Solusyon ng isang oda na may espesyal na kanang bahagi. Linear inhomogeneous second-order differential equation na may pare-parehong coefficient

Mga pangunahing kaalaman sa paglutas ng mga linear inhomogeneous differential equation ng pangalawang order (LNDE-2) na may pare-parehong coefficient (PC)

Ang pangalawang-order na CLDE na may pare-parehong coefficient na $p$ at $q$ ay may anyong $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, kung saan $f\left( x \right)$ ay isang tuluy-tuloy na function.

Ang sumusunod na dalawang pahayag ay totoo patungkol sa 2nd LNDE na may PC.

Ipagpalagay na ang ilang function na $U$ ay isang arbitrary na partikular na solusyon ng isang inhomogeneous differential equation. Ipagpalagay din natin na ang ilang function na $Y$ ay isang pangkalahatang solusyon (OR) ng katumbas na linear homogeneous differential equation (LODE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Pagkatapos ay ang OR ng Ang LNDE-2 ay katumbas ng kabuuan ng ipinahiwatig na pribado at pangkalahatang mga solusyon, ibig sabihin, $y=U+Y$.

Kung ang kanang bahagi ng 2nd order LIDE ay ang kabuuan ng mga function, ibig sabihin, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x\right) )+. ..+f_(r) \left(x\right)$, pagkatapos ay mahahanap mo muna ang PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r) $ na tumutugma sa bawat isa ng mga function na $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, at pagkatapos ay isulat ang LNDE-2 PD bilang $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Solusyon ng 2nd order LNDE sa PC

Malinaw, ang anyo ng isa o isa pang PD $U$ ng isang ibinigay na LNDE-2 ay nakasalalay sa partikular na anyo ng kanang bahagi nito $f\left(x\right)$. Ang pinakasimpleng mga kaso ng paghahanap para sa PD ng LNDE-2 ay binuo bilang sumusunod na apat na panuntunan.

Rule number 1.

Ang kanang bahagi ng LNDE-2 ay may anyong $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, kung saan $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, ibig sabihin, ito ay tinatawag na a polynomial ng degree $n$. Pagkatapos ang PR $U$ nito ay hinanap sa form na $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, kung saan ang $Q_(n) \left(x\right)$ ay isa pa polynomial ng parehong antas bilang $P_(n) \left(x\right)$, at $r$ ay ang bilang ng mga ugat ng katangian na equation ng kaukulang LODE-2, sero. Ang mga coefficient ng polynomial $Q_(n) \left(x\right)$ ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng indefinite coefficients (NC).

Rule number 2.

Ang kanang bahagi ng LNDE-2 ay may anyong $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, kung saan $P_(n) Ang \left( x\right)$ ay isang polynomial ng degree na $n$. Pagkatapos ang PD $U$ nito ay hinanap sa anyong $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, kung saan ang $Q_(n ) \ left(x\right)$ ay isa pang polynomial na kapareho ng antas ng $P_(n) \left(x\right)$, at ang $r$ ay ang bilang ng mga ugat ng katangian na equation ng kaukulang LODE-2 katumbas ng $\alpha $. Ang mga coefficient ng polynomial $Q_(n) \left(x\right)$ ay matatagpuan sa pamamagitan ng NK method.

Rule number 3.

Ang kanang bahagi ng LNDE-2 ay may anyong $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, kung saan ang $a$, $b$ at $\beta $ ay mga kilalang numero. Pagkatapos ang PD $U$ nito ay hinahanap sa anyong $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) )\kanan )\cdot x^(r) $, kung saan ang $A$ at $B$ ay mga hindi kilalang coefficient, at ang $r$ ay ang bilang ng mga ugat ng katangian na equation ng kaukulang LODE-2 na katumbas ng $i\cdot \beta $. Ang mga coefficient na $A$ at $B$ ay matatagpuan sa paraan ng NDT.

Rule number 4.

Ang kanang bahagi ng LNDE-2 ay may anyong $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, kung saan ang $P_(n) \left(x\right)$ ay isang polynomial ng degree na $ n$, at ang $P_(m) \left(x\right)$ ay isang polynomial ng degree na $m$. Pagkatapos ay hahanapin ang PD $U$ nito sa anyong $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, kung saan ang $Q_(s) \left(x\right) Ang $ at $ R_(s) \left(x\right)$ ay mga polynomial ng degree na $s$, ang bilang na $s$ ay ang maximum ng dalawang numero na $n$ at $m$, at ang $r$ ay ang bilang ng mga ugat ng katangiang equation ng kaukulang LODE-2, katumbas ng $\alpha +i\cdot \beta $. Ang mga coefficient ng polynomial na $Q_(s) \left(x\right)$ at $R_(s) \left(x\right)$ ay matatagpuan sa pamamagitan ng NK method.

Ang pamamaraan ng NK ay binubuo sa paglalapat ng sumusunod na tuntunin. Upang mahanap ang hindi kilalang mga coefficient ng polynomial, na bahagi ng partikular na solusyon ng inhomogeneous differential equation LNDE-2, kinakailangan:

palitan ang PD $U$ na nakasulat pangkalahatang pananaw, sa kaliwang bahagi ng LNDU-2;
sa kaliwang bahagi ng LNDE-2, magsagawa ng mga pagpapasimple at mga termino ng pangkat na may parehong kapangyarihan $x$;
sa nagresultang pagkakakilanlan, ipantay ang mga coefficient ng mga termino na may parehong kapangyarihan $x$ ng kaliwa at kanang panig;
lutasin ang resultang sistema linear na equation na may paggalang sa mga hindi kilalang coefficient.

Halimbawa 1

Gawain: hanapin ang OR LNDE-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Hanapin din ang PR , na nagbibigay-kasiyahan sa mga paunang kundisyon $y=6$ para sa $x=0$ at $y"=1$ para sa $x=0$.

Isulat ang kaukulang LODA-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Katangiang equation: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Ang mga ugat ng katangiang equation: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Ang mga ugat na ito ay totoo at naiiba. Kaya, ang OR ng kaukulang LODE-2 ay may anyo: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Ang kanang bahagi ng LNDE-2 na ito ay may anyong $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Kinakailangang isaalang-alang ang coefficient ng exponent ng exponent $\alpha =3$. Ang koepisyent na ito ay hindi tumutugma sa alinman sa mga ugat ng katangiang equation. Samakatuwid, ang PR nitong LNDE-2 ay may anyong $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Hahanapin natin ang mga coefficient na $A$, $B$ gamit ang NK method.

Nahanap namin ang unang derivative ng CR:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Natagpuan namin ang pangalawang derivative ng CR:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Pinapalitan namin ang mga function na $U""$, $U"$ at $U$ sa halip na $y""$, $y"$ at $y$ sa ibinigay na LNDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Kasabay nito, dahil kasama ang exponent na $e^(3\cdot x) $ bilang isang kadahilanan sa lahat ng mga sangkap, kung gayon maaari itong alisin.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Nagsasagawa kami ng mga aksyon sa kaliwang bahagi ng nagresultang pagkakapantay-pantay:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Ginagamit namin ang paraan ng NC. Kumuha kami ng isang sistema ng mga linear na equation na may dalawang hindi alam:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Ang solusyon sa sistemang ito ay: $A=-2$, $B=-1$.

Ang CR $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ para sa aming problema ay ganito ang hitsura: $U=\left(-2\cdot x-1\right ) \cdot e^(3\cdot x) $.

Ang OR $y=Y+U$ para sa aming problema ay ganito ang hitsura: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ kaliwa(-2\cdot x-1\kanan)\cdot e^(3\cdot x) $.

Upang maghanap ng PD na nakakatugon sa ibinigay na mga paunang kundisyon, nakita namin ang derivative na $y"$ O:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Pinapalitan namin sa $y$ at $y"$ ang mga paunang kundisyon $y=6$ para sa $x=0$ at $y"=1$ para sa $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Mayroon kaming isang sistema ng mga equation:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Solusyonan natin ito. Nakita namin ang $C_(1) $ gamit ang formula ng Cramer, at ang $C_(2) $ ay tinutukoy mula sa unang equation:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\kanan|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Kaya, ang PD ng differential equation na ito ay: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Ang artikulong ito ay nagpapakita ng tanong ng paglutas ng mga linear inhomogeneous differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient. Ang teorya ay isasaalang-alang kasama ng mga halimbawa ng mga ibinigay na problema. Upang matukoy ang hindi maintindihan na mga termino, kinakailangan na sumangguni sa paksa ng mga pangunahing kahulugan at konsepto ng teorya ng mga equation ng kaugalian.

Isaalang-alang ang isang linear differential equation (LDE) ng pangalawang pagkakasunud-sunod na may mga pare-parehong coefficient ng form na y "" + p y " + q y \u003d f (x) , kung saan ang p at q ay mga arbitrary na numero, at ang umiiral na function f (x) ay tuloy-tuloy sa integration interval x .

Ipasa natin ang pagbabalangkas ng pangkalahatang solusyon na theorem para sa LIDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pangkalahatang solution theorem para sa LDNU

Teorama 1

Ang pangkalahatang solusyon, na matatagpuan sa pagitan ng x, ng isang inhomogeneous differential equation ng anyong y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) y = f (x) na may tuluy-tuloy na integration coefficients sa x interval f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) at tuluy-tuloy na pag-andar f (x) ay katumbas ng kabuuan ng pangkalahatang solusyon y 0 , na tumutugma sa LODE at ilang partikular na solusyon y ~ , kung saan ang orihinal na inhomogeneous na equation ay y = y 0 + y ~ .

Ipinapakita nito na ang solusyon ng naturang pangalawang-order na equation ay may anyo na y = y 0 + y ~ . Ang algorithm para sa paghahanap ng y 0 ay isinasaalang-alang sa artikulo sa linear homogenous differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient. Pagkatapos nito, dapat magpatuloy ang isa sa kahulugan ng y ~ .

Ang pagpili ng isang partikular na solusyon sa LIDE ay depende sa uri ng magagamit na function f (x) na matatagpuan sa kanang bahagi ng equation. Upang gawin ito, kinakailangang isaalang-alang nang hiwalay ang mga solusyon ng linear inhomogeneous differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient.

Kapag ang f (x) ay itinuturing na isang polynomial ng nth degree f (x) = P n (x) , ito ay sumusunod na ang isang partikular na solusyon ng LIDE ay matatagpuan sa pamamagitan ng isang formula ng anyong y ~ = Q n (x ) x γ , kung saan ang Q n ( x) ay isang polynomial ng degree n, ang r ay ang bilang ng mga zero na ugat ng katangian na equation. Ang halaga ng y ~ ay isang partikular na solusyon y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , pagkatapos ay ang magagamit na mga coefficient, na tinukoy ng polynomial
Q n (x) , nakita namin ang paggamit ng paraan ng mga hindi tiyak na coefficient mula sa pagkakapantay-pantay y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Halimbawa 1

Kalkulahin gamit ang Cauchy theorem y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Desisyon

Sa madaling salita, kinakailangan na ipasa sa isang partikular na solusyon ng isang linear inhomogeneous differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficients y "" - 2 y " = x 2 + 1 , na kung saan ay masisiyahan ang ibinigay na mga kondisyon y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Ang pangkalahatang solusyon ng linear hindi magkakatulad na equation ay ang kabuuan ng pangkalahatang solusyon na tumutugma sa equation y 0 o isang partikular na solusyon ng inhomogeneous equation y ~ , iyon ay, y = y 0 + y ~ .

Una, hanapin natin karaniwang desisyon para sa LNDU, at pagkatapos nito - pribado.

Lumipat tayo sa paghahanap ng y 0 . Ang pagsulat ng katangian na equation ay makakatulong sa paghahanap ng mga ugat. Nakukuha namin iyon

k 2 - 2 k \u003d 0 k (k - 2) \u003d 0 k 1 \u003d 0, k 2 \u003d 2

Nalaman namin na ang mga ugat ay iba at totoo. Samakatuwid, nagsusulat kami

y 0 \u003d C 1 e 0 x + C 2 e 2 x \u003d C 1 + C 2 e 2 x.

Hanapin natin y ~ . Makikita na ang kanang bahagi ng ibinigay na equation ay isang polynomial ng pangalawang degree, kung gayon ang isa sa mga ugat ay katumbas ng zero. Mula dito nakuha namin na ang isang partikular na solusyon para sa y ~ ay magiging

y ~ = Q 2 (x) x γ \u003d (A x 2 + B x + C) x \u003d A x 3 + B x 2 + C x, kung saan ang mga halaga ng A, B, C kumuha ng hindi natukoy na mga coefficient.

Hanapin natin sila mula sa pagkakapantay-pantay ng anyong y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Pagkatapos makuha namin iyon:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Pagtutumbas ng mga coefficient sa ang parehong mga tagapagpahiwatig degrees x , nakakakuha tayo ng sistema ng mga linear na expression - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . Kapag nag-solve sa alinman sa mga paraan, hinahanap namin ang mga coefficient at isulat: A \u003d - 1 6, B \u003d - 1 4, C \u003d - 3 4 at y ~ \u003d A x 3 + B x 2 + C x \u003d - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Ang entry na ito ay tinatawag na pangkalahatang solusyon ng orihinal na linear inhomogeneous second-order differential equation na may pare-parehong coefficient.

Upang makahanap ng isang partikular na solusyon na nakakatugon sa mga kondisyon y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , kinakailangan upang matukoy ang mga halaga C1 at C2, batay sa pagkakapantay-pantay ng anyo y \u003d C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Nakukuha namin iyon:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y "(0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Gumagana kami sa nagresultang sistema ng mga equation ng anyong C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , kung saan C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Ang paglalapat ng Cauchy theorem, mayroon kami na

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Sagot: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Kapag ang function na f (x) ay kinakatawan bilang isang produkto ng isang polynomial na may degree n at isang exponent f (x) = P n (x) e a x , kung gayon mula rito ay nakuha natin na ang isang partikular na solusyon ng pangalawang-order na LIDE ay magiging isang equation ng anyong y ~ = e a x Q n ( x) · x γ , kung saan ang Q n (x) ay isang polynomial ng nth degree, at ang r ay ang bilang ng mga ugat ng katangian na equation na katumbas ng α .

Ang mga coefficient na kabilang sa Q n (x) ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Halimbawa 2

Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng isang differential equation ng anyong y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Desisyon

Pangkalahatang equation y = y 0 + y ~ . Ang ipinahiwatig na equation ay tumutugma sa LOD y "" - 2 y " = 0. Ang nakaraang halimbawa ay nagpapakita na ang mga ugat nito ay k1 = 0 at k 2 = 2 at y 0 = C 1 + C 2 e 2 x ayon sa katangiang equation.

Makikita na ang kanang bahagi ng equation ay x 2 + 1 · e x . Mula dito, ang LNDE ay matatagpuan sa pamamagitan ng y ~ = e a x Q n (x) x γ , kung saan ang Q n (x) , na isang polynomial ng pangalawang degree, kung saan ang α = 1 at r = 0 , dahil ang katangiang equation ay hindi may ugat na katumbas ng 1 . Kaya nakuha namin iyon

y ~ = e a x Q n (x) x γ = e x A x 2 + B x + C x 0 = e x A x 2 + B x + C .

Ang A, B, C ay mga hindi kilalang coefficient, na makikita ng pagkakapantay-pantay y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .

Nakuha ko na

y ~ "= e x A x 2 + B x + C" = e x A x 2 + B x + C + e x 2 A x + B == e x A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 e x ⇔ e x - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Tinutumbas namin ang mga tagapagpahiwatig para sa parehong mga coefficient at kumuha ng isang sistema ng mga linear equation. Mula dito makikita natin ang A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Sagot: makikita na ang y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 ay isang partikular na solusyon ng LIDE, at y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

Kapag ang function ay isinulat bilang f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x , at A 1 at SA 1 ay mga numero, kung gayon ang isang equation ng anyong y ~ = A cos β x + B sin β x x γ ay itinuturing na isang partikular na solusyon ng LIDE, kung saan ang A at B ay isinasaalang-alang hindi tiyak na mga coefficient, at r sa bilang ng mga kumplikadong conjugate na ugat na nauugnay sa katangiang equation na katumbas ng ± i β . Sa kasong ito, ang paghahanap para sa mga coefficient ay isinasagawa ng pagkakapantay-pantay y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Halimbawa 3

Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng isang differential equation ng anyong y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Desisyon

Bago isulat ang katangiang equation, makikita natin ang y 0 . Pagkatapos

k 2 + 4 \u003d 0 k 2 \u003d - 4 k 1 \u003d 2 i, k 2 \u003d - 2 i

Mayroon kaming isang pares ng kumplikadong conjugate roots. Magbago tayo at makakuha ng:

y 0 \u003d e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) \u003d C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Ang mga ugat mula sa katangiang equation ay itinuturing na isang pares ng conjugate ± 2 i , pagkatapos f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Ipinapakita nito na ang paghahanap para sa y ~ ay gagawin mula sa y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Unknowns hahanapin ang mga coefficients A at B mula sa pagkakapantay-pantay ng anyong y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Ibahin natin:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Pagkatapos ay makikita iyon

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4B cos(2x) = cos(2x) + 3 sin(2x)

Ito ay kinakailangan upang equate ang coefficients ng sines at cosines. Kumuha kami ng isang sistema ng form:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Kasunod nito na y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x .

Sagot: ang pangkalahatang solusyon ng orihinal na LIDE ng pangalawang order na may pare-parehong coefficient ay itinuturing na

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Kapag f (x) = e a x P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , pagkatapos ay y ~ = e a x (L m (x) sin (β x) + N m (x ) cos (β x) x γ Mayroon tayong r ay ang bilang ng mga kumplikadong pares ng conjugate ng mga ugat na nauugnay sa katangiang equation, katumbas ng α ± i β , kung saan ang P n (x) , Q k (x) , L m ( x) at N m (x) ay mga polynomial ng degree n, k, m, kung saan m = m a x (n, k). Paghahanap ng mga coefficient L m (x) at N m (x) ay ginawa batay sa pagkakapantay-pantay y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Halimbawa 4

Hanapin ang pangkalahatang solusyon y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Desisyon

Malinaw sa kondisyon na

α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

Pagkatapos m = m a x (n , k) = 1 . Nahanap namin ang y 0 sa pamamagitan ng unang pagsulat ng katangian na equation ng form:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Nalaman namin na ang mga ugat ay totoo at naiiba. Kaya y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Susunod, ito ay kinakailangan upang maghanap ng isang pangkalahatang solusyon batay sa isang hindi magkakatulad na equation y ~ ng form

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) kasalanan (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) kasalanan (5 x))

Ito ay kilala na ang A, B, C ay mga coefficient, r = 0, dahil walang pares ng conjugate roots na nauugnay sa katangian na equation na may α ± i β = 3 ± 5 · i. Ang mga coefficient na ito ay matatagpuan mula sa nagresultang pagkakapantay-pantay:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) kasalanan (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) kasalanan (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Ang paghahanap ng derivative at mga katulad na termino ay nagbibigay

E 3 x ((15 A + 23 C) x kasalanan (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) kasalanan (5 x) + + (23 A - 15 C) x cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) cos (5 x)) = = - e 3 x (38 x sin (5 x) + 45 sin (5 x) + + 8 x cos ( 5 x) - 5 cos (5 x))

Pagkatapos equating ang coefficients, kumuha kami ng isang sistema ng form

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Mula sa lahat ng ito ay sumusunod na

y ~= e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) == e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x +1)kasalanan(5x))

Sagot: ngayon ang pangkalahatang solusyon ng ibinigay na linear equation ay nakuha:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algorithm para sa paglutas ng LDNU

Kahulugan 1

Ang anumang iba pang uri ng function na f (x) para sa solusyon ay nagbibigay para sa algorithm ng solusyon:

paghahanap ng pangkalahatang solusyon ng katumbas na linear homogeneous equation, kung saan y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , kung saan y 1 at y2 ay linearly independent partikular na solusyon ng LODE, Mula sa 1 at mula 2 ay itinuturing na arbitrary constants;
pagtanggap bilang pangkalahatang solusyon ng LIDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
kahulugan ng mga derivatives ng isang function sa pamamagitan ng isang sistema ng anyong C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2 "(x) y 2 (x) = 0 C 1 "(x) + y 1" (x ) + C 2 " (x) y 2 "(x) = f (x) , at paghahanap ng mga function C 1 (x) at C 2 (x) sa pamamagitan ng pagsasama.

Halimbawa 5

Hanapin ang pangkalahatang solusyon para sa y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .

Desisyon

Nagpapatuloy kami sa pagsulat ng katangian na equation, na dati nang nakasulat y 0 , y "" + 36 y = 0 . Isulat at lutasin natin:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = kasalanan (6 x)

Mayroon kaming na ang talaan ng pangkalahatang solusyon ng ibinigay na equation ay kukuha ng anyong y = C 1 (x) cos (6 x) + C 2 (x) sin (6 x) . Kinakailangang ipasa sa kahulugan ng mga derivative function C 1 (x) at C2(x) ayon sa sistema na may mga equation:

C 1 "(x) cos (6 x) + C 2" (x) sin (6 x) = 0 C 1 "(x) (cos (6 x))" + C 2 "(x) (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) \u003d \u003d 24 na kasalanan (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Ang isang desisyon ay kailangang gawin tungkol sa C 1"(x) at C2" (x) gamit ang anumang paraan. Pagkatapos ay sumulat kami:

C 1 "(x) \u003d - 4 kasalanan 2 (6 x) + 2 kasalanan (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x kasalanan (6 x) C 2 "(x) \u003d 4 kasalanan (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Ang bawat isa sa mga equation ay dapat isama. Pagkatapos ay isulat namin ang mga nagresultang equation:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x kasalanan (6 x) + C 4

Ito ay sumusunod na ang pangkalahatang solusyon ay magkakaroon ng form:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 na kasalanan (6 x)

Sagot: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6x)

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Magkakaiba differential equation pangalawang order na may pare-parehong coefficient

Istraktura ng pangkalahatang solusyon

Ang isang linear inhomogeneous equation ng ganitong uri ay may anyo:

saan p, q− pare-parehong mga numero (na maaaring parehong totoo at kumplikado). Para sa bawat naturang equation, maaaring isulat ng isa ang katumbas homogenous equation:

Teorama: Ang pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous equation ay ang kabuuan ng pangkalahatang solusyon y 0 (x) ng katumbas na homogenous equation at isang partikular na solusyon y 1 (x) ng inhomogeneous equation:

Sa ibaba ay isinasaalang-alang namin ang dalawang pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi homogenous na differential equation.

Paraan ng Constant Variation

Kung ang pangkalahatang solusyon y 0 ng nauugnay na homogenous equation ay kilala, pagkatapos ay ang pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous equation ay matatagpuan gamit ang pare-parehong paraan ng pagkakaiba-iba. Hayaan ang pangkalahatang solusyon ng isang pangalawang-order na homogenous differential equation na magkaroon ng anyo:

Sa halip na permanente C 1 at C 2 isasaalang-alang natin ang mga pantulong na function C 1 (x) at C 2 (x). Hahanapin namin ang mga function na ito na ang solusyon

natutugunan ang inhomogeneous equation sa kanang bahagi f(x). Mga hindi kilalang feature C 1 (x) at C 2 (x) ay tinutukoy mula sa sistema ng dalawang equation:

Paraan ng hindi natukoy na mga koepisyent

kanang bahagi f(x) ng isang inhomogeneous differential equation ay kadalasang polynomial, exponential o trigonometriko function, o ilang kumbinasyon ng mga function na ito. Sa kasong ito, mas maginhawang maghanap ng solusyon gamit paraan ng hindi tiyak na coefficients. Binibigyang-diin namin iyon paraang ito gumagana lamang para sa isang limitadong klase ng mga function sa kanang bahagi, tulad ng

Sa parehong mga kaso, ang pagpili ng isang partikular na solusyon ay dapat na tumutugma sa istraktura ng kanang bahagi ng inhomogeneous differential equation. Sa kaso 1, kung ang numero α sa exponential function ay tumutugma sa ugat ng katangian na equation, kung gayon ang partikular na solusyon ay maglalaman ng karagdagang kadahilanan x s, saan s− multiplicity ng ugat α sa katangian equation. Sa kaso 2, kung ang numero α + βi coincides sa ugat ng katangian equation, pagkatapos ay ang expression para sa partikular na solusyon ay naglalaman ng isang karagdagang kadahilanan x. Ang mga hindi kilalang coefficient ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng pagpapalit ng nahanap na expression para sa isang partikular na solusyon sa orihinal na inhomogeneous differential equation.

Prinsipyo ng superposisyon

Kung ang kanang bahagi ng inhomogeneous equation ay halaga ilang mga function ng form

kung gayon ang partikular na solusyon ng differential equation ay magiging kabuuan din ng mga partikular na solusyon na binuo nang hiwalay para sa bawat termino sa kanang bahagi.

Halimbawa 1

Lutasin ang differential equation y"" + y= kasalanan(2 x).

Desisyon.

Una naming lutasin ang kaukulang homogenous equation y"" + y= 0. Sa kasong ito, ang mga ugat ng katangiang equation ay puro haka-haka:

Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation ay ibinibigay ng

Bumalik tayo muli sa inhomogeneous equation. Hahanapin namin ang solusyon nito sa form

gamit ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga constants. Mga pag-andar C 1 (x) at C 2 (x) ay matatagpuan mula sa sumusunod na sistema ng mga equation:

Ipinapahayag namin ang derivative C 1 " (x) mula sa unang equation:

Ang pagpapalit sa pangalawang equation, nakita natin ang derivative C 2 " (x):

Kaya naman sinusunod iyon

Pagsasama ng mga expression para sa mga derivatives C 1 " (x) at C 2 " (x), nakukuha namin:

saan A 1 , A 2 − integration constants. Ngayon pinapalitan namin ang mga nahanap na function C 1 (x) at C 2 (x) sa pormula para sa y 1 (x) at isulat ang pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous equation:

Halimbawa 2

Maghanap ng isang pangkalahatang solusyon sa equation y"" + y" −6y = 36x.

Desisyon.

Gamitin natin ang paraan ng indefinite coefficients. Ang kanang bahagi ng ibinigay na equation ay isang linear function f(x)= palakol + b. Samakatuwid, hahanapin namin ang isang partikular na solusyon sa form

Ang mga derivatives ay:

Ang pagpapalit nito sa differential equation, nakukuha natin:

Ang huling equation ay isang pagkakakilanlan, ibig sabihin, ito ay wasto para sa lahat x, kaya itinutumbas namin ang mga coefficient ng mga termino na may parehong kapangyarihan x sa kaliwa at kanang bahagi:

Mula sa nagresultang sistema nalaman namin: A = −6, B= −1. Bilang resulta, ang partikular na solusyon ay nakasulat sa form

Ngayon hanapin natin ang pangkalahatang solusyon ng homogenous differential equation. Kalkulahin natin ang mga ugat ng pantulong na katangian na equation:

Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogenous na equation ay may anyo:

Kaya, ang pangkalahatang solusyon ng orihinal na inhomogeneous equation ay ipinahayag ng formula

Pangkalahatang integral ng DE.

Lutasin ang differential equation

Ngunit ang nakakatawa ay alam na ang sagot:, mas tiyak, kailangan din nating magdagdag ng pare-pareho: Ang pangkalahatang integral ay isang solusyon sa differential equation.

Paraan ng pagkakaiba-iba ng mga di-makatwirang constants. Mga halimbawa ng solusyon

Ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary na constant ay ginagamit upang malutas ang mga hindi magkakatulad na equation ng kaugalian. Ang araling ito ay inilaan para sa mga mag-aaral na higit pa o hindi gaanong bihasa sa paksa. Kung nagsisimula ka pa lamang na maging pamilyar sa remote control, i.e. Kung ikaw ay isang tsarera, inirerekumenda kong magsimula sa unang aralin: First order differential equation. Mga halimbawa ng solusyon. At kung ikaw ay nagtatapos na, mangyaring itapon ang posibleng preconceived paniwala na ang paraan ay mahirap. Dahil simple lang siya.

Sa anong mga kaso ginagamit ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants?

1) Ang paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho ay maaaring gamitin upang malutas linear inhomogeneous DE ng 1st order. Dahil ang equation ay nasa unang pagkakasunud-sunod, kung gayon ang pare-pareho (constant) ay isa rin.

2) Ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary na constant ay ginagamit upang malutas ang ilan linear inhomogeneous equation ng pangalawang order. Dito, nag-iiba ang dalawang constants (constants).

Makatuwirang ipagpalagay na ang aralin ay bubuo ng dalawang talata .... Kaya isinulat ko ang panukalang ito, at sa loob ng mga 10 minuto ay masakit kong iniisip kung ano ang iba pang matalinong crap na idaragdag para sa isang maayos na paglipat sa mga praktikal na halimbawa. Ngunit sa ilang kadahilanan, walang mga iniisip pagkatapos ng pista opisyal, bagaman tila wala akong inabuso. Kaya tumalon tayo sa unang talata.

Arbitrary Constant Variation Paraan para sa isang linear inhomogeneous first-order equation

Bago isaalang-alang ang paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho, ito ay kanais-nais na maging pamilyar sa artikulo Mga linear differential equation ng unang order. Sa araling iyon, nagpraktis kami unang paraan upang malutas inhomogeneous DE ng 1st order. Ang unang solusyon na ito, ipinaalala ko sa iyo, ay tinatawag paraan ng pagpapalit o Bernoulli na pamamaraan(hindi dapat malito sa Bernoulli equation!!!)

Isasaalang-alang natin ngayon pangalawang paraan ng paglutas– paraan ng pagkakaiba-iba ng isang arbitrary na pare-pareho. Magbibigay lamang ako ng tatlong halimbawa, at kukunin ko ang mga ito mula sa aralin sa itaas. Bakit napakaliit? Dahil sa katunayan ang solusyon sa pangalawang paraan ay magiging katulad ng solusyon sa unang paraan. Bilang karagdagan, ayon sa aking mga obserbasyon, ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga di-makatwirang constant ay ginagamit nang mas madalas kaysa sa paraan ng pagpapalit.

Halimbawa 1

Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation (Diffur mula sa Halimbawa Blg. 2 ng aralin Linear inhomogeneous DE ng 1st order)

Desisyon: Ang equation na ito ay linear inhomogeneous at may pamilyar na anyo:

Sa unang yugto, kinakailangan upang malutas ang isang mas simpleng equation: Iyon ay, hangal naming i-reset ang kanang bahagi - sa halip ay sumulat kami ng zero. Ang equation na tatawagin ko auxiliary equation.

Sa halimbawang ito, kailangan mong lutasin ang sumusunod na auxiliary equation:

Bago tayo separable equation, ang solusyon kung saan (umaasa ako) ay hindi na mahirap para sa iyo:

Kaya: ay ang pangkalahatang solusyon ng auxiliary equation .

Sa pangalawang hakbang palitan isang pare-pareho ng ilan pa hindi kilalang function na nakasalalay sa "x":

Kaya ang pangalan ng pamamaraan - iba-iba namin ang pare - pareho . Bilang kahalili, ang pare-pareho ay maaaring ilang function na kailangan nating hanapin ngayon.

AT orihinal non-homogeneous equation, gagawin namin ang kapalit:

Palitan sa equation:

kontrol sandali - kanselahin ang dalawang termino sa kaliwang bahagi. Kung hindi ito nangyari, dapat mong hanapin ang error sa itaas.

Bilang resulta ng pagpapalit, nakuha ang isang equation na may mga separable variable. Paghiwalayin ang mga variable at pagsamahin.

Napakalaking pagpapala, lumiliit din ang mga exponent:

Nagdaragdag kami ng "normal" na pare-pareho sa nahanap na function:

Sa huling yugto, naaalala namin ang aming kapalit:

Kakahanap lang ng function!

Kaya ang pangkalahatang solusyon ay:

Sagot: karaniwang desisyon:

Kung i-print mo ang dalawang solusyon, madali mong mapapansin na sa parehong mga kaso nakita namin ang parehong mga integral. Ang pagkakaiba lamang ay nasa algorithm ng solusyon.

Ngayon isang bagay na mas kumplikado, magkomento din ako sa pangalawang halimbawa:

Halimbawa 2

Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng differential equation (Diffur mula sa Halimbawa Blg. 8 ng aralin Linear inhomogeneous DE ng 1st order)

Desisyon: Dalhin natin ang equation sa anyo:

Itakda ang kanang bahagi sa zero at lutasin ang auxiliary equation:

Paghiwalayin ang mga variable at pagsamahin: Pangkalahatang solusyon ng auxiliary equation:

Sa inhomogeneous equation, gagawin namin ang pagpapalit:

Ayon sa panuntunan sa pagkakaiba-iba ng produkto:

Palitan at sa orihinal na inhomogeneous equation:

Ang dalawang termino sa kaliwang bahagi ay nagkansela, na nangangahulugang nasa tamang landas tayo:

Pinagsasama namin ayon sa mga bahagi. Ang isang masarap na liham mula sa formula para sa pagsasama ng mga bahagi ay kasangkot na sa solusyon, kaya ginagamit namin, halimbawa, ang mga titik na "a" at "be":

Sa kalaunan:

Ngayon tingnan natin ang kapalit:

Sagot: karaniwang desisyon:

Paraan ng Variation ng Arbitrary Constants para sa isang linear na inhomogeneous na second order equation na may pare-parehong coefficient

Madalas marinig ng isang tao ang opinyon na ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary na constant para sa isang pangalawang-order na equation ay hindi isang madaling bagay. Ngunit sa palagay ko ang mga sumusunod: malamang, ang pamamaraan ay tila mahirap sa marami, dahil hindi ito karaniwan. Ngunit sa katotohanan, walang partikular na mga paghihirap - ang kurso ng desisyon ay malinaw, transparent, at naiintindihan. At maganda.

Upang makabisado ang pamamaraan, ito ay kanais-nais na malutas ang hindi magkakatulad na mga equation ng pangalawang pagkakasunud-sunod sa pamamagitan ng pagpili ng isang partikular na solusyon ayon sa anyo ng kanang bahagi. Ang pamamaraang ito tinalakay nang detalyado sa artikulo. Inhomogeneous DE ng 2nd order. Naaalala namin na ang isang second-order linear inhomogeneous equation na may pare-parehong coefficient ay may anyo:

Ang paraan ng pagpili, na isinasaalang-alang sa aralin sa itaas, ay gumagana lamang sa isang limitadong bilang ng mga kaso, kapag ang mga polynomial, exponents, sines, cosine ay nasa kanang bahagi. Ngunit ano ang gagawin kapag nasa kanan, halimbawa, isang fraction, logarithm, tangent? Sa ganoong sitwasyon, ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga constant ay dumating sa pagsagip.

Halimbawa 4

Hanapin ang pangkalahatang solusyon ng isang second-order differential equation

Desisyon: Mayroong isang maliit na bahagi sa kanang bahagi ng equation na ito, kaya maaari naming agad na sabihin na ang paraan ng pagpili ng isang partikular na solusyon ay hindi gumagana. Ginagamit namin ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants.

Walang naglalarawan ng isang bagyo, ang simula ng solusyon ay medyo karaniwan:

Hanapin natin karaniwang desisyon kaugnay homogenous mga equation:

Binubuo at lutasin namin ang katangiang equation: – ang conjugate complex na mga ugat ay nakuha, kaya ang pangkalahatang solusyon ay:

Bigyang-pansin ang talaan ng pangkalahatang solusyon - kung may mga bracket, pagkatapos ay buksan ang mga ito.

Ngayon ginagawa namin ang halos parehong trick tulad ng para sa equation ng unang order: iba-iba namin ang mga constants , pinapalitan ang mga ito ng hindi kilalang mga function . I.e, pangkalahatang solusyon ng inhomogeneous Hahanapin natin ang mga equation sa anyo:

saan- pa hindi kilalang mga function.

Mukhang isang basurahan, ngunit ngayon ay ayusin namin ang lahat.

Ang mga derivatives ng mga function ay kumikilos bilang mga hindi alam. Ang aming layunin ay maghanap ng mga derivative, at ang mga nahanap na derivative ay dapat matugunan ang una at pangalawang equation ng system.

Saan nagmula ang "mga laro"? Dinadala sila ng tagak. Tinitingnan namin ang dating nakuha na pangkalahatang solusyon at isulat:

Maghanap tayo ng mga derivatives:

Hinarap sa kaliwang bahagi. Ano ang nasa kanan?

ay ang kanang bahagi ng orihinal na equation, sa kasong ito:

Ang panayam ay tumatalakay sa LNDE - linear inhomogeneous differential equation. Ang istraktura ng pangkalahatang solusyon, ang solusyon ng LNDE sa pamamagitan ng paraan ng pagkakaiba-iba ng mga di-makatwirang constants, ang solusyon ng LNDE na may pare-parehong mga coefficient at isang kanang bahagi ng isang espesyal na anyo ay isinasaalang-alang. Ang mga isyung isinasaalang-alang ay ginagamit sa pag-aaral ng sapilitang mga oscillation sa physics, electrical engineering at electronics, at ang teorya ng awtomatikong kontrol.

1. Ang istraktura ng pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous differential equation ng 2nd order.

Isaalang-alang muna ang isang linear inhomogeneous equation ng arbitrary order:

Dahil sa notasyon, maaari nating isulat:

Sa kasong ito, ipagpalagay namin na ang mga coefficient at ang kanang bahagi ng equation na ito ay tuloy-tuloy sa isang tiyak na pagitan.

Teorama. Ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous differential equation sa ilang domain ay ang kabuuan ng alinman sa mga solusyon nito at ang pangkalahatang solusyon ng katumbas na linear homogeneous differential equation.

Patunay. Hayaang Y ang ilang solusyon ng isang hindi magkakatulad na equation.

Pagkatapos, pinapalitan ang solusyong ito sa orihinal na equation, nakuha natin ang pagkakakilanlan:

Hayaan
- pangunahing sistema mga solusyon ng linear homogenous equation
. Pagkatapos ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation ay maaaring isulat bilang:

Sa partikular, para sa isang linear inhomogeneous differential equation ng 2nd order, ang istraktura ng pangkalahatang solusyon ay may anyo:

saan
ay ang pangunahing sistema ng mga solusyon ng katumbas na homogenous equation, at
- anumang partikular na solusyon ng inhomogeneous equation.

Kaya, upang malutas ang isang linear inhomogeneous differential equation, ito ay kinakailangan upang mahanap ang isang pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogenous equation at kahit papaano ay makahanap ng isang partikular na solusyon ng inhomogeneous equation. Kadalasan ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpili. Ang mga paraan ng pagpili ng isang partikular na solusyon ay isasaalang-alang sa mga sumusunod na katanungan.

2. Paraan ng pagkakaiba-iba

Sa pagsasagawa, ito ay maginhawa upang ilapat ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary constants.

Upang gawin ito, hanapin muna ang pangkalahatang solusyon ng katumbas na homogenous na equation sa anyo:

Pagkatapos, itakda ang mga coefficient C i mga function mula sa X, ang solusyon ng inhomogeneous equation ay hinahanap:

Maaari itong ipakita na upang mahanap ang mga function C i (x) kailangan mong lutasin ang sistema ng mga equation:

Halimbawa. lutasin ang equation

Malulutas namin ang isang linear homogenous na equation

Ang solusyon ng inhomogeneous equation ay magiging ganito:

Bumubuo kami ng isang sistema ng mga equation:

Lutasin natin ang sistemang ito:

Mula sa kaugnayan nahanap namin ang function Oh).

Ngayon nahanap namin B(x).

Pinapalitan namin ang nakuha na mga halaga sa formula para sa pangkalahatang solusyon ng hindi magkakatulad na equation:

Panghuling sagot:

Sa pangkalahatan, ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary na constant ay angkop para sa paghahanap ng mga solusyon sa anumang linear inhomogeneous equation. Pero dahil Ang paghahanap ng pangunahing sistema ng mga solusyon ng katumbas na homogenous na equation ay maaaring maging isang mahirap na gawain, ang pamamaraang ito ay pangunahing ginagamit para sa mga hindi homogenous na equation na may pare-pareho na mga coefficient.

3. Mga equation na may kanang bahagi ng isang espesyal na anyo

Tila posible na kumatawan sa anyo ng isang partikular na solusyon depende sa anyo ng kanang bahagi ng inhomogeneous equation.

Mayroong mga sumusunod na kaso:

I. Ang kanang bahagi ng linear inhomogeneous differential equation ay may anyo:

kung saan ang isang degree polynomial m.

Pagkatapos ang isang partikular na solusyon ay hinahangad sa form:

Dito Q(x) ay isang polynomial ng parehong antas ng P(x) , ngunit may mga hindi natukoy na coefficient, at r- isang numerong nagpapakita kung gaano karaming beses ang numerong  ang ugat ng katangiang equation para sa katumbas na linear homogeneous differential equation.

Halimbawa. lutasin ang equation
.

Nalulutas namin ang kaukulang homogenous na equation:

Ngayon hanapin natin ang isang partikular na solusyon ng orihinal na inhomogeneous equation.

Ihambing natin ang kanang bahagi ng equation sa anyo ng kanang bahagi na tinalakay sa itaas.

Naghahanap kami ng isang partikular na solusyon sa form:
, saan

Yung.

Ngayon ay tinukoy namin ang hindi kilalang coefficient PERO at AT.

Palitan natin ang isang partikular na solusyon sa pangkalahatang anyo sa orihinal na inhomogeneous differential equation.

Kaya, isang pribadong solusyon:

Pagkatapos ang pangkalahatang solusyon ng linear inhomogeneous differential equation:

II. Ang kanang bahagi ng linear inhomogeneous differential equation ay may anyo:

Dito R 1 (X) at R 2 (X) ay mga polynomial ng degree m 1 at m 2 ayon sa pagkakabanggit.

Pagkatapos ang partikular na solusyon ng hindi magkakatulad na equation ay magkakaroon ng anyo:

kung saan numero r nagpapakita kung gaano karaming beses ang isang numero
ay ang ugat ng katangian na equation para sa katumbas na homogenous na equation, at Q 1 (x) at Q 2 (x) – pinakamaraming polynomial ng degree m, saan m- ang pinakamalaki sa mga degree m 1 at m 2 .

Talaan ng buod ng mga uri ng partikular na solusyon

para sa iba't ibang uri ng tamang bahagi

Ang kanang bahagi ng differential equation	katangian equation	Mga uri ng pribado
	1. Ang numero ay hindi ugat ng katangiang equation
	2. Ang numero ay ang ugat ng katangian ng multiplicity equation
	1. Bilang ay hindi ugat ng katangiang equation
	2. Bilang ay ang ugat ng katangian ng multiplicity equation
	1. Mga Numero
	2. Mga Numero ay ang mga ugat ng katangian ng multiplicity equation
	1. Mga Numero ay hindi mga ugat ng katangiang multiplicity equation
	2. Mga Numero ay ang mga ugat ng katangian ng multiplicity equation

Tandaan na kung ang kanang bahagi ng equation ay isang kumbinasyon ng mga expression ng form na isinasaalang-alang sa itaas, kung gayon ang solusyon ay matatagpuan bilang isang kumbinasyon ng mga solusyon ng mga auxiliary equation, na ang bawat isa ay may kanang bahagi na tumutugma sa expression na kasama sa kumbinasyon.

Yung. kung ang equation ay ganito ang hitsura:
, kung gayon ang isang partikular na solusyon ng equation na ito ay magiging
saan sa 1 at sa 2 ay mga partikular na solusyon ng mga auxiliary equation