Pag-asa sa matematika at pagkakaiba-iba ng isang random na variable. Pagkakaiba-iba ng isang random na variable
Sa naunang isa, nagbigay kami ng ilang mga formula na nagbibigay-daan sa amin upang mahanap ang mga numerical na katangian ng mga function kapag ang mga batas ng pamamahagi ng mga argumento ay kilala. Gayunpaman, sa maraming mga kaso, upang mahanap ang mga numerical na katangian ng mga function, ito ay hindi kahit na kinakailangan upang malaman ang mga batas ng pamamahagi ng mga argumento, ngunit ito ay sapat na upang malaman lamang ang ilan sa kanilang mga numerical na katangian; sa kasong ito, ginagawa namin nang walang anumang mga batas ng pamamahagi. Ang pagtukoy sa mga numerical na katangian ng mga function sa pamamagitan ng mga ibinigay na numerical na katangian ng mga argumento ay malawakang ginagamit sa probability theory at ginagawang posible na makabuluhang pasimplehin ang solusyon ng isang bilang ng mga problema. Para sa karamihan, ang mga pinasimple na pamamaraan ay nauugnay sa mga linear na function; gayunpaman, pinapayagan din ng ilang elementarya na non-linear na function ang diskarteng ito.
Sa kasalukuyan, nagpapakita kami ng isang bilang ng mga theorems sa mga numerical na katangian ng mga function, na sa kanilang kabuuan ay kumakatawan sa isang napaka-simpleng apparatus para sa pagkalkula ng mga katangiang ito, na naaangkop sa isang malawak na hanay ng mga kondisyon.
1. Mathematical na inaasahan ng isang di-random na variable
Ang nakasaad na ari-arian ay medyo halata; ito ay mapapatunayan sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa isang di-random na variable bilang isang partikular na uri ng isang random, na may isang posibleng halaga na may posibilidad na isa; pagkatapos ay ayon sa pangkalahatang pormula para sa inaasahan sa matematika:
.
2. Pagpapakalat ng isang di-random na variable
Kung hindi random na halaga, pagkatapos
3. Pag-alis ng isang di-random na variable na lampas sa tanda ng inaasahan sa matematika
, (10.2.1)
ibig sabihin, ang isang hindi random na halaga ay maaaring alisin sa expectation sign.
Patunay.
a) Para sa hindi tuloy-tuloy na dami
b) Para sa tuluy-tuloy na dami
.
4. Pag-alis ng isang hindi random na halaga para sa tanda ng pagkakaiba at karaniwang paglihis
Kung ay isang di-random na variable, at random, kung gayon
, (10.2.2)
ibig sabihin, ang isang hindi random na halaga ay maaaring alisin sa dispersion sign sa pamamagitan ng pag-square nito.
Patunay. Sa pamamagitan ng kahulugan ng pagkakaiba-iba
Bunga
,
ibig sabihin, ang isang hindi random na halaga ay maaaring alisin sa tanda ng karaniwang paglihis sa pamamagitan ng ganap na halaga nito. Nakukuha namin ang patunay sa pamamagitan ng pagkuha ng square root mula sa formula (10.2.2) at isinasaalang-alang na ang r.s.c. ay isang mahalagang positibong halaga.
5. Mathematical na inaasahan ng kabuuan ng mga random na variable
Patunayan natin na para sa alinmang dalawang random na variable at
i.e. inaasahang halaga ang kabuuan ng dalawang random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga inaasahan sa matematika.
Ang ari-arian na ito ay kilala bilang ang expectation addition theorem.
Patunay.
a) Hayaang maging isang sistema ng mga di-tuloy na random na variable. Naaangkop sa kabuuan ng mga random na variable pangkalahatang pormula(10.1.6) para sa pag-asa ng isang function ng dalawang argumento:
.
Ang Ho ay hindi hihigit sa kabuuang posibilidad na ang halaga ay kukuha sa halaga :
;
Dahil dito,
.
Sa katulad na paraan, patunayan natin iyon
,
at ang teorama ay napatunayan.
b) Hayaan ang isang sistema ng tuluy-tuloy na random variable. Ayon sa formula (10.1.7)
. (10.2.4)
Binabago namin ang una sa mga integral (10.2.4):
;
gayundin
,
at ang teorama ay napatunayan.
Dapat na espesyal na tandaan na ang teorama ng pagdaragdag ng mga inaasahan sa matematika ay wasto para sa anumang mga random na variable - parehong umaasa at independiyente.
Ang expectation addition theorem ay maaaring pangkalahatan sa isang arbitrary na bilang ng mga termino:
, (10.2.5)
i.e. ang mathematical expectation ng sum ng ilang random variables ay katumbas ng sum ng kanilang mathematical expectations.
Upang patunayan ito, sapat na upang ilapat ang paraan ng kumpletong induction.
6. Mathematical na inaasahan ng isang linear function
Isaalang-alang ang isang linear na function ng ilang mga random na argumento:
kung saan ang mga non-random coefficients. Patunayan natin yan
, (10.2.6)
i.e. ang mean ng isang linear function ay katumbas ng parehong linear function ng mean ng mga argumento.
Patunay. Gamit ang addition theorem m.o. at ang panuntunan ng pagkuha ng isang di-random na variable mula sa tanda ng m. o., nakukuha natin:
.
7. Dispepitong kabuuan ng mga random na variable
Ang pagkakaiba-iba ng kabuuan ng dalawang random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba-iba kasama ang dalawang beses sa sandali ng ugnayan:
Patunay. Magpakilala
Ayon sa karagdagan theorem ng matematikal na mga inaasahan
Ipasa natin mula sa mga random na variable patungo sa katumbas na mga variable na nakasentro. Ang pagbabawas ng termino sa pamamagitan ng termino mula sa pagkakapantay-pantay (10.2.8) pagkakapantay-pantay (10.2.9), mayroon tayong:
Sa pamamagitan ng kahulugan ng pagkakaiba-iba
Q.E.D.
Ang formula (10.2.7) para sa pagkakaiba ng kabuuan ay maaaring gawing pangkalahatan sa anumang bilang ng mga termino:
,
(10.2.10)
kung saan ang sandali ng ugnayan ng mga halaga, ang tanda sa ilalim ng kabuuan ay nangangahulugan na ang pagsusuma ay nalalapat sa lahat ng posibleng pairwise na kumbinasyon ng mga random na variable 
.
Ang patunay ay katulad ng nauna at sumusunod mula sa formula para sa parisukat ng isang polynomial.
Ang formula (10.2.10) ay maaaring isulat sa ibang anyo:
, (10.2.11)
kung saan ang double sum ay umaabot sa lahat ng elemento ng correlation matrix ng sistema ng mga dami , na naglalaman ng parehong mga sandali ng ugnayan at pagkakaiba.
Kung lahat ng random variable , kasama sa system, ay walang kaugnayan (ibig sabihin, sa ), ang formula (10.2.10) ay nasa form:
, (10.2.12)
ibig sabihin, ang pagkakaiba ng kabuuan ng mga uncorrelated na random na variable ay katumbas ng kabuuan ng mga pagkakaiba ng mga termino.
Ang proposisyong ito ay kilala bilang variance addition theorem.
8. Pagpapakalat ng isang linear function
Isaalang-alang ang isang linear function ng ilang random variable.
kung saan ang mga di-random na variable.
Patunayan natin na ang dispersion ng linear function na ito ay ipinahayag ng formula
, (10.2.13)
saan ang sandali ng ugnayan ng mga dami , .
Patunay. Ipakilala natin ang notasyon:
. (10.2.14)
Ang paglalapat ng formula (10.2.10) para sa pagkakaiba ng kabuuan sa kanang bahagi ng expression (10.2.14) at isinasaalang-alang na , nakukuha natin ang:
nasaan ang sandali ng ugnayan ng mga dami:
.
Kalkulahin natin ang sandaling ito. Meron kami:
;
gayundin
Ang pagpapalit ng expression na ito sa (10.2.15), dumating tayo sa formula (10.2.13).
Sa partikular na kaso kapag ang lahat ng dami walang ugnayan, ang formula (10.2.13) ay nasa anyo:
, (10.2.16)
ibig sabihin, ang pagkakaiba ng isang linear na function ng mga uncorrelated na random na variable ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga parisukat ng mga coefficient at ang mga pagkakaiba-iba ng mga katumbas na argumento.
9. Mathematical na inaasahan ng produkto ng mga random na variable
Ang pag-asa sa matematika ng produkto ng dalawang random na variable ay katumbas ng produkto ng kanilang mga inaasahan sa matematika kasama ang sandali ng ugnayan:
Patunay. Magpapatuloy tayo mula sa kahulugan ng sandali ng ugnayan:
Binabago namin ang expression na ito gamit ang mga katangian ng inaasahan sa matematika:
na malinaw na katumbas ng formula (10.2.17).
Kung ang mga random na variable ay walang kaugnayan, ang formula (10.2.17) ay kukuha ng form:
ibig sabihin, ang mean ng produkto ng dalawang uncorrelated random variable ay katumbas ng produkto ng kanilang mean.
Ang pahayag na ito ay kilala bilang expectation multiplication theorem.
Ang formula (10.2.17) ay walang iba kundi isang pagpapahayag ng pangalawang pinaghalong gitnang sandali ng system sa mga tuntunin ng pangalawang pinaghalong inisyal na sandali at mga inaasahan sa matematika:
. (10.2.19)
Ang expression na ito ay kadalasang ginagamit sa pagsasanay kapag kinakalkula ang sandali ng ugnayan sa parehong paraan na para sa isang random na variable ang pagkakaiba ay madalas na kinakalkula sa pamamagitan ng pangalawang paunang sandali at ang inaasahan sa matematika.
Ang expectation multiplication theorem ay maaari ding gawing pangkalahatan sa isang di-makatwirang bilang ng mga salik, tanging sa kasong ito para sa paggamit nito ay hindi sapat na ang mga dami ay hindi magkakaugnay, ngunit kinakailangan na ang ilang mas mataas na halo-halong sandali ay mawawala din, ang bilang nito ay depende sa ang bilang ng mga termino sa produkto. Ang mga kundisyong ito ay tiyak na nasiyahan kung ang mga random na variable na kasama sa produkto ay independyente. Sa kasong ito
, (10.2.20)
i.e. ang mathematical expectation ng produkto ng independent random variables ay katumbas ng product ng kanilang mathematical expectations.
Ang panukalang ito ay madaling mapatunayan sa pamamagitan ng kumpletong induction.
10. Pagpapakalat ng produkto ng mga independiyenteng random na variable
Patunayan natin iyon para sa mga independiyenteng variable
Patunay. Tukuyin natin ang . Sa pamamagitan ng kahulugan ng pagkakaiba-iba
Dahil ang mga dami ay independyente, at
Para sa independyente, ang mga dami ay independiyente rin; Dahil dito,
,
Ngunit walang iba kundi ang pangalawang unang sandali ng dami , at, samakatuwid, ay ipinahayag sa mga tuntunin ng pagkakaiba:
;
gayundin
.
Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa formula (10.2.22) at nagdadala ng mga katulad na termino, dumating tayo sa formula (10.2.21).
Sa kaso kung ang mga nakasentro na random na variable ay pinarami (mga halaga na may mga inaasahan sa matematika na katumbas ng zero), ang formula (10.2.21) ay kumukuha ng form:
, (10.2.23)
ibig sabihin, ang pagkakaiba ng produkto ng mga independent centered random variable ay katumbas ng produkto ng kanilang mga variance.
11. Mas mataas na mga sandali ng kabuuan ng mga random na variable
Sa ilang mga kaso, kinakailangan upang kalkulahin ang mas mataas na mga sandali ng kabuuan ng mga independiyenteng random na variable. Patunayan natin ang ilang kaugnay na relasyon.
1) Kung ang mga dami ay independyente, kung gayon
Patunay.
kung saan sa pamamagitan ng expectation multiplication theorem
Ngunit ang unang sentral na sandali para sa anumang dami sero; dalawang gitnang termino ang nawawala, at ang formula (10.2.24) ay napatunayan.
Ang kaugnayan (10.2.24) ay madaling gawing pangkalahatan sa pamamagitan ng induction sa isang arbitraryong bilang ng mga independiyenteng termino:
. (10.2.25)
2) Ang ikaapat na sentral na sandali ng kabuuan ng dalawang independiyenteng random na mga variable ay ipinahayag ng formula
nasaan ang mga pagpapakalat ng at .
Ang patunay ay eksaktong kapareho ng nauna.
Gamit ang paraan ng kumpletong induction, madaling patunayan ang generalization ng formula (10.2.26) sa isang arbitrary na bilang ng mga independiyenteng termino.
Solusyon.
Bilang isang sukatan ng pagpapakalat ng mga halaga ng isang random na variable, ginagamit namin pagpapakalat
Ang dispersion (ang salitang dispersion ay nangangahulugang "scattering") ay sukat ng pagpapakalat ng mga halaga ng isang random na variable tungkol sa mathematical expectation nito. Ang dispersion ay ang mathematical expectation ng squared deviation ng isang random variable mula sa mathematical expectation nito.
Kung ang random na variable ay discrete na may isang walang katapusan ngunit mabibilang na hanay ng mga halaga, kung gayon
kung ang serye sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay nagtatagpo.
Mga katangian ng pagpapakalat.
- 1. Ang pagpapakalat ng isang pare-parehong halaga ay zero
- 2. Ang pagkakaiba ng kabuuan ng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan ng mga pagkakaiba
- 3. Ang isang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng pagkakaiba-iba na squared
Ang pagkakaiba ng pagkakaiba ng mga random na variable ay katumbas ng kabuuan ng mga pagkakaiba
Ang ari-arian na ito ay bunga ng pangalawa at pangatlong pag-aari. Maaari lamang magdagdag ng mga pagkakaiba.
Ang pagkakaiba ay maginhawang kinakalkula sa pamamagitan ng isang formula na madaling makuha gamit ang mga katangian ng pagkakaiba
Ang dispersion ay palaging positibo.
Ang pagpapakalat ay may sukat ang parisukat ng sukat ng random na variable mismo, na hindi palaging maginhawa. Samakatuwid, ang dami
Katamtaman karaniwang lihis (karaniwang lihis o pamantayan) ng isang random na variable ay tinatawag na arithmetic value ng square root ng variance nito
Magtapon ng dalawang barya sa mga denominasyon ng 2 at 5 rubles. Kung ang barya ay bumagsak kasama ang coat of arms, kung gayon ang mga zero na puntos ay iginawad, at kung ito ay isang numero, kung gayon ang bilang ng mga puntos ay katumbas ng halaga ng barya. Hanapin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng bilang ng mga puntos.
Solusyon. Hanapin muna natin ang distribusyon ng random variable X - ang bilang ng mga puntos. Lahat ng kumbinasyon - (2; 5), (2; 0), (0; 5), (0; 0) - ay pantay na malamang at ang batas sa pamamahagi:
Inaasahang halaga:
Hahanapin natin ang dispersion sa pamamagitan ng formula
bakit natin kinakalkula
Halimbawa 2
Maghanap ng hindi kilalang posibilidad R, mathematical na inaasahan at pagkakaiba ng isang discrete random variable na ibinigay ng probability distribution table
Nahanap namin ang mathematical na inaasahan at pagkakaiba:
M(X) = 00,0081 + 10,0756 + 20,2646 + 3 0,4116 + +40,2401=2,8
Upang kalkulahin ang dispersion, ginagamit namin ang formula (19.4)
D(X) = 020 ,0081 + 120,0756 + 220,2646 + 320,4116 + 420,2401 - 2,82 = 8,68 -
Halimbawa 3 Dalawang pantay na atleta ang may hawak na torneo na tatagal hanggang sa unang tagumpay ng isa sa kanila, o hanggang limang laro ang nilaro. Ang posibilidad na manalo sa isang laro para sa bawat isa sa mga atleta ay 0.3, at ang posibilidad ng isang draw ay 0.4. Hanapin ang batas sa pamamahagi, inaasahan sa matematika at pagkakaiba-iba ng bilang ng mga larong nilalaro.
Solusyon. Random na halaga X- ang bilang ng mga laro na nilalaro, tumatagal ng mga halaga mula 1 hanggang 5, i.e.
Alamin natin ang mga probabilidad ng pagtatapos ng laban. Magtatapos ang laban sa unang set kung nanalo ang isa sa mga atleta. Ang posibilidad na manalo ay
R(1) = 0,3+0,3 =0,6.
Kung nagkaroon ng draw (ang posibilidad ng isang draw ay 1 - 0.6 = 0.4), pagkatapos ay magpapatuloy ang laban. Ang laban ay magtatapos sa ikalawang laro, kung ang una ay isang tabla, at may nanalo sa pangalawa. Probability
R(2) = 0,4 0,6=0,24.
Katulad nito, ang laban ay magtatapos sa ikatlong laro kung mayroong dalawang magkasunod na tabla at muli ay may nanalo
R(3) = 0,4 0,4 0,6 = 0,096. R(4)= 0,4 0,4 0,4 0,6=0,0384.
Ang ikalimang partido sa anumang variant ay ang huli.
R(5)= 1 - (R(1)+R(2)+R(3)+R(4)) = 0,0256.
Ibuod natin ang lahat sa isang talahanayan. Ang batas ng pamamahagi ng random variable na "bilang ng mga larong napanalunan" ay may anyo
Inaasahang halaga
Ang dispersion ay kinakalkula ng formula (19.4)
Mga karaniwang discrete distribution.
Binomial na pamamahagi. Hayaang ipatupad ang scheme ng eksperimento ng Bernoulli: n magkaparehong independyenteng mga eksperimento, kung saan ang bawat isa ay isang kaganapan A maaaring lumitaw na may pare-parehong posibilidad p at hindi lilitaw na may posibilidad
(tingnan ang lecture 18).
Bilang ng mga paglitaw ng kaganapan A Sa mga ito n mga eksperimento mayroong isang discrete random variable X, ang mga posibleng halaga nito ay:
0; 1; 2; ... ;m; ... ; n.
Ang posibilidad ng hitsura m mga kaganapan A sa isang partikular na serye mula sa n Ang mga eksperimento at ang batas sa pamamahagi ng naturang random variable ay ibinibigay ng Bernoulli formula (tingnan ang lecture 18)
 |
Mga de-numerong katangian ng isang random na variable X ibinahagi ayon sa binomial na batas:
Kung ang n ay malaki (), pagkatapos, sa, formula (19.6) napupunta sa formula
at ang tabulated Gaussian function (ang talahanayan ng mga halaga ng Gaussian function ay ibinibigay sa dulo ng lecture 18).
Sa pagsasagawa, kadalasan ay hindi ang probabilidad mismo ang mahalaga. m mga pangyayari A sa isang partikular na serye n mga karanasan, at ang posibilidad na ang kaganapan PERO lalabas man lang
beses at hindi na ulit, ibig sabihin, ang posibilidad na kunin ng X ang mga halaga
Upang gawin ito, kailangan nating isama ang mga probabilidad
Kung ang n ay malaki (), pagkatapos, sa, formula (19.9) napupunta sa tinatayang formula
tabulated function. Ang mga talahanayan ay ibinigay sa pagtatapos ng Lecture 18.
Kapag gumagamit ng mga talahanayan, tandaan iyon
Halimbawa 1. Ang kotse, papalapit sa intersection, ay maaaring magpatuloy sa paglipat sa alinman sa tatlong kalsada: A, B o C na may parehong posibilidad. Limang sasakyan ang papalapit sa intersection. Hanapin ang average na bilang ng mga sasakyan na pupunta sa kalsada A at ang posibilidad na tatlong sasakyan ang pupunta sa kalsada B.
Solusyon. Ang bilang ng mga sasakyang dumadaan sa bawat isa sa mga kalsada ay isang random na variable. Kung ipagpalagay namin na ang lahat ng mga kotse na papalapit sa intersection ay naglalakbay nang hiwalay sa isa't isa, kung gayon ang random na variable na ito ay ibinahagi ayon sa binomial na batas na may
n= 5 at p = .
Samakatuwid, ang average na bilang ng mga sasakyan na susundan sa kalsada A ay ayon sa formula (19.7)
at ang nais na posibilidad sa
Halimbawa 2 Ang posibilidad ng pagkabigo ng device sa bawat pagsubok ay 0.1. 60 pagsubok ng device ang ginawa. Ano ang posibilidad na mabigo ang aparato: a) 15 beses; b) hindi hihigit sa 15 beses?
a. Dahil ang bilang ng mga pagsubok ay 60, ginagamit namin ang formula (19.8)
Ayon sa talahanayan 1 ng apendiks sa panayam 18, makikita natin
b. Gumagamit kami ng formula (19.10).
Ayon sa talahanayan 2 ng apendiks sa panayam 18
- - 0,495
- 0,49995
Poisson distribution) batas ng mga bihirang phenomena). Kung ang n mahusay, at R maliit (), habang ang produkto atbp nagpapanatili ng pare-parehong halaga, na tinutukoy namin ng l,
pagkatapos ang formula (19.6) ay pupunta sa Poisson formula
Ang batas sa pamamahagi ng Poisson ay may anyo:
Malinaw, ang kahulugan ng batas ni Poisson ay tama, dahil ang pangunahing pag-aari ng serye ng pamamahagi
natupad, dahil row sum
Ang pagpapalawak sa isang serye ng mga function ay nakasulat sa panaklong para sa
Teorama. Ang mathematical expectation at variance ng isang random variable na ibinahagi ayon sa Poisson law ay nag-tutugma at katumbas ng parameter ng batas na ito, i.e.
Patunay.
Halimbawa. Upang maisulong ang mga produkto nito sa merkado, naglalatag ang kumpanya mga mailbox mga leaflet ng advertising. Ang nakaraang karanasan ay nagpapakita na sa halos isang kaso sa 2,000 isang order ang sumusunod. Hanapin ang posibilidad na hindi bababa sa isang order ang matatanggap pagkatapos maglagay ng 10,000 flyer, ang average na bilang ng mga order na natanggap, at ang pagkakaiba-iba ng bilang ng mga order na natanggap.
Solusyon. Dito
Ang posibilidad na hindi bababa sa isang order ang dumating ay matatagpuan sa pamamagitan ng posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan, i.e.
Random na stream ng mga kaganapan. Ang isang stream ng mga kaganapan ay isang pagkakasunod-sunod ng mga kaganapan na nagaganap sa mga random na sandali oras. Ang mga karaniwang halimbawa ng mga daloy ay mga pagkabigo sa mga network ng computer, mga tawag sa mga palitan ng telepono, isang daloy ng mga kahilingan para sa pag-aayos ng kagamitan, atbp.
Daloy ang tawag sa mga pangyayari nakatigil, kung ang posibilidad na matamaan ang isa o ibang bilang ng mga kaganapan sa isang agwat ng oras ng haba ay nakasalalay lamang sa haba ng agwat at hindi nakasalalay sa lokasyon ng agwat ng oras sa axis ng oras.
Ang kondisyon ng pagkatigil ay nasiyahan sa daloy ng mga aplikasyon, ang mga probabilistikong katangian na hindi nakasalalay sa oras. Sa partikular, ang isang nakatigil na daloy ay nailalarawan sa pamamagitan ng isang pare-pareho ang density (average na bilang ng mga kahilingan sa bawat yunit ng oras). Sa pagsasagawa, madalas na may mga daloy ng mga aplikasyon na (kahit sa isang limitadong panahon) ay maaaring ituring na nakatigil. Halimbawa, ang daloy ng mga tawag sa isang palitan ng telepono ng lungsod sa pagitan ng oras mula 12 hanggang 13 oras ay maaaring ituring na nakatigil. Ang parehong daloy sa buong araw ay hindi na maituturing na nakatigil (sa gabi ang density ng mga tawag ay mas mababa kaysa sa araw).
Daloy ang mga pangyayari ay tinatawag na batis na walang epekto, kung para sa anumang hindi magkakapatong na mga segment ng oras ang bilang ng mga kaganapang bumabagsak sa isa sa mga ito ay hindi nakadepende sa bilang ng mga kaganapang bumabagsak sa iba.
Ang kondisyon ng walang aftereffect, na pinakamahalaga para sa pinakasimpleng daloy, ay nangangahulugan na ang mga claim ay pumapasok sa system nang hiwalay sa isa't isa. Halimbawa, ang daloy ng mga pasahero na pumapasok sa istasyon ng metro ay maaaring ituring na isang daloy na walang epekto, dahil ang mga dahilan na naging sanhi ng pagdating ng isang indibidwal na pasahero sa partikular na sandali at hindi isa pa, bilang panuntunan, ay hindi nauugnay sa mga katulad na dahilan para sa iba mga pasahero. Gayunpaman, ang kondisyon ng kawalan ng isang aftereffect ay madaling masira dahil sa hitsura ng naturang pag-asa. Halimbawa, ang daloy ng mga pasahero na umaalis sa isang istasyon ng metro ay hindi na maituturing na isang daloy na walang epekto, dahil ang mga oras ng paglabas ng mga pasaherong dumarating sa parehong tren ay nakadepende sa isa't isa.
Daloy ang tawag sa mga pangyayari karaniwan, kung ang posibilidad na matamaan ang dalawa o higit pang mga kaganapan sa isang maliit na agwat ng oras t ay bale-wala kumpara sa posibilidad na matamaan ang isang kaganapan (sa bagay na ito, ang batas ni Poisson ay tinatawag na batas ng mga bihirang kaganapan).
Ang kundisyon ng ordinarity ay nangangahulugan na ang mga aplikasyon ay pumapasok nang paisa-isa, at hindi sa mga pares, triplets, atbp. variance deviation Pamamahagi ng Bernoulli
Halimbawa, ang daloy ng mga customer na pumapasok sa isang hairdressing salon ay maaaring ituring na halos karaniwan. Kung sa isang pambihirang daloy ng mga aplikasyon ay dumating lamang sa mga pares, lamang sa triplets, atbp, at pagkatapos ay ang pambihirang daloy ay madaling mabawasan sa isang ordinaryong isa; upang gawin ito, sa halip na isang stream ng mga indibidwal na aplikasyon, sapat na upang isaalang-alang ang isang stream ng mga pares, triplets, atbp. Ito ay magiging mas mahirap kung ang bawat aplikasyon ay maaaring random na maging doble, triple, atbp. Pagkatapos ay mayroon nang isa upang harapin ang isang stream ng hindi homogenous, ngunit heterogenous na mga kaganapan.
Kung ang daloy ng mga kaganapan ay may lahat ng tatlong katangian (i.e., ito ay nakatigil, karaniwan, at walang epekto), kung gayon ito ay tinatawag na pinakasimpleng (o nakatigil na Poisson) na daloy. Ang pangalang "Poisson" ay dahil sa katotohanan na, napapailalim sa mga kundisyon sa itaas, ang bilang ng mga kaganapan na nahuhulog sa anumang nakapirming agwat ng oras ay ipapamahagi sa Batas ni Poisson
Narito ang average na bilang ng mga kaganapan A lumilitaw sa bawat yunit ng oras.
Ang batas na ito ay one-parametric, i.e. nangangailangan lamang ito ng isang parameter upang malaman. Maaari itong ipakita na ang matematikal na inaasahan at pagkakaiba sa batas ni Poisson ay pantay sa bilang:
Halimbawa. Hayaan sa kalagitnaan ng araw ng trabaho, ang average na bilang ng mga kahilingan ay 2 bawat segundo. Ano ang posibilidad na 1) walang matatanggap na kahilingan sa isang segundo, 2) 10 kahilingan ang matatanggap sa loob ng dalawang segundo?
Solusyon. Dahil ang bisa ng aplikasyon ng batas ni Poisson ay walang pag-aalinlangan at ang parameter nito ay itinakda (= 2), ang solusyon ng problema ay nabawasan sa aplikasyon ng Poisson formula (19.11)
1) t = 1, m = 0:
2) t = 2, m = 10:
Batas malalaking numero. Ang batayan ng matematika para sa katotohanan na ang mga halaga ng isang random na variable ay pinagsama sa paligid ng ilang mga pare-parehong halaga ay ang batas ng malalaking numero.
Sa kasaysayan, ang unang pagbabalangkas ng batas ng malalaking numero ay ang theorem ni Bernoulli:
"Sa isang walang limitasyong pagtaas sa bilang ng magkapareho at independiyenteng mga eksperimento n, ang dalas ng paglitaw ng kaganapan A ay nagtatagpo sa posibilidad sa posibilidad nito", i.e.
saan ang dalas ng paglitaw ng kaganapan A sa n mga eksperimento,
Sa kabuuan, ang expression (19.10) ay nangangahulugan na kapag malalaking numero nakakaranas ng dalas ng kaganapan A maaaring palitan ang hindi alam na posibilidad ng kaganapang ito, at kung mas marami ang bilang ng mga eksperimento, mas malapit ang p* sa p. kawili-wili makasaysayang katotohanan. Si K. Pearson ay naghagis ng barya ng 12000 beses at ang kanyang coat of arm ay nahulog ng 6019 beses (frequency 0.5016). Nang ihagis ang parehong barya ng 24,000 beses, nakatanggap siya ng 12,012 patak ng coat of arms, i.e. dalas 0.5005.
Ang pinakamahalagang anyo ng batas ng malalaking numero ay ang teorama ni Chebyshev: na may walang limitasyong pagtaas sa bilang ng mga independiyente, pagkakaroon ng isang may hangganan na pagkakaiba-iba at isinasagawa sa ilalim ng parehong mga kondisyon ng mga eksperimento, ang arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga ng isang random na variable ay nagtatagpo sa posibilidad sa kanyang inaasahan sa matematika. Sa analytical form, ang theorem na ito ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
Ang teorama ni Chebyshev, bilang karagdagan sa pangunahing teoretikal na kahalagahan nito, ay mayroon ding isang mahalaga praktikal na gamit, halimbawa, sa teorya ng mga sukat. Pagkatapos ng n mga sukat ng ilang dami X, kumuha ng iba't ibang hindi tugmang mga halaga X 1, X 2, ..., xn. Para sa tinatayang halaga ng sinusukat na halaga X kunin ang arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga
kung saan, mas maraming eksperimento ang isinasagawa, mas tumpak ang magiging resulta. Ang katotohanan ay ang pagkakaiba-iba ng halaga ay bumababa sa isang pagtaas sa bilang ng mga eksperimento na isinagawa, dahil
D(x 1) = D(x 2)=…= D(xn) D(x), pagkatapos
Ang kaugnayan (19.13) ay nagpapakita na kahit na may mataas na kamalian ng mga instrumento sa pagsukat (malaking halaga), sa pamamagitan ng pagtaas ng bilang ng mga sukat, posibleng makakuha ng resulta na may arbitraryong mataas na katumpakan.
Gamit ang formula (19.10), mahahanap ng isa ang posibilidad na ang dalas ng istatistika ay lumihis mula sa posibilidad ng hindi hihigit sa
Halimbawa. Ang posibilidad ng isang kaganapan sa bawat pagsubok ay 0.4. Gaano karaming mga pagsubok ang dapat isagawa upang asahan na may posibilidad na hindi bababa sa 0.8 na ang relatibong dalas ng isang kaganapan ay lumihis mula sa probability modulo na mas mababa sa 0.01?
Solusyon. Ayon sa formula (19.14)
samakatuwid, ayon sa talahanayan, mayroong dalawang aplikasyon
Dahil dito, n 3932.
Gayunpaman, ang paksa ay hindi nagtatapos doon. Ang pagpapakalat ay may iba't ibang mga kapaki-pakinabang na katangian na malalaman natin sa post na ito.
Ang dispersion ay ginagamit sa isang malawak na iba't ibang mga formula at mga pamamaraan ng pagsusuri. Para maintindihan ng mabuti malalim na kahulugan ilang mga formula, napakagandang malaman kung paano sila nabuo. Kung gayon ang pagsusuri ng data ay magiging mas kawili-wili at mauunawaan.
Kaya, ang formula ng pagkakaiba-iba ay ang mga sumusunod:
Mga dating pagtatalaga:
D- pagpapakalat,
x- ang nasuri na tagapagpahiwatig, na may linya sa itaas - ang average na halaga ng tagapagpahiwatig,
n ay ang bilang ng mga halaga sa nasuri na set ng data.
Sa totoo lang, ang ganitong uri ng formula ay direktang sumasalamin sa kakanyahan nito - ang average na parisukat ng mga deviations. Ngunit kung ano ang kapaki-pakinabang na tandaan dito. Noong mga panahong iyon, kapag ang mga tao ay wala pang PC, ang mga kalkulasyon ay kailangang gawin sa isang piraso ng papel o sa isip. Ang punto, siyempre, ay kapaki-pakinabang - ito ay bubuo ng mga talino, ngunit hindi lubos na nakakatulong sa bilis at katumpakan. Gayunpaman, kahit na ngayon ay maaaring makatagpo ng pangangailangan para sa mga manu-manong kalkulasyon at pagmamanipula gamit ang formula. Sa kasong ito, ito ay maginhawa upang kumatawan sa dispersion formula sa ibang anyo:
Iyon ay, bilang pagkakaiba sa pagitan ng mean square at square ng mean ng orihinal na mga halaga. Walang mga direktang paglihis mula sa arithmetic mean, na ginagawang mas simple ang formula. Siguraduhin natin na ang parehong mga formula para sa pagkalkula ng pagkakaiba ay magkapareho. Upang gawin ito, isusulat namin muli ang orihinal na anyo.
Ngayon, palawakin natin ang mga bracket.
kasi ang arithmetic mean para sa isang ibinigay na set ng data ay isang pare-parehong halaga, pagkatapos ay para sa isang dobleng produkto maaari kang mag-apply:
Hatiin ang bawat termino ng numerator sa pamamagitan ng n.
Finishing touch.
Nagsama-sama ang lahat.
Iminumungkahi kong tandaan ang paraan ng pagsulat na ito. Tiyak na magiging kapaki-pakinabang.
Sa mga nakaraang publikasyon, walang sinabi tungkol sa katotohanan na, sa pamamagitan ng pagkakatulad sa arithmetic mean, ang pagkakaiba ay maaaring maging simple at may timbang. Sa ngayon, simpleng variance lang ang isinasaalang-alang namin. Ngunit kung ang paunang data ay pinagsama-sama, kung gayon ang mga timbang ay kailangan hindi lamang para sa pagkalkula , kundi pati na rin para sa pagkalkula ng pagkakaiba:
saan f– mga timbang (bilang ng mga halaga sa isang pangkat).
Pag-extract Kuwadrado na ugat, nakukuha natin ang weighted standard deviation. Tulad ng arithmetic mean, ang simpleng variance ay maaaring ituring na isang espesyal na kaso ng weighted, kapag ang lahat ng mga timbang ay katumbas ng isa.
Walang kumplikado dito - ang numerator ay kumukuha pa rin ng kabuuan ng lahat ng mga paglihis, at hindi lamang mga kakaiba, at ang denominator - ang bilang ng lahat ng mga obserbasyon, kahit na ang mga paulit-ulit.
Kadalasan ay mahirap para sa isang walang karanasan na analyst na maunawaan kung paano ilarawan ang pagkakaiba. Narito ang average - ito ay malinaw, isang bagay sa gitna. Halimbawa, ang sentro ng masa sa figure mula sa nakaraang artikulo. Sa parehong pigura, makikita rin ng isa pisikal na kahulugan pagpapakalat. Hayaan mong ipaalala ko sa iyo na kumukuha kami ng isang karayom sa pagniniting na may strung weights. Ang average na arithmetic ng mga distansya mula sa simula ng spoke sa bawat isa sa mga timbang ay tumutugma sa punto ng ekwilibriyo. Gayunpaman, may isa pang mahalaga pisikal na katangian ang ganitong sistema ay ang sandali ng pagkawalang-galaw.
Kung paanong ang masa ng isang katawan ay nagpapakilala sa pagkawalang-galaw nito sa paggalaw ng pagsasalin, ang sandali ng pagkawalang-galaw ay may katulad na kahulugan sa paggalaw ng pag-ikot. Halimbawa, ang isang kotse, dahil sa masa nito (inertia), ay hindi maaaring tumigil kaagad (maliban sa panahon ng pagsubok sa pag-crash). Katulad nito, mahirap na agad na ihinto ang isang swing sa mga tao (tulad ng isang bangka sa isang parke ng kultura at libangan). Ang kaso ng kotse ay translational, na may swing ay rotational. Hindi tulad ng inertia sa translational motion, ang sandali ng inertia ay nakasalalay hindi lamang sa masa, kundi pati na rin sa distansya ng masa mula sa punto ng pag-ikot. Kung mas malayo ang katawan mula sa punto ng pag-ikot, mas malaki ang moment of inertia na mayroon ito. Ang isang mahabang hawakan ng palakol ay magpapahintulot sa iyo na putulin ang isang puno nang mas mahusay kaysa sa isang maikli. Bumalik tayo sa aming larawan na may mga timbang sa spoke at magdagdag ng ilang mga paliwanag dito.
Sa ganoong sistema, ang sandali ng pagkawalang-galaw ay katumbas ng kabuuan ang mga produkto ng mga parisukat ng mga distansya ng bawat timbang sa punto ng ekwilibriyo at ang kaukulang masa. Ang formula para sa moment of inertia ay:
saan m- masa ng isang solong timbang
Madaling makita na ang distansya ng mga timbang sa gitna ay isang paglihis din sa average. Ang masa ng mga timbang sa kasong ito ay tumutugma sa bigat ng pagpapalihis (sa isang istatistikal na kahulugan). Mula dito madaling makita na ang sandali ng pagkawalang-galaw ng isang balanseng sistema ay ang numerator ng pagpapakalat ng mga distansya ng mga timbang sa gitna ng masa. Ang mas malayo ang mga timbang ay mula sa gitna, mas malaki ang sandali ng pagkawalang-galaw at, nang naaayon, ang pagpapakalat.
Mga Katangian ng Dispersion
Tulad ng nabanggit ko nang higit sa isang beses, ang pagpapakalat mismo ay isang hindi nakapagtuturo na tagapagpahiwatig. Ang pagkakaiba ay palaging inihahambing sa isang bagay at ginagamit sa iba pang mga formula. Samakatuwid ito ay napakahalagang malaman mga katangian ng matematika. Inirerekomenda ko na basahin mo ang sumusunod na may pag-iisip at, kung maaari, tandaan.
Para sa kalinawan, tinutukoy namin ang pagkakaiba bilang D(X).
Ari-arian 1. Patuloy na pagpapakalat A ay 0 (zero).
D(A) = 0.
Ito ay hindi nakakagulat - isang pare-pareho ang halaga ay walang deviations.
Ari-arian 2. Kung ang isang random na variable ay pinarami ng isang pare-pareho PERO, kung gayon ang pagkakaiba ng random na variable na ito ay tataas sa A 2 minsan. Sa madaling salita, ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa dispersion sign sa pamamagitan ng pag-square nito.
D(AX) = A 2 D(X).
Ang pag-aari na ito ay lubos na halata kung naaalala natin na kapag kinakalkula ang pagkakaiba, ang mga paglihis mula sa mean ay naka-squad.
Ari-arian 3. Kung idaragdag (o ibawas) natin ang pare-parehong A sa random variable, ang pagkakaiba ay mananatiling hindi nagbabago.
D(A+X) = D(X).
Ang ari-arian na ito ay medyo naiintindihan din, dahil lahat ng mga halaga at ang kanilang average na pagtaas ng parehong halaga, at kapag kinuha ang kanilang mga pagkakaiba, ang halaga PERO lumiliit lang.
Ari-arian 4. Kung random variables X at Y ay independyente, kung gayon ang pagkakaiba ng kanilang kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba.
D(X+Y) = D(X) + D(Y).
Dahil sa pangalawang paraan ng pagkalkula ng pagkakaiba-iba (tingnan sa itaas), pati na rin ang pag-asa sa matematika, ito ay nakuha nang simple:
D(X+Y) = M(X+Y) 2 - (M(X+Y)) 2 = M(X) 2 + 2M(XY) + M(Y) 2 - (M(X)) 2 - 2M(XY) — (M(Y)) 2 =
= M(X) 2 - (M(X)) 2 + M(Y) 2 - (M(Y)) 2 = D(X) + D(Y). H. t. d.
Ari-arian 5. Kung random variables X at Y ay independyente, kung gayon ang pagkakaiba ng kanilang pagkakaiba ay katumbas din ng kabuuan ng mga pagkakaiba.
D(X-Y) = D(X) + D(Y).
Isinasaalang-alang nito ang katotohanan na ang dispersion ay palaging positibo (lahat ng mga paglihis mula sa mean ay parisukat).
Sa masayang talang ito, tatapusin natin ang post na ito.
Lahat ng pinakamahusay. Halika muli at dalhin ang iyong mga kaibigan.
Ang pagpapakalat ng isang random na variable ay nagpapakilala sa sukatan ng pagkalat ng isang random na variable sa paligid ng kanyang inaasahan sa matematika.
Kung ang random variable na x ay may mathematical expectation M x, pagkatapos pagpapakalat ang random variable x ay tinatawag na quantity D x= M (x - M x) 2 .
Madaling ipakita iyon D x= M (x - M x) 2 =M x 2 - M (x) 2 .
Ang unibersal na formula na ito ay pantay na naaangkop para sa parehong mga discrete random variable at tuluy-tuloy. Halaga M x 2 >para sa discrete at tuloy-tuloy na random variable, ayon sa pagkakabanggit, ay kinakalkula ng mga formula
, 
.
Upang matukoy ang sukat ng pagkalat ng mga halaga ng isang random na variable, madalas itong ginagamit karaniwang lihis , na nauugnay sa pagpapakalat ng kaugnayan .
Ang mga pangunahing katangian ng pagpapakalat:
- ang pagkakaiba ng pare-pareho ay zero, D c=0;
- para sa isang arbitrary na pare-pareho D (cx) = c 2 D (x);
- pagkakaiba-iba ng kabuuan ng dalawa malaya ang mga random na variable ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga pagkakaiba-iba: D (x ± h) = D (x) + D (h).
51) Ang distribution function ay tinatawag na function , na tumutukoy sa posibilidad na kukunin ng random variable ang halaga na inilalarawan sa numerical axis sa pamamagitan ng isang punto sa kaliwa ng x point, i.e.
Minsan, sa halip na ang terminong "Distribution function", ang terminong "Integral function" ay ginagamit.
Mga katangian ng pagpapaandar ng pamamahagi:
1. Ang value ng distribution function ay kabilang sa interval : 0 F(x) 1
2. Ang F(x) ay isang hindi bumababa na function, i.e. F(x 2) F(x 1) kung x 2 >x 1
Corollary 1. Ang posibilidad na ang isang random na variable ay kukuha ng isang halaga na nasa pagitan (a,b) ay katumbas ng pagtaas ng function ng pamamahagi sa pagitan na ito:
P(isang X Halimbawa 9. Ang isang random na variable X ay ibinibigay ng isang distribution function: Hanapin ang probabilidad na, bilang resulta ng pagsubok, ang X ay kukuha ng halagang kabilang sa pagitan (0; 2): P(0 Solusyon: Dahil sa pagitan (0;2) ayon sa kundisyon, F(x)=x/4+1/4, pagkatapos ay F(2)-F(0)=(2/4+1/4)-(0 /4+1/4)=1/2. Kaya P(0 Corollary 2. Ang posibilidad na ang isang tuluy-tuloy na random variable X ay kukuha ng isang tiyak na halaga ay katumbas ng zero. Corollary 3. Kung ang mga posibleng halaga ng isang random na variable ay nabibilang sa pagitan (a;b), kung gayon: 1) F(x)=0 para sa x a; 2) F(x)=1 para sa x b. Ang graph ng distribution function ay matatagpuan sa strip na may hangganan ng mga tuwid na linya y=0, y=1 (ang unang property). Habang tumataas ang x sa pagitan (a;b), na naglalaman ng lahat ng posibleng halaga ng random variable, ang graph ay "tumataas". Para sa x a, ang mga ordinate ng graph ay katumbas ng zero; para sa x b, ang mga ordinate ng graph ay katumbas ng isa: function ng pamamahagi random variable X tinatawag na function F(x) pagpapahayag para sa bawat isa X ang posibilidad na ang random variable X tumatagal sa isang halaga na mas mababa sa X: Function F(x) tinawag pinagsama-samang function ng pamamahagi o integral na batas sa pamamahagi. Ang paraan ng pagtukoy ng tuluy-tuloy na random na variable gamit ang distribution function ay hindi lamang isa. Kinakailangang tukuyin ang ilang function na sumasalamin sa mga probabilidad ng isang random na punto na bumabagsak sa iba't ibang bahagi ng rehiyon ng mga posibleng halaga ng isang tuluy-tuloy na random variable. Iyon ay, upang magbigay ng ilang kapalit para sa mga probabilidad pi
para sa isang discrete random variable sa tuluy-tuloy na kaso. Ang ganitong function ay ang probability density distribution. Probability Density (density ng pamamahagi, pag-andar ng kaugalian) random variable X tinatawag na function f(x), na siyang unang derivative ng integral distribution function.
Ang mga sumusunod na ugnayan sa limitasyon ay wasto:
.
