Ang random variable na x ay ibinibigay ng distribution. Mga discrete na random variable

Sa pahinang ito nakolekta namin ang isang maikling teorya at mga halimbawa ng mga solusyon mga gawaing pang-edukasyon, kung saan ang discrete random variable ay naibigay na ng serye ng pamamahagi nito (tabular form) at kinakailangan itong pag-aralan: hanapin mga katangiang numero, bumuo ng mga graph, atbp. Ang mga halimbawa ng mga kilalang uri ng pamamahagi ay makikita sa mga sumusunod na link:

Maikling teorya tungkol sa DSV

Ang isang discrete random variable ay tinukoy ng serye ng pamamahagi nito: isang listahan ng mga halaga $x_i$ na maaari nitong kunin at ang mga katumbas na probabilities $p_i=P(X=x_i)$. Bilang ng mga halaga random variable maaaring may hangganan o mabibilang. Para sa katiyakan, isasaalang-alang namin ang kaso $i=\overline(1,n)$. Pagkatapos ang tabular na representasyon ng discrete random variable ay may anyo:

$$ \begin(array)(|c|c|) \hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ \hline \end(array) $ $

Sa kasong ito, ang kondisyon ng normalisasyon ay nasiyahan: ang kabuuan ng lahat ng mga probabilidad ay dapat na katumbas ng isa

$$\sum_(i=1)^(n) p_i=1$$

Sa graphically, ang serye ng pamamahagi ay maaaring katawanin polygon ng pamamahagi(o polygon ng pamamahagi). Upang gawin ito, ang mga puntos na may mga coordinate $(x_i,p_i)$ ay naka-plot sa eroplano at konektado sa pagkakasunud-sunod ng isang putol na linya. Mga detalyadong halimbawa mahahanap mo .

Mga de-numerong katangian ng DSV

Inaasahang halaga:

$$M(X) = \sum_(i=1)^(n) x_i \cdot p_i$$

Dispersion:

$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = \sum_(i=1)^(n) x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2$ $

Katamtaman karaniwang lihis:

$$\sigma (X) = \sqrt(D(X))$$

Ang koepisyent ng pagkakaiba-iba:

$$V(X) = \frac(\sigma(X))(M(X))$$.

Mode: halaga $Mo=x_k$ na may pinakamataas na posibilidad na $p_k=\max_i(p_i)$.

Maaari kang gumamit ng mga online na calculator upang kalkulahin ang inaasahang halaga, pagkakaiba, at karaniwang paglihis ng DSV.

function ng pamamahagi ng DSV

Mula sa serye ng pamamahagi ay maaaring i-compile ng isa function ng pamamahagi discrete random variable $F(x)=P(X\lt x)$. Tinutukoy ng function na ito ang posibilidad na ang random variable na $X$ ay kukuha ng halagang mas mababa sa isang tiyak na numero na $x$. Makakakita ka ng mga halimbawa ng konstruksiyon na may mga detalyadong kalkulasyon at mga graph sa mga halimbawa sa ibaba.

Mga halimbawa ng nalutas na mga problema

Gawain 1. Ang isang discrete random variable ay tinukoy ng isang serye ng pamamahagi:
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Bumuo ng distribution polygon at distribution function na $F(x)$. Kalkulahin: $M[X], D[X], \sigma[X]$, pati na rin ang koepisyent ng variation, skewness, kurtosis, mode at median.

Gawain 2. Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable X ay ibinigay.
a) matukoy inaasahang halaga M(x), variance D(x) at standard deviation (x) ng random variable X; b) bumuo ng isang graph ng distribusyon na ito.
xi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0.02 0.38 0.30 0.16 0.08 0.04 0.02

Gawain 3. Para sa isang random na variable X na may ibinigay na serye ng pamamahagi
-1 0 1 8
0.2 0.1 $р_1$ $р_2$
A) hanapin ang $p_1$ at $p_2$ upang ang $M(X)=0.5$
B) pagkatapos nito, kalkulahin ang mathematical expectation at variance ng random variable $X$ at i-plot ang distribution function nito

Gawain 4. Ang discrete SV $X$ ay maaaring tumagal lamang ng dalawang value: $x_1$ at $x_2$, at $x_1 \lt x_2$. Ang posibilidad na $P$ ng isang posibleng halaga, ang mathematical na inaasahan na $M(x)$ at ang variance $D(x)$ ay kilala. Hanapin: 1) Ang batas sa pamamahagi ng random variable na ito; 2) SV distribution function $X$; 3) Bumuo ng graph ng $F(x)$.
$P=0.3; M(x)=6.6; D(x)=13.44.$

Gawain 5. Ang random variable X ay tumatagal ng tatlong value: 2, 4 at 6. Hanapin ang probabilities ng mga value na ito kung $M(X)=4.2$, $D(X)=1.96$.

Gawain 6. Isang serye ng pamamahagi ng discrete r.v. ay ibinigay. $X$. Hanapin ang mga numerical na katangian ng posisyon at pagpapakalat ng r.v. $X$. Maghanap ng m.o. at pagpapakalat r.v. $Y=X/2-2$, nang hindi isinulat ang serye ng pamamahagi ng r.v. $Y$, suriin ang resulta gamit ang pagbuo ng function.
Buuin ang r.v. distribution function. $X$.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦ p¦ 0.3¦ 0.1¦ 0.3¦ 0.2¦ 0.1¦

Gawain 7. Ang distribusyon ng isang discrete random variable na $X$ ay ibinibigay ng sumusunod na talahanayan (distribution row):
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
Tukuyin ang nawawalang halaga sa talahanayan ng pamamahagi. Kalkulahin ang pangunahing numerical na katangian ng pamamahagi: $M_x, D_x, \sigma_x$. Hanapin at buuin ang distribution function na $F(x)$. Tukuyin ang posibilidad na ang random variable na $X$ ay kukuha ng mga sumusunod na halaga:
A) higit sa 6,
B) mas mababa sa 12,
C) hindi hihigit sa 9.

Gawain 8. Ang problema ay nangangailangan ng paghahanap ng: a) matematikal na inaasahan; b) pagpapakalat; c) ang karaniwang paglihis ng isang discrete random variable X ayon sa isang ibinigay na batas ng pamamahagi nito, na ibinigay sa isang talahanayan (ang unang hilera ng talahanayan ay nagpapahiwatig ng mga posibleng halaga, ang pangalawang hilera ay nagpapahiwatig ng mga probabilidad ng mga posibleng halaga).

Gawain 9. Ang batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable $X$ ay ibinigay (ang unang linya ay nagpapakita ng mga posibleng halaga ng $x_i$, ang pangalawang linya ay nagpapakita ng mga probabilidad ng mga posibleng halaga ng $p_i$).
Hanapin:
A) mathematical expectation $M(X)$, variance $D(X)$ at standard deviation $\sigma(X)$;
B) buuin ang distribution function ng random variable na $F(x)$ at buuin ang graph nito;
C) kalkulahin ang posibilidad ng isang random na variable na $X$ na bumabagsak sa pagitan ng $x_2 \lt X \lt x_4$, gamit ang pinagsama-samang distribution function na $F(x)$;
D) gumawa ng batas sa pamamahagi para sa halagang $Y=100-2X$;
D) kalkulahin ang mathematical expectation at variance ng pinagsama-samang random variable na $Y$ sa dalawang paraan, i.e. sinasamantala
pag-aari ng mathematical na inaasahan at dispersion, gayundin nang direkta ayon sa batas ng pamamahagi ng random variable na $Y$.
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4

Suliranin 10. Ang isang discrete random variable ay ibinibigay sa isang talahanayan. Kalkulahin ang una at gitnang mga sandali nito hanggang sa ika-4 na pagkakasunod-sunod. Hanapin ang mga probabilidad ng mga kaganapan $\xi \lt M\xi$, $\xi \ge M \xi$, $\xi \lt 1/2 M \xi$, $\xi \ge 1/2 M \xi $.
X 0 0.3 0.6 0.9 1.2
P 0.2 0.4 0.2 0.1 0.1

Institusyon ng edukasyon "Estado ng Belarus

akademya ng agrikultura"

Kagawaran ng Mas Mataas na Matematika

Mga Alituntunin

para pag-aralan ang paksang "Random Variables" ng mga mag-aaral ng Faculty of Accounting for Correspondence Education (NISPO)

Gorki, 2013

Mga random na variable

Mga discrete at tuluy-tuloy na random variable

Ang isa sa mga pangunahing konsepto sa teorya ng posibilidad ay ang konsepto random variable . Random variable ay isang dami na, bilang resulta ng pagsubok, ay tumatagal lamang ng isa sa maraming posibleng mga halaga nito, at hindi alam nang maaga kung alin.

Mayroong mga random na variable discrete at tuloy-tuloy . Discrete random variable (DRV) ay isang random na variable na maaaring tumagal sa isang tiyak na bilang ng mga halaga na nakahiwalay sa isa't isa, i.e. kung ang mga posibleng halaga ng dami na ito ay maaaring muling kalkulahin. Continuous random variable (CNV) ay isang random na variable, lahat ng posibleng mga halaga na ganap na punan ang isang tiyak na pagitan ng linya ng numero.

Ang mga random na variable ay tinutukoy ng malalaking titik ng Latin na alpabeto X, Y, Z, atbp. Ang mga posibleng halaga ng mga random na variable ay ipinahiwatig ng kaukulang maliliit na titik.

Itala
ay nangangahulugang "ang posibilidad na ang isang random na variable X kukuha ng halaga na 5, katumbas ng 0.28."

Halimbawa 1 . Ang dice ay inihagis nang isang beses. Sa kasong ito, maaaring lumitaw ang mga numero mula 1 hanggang 6, na nagpapahiwatig ng bilang ng mga puntos. Tukuyin natin ang random variable X=(bilang ng mga puntos na pinagsama). Ang random variable na ito bilang resulta ng pagsubok ay maaari lamang tumagal ng isa sa anim na value: 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Samakatuwid, ang random variable X may DSV.

Halimbawa 2 . Kapag ang isang bato ay itinapon, ito ay naglalakbay sa isang tiyak na distansya. Tukuyin natin ang random variable X=(stone flight distance). Ang random na variable na ito ay maaaring tumagal ng anuman, ngunit isa lamang, na halaga mula sa isang tiyak na agwat. Samakatuwid, ang random variable X may NSV.

Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable

Ang isang discrete random variable ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga halaga na maaari nitong kunin at ang mga probabilidad kung saan ang mga halagang ito ay kinuha. Ang pagsusulatan sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang discrete random variable at ang kanilang kaukulang probabilities ay tinatawag batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable .

Kung alam ang lahat ng posibleng halaga
random variable X at mga probabilidad
hitsura ng mga halagang ito, pagkatapos ay pinaniniwalaan na ang batas ng pamamahagi ng DSV X ay kilala at maaaring isulat sa anyo ng talahanayan:

Ang batas sa pamamahagi ng DSV ay maaaring ilarawan nang graphic kung ang mga punto ay inilalarawan sa isang hugis-parihaba na coordinate system
,
, …,
at ikonekta ang mga ito sa mga segment ng tuwid na linya. Ang resultang figure ay tinatawag na distribution polygon.

Halimbawa 3 . Ang butil na inilaan para sa paglilinis ay naglalaman ng 10% na mga damo. 4 na butil ang napili nang random. Tukuyin natin ang random variable X=(bilang ng mga damo sa apat na napili). Bumuo ng batas sa pamamahagi ng DSV X at polygon ng pamamahagi.

Solusyon . Ayon sa mga kondisyon ng halimbawa. Pagkatapos:

Isulat natin ang batas ng pamamahagi ng DSV X sa anyo ng isang talahanayan at bumuo ng isang polygon ng pamamahagi:

Pag-asa ng isang discrete random variable

Ang pinakamahalagang katangian ng isang discrete random variable ay inilalarawan ng mga katangian nito. Isa sa mga katangiang ito ay inaasahang halaga random variable.

Ipaalam ang batas sa pamamahagi ng DSV X:

Pag-asa sa matematika DSV X ay ang kabuuan ng mga produkto ng bawat halaga ng dami na ito at ang katumbas na posibilidad:
.

Ang mathematical expectation ng isang random variable ay humigit-kumulang katumbas ng arithmetic mean ng lahat ng value nito. Samakatuwid, sa mga praktikal na problema, ang average na halaga ng random variable na ito ay madalas na kinuha bilang ang matematikal na inaasahan.

Halimbawa 8 . Ang tagabaril ay nakakuha ng 4, 8, 9 at 10 puntos na may probabilidad na 0.1, 0.45, 0.3 at 0.15. Hanapin ang mathematical na inaasahan ng bilang ng mga puntos sa isang shot.

Solusyon . Tukuyin natin ang random variable X=(bilang ng mga puntos na nakuha). Tapos . Kaya, ang inaasahang average na bilang ng mga puntos na nakuha sa isang shot ay 8.2, at may 10 shot - 82.

Pangunahing katangian ang inaasahan sa matematika ay:

.

.

, Saan
,
.

.

, Saan X At Y ay mga independiyenteng random na variable.

Pagkakaiba
tinawag paglihis random variable X mula sa inaasahan nito sa matematika. Ang pagkakaibang ito ay isang random na variable at ang mathematical expectation nito ay zero, i.e.
.

Pagkakaiba ng isang discrete random variable

Upang makilala ang isang random na variable, bilang karagdagan sa inaasahan ng matematika, ginagamit din namin pagpapakalat , na ginagawang posible na tantyahin ang pagpapakalat (pagkalat) ng mga halaga ng isang random na variable sa paligid ng inaasahan ng matematika nito. Kapag naghahambing ng dalawang homogenous na random na variable na may pantay na mga inaasahan sa matematika, ang "pinakamahusay" na halaga ay itinuturing na ang isa na may mas kaunting pagkalat, i.e. mas kaunting dispersion.

Pagkakaiba random variable X ay tinatawag na mathematical expectation ng squared deviation ng isang random variable mula sa mathematical expectation nito: .

Sa mga praktikal na problema, isang katumbas na pormula ang ginagamit upang kalkulahin ang pagkakaiba.

Ang mga pangunahing katangian ng pagpapakalat ay:

.

discrete tinatawag na isang random na variable na maaaring tumagal sa indibidwal, nakahiwalay na mga halaga na may ilang mga probabilidad.

HALIMBAWA 1. Ang dami ng beses na lumilitaw ang coat of arms sa tatlong coin tosses. Mga posibleng halaga: 0, 1, 2, 3, ang kanilang mga probabilidad ay pantay ayon sa pagkakabanggit:

P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

HALIMBAWA 2. Ang bilang ng mga nabigong elemento sa isang device na binubuo ng limang elemento. Mga posibleng value: 0, 1, 2, 3, 4, 5; ang kanilang mga probabilidad ay nakasalalay sa pagiging maaasahan ng bawat elemento.

Discrete random variable X maaaring ibigay ng isang serye ng pamamahagi o isang function ng pamamahagi (ang integral na batas sa pamamahagi).

Malapit sa pamamahagi ay ang hanay ng lahat ng posibleng halaga Xi at ang kanilang mga katumbas na probabilidad Rako = P(X = xi), maaari itong tukuyin bilang isang talahanayan:

Kasabay nito, ang mga probabilidad Ri masiyahan ang kondisyon

Ri= 1 kasi

kung saan ang bilang ng mga posibleng halaga n maaaring may hangganan o walang katapusan.

Graphical na representasyon ng serye ng pamamahagi tinatawag na distribution polygon . Upang mabuo ito, posibleng mga halaga ng random variable ( Xi) ay naka-plot kasama ang x-axis, at ang mga probabilidad Ri- kasama ang ordinate axis; puntos Ai may mga coordinate ( Xako,рi) ay konektado sa pamamagitan ng mga putol na linya.

Pag-andar ng pamamahagi random variable X tinatawag na function F(X), na ang halaga sa punto X ay katumbas ng posibilidad na ang random variable X magiging mas mababa sa halagang ito X, yan ay

F(x) = P(X< х).

Function F(X) Para sa discrete random variable kinakalkula ng formula

F(X) = Ri , (1.10.1)

kung saan ang pagsusuma ay isinasagawa sa lahat ng mga halaga i, para sa Xi< х.

HALIMBAWA 3. Mula sa isang batch na naglalaman ng 100 produkto, kung saan mayroong 10 may depekto, limang produkto ang random na pinili upang suriin ang kalidad ng mga ito. Bumuo ng isang serye ng mga distribusyon random na numero X mga may sira na produkto na nasa sample.

Solusyon. Dahil sa sample ang bilang ng mga may sira na produkto ay maaaring maging anumang integer mula 0 hanggang 5 kasama, kung gayon ang mga posibleng halaga Xi random variable X ay pantay:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Probability R(X = k) na eksaktong naglalaman ang sample k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) mga produktong may sira, katumbas

P (X = k) = .

Bilang resulta ng mga kalkulasyon gamit ang formula na ito na may katumpakan na 0.001, nakuha namin ang:

R 1 = P(X = 0) @ 0,583;R 2 = P(X = 1) @ 0,340;R 3 = P(X = 2) @ 0,070;

R 4 = P(X = 3) @ 0,007;R 5 = P(X= 4) @ 0;R 6 = P(X = 5) @ 0.

Paggamit ng pagkakapantay-pantay upang suriin Rk=1, tinitiyak namin na ang mga kalkulasyon at pag-round ay ginawa nang tama (tingnan ang talahanayan).

HALIMBAWA 4. Ibinigay ang isang serye ng pamamahagi ng isang random na variable X :

Hanapin ang probability distribution function F(X) ng random variable na ito at buuin ito.

Solusyon. Kung X£10 pagkatapos F(X)= P(X<X) = 0;

kung 10<X£20 pagkatapos F(X)= P(X<X) = 0,2 ;

kung 20<X£30 pagkatapos F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

kung 30<X£40 pagkatapos F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

kung 40<X£50 pagkatapos F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Kung X> 50, pagkatapos F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

Ang isa sa pinakamahalagang konsepto sa teorya ng posibilidad ay ang konsepto random variable.

Random tinawag laki, na bilang isang resulta ng pagsubok ay tumatagal sa ilang posibleng mga halaga na hindi alam nang maaga at umaasa sa mga random na dahilan na hindi maaaring isaalang-alang nang maaga.

Ang mga random na variable ay itinalaga ng malalaking titik ng alpabetong Latin X, Y, Z atbp. o sa malalaking titik ng alpabetong Latin na may kanang ibabang index, at ang mga halaga na maaaring kunin ng mga random na variable - sa kaukulang maliliit na titik ng alpabetong Latin x, y, z atbp.

Ang konsepto ng isang random variable ay malapit na nauugnay sa konsepto ng isang random na kaganapan. Koneksyon sa isang random na kaganapan namamalagi sa katotohanan na ang pag-aampon ng isang tiyak na halaga ng numero ng isang random na variable ay isang random na kaganapan na nailalarawan sa pamamagitan ng posibilidad .

Sa pagsasagawa, mayroong dalawang pangunahing uri ng mga random na variable:

1. Discrete random variable;

2. Patuloy na random variable.

Ang random variable ay isang numerical function ng random na mga kaganapan.

Halimbawa, ang isang random na variable ay ang bilang ng mga puntos na nakuha kapag naghagis ng isang die, o ang taas ng isang mag-aaral na random na pinili mula sa isang grupo ng pag-aaral.

Mga discrete na random variable ay tinatawag na mga random na variable na kumukuha lamang ng mga halaga na malayo sa isa't isa na maaaring mailista nang maaga.

Batas ng pamamahagi(distribution function at distribution series o probability density) ganap na naglalarawan ng gawi ng isang random na variable. Ngunit sa isang bilang ng mga problema, sapat na upang malaman ang ilang mga numerical na katangian ng dami na pinag-aaralan (halimbawa, ang average na halaga nito at posibleng paglihis mula dito) upang masagot ang tanong na ibinibigay. Isaalang-alang natin ang pangunahing numerical na katangian ng mga discrete random variable.

Batas sa pamamahagi ng isang discrete random variable bawat relasyon ay tinatawag , pagtatatag ng isang koneksyon sa pagitan ng mga posibleng halaga ng isang random na variable at ang kanilang mga kaukulang probabilidad .

Ang batas ng pamamahagi ng isang random na variable ay maaaring katawanin bilang mga mesa:

Ang kabuuan ng mga probabilidad ng lahat ng posibleng halaga ng isang random na variable ay katumbas ng isa, i.e.

Maaaring ilarawan ang batas sa pamamahagi graphically: ang mga posibleng halaga ng isang random na variable ay naka-plot kasama ang abscissa axis, at ang mga probabilidad ng mga halagang ito ay naka-plot kasama ang ordinate axis; ang mga resultang punto ay konektado sa pamamagitan ng mga segment. Ang itinayong polyline ay tinatawag polygon ng pamamahagi.

Halimbawa. Ang isang mangangaso na may 4 na cartridge ay bumaril sa laro hanggang sa siya ay gumawa ng unang hit o maubos ang lahat ng mga cartridge. Ang posibilidad ng pagtama sa unang shot ay 0.7, sa bawat kasunod na shot ay bumababa ito ng 0.1. Bumuo ng batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga cartridge na ginugol ng isang mangangaso.

Solusyon. Dahil ang isang hunter, na mayroong 4 na cartridge, ay maaaring magpaputok ng apat na putok, pagkatapos ay ang random na variable X- ang bilang ng mga cartridge na ginugol ng mangangaso ay maaaring tumagal ng mga halaga 1, 2, 3, 4. Upang mahanap ang kaukulang mga probabilidad, ipinakilala namin ang mga kaganapan:

- “tamaan ng ako - oh shot”, ;

- “miss kailan ako - om shot", at ang mga kaganapan at magkapares na independyente.

Ayon sa mga kondisyon ng problema na mayroon tayo:

,

Gamit ang multiplication theorem para sa mga independiyenteng kaganapan at ang addition theorem para sa hindi magkatugma na mga kaganapan, makikita natin ang:

(natamaan ng mangangaso ang target sa unang putok);

(natamaan ng mangangaso ang target sa pangalawang putok);

(natamaan ng mangangaso ang target sa ikatlong putok);

(natamaan ng mangangaso ang target sa ikaapat na pagbaril o napalampas lahat ng apat na beses).

Suriin: - totoo.

Kaya, ang batas ng pamamahagi ng isang random variable X ay may anyo:

Halimbawa. Ang isang manggagawa ay nagpapatakbo ng tatlong makina. Ang posibilidad na sa loob ng isang oras ang unang makina ay hindi mangangailangan ng pagsasaayos ay 0.9, ang pangalawa - 0.8, ang pangatlo - 0.7. Bumuo ng batas sa pamamahagi para sa bilang ng mga makina na mangangailangan ng pagsasaayos sa loob ng isang oras.

Solusyon. Random na halaga X- ang bilang ng mga makina na mangangailangan ng pagsasaayos sa loob ng isang oras ay maaaring tumagal ng mga halaga 0.1, 2, 3. Upang mahanap ang kaukulang mga probabilidad, ipinakilala namin ang mga kaganapan:

- “i- ang makina ay mangangailangan ng pagsasaayos sa loob ng isang oras,” ;

- “i- ang makina ay hindi mangangailangan ng pagsasaayos sa loob ng isang oras,” .

Ayon sa mga kondisyon ng problema na mayroon tayo:

, .

Kahulugan 2.3. Ang isang random na variable, na tinutukoy ng X, ay tinatawag na discrete kung ito ay tumatagal sa isang may hangganan o mabibilang na hanay ng mga halaga, i.e. set – isang may hangganan o mabibilang na set.

Isaalang-alang natin ang mga halimbawa ng mga discrete random variable.

1. Dalawang barya ang inihagis nang isang beses. Ang bilang ng mga emblema sa eksperimentong ito ay isang random na variable X. Ang mga posibleng halaga nito ay 0,1,2, i.e. – isang may hangganang hanay.

2. Ang bilang ng mga tawag sa ambulansya sa loob ng isang takdang panahon ay naitala. Random na halaga X– bilang ng mga tawag. Ang mga posibleng halaga nito ay 0, 1, 2, 3, ..., i.e. =(0,1,2,3,...) ay isang mabibilang na hanay.

3. Mayroong 25 mag-aaral sa grupo. Sa isang tiyak na araw, ang bilang ng mga mag-aaral na dumating sa klase ay naitala - isang random na variable X. Ang mga posibleng halaga nito: 0, 1, 2, 3, ...,25 i.e. =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

Bagama't ang lahat ng 25 tao sa halimbawa 3 ay hindi maaaring makaligtaan sa mga klase, ang random na variable X maaaring kunin ang halagang ito. Nangangahulugan ito na ang mga halaga ng isang random na variable ay may iba't ibang mga probabilidad.

Isaalang-alang natin ang isang mathematical model ng isang discrete random variable.

Hayaang magsagawa ng random na eksperimento, na tumutugma sa isang may hangganan o mabibilang na espasyo ng mga elementarya na kaganapan. Isaalang-alang natin ang pagmamapa ng puwang na ito sa hanay ng mga tunay na numero, ibig sabihin, italaga natin sa bawat elementarya na kaganapan ang isang tiyak na tunay na numero , . Ang hanay ng mga numero ay maaaring may hangganan o mabibilang, i.e. o

Ang isang sistema ng mga subset, na kinabibilangan ng anumang subset, kabilang ang isang one-point na isa, ay bumubuo ng isang -algebra ng isang numerical set ( – finite o countable).

Dahil ang anumang elementarya na kaganapan ay nauugnay sa ilang mga probabilidad p i(sa kaso ng finite everything), at , kung gayon ang bawat halaga ng isang random na variable ay maaaring iugnay sa isang tiyak na posibilidad p i, ganyan .

Hayaan X ay isang arbitrary na tunay na numero. Tukuyin natin R X (x) ang posibilidad na ang random variable X kumuha ng halagang katumbas ng X, ibig sabihin. P X (x)=P(X=x). Pagkatapos ang function R X (x) maaaring kumuha ng mga positibong halaga para lamang sa mga halagang iyon X, na nabibilang sa isang may hangganan o mabibilang na hanay , at para sa lahat ng iba pang mga halaga ang posibilidad ng halagang ito P X (x) = 0.

Kaya, tinukoy namin ang hanay ng mga halaga, -algebra bilang isang sistema ng anumang mga subset at para sa bawat kaganapan ( X = x) inihambing ang posibilidad para sa alinman, i.e. nakagawa ng probability space.

Halimbawa, ang espasyo ng mga elementarya na kaganapan ng isang eksperimento na binubuo ng paghagis ng simetriko na barya ng dalawang beses ay binubuo ng apat na elementarya na kaganapan: , kung saan

Nang dalawang beses na hinagis ang barya, lumitaw ang dalawang buntot; nang ihagis ng dalawang beses ang barya, dalawang sakuna ng armas ang nahulog;

Sa unang paghagis ng barya, isang hash ang lumabas, at sa pangalawa, isang coat of arms;

Sa unang paghagis ng barya, lumabas ang coat of arms, at sa pangalawa, ang hash mark.

Hayaan ang random variable X– bilang ng mga nag-drop out ng grating. Ito ay tinukoy sa at ang hanay ng mga halaga nito . Ang lahat ng posibleng subset, kabilang ang mga single-point, ay bumubuo ng algebra, i.e. =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

Ang posibilidad ng isang kaganapan ( X=x i}, і = 1,2,3, tinutukoy namin bilang ang posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan na prototype nito:

Kaya, sa elementarya na mga kaganapan ( X = xi) magtakda ng numerical function R X, Kaya .

Kahulugan 2.4. Ang batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay isang hanay ng mga pares ng mga numero (x i, р i), kung saan ang x i ay ang mga posibleng halaga ng random variable, at ang р i ay ang mga probabilities kung saan kinuha ang mga halagang ito, at .

Ang pinakasimpleng anyo ng pagtukoy sa batas ng pamamahagi ng isang discrete random variable ay isang talahanayan na naglilista ng mga posibleng halaga ng random variable at ang kaukulang mga probabilidad:

Ang nasabing talahanayan ay tinatawag na serye ng pamamahagi. Upang bigyan ang serye ng pamamahagi ng isang mas visual na hitsura, ito ay inilalarawan nang graphic: sa axis Oh tuldok x i at gumuhit ng mga perpendicular ng haba mula sa kanila p i. Ang mga resultang puntos ay konektado at ang isang polygon ay nakuha, na isa sa mga anyo ng batas sa pamamahagi (Larawan 2.1).

Kaya, upang tukuyin ang isang discrete random variable, kailangan mong tukuyin ang mga halaga nito at ang kaukulang mga probabilidad.

Halimbawa 2.2. Ang cash slot ng makina ay nati-trigger sa tuwing may coin na ipinasok na may posibilidad R. Kapag ito ay na-trigger, ang mga barya ay hindi bumababa. Hayaan X– ang bilang ng mga coin na dapat ipasok bago ma-trigger ang cash slot ng makina. Bumuo ng isang serye ng pamamahagi ng isang discrete random variable X.

Solusyon. Mga posibleng halaga ng isang random na variable X: x 1 = 1, x 2 = 2,..., x k = k, ... Hanapin natin ang mga probabilidad ng mga halagang ito: p 1– ang posibilidad na ang tatanggap ng pera ay gumana sa unang pagkakataon na ito ay ibinaba, at p 1 = p; p 2 – ang posibilidad na ang dalawang pagtatangka ay gagawin. Upang gawin ito, kinakailangan na: 1) ang tatanggap ng pera ay hindi gumagana sa unang pagtatangka; 2) sa pangalawang pagsubok ay nagtrabaho ito. Ang posibilidad ng kaganapang ito ay (1–р)р. Ganun din at iba pa, . Saklaw ng pamamahagi X kukuha ng form

Tandaan na ang mga probabilidad r k bumuo ng geometric progression na may denominator: 1–p=q, q<1, samakatuwid ang probability distribution na ito ay tinatawag geometriko.

Ipagpalagay pa natin na ang isang mathematical model ay naitayo eksperimento na inilarawan ng isang discrete random variable X, at isaalang-alang ang pagkalkula ng mga probabilidad ng paglitaw ng mga di-makatwirang kaganapan.

Hayaang maglaman ang isang arbitrary na kaganapan ng may hangganan o mabibilang na hanay ng mga halaga x i: A= {x 1, x 2,..., x i, ....Kaganapan A ay maaaring katawanin bilang isang unyon ng mga hindi tugmang kaganapan ng anyong: . Pagkatapos, gamit ang Kolmogorov's axiom 3 , nakukuha namin

dahil natukoy namin na ang mga probabilidad ng paglitaw ng mga kaganapan ay katumbas ng mga posibilidad ng paglitaw ng mga kaganapan na kanilang mga prototype. Nangangahulugan ito na ang posibilidad ng anumang kaganapan , , ay maaaring kalkulahin gamit ang formula, dahil ang kaganapang ito ay maaaring katawanin sa anyo ng isang unyon ng mga kaganapan, kung saan .

Pagkatapos ay ang distribution function F(x) = Р(–<Х<х) ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula. Ito ay sumusunod na ang distribution function ng isang discrete random variable X ay hindi nagpapatuloy at tumataas sa mga pagtalon, ibig sabihin, ito ay isang step function (Larawan 2.2):

Kung ang hanay ay may hangganan, ang bilang ng mga termino sa formula ay may hangganan, ngunit kung ito ay mabibilang, ang bilang ng mga termino ay mabibilang.

Halimbawa 2.3. Ang teknikal na aparato ay binubuo ng dalawang elemento na gumagana nang hiwalay sa isa't isa. Ang posibilidad ng pagkabigo ng unang elemento sa panahon ng T ay 0.2, at ang posibilidad ng pagkabigo ng pangalawang elemento ay 0.1. Random na halaga X– ang bilang ng mga nabigong elemento sa panahon ng T. Hanapin ang distribution function ng random variable at i-plot ang graph nito.

Solusyon. Ang espasyo ng mga elementarya na kaganapan ng isang eksperimento na binubuo ng pag-aaral ng pagiging maaasahan ng dalawang elemento ng isang teknikal na aparato ay tinutukoy ng apat na elementarya na mga kaganapan , , , : – parehong mga elemento ay gumagana; – gumagana ang unang elemento, may sira ang pangalawa; - ang unang elemento ay may sira, ang pangalawa ay gumagana; - parehong mga elemento ay may sira. Ang bawat isa sa mga elementarya na kaganapan ay maaaring ipahayag sa pamamagitan ng elementarya na mga kaganapan ng mga espasyo At , kung saan – ang unang elemento ay operational; – nabigo ang unang elemento; – ang pangalawang elemento ay operational; – nabigo ang pangalawang elemento. Pagkatapos, at dahil ang mga elemento ng isang teknikal na aparato ay gumagana nang nakapag-iisa sa bawat isa, kung gayon

8. Ano ang posibilidad na ang mga halaga ng isang discrete random variable ay nabibilang sa pagitan?