Unipormeng pamamahagi ng posibilidad na mahulog sa pagitan. Pag-convert ng isang pare-parehong ipinamamahagi na random na variable sa isang normal na ipinamamahagi

Tulad ng nabanggit kanina, mga halimbawa ng mga pamamahagi ng posibilidad tuluy-tuloy na random variable Ang X ay:

• pare-parehong pamamahagi mga probabilidad ng tuluy-tuloy na random variable;
• exponential probability distribution ng tuluy-tuloy na random variable;
• normal na pamamahagi mga probabilidad ng tuluy-tuloy na random variable.

Ibigay natin ang konsepto ng uniporme at exponential distribution laws, formulas of probability and mga katangiang numero ang mga function na isinasaalang-alang.

Tagapagpahiwatig	Random na pamamahagi ng batas	Ang exponential na batas ng pamamahagi
Kahulugan	Uniform ang tawag ang probability distribution ng isang tuluy-tuloy na random variable X, na ang density ay nananatiling pare-pareho sa pagitan at may anyo	Ang isang exponential (exponential) ay tinatawag ang probability distribution ng isang tuluy-tuloy na random variable X, na inilalarawan ng isang density na may anyo
		kung saan ang λ ay isang pare-parehong positibong halaga
function ng pamamahagi
Probability pagtama sa pagitan
Inaasahang halaga
Pagpapakalat
Ang karaniwan karaniwang lihis

Mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa paksang "Mga uniporme at exponential na batas ng pamamahagi"

Gawain 1.

Ang mga bus ay tumatakbo nang mahigpit ayon sa iskedyul. Interval ng paggalaw 7 min. Hanapin: (a) ang posibilidad na ang isang pasahero na huminto ay maghihintay sa susunod na bus nang wala pang dalawang minuto; b) ang posibilidad na ang isang pasahero na papalapit sa hintuan ay maghihintay sa susunod na bus nang hindi bababa sa tatlong minuto; c) ang mathematical na inaasahan at ang standard deviation ng random variable X - ang oras ng paghihintay ng pasahero.

Desisyon. 1. Sa pamamagitan ng kondisyon ng problema, tuloy-tuloy random na halaga X=(oras ng paghihintay ng pasahero) pantay na ipinamahagi sa pagitan ng pagdating ng dalawang bus. Ang haba ng pagitan ng pamamahagi ng random variable X ay katumbas ng b-a=7, kung saan a=0, b=7.

2. Ang oras ng paghihintay ay mas mababa sa dalawang minuto kung ang random na halaga ng X ay nasa pagitan (5;7). Ang posibilidad na mahulog sa isang naibigay na agwat ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Ang oras ng paghihintay ay hindi bababa sa tatlong minuto (iyon ay, mula tatlo hanggang pitong minuto) kung ang random na halaga ng X ay bumaba sa pagitan (0; 4). Ang posibilidad na mahulog sa isang naibigay na agwat ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Pag-asa sa matematika ng tuluy-tuloy, pantay na ibinahagi na random na variable X - ang oras ng paghihintay ng pasahero, makikita natin sa pamamagitan ng formula: M(X)=(a+b)/2. M (X) \u003d (0 + 7) / 2 \u003d 7/2 \u003d 3.5.

5. Ang karaniwang paglihis ng tuluy-tuloy, pantay na ipinamahagi na random variable X - ang oras ng paghihintay ng pasahero, makikita natin sa pamamagitan ng formula: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2.02.

Gawain 2.

Ang exponential distribution ay ibinibigay para sa x ≥ 0 sa pamamagitan ng density f(x) = 5e – 5x. Kinakailangan: a) magsulat ng isang expression para sa distribution function; b) hanapin ang posibilidad na, bilang resulta ng pagsubok, ang X ay nahuhulog sa pagitan (1; 4); c) hanapin ang posibilidad na bilang resulta ng pagsusulit X ≥ 2; d) kalkulahin ang M(X), D(X), σ(X).

Desisyon. 1. Dahil, sa kondisyon, exponential distribution , pagkatapos ay mula sa formula para sa probability distribution density ng random variable X makuha natin ang λ = 5. Pagkatapos ang distribution function ay magkakaroon ng form:

2. Ang posibilidad na bilang resulta ng pagsusulit na X ay nahuhulog sa pagitan (1; 4) ay makikita ng formula:
P(a< X < b) = e −λa − e −λb .
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Ang posibilidad na bilang resulta ng pagsusulit na X ≥ 2 ay makikita ng formula: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Nahanap namin ang exponential distribution:

• inaasahang halaga ayon sa formula M(X) =1/λ = 1/5 = 0.2;
• pagpapakalat ayon sa formula D (X) \u003d 1 / λ 2 \u003d 1/25 \u003d 0.04;
• standard deviation ayon sa formula σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1.2.

Ang isyung ito ay matagal nang pinag-aralan nang detalyado, at ang pamamaraan ng mga polar coordinates, na iminungkahi nina George Box, Mervyn Muller at George Marsaglia noong 1958, ay pinaka-malawak na ginamit. Binibigyang-daan ka ng pamamaraang ito na makakuha ng isang pares ng mga independiyenteng karaniwang ipinamamahagi na mga random na variable na may mean 0 at variance 1 tulad ng sumusunod:

Kung saan ang Z 0 at Z 1 ay ang nais na mga halaga, ang s \u003d u 2 + v 2, at ang u at v ay mga random na variable na pantay na ipinamamahagi sa segment (-1, 1), pinili sa paraang ang kundisyon 0 ay nasiyahan.< s < 1.
Maraming gumagamit ng mga formula na ito nang hindi nag-iisip, at marami ang hindi naghihinala sa kanilang pag-iral, dahil gumagamit sila ng mga handa na pagpapatupad. Ngunit may mga taong may mga tanong: “Saan nanggaling ang pormula na ito? At bakit nakakakuha ka ng isang pares ng mga halaga nang sabay-sabay? Sa mga sumusunod, susubukan kong magbigay ng malinaw na sagot sa mga tanong na ito.

Upang magsimula sa, hayaan mo akong ipaalala sa iyo kung ano ang probability density, ang distribution function ng isang random variable at ang inverse function ay. Ipagpalagay na mayroong ilang random na variable, ang pamamahagi nito ay ibinibigay ng density function na f(x), na mayroong sumusunod na anyo:

Nangangahulugan ito na ang posibilidad na ang halaga ng random na variable na ito ay nasa pagitan (A, B) ay katumbas ng lugar ng may kulay na lugar. At bilang kinahinatnan, ang lugar ng buong shaded area ay dapat na katumbas ng pagkakaisa, dahil sa anumang kaso ang halaga ng random variable ay mahuhulog sa domain ng function f.
Ang distribution function ng isang random variable ay isang integral ng density function. At sa kasong ito, ang tinatayang anyo nito ay ang mga sumusunod:

Narito ang kahulugan ay ang halaga ng random na variable ay magiging mas mababa sa A na may posibilidad na B. At bilang isang resulta, ang function ay hindi kailanman bumababa, at ang mga halaga nito ay nasa pagitan .

Ang inverse function ay isang function na nagbabalik ng argumento ng orihinal na function kung ipapasa mo dito ang value ng orihinal na function. Halimbawa, para sa function na x 2 ang inverse ay ang root extraction function, para sa sin (x) ito ay arcsin (x), atbp.

Dahil ang karamihan sa mga pseudo-random na mga generator ng numero ay nagbibigay lamang ng isang pare-parehong pamamahagi sa output, kadalasan ay kinakailangan na i-convert ito sa isa pa. Sa kasong ito, sa isang normal na Gaussian:

Ang batayan ng lahat ng mga pamamaraan para sa pagbabago ng isang pare-parehong pamamahagi sa anumang iba pang pamamahagi ay ang inverse transformation method. Gumagana ito bilang mga sumusunod. Nahanap ang isang function na kabaligtaran sa function ng kinakailangang distribusyon, at isang random na variable na pantay na ipinamamahagi sa segment (0, 1) ay ipinapasa dito bilang isang argumento. Sa output, nakakakuha kami ng isang halaga na may kinakailangang pamamahagi. Para sa kalinawan, narito ang sumusunod na larawan.

Kaya, ang isang pare-parehong segment ay, kumbaga, pinahiran alinsunod sa bagong pamamahagi, na ipino-project sa isa pang axis sa pamamagitan ng isang inverse function. Ngunit ang problema ay ang integral ng density ng pamamahagi ng Gaussian ay hindi madaling kalkulahin, kaya ang mga siyentipiko sa itaas ay kailangang mandaya.

Mayroong chi-square distribution (Pearson distribution), na siyang distribusyon ng kabuuan ng mga parisukat ng k independent normal random variables. At sa kaso kapag k = 2, ang distribusyon na ito ay exponential.

Nangangahulugan ito na kung ang isang punto sa isang rectangular coordinate system ay may random na X at Y na mga coordinate na ipinamamahagi nang normal, pagkatapos ay pagkatapos na i-convert ang mga coordinate na ito sa polar system (r, θ), ang parisukat ng radius (ang distansya mula sa pinanggalingan hanggang sa punto) ay ibabahagi nang exponentially, dahil ang parisukat ng radius ay ang kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate (ayon sa batas ng Pythagorean). Ang density ng pamamahagi ng mga naturang punto sa eroplano ay magiging ganito:

Dahil ito ay pantay sa lahat ng direksyon, ang anggulo θ ay magkakaroon ng pare-parehong distribusyon sa hanay mula 0 hanggang 2π. Totoo rin ang kabaligtaran: kung tutukuyin mo ang isang punto sa polar coordinate system gamit ang dalawang independiyenteng random na mga variable (ang anggulo na ibinahagi nang pantay at ang radius ay ipinamamahagi nang exponential), kung gayon ang mga rectangular na coordinate ng puntong ito ay magiging mga independiyenteng normal na random na mga variable. At ang exponential distribution mula sa uniform distribution ay mas madaling makuha, gamit ang parehong inverse transformation method. Ito ang kakanyahan ng Box-Muller polar method.
Ngayon kunin natin ang mga formula.

(1)

Upang makakuha ng r at θ, kinakailangan na makabuo ng dalawang random na variable na pantay na ipinamamahagi sa segment (0, 1) (tawagin natin silang u at v), ang distribusyon ng isa na kung saan (sabihin nating v) ay dapat i-convert sa exponential sa makuha ang radius. Ang exponential distribution function ay ganito ang hitsura:

Ang kabaligtaran na pag-andar nito:

Dahil simetriko ang pare-parehong pamamahagi, gagana ang pagbabagong katulad sa function

Ito ay sumusunod mula sa chi-square distribution formula na λ = 0.5. Pinapalitan namin ang λ, v sa function na ito at makuha ang parisukat ng radius, at pagkatapos ay ang radius mismo:

Nakukuha namin ang anggulo sa pamamagitan ng pag-stretch ng segment ng unit sa 2π:

Ngayon ay pinapalitan natin ang r at θ sa mga formula (1) at makuha ang:

(2)

Ang mga formula na ito ay handa nang gamitin. Ang X at Y ay magiging independyente at normal na namamahagi na may pagkakaiba-iba ng 1 at isang mean na 0. Upang makakuha ng distribusyon na may iba pang mga katangian, sapat na upang i-multiply ang resulta ng function sa pamamagitan ng standard deviation at idagdag ang mean.
Ngunit posible na mapupuksa ang mga function ng trigonometriko sa pamamagitan ng pagtukoy sa anggulo na hindi direkta, ngunit hindi direkta sa pamamagitan ng mga parihabang coordinate ng isang random na punto sa isang bilog. Pagkatapos, sa pamamagitan ng mga coordinate na ito, posibleng kalkulahin ang haba ng radius vector, at pagkatapos ay hanapin ang cosine at sine sa pamamagitan ng paghahati ng x at y nito, ayon sa pagkakabanggit. Paano at bakit ito gumagana?
Pinipili namin ang isang random na punto mula sa pantay na ipinamamahagi sa bilog ng unit radius at ipahiwatig ang parisukat ng haba ng radius vector ng puntong ito sa pamamagitan ng titik s:

Ang pagpili ay ginawa sa pamamagitan ng pagtatalaga ng random na x at y rectangular coordinates na pantay na ibinahagi sa pagitan (-1, 1), at pagtatapon ng mga puntos na hindi kabilang sa bilog, pati na rin ang gitnang punto kung saan ang anggulo ng radius vector ay hindi tinukoy. Iyon ay, ang kondisyon 0< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

Nakukuha namin ang mga formula, tulad ng sa simula ng artikulo. Ang kawalan ng pamamaraang ito ay ang pagtanggi sa mga puntos na hindi kasama sa bilog. Iyon ay, gamit lamang ang 78.5% ng nabuong mga random na variable. Sa mas lumang mga computer, ang kakulangan ng trigonometric function ay isang malaking kalamangan. Ngayon, kapag ang isang pagtuturo ng processor ay sabay-sabay na kinakalkula ang sine at cosine sa isang iglap, sa tingin ko ang mga pamamaraang ito ay maaari pa ring makipagkumpitensya.

Sa personal, mayroon akong dalawa pang tanong:

• Bakit pantay-pantay ang halaga ng s?
• Bakit exponentially distributed ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawang normal na random variable?

Kung ang isang katulad na pagbabago ay ginawa para sa isang normal na random na variable, ang density ng function ng parisukat nito ay magiging katulad ng isang hyperbola. At ang pagdaragdag ng dalawang parisukat ng mga normal na random na variable ay isa nang mas kumplikadong proseso na nauugnay sa dobleng pagsasama. At ang katotohanan na ang resulta ay isang exponential distribution, personal, nananatili para sa akin na suriin ito sa isang praktikal na paraan o tanggapin ito bilang isang axiom. At para sa mga interesado, iminumungkahi ko na pamilyar ka sa paksa nang mas malapit, na kumukuha ng kaalaman mula sa mga aklat na ito:

• Wentzel E.S. Teorya ng posibilidad
• Knut D.E. Ang Sining ng Programming Tomo 2

Sa konklusyon, magbibigay ako ng isang halimbawa ng pagpapatupad ng isang normal na ibinahagi na generator ng random na numero sa JavaScript:

Function Gauss() ( var ready = false; var second = 0.0; this.next = function(mean, dev) ( mean = mean == undefined ? 0.0: mean; dev = dev == undefined ? 1.0: dev; if ( this.ready) ( this.ready = false; return this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. random() - 1.0; s = u * u + v * v; ) habang (s > 1.0 || s == 0.0); var r = Math.sqrt(-2.0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = true; return r * v * dev + mean; ) ); ) g = new Gauss(); // lumikha ng isang bagay a = g.next(); // bumuo ng isang pares ng mga halaga at kunin ang una b = g.next(); // kunin ang pangalawang c = g.next(); // bumuo muli ng isang pares ng mga halaga at makuha ang una
Opsyonal ang mga parameter ng mean (pang-mathematical na inaasahan) at dev (standard deviation). Iginuhit ko ang iyong pansin sa katotohanan na ang logarithm ay natural.

Sa tulong kung saan maraming mga tunay na proseso ang namodelo. At ang pinakakaraniwang halimbawa ay ang iskedyul ng pampublikong sasakyan. Kumbaga bus (trolleybus / tram) naglalakad sa pagitan ng 10 minuto, at sa isang random na oras ay huminto ka. Ano ang posibilidad na dumating ang bus sa loob ng 1 minuto? Malinaw na 1/10th. At ang posibilidad na kailangan mong maghintay ng 4-5 minuto? Masyadong . Ano ang posibilidad na maghintay ang bus ng higit sa 9 na minuto? Isang ikasampu!

Isaalang-alang ang ilan may hangganan interval, hayaan para sa katiyakan ito ay magiging isang segment . Kung ang random na halaga may permanente density ng posibilidad sa isang ibinigay na segment at zero density sa labas nito, pagkatapos ay sinasabi namin na ito ay ibinahagi pantay-pantay. Sa kasong ito, ang pagpapaandar ng density ay mahigpit na tutukuyin:

Sa katunayan, kung ang haba ng segment (tingnan ang pagguhit) ay , kung gayon ang halaga ay hindi maiiwasang pantay - upang makuha ang unit area ng rektanggulo, at ito ay naobserbahan kilalang ari-arian:


Suriin natin ito nang pormal:
, h.t.p. Mula sa isang probabilistikong pananaw, nangangahulugan ito na ang random variable mapagkakatiwalaan will take one of the values ​​​​​​ng segment ..., eh unti-unti na akong nagiging boring na matanda =)

Ang kakanyahan ng pagkakapareho ay na kahit anong panloob na agwat nakapirming haba hindi namin isinasaalang-alang (tandaan ang "bus" minuto)- ang posibilidad na ang isang random na variable ay kukuha ng isang halaga mula sa pagitan na ito ay magiging pareho. Sa pagguhit, na-shade ko ang tatlong ganoong mga probabilidad - muli kong binibigyang pansin ang katotohanang iyon ang mga ito ay tinutukoy ng mga lugar, hindi mga halaga ng function!

Isaalang-alang ang isang karaniwang gawain:

Halimbawa 1

Ang isang tuluy-tuloy na random na variable ay ibinibigay ng density ng pamamahagi nito:

Hanapin ang constant , kalkulahin at buuin ang distribution function. Bumuo ng mga tsart. Hanapin

Sa madaling salita, lahat ng pwede mong pangarapin :)

Desisyon: dahil sa pagitan (terminal interval) , pagkatapos ay ang random na variable ay may pare-parehong pamamahagi, at ang halaga ng "ce" ay matatagpuan sa pamamagitan ng direktang formula . Ngunit mas mabuti ito sa pangkalahatang paraan - gamit ang isang property:

...bakit mas maganda? Wala ng tanong ;)

Kaya ang function ng density ay:

Gawin natin ang lansihin. Mga halaga imposible , at samakatuwid ang mga bold na tuldok ay inilalagay sa ibaba:


Bilang isang mabilis na pagsusuri, kalkulahin natin ang lugar ng rektanggulo:
, h.t.p.

Hanapin natin inaasahang halaga, at, malamang, hulaan mo na kung ano ang katumbas nito. Alalahanin ang "10 minutong" bus: kung sapalaran huminto ka ng marami, maraming araw, iligtas mo ako, pagkatapos karaniwan kailangan mong maghintay ng 5 minuto.

Oo, tama iyan - ang inaasahan ay dapat na eksaktong nasa gitna ng pagitan ng "kaganapan":
, tulad ng inaasahan.

Kinakalkula namin ang pagpapakalat sa pamamagitan ng pormula . At dito kailangan mo ng mata at mata kapag kinakalkula ang integral:

kaya, pagpapakalat:

Mag-compose tayo function ng pamamahagi . Walang bago dito:

1) kung , pagkatapos at ;

2) kung , pagkatapos at:

3) at, sa wakas, sa , Kaya naman:

Ang resulta:

Isagawa natin ang pagguhit:


Sa "live" na pagitan, ang distribution function lumalaki linearly, at ito ay isa pang senyales na mayroon tayong pare-parehong ipinamamahaging random na variable. Well, pa rin, pagkatapos ng lahat derivative linear function- ay isang pare-pareho.

Ang kinakailangang probabilidad ay maaaring kalkulahin sa dalawang paraan, gamit ang nahanap na function ng pamamahagi:

o gamit ang isang tiyak na integral ng density:

Kung sino man ang may gusto nito.

At dito ka rin magsulat sagot: ,
, ang mga graph ay binuo kasama ang solusyon.

... "ito ay posible", dahil kadalasan ay hindi nila pinarurusahan ang kawalan nito. Karaniwan;)

Mayroong mga espesyal na formula para sa pagkalkula at pare-parehong random na variable, na iminumungkahi kong kunin mo ang iyong sarili:

Halimbawa 2

Ang tuluy-tuloy na random na variable na tinukoy ng density .

Kalkulahin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba. Pasimplehin ang mga resulta (pinaikling mga pormula ng pagpaparami para tumulong).

Maginhawang gamitin ang nakuha na mga formula para sa pag-verify, lalo na, suriin ang problema na nalutas mo lamang sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga tiyak na halaga ng "a" at "b" sa kanila. Maikling solusyon sa ibaba ng pahina.

At sa pagtatapos ng aralin, susuriin natin ang ilang mga gawaing "teksto":

Halimbawa 3

Ang halaga ng paghahati ng sukat ng instrumento sa pagsukat ay 0.2. Ang mga pagbabasa ng instrumento ay bilugan sa pinakamalapit na buong dibisyon. Ipagpalagay na ang mga error sa pag-ikot ay pantay na ipinamamahagi, hanapin ang posibilidad na sa susunod na pagsukat ay hindi ito lalampas sa 0.04.

Para sa mas magandang pang-unawa mga solusyon isipin na ito ay isang uri ng mekanikal na aparato na may isang arrow, halimbawa, isang sukatan na may halaga ng paghahati na 0.2 kg, at kailangan nating timbangin ang isang pusa sa isang bag. Ngunit hindi upang malaman ang kanyang katabaan - ngayon ay magiging mahalaga kung SAAN ang arrow ay titigil sa pagitan ng dalawang katabing dibisyon.

Isaalang-alang ang isang random na variable - distansya arrow off pinakamalapit kaliwang dibisyon. O mula sa pinakamalapit na kanan, hindi mahalaga.

Buuin natin ang probability density function:

1) Dahil ang distansya ay hindi maaaring negatibo, pagkatapos ay sa pagitan . Logically.

2) Ito ay sumusunod mula sa kondisyon na ang arrow ng mga kaliskis ay may pare-pareho ang posibilidad maaaring huminto kahit saan sa pagitan ng mga dibisyon * , kabilang ang mga dibisyon mismo, at samakatuwid sa pagitan :

* Ito ay isang mahalagang kondisyon. Kaya, halimbawa, kapag tumitimbang ng mga piraso ng cotton wool o kilo na pakete ng asin, ang pagkakapareho ay makikita sa mas makitid na pagitan.

3) At dahil ang distansya mula sa CLOSEST left division ay hindi maaaring higit sa 0.2, kung gayon para ay zero din.

kaya:

Dapat pansinin na walang nagtanong sa amin tungkol sa pagpapaandar ng density, at ibinigay ko ang kumpletong pagtatayo nito nang eksklusibo sa mga cognitive circuit. Kapag natapos ang gawain, sapat na upang isulat lamang ang ika-2 talata.

Ngayon sagutin natin ang tanong ng problema. Kailan hindi lalampas sa 0.04 ang error sa rounding sa pinakamalapit na dibisyon? Mangyayari ito kapag huminto ang arrow nang hindi hihigit sa 0.04 mula sa kaliwang dibisyon sa kanan o hindi hihigit sa 0.04 mula sa tamang dibisyon umalis. Sa pagguhit, nilagyan ko ng shade ang kaukulang mga lugar:

Ito ay nananatiling mahanap ang mga lugar na ito sa tulong ng mga integral. Sa prinsipyo, maaari din silang kalkulahin "sa paraang paaralan" (tulad ng mga lugar ng mga parihaba), ngunit ang pagiging simple ay hindi palaging nakakaunawa;)

Sa pamamagitan ng karagdagan theorem para sa mga probabilidad ng mga hindi tugmang kaganapan:

- ang posibilidad na ang error sa pag-ikot ay hindi lalampas sa 0.04 (40 gramo para sa aming halimbawa)

Madaling makita na ang maximum na posibleng error sa pag-ikot ay 0.1 (100 gramo) at samakatuwid ang posibilidad na ang error sa pag-round ay hindi lalampas sa 0.1 ay katumbas ng isa.

Sagot: 0,4

Sa iba pang mga mapagkukunan ng impormasyon, may mga alternatibong paliwanag / disenyo ng problemang ito, at pinili ko ang pagpipilian na tila sa akin ang pinaka-naiintindihan. Espesyal na atensyon kailangan mong bigyang-pansin ang katotohanan na sa kondisyon na maaari nating pag-usapan ang tungkol sa mga error HINDI ng pag-ikot, ngunit tungkol sa random mga error sa pagsukat, na kadalasan (ngunit hindi palagi), ipinamahagi sa ibabaw normal na batas. kaya, Isang salita lang ang makakapagpabago ng isip mo! Maging alerto at unawain ang kahulugan.

At sa sandaling lumiko ang lahat, dadalhin kami ng aming mga paa sa parehong hintuan ng bus:

Halimbawa 4

Ang mga bus ng isang partikular na ruta ay mahigpit na pumupunta ayon sa iskedyul at may pagitan ng 7 minuto. Bumuo ng isang function ng density ng isang random variable - ang oras ng paghihintay para sa susunod na bus ng isang pasahero na random na lumapit sa hintuan ng bus. Hanapin ang posibilidad na maghintay siya ng bus nang hindi hihigit sa tatlong minuto. Hanapin ang distribution function at ipaliwanag ang makabuluhang kahulugan nito.

Kahit distribusyon. Random na halaga X ay may kahulugan ng coordinate ng isang puntong pinili nang random sa segment

[a, b. Uniform density ng pamamahagi ng isang random na variable X(Larawan 10.5, a) maaaring tukuyin bilang:

kanin. 10.5. Unipormeng pamamahagi ng isang random na variable: a- density ng pamamahagi; b- function ng pamamahagi

Distribution function ng isang random variable X mukhang:

Ang graph ng pare-parehong function ng pamamahagi ay ipinapakita sa fig. 10.5, b.

Ang pagbabago ng Laplace ng pare-parehong pamamahagi ay kinakalkula ng (10.3):

Ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ay madaling kalkulahin nang direkta mula sa kani-kanilang mga kahulugan:

Ang mga katulad na formula para sa mathematical na inaasahan at pagkakaiba ay maaari ding makuha gamit ang Laplace transform gamit ang mga formula (10.8), (10.9).

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng isang sistema ng serbisyo na maaaring ilarawan ng isang pare-parehong pamamahagi.

Ang trapiko sa intersection ay kinokontrol ng isang awtomatikong traffic light, kung saan ang berdeng ilaw ay naka-on sa loob ng 1 minuto at pula sa loob ng 0.5 minuto. Ang mga driver ay lumalapit sa intersection sa mga random na oras na may pare-parehong pamamahagi na hindi nauugnay sa pagpapatakbo ng ilaw ng trapiko. Hanapin ang posibilidad na madaanan ng kotse ang intersection nang hindi humihinto.

Ang sandali ng pagpasa ng kotse sa intersection ay ibinahagi nang pantay-pantay sa pagitan ng 1 + 0.5 = 1.5 min. Ang sasakyan ay dadaan sa intersection nang hindi humihinto kung ang sandali ng pagtawid sa intersection ay nasa loob ng agwat ng oras. Para sa isang pare-parehong ibinahagi na random na variable sa pagitan, ang posibilidad na mahulog sa pagitan ay 1/1.5=2/3. Ang oras ng paghihintay na si Mr ay isang mixed random variable. Sa probabilidad na 2/3 ito ay katumbas ng zero, at may probabilidad na 0.5/1.5 ito ay tumatagal sa anumang halaga sa pagitan ng 0 at 0.5 min. Samakatuwid, ang average na oras ng paghihintay at pagkakaiba-iba ng paghihintay sa intersection

Exponential (exponential) distribution. Para sa isang exponential distribution, ang distribution density ng isang random variable ay maaaring isulat bilang:

kung saan ang A ay tinatawag na parameter ng pamamahagi.

Ang graph ng probability density ng exponential distribution ay ibinibigay sa fig. 10.6, a.

Ang distribution function ng isang random variable na may exponential distribution ay may anyo

kanin. 10.6. Exponential distribution ng random variable: a- density ng pamamahagi; b - function ng pamamahagi

Ang graph ng exponential distribution function ay ipinapakita sa fig. 10.6, 6.

Ang pagbabago ng Laplace ng exponential distribution ay kinakalkula ng (10.3):

Ipakita natin iyon para sa isang random na variable x, pagkakaroon ng exponential distribution, ang mathematical expectation ay katumbas ng standard deviation a at inversely sa parameter A,:

Kaya, para sa exponential distribution mayroon tayo: Maaari din itong ipakita

mga. ang exponential distribution ay ganap na nailalarawan ng mean o parameter X .

Ang exponential distribution ay may ilang mga kapaki-pakinabang na katangian na ginagamit sa pagmomodelo ng mga sistema ng serbisyo. Halimbawa, wala itong memorya. Kailan , pagkatapos

Sa madaling salita, kung ang random na variable ay tumutugma sa oras, kung gayon ang pamamahagi ng natitirang tagal ay hindi nakasalalay sa oras na lumipas na. Ang ari-arian na ito ay inilalarawan sa Fig. 10.7.

kanin. 10.7.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng isang system na ang mga parameter ng pagpapatakbo ay maaaring ilarawan ng isang exponential distribution.

Sa panahon ng pagpapatakbo ng isang partikular na device, nangyayari ang mga malfunction sa mga random na oras. Oras ng pagpapatakbo ng device T mula sa pag-activate nito hanggang sa paglitaw ng isang malfunction ay ipinamamahagi ayon sa isang exponential law na may parameter x. Kung ang isang madepektong paggawa ay nakita, ang aparato ay agad na napupunta sa pagkumpuni, na tumatagal ng oras / 0 . Hanapin natin ang density at distribution function ng time interval Г sa pagitan ng dalawang magkatabing fault, ang mathematical expectation at variance, at gayundin ang probabilidad na ang oras T x magkakaroon pa 2t0 .

Simula noon

Normal na pamamahagi. Ang normal ay ang probability distribution ng isang tuluy-tuloy na random variable, na inilalarawan ng density

Mula sa (10.48) sinusundan iyon normal na pamamahagi ay tinutukoy ng dalawang parameter - inaasahan sa matematika t at pagpapakalat a 2 . Graph ng probability density ng isang random variable na may normal na distribution para sa t= 0, at 2 =1 ay ipinapakita sa fig. 10.8, a.

kanin. 10.8. Ang normal na batas ng pamamahagi ng isang random na variable sa t= 0, st 2 = 1: a- density ng posibilidad; 6 - function ng pamamahagi

Inilalarawan ng formula ang function ng pamamahagi

Graph ng probability distribution function ng isang normally distributed random variable sa t= 0, at 2 = 1 ay ipinapakita sa fig. 10.8, b.

Alamin natin ang posibilidad na X kukuha ng halaga na kabilang sa pagitan (a, p):

saan ay ang Laplace function, at ang posibilidad na

na ang absolute value ng deviation ay mas mababa sa positive number 6:

Sa partikular, kapag t = 0 ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Tulad ng nakikita mo, ang isang random na variable na may normal na distribusyon ay maaaring tumagal ng parehong positibo at negatibong mga halaga. Samakatuwid, upang kalkulahin ang mga sandali, kinakailangan na gamitin ang dalawang panig na pagbabago ng Laplace

Gayunpaman, ang integral na ito ay hindi kinakailangang umiiral. Kung mayroon ito, sa halip na (10.50) karaniwang ginagamit ng isa ang expression

na tinatawag na katangiang pag-andar o pagbuo ng function ng mga sandali.

Kalkulahin natin sa pamamagitan ng formula (10.51) ang pagbuo ng function ng mga sandali ng normal na distribusyon:

Matapos i-convert ang numerator ng subexponential expression sa form, nakuha namin

integral

dahil ito ay isang integral ng normal na probability density na may mga parameter t + kaya 2 at isang 2. Kaya naman,

Differentiating (10.52), nakukuha natin

Mula sa mga expression na ito, mahahanap mo ang mga sandali:

Ang normal na distribusyon ay malawakang ginagamit sa pagsasanay, dahil, ayon sa central limit theorem, kung ang random variable ay ang kabuuan ng napakalaking bilang ng mutually independent random variables, ang impluwensya ng bawat isa ay bale-wala sa kabuuan, kung gayon ito ay may distribusyon na malapit sa normal.

Isaalang-alang ang isang halimbawa ng isang sistema na ang mga parameter ay maaaring ilarawan ng isang normal na distribusyon.

Ang kumpanya ay gumagawa ng isang bahagi ng isang naibigay na laki. Ang kalidad ng isang bahagi ay tinatasa sa pamamagitan ng pagsukat sa laki nito. Ang mga random na error sa pagsukat ay napapailalim sa normal na batas na may standard deviation a- Yumkm. Hanapin natin ang posibilidad na ang error sa pagsukat ay hindi lalampas sa 15 µm.

Sa pamamagitan ng (10.49) nakita namin

Para sa kaginhawahan ng paggamit ng isinasaalang-alang na mga pamamahagi, ibubuod namin ang mga nakuhang formula sa Talahanayan. 10.1 at 10.2.

Talahanayan 10.1. Mga pangunahing katangian ng tuluy-tuloy na pamamahagi

Talahanayan 10.2. Pagbuo ng mga function ng tuluy-tuloy na pamamahagi

MGA TANONG SA PAGSUBOK

• 1. Anong mga pamamahagi ng posibilidad ang itinuturing na tuloy-tuloy?
• 2. Ano ang pagbabagong Laplace-Stieltjes? Ano ang gamit nito?
• 3. Paano makalkula ang mga sandali ng mga random na variable gamit ang pagbabagong-anyo ng Laplace-Stieltjes?
• 4. Ano ang pagbabago ng Laplace ng kabuuan ng mga independiyenteng random na variable?
• 5. Paano makalkula ang average na oras at pagkakaiba-iba ng oras ng paglipat ng system mula sa isang estado patungo sa isa pa gamit ang mga signal graph?
• 6. Ibigay ang mga pangunahing katangian ng pare-parehong distribusyon. Magbigay ng mga halimbawa ng paggamit nito sa mga gawaing paglilingkod.
• 7. Ibigay ang mga pangunahing katangian ng exponential distribution. Magbigay ng mga halimbawa ng paggamit nito sa mga gawaing paglilingkod.
• 8. Ibigay ang mga pangunahing katangian ng normal na distribusyon. Magbigay ng mga halimbawa ng paggamit nito sa mga gawaing paglilingkod.

Probability distribution ng tuluy-tuloy na random variable X, na kumukuha ng lahat ng halaga mula sa pagitan , ay tinatawag na uniporme, kung ang probability density nito sa segment na ito ay pare-pareho, at sa labas ito ay katumbas ng zero. Kaya, ang probability density ng isang tuluy-tuloy na random variable X, ibinahagi nang pantay-pantay sa segment , mukhang:

Tukuyin natin inaasahang halaga, pagpapakalat at para sa isang random na variable na may pare-parehong distribusyon.

, , .

Halimbawa. Ang lahat ng mga halaga ng isang pantay na ibinahagi na random na variable ay nasa pagitan . Hanapin ang posibilidad ng isang random na variable na bumabagsak sa pagitan (3;5) .

a=2, b=8, .

Binomial na pamamahagi

Hayaan itong mabuo n mga pagsubok, at ang posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan A sa bawat pagsubok ay p at hindi nakadepende sa kinalabasan ng ibang mga pagsubok (mga independiyenteng pagsubok). Dahil ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap A sa isang pagsubok ay p, kung gayon ang posibilidad na hindi ito mangyari ay katumbas ng q=1-p.

Hayaan ang kaganapan A Dumating sa n mga pagsubok m minsan. Ang kumplikadong kaganapang ito ay maaaring isulat bilang isang produkto:

.

Tapos ang probability na n kaganapan sa pagsubok A darating m times , ay kinakalkula ng formula:

o (1)

Ang formula (1) ay tinatawag Bernoulli formula.

Hayaan X ay isang random na variable na katumbas ng bilang ng mga paglitaw ng kaganapan A sa n mga pagsubok, na kumukuha ng mga halaga na may mga probabilidad:

Ang nagresultang batas ng pamamahagi ng isang random na variable ay tinatawag batas sa pamamahagi ng binomial.

Inaasahang halaga, pagpapakalat at karaniwang lihis Ang mga random na variable na ibinahagi ayon sa binomial na batas ay tinutukoy ng mga formula:

, , .

Halimbawa. Tatlong putok ang pinaputok sa target, at ang posibilidad na tamaan ang bawat putok ay 0.8. Isinasaalang-alang namin ang isang random na variable X- ang bilang ng mga hit sa target. Hanapin ang batas ng pamamahagi nito, inaasahan sa matematika, pagkakaiba at karaniwang paglihis.

p=0.8, q=0.2, n=3, , , .

- posibilidad ng 0 hit;

Probability ng isang hit;

Probability ng dalawang hit;

ay ang posibilidad ng tatlong hit.

Nakukuha namin ang batas sa pamamahagi:

Mga gawain

1. Ang barya ay ihahagis ng 7 beses. Hanapin ang posibilidad na ito ay bumagsak nang baligtad ng 4 na beses.

2. Ang barya ay ihahagis ng 8 beses. Hanapin ang posibilidad na ang coat of arm ay lilitaw nang hindi hihigit sa tatlong beses.

3. Ang posibilidad na matamaan ang target kapag nagpaputok mula sa baril p=0.6. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng kabuuang bilang ng mga hit kung 10 shot ang ginawa.

4. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng bilang ng mga tiket sa lottery na mananalo kung 20 tiket ang binili, at ang posibilidad na manalo para sa isang tiket ay 0.3.