desisyon.

Dahil -π/2 ≤ arcsin x ≤ π/2, pagkatapos -π ≤ 2 arcsin x ≤ π. Bukod dito, (x + 1) 2 ≥ 0 para sa lahat ng tunay na x,
pagkatapos -(x + 1) 2 ≤ 0 at -π – (x + 1) 2 ≤ -π.

Kaya, ang isang equation ay maaaring magkaroon ng solusyon kung ang parehong mga bahagi nito ay magkasabay na katumbas ng –π, i.e. ang equation ay katumbas ng system:

(2 arcsin x = -π,
(-π - (x + 1) 2 = -π.

Lutasin natin ang nagresultang sistema ng mga equation:

(arcsin x = -π/2,
((x + 1) 2 = 0.

Mula sa pangalawang equation mayroon kaming x \u003d -1, ayon sa pagkakabanggit, n \u003d 1, pagkatapos ay 5nx 0 \u003d 5 1 (-1) \u003d -5.

Sagot: -5.

Tulad ng ipinapakita ng kasanayan, ang kakayahang malutas ang mga equation na may kabaligtaran na mga function ng trigonometriko ay kinakailangang kondisyon matagumpay na paghahatid mga pagsusulit. Iyon ang dahilan kung bakit ang pagsasanay sa paglutas ng mga naturang problema ay kailangan lamang at sapilitan bilang paghahanda para sa pagsusulit.

Mayroon ka bang anumang mga katanungan? Hindi alam kung paano lutasin ang mga equation?
Upang makakuha ng tulong mula sa isang tagapagturo -.
Ang unang aralin ay libre!

blog.site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kailangan ng link sa pinagmulan.

Ang mga function na sin, cos, tg, at ctg ay palaging sinasamahan ng arcsine, arccosine, arctangent, at arccotangent. Ang isa ay isang kinahinatnan ng isa, at ang mga pares ng mga function ay pantay na mahalaga para sa pagtatrabaho sa mga trigonometric na expression.

Isaalang-alang ang pagguhit ng isang bilog na yunit, na graphic na nagpapakita ng mga halaga ng mga function ng trigonometriko.

Kung kalkulahin mo ang mga arc OA, arcos OC, arctg DE at arcctg MK, lahat sila ay magiging katumbas ng halaga ng anggulo α. Ang mga formula sa ibaba ay sumasalamin sa kaugnayan sa pagitan ng mga pangunahing trigonometriko na pag-andar at ang kanilang mga katumbas na arko.

Upang maunawaan ang higit pa tungkol sa mga katangian ng arcsine, kinakailangang isaalang-alang ang pag-andar nito. Iskedyul ay may anyo ng isang asymmetric curve na dumadaan sa gitna ng mga coordinate.

Mga katangian ng Arcsine:

Kung ihahambing natin ang mga graph kasalanan at arc kasalanan, dalawang trigonometriko function ang makakahanap ng mga karaniwang pattern.

Arc cosine

Ang Arccos ng numero a ay ang halaga ng anggulo α, ang cosine nito ay katumbas ng a.

Kurba y = arcos x sinasalamin ang plot ng arcsin x, na ang pagkakaiba lamang ay dumaan ito sa puntong π/2 sa OY axis.

Isaalang-alang ang pag-andar ng arccosine nang mas detalyado:

Ang function ay tinukoy sa segment [-1; isa].
ODZ para sa arccos - .
Ang graph ay ganap na matatagpuan sa I at II quarters, at ang function mismo ay hindi kahit na o kakaiba.
Y = 0 para sa x = 1.
Bumababa ang kurba sa buong haba nito. Ang ilang mga katangian ng arc cosine ay kapareho ng cosine function.

Ang ilang mga katangian ng arc cosine ay kapareho ng cosine function.

Posible na ang gayong "detalyadong" pag-aaral ng "mga arko" ay tila hindi kailangan sa mga mag-aaral. Kung hindi man, gayunpaman, ilang uri ng elementarya GAMITIN ang mga takdang-aralin maaaring malito ang mga mag-aaral.

Ehersisyo 1. Tukuyin ang mga function na ipinapakita sa figure.

Sagot: kanin. 1 - 4, fig. 2 - 1.

Sa halimbawang ito, ang diin ay sa maliliit na bagay. Karaniwan, ang mga mag-aaral ay masyadong walang pag-iintindi sa pagbuo ng mga graph at ang hitsura ng mga function. Sa katunayan, bakit kabisaduhin ang anyo ng curve, kung maaari itong palaging itayo mula sa mga kalkuladong puntos. Huwag kalimutan na sa ilalim ng mga kondisyon ng pagsubok, ang oras na ginugol sa pagguhit para sa isang simpleng gawain ay kinakailangan upang malutas ang mas kumplikadong mga gawain.

Arctangent

Arctg ang bilang a ay isang halaga ng anggulo α na ang padaplis nito ay katumbas ng a.

Kung isasaalang-alang natin ang balangkas ng arc tangent, maaari nating makilala ang mga sumusunod na katangian:

Ang graph ay walang katapusan at tinukoy sa pagitan (- ∞; + ∞).
Ang Arctangent ay isang kakaibang function, samakatuwid, arctan (- x) = - arctan x.
Y = 0 para sa x = 0.
Ang curve ay tumataas sa buong domain ng kahulugan.

Narito ang isang maikling paghahambing na pagsusuri tg x at arctg x bilang isang talahanayan.

Arc padaplis

Arcctg ng numerong a - kumukuha ng halagang α mula sa pagitan (0; π) na ang cotangent nito ay katumbas ng a.

Mga katangian ng arc cotangent function:

Ang pagitan ng kahulugan ng function ay infinity.
Rehiyon pinahihintulutang halaga ay ang pagitan (0; π).
Ang F(x) ay hindi kahit na o kakaiba.
Sa buong haba nito, bumababa ang graph ng function.

Ang paghahambing ng ctg x at arctg x ay napaka-simple, kailangan mo lamang gumuhit ng dalawang guhit at ilarawan ang pag-uugali ng mga kurba.

Gawain 2. Iugnay ang graph at ang anyo ng function.

Logically, ipinapakita ng mga graph na ang parehong mga function ay tumataas. Samakatuwid, ang parehong mga numero ay nagpapakita ng ilang arctg function. Ito ay kilala mula sa mga katangian ng arc tangent na y=0 para sa x = 0,

Sagot: kanin. 1 - 1, fig. 2-4.

Trigonometric identity arcsin, arcos, arctg at arcctg

Noong nakaraan, natukoy na natin ang kaugnayan sa pagitan ng mga arko at ang mga pangunahing pag-andar ng trigonometrya. Ang pag-asa na ito ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng ilang mga formula na nagbibigay-daan sa pagpapahayag, halimbawa, ng sine ng isang argumento sa pamamagitan ng arcsine, arccosine, o vice versa nito. Ang kaalaman sa gayong mga pagkakakilanlan ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa paglutas ng mga partikular na halimbawa.

Mayroon ding mga ratio para sa arctg at arcctg:

Ang isa pang kapaki-pakinabang na pares ng mga formula ay nagtatakda ng halaga para sa kabuuan ng mga halaga ng arcsin at arcos at arcctg at arcctg ng parehong anggulo.

Mga halimbawa ng paglutas ng problema

Ang mga gawain sa trigonometrya ay maaaring nahahati sa apat na pangkat: kalkulahin ang numerical na halaga ng isang partikular na expression, i-plot ang isang ibinigay na function, hanapin ang domain ng kahulugan nito o ODZ, at magsagawa ng mga analytical na pagbabago upang malutas ang halimbawa.

Kapag nilulutas ang unang uri ng mga gawain, kinakailangan na sumunod sa sumusunod na plano ng aksyon:

Kapag nagtatrabaho sa mga function graph, ang pangunahing bagay ay ang kaalaman sa kanilang mga katangian at hitsura baluktot. Para sa mga solusyon trigonometriko equation at hindi pagkakapantay-pantay ang mga talahanayan ng pagkakakilanlan ay kailangan. Paano mas maraming formula naaalala ng mag-aaral, mas madaling mahanap ang sagot sa gawain.

Ipagpalagay na sa pagsusulit ay kinakailangan upang mahanap ang sagot para sa isang equation ng uri:

Kung tama mong ibahin ang anyo ng expression at dalhin ito sa nais na anyo, kung gayon ang paglutas nito ay napaka-simple at mabilis. Una, ilipat natin ang arcsin x sa kanang bahagi ng equation.

Kung naaalala natin ang formula arcsin (sinα) = α, pagkatapos ay maaari nating bawasan ang paghahanap ng mga sagot sa paglutas ng isang sistema ng dalawang equation:

Ang pagpilit sa modelong x ay lumitaw, muli mula sa mga katangian ng arcsin: ODZ para sa x [-1; isa]. Kapag ang isang ≠ 0, bahagi ng system ay isang quadratic equation na may mga ugat na x1 = 1 at x2 = - 1/a. Sa a = 0, ang x ay magiging katumbas ng 1.

Ang mga kahulugan ng inverse trigonometric function at ang kanilang mga graph ay ibinigay. Pati na rin ang mga formula na may kaugnayan sa kabaligtaran na trigonometric function, mga formula para sa mga kabuuan at pagkakaiba.

Kahulugan ng kabaligtaran na trigonometric function

Dahil ang trigonometriko function ay panaka-nakang, ang mga function na kabaligtaran sa kanila ay hindi isang halaga. Kaya, ang equation y = kasalanan x, para sa ibinigay na , ay may walang katapusang maraming ugat. Sa katunayan, dahil sa periodicity ng sine, kung ang x ay ganoong ugat, kung gayon x + 2n(kung saan ang n ay isang integer) ay magiging ugat din ng equation. kaya, Ang mga inverse trigonometriko function ay multivalued. Upang gawing mas madali ang pakikipagtulungan sa kanila, ipinakilala ang konsepto ng kanilang mga pangunahing halaga. Isaalang-alang, halimbawa, ang sine: y = kasalanan x. Kung nililimitahan natin ang argument x sa pagitan , pagkatapos ay dito ang function na y = kasalanan x tumataas monotonically. Samakatuwid, mayroon itong single-valued inverse function, na tinatawag na arcsine: x = arcsin y.

Maliban kung iba ang nakasaad, ang inverse trigonometriko function ay nangangahulugan ng kanilang mga pangunahing halaga, na tinutukoy ng mga sumusunod na kahulugan.

Arcsine ( y= arcsin x) ay ang inverse function ng sine ( x= siny

Arc cosine ( y= arccos x) ay ang inverse function ng cosine ( x= dahil y) na mayroong isang domain ng kahulugan at isang hanay ng mga halaga.

Arctangent ( y= arctg x) ay ang inverse function ng tangent ( x= tg y) na mayroong isang domain ng kahulugan at isang hanay ng mga halaga.

Arc padaplis ( y= arcctg x) ay ang inverse function ng cotangent ( x= ctg y) na mayroong isang domain ng kahulugan at isang hanay ng mga halaga.

Mga graph ng inverse trigonometriko function

Ang mga graph ng inverse trigonometriko function ay nakuha mula sa mga graph ng trigonometriko function sa pamamagitan ng mirror reflection na may kinalaman sa tuwid na linya y = x. Tingnan ang mga seksyon Sine, cosine, Tangent, cotangent.

y= arcsin x

y= arccos x