Patunayan na ang scalar product ng dalawang vectors. Produkto ng tuldok ng mga vector: teorya at paglutas ng problema

Magkakaroon din ng mga gawain para sa isang malayang solusyon, kung saan makikita mo ang mga sagot.

Kung sa problema ang parehong mga haba ng mga vector at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay ipinakita "sa isang pilak na pinggan", kung gayon ang kalagayan ng problema at ang solusyon nito ay ganito ang hitsura:

Halimbawa 1 Ibinigay ang mga vector. Hanapin ang scalar product ng mga vectors kung ang kanilang mga haba at anggulo sa pagitan ng mga ito ay kinakatawan ng mga sumusunod na halaga:

Ang isa pang kahulugan ay wasto din, na ganap na katumbas ng Depinisyon 1.

Kahulugan 2. Ang scalar product ng mga vector ay isang numero (scalar) na katumbas ng produkto ng haba ng isa sa mga vector na ito at ang projection ng isa pang vector sa axis na tinutukoy ng una sa mga vectors na ito. Formula ayon sa kahulugan 2:

Lutasin natin ang problema gamit ang formula na ito pagkatapos ng susunod na mahalagang teoretikal na punto.

Kahulugan ng scalar product ng mga vector sa mga tuntunin ng mga coordinate

Ang parehong numero ay maaaring makuha kung ang pinarami ng mga vector ay ibinibigay ng kanilang mga coordinate.

Kahulugan 3. Ang tuldok na produkto ng mga vector ay ang bilang na katumbas ng kabuuan ng mga pairwise na produkto ng kani-kanilang mga coordinate.

Sa ibabaw

Kung ang dalawang vector at nasa eroplano ay tinukoy ng kanilang dalawa Mga coordinate ng Cartesian

kung gayon ang tuldok na produkto ng mga vector na ito ay katumbas ng kabuuan ng mga pairwise na produkto ng kani-kanilang mga coordinate:

.

Halimbawa 2 Hanapin ang numerical value ng projection ng vector sa axis na kahanay ng vector.

Solusyon. Nahanap namin ang scalar product ng mga vector sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga pairwise na produkto ng kanilang mga coordinate:

Ngayon kailangan nating i-equate ang resultang scalar product sa produkto ng haba ng vector at ang projection ng vector sa isang axis na parallel sa vector (alinsunod sa formula).

Nahanap namin ang haba ng vector bilang square root ng kabuuan ng mga parisukat ng mga coordinate nito:

.

Sumulat ng isang equation at lutasin ito:

Sagot. Ang gustong numerical value ay minus 8.

Sa kalawakan

Kung ang dalawang vector at nasa espasyo ay tinukoy ng kanilang tatlong Cartesian rectangular coordinate

,

kung gayon ang scalar product ng mga vector na ito ay katumbas din ng kabuuan ng mga pairwise na produkto ng kani-kanilang mga coordinate, mayroon na lamang tatlong coordinate:

.

Ang gawain ng paghahanap ng produktong scalar sa isinasaalang-alang na paraan ay pagkatapos pag-aralan ang mga katangian ng produktong scalar. Dahil sa gawain ay kinakailangan upang matukoy kung anong anggulo ang nabuo ng mga multiply na vector.

Mga Katangian ng Dot Product ng Vectors

Mga katangian ng algebraic

1. (commutative na ari-arian: ang halaga ng kanilang scalar product ay hindi nagbabago mula sa pagbabago ng mga lugar ng multiplied vectors).

2. (nag-uugnay na ari-arian na may paggalang sa isang numerical factor: ang scalar product ng isang vector na pinarami ng ilang factor at isa pang vector ay katumbas ng scalar product ng mga vector na ito na pinarami ng parehong factor).

3. (distributive property na may paggalang sa kabuuan ng mga vectors: ang scalar product ng kabuuan ng dalawang vector ng ikatlong vector ay katumbas ng kabuuan ng mga scalar na produkto ng unang vector ng ikatlong vector at ang pangalawang vector ng ikatlong vector).

4. (scalar square ng isang vector na mas malaki sa zero) kung ay isang nonzero vector, at , kung ay isang zero vector.

Mga Geometric na Katangian

Sa mga kahulugan ng operasyon sa ilalim ng pag-aaral, nahawakan na natin ang konsepto ng isang anggulo sa pagitan ng dalawang vectors. Panahon na upang linawin ang konseptong ito.

Sa figure sa itaas, dalawang vector ang nakikita, na dinadala sa isang karaniwang simula. At ang unang bagay na kailangan mong bigyang-pansin: mayroong dalawang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito - φ 1 At φ 2 . Alin sa mga anggulong ito ang lumilitaw sa mga kahulugan at katangian ng scalar product ng mga vectors? Ang kabuuan ng mga itinuturing na anggulo ay 2 π at samakatuwid ang mga cosine ng mga anggulong ito ay pantay. Kasama sa kahulugan ng produkto ng tuldok ang cosine ng anggulo, hindi ang halaga ng pagpapahayag nito. Ngunit isang sulok lamang ang isinasaalang-alang sa mga ari-arian. At ito ang isa sa dalawang anggulo na hindi lalampas π ibig sabihin, 180 degrees. Ang anggulong ito ay ipinapakita sa figure bilang φ 1 .

1. Dalawang vector ang tinatawag orthogonal At ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay isang karapatan (90 degrees o π /2 ) kung ang scalar product ng mga vector na ito ay zero :

.

Ang orthogonality sa vector algebra ay ang perpendicularity ng dalawang vectors.

2. Dalawang di-zero na vector ang bumubuo matalim na sulok (mula 0 hanggang 90 degrees, o, ano ang pareho, mas kaunti π dot product ay positibo .

3. Dalawang di-zero na vector ang bumubuo mahinang anggulo (mula 90 hanggang 180 degrees, o, ano ang pareho - higit pa π /2 ) kung at kung lamang dot product ay negatibo .

Halimbawa 3 Ang mga vector ay ibinibigay sa mga coordinate:

.

Kalkulahin ang mga tuldok na produkto ng lahat ng mga pares ng ibinigay na mga vector. Anong anggulo (acute, right, obtuse) ang nabubuo ng mga pares ng vectors na ito?

Solusyon. Kakalkulahin namin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga produkto ng kaukulang mga coordinate.

Nakakuha kami ng isang negatibong numero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang mahinang anggulo.

Nakakuha kami ng isang positibong numero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang matinding anggulo.

Nakakuha kami ng zero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang tamang anggulo.

Nakakuha kami ng isang positibong numero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang matinding anggulo.

.

Nakakuha kami ng isang positibong numero, kaya ang mga vector ay bumubuo ng isang matinding anggulo.

Para sa self-test, maaari mong gamitin online calculator Dot produkto ng mga vector at cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito .

Halimbawa 4 Dahil sa haba ng dalawang vectors at ang anggulo sa pagitan nila:

.

Tukuyin kung anong halaga ng numero ang mga vectors at orthogonal (perpendicular).

Solusyon. Pinaparami namin ang mga vector ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng mga polynomial:

Ngayon kalkulahin natin ang bawat termino:

.

Bumuo tayo ng isang equation (pagkakapantay-pantay ng produkto sa zero), magbigay ng mga katulad na termino at lutasin ang equation:

Sagot: nakuha namin ang halaga λ = 1.8 , kung saan ang mga vector ay orthogonal.

Halimbawa 5 Patunayan na ang vector orthogonal (patayo) sa vector

Solusyon. Upang suriin ang orthogonality, pinaparami namin ang mga vector at bilang mga polynomial, pinapalitan ang expression na ibinigay sa kondisyon ng problema sa halip na ito:

.

Upang gawin ito, kailangan mong i-multiply ang bawat termino (term) ng unang polynomial sa bawat termino ng pangalawa at idagdag ang mga resultang produkto:

.

Bilang resulta, ang fraction na dapat bayaran ay nabawasan. Ang sumusunod na resulta ay nakuha:

Konklusyon: bilang isang resulta ng pagpaparami, nakakuha kami ng zero, samakatuwid, ang orthogonality (perpendicularity) ng mga vectors ay napatunayan.

Lutasin ang problema sa iyong sarili at pagkatapos ay tingnan ang solusyon

Halimbawa 6 Dahil sa mga haba ng mga vector at , at ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay π /4 . Tukuyin kung anong halaga μ mga vector at magkaparehong patayo.

Para sa self-test, maaari mong gamitin online calculator Dot produkto ng mga vector at cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito .

Ang representasyon ng matrix ng scalar na produkto ng mga vector at ang produkto ng mga n-dimensional na vector

Minsan, para sa kalinawan, kapaki-pakinabang na kumatawan sa dalawang multiplied na vector sa anyo ng mga matrice. Pagkatapos ang unang vector ay kinakatawan bilang isang row matrix, at ang pangalawa - bilang isang column matrix:

Kung gayon ang scalar product ng mga vector ay magiging ang produkto ng mga matrice na ito :

Ang resulta ay kapareho ng nakuha sa pamamaraang napag-isipan na natin. Nakakuha kami ng isang solong numero, at ang produkto ng matrix-row ng matrix-column ay isang solong numero din.

Sa matrix form, ito ay maginhawa upang kumatawan sa produkto ng abstract n-dimensional vectors. Kaya, ang produkto ng dalawang four-dimensional na vector ay magiging produkto ng isang row matrix na may apat na elemento sa pamamagitan ng column matrix din na may apat na elemento, ang produkto ng dalawang five-dimensional na vector ay magiging produkto ng isang row matrix na may limang elemento ng isang column matrix din na may limang elemento, at iba pa.

Halimbawa 7 Maghanap ng Mga Produktong Dot ng mga Pares ng Vectors

,

gamit ang representasyon ng matrix.

Solusyon. Ang unang pares ng mga vector. Kinakatawan namin ang unang vector bilang isang row matrix, at ang pangalawa bilang isang column matrix. Nakikita namin ang scalar product ng mga vector na ito bilang produkto ng row matrix ng column matrix:

Katulad nito, kinakatawan namin ang pangalawang pares at nahanap namin:

Tulad ng nakikita mo, ang mga resulta ay kapareho ng para sa parehong mga pares mula sa halimbawa 2.

Anggulo sa pagitan ng dalawang vector

Ang derivation ng formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng dalawang vectors ay napakaganda at maigsi.

Upang ipahayag ang tuldok na produkto ng mga vector

(1)

sa coordinate form, una nating mahanap ang scalar product ng orts. Ang scalar product ng isang vector kasama ang sarili nito ay ayon sa kahulugan:

Ang ibig sabihin ng nakasulat sa formula sa itaas ay: ang scalar product ng isang vector na may sarili nito ay katumbas ng parisukat ng haba nito. Ang cosine ng zero ay katumbas ng isa, kaya ang parisukat ng bawat orth ay magiging katumbas ng isa:

Dahil ang mga vectors

ay pairwise perpendicular, kung gayon ang mga pairwise na produkto ng orts ay magiging katumbas ng zero:

Ngayon gawin natin ang pagpaparami ng mga vector polynomial:

Pinapalitan namin sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ang mga halaga ng kaukulang mga produkto ng scalar ng mga orts:

Nakukuha namin ang formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng dalawang vectors:

Halimbawa 8 Binigyan ng tatlong puntos A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Humanap ng anggulo.

Solusyon. Nahanap namin ang mga coordinate ng mga vectors:

,

.

Gamit ang formula para sa cosine ng isang anggulo, nakukuha natin:

Dahil dito, .

Para sa self-test, maaari mong gamitin online calculator Dot produkto ng mga vector at cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito .

Halimbawa 9 Ibinigay ang dalawang vectors

Hanapin ang kabuuan, pagkakaiba, haba, tuldok na produkto at ang anggulo sa pagitan ng mga ito.

I. Ang scalar product ay naglalaho kung at tanging kung kahit isa sa mga vector ay zero o kung ang mga vector ay patayo. Sa katunayan, kung o , o pagkatapos .

Sa kabaligtaran, kung ang pinarami ng mga vector ay hindi zero, kung gayon dahil mula sa kondisyon

kapag sumusunod:

Dahil ang direksyon ng null vector ay hindi tiyak, ang null vector ay maaaring ituring na patayo sa anumang vector. Samakatuwid, ang tinukoy na pag-aari ng scalar na produkto ay maaaring mabuo sa mas maikling paraan: ang scalar na produkto ay naglalaho kung at kung ang mga vector ay patayo.

II. Ang scalar product ay may katangian ng displaceability:

Direktang sumusunod ang property na ito mula sa kahulugan:

dahil iba't ibang mga pagtatalaga para sa parehong anggulo.

III. Ang distributive law ay may pambihirang kahalagahan. Ang aplikasyon nito ay kasinghusay ng sa ordinaryong aritmetika o algebra, kung saan ito ay nabuo bilang mga sumusunod: upang i-multiply ang kabuuan, kailangan mong i-multiply ang bawat termino at idagdag ang mga resultang produkto, i.e.

Malinaw, ang multiplikasyon ng mga multivalued na numero sa arithmetic o polynomial sa algebra ay batay sa property na ito ng multiplication.

Ang batas na ito ay may parehong pangunahing kahalagahan sa vector algebra, dahil sa batayan nito maaari nating ilapat ang karaniwang tuntunin ng multiplikasyon ng mga polynomial sa mga vector.

Patunayan natin na para sa anumang tatlong vectors A, B, C, ang pagkakapantay-pantay

Ayon sa pangalawang kahulugan ng produktong scalar, na ipinahayag ng formula, nakukuha natin:

Ang paglalapat ngayon ng property 2 ng mga projection mula sa § 5, nakita namin:

Q.E.D.

IV. Ang produktong scalar ay may katangian ng kumbinasyon na may paggalang sa numerical factor; ang katangiang ito ay ipinahayag ng sumusunod na formula:

ibig sabihin, upang i-multiply ang scalar product ng mga vector sa isang numero, sapat na upang i-multiply ang isa sa mga kadahilanan sa numerong ito.

Tuldok na produkto ng mga vector

Patuloy kaming nakikitungo sa mga vector. Sa unang aralin Mga vector para sa mga dummies isinaalang-alang namin ang konsepto ng isang vector, mga aksyon na may mga vector, mga coordinate ng vector at ang pinakasimpleng mga problema sa mga vector. Kung dumating ka sa pahinang ito sa unang pagkakataon mula sa isang search engine, lubos kong inirerekumenda na basahin ang pambungad na artikulo sa itaas, dahil upang ma-assimilate ang materyal, kailangan mong magabayan sa mga termino at notasyon na ginagamit ko, magkaroon ng pangunahing kaalaman sa mga vectors at kayang lutasin ang mga problema sa elementarya. Ang araling ito ay isang lohikal na pagpapatuloy ng paksa, at sa loob nito ay susuriin ko nang detalyado ang mga tipikal na gawain na gumagamit ng scalar product ng mga vectors. Ito ay isang NAPAKAMAHALAGANG trabaho.. Subukan na huwag laktawan ang mga halimbawa, ang mga ito ay sinamahan ng isang kapaki-pakinabang na bonus - ang pagsasanay ay makakatulong sa iyo na pagsamahin ang materyal na sakop at "makuha ang iyong kamay" sa paglutas ng mga karaniwang problema ng analytical geometry.

Pagdaragdag ng mga vector, pagpaparami ng isang vector sa isang numero…. Ito ay magiging walang muwang isipin na ang mga mathematician ay hindi nakabuo ng ibang bagay. Bilang karagdagan sa mga aksyon na isinasaalang-alang na, mayroong isang bilang ng iba pang mga operasyon na may mga vector, katulad: tuldok na produkto ng mga vector, cross product ng mga vectors At pinaghalong produkto ng mga vector. Ang scalar na produkto ng mga vector ay pamilyar sa amin mula sa paaralan, ang iba pang dalawang produkto ay tradisyonal na nauugnay sa kurso ng mas mataas na matematika. Ang mga paksa ay simple, ang algorithm para sa paglutas ng maraming mga problema ay stereotyped at naiintindihan. Ang tanging bagay. Mayroong isang disenteng halaga ng impormasyon, kaya hindi kanais-nais na subukang makabisado at lutasin ang LAHAT AT SABAY. Ito ay totoo lalo na para sa mga dummies, maniwala ka sa akin, ang may-akda ay talagang hindi nais na makaramdam ng Chikatilo mula sa matematika. Well, hindi mula sa matematika, siyempre, alinman =) Ang mga mas handa na mga mag-aaral ay maaaring gumamit ng mga materyales nang pili, sa isang tiyak na kahulugan, "kunin" ang nawawalang kaalaman, para sa iyo ako ay magiging isang hindi nakakapinsalang Count Dracula =)

Sa wakas, buksan natin ng kaunti ang pinto at tingnan kung ano ang mangyayari kapag nagtagpo ang dalawang vectors….

Kahulugan ng scalar product ng mga vectors.
Mga katangian ng produktong scalar. Mga karaniwang gawain

Ang konsepto ng produkto ng tuldok

Una tungkol sa anggulo sa pagitan ng mga vector. Sa tingin ko lahat ay intuitively nauunawaan kung ano ang anggulo sa pagitan ng mga vector, ngunit kung sakali, kaunti pa. Isaalang-alang ang mga libreng nonzero vectors at . Kung ipagpaliban natin ang mga vector na ito mula sa isang di-makatwirang punto, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang larawan na marami na ang ipinakita sa pag-iisip:

Aaminin ko, dito ko inilarawan ang sitwasyon sa antas lamang ng pang-unawa. Kung kailangan mo ng mahigpit na kahulugan ng anggulo sa pagitan ng mga vector, mangyaring sumangguni sa aklat-aralin, ngunit para sa mga praktikal na gawain, sa prinsipyo, hindi namin ito kailangan. Gayundin DITO AT DAGDAG, minsan ay hindi ko papansinin ang mga zero vector dahil sa kanilang mababang praktikal na kahalagahan. Gumawa ako ng reserbasyon na partikular para sa mga advanced na bisita sa site, na maaaring sisihin ako para sa teoretikal na hindi kumpleto ng ilan sa mga sumusunod na pahayag.

Sa panitikan, ang icon ng anggulo ay madalas na tinanggal at nakasulat lamang.

Kahulugan: Ang scalar product ng dalawang vector ay isang NUMBER na katumbas ng produkto ng mga haba ng mga vector na ito at ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga ito:

Ngayon iyon ay isang medyo mahigpit na kahulugan.

Nakatuon kami sa mahahalagang impormasyon:

pagtatalaga: ang scalar product ay tinutukoy ng o simpleng .

Ang resulta ng operasyon ay isang NUMBER: I-multiply ang isang vector sa isang vector upang makakuha ng isang numero. Sa katunayan, kung ang mga haba ng mga vector ay mga numero, ang cosine ng anggulo ay isang numero, kung gayon ang kanilang produkto magiging isang numero din.

Ilan lamang sa mga halimbawa ng warm-up:

Halimbawa 1

Solusyon: Ginagamit namin ang formula . Sa kasong ito:

Sagot:

Ang mga halaga ng cosine ay matatagpuan sa trigonometriko talahanayan. Inirerekomenda ko ang pag-print nito - kakailanganin ito sa halos lahat ng mga seksyon ng tore at kakailanganin ng maraming beses.

Purong mula sa isang mathematical na punto ng view, ang scalar na produkto ay walang sukat, iyon ay, ang resulta, sa kasong ito, ay isang numero lamang at iyon na. Mula sa punto ng view ng mga problema sa pisika, ang scalar na produkto ay palaging may isang tiyak na pisikal na kahulugan, iyon ay, pagkatapos ng resulta, ang isa o isa pang pisikal na yunit ay dapat ipahiwatig. Ang canonical na halimbawa ng pagkalkula ng gawain ng isang puwersa ay matatagpuan sa anumang aklat-aralin (ang formula ay eksaktong produkto ng tuldok). Ang gawain ng isang puwersa ay sinusukat sa Joules, samakatuwid, ang sagot ay isusulat nang partikular, halimbawa,.

Halimbawa 2

Hanapin kung , at ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay .

Ito ay isang halimbawa para sa pagpapasya sa sarili, ang sagot ay nasa dulo ng aralin.

Anggulo sa pagitan ng mga vector at tuldok na halaga ng produkto

Sa Halimbawa 1, naging positibo ang produktong scalar, at sa Halimbawa 2, naging negatibo ito. Alamin natin kung saan nakasalalay ang sign ng scalar product. Tingnan natin ang aming formula: . Ang mga haba ng mga di-zero na vector ay palaging positibo: , kaya ang tanda ay maaaring depende lamang sa halaga ng cosine.

Tandaan: Para sa mas mahusay na pag-unawa sa impormasyon sa ibaba, mas mabuting pag-aralan ang cosine graph sa manwal Mga graph at katangian ng function. Tingnan kung paano kumikilos ang cosine sa segment.

Tulad ng nabanggit na, ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay maaaring mag-iba sa loob , at posible ang mga sumusunod na kaso:

1) Kung iniksyon sa pagitan ng mga vector maanghang: (mula 0 hanggang 90 degrees), pagkatapos , At dot product ay magiging positibo co-directed, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay itinuturing na zero, at ang scalar product ay magiging positibo din. Dahil ang , kung gayon ang formula ay pinasimple: .

2) Kung iniksyon sa pagitan ng mga vector bobo: (mula 90 hanggang 180 degrees), pagkatapos , at kaugnay nito, dot product ay negatibo: . Espesyal na kaso: kung ang mga vectors itinuro sa tapat, pagkatapos ay isinasaalang-alang ang anggulo sa pagitan nila ipinakalat: (180 degrees). Ang scalar product ay negatibo rin, dahil

Ang kabaligtaran na mga pahayag ay totoo rin:

1) Kung , kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay talamak. Bilang kahalili, ang mga vector ay codirectional.

2) Kung , kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay malabo. Bilang kahalili, ang mga vector ay nakadirekta sa tapat.

Ngunit ang ikatlong kaso ay partikular na interes:

3) Kung iniksyon sa pagitan ng mga vector tuwid: (90 degrees) pagkatapos at dot product ay zero: . Totoo rin ang kabaligtaran: kung , kung gayon . Ang compact na pahayag ay nabuo tulad ng sumusunod: Ang scalar product ng dalawang vectors ay zero kung at kung ang mga ibinigay na vectors ay orthogonal. Maikling notasyon sa matematika:

! Tandaan : ulitin mga pundasyon ng lohika ng matematika: Ang icon ng double-sided na lohikal na kahihinatnan ay karaniwang binabasa "kung at pagkatapos lamang", "kung at kung lamang". Tulad ng nakikita mo, ang mga arrow ay nakadirekta sa parehong direksyon - "mula dito ay sumusunod dito, at sa kabaligtaran - mula dito ay sumusunod dito." Ano nga pala, ang pagkakaiba sa icon ng one-way na follow ? Icon claims yun lang na "mula rito ay sumusunod dito", at hindi ang katotohanan na ang kabaligtaran ay totoo. Halimbawa: , ngunit hindi lahat ng hayop ay panther, kaya hindi magagamit ang icon sa kasong ito. Kasabay nito, sa halip na ang icon pwede gumamit ng one-sided na icon. Halimbawa, habang nilulutas ang problema, nalaman namin na napagpasyahan namin na ang mga vector ay orthogonal: - ang nasabing talaan ay magiging tama, at mas angkop pa kaysa .

Ang ikatlong kaso ay may malaking praktikal na kahalagahan., dahil pinapayagan ka nitong suriin kung orthogonal o hindi ang mga vector. Lutasin natin ang problemang ito sa ikalawang bahagi ng aralin.

Mga katangian ng produkto ng tuldok

Bumalik tayo sa sitwasyon kapag ang dalawang vectors co-directed. Sa kasong ito, ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay zero, , at ang scalar product formula ay nasa anyong: .

Ano ang mangyayari kung ang isang vector ay pinarami ng sarili nito? Malinaw na ang vector ay nakadirekta sa sarili nito, kaya ginagamit namin ang pinasimpleng formula sa itaas:

Tinatawag ang numero scalar square vector , at tinutukoy bilang .

Sa ganitong paraan, ang scalar square ng isang vector ay katumbas ng square ng haba ng ibinigay na vector:

Mula sa pagkakapantay-pantay na ito, maaari kang makakuha ng isang formula para sa pagkalkula ng haba ng isang vector:

Habang tila malabo, ngunit ang mga gawain ng aralin ay maglalagay ng lahat sa lugar nito. Upang malutas ang mga problema, kailangan din natin mga katangian ng produkto ng tuldok.

Para sa mga arbitrary na vector at anumang numero, ang mga sumusunod na katangian ay totoo:

1) - displaceable o commutative batas ng produktong scalar.

2) - pamamahagi o distributive batas ng produktong scalar. Sa madaling salita, maaari mong buksan ang mga panaklong.

3) - kumbinasyon o nag-uugnay batas ng produktong scalar. Ang pare-pareho ay maaaring alisin sa scalar na produkto.

Kadalasan, ang lahat ng uri ng mga ari-arian (na kailangan ding patunayan!) Ay itinuturing ng mga mag-aaral bilang hindi kinakailangang basura, na kailangan lamang isaulo at ligtas na makalimutan kaagad pagkatapos ng pagsusulit. Mukhang ang mahalaga dito, alam na ng lahat mula sa unang baitang na ang produkto ay hindi nagbabago mula sa isang permutasyon ng mga kadahilanan:. Dapat kong bigyan ng babala, sa mas mataas na matematika na may ganitong diskarte ay madaling guluhin ang mga bagay. Kaya, halimbawa, ang commutative property ay hindi wasto para sa algebraic matrices. Ito ay hindi totoo para sa cross product ng mga vectors. Samakatuwid, ito ay hindi bababa sa mas mahusay na bungkalin ang anumang mga katangian na matugunan mo sa kurso ng mas mataas na matematika upang maunawaan kung ano ang maaari at hindi maaaring gawin.

Halimbawa 3

.

Solusyon: Una, linawin natin ang sitwasyon gamit ang vector. Ano ang lahat ng ito? Ang kabuuan ng mga vector at ay isang mahusay na tinukoy na vector, na tinutukoy ng . Ang geometric na interpretasyon ng mga aksyon na may mga vector ay matatagpuan sa artikulo Mga vector para sa mga dummies. Ang parehong perehil na may vector ay ang kabuuan ng mga vector at .

Kaya, ayon sa kondisyon, kinakailangan upang mahanap ang scalar product. Sa teorya, kailangan mong ilapat ang gumaganang formula , ngunit ang problema ay hindi natin alam ang mga haba ng mga vector at ang anggulo sa pagitan nila. Ngunit sa kondisyon, ang mga katulad na parameter ay ibinibigay para sa mga vector, kaya pupunta tayo sa ibang paraan:

(1) Pinapalitan namin ang mga expression ng mga vector .

(2) Binubuksan namin ang mga bracket ayon sa panuntunan ng pagpaparami ng mga polynomial, ang isang bulgar na twister ng dila ay matatagpuan sa artikulo Mga kumplikadong numero o Pagsasama ng isang fractional-rational function. Hindi ko na uulitin ang sarili ko =) By the way, the distributive property of the scalar product allow us to open the brackets. May karapatan tayo.

(3) Sa una at huling mga termino, isinulat namin ang mga scalar square ng mga vectors: . Sa pangalawang termino, ginagamit namin ang commutability ng scalar product: .

(4) Narito ang mga katulad na termino: .

(5) Sa unang termino, ginagamit namin ang scalar square formula, na nabanggit hindi pa katagal. Sa huling termino, ayon sa pagkakabanggit, ang parehong bagay ay gumagana: . Ang pangalawang termino ay pinalawak ayon sa karaniwang formula .

(6) Palitan ang mga kundisyong ito , at MABUTI na isagawa ang mga huling kalkulasyon.

Sagot:

Ang negatibong halaga ng produkto ng tuldok ay nagsasaad ng katotohanan na ang anggulo sa pagitan ng mga vector ay malabo.

Ang gawain ay tipikal, narito ang isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 4

Hanapin ang scalar product ng mga vectors at , kung ito ay kilala na .

Ngayon ay isa pang karaniwang gawain, para lamang sa bagong formula ng haba ng vector. Ang mga pagtatalaga dito ay magkakapatong ng kaunti, kaya para sa kalinawan, muling isusulat ko ito sa ibang titik:

Halimbawa 5

Hanapin ang haba ng vector kung .

Solusyon ay ang mga sumusunod:

(1) Ibinibigay namin ang expression ng vector .

(2) Ginagamit namin ang formula ng haba: , habang mayroon kaming integer na expression bilang vector na "ve".

(3) Ginagamit namin ang formula ng paaralan para sa parisukat ng kabuuan. Bigyang-pansin kung paano ito kakaibang gumagana dito: - sa katunayan, ito ang parisukat ng pagkakaiba, at, sa katunayan, ito ay gayon. Ang mga nagnanais ay maaaring muling ayusin ang mga vector sa mga lugar: - ito ay naging pareho hanggang sa isang muling pagsasaayos ng mga termino.

(4) Ang mga sumusunod ay pamilyar na sa dalawang naunang problema.

Sagot:

Dahil pinag-uusapan natin ang tungkol sa haba, huwag kalimutang ipahiwatig ang sukat - "mga yunit".

Halimbawa 6

Hanapin ang haba ng vector kung .

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Patuloy naming pinipiga ang mga kapaki-pakinabang na bagay mula sa scalar na produkto. Tingnan natin muli ang ating formula . Sa pamamagitan ng panuntunan ng proporsyon, i-reset namin ang mga haba ng mga vector sa denominator ng kaliwang bahagi:

Magpalit tayo ng mga bahagi:

Ano ang kahulugan ng formula na ito? Kung ang mga haba ng dalawang vectors at ang kanilang scalar product ay kilala, kung gayon ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay maaaring kalkulahin, at, dahil dito, ang anggulo mismo.

Ang scalar product ba ay isang numero? Numero. Mga numero ba ang haba ng vector? Numero. Kaya ang isang fraction ay isang numero din. At kung ang cosine ng anggulo ay kilala: , pagkatapos ay gamit ang inverse function na madaling mahanap ang mismong anggulo: .

Halimbawa 7

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vector at , kung ito ay kilala na .

Solusyon: Ginagamit namin ang formula:

Sa huling yugto ng mga kalkulasyon, ginamit ang isang pamamaraan - ang pag-aalis ng hindi makatwiran sa denominator. Upang maalis ang irrationality, pinarami ko ang numerator at denominator sa .

Kaya kung , pagkatapos:

Ang mga halaga ng inverse trigonometric function ay matatagpuan sa pamamagitan ng trigonometriko talahanayan. Bagama't bihira itong mangyari. Sa mga problema ng analytical geometry, mas madalas na lumilitaw ang ilang clumsy na bear, at ang halaga ng anggulo ay kailangang hanapin nang humigit-kumulang gamit ang isang calculator. Sa katunayan, makikita natin ang larawang ito nang paulit-ulit.

Sagot:

Muli, huwag kalimutang tukuyin ang sukat - radian at degree. Sa personal, upang sadyang "alisin ang lahat ng mga tanong", mas gusto kong ipahiwatig ang pareho (maliban kung, siyempre, ayon sa kondisyon, kinakailangan na ipakita ang sagot lamang sa mga radian o sa mga degree lamang).

Ngayon ay magagawa mong makayanan ang isang mas mahirap na gawain sa iyong sarili:

Halimbawa 7*

Ibinigay ang mga haba ng mga vectors, at ang anggulo sa pagitan nila. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vectors , .

Ang gawain ay hindi gaanong mahirap bilang multi-way.
Suriin natin ang algorithm ng solusyon:

1) Ayon sa kondisyon, kinakailangan upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga vector at , kaya kailangan mong gamitin ang formula .

2) Nahanap namin ang scalar product (tingnan ang Mga Halimbawa Blg. 3, 4).

3) Hanapin ang haba ng vector at ang haba ng vector (tingnan ang Mga Halimbawa Blg. 5, 6).

4) Ang pagtatapos ng solusyon ay tumutugma sa Halimbawa Blg. 7 - alam natin ang numero , na nangangahulugang madaling mahanap ang mismong anggulo:

Maikling solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Ang pangalawang seksyon ng aralin ay nakatuon sa parehong produkto ng tuldok. Mga coordinate. Ito ay magiging mas madali kaysa sa unang bahagi.

tuldok na produkto ng mga vector,
ibinigay ng mga coordinate sa isang orthonormal na batayan

Sagot:

Hindi na kailangang sabihin, ang pakikitungo sa mga coordinate ay mas kaaya-aya.

Halimbawa 14

Hanapin ang scalar product ng mga vectors at kung

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Dito maaari mong gamitin ang pagkakaugnay ng operasyon, iyon ay, huwag mabibilang, ngunit agad na kunin ang triple mula sa scalar na produkto at i-multiply ito sa huli. Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Sa dulo ng talata, isang nakakapukaw na halimbawa ng pagkalkula ng haba ng isang vector:

Halimbawa 15

Maghanap ng mga haba ng mga vector , kung

Solusyon: muli ang pamamaraan ng nakaraang seksyon ay nagmumungkahi mismo: ngunit may isa pang paraan:

Hanapin natin ang vector:

At ang haba nito ayon sa trivial formula :

Ang produktong scalar ay hindi nauugnay dito sa lahat!

Gaano ito kahirap kapag kinakalkula ang haba ng isang vector:
Tumigil ka. Bakit hindi samantalahin ang halatang haba ng pag-aari ng isang vector? Ano ang masasabi tungkol sa haba ng isang vector? Ang vector na ito ay 5 beses na mas mahaba kaysa sa vector. Ang direksyon ay kabaligtaran, ngunit hindi mahalaga, dahil pinag-uusapan natin ang tungkol sa haba. Malinaw, ang haba ng vector ay katumbas ng produkto modyul mga numero sa bawat haba ng vector:
- ang tanda ng module ay "kumakain" ng posibleng minus ng numero.

Sa ganitong paraan:

Sagot:

Ang formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector na ibinibigay ng mga coordinate

Ngayon ay mayroon na kaming kumpletong impormasyon upang ang dating nagmula na formula para sa cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vectors ipahayag sa mga tuntunin ng mga coordinate ng vector:

Cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector ng eroplano at , ibinigay sa orthonormal na batayan , ay ipinahayag ng pormula:
.

Cosine ng anggulo sa pagitan ng mga vector ng espasyo, na ibinigay sa orthonormal na batayan, ay ipinahayag ng pormula:

Halimbawa 16

Tatlong vertice ng isang tatsulok ang ibinigay. Hanapin (anggulo ng vertex ).

Solusyon: Sa kondisyon, hindi kinakailangan ang pagguhit, ngunit pa rin:

Ang kinakailangang anggulo ay minarkahan ng berdeng arko. Agad naming naaalala ang pagtatalaga ng paaralan ng anggulo: - espesyal na atensyon sa gitna titik - ito ang tuktok ng anggulo na kailangan natin. Para sa maikli, maaari rin itong isulat nang simple.

Mula sa pagguhit ay medyo halata na ang anggulo ng tatsulok ay tumutugma sa anggulo sa pagitan ng mga vector at , sa madaling salita: .

Ito ay kanais-nais na matutunan kung paano isagawa ang pagsusuri na isinagawa sa pag-iisip.

Hanapin natin ang mga vectors:

Kalkulahin natin ang scalar product:

At ang haba ng mga vectors:

Cosine ng isang anggulo:

Ito ang pagkakasunud-sunod ng gawain na inirerekumenda ko sa mga dummies. Maaaring isulat ng mas advanced na mga mambabasa ang mga kalkulasyon "sa isang linya":

Narito ang isang halimbawa ng isang "masamang" halaga ng cosine. Ang resultang halaga ay hindi pangwakas, kaya walang gaanong punto sa pag-alis ng irrationality sa denominator.

Hanapin natin ang anggulo:

Kung titingnan mo ang pagguhit, ang resulta ay lubos na kapani-paniwala. Upang suriin ang anggulo ay maaari ding masukat sa isang protractor. Huwag sirain ang monitor coating =)

Sagot:

Sa sagot, huwag kalimutan iyon nagtanong tungkol sa anggulo ng tatsulok(at hindi tungkol sa anggulo sa pagitan ng mga vector), huwag kalimutang ipahiwatig ang eksaktong sagot: at ang tinatayang halaga ng anggulo: natagpuan gamit ang isang calculator.

Maaaring kalkulahin ng mga nasiyahan sa proseso ang mga anggulo, at tiyaking totoo ang canonical equality

Halimbawa 17

Ang isang tatsulok ay ibinibigay sa espasyo sa pamamagitan ng mga coordinate ng mga vertice nito. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga gilid at

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin

Ang isang maliit na huling seksyon ay ilalaan sa mga projection, kung saan ang scalar na produkto ay "kasangkot" din:

Projection ng isang vector sa isang vector. Vector projection sa coordinate axes.
Mga cosine ng direksyon ng vector

Isaalang-alang ang mga vector at:

Ipinapalabas namin ang vector sa vector , para dito ay tinanggal namin mula sa simula at dulo ng vector patayo bawat vector (mga berdeng tuldok na linya). Isipin na ang mga sinag ng liwanag ay bumabagsak nang patayo sa isang vector. Pagkatapos ang segment (pulang linya) ay magiging "anino" ng vector. Sa kasong ito, ang projection ng isang vector sa isang vector ay ang LENGTH ng segment. Ibig sabihin, PROJECTION IS A NUMBER.

Ang NUMBER na ito ay tinutukoy bilang mga sumusunod: , "malaking vector" ay tumutukoy sa isang vector ALING ANG proyekto, "maliit na subscript vector" ay tumutukoy sa vector SA na inaasahang.

Ang entry mismo ay nagbabasa ng ganito: "ang projection ng vector "a" papunta sa vector "be"".

Ano ang mangyayari kung ang vector na "be" ay "masyadong maikli"? Gumuhit kami ng isang tuwid na linya na naglalaman ng vector "be". At ang vector na "a" ay ipapakita na sa direksyon ng vector "be", simple - sa isang tuwid na linya na naglalaman ng vector "be". Ang parehong bagay ay mangyayari kung ang vector "a" ay itabi sa ikatatlumpung kaharian - madali pa rin itong i-project sa linyang naglalaman ng vector na "be".

Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vector maanghang(tulad ng nasa larawan), pagkatapos

Kung ang mga vectors orthogonal, pagkatapos (ang projection ay isang punto na ang mga sukat ay ipinapalagay na zero).

Kung ang anggulo sa pagitan ng mga vector bobo(sa figure, itak na muling ayusin ang arrow ng vector), pagkatapos (parehong haba, ngunit kinuha gamit ang isang minus sign).

Itabi ang mga vector na ito mula sa isang punto:

Malinaw, kapag gumagalaw ang isang vector, ang projection nito ay hindi nagbabago