Derivative na ibinigay nang tahasan online na calculator. Derivative ng isang function na implicitly na tinukoy

Kahulugan. Hayaang tukuyin ang function na \(y = f(x)\) sa isang tiyak na pagitan na naglalaman ng puntong \(x_0\). Bigyan natin ang argumento ng pagtaas \(\Delta x \) upang hindi ito umalis sa agwat na ito. Hanapin natin ang katumbas na pagtaas ng function na \(\Delta y \) (kapag lumilipat mula sa puntong \(x_0 \) patungo sa puntong \(x_0 + \Delta x \)) at buuin ang kaugnayan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Kung mayroong limitasyon sa ratio na ito sa \(\Delta x \rightarrow 0\), kung gayon ang tinukoy na limitasyon ay tinatawag derivative ng isang function\(y=f(x) \) sa puntong \(x_0 \) at tukuyin ang \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Ang simbolo na y ay kadalasang ginagamit upang tukuyin ang derivative." Tandaan na ang y" = f(x) ay bagong feature, ngunit natural na nauugnay sa function na y = f(x), na tinukoy sa lahat ng mga puntong x kung saan umiiral ang limitasyon sa itaas. Ang function na ito ay tinatawag na ganito: derivative ng function na y = f(x).

Geometric na kahulugan ng derivative ay ang mga sumusunod. Kung posibleng gumuhit ng tangent sa graph ng function na y = f(x) sa puntong may abscissa x=a, na hindi parallel sa y-axis, kung gayon ang f(a) ay nagpapahayag ng slope ng tangent. :
\(k = f"(a)\)

Dahil \(k = tg(a) \), ang pagkakapantay-pantay \(f"(a) = tan(a) \) ay totoo.

Ngayon bigyang-kahulugan natin ang kahulugan ng derivative mula sa punto ng view ng mga tinatayang pagkakapantay-pantay. Hayaang magkaroon ng derivative ang function na \(y = f(x)\) sa isang partikular na punto \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Nangangahulugan ito na malapit sa puntong x ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x)\), i.e. \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ Delta x\). Ang makabuluhang kahulugan ng nagresultang tinatayang pagkakapantay-pantay ay ang mga sumusunod: ang pagtaas ng function ay "halos proporsyonal" sa pagtaas ng argumento, at ang koepisyent ng proporsyonalidad ay ang halaga ng derivative sa ibinigay na punto X. Halimbawa, para sa function na \(y = x^2\) ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) ay wasto. Kung maingat nating susuriin ang kahulugan ng isang derivative, makikita natin na naglalaman ito ng algorithm para sa paghahanap nito.

Buuin natin ito.

Paano mahahanap ang derivative ng function na y = f(x)?

1. Ayusin ang halaga ng \(x\), hanapin ang \(f(x)\)
2. Bigyan ang argumento \(x\) ng dagdag na \(\Delta x\), pumunta sa bagong punto\(x+ \Delta x \), hanapin \(f(x+ \Delta x) \)
3. Hanapin ang increment ng function: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Lumikha ng kaugnayan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Kalkulahin ang $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ang limitasyong ito ay ang derivative ng function sa point x.

Kung ang isang function na y = f(x) ay may derivative sa isang point x, kung gayon ito ay tinatawag na differentiable sa isang point x. Ang pamamaraan para sa paghahanap ng derivative ng function na y = f(x) ay tinatawag pagkakaiba-iba mga function y = f(x).

Talakayin natin ang sumusunod na tanong: paano nauugnay ang pagpapatuloy at pagkakaiba-iba ng isang function sa isang punto sa isa't isa?

Hayaan ang function na y = f(x) na maging differentiable sa puntong x. Pagkatapos ay maaaring iguhit ang isang tangent sa graph ng function sa point M(x; f(x)), at, alalahanin, ang angular coefficient ng tangent ay katumbas ng f "(x). Ang ganitong graph ay hindi maaaring "masira" sa puntong M, ibig sabihin, ang function ay dapat na tuluy-tuloy sa punto x.

Ang mga ito ay "hands-on" na mga argumento. Magbigay tayo ng mas mahigpit na pangangatwiran. Kung ang function na y = f(x) ay naiba-iba sa puntong x, kung gayon ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) ay hawak. Kung sa pagkakapantay-pantay na ito \(\Delta x Ang \) ay may posibilidad na zero, pagkatapos ay ang \(\Delta y \) ay magiging zero, at ito ang kundisyon para sa pagpapatuloy ng function sa isang punto.

Kaya, kung ang isang function ay naiba-iba sa isang puntong x, ito ay tuloy-tuloy sa puntong iyon.

Ang baligtad na pahayag ay hindi totoo. Halimbawa: function y = |x| ay tuloy-tuloy sa lahat ng dako, partikular sa puntong x = 0, ngunit ang padaplis sa graph ng function sa “junction point” (0; 0) ay hindi umiiral. Kung sa isang punto ang isang tangent ay hindi maaaring iguhit sa graph ng isang function, kung gayon ang derivative ay hindi umiiral sa puntong iyon.

Isa pang halimbawa. Ang function na \(y=\sqrt(x)\) ay tuloy-tuloy sa buong linya ng numero, kabilang ang sa puntong x = 0. At ang tangent sa graph ng function ay umiiral sa anumang punto, kabilang ang sa puntong x = 0 Ngunit sa puntong ito ang tangent ay tumutugma sa y-axis, ibig sabihin, ito ay patayo sa abscissa axis, ang equation nito ay may anyo na x = 0. Koepisyent ng slope walang ganoong linya, na nangangahulugan na ang \(f"(0) \) ay wala rin

Kaya, nakilala namin ang isang bagong pag-aari ng isang function - ang pagkakaiba-iba. Paano mahihinuha mula sa graph ng isang function na ito ay naiba?

Ang sagot ay talagang ibinigay sa itaas. Kung sa ilang mga punto posible na gumuhit ng isang tangent sa graph ng isang function na hindi patayo sa abscissa axis, kung gayon sa puntong ito ang function ay naiba. Kung sa ilang mga punto ang tangent sa graph ng isang function ay hindi umiiral o ito ay patayo sa abscissa axis, pagkatapos ay sa puntong ito ang function ay hindi differentiable.

Mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan

Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ay tinatawag pagkakaiba-iba. Kapag nagsasagawa ng operasyong ito, madalas kang kailangang magtrabaho kasama ang mga quotient, kabuuan, mga produkto ng mga pag-andar, pati na rin ang "mga pag-andar ng mga pag-andar," iyon ay, mga kumplikadong pag-andar. Batay sa kahulugan ng derivative, maaari tayong kumuha ng mga panuntunan sa pagkakaiba-iba na nagpapadali sa gawaing ito. Kung ang C ay isang pare-parehong numero at f=f(x), g=g(x) ay ilang mga naiba-iba na function, kung gayon ang mga sumusunod ay totoo mga panuntunan sa pagkakaiba-iba:

Talaan ng mga derivatives ng ilang function

Hayaang tukuyin ang function nang walang laman gamit ang equation
(1) .
At hayaan ang equation na ito, para sa ilang halaga, na magkaroon ng isang natatanging solusyon. Hayaang ang function ay isang differentiable function sa puntong , at
.
Pagkatapos, sa halagang ito, mayroong isang derivative, na tinutukoy ng formula:
(2) .

Patunay

Upang patunayan ito, isaalang-alang ang function bilang isang kumplikadong function ng variable:
.
Ilapat natin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function at hanapin ang derivative na may paggalang sa isang variable mula sa kaliwa at kanang bahagi ng equation.
(3) :
.
Dahil ang derivative ng isang pare-pareho ay zero at , kung gayon
(4) ;
.

Ang formula ay napatunayan.

Higher order derivatives

Isulat muli natin ang equation (4) gamit ang iba't ibang notasyon:
(4) .
Kasabay nito, at mga kumplikadong function ng variable:
;
.
Ang dependence ay tinutukoy ng equation (1):
(1) .

Nahanap namin ang derivative na may paggalang sa isang variable mula sa kaliwa at kanang bahagi ng equation (4).
Ayon sa formula para sa derivative ng isang kumplikadong function, mayroon kaming:
;
.
Ayon sa derivative formula ng produkto:

.
Gamit ang derivative sum formula:


.

Dahil ang derivative ng kanang bahagi ng equation (4) ay katumbas ng zero, kung gayon
(5) .
Ang pagpapalit ng derivative dito, makuha namin ang halaga ng second-order derivative sa implicit form.

Ang pagkakaiba ng equation (5) sa katulad na paraan, nakakakuha tayo ng equation na naglalaman ng third-order derivative:
.
Ang pagpapalit dito ng mga nahanap na halaga ng una at pangalawang order derivatives, nakita namin ang halaga ng third order derivative.

Ang patuloy na pagkita ng kaibhan, ang isa ay makakahanap ng derivative ng anumang order.

Mga halimbawa

Halimbawa 1

Hanapin ang first-order derivative ng function na implicitly na ibinigay ng equation:
(P1) .

Solusyon sa pamamagitan ng formula 2

Nahanap namin ang derivative gamit ang formula (2):
(2) .

Ilipat natin ang lahat ng mga variable sa kaliwang bahagi upang ang equation ay makuha ang form .
.
Mula rito.

Nahanap namin ang derivative na may kinalaman sa , isinasaalang-alang ito na pare-pareho.
;
;
;
.

Natagpuan namin ang derivative na may paggalang sa variable, isinasaalang-alang ang variable na pare-pareho.
;
;
;
.

Gamit ang formula (2) makikita natin:
.

Maaari nating gawing simple ang resulta kung mapapansin natin na ayon sa orihinal na equation (A.1), . Palitan natin:
.
I-multiply ang numerator at denominator sa pamamagitan ng:
.

Pangalawang paraan na solusyon

Lutasin natin ang halimbawang ito sa pangalawang paraan. Upang gawin ito, makikita natin ang derivative na may paggalang sa variable ng kaliwa at kanang bahagi ng orihinal na equation (A1).

Nag-a-apply kami:
.
Inilapat namin ang derivative fraction formula:
;
.
Inilapat namin ang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function:
.
Ibahin natin ang orihinal na equation (A1).
(P1) ;
;
.
Pina-multiply namin at pinapangkat ang mga termino.
;
.

Palitan natin (mula sa equation (A1)):
.
Multiply sa:
.

Sagot

Halimbawa 2

Hanapin ang second-order derivative ng function na implicitly na ibinigay gamit ang equation:
(A2.1) .

Solusyon

Pinag-iiba namin ang orihinal na equation na may paggalang sa variable, isinasaalang-alang na ito ay isang function ng:
;
.
Inilapat namin ang formula para sa derivative ng isang kumplikadong function.
.

Ibahin natin ang orihinal na equation (A2.1):
;
.
Mula sa orihinal na equation (A2.1) ito ay sumusunod na . Palitan natin:
.
Buksan ang mga bracket at pangkatin ang mga miyembro:
;
(A2.2) .
Nahanap namin ang unang order derivative:
(A2.3) .

Para mahanap ang second-order derivative, iniiba namin ang equation (A2.2).
;
;
;
.
Palitan natin ang expression para sa first-order derivative (A2.3):
.
Multiply sa:

;
.
Mula dito makikita natin ang pangalawang-order na derivative.

Sagot

Halimbawa 3

Hanapin ang third-order derivative ng function na implicitly na ibinigay gamit ang equation:
(A3.1) .

Solusyon

Pinag-iiba namin ang orihinal na equation na may paggalang sa variable, sa pag-aakalang ito ay isang function ng .
;
;
;
;
;
;
(A3.2) ;

Ibahin natin ang equation (A3.2) na may paggalang sa variable .
;
;
;
;
;
(A3.3) .

Ibahin natin ang equation (A3.3).
;
;
;
;
;
(A3.4) .

Mula sa mga equation (A3.2), (A3.3) at (A3.4) nakita namin ang mga halaga ng mga derivatives sa .
;
;
.

Derivative ng isang function na implicitly na tinukoy.
Derivative parametrically ibinigay na function

Sa artikulong ito, titingnan natin ang dalawa pang karaniwang gawain na madalas na matatagpuan sa mga pagsubok sa mas mataas na matematika. Upang matagumpay na makabisado ang materyal, kailangan mong makahanap ng mga derivative kahit man lang sa isang intermediate na antas. Maaari mong matutunang maghanap ng mga derivative mula sa simula sa dalawa pangunahing mga aralin At Derivative ng isang kumplikadong function. Kung okay ang iyong differentiation skills, then let's go.

Derivative ng isang function na implicitly na tinukoy

O, sa madaling salita, ang derivative ng isang implicit function. Ano ang isang implicit function? Alalahanin muna natin ang mismong kahulugan ng isang function ng isang variable:

Single variable function ay isang panuntunan ayon sa kung saan ang bawat halaga ng independiyenteng variable ay tumutugma sa isa at isang halaga lamang ng function.

Ang variable ay tinatawag malayang baryabol o argumento.
Ang variable ay tinatawag dependent variable o function .

Sa ngayon ay tiningnan namin ang mga function na tinukoy sa tahasan anyo. Ano ang ibig sabihin nito? Magsagawa tayo ng isang debriefing gamit ang mga tiyak na halimbawa.

Isaalang-alang ang function

Nakita namin na sa kaliwa mayroon kaming nag-iisang "manlalaro", at sa kanan - "X's" lang. Iyon ay, ang pag-andar tahasan ipinahayag sa pamamagitan ng malayang baryabol.

Tingnan natin ang isa pang function:

Ito ay kung saan ang mga variable ay halo-halong up. At saka imposible sa anumang paraan ipahayag ang "Y" lamang sa pamamagitan ng "X". Ano ang mga pamamaraang ito? Paglilipat ng mga termino mula sa bahagi patungo sa bahagi na may pagbabago ng tanda, pag-alis ng mga ito sa mga bracket, paghagis ng mga salik ayon sa tuntunin ng proporsyon, atbp. Isulat muli ang pagkakapantay-pantay at subukang ipahayag ang "y" nang tahasan: . Maaari mong i-twist at iikot ang equation nang maraming oras, ngunit hindi ka magtatagumpay.

Hayaan akong ipakilala sa iyo: – halimbawa implicit function.

Sa kurso ng mathematical analysis napatunayan na ang implicit function umiiral(gayunpaman, hindi palaging), mayroon itong graph (tulad ng isang "normal" na function). Ang implicit function ay eksaktong pareho umiiral unang derivative, pangalawang derivative, atbp. Tulad ng sinasabi nila, ang lahat ng karapatan ng mga sekswal na minorya ay iginagalang.

At sa araling ito matututunan natin kung paano hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na tinukoy. Hindi naman ganoon kahirap! Lahat ng mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan, derivatives table mga pag-andar ng elementarya mananatiling may bisa. Ang pagkakaiba ay nasa isang kakaibang sandali, na titingnan natin ngayon.

Oo, at sasabihin ko sa iyo ang mabuting balita - ang mga gawain na tinalakay sa ibaba ay isinasagawa ayon sa isang medyo mahigpit at malinaw na algorithm na walang bato sa harap ng tatlong mga track.

Halimbawa 1

1) Sa unang yugto, ikinakabit namin ang mga stroke sa parehong bahagi:

2) Ginagamit namin ang mga tuntunin ng linearity ng derivative (ang unang dalawang panuntunan ng aralin Paano mahahanap ang derivative? Mga halimbawa ng solusyon):

3) Direktang pagkita ng kaibhan.
Kung paano ang pagkakaiba ay ganap na malinaw. Ano ang gagawin kung saan may mga "laro" sa ilalim ng mga stroke?

- hanggang sa punto ng kahihiyan, ang derivative ng isang function ay katumbas ng derivative nito: .

Paano mag-iba
Nandito na tayo kumplikadong pag-andar . Bakit? Tila sa ilalim ng sine ay may isang letra lamang na "Y". Ngunit ang katotohanan ay mayroon lamang isang titik na "y" - AY MISMONG FUNCTION(tingnan ang kahulugan sa simula ng aralin). Kaya, ang sine ay isang panlabas na function at isang panloob na function. Ginagamit namin ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function :

Iniiba namin ang produkto ayon sa karaniwang tuntunin :

Pakitandaan na – isa ring kumplikadong function, anumang "laro na may mga kampana at sipol" ay isang kumplikadong function:

Ang solusyon mismo ay dapat magmukhang ganito:


Kung mayroong mga bracket, palawakin ang mga ito:

4) Sa kaliwang bahagi kinokolekta namin ang mga terminong naglalaman ng "Y" na may prime. SA kanang bahagi- ilipat ang lahat ng iba pa:

5) Sa kaliwang bahagi ay kinukuha namin ang derivative sa mga bracket:

6) At ayon sa tuntunin ng proporsyon, ibinabagsak namin ang mga bracket na ito sa denominator ng kanang bahagi:

Nahanap na ang derivative. handa na.

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang anumang pag-andar ay maaaring muling isulat nang hindi malinaw. Halimbawa, ang function maaaring muling isulat tulad nito: . At ibahin ito gamit ang algorithm na tinalakay lang. Sa katunayan, ang mga pariralang "implicit function" at "implicit function" ay naiiba sa isang semantic nuance. Ang pariralang "implicitly specified function" ay mas pangkalahatan at tama, – ang function na ito ay implicitly na tinukoy, ngunit dito maaari mong ipahayag ang "laro" at ipakita ang function na tahasan. Ang pariralang "implicit function" ay tumutukoy sa "classical" implicit function kapag ang "y" ay hindi maipahayag.

Pangalawang solusyon

Pansin! Maaari mong gawing pamilyar ang iyong sarili sa pangalawang paraan kung alam mo kung paano kumpiyansa na maghanap mga partial derivatives. Calculus beginners and dummies, please huwag basahin at laktawan ang puntong ito, kung hindi ay magiging ganap na gulo ang iyong ulo.

Hanapin natin ang derivative ng implicit function gamit ang pangalawang paraan.

Inilipat namin ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi:

At isaalang-alang ang isang function ng dalawang variable:

Pagkatapos ang aming derivative ay matatagpuan gamit ang formula
Hanapin natin ang mga partial derivatives:

kaya:

Ang pangalawang solusyon ay nagpapahintulot sa iyo na magsagawa ng tseke. Ngunit hindi ipinapayong isulat nila ang panghuling bersyon ng takdang-aralin, dahil ang mga partial derivatives ay pinagkadalubhasaan sa ibang pagkakataon, at ang isang mag-aaral na nag-aaral ng paksang "Derivative ng isang function ng isang variable" ay hindi pa dapat malaman ang mga partial derivatives.

Tingnan natin ang ilan pang halimbawa.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay

Magdagdag ng mga stroke sa parehong bahagi:

Gumagamit kami ng mga panuntunan sa linearity:

Paghahanap ng mga derivatives:

Pagbubukas ng lahat ng mga bracket:

Inilipat namin ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi, ang natitira sa kanang bahagi:

Panghuling sagot:

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay

Kumpletong solusyon at isang halimbawang disenyo sa pagtatapos ng aralin.

Karaniwang lumilitaw ang mga fraction pagkatapos ng pagkita ng kaibhan. Sa ganitong mga kaso, kailangan mong alisin ang mga fraction. Tingnan natin ang dalawa pang halimbawa.

Halimbawa 4

Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay

Isinama namin ang parehong bahagi sa ilalim ng mga stroke at ginagamit ang linearity rule:

Magkaiba gamit ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function at ang panuntunan ng pagkakaiba-iba ng mga quotient :

Pagpapalawak ng mga bracket:

Ngayon kailangan nating alisin ang fraction. Magagawa ito sa ibang pagkakataon, ngunit mas makatwiran na gawin ito kaagad. Ang denominator ng fraction ay naglalaman ng . Paramihin sa . Sa detalye, magiging ganito ang hitsura:

Minsan pagkatapos ng pagkita ng kaibhan 2-3 fraction ang lilitaw. Kung mayroon tayong isa pang fraction, halimbawa, kung gayon ang operasyon ay kailangang ulitin - multiply bawat termino ng bawat bahagi sa

Sa kaliwang bahagi ay inilabas namin ito sa mga bracket:

Panghuling sagot:

Halimbawa 5

Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay

Ito ay isang halimbawa para sa malayang desisyon. Ang tanging bagay ay bago mo maalis ang fraction, kakailanganin mo munang alisin ang tatlong palapag na istraktura ng fraction mismo. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Derivative ng isang parametrically tinukoy na function

Huwag nating i-stress, ang lahat sa talatang ito ay medyo simple din. Maaari mong isulat pangkalahatang pormula parametrically tinukoy function, ngunit, upang gawin itong malinaw, agad kong isusulat tiyak na halimbawa. Sa parametric form, ang function ay ibinibigay ng dalawang equation: . Kadalasan ang mga equation ay nakasulat hindi sa ilalim ng mga kulot na bracket, ngunit sunud-sunod: , .

Ang variable ay tinatawag na isang parameter at maaaring kumuha ng mga halaga mula sa "minus infinity" hanggang sa "plus infinity". Isaalang-alang, halimbawa, ang halaga at palitan ito sa parehong mga equation: . O sa mga termino ng tao: "kung ang x ay katumbas ng apat, kung gayon ang y ay katumbas ng isa." Maaari mong markahan ang isang punto sa coordinate plane, at ang puntong ito ay tumutugma sa halaga ng parameter. Katulad nito, makakahanap ka ng isang punto para sa anumang halaga ng parameter na "te". Tulad ng sa "regular" na function, para sa Amerikanong Indyano ng isang parametrically tinukoy na function, ang lahat ng mga karapatan ay iginagalang din: maaari kang bumuo ng isang graph, maghanap ng mga derivatives, atbp. Sa pamamagitan ng paraan, kung kailangan mong mag-plot ng isang graph ng isang parametrically tinukoy na function, maaari mong gamitin ang aking programa.

Sa pinakasimpleng mga kaso, posibleng ilarawan nang tahasan ang function. Ipahayag natin ang parameter mula sa unang equation: – at palitan ito sa pangalawang equation: . Ang resulta ay isang ordinaryong cubic function.

Sa mas "malubhang" kaso, hindi gumagana ang trick na ito. Ngunit hindi mahalaga, dahil upang mahanap ang derivative parametric function may formula:

Nahanap namin ang derivative ng "laro na may paggalang sa variable na te":

Ang lahat ng mga panuntunan sa pagkakaiba-iba at ang talahanayan ng mga derivative ay wasto, natural, para sa titik , kaya, walang bago sa proseso ng paghahanap ng mga derivatives. Itak lang palitan lahat ng "X's" sa table ng letter "Te".

Nahanap namin ang derivative ng "x na may paggalang sa variable na te":

Ngayon ang lahat na natitira ay upang palitan ang mga nahanap na derivatives sa aming formula:

handa na. Ang derivative, tulad ng mismong function, ay nakasalalay din sa parameter.

Tulad ng para sa notasyon, sa halip na isulat ito sa pormula, maaari lamang itong isulat nang walang subscript, dahil ito ay isang "regular" na derivative "na may paggalang sa X". Ngunit sa panitikan ay palaging may pagpipilian, kaya hindi ako lilihis sa pamantayan.

Halimbawa 6

Ginagamit namin ang formula

Sa kasong ito:

kaya:

Ang isang espesyal na tampok ng paghahanap ng derivative ng isang parametric function ay ang katotohanan na sa bawat hakbang ay kapaki-pakinabang na gawing simple ang resulta hangga't maaari. Kaya, sa halimbawang isinasaalang-alang, nang makita ko ito, binuksan ko ang mga panaklong sa ilalim ng ugat (bagaman maaaring hindi ko ito nagawa). Malaki ang pagkakataon na kapag pinalitan ang formula, maraming bagay ang mababawasan ng maayos. Bagaman, siyempre, may mga halimbawa na may mga clumsy na sagot.

Halimbawa 7

Hanapin ang derivative ng isang function na tinukoy sa parametrically

Ito ay isang halimbawa para sa iyo upang malutas sa iyong sarili.

Sa artikulo Ang pinakasimpleng karaniwang mga problema sa mga derivatives tumingin kami sa mga halimbawa kung saan kailangan naming hanapin ang pangalawang derivative ng isang function. Para sa isang parametrically tinukoy na function, maaari mo ring mahanap ang pangalawang derivative, at ito ay matatagpuan gamit ang sumusunod na formula: . Malinaw na para mahanap ang pangalawang derivative, kailangan mo munang hanapin ang unang derivative.

Halimbawa 8

Hanapin ang una at pangalawang derivatives ng isang function na ibinigay parametrically

Una, hanapin natin ang unang derivative.
Ginagamit namin ang formula

Sa kasong ito:

Pinapalitan namin ang mga nahanap na derivatives sa formula. Para sa mga layunin ng pagpapasimple, ginagamit namin ang trigonometric formula:

O sa madaling salita - ang derivative ng isang implicit function. Ano ang isang implicit function? Dahil praktikal ang aking mga aralin, sinisikap kong iwasan ang mga kahulugan at teorema, ngunit angkop na gawin ito dito. Ano ang isang function pa rin?

Ang nag-iisang variable na function ay isang panuntunan na nagsasaad na para sa bawat value ng independent variable ay may isa at isang value lang ng function.

Ang variable ay tinatawag malayang baryabol o argumento.
Ang variable ay tinatawag dependent variable o function.

Sa halos pagsasalita, ang titik na "Y" sa kasong ito ay ang function.

Sa ngayon ay tiningnan namin ang mga function na tinukoy sa tahasan anyo. Ano ang ibig sabihin nito? Magsagawa tayo ng isang debriefing gamit ang mga tiyak na halimbawa.

Isaalang-alang ang function

Nakita namin na sa kaliwa mayroon kaming nag-iisang "Y" (function), at sa kanan - "X's" lang. Iyon ay, ang pag-andar tahasan ipinahayag sa pamamagitan ng malayang baryabol.

Tingnan natin ang isa pang function:

Ito ay kung saan ang mga variable ay halo-halong up. At saka imposible sa anumang paraan ipahayag ang "Y" lamang sa pamamagitan ng "X". Ano ang mga pamamaraang ito? Paglilipat ng mga termino mula sa bahagi patungo sa bahagi na may pagbabago ng tanda, pag-alis ng mga ito sa mga bracket, paghagis ng mga salik ayon sa tuntunin ng proporsyon, atbp. Isulat muli ang pagkakapantay-pantay at subukang ipahayag ang "y" nang tahasan: . Maaari mong i-twist at iikot ang equation nang maraming oras, ngunit hindi ka magtatagumpay.

Hayaan akong ipakilala sa iyo: - halimbawa implicit function.

Sa kurso ng mathematical analysis napatunayan na ang implicit function umiiral(gayunpaman, hindi palaging), mayroon itong graph (tulad ng isang "normal" na function). Ang implicit function ay eksaktong pareho umiiral unang derivative, pangalawang derivative, atbp. Tulad ng sinasabi nila, ang lahat ng karapatan ng mga sekswal na minorya ay iginagalang.

At sa araling ito matututunan natin kung paano hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na tinukoy. Hindi naman ganoon kahirap! Ang lahat ng mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan at ang talahanayan ng mga derivatives ng elementarya ay nananatiling may bisa. Ang pagkakaiba ay nasa isang kakaibang sandali, na titingnan natin ngayon.

Oo, at sasabihin ko sa iyo ang mabuting balita - ang mga gawain na tinalakay sa ibaba ay isinasagawa ayon sa isang medyo mahigpit at malinaw na algorithm na walang bato sa harap ng tatlong mga track.

Halimbawa 1

1) Sa unang yugto, ikinakabit namin ang mga stroke sa parehong bahagi:

2) Ginagamit namin ang mga tuntunin ng linearity ng derivative (ang unang dalawang panuntunan ng aralin Paano mahahanap ang derivative? Mga halimbawa ng solusyon):

3) Direktang pagkita ng kaibhan.
Kung paano ang pagkakaiba ay ganap na malinaw. Ano ang gagawin kung saan may mga "laro" sa ilalim ng mga stroke?

Hanggang sa kahihiyan lang ang derivative ng isang function ay katumbas ng derivative nito: .

Paano mag-iba

Nandito na tayo kumplikadong pag-andar. Bakit? Tila sa ilalim ng sine ay may isang letra lamang na "Y". Ngunit ang katotohanan ay mayroon lamang isang titik na "y" - AY MISMONG FUNCTION(tingnan ang kahulugan sa simula ng aralin). Kaya, ang sine ay isang panlabas na function at isang panloob na function. Ginagamit namin ang panuntunan para sa pagkakaiba ng isang kumplikadong function :

Iniiba namin ang produkto ayon sa karaniwang tuntunin :

Pakitandaan na - ay isa ring kumplikadong function, anumang "laro na may mga kampana at sipol" ay isang kumplikadong function:

Ang solusyon mismo ay dapat magmukhang ganito:

Kung mayroong mga bracket, palawakin ang mga ito:

4) Sa kaliwang bahagi kinokolekta namin ang mga terminong naglalaman ng "Y" na may prime. Ilipat ang lahat ng iba pa sa kanang bahagi:

5) Sa kaliwang bahagi ay kinukuha namin ang derivative sa mga bracket:

6) At ayon sa tuntunin ng proporsyon, ibinabagsak namin ang mga bracket na ito sa denominator ng kanang bahagi:

Nahanap na ang derivative. handa na.

Ito ay kagiliw-giliw na tandaan na ang anumang pag-andar ay maaaring muling isulat nang hindi malinaw. Halimbawa, ang function maaaring muling isulat tulad nito: . At ibahin ito gamit ang algorithm na tinalakay lang. Sa katunayan, ang mga pariralang "implicit function" at "implicit function" ay naiiba sa isang semantic nuance. Ang pariralang "implicitly specified function" ay mas pangkalahatan at tama, - ang function na ito ay implicitly na tinukoy, ngunit dito maaari mong ipahayag ang "laro" at ipakita ang function na tahasan. Ang pariralang "implicit function" ay tumutukoy sa "classical" implicit function kapag ang "y" ay hindi maipahayag.

Pangalawang solusyon

Pansin! Maaari mong gawing pamilyar ang iyong sarili sa pangalawang paraan kung alam mo kung paano kumpiyansa na makahanap ng mga partial derivatives. Mga nagsisimula at nagsisimula sa pag-aaral ng mathematical analysis, mangyaring huwag basahin at laktawan ang puntong ito, kung hindi, ang iyong ulo ay magiging isang kumpletong gulo.

Hanapin natin ang derivative ng implicit function gamit ang pangalawang paraan.

Inilipat namin ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi:

At isaalang-alang ang isang function ng dalawang variable:

Pagkatapos ang aming derivative ay matatagpuan gamit ang formula

Hanapin natin ang mga partial derivatives:

kaya:

Ang pangalawang solusyon ay nagpapahintulot sa iyo na magsagawa ng tseke. Ngunit hindi ipinapayong isulat nila ang panghuling bersyon ng takdang-aralin, dahil ang mga partial derivatives ay pinagkadalubhasaan sa ibang pagkakataon, at ang isang mag-aaral na nag-aaral ng paksang "Derivative ng isang function ng isang variable" ay hindi pa dapat malaman ang mga partial derivatives.

Tingnan natin ang ilan pang halimbawa.

Halimbawa 2

Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay

Magdagdag ng mga stroke sa parehong bahagi:

Gumagamit kami ng mga panuntunan sa linearity:

Paghahanap ng mga derivatives:

Pagbubukas ng lahat ng mga bracket:

Inilipat namin ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi, ang natitira - sa kanang bahagi:

Sa kaliwang bahagi ay inilabas namin ito sa mga bracket:

Panghuling sagot:

Halimbawa 3

Hanapin ang derivative ng isang function na implicitly na ibinigay

Buong solusyon at sample na disenyo sa pagtatapos ng aralin.

Karaniwang lumilitaw ang mga fraction pagkatapos ng pagkita ng kaibhan. Sa ganitong mga kaso, kailangan mong alisin ang mga fraction. Tingnan natin ang dalawa pang halimbawa.