Dalawang malaking limitasyon. Ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon: mga halimbawa ng paghahanap, mga problema at mga detalyadong solusyon

Ang termino " kahanga-hangang limitasyon ay malawakang ginagamit sa mga aklat-aralin at pantulong sa pagtuturo upang ipahiwatig ang mahahalagang pagkakakilanlan na nakakatulong nang malaki gawing simple ang gawain upang makahanap ng mga limitasyon.

Ngunit sa makapagdala limitasyon nito sa kahanga-hanga, kailangan mong tingnan ito nang mabuti, dahil hindi sila matatagpuan sa direktang anyo, at madalas sa anyo ng mga corollaries, nilagyan ng mga karagdagang termino at salik. Gayunpaman, una ang teorya, pagkatapos ang mga halimbawa, at magtatagumpay ka!

Unang kahanga-hangang limitasyon

Nagustuhan? Bookmark

Ang unang kahanga-hangang limitasyon ay nakasulat tulad ng sumusunod (isang kawalan ng katiyakan sa anyo na $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

Mga kahihinatnan mula sa unang kapansin-pansing limitasyon

Mga halimbawa ng solusyon: 1 magandang limitasyon

Halimbawa 1 Compute limit $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

Desisyon. Ang unang hakbang ay palaging pareho - pinapalitan namin ang limit na halaga $x=0$ sa function at makuha ang:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Nakakuha kami ng kawalan ng katiyakan sa form na $\left[\frac(0)(0)\right]$, na dapat lutasin. Kung titingnan mong mabuti, ang orihinal na limitasyon ay halos kapareho sa unang kapansin-pansin, ngunit hindi nag-tutugma dito. Ang aming gawain ay upang dalhin sa pagkakatulad. Ibahin natin ito tulad nito - tingnan ang expression sa ilalim ng sine, gawin ang parehong sa denominator (medyo pagsasalita, pinarami at hinati namin sa $3x$), pagkatapos ay bawasan at gawing simple:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

Sa itaas, ang unang kahanga-hangang limitasyon ay nakuha: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text( gumawa ng conditional substitution ) y=3x. $$ Sagot: $3/8$.

Halimbawa 2 Compute limit $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

Desisyon. Pinapalitan namin ang limit na halaga $x=0$ sa function at makuha ang:

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$

Nakakuha kami ng kawalan ng katiyakan sa form na $\left[\frac(0)(0)\right]$. Ibahin natin ang limitasyon, gamit ang unang kahanga-hangang limitasyon sa pagpapasimple (tatlong beses!):

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

Sagot: $9/16$.

Halimbawa 3 Hanapin ang limitasyon $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

Desisyon. Ngunit paano kung mayroong isang kumplikadong expression sa ilalim ng trigonometriko function? Hindi mahalaga, at dito kami kumikilos sa parehong paraan. Una, suriin ang uri ng kawalan ng katiyakan, palitan ang $x=0$ sa function at kunin ang:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Nakakuha kami ng kawalan ng katiyakan sa form na $\left[\frac(0)(0)\right]$. I-multiply at hatiin ng $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$

Muli ay nakuha ang kawalan ng katiyakan, ngunit sa kasong ito ito ay isang fraction lamang. Bawasan natin ang numerator at denominator ng $x$:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$

Sagot: $3/5$.

Ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon

Ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay nakasulat tulad ng sumusunod (kawalang-katiyakan ng form na $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(o) \quad \lim\limits_( x\to 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$

Mga kahihinatnan ng pangalawang kapansin-pansin na limitasyon

Mga halimbawa ng solusyon: 2 kahanga-hangang limitasyon

Halimbawa 4 Hanapin ang limitasyon $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$

Desisyon. Suriin natin ang uri ng kawalan ng katiyakan, palitan ang $x=\infty$ sa function at kunin ang:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

Nakakuha kami ng kawalan ng katiyakan sa form na $\left$. Ang limitasyon ay maaaring bawasan sa pangalawang kapansin-pansin. Ibahin natin:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\kanan)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

Ang naka-bracket na expression ay talagang pangalawang kahanga-hangang limitasyon $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, $t=- lang 3x/2$, kaya

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

Sagot:$e^(-2/3)$.

Halimbawa 5 Hanapin ang limitasyon $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $

Desisyon. Palitan ang $x=\infty$ sa function at kunin ang kawalan ng katiyakan ng form na $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. At kailangan namin ng $\left$. Kaya magsimula tayo sa pamamagitan ng pag-convert ng nakakulong na expression:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\kanan)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\kaliwa(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \right)^(x) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\right) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\kanan)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

Ang naka-bracket na expression ay talagang pangalawang kahanga-hangang limitasyon $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, tanging $t=\ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \sa \infty$, kaya

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Ang unang kapansin-pansing limitasyon ay tinatawag na sumusunod na pagkakapantay-pantay:

\begin(equation)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Dahil para sa $\alpha\to(0)$ mayroon kaming $\sin\alpha\to(0)$, sinasabi namin na ang unang kapansin-pansing limitasyon ay nagpapakita ng kawalan ng katiyakan ng anyong $\frac(0)(0)$. Sa pangkalahatan, sa formula (1), sa halip na variable na $\alpha$, sa ilalim ng sine sign at sa denominator, anumang expression ay maaaring matagpuan, hangga't dalawang kundisyon ay natutugunan:

1. Ang mga expression sa ilalim ng sine sign at sa denominator ay sabay-sabay na may posibilidad na zero, i.e. mayroong kawalan ng katiyakan sa anyo na $\frac(0)(0)$.
2. Ang mga expression sa ilalim ng sine sign at sa denominator ay pareho.

Ang mga resulta mula sa unang kapansin-pansing limitasyon ay madalas ding ginagamit:

\begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(equation) \begin(equation) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(equation)

Labing-isang halimbawa ang nalutas sa pahinang ito. Ang Halimbawa No. 1 ay nakatuon sa patunay ng mga formula (2)-(4). Ang mga halimbawa #2, #3, #4 at #5 ay naglalaman ng mga solusyon na may mga detalyadong komento. Ang mga halimbawa 6-10 ay naglalaman ng mga solusyon na may kaunti o walang komento, dahil ang mga detalyadong paliwanag ay ibinigay sa mga nakaraang halimbawa. Kapag nag-solve, ginagamit ang ilang mga trigonometric formula, na maaaring matagpuan.

Pansinin ko na ang pagkakaroon ng trigonometriko function, kasama ang kawalan ng katiyakan ng $\frac (0) (0)$, ay hindi nangangahulugan na ang unang kapansin-pansing limitasyon ay dapat ilapat. Minsan sapat na ang mga simpleng bagay mga pagbabagong trigonometriko, - halimbawa, tingnan ang .

Halimbawa #1

Patunayan na $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Dahil $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, kung gayon:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Dahil $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ at $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , pagkatapos:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Gawin natin ang kapalit na $\alpha=\sin(y)$. Dahil $\sin(0)=0$, pagkatapos ay mula sa kundisyong $\alpha\to(0)$ mayroon kaming $y\to(0)$. Bilang karagdagan, mayroong isang kapitbahayan ng zero kung saan $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, kaya:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Ang pagkakapantay-pantay na $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ ay napatunayan.

c) Gawin natin ang kapalit na $\alpha=\tg(y)$. Dahil $\tg(0)=0$, ang mga kundisyon na $\alpha\to(0)$ at $y\to(0)$ ay katumbas. Bilang karagdagan, mayroong isang kapitbahayan na zero kung saan $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, samakatuwid, umaasa sa mga resulta ng item a), mayroon kaming:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Ang pagkakapantay-pantay na $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ ay napatunayan.

Ang mga pagkakapantay-pantay a), b), c) ay kadalasang ginagamit kasama ng unang kapansin-pansing limitasyon.

Halimbawa #2

Compute limit $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Dahil $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ at $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, i.e. at ang numerator at denominator ng fraction ay sabay-sabay na may posibilidad na zero, pagkatapos dito tayo ay nakikitungo sa isang kawalan ng katiyakan ng form na $\frac(0)(0)$, i.e. tapos na. Bilang karagdagan, makikita na ang mga expression sa ilalim ng sine sign at sa denominator ay pareho (i.e., at nasiyahan):

Kaya, ang parehong mga kundisyon na nakalista sa simula ng pahina ay natutugunan. Ito ay sumusunod mula dito na ang formula ay naaangkop, i.e. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1$.

Sagot: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Halimbawa #3

Hanapin ang $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Dahil ang $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ at $\lim_(x\to(0))x=0$, kami ay humaharap sa isang kawalan ng katiyakan ng form na $\frac( 0 )(0)$, ibig sabihin, tapos na. Gayunpaman, ang mga expression sa ilalim ng sine sign at sa denominator ay hindi tugma. Dito kinakailangan na ayusin ang expression sa denominator sa nais na anyo. Kailangan natin ang expression na $9x$ para nasa denominator - pagkatapos ito ay magiging totoo. Sa esensya, nawawala ang $9$ factor sa denominator, na hindi ganoon kahirap ipasok, i-multiply lang ang expression sa denominator sa $9$. Naturally, upang mabayaran ang multiplikasyon ng $9$, kailangan mong agad na hatiin sa $9$ at hatiin:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

Ngayon ang mga expression sa denominator at sa ilalim ng sine sign ay pareho. Ang parehong kundisyon para sa limitasyong $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ ay nasiyahan. Samakatuwid $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. At nangangahulugan ito na:

$$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Sagot: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Halimbawa #4

Hanapin ang $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Dahil ang $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ at $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, dito tayo ay humaharap sa kawalan ng katiyakan ng form na $\frac(0)(0)$. Gayunpaman, ang anyo ng unang kapansin-pansin na limitasyon ay nasira. Ang numerator na naglalaman ng $\sin(5x)$ ay nangangailangan ng $5x$ sa denominator. Sa sitwasyong ito, ang pinakamadaling paraan ay hatiin ang numerator sa $5x$, at agad na i-multiply sa $5x$. Bilang karagdagan, magsasagawa kami ng katulad na operasyon sa denominator, pagpaparami at paghahati ng $\tg(8x)$ sa $8x$:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Pagbabawas ng $x$ at pagkuha ng pare-parehong $\frac(5)(8)$ mula sa limit sign, makukuha natin ang:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Tandaan na ganap na natutugunan ng $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ ang mga kinakailangan para sa unang kahanga-hangang limitasyon. Upang mahanap ang $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ ang sumusunod na formula ay naaangkop:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Sagot: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Halimbawa #5

Hanapin ang $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Dahil $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (tandaan na ang $\cos(0)=1$) at $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, pagkatapos ay tatalakayin natin ang kawalan ng katiyakan ng form na $\frac(0)(0)$. Gayunpaman, upang mailapat ang unang kahanga-hangang limitasyon, dapat mong alisin ang cosine sa numerator sa pamamagitan ng pagpunta sa sines (upang mailapat ang formula) o tangents (upang mailapat ang formula). Magagawa mo ito sa sumusunod na pagbabago:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\kanan)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Bumalik tayo sa limitasyon:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\kanan) $$

Ang fraction na $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ ay malapit na sa form na kinakailangan para sa unang kapansin-pansing limitasyon. Gumawa tayo ng kaunti gamit ang fraction na $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, na ayusin ito sa unang kapansin-pansing limitasyon (tandaan na ang mga expression sa numerator at sa ilalim ng sine ay dapat tumugma):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Bumalik tayo sa itinuturing na limitasyon:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0 ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\kanan)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Sagot: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Halimbawa #6

Hanapin ang limitasyon $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Dahil ang $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ at $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, kung gayon kami ay nakikitungo sa kawalan ng katiyakan ng $\frac(0)(0)$. Buksan natin ito sa tulong ng unang kapansin-pansing limitasyon. Upang gawin ito, lumipat tayo mula sa mga cosine patungo sa mga sine. Dahil $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, kung gayon:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Ang pagpasa sa ibinigay na limitasyon sa mga sine, magkakaroon tayo ng:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Sagot: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Halimbawa #7

Kalkulahin ang limitasyon $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ binigay na $\alpha\neq\ beta $.

Ang mga detalyadong paliwanag ay ibinigay nang mas maaga, ngunit dito lamang namin tandaan na muli mayroong isang kawalan ng katiyakan ng $\frac(0)(0)$. Lumipat tayo mula sa mga cosine patungo sa mga sine gamit ang formula

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Gamit ang formula sa itaas, nakukuha namin:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\kanan| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta )(2)\kanan)\cdot\sin\kaliwa(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\kanan))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\kanan))(x)\kanan)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\kanan))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\kanan)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alpha^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Sagot: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alpha^2)(2)$.

Halimbawa #8

Hanapin ang limitasyon $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Dahil $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (tandaan na ang $\sin(0)=\tg(0)=0$) at $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, pagkatapos narito tayo ay nakikitungo sa isang indeterminacy ng form na $\frac(0)(0)$. Hatiin natin ito ng ganito:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\kanan)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$

Sagot: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Halimbawa #9

Hanapin ang limitasyon $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Dahil $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ at $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, pagkatapos ay mayroong kawalan ng katiyakan ng anyo na $\frac(0)(0)$. Bago magpatuloy sa pagpapalawak nito, madaling baguhin ang variable sa paraang magiging zero ang bagong variable (tandaan na ang variable na $\alpha \to 0$ sa mga formula). Ang pinakamadaling paraan ay ipakilala ang variable na $t=x-3$. Gayunpaman, para sa kaginhawahan ng karagdagang pagbabago (makikita ang benepisyong ito sa kurso ng solusyon sa ibaba), sulit na gawin ang sumusunod na kapalit: $t=\frac(x-3)(2)$. Tandaan ko na ang parehong mga pagpapalit ay naaangkop sa kasong ito, ang pangalawang pagpapalit lamang ay magbibigay-daan sa iyo upang gumana nang mas kaunti sa mga fraction. Dahil $x\to(3)$, pagkatapos ay $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\kanan| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ sa(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Sagot: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Halimbawa #10

Hanapin ang limitasyon $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2)$.

Muli, nakikitungo kami sa kawalan ng katiyakan ng $\frac(0)(0)$. Bago magpatuloy sa pagpapalawak nito, madaling baguhin ang variable sa paraang magiging zero ang bagong variable (tandaan na ang variable ay $\alpha\to(0)$ sa mga formula). Ang pinakamadaling paraan ay ipakilala ang variable na $t=\frac(\pi)(2)-x$. Dahil $x\to\frac(\pi)(2)$, pagkatapos ay $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\kaliwa|\frac(0)(0)\kanan| =\left|\begin(aligned)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(aligned)\right| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0 ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\kaliwa(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\kanan)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Sagot: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Halimbawa #11

Maghanap ng mga limitasyon $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\\ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Sa kasong ito, hindi natin kailangang gamitin ang unang kahanga-hangang limitasyon. Pakitandaan: sa una at pangalawang limitasyon, mayroon lamang mga trigonometric na function at numero. Kadalasan, sa mga halimbawa ng ganitong uri, posible na gawing simple ang expression na matatagpuan sa ilalim ng sign ng limitasyon. Sa kasong ito, pagkatapos ng nabanggit na pagpapasimple at pagbabawas ng ilang mga kadahilanan, ang kawalan ng katiyakan ay nawawala. Ibinigay ko ang halimbawang ito na may isang layunin lamang: upang ipakita na ang pagkakaroon ng mga function ng trigonometriko sa ilalim ng sign ng limitasyon ay hindi nangangahulugang ang paggamit ng unang kapansin-pansin na limitasyon.

Dahil $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (tandaan na ang $\sin\frac(\pi)(2)=1$ ) at $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (tandaan na $\cos\frac(\pi)(2)=0$), pagkatapos ay haharapin natin ang kawalan ng katiyakan ng anyong $\frac(0)(0)$. Gayunpaman, hindi ito nangangahulugan na kailangan nating gamitin ang unang kapansin-pansing limitasyon. Upang ipakita ang kawalan ng katiyakan, sapat na upang isaalang-alang na $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Mayroong katulad na solusyon sa aklat ng solusyon ni Demidovich (No. 475). Para sa pangalawang limitasyon, tulad ng sa mga nakaraang halimbawa ng seksyong ito, mayroon kaming kawalan ng katiyakan ng form na $\frac(0)(0)$. Bakit ito lumitaw? Lumilitaw ito dahil $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ at $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Ginagamit namin ang mga halagang ito upang baguhin ang mga expression sa numerator at denominator. Ang layunin ng ating mga aksyon: isulat ang kabuuan sa numerator at denominator bilang isang produkto. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay madalas na maginhawa upang palitan ang isang variable sa loob ng isang katulad na anyo upang ang bagong variable ay may posibilidad na zero (tingnan, halimbawa, ang mga halimbawa No. 9 o No. 10 sa pahinang ito). Gayunpaman, sa halimbawang ito, walang punto sa pagpapalit ng variable, bagama't madaling ipatupad ang pagpapalit ng variable na $t=x-\frac(2\pi)(3)$ kung ninanais.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\kanan))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin \kaliwa(x-\frac(2\pi)(3)\kanan))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\kaliwa(x-\frac(2\pi)(3)\kanan))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\kanan)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

Gaya ng nakikita mo, hindi namin kinailangang ilapat ang unang kahanga-hangang limitasyon. Siyempre, maaari itong gawin kung ninanais (tingnan ang tala sa ibaba), ngunit hindi ito kinakailangan.

Ano ang magiging solusyon gamit ang unang kapansin-pansing limitasyon? Ipakita itago

Gamit ang unang kapansin-pansing limitasyon, makukuha natin ang:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\kanan))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ kanan))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Sagot: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.

Mula sa artikulo sa itaas, maaari mong malaman kung ano ang limitasyon at kung ano ang kinakain nito - ito ay napakahalaga. Bakit? Maaaring hindi mo maintindihan kung ano ang mga determinant at matagumpay na nalutas ang mga ito, maaaring hindi mo maintindihan kung ano ang derivative at hanapin ang mga ito sa "lima". Ngunit kung hindi mo naiintindihan kung ano ang isang limitasyon, kung gayon magiging mahirap na lutasin ang mga praktikal na gawain. Gayundin, hindi magiging labis na pamilyar sa mga sample ng disenyo ng mga desisyon at ang aking mga rekomendasyon para sa disenyo. Ang lahat ng impormasyon ay ipinakita sa isang simple at naa-access na paraan.

Ngunit para sa mga layunin ang araling ito Kakailanganin natin ang mga sumusunod na materyales sa pagtuturo: Kapansin-pansin na mga Limitasyon at Mga formula ng trigonometriko. Matatagpuan ang mga ito sa pahina. Pinakamainam na i-print ang mga manwal - ito ay mas maginhawa, bukod pa, madalas silang kailangang ma-access offline.

Ano ang kapansin-pansin sa mga kahanga-hangang limitasyon? Ang kapansin-pansin sa mga limitasyong ito ay napatunayan na ang mga ito ang pinakadakilang isip Ang mga sikat na mathematician, at nagpapasalamat na mga inapo ay hindi kailangang magdusa ng mga kahila-hilakbot na limitasyon na may isang tambak ng trigonometriko function, logarithms, kapangyarihan. Iyon ay, kapag naghahanap ng mga limitasyon, gagamitin namin ang mga handa na resulta na napatunayan sa teorya.

Mayroong ilang mga kahanga-hangang limitasyon, ngunit sa pagsasagawa, ang mga part-time na estudyante sa 95% ng mga kaso ay may dalawang kapansin-pansing limitasyon: Unang kahanga-hangang limitasyon, Ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Dapat pansinin na ang mga ito ay makasaysayang itinatag na mga pangalan, at kapag, halimbawa, pinag-uusapan nila ang tungkol sa "unang kahanga-hangang limitasyon", ang ibig nilang sabihin dito ay isang napaka-tiyak na bagay, at hindi ilang random na limitasyon na kinuha mula sa kisame.

Unang kahanga-hangang limitasyon

Isaalang-alang ang sumusunod na limitasyon: (sa halip na katutubong liham"siya" gagamitin ko ang letrang Griyego na "alpha", ito ay mas maginhawa sa mga tuntunin ng paglalahad ng materyal).

Ayon sa aming panuntunan para sa paghahanap ng mga limitasyon (tingnan ang artikulo Mga limitasyon. Mga halimbawa ng solusyon) sinusubukan naming palitan ang zero sa function: sa numerator nakakakuha kami ng zero (sine ng zero sero), ang denominator ay malinaw na zero din. Kaya, tayo ay nahaharap sa isang kawalan ng katiyakan ng anyo, na, sa kabutihang palad, ay hindi kailangang ibunyag. Sa kurso ng pagsusuri sa matematika, pinatunayan na:

Ang mathematical fact na ito ay tinatawag Unang kahanga-hangang limitasyon. Hindi ako magbibigay ng analytical proof ng limitasyon, ngunit narito na geometriko na kahulugan Tingnan natin ang aralin infinitesimal function.

Madalas sa mga praktikal na gawain Ang mga pag-andar ay maaaring ayusin nang iba, hindi ito nagbabago ng anuman:

– ang parehong unang kahanga-hangang limitasyon.

Ngunit hindi mo maaaring muling ayusin ang numerator at denominator sa iyong sarili! Kung ang isang limitasyon ay ibinigay sa form , pagkatapos ay dapat itong malutas sa parehong anyo, nang walang muling pagsasaayos ng anuman.

Sa pagsasagawa, hindi lamang isang variable ang maaaring kumilos bilang isang parameter, kundi pati na rin elementarya function, kumplikadong pag-andar. Mahalaga lamang na ito ay may posibilidad na maging zero.

Mga halimbawa:
, , ,

Dito,,, , at lahat ay umuugong - ang unang kahanga-hangang limitasyon ay naaangkop.

At narito ang susunod na entry - maling pananampalataya:

Bakit? Dahil ang polynomial ay hindi malamang na zero, ito ay may posibilidad na lima.

Sa pamamagitan ng paraan, isang tanong para sa backfilling, bakit pantay na limitasyon ? Ang sagot ay makikita sa katapusan ng aralin.

Sa pagsasagawa, hindi lahat ay napakakinis, halos hindi kailanman mag-aalok ang isang mag-aaral na lutasin ang isang libreng limitasyon at makakuha ng madaling kredito. Hmmm ... Sinusulat ko ang mga linyang ito, at ito ang pumasok sa isip ko mahalagang kaisipan- "cheesy" pa rin mga kahulugan ng matematika at mas mahusay na tandaan ang mga formula sa puso, maaari itong maging napakahalagang tulong sa pagsusulit, kapag ang tanong ay napagpasyahan sa pagitan ng "dalawa" at "tatlo", at nagpasya ang guro na tanungin ang mag-aaral ng ilang simpleng tanong o alok upang malutas ang pinakasimpleng halimbawa (“baka alam niya (at ) kung ano?!”).

Lumipat tayo sa mga praktikal na halimbawa:

Halimbawa 1

Hanapin ang limitasyon

Kung mapapansin natin ang isang sine sa limitasyon, ito ay dapat na agad na humantong sa amin upang isipin ang tungkol sa posibilidad ng paglalapat ng unang kapansin-pansin na limitasyon.

Una, sinusubukan naming palitan ang 0 sa expression sa ilalim ng limit sign (ginagawa namin ito sa isip o sa isang draft):

Kaya, mayroon tayong kawalan ng katiyakan ng anyo, nito siguraduhing ipahiwatig sa paggawa ng desisyon. Ang expression sa ilalim ng limit sign ay mukhang ang unang kahanga-hangang limitasyon, ngunit ito ay hindi lubos, ito ay nasa ilalim ng sine, ngunit sa denominator.

AT katulad na mga kaso ang unang kahanga-hangang limitasyon na kailangan nating ayusin ang ating mga sarili, gamit ang isang artipisyal na aparato. Ang linya ng pangangatwiran ay maaaring ganito: "sa ilalim ng sine na mayroon tayo, na nangangahulugang kailangan din nating makapasok sa denominator".
At ito ay ginagawa nang napakasimple:

Iyon ay, ang denominator ay artipisyal na pinarami sa kasong ito ng 7 at hinati sa parehong pito. Ngayon ang rekord ay nakuha sa isang pamilyar na hugis.
Kapag ang gawain ay iginuhit sa pamamagitan ng kamay, ipinapayong markahan ang unang kapansin-pansin na limitasyon gamit ang isang simpleng lapis:

Anong nangyari? Sa katunayan, ang nakabilog na expression ay naging isang unit at nawala sa produkto:

Ngayon ay nananatili na lamang na alisin ang tatlong palapag na bahagi:

Sino ang nakalimutan ang pagpapasimple ng mga multi-storey fraction, paki-refresh ang materyal sa reference book Mga Formula sa Hot School Mathematics .

handa na. Panghuling sagot:

Kung hindi mo nais na gumamit ng mga marka ng lapis, ang solusyon ay maaaring mai-format tulad nito:

“

Ginagamit namin ang unang kapansin-pansing limitasyon

“

Halimbawa 2

Hanapin ang limitasyon

Muli nating nakikita ang isang fraction at isang sine sa limitasyon. Sinusubukan naming palitan ang zero sa numerator at denominator:

Sa katunayan, mayroon tayong kawalan ng katiyakan at, samakatuwid, kailangan nating subukang ayusin ang unang kapansin-pansing limitasyon. Sa aralin Mga limitasyon. Mga halimbawa ng solusyon isinaalang-alang namin ang panuntunan na kapag mayroon kaming kawalan ng katiyakan, kailangan naming i-factor ang numerator at denominator sa mga kadahilanan. Dito - ang parehong bagay, ipapakita namin ang mga degree bilang isang produkto (mga multiplier):

Katulad ng nakaraang halimbawa, binabalangkas namin sa isang lapis ang mga kahanga-hangang limitasyon (narito mayroong dalawa sa kanila), at ipinapahiwatig na sila ay may posibilidad na isa:

Sa totoo lang, handa na ang sagot:

Sa mga sumusunod na halimbawa, hindi ako gagawa ng sining sa Paint, sa palagay ko kung paano gumawa ng tamang solusyon sa isang kuwaderno - naiintindihan mo na.

Halimbawa 3

Hanapin ang limitasyon

Pinapalitan namin ang zero sa expression sa ilalim ng limit sign:

Isang kawalan ng katiyakan ang nakuha na kailangang ibunyag. Kung mayroong isang tangent sa limitasyon, kung gayon ito ay halos palaging na-convert sa sine at cosine ayon sa kilalang trigonometric formula (sa pamamagitan ng paraan, ginagawa nila ang halos pareho sa cotangent, tingnan sa ibaba). materyal na pamamaraan Mainit na mga formula ng trigonometriko Sa pahina Mga pormula sa matematika, talahanayan at sangguniang materyales).

Sa kasong ito:

Ang cosine ng zero ay katumbas ng isa, at madaling mapupuksa ito (huwag kalimutang markahan na ito ay may posibilidad na isa):

Kaya, kung sa limitasyon ang cosine ay isang MULTIPLIER, kung gayon, sa halos pagsasalita, dapat itong gawing isang yunit, na nawawala sa produkto.

Dito naging mas simple ang lahat, nang walang anumang pagpaparami at paghahati. Ang unang kahanga-hangang limitasyon ay nagiging pagkakaisa at nawawala sa produkto:

Bilang isang resulta, ang kawalang-hanggan ay nakuha, ito ay nangyayari.

Halimbawa 4

Hanapin ang limitasyon

Sinusubukan naming palitan ang zero sa numerator at denominator:

Nakuha ang kawalan ng katiyakan (cosine ng zero, tulad ng naaalala natin, ay katumbas ng isa)

Ginagamit namin trigonometriko formula. Tandaan! Para sa ilang kadahilanan, ang mga limitasyon sa paggamit ng formula na ito ay karaniwan.

Inalis namin ang patuloy na multiplier na lampas sa icon ng limitasyon:

Ayusin natin ang unang kapansin-pansing limitasyon:

Narito mayroon lamang kaming isang kamangha-manghang limitasyon, na nagiging isa at nawawala sa produkto:

Alisin natin ang tatlong-kuwento:

Ang limitasyon ay aktwal na nalutas, ipinapahiwatig namin na ang natitirang sine ay may posibilidad na zero:

Halimbawa 5

Hanapin ang limitasyon

Ang halimbawang ito ay mas kumplikado, subukang malaman ito sa iyong sarili:

Ang ilang mga limitasyon ay maaaring bawasan sa 1st kapansin-pansing limitasyon sa pamamagitan ng pagbabago ng variable, maaari mong basahin ang tungkol dito sa ibang pagkakataon sa artikulo Limitahan ang Mga Paraan ng Paglutas.

Ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon

Sa teorya ng mathematical analysis ay pinatunayan na:

Itong katotohanan ay tinatawag na pangalawang kapansin-pansing limitasyon.

Sanggunian: ay isang hindi makatwirang numero.

Hindi lamang isang variable ang maaaring kumilos bilang isang parameter, kundi pati na rin isang kumplikadong function. Mahalaga lamang na ito ay nagsusumikap para sa kawalang-hanggan.

Halimbawa 6

Hanapin ang limitasyon

Kapag ang expression sa ilalim ng limit sign ay nasa kapangyarihan - ito ang unang senyales na kailangan mong subukang ilapat ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon.

Ngunit una, gaya ng dati, sinusubukan naming palitan nang walang katapusang malaking numero sa pagpapahayag, sa pamamagitan ng kung anong prinsipyo ito ginagawa, ay sinuri sa aralin Mga limitasyon. Mga halimbawa ng solusyon.

Madaling makita iyon kapag ang base ng degree, at ang exponent - , ibig sabihin, mayroong kawalan ng katiyakan sa anyo:

Ang kawalan ng katiyakan na ito ay ipinahayag lamang sa tulong ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Ngunit, tulad ng madalas na nangyayari, ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay hindi namamalagi sa isang pilak na pinggan, at dapat itong artipisyal na organisado. Maaari kang mangatuwiran tulad ng sumusunod: sa halimbawang ito, ang parameter ay nangangahulugan na kailangan din nating ayusin sa indicator. Upang gawin ito, itinataas namin ang base sa isang kapangyarihan, at upang ang expression ay hindi magbago, itinaas namin ito sa isang kapangyarihan:

Kapag ang gawain ay iginuhit sa pamamagitan ng kamay, minarkahan namin ng lapis:

Halos lahat ay handa na, ang kakila-kilabot na antas ay naging isang magandang sulat:

Kasabay nito, ang icon ng limitasyon mismo ay inilipat sa indicator:

Halimbawa 7

Hanapin ang limitasyon

Pansin! Ang ganitong uri ng limitasyon ay karaniwan, mangyaring pag-aralan ang halimbawang ito nang maingat.

Sinusubukan naming palitan ang isang walang katapusang malaking numero sa expression sa ilalim ng sign ng limitasyon:

Ang resulta ay isang kawalan ng katiyakan. Ngunit ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay nalalapat sa kawalan ng katiyakan ng form. Anong gagawin? Kailangan mong i-convert ang base ng degree. Nagtatalo tayo nang ganito: sa denominator na mayroon tayo , na nangangahulugan na kailangan din nating ayusin sa numerator.

Maghanap ng mga kahanga-hangang limitasyon mahirap hindi lamang para sa maraming mga mag-aaral sa una, ikalawang taon ng pag-aaral na nag-aaral ng teorya ng mga limitasyon, kundi pati na rin para sa ilang mga guro.

Formula ng unang kapansin-pansing limitasyon

Mga kahihinatnan ng unang kapansin-pansing limitasyon isulat ang mga formula
1. 2. 3. 4. Ngunit sa kanilang sarili pangkalahatang mga formula ang mga kapansin-pansing limitasyon ay hindi nakakatulong sa sinuman sa isang pagsusulit o pagsusulit. Ang ilalim na linya ay ang mga tunay na gawain ay binuo upang ang mga formula na nakasulat sa itaas ay kailangan pa ring maabot. At karamihan sa mga mag-aaral na lumalaktaw sa mga klase, pinag-aaralan ang kursong ito sa pamamagitan ng pagsusulatan o may mga guro na hindi nila laging nauunawaan kung ano ang kanilang ipinapaliwanag, ay hindi makakalkula ng pinakamaraming elementarya na mga halimbawa sa mga kapansin-pansing limitasyon. Mula sa mga pormula ng unang kapansin-pansing limitasyon, nakikita namin na magagamit ang mga ito upang siyasatin ang mga kawalan ng katiyakan tulad ng zero na hinati ng zero para sa mga expression na may mga function na trigonometriko. Isaalang-alang muna natin ang isang serye ng mga halimbawa sa unang kahanga-hangang limitasyon, at pagkatapos ay pag-aralan natin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon.

Halimbawa 1. Hanapin ang limitasyon ng function na sin(7*x)/(5*x)
Solusyon: Gaya ng nakikita mo, ang function sa ilalim ng limitasyon ay malapit sa unang kapansin-pansing limitasyon, ngunit ang limitasyon ng mismong function ay tiyak na hindi katumbas ng isa. Sa ganitong mga pagtatalaga sa mga limitasyon, dapat isa-isa ng isa sa denominator ang isang variable na may parehong koepisyent na nakapaloob sa variable sa ilalim ng sine. Sa kasong ito, hatiin at i-multiply sa 7

Para sa ilan, ang gayong pagdedetalye ay tila hindi kailangan, ngunit para sa karamihan ng mga mag-aaral na nahihirapang magbigay ng mga limitasyon, makakatulong ito upang mas maunawaan ang mga patakaran at matutunan ang teoretikal na materyal.
Gayundin, kung mayroong isang kabaligtaran na anyo ng pag-andar - ito rin ang unang kahanga-hangang limitasyon. At lahat dahil ang kahanga-hangang limitasyon ay katumbas ng isa

Nalalapat ang parehong panuntunan sa mga kahihinatnan ng 1 kapansin-pansing limitasyon. Samakatuwid, kung tatanungin ka "Ano ang unang kahanga-hangang limitasyon?" Dapat mong sagutin nang walang pag-aalinlangan na ito ay isang yunit.

Halimbawa 2. Hanapin ang limitasyon ng function na sin(6x)/tan(11x)
Solusyon: Upang maunawaan ang huling resulta, isinusulat namin ang function sa form

Upang ilapat ang mga patakaran ng kapansin-pansin na limitasyon multiply at hatiin sa pamamagitan ng mga kadahilanan

Susunod, isinusulat namin ang limitasyon ng produkto ng mga function sa mga tuntunin ng produkto ng mga limitasyon

Nang walang kumplikadong mga formula, nakita namin ang limitasyon ng ilang trigonometric function. Para sa asimilasyon mga simpleng formula subukang makabuo at hanapin ang limitasyon sa 2 at 4, ang formula ng corollary 1 ng kahanga-hangang limitasyon. Isasaalang-alang namin ang mas kumplikadong mga gawain.

Halimbawa 3. Kalkulahin ang limitasyon (1-cos(x))/x^2
Solusyon: Kapag sinusuri sa pamamagitan ng pagpapalit, nakukuha namin ang kawalan ng katiyakan 0/0 . Maraming hindi alam kung paano bawasan ang gayong halimbawa sa 1 kahanga-hangang limitasyon. Dito dapat mong gamitin ang trigonometric formula

Sa kasong ito, ang limitasyon ay mababago sa isang malinaw na anyo

Nagtagumpay kami sa pagbawas ng function sa parisukat ng isang kahanga-hangang limitasyon.

Halimbawa 4. Hanapin ang limitasyon
Solusyon: Kapag nagpapalit, nakukuha namin ang pamilyar na feature 0/0 . Gayunpaman, ang variable ay lumalapit sa Pi , hindi zero. Samakatuwid, upang mailapat ang unang kapansin-pansin na limitasyon, magsasagawa kami ng gayong pagbabago sa variable na x, upang ang bagong variable ay mapunta sa zero. Upang gawin ito, tinutukoy namin ang denominator bilang bagong variable na Pi-x=y

Kaya, gamit ang trigonometric formula, na ibinigay sa nakaraang gawain, ang halimbawa ay nabawasan sa 1 kapansin-pansin na limitasyon.

Halimbawa 5 Kalkulahin ang Limitasyon
Solusyon: Sa una ay hindi malinaw kung paano gawing simple ang mga limitasyon. Pero kung may halimbawa, dapat may sagot. Ang katotohanan na ang variable ay napupunta sa pagkakaisa ay nagbibigay, kapag pinapalitan, ang isang singularity ng form na zero na pinarami ng infinity, kaya ang tangent ay dapat mapalitan ng formula

Pagkatapos nito, makuha namin ang ninanais na kawalan ng katiyakan 0/0. Susunod, nagsasagawa kami ng pagbabago ng mga variable sa limitasyon, at ginagamit ang periodicity ng cotangent

Ang mga huling pagpapalit ay nagpapahintulot sa amin na gamitin ang Corollary 1 ng kahanga-hangang limitasyon.

Ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay katumbas ng exponent

Ito ay isang klasiko kung saan sa totoong mga problema ay hindi laging madaling maabot ang mga limitasyon.
Para sa mga kalkulasyon kakailanganin mo Ang mga limitasyon ay mga kahihinatnan ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon:
1. 2. 3. 4.
Salamat sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon at mga kahihinatnan nito, maaaring tuklasin ng isang tao ang mga kawalan ng katiyakan tulad ng zero na hinati sa zero, isa sa kapangyarihan ng infinity, at infinity na hinati sa infinity, at maging sa parehong antas.

Simulan na nating kilalanin mga simpleng halimbawa.

Halimbawa 6 Hanapin ang limitasyon ng isang function
Solusyon: Direktang ilapat ang 2 kahanga-hangang limitasyon ay hindi gagana. Una kailangan mong i-on ang indicator upang magkaroon ito ng form na kabaligtaran sa termino sa mga bracket

Ito ang pamamaraan ng pagbabawas sa 2 kapansin-pansing limitasyon at, sa katunayan, ang derivation ng 2 formula ng kinahinatnan ng limitasyon.

Halimbawa 7 Hanapin ang limitasyon ng isang function
Solusyon: Mayroon kaming mga gawain para sa 3 formula ng corollary 2 ng kahanga-hangang limitasyon. Ang zero substitution ay nagbibigay ng singularity ng form na 0/0. Upang itaas ang limitasyon sa ilalim ng panuntunan, i-on namin ang denominator upang ang variable ay may parehong coefficient tulad ng sa logarithm

Madali din itong maunawaan at maisagawa sa pagsusulit. Ang mga paghihirap ng mga mag-aaral sa pagkalkula ng mga limitasyon ay nagsisimula sa mga sumusunod na gawain.

Halimbawa 8 Kalkulahin ang limitasyon ng pag-andar[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Solusyon: Mayroon kaming singularity ng uri 1 sa kapangyarihan ng infinity. Kung hindi ka naniniwala sa akin, maaari mong palitan ang infinity sa halip na "x" sa lahat ng dako at makita mo mismo. Upang itaas sa ilalim ng panuntunan, hinahati namin ang numerator sa pamamagitan ng denominator sa mga bracket, para dito ay ginagawa muna namin ang mga manipulasyon

Palitan ang expression sa limitasyon at i-on ito sa 2 kapansin-pansing limitasyon

Ang limitasyon ay ang exponent sa kapangyarihan ng 10. Ang mga constant na mga termino na may variable sa mga bracket at degree ay hindi nag-aambag ng anumang "panahon" - ito ay dapat tandaan. At kung tatanungin ka ng mga guro - "Bakit hindi mo buksan ang indicator?" (Para sa halimbawang ito sa x-3 ), pagkatapos ay sabihin na "Kapag ang isang variable ay may posibilidad na infinity, pagkatapos ay magdagdag ng 100 dito, o ibawas ang 1000, at ang limitasyon ay mananatiling pareho!".
Mayroong pangalawang paraan upang makalkula ang mga limitasyon ng ganitong uri. Pag-uusapan natin ito sa susunod na gawain.

Halimbawa 9 Hanapin ang limitasyon
Solusyon: Ngayon ay kinuha namin ang variable sa numerator at denominator at gagawing isa pa ang isang feature. Upang makuha ang pinal na halaga, ginagamit namin ang formula ng Corollary 2 ng kahanga-hangang limitasyon

Halimbawa 10 Hanapin ang limitasyon ng isang function
Solusyon: Hindi lahat ay makakahanap ng ibinigay na limitasyon. Upang itaas ang limitasyon sa 2, isipin na ang kasalanan (3x) ay isang variable, at kailangan mong i-on ang exponent

Susunod, isinusulat namin ang indicator bilang isang degree sa isang degree


Ang mga intermediate na argumento ay inilarawan sa panaklong. Bilang resulta ng paggamit ng una at pangalawang magagandang limitasyon, nakuha namin ang cubed exponent.

Halimbawa 11. Kalkulahin ang limitasyon ng pag-andar sin(2*x)/log(3*x+1)
Solusyon: Mayroon kaming kawalan ng katiyakan sa form 0/0. Bilang karagdagan, nakikita namin na ang function ay dapat na ma-convert sa paggamit ng parehong kahanga-hangang mga limitasyon. Gawin natin ang mga nakaraang pagbabagong matematikal

Dagdag pa, nang walang kahirapan, ang limitasyon ay tumatagal ng halaga

Ganito ang pakiramdam mo sa mga pagsubok, pagsubok, module kung matututunan mo kung paano mabilis na magpinta ng mga function at bawasan ang mga ito sa una o pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Kung mahirap para sa iyo na kabisaduhin ang mga pamamaraan sa itaas ng paghahanap ng mga limitasyon, maaari kang palaging mag-order pagsusulit sa ating mga limitasyon.
Upang gawin ito, punan ang form, tukuyin ang data at maglakip ng isang file na may mga halimbawa. Marami na kaming natulungang estudyante - matutulungan ka rin namin!

Mayroong ilang mga kahanga-hangang limitasyon, ngunit ang pinakasikat ay ang una at pangalawang magagandang limitasyon. Ang kapansin-pansing bagay tungkol sa mga limitasyong ito ay ang mga ito ay malawakang ginagamit at maaaring magamit upang mahanap ang iba pang mga limitasyon na nakatagpo sa maraming mga problema. Ito ang gagawin natin sa praktikal na bahagi ng araling ito. Upang malutas ang mga problema sa pamamagitan ng pagbawas sa una o pangalawang kapansin-pansin na limitasyon, hindi kinakailangang ibunyag ang mga kawalan ng katiyakan na nakapaloob sa mga ito, dahil ang mga halaga ng mga limitasyong ito ay matagal nang hinuhusgahan ng mga dakilang mathematician.

Ang unang kapansin-pansing limitasyon tinatawag na limitasyon ng ratio ng sine ng isang walang katapusang maliit na arko sa parehong arko, na ipinahayag sa radian na sukat:

Lumipat tayo sa paglutas ng mga problema sa unang kahanga-hangang limitasyon. Tandaan: kung ang isang trigonometric function ay nasa ilalim ng limit sign, ito ay halos isang siguradong senyales na ang expression na ito ay maaaring bawasan sa unang kapansin-pansin na limitasyon.

Halimbawa 1 Hanapin ang limitasyon.

Desisyon. Pagpapalit sa halip x ang zero ay humahantong sa kawalan ng katiyakan:

.

Ang denominator ay isang sine, samakatuwid, ang expression ay maaaring bawasan sa unang kapansin-pansin na limitasyon. Simulan natin ang pagbabago:

.

Sa denominator - ang sine ng tatlong x, at sa numerator mayroon lamang isang x, na nangangahulugan na kailangan mong makakuha ng tatlong x sa numerator. Para saan? Upang ipakita 3 x = a at kunin ang ekspresyon.

At dumating tayo sa isang pagkakaiba-iba ng unang kahanga-hangang limitasyon:

dahil hindi mahalaga kung ano ang titik (variable) sa formula na ito sa halip na x.

I-multiply namin ang x sa tatlo at agad na hatiin:

.

Alinsunod sa nabanggit na unang kapansin-pansing limitasyon, pinapalitan namin ang fractional expression:

Ngayon ay malulutas na natin ang limitasyong ito:

.

Halimbawa 2 Hanapin ang limitasyon.

Desisyon. Ang direktang pagpapalit ay muling humahantong sa kawalan ng katiyakan na "zero divide by zero":

.

Upang makuha ang unang kapansin-pansing limitasyon, kinakailangan na ang x sa ilalim ng sine sign sa numerator at ang x lamang sa denominator ay may parehong koepisyent. Hayaan ang koepisyent na ito ay katumbas ng 2. Upang gawin ito, isipin ang kasalukuyang koepisyent sa x tulad ng nasa ibaba, na gumaganap ng mga aksyon na may mga fraction, nakukuha natin ang:

.

Halimbawa 3 Hanapin ang limitasyon.

Desisyon. Kapag pinapalitan, muli nating makukuha ang kawalan ng katiyakan na "zero na hinati ng zero":

.

Malamang na naiintindihan mo na mula sa orihinal na expression maaari mong makuha ang unang kamangha-manghang limitasyon na pinarami ng unang kamangha-manghang limitasyon. Upang gawin ito, nabubulok namin ang mga parisukat ng x sa numerator at ang sine sa denominator sa parehong mga kadahilanan, at upang makuha ang parehong mga coefficient para sa x at ang sine, hinati namin ang x sa numerator ng 3 at agad na i-multiply sa 3. Nakukuha natin ang:

.

Halimbawa 4 Hanapin ang limitasyon.

Desisyon. Muli nating nakuha ang kawalan ng katiyakan "zero na hinati ng zero":

.

Makukuha natin ang ratio ng unang dalawang kapansin-pansing limitasyon. Hinahati namin ang numerator at ang denominator sa x. Pagkatapos, upang ang mga coefficients sa sines at sa x ay magkasabay, pinarami namin ang itaas na x sa 2 at agad na hatiin sa 2, at i-multiply ang mas mababang x sa 3 at agad na hatiin sa 3. Nakukuha namin:

Halimbawa 5 Hanapin ang limitasyon.

Desisyon. At muli, ang kawalan ng katiyakan ng "zero na hinati ng zero":

Naaalala namin mula sa trigonometry na ang tangent ay ang ratio ng sine sa cosine, at ang cosine ng zero ay katumbas ng isa. Gumagawa kami ng mga pagbabago at makakuha ng:

.

Halimbawa 6 Hanapin ang limitasyon.

Desisyon. trigonometriko function sa ilalim ng tanda ng limitasyon ay muling nagmumungkahi ng ideya ng paglalapat ng unang kapansin-pansin na limitasyon. Kinakatawan namin ito bilang ratio ng sine sa cosine.