Paano mahahanap ang mga equation ng tangent plane at ang ibabaw na normal sa isang naibigay na punto.

Sa ilang mga punto at mayroong tuluy-tuloy na mga partial derivatives dito, hindi bababa sa isa sa mga ito ay hindi naglalaho, pagkatapos ay sa paligid ng puntong ito ang ibabaw na ibinigay ng equation (1) ay magiging tamang ibabaw.

Bilang karagdagan sa itaas implicit na paraan ng pagtatakda ibabaw ay maaaring tukuyin malinaw, kung ang isa sa mga variable, halimbawa z, ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng iba:

Umiiral din parametric paraan ng pagtatalaga. Sa kasong ito, ang ibabaw ay tinutukoy ng sistema ng mga equation:

Ang konsepto ng isang simpleng ibabaw

Mas tumpak, patag na ibabaw ay ang imahe ng isang homeomorphic mapping (iyon ay, isang one-to-one at mutually continuous mapping) ng interior ng unit square. Ang depinisyon na ito ay maaaring bigyan ng analytical expression.

Hayaang maibigay ang isang parisukat sa isang eroplano na may isang parihabang sistema ng coordinate u at v , ang mga coordinate ng mga panloob na punto na kung saan ay nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Isang halimbawa simpleng ibabaw ay isang hemisphere. Ang buong lugar ay hindi patag na ibabaw. Nangangailangan ito ng karagdagang paglalahat ng konsepto ng isang ibabaw.

Isang subset ng espasyo kung saan ang bawat punto ay may kapitbahayan na patag na ibabaw, ay tinatawag na tamang ibabaw .

Ibabaw sa differential geometry

Helicoid

catenoid

Ang sukatan ay hindi natatanging tinutukoy ang hugis ng ibabaw. Halimbawa, ang mga sukatan ng isang helicoid at isang catenoid , na na-parameter sa isang naaangkop na paraan, ay nag-tutugma, iyon ay, mayroong isang sulat sa pagitan ng kanilang mga rehiyon na nagpapanatili ng lahat ng haba (isometry). Ang mga ari-arian na napanatili sa ilalim ng mga pagbabagong isometric ay tinatawag panloob na geometry ibabaw. Ang panloob na geometry ay hindi nakasalalay sa posisyon ng ibabaw sa espasyo at hindi nagbabago kapag ito ay nakatungo nang walang pag-igting at compression (halimbawa, kapag ang isang silindro ay nakatungo sa isang kono).

Tinutukoy ng mga metric coefficient hindi lamang ang mga haba ng lahat ng mga kurba, ngunit sa pangkalahatan ang mga resulta ng lahat ng mga sukat sa loob ng ibabaw (anggulo, lugar, kurbada, atbp.). Samakatuwid, ang lahat na nakasalalay lamang sa sukatan ay tumutukoy sa panloob na geometry.

Normal at normal na seksyon

Mga normal na vector sa mga surface point

Ang isa sa mga pangunahing katangian ng isang ibabaw ay ang normal ay ang unit vector patayo sa tangent plane sa ibinigay na punto:

Ang tanda ng normal ay depende sa pagpili ng mga coordinate.

Ang seksyon ng isang ibabaw sa pamamagitan ng isang eroplanong naglalaman ng normal (sa isang naibigay na punto) ay bumubuo ng isang tiyak na kurba sa ibabaw, na tinatawag na normal na seksyon ibabaw. Ang pangunahing normal para sa isang normal na seksyon ay tumutugma sa normal sa ibabaw (hanggang sa isang palatandaan).

Kung ang kurba sa ibabaw ay hindi isang normal na seksyon, kung gayon ang pangunahing normal nito ay bumubuo ng isang anggulo θ na may normal na ibabaw. Tapos yung curvature k ang kurba ay may kaugnayan sa kurbada k n normal na seksyon (na may parehong tangent) Meunier's formula:

Normal na vector coordinates para sa iba't ibang paraan Ang mga takdang-aralin sa ibabaw ay ibinibigay sa talahanayan:

	Mga normal na coordinate sa isang surface point
implicit assignment
tahasang pagtatalaga
parametric na gawain

Curvature

Para sa iba't ibang direksyon sa isang naibigay na punto sa ibabaw, ang ibang curvature ng normal na seksyon ay nakuha, na tinatawag na normal na kurbada; ito ay nakatalaga ng plus sign kung ang pangunahing normal ng curve ay napupunta sa parehong direksyon tulad ng normal sa ibabaw, o isang minus sign kung ang mga direksyon ng mga normal ay kabaligtaran.

Sa pangkalahatan, sa bawat punto sa ibabaw mayroong dalawang patayong direksyon e 1 at e 2 , kung saan ang normal na curvature ay tumatagal ng pinakamababa at pinakamataas na halaga; ang mga direksyong ito ay tinatawag pangunahing. Ang isang pagbubukod ay ang kaso kapag ang normal na curvature ay pareho sa lahat ng direksyon (halimbawa, malapit sa isang globo o sa dulo ng isang ellipsoid ng rebolusyon), at ang lahat ng mga direksyon sa isang punto ay punong-guro.

Mga ibabaw na may negatibong (kaliwa), zero (gitna), at positibo (kanan) na curvature.

Ang mga normal na curvature sa mga pangunahing direksyon ay tinatawag pangunahing mga kurbada; tukuyin natin ang mga ito sa pamamagitan ng κ 1 at κ 2 . Sukat:

tinawag Gaussian curvature, buong kurbada o simple lang kurbada ibabaw. Meron ding term curvature scalar, na nagpapahiwatig ng resulta ng convolution ng curvature tensor; sa kasong ito, ang curvature scalar ay dalawang beses na mas malaki kaysa sa Gaussian curvature.

Maaaring kalkulahin ang gaussian curvature sa pamamagitan ng isang sukatan, at samakatuwid ito ay isang object ng intrinsic geometry ng mga surface (tandaan na ang mga pangunahing curvature ay hindi nalalapat sa intrinsic geometry). Sa pamamagitan ng pag-sign ng curvature, maaari mong uriin ang mga punto ng ibabaw (tingnan ang figure). Ang kurbada ng eroplano ay zero. Ang curvature ng isang globo ng radius R ay kahit saan ay katumbas ng . Mayroon ding ibabaw ng patuloy na negatibong kurbada - isang pseudosphere.

Geodesic na linya, geodesic curvature

Ang kurba sa ibabaw ay tinatawag geodetic na linya, o simple lang geodetic, kung sa lahat ng punto nito ang pangunahing normal sa kurba ay tumutugma sa normal sa ibabaw. Halimbawa: sa isang eroplano, ang geodesics ay magiging mga tuwid na linya at mga segment ng linya, sa isang globo - mahusay na mga bilog at ang kanilang mga segment.

Katumbas na kahulugan: para sa isang geodesic na linya, ang projection ng pangunahing normal nito sa magkadikit na eroplano ay ang zero vector. Kung ang curve ay hindi isang geodesic, kung gayon ang tinukoy na projection ay nonzero; ang haba nito ay tinatawag geodesic curvature k g kurba sa ibabaw. May kaugnayan:

saan k ay ang curvature ng curve na ito, k n- kurbada ng normal na seksyon nito na may parehong padaplis.

Ang mga geodesic na linya ay tumutukoy sa panloob na geometry. Inilista namin ang kanilang mga pangunahing katangian.

• Sa kabila ibinigay na punto ibabaw sa isang ibinigay na direksyon ay pumasa sa isa at isang geodesic lamang.
• Sa isang sapat na maliit na lugar ng ibabaw, ang dalawang punto ay maaaring palaging konektado sa pamamagitan ng isang geodesic, at bukod dito, isa lamang. Paliwanag: sa isang globo, ang magkasalungat na mga pole ay konektado sa pamamagitan ng isang walang katapusang bilang ng mga meridian, at dalawang malapit na punto ay maaaring ikonekta hindi lamang ng isang segment malaking bilog, ngunit din sa pamamagitan ng pandagdag nito sa buong bilog, upang ang pagiging natatangi ay makikita lamang sa maliit.
• Ang geodesic ay ang pinakamaikling. Mas mahigpit: sa isang maliit na piraso ng ibabaw, ang pinakamaikling landas sa pagitan ng mga ibinigay na punto ay nasa kahabaan ng geodesic.

Lugar

Ang isa pang mahalagang katangian ng ibabaw ay ang nito lugar, na kinakalkula ng formula:

Sa mga coordinate nakukuha namin:

	tahasang pagtatalaga	parametric na gawain
pagpapahayag ng lugar

Namely, tungkol sa kung ano ang nakikita mo sa pamagat. Sa esensya, ito ay isang "spatial analog" mga problema sa paghahanap ng tangent At mga normal sa graph ng isang function ng isang variable, at samakatuwid ay walang mga paghihirap na dapat lumabas.

Magsimula tayo sa mga pangunahing tanong: ANO ANG isang tangent na eroplano at ANO ANG isang normal? Marami ang nakakaalam ng mga konseptong ito sa antas ng intuwisyon. Ang pinaka simpleng modelo, na nasa isip ay isang bola kung saan nakapatong ang isang manipis na patag na karton. Ang karton ay matatagpuan nang mas malapit hangga't maaari sa globo at hinawakan ito sa isang punto. Bilang karagdagan, sa punto ng pakikipag-ugnay, ito ay naayos na may isang karayom ​​na nakadikit nang tuwid.

Sa teorya, mayroong isang medyo nakakatawang kahulugan ng isang tangent na eroplano. Isipin ang isang arbitrary ibabaw at ang puntong nararapat dito. Obvious naman na maraming dumadaan sa punto. spatial na linya na nabibilang sa ibabaw na ito. Sino ang may anong mga asosasyon? =) …Ako mismo ang nagpakilala ng octopus. Ipagpalagay na ang bawat linya ay mayroon spatial tangent sa puntong .

Kahulugan 1: padaplis na eroplano sa ibabaw sa isang punto ay eroplano, na naglalaman ng mga tangent sa lahat ng mga kurba na kabilang sa ibinigay na ibabaw at dumaan sa punto.

Kahulugan 2: normal sa ibabaw sa isang punto ay tuwid dumadaan sa ibinigay na punto na patayo sa tangent plane.

Simple at elegante. Sa pamamagitan ng paraan, upang hindi ka mamatay sa inip mula sa pagiging simple ng materyal, sa ibang pagkakataon ay ibabahagi ko sa iyo ang isang eleganteng lihim na nagpapahintulot sa iyo na kalimutan ang tungkol sa pag-cramming ng iba't ibang mga kahulugan ONCE AND FOR ALL.

Makikilala natin ang mga gumaganang formula at ang algorithm ng solusyon nang direkta sa isang partikular na halimbawa. Sa karamihan ng mga problema, kinakailangan na buuin ang parehong equation ng tangent plane at ang equation ng normal:

Halimbawa 1

Solusyon:kung ang ibabaw ay ibinibigay ng equation (ibig sabihin, hindi malinaw), pagkatapos ay ang equation ng tangent plane sa isang ibinigay na ibabaw sa isang punto ay matatagpuan sa pamamagitan ng sumusunod na formula:

Nagbabayad ako ng espesyal na pansin sa mga hindi pangkaraniwang partial derivatives - ang kanilang hindi dapat malito mula sa mga partial derivatives ng isang implicitly na ibinigay na function (kahit na ang ibabaw ay tahasang tinukoy). Kapag nahanap ang mga derivatives na ito, dapat isa gabayan ng mga panuntunan para sa pagkakaiba ng isang function ng tatlong variable, ibig sabihin, kapag nag-iiba kaugnay ng anumang variable, ang iba pang dalawang titik ay itinuturing na mga pare-pareho:

Nang hindi umaalis sa cash register, makikita natin ang partial derivative sa punto:

Katulad nito:

Ito ang pinaka hindi kasiya-siyang sandali ng desisyon, kung saan ang isang pagkakamali, kung hindi pinapayagan, ay patuloy na naiisip. Gayunpaman, mayroong isang epektibong pamamaraan ng pag-verify dito, na pinag-usapan ko sa aralin. Directional derivative at gradient.

Ang lahat ng "mga sangkap" ay natagpuan, at ngayon ay nakasalalay sa maingat na pagpapalit na may karagdagang mga pagpapasimple:

– pangkalahatang equation nais na tangent na eroplano.

Lubos kong inirerekumenda na suriin ang yugtong ito ng desisyon. Una kailangan mong tiyakin na ang mga coordinate ng touch point ay talagang nakakatugon sa nahanap na equation:

- tunay na pagkakapantay-pantay.

Ngayon ay "tinatanggal" namin ang mga coefficient pangkalahatang equation eroplano at suriin ang mga ito para sa coincidence o proportionality sa mga katumbas na halaga. Sa kasong ito sila ay proporsyonal. Tulad ng naaalala mo mula sa kursong analytic geometry, - ito normal na vector padaplis na eroplano, at siya - gabay na vector normal na tuwid na linya. Mag-compose tayo canonical equation normal sa pamamagitan ng point at direksyon vector:

Sa prinsipyo, ang mga denominador ay maaaring bawasan ng isang "dalawa", ngunit walang partikular na pangangailangan para dito.

Sagot:

Hindi ipinagbabawal na italaga ang mga equation na may ilang mga titik, gayunpaman, muli - bakit? Dito at sa gayon ay napakalinaw kung ano.

Ang susunod na dalawang halimbawa para sa malayang desisyon. Isang maliit na "mathematical tongue twister":

Halimbawa 2

Hanapin ang mga equation ng tangent plane at ang normal sa ibabaw sa punto.

At isang gawain na kawili-wili mula sa isang teknikal na pananaw:

Halimbawa 3

Buuin ang mga equation ng tangent plane at ang normal sa ibabaw sa isang punto

Sa punto.

Mayroong bawat pagkakataon hindi lamang upang malito, ngunit din upang harapin ang mga paghihirap kapag nagsusulat. canonical equation ng linya. At ang mga normal na equation, tulad ng malamang na naunawaan mo, ay karaniwang nakasulat sa form na ito. Bagaman, dahil sa pagkalimot o kamangmangan ng ilang mga nuances, ang isang parametric form ay higit pa sa katanggap-tanggap.

Mga halimbawa ng mga solusyon sa pagtatapos sa pagtatapos ng aralin.

Mayroon bang tangent plane sa anumang punto sa ibabaw? Sa pangkalahatan, siyempre hindi. Ang klasikong halimbawa ay korteng kono ibabaw at punto - ang mga tangent sa puntong ito ay direktang bumubuo ng isang korteng kono na ibabaw, at, siyempre, ay hindi nakahiga sa parehong eroplano. Madaling i-verify ang hindi pagkakasundo at analytically: .

Ang isa pang pinagmumulan ng mga problema ay ang katotohanan hindi pag-iral ilang partial derivative sa isang punto. Gayunpaman, hindi ito nangangahulugan na walang solong tangent na eroplano sa isang naibigay na punto.

Ngunit ito ay mas sikat na agham kaysa sa praktikal na makabuluhang impormasyon, at bumalik kami sa mga mahahalagang bagay:

Paano isulat ang mga equation ng tangent plane at ang normal sa isang punto,
kung ang ibabaw ay ibinigay ng isang tahasang pag-andar?

Isulat muli natin ito nang hindi malinaw:

At sa pamamagitan ng parehong mga prinsipyo nakakahanap kami ng mga partial derivatives:

Kaya, ang formula ng tangent plane ay binago sa sumusunod na equation:

At kaugnay nito, canonical equation normals:

Dahil madaling hulaan - ito ay "totoo" mga partial derivatives ng isang function ng dalawang variable sa puntong , na ginamit namin upang italaga gamit ang titik na "Z" at natagpuan ng 100500 beses.

Tandaan na sa artikulong ito sapat na upang matandaan ang pinakaunang formula, kung saan, kung kinakailangan, madaling makuha ang lahat ng iba pa. (siyempre, pagkakaroon batayang antas pagsasanay). Ito ang diskarte na dapat gawin kapag nag-aaral eksaktong agham, ibig sabihin. mula sa pinakamababang impormasyon, dapat magsikap ang isa na "bunutin" ang pinakamataas na konklusyon at kahihinatnan. "Soobrazhalovka" at mayroon nang kaalaman upang makatulong! Kapaki-pakinabang din ang prinsipyong ito dahil malamang na makatipid ito kritikal na sitwasyon kapag kaunti lang ang alam mo.

Gawin natin ang mga "binagong" na formula na may ilang halimbawa:

Halimbawa 4

Buuin ang mga equation ng tangent plane at ang normal sa ibabaw sa puntong .

Ang isang maliit na overlay dito ay lumabas na may mga simbolo - ngayon ang liham ay nagpapahiwatig ng isang punto ng eroplano, ngunit ano ang maaari mong gawin - tulad ng isang tanyag na liham ....

Solusyon: bubuuin namin ang equation ng nais na tangent plane ayon sa formula:

Kalkulahin natin ang halaga ng function sa punto:

Compute mga partial derivatives ng 1st order sa puntong ito:

Sa ganitong paraan:

maingat, huwag magmadali:

Isulat natin ang mga canonical equation ng normal sa punto:

Sagot:

At isang pangwakas na halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon:

Halimbawa 5

Buuin ang mga equation ng tangent plane at ang normal sa ibabaw sa punto.

Pangwakas - dahil halos lahat mga teknikal na puntos Ipinaliwanag ko at walang espesyal na idadagdag. Kahit na ang mga pag-andar na inaalok sa gawaing ito ay mapurol at walang pagbabago - halos garantisadong sa pagsasanay ay makakatagpo ka ng isang "polynomial", at sa ganitong diwa, ang Halimbawa No. 2 na may exponent ay mukhang isang "itim na tupa". Sa pamamagitan ng paraan, ito ay mas malamang na matugunan ang isang ibabaw na ibinigay ng isang equation, at ito ay isa pang dahilan kung bakit ang function ay kasama sa artikulo bilang ang "pangalawang numero".

At sa wakas, ang ipinangakong sikreto: kaya kung paano maiwasan ang cramming kahulugan? (siyempre, hindi ko ibig sabihin ang sitwasyon kung kailan nilalagnat ang isang estudyante bago ang pagsusulit)

Ang kahulugan ng anumang konsepto/kababalaghan/bagay, una sa lahat, ay nagbibigay ng sagot sa sumusunod na tanong: ANO ITO? (sino/ganyan/ganyan/ganyan). Nang malay Sa pagsagot sa tanong na ito, dapat mong subukang magmuni-muni makabuluhan palatandaan, tiyak pagtukoy nito o ang konsepto/kababalaghan/bagay. Oo, sa una ito ay lumalabas na medyo nakatali sa dila, hindi tumpak at kalabisan (itatama ng guro =)), ngunit sa paglipas ng panahon, isang karapat-dapat na pagsasalita sa agham ay bubuo.

Magsanay sa pinaka abstract na mga bagay, halimbawa, sagutin ang tanong: sino si Cheburashka? Ito ay hindi gaanong simple ;-) Ito ay " tauhan sa fairy tale may malalaking tainga, mata at kayumangging buhok"? Malayo at napakalayo sa kahulugan - hindi mo alam na may mga character na may ganitong mga katangian .... Ngunit ito ay mas malapit sa kahulugan: "Ang Cheburashka ay isang karakter na naimbento ng manunulat na si Eduard Uspensky noong 1966, na ... (nakalista ang pangunahing mga palatandaan)» . Bigyang-pansin kung gaano kahusay nagsimula

Hayaan tayong magkaroon ng isang ibabaw na ibinigay ng isang equation ng form

Ipinakilala namin ang sumusunod na kahulugan.

Kahulugan 1. Ang isang tuwid na linya ay tinatawag na isang padaplis sa ibabaw sa isang punto kung ito ay

padaplis sa ilang kurba na nakahiga sa ibabaw at dumadaan sa punto.

Dahil ang isang walang katapusang bilang ng iba't ibang mga kurba na nakahiga sa ibabaw ay dumadaan sa puntong P, magkakaroon, sa pangkalahatan, ang isang walang katapusang hanay ng mga tangent sa ibabaw na dumadaan sa puntong ito.

Ipakilala natin ang konsepto ng isahan at ordinaryong mga punto ng isang ibabaw

Kung sa isang punto ang lahat ng tatlong derivatives ay katumbas ng zero o hindi bababa sa isa sa mga derivatives na ito ay wala, kung gayon ang puntong M ay tinatawag na isang singular na punto ng ibabaw. Kung sa isang punto ang lahat ng tatlong derivatives ay umiiral at tuluy-tuloy, at hindi bababa sa isa sa mga ito ay naiiba mula sa zero, kung gayon ang puntong M ay tinatawag na isang ordinaryong punto ng ibabaw.

Ngayon ay maaari nating bumalangkas ang sumusunod na teorama.

Teorama. Ang lahat ng padaplis na linya sa isang ibinigay na ibabaw (1) sa ordinaryong puntong P ay nasa parehong eroplano.

Patunay. Isaalang-alang natin ang isang tiyak na linya L sa ibabaw (Larawan 206) na dumadaan sa isang ibinigay na punto P ng ibabaw. Hayaang ibigay ang curve na isinasaalang-alang ng mga parametric equation

Ang padaplis sa kurba ay magiging padaplis sa ibabaw. Ang mga equation ng tangent na ito ay may anyo

Kung ang mga expression (2) ay pinapalitan sa equation (1), ang equation na ito ay magiging isang pagkakakilanlan na may paggalang sa t, dahil ang curve (2) ay nasa ibabaw (1). Differentiating ito na may paggalang sa makuha namin

Ang mga projection ng vector na ito ay nakasalalay sa - ang mga coordinate ng point Р; tandaan na dahil ang punto P ay karaniwan, ang mga pagpapakitang ito sa puntong P ay hindi naglalaho sa parehong oras, at samakatuwid

padaplis sa kurba na dumadaan sa puntong P at nakahiga sa ibabaw. Ang mga projection ng vector na ito ay kinakalkula batay sa mga equation (2) na may halaga ng parameter t na tumutugma sa puntong Р.

Compute produktong scalar vectors N at kung saan ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga projection ng parehong pangalan:

Batay sa pagkakapantay-pantay (3), ang expression sa kanang bahagi ay katumbas ng zero, samakatuwid,

Ito ay sumusunod mula sa huling pagkakapantay-pantay na ang LG vector at ang tangent vector sa curve (2) sa puntong P ay patayo. Ang pangangatwiran sa itaas ay wasto para sa anumang kurba (2) na dumadaan sa puntong P at nakahiga sa ibabaw. Dahil dito, ang bawat tangent sa ibabaw sa puntong P ay patayo sa parehong vector N, at samakatuwid ang lahat ng mga tangent na ito ay namamalagi sa parehong eroplano na patayo sa vector LG. Ang teorama ay napatunayan.

Depinisyon 2. Ang eroplano kung saan ang lahat ng mga tangent na linya ay matatagpuan sa mga linya sa ibabaw na dumadaan sa ibinigay nitong punto P ay tinatawag na tangent plane sa ibabaw sa puntong P (Fig. 207).

Tandaan na ang tangent na eroplano ay maaaring wala sa mga isahan na punto ng ibabaw. Sa ganitong mga punto, ang mga padaplis na linya sa ibabaw ay maaaring hindi nasa parehong eroplano. Kaya, halimbawa, ang vertex ng isang conical surface ay isang singular na punto.

Ang mga tangent sa conical surface sa puntong ito ay hindi nakahiga sa parehong eroplano (sila mismo ay bumubuo ng conical surface).

Isulat natin ang equation ng tangent plane sa ibabaw (1) sa isang ordinaryong punto. Dahil ang eroplanong ito ay patayo sa vector (4), kung gayon, ang equation nito ay may anyo

Kung ang surface equation ay ibinigay sa anyo o ang tangent plane equation sa kasong ito ay kinuha ang form

Magkomento. Kung sa formula (6) itinakda namin , ang formula na ito ay kukuha ng form

kanya kanang bahagi kumakatawan kabuuang pagkakaiba mga function. Dahil dito, . Kaya, ang kabuuang pagkakaiba ng isang function ng dalawang variable sa punto na tumutugma sa mga pagtaas ng mga independiyenteng variable na x at y ay katumbas ng katumbas na pagtaas ng applicate ng tangent plane sa ibabaw, na siyang graph ng function na ito.

Kahulugan 3. Ang isang tuwid na linya na iginuhit sa isang punto ng ibabaw (1) patayo sa tangent na eroplano ay tinatawag na normal sa ibabaw (Larawan 207).

Ang mga tangent na eroplano ay may malaking papel sa geometry. Ang pagtatayo ng mga tangent na eroplano sa mga praktikal na termino ay may kahalagahan, dahil ang kanilang presensya ay nagpapahintulot sa amin na matukoy ang direksyon ng normal sa ibabaw sa punto ng contact. Ang problemang ito ay malawakang ginagamit sa pagsasanay sa engineering. Ginagamit din ang tulong ng tangent planes sa pagbuo ng mga sanaysay mga geometric na hugis napapaligiran ng mga saradong ibabaw. Sa teoretikal na termino, ang mga eroplanong padaplis sa isang ibabaw ay ginagamit sa differential geometry upang pag-aralan ang mga katangian ng isang ibabaw sa rehiyon ng isang tangent point.

Pangunahing konsepto at kahulugan

Ang plane tangent sa ibabaw ay dapat isaalang-alang bilang limitasyon sa posisyon ng secant plane (katulad ng line tangent sa curve, na tinukoy din bilang limit na posisyon ng secant).

Ang plane tangent sa ibabaw sa isang partikular na punto sa ibabaw ay ang hanay ng lahat ng mga linya - mga tangent na iginuhit sa ibabaw sa pamamagitan ng isang ibinigay na punto.

Sa differential geometry, pinatunayan na ang lahat ng tangents sa isang ibabaw na iginuhit sa isang ordinaryong punto ay coplanar (pag-aari sa parehong eroplano).

Alamin natin kung paano iguguhit ang isang tuwid na linyang padaplis sa ibabaw. Ang tangent t sa ibabaw β sa isang punto M na ibinigay sa ibabaw (Larawan 203) ay kumakatawan sa limitasyong posisyon ng secant lj na nagsasalubong sa ibabaw sa dalawang punto (MM 1, MM 2, ..., MM n), kapag ang mga intersection point ay nagtutugma (M ≡ M n , ln ≡ lM). Malinaw na (M 1, M 2, ..., M n ) ∈ g, dahil g ⊂ β. Ang sumusunod na kahulugan ay sumusunod mula sa itaas: ang padaplis sa isang ibabaw ay isang linyang padaplis sa anumang kurba na kabilang sa ibabaw.

Dahil ang eroplano ay tinukoy sa pamamagitan ng dalawang intersecting na tuwid na linya, upang magtakda ng isang eroplanong padaplis sa ibabaw sa isang naibigay na punto, sapat na upang gumuhit ng dalawang arbitrary na linya na kabilang sa ibabaw (mas mabuti na simple ang hugis) sa puntong ito, at bumuo ng mga tangent sa bawat isa sa kanila sa intersection point ng mga linyang ito. Ang mga constructed tangents ay natatanging tinutukoy ang tangent plane. Ang isang visual na representasyon ng hawak ng eroplano α, tangent sa ibabaw β sa isang naibigay na punto M, ay ibinibigay sa Fig. 204. Ipinapakita rin ng figure na ito ang normal na n sa ibabaw β.

Ang normal sa ibabaw sa isang naibigay na punto ay isang tuwid na linya na patayo sa tangent plane at dumadaan sa punto ng contact.

Ang linya ng intersection ng ibabaw sa pamamagitan ng isang eroplanong dumadaan sa normal ay tinatawag na normal na seksyon ng ibabaw. Depende sa uri ng ibabaw, ang tangent plane ay maaaring magkaroon, kasama ang ibabaw, alinman sa isa o maraming mga punto (linya). Ang linya ng contact ay maaaring kasabay ng linya ng intersection ng ibabaw sa eroplano.

Mayroon ding mga kaso kapag may mga punto sa ibabaw kung saan imposibleng gumuhit ng tangent sa ibabaw; ang mga naturang punto ay tinatawag na isahan. Bilang isang halimbawa ng mga singular na puntos, ang isa ay maaaring magbigay ng mga puntos na kabilang sa cusp edge ng ibabaw ng katawan, o ang punto ng intersection ng meridian ng ibabaw ng rebolusyon kasama ang axis nito, kung ang meridian at ang axis ay hindi magsalubong sa kanan. anggulo.

Ang mga uri ng contact ay depende sa likas na katangian ng curvature ng ibabaw.

kurbada sa ibabaw

Ang mga isyu sa surface curvature ay inimbestigahan ng French mathematician na si F. Dupin (1784-1873), na nagmungkahi ng visual na paraan ng paglalarawan ng mga pagbabago sa curvature ng mga normal na seksyon ng isang surface.

Upang gawin ito, sa isang plane tangent sa ibabaw na isinasaalang-alang sa punto M (Fig. 205, 206), sa mga tangent sa mga normal na seksyon sa magkabilang panig ng puntong ito, ang mga segment ay naka-plot na katumbas ng square roots ng mga halaga ng ang kaukulang radii ng curvature ng mga seksyong ito. Ang hanay ng mga punto - ang mga dulo ng mga segment ay tumutukoy sa isang kurba na tinatawag Ang indicatrix ni Dupin. Ang algorithm para sa pagbuo ng Dupin indicatrix (Fig. 205) ay maaaring isulat:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

kung saan ang R ay ang radius ng curvature.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) ay ang Dupin indicatrix.

Kung ang Dupin indicatrix ng isang ibabaw ay isang ellipse, kung gayon ang punto M ay tinatawag na elliptical, at ang ibabaw ay tinatawag na isang ibabaw na may mga elliptical na puntos(Larawan 206). Sa kasong ito, ang tangent plane ay mayroon lamang isang karaniwang punto sa ibabaw, at ang lahat ng mga linya na kabilang sa ibabaw at intersecting sa puntong isinasaalang-alang ay matatagpuan sa parehong bahagi ng tangent plane. Ang isang halimbawa ng mga ibabaw na may mga elliptical point ay: isang paraboloid ng rebolusyon, isang ellipsoid ng rebolusyon, isang globo (sa kasong ito, ang Dupin indicatrix ay isang bilog, atbp.).

Kapag gumuhit ng tangent plane sa ibabaw ng torso, hahawakan ng eroplano ang ibabaw na ito kasama ang isang tuwid na generatrix. Ang mga punto ng linyang ito ay tinatawag parabolic, at ang ibabaw ay isang surface na may parabolic point. Ang Dupin indicatrix sa kasong ito ay dalawang parallel na linya (Fig. 207*).

Sa fig. 208 ay nagpapakita ng isang ibabaw na binubuo ng mga punto kung saan

* Ang isang kurba ng pangalawang pagkakasunud-sunod - isang parabola - sa ilalim ng ilang mga kundisyon ay maaaring masira sa dalawang tunay na parallel na linya, dalawang haka-haka na parallel na linya, dalawang coinciding lines. Sa fig. 207 tayo ay nakikitungo sa dalawang tunay na magkatulad na linya.

Ang isang maluwag na tangent na eroplano ay nagsalubong sa ibabaw. Ang nasabing ibabaw ay tinatawag hyperbolic, at ang mga puntong kabilang dito - mga hyperbolic na puntos. Ang indicatrix ni Dupin sa kasong ito ay isang hyperbole.

Ang isang ibabaw, na ang lahat ng mga punto ay hyperbolic, ay may anyo ng isang saddle (pahilig na eroplano, one-sheet hyperboloid, malukong ibabaw ng rebolusyon, atbp.).

Ang isang ibabaw ay maaaring magkaroon ng mga puntos iba't ibang uri, halimbawa, sa ibabaw ng torso (Larawan 209) ang point M ay elliptical; punto N - parabolic; Ang punto K ay hyperbolic.

Sa kurso ng differential geometry, pinatunayan na ang mga normal na seksyon, kung saan ang mga halaga ng curvature K j = 1/ R j (kung saan ang R j ay ang radius ng curvature ng isinasaalang-alang na seksyon) ay may matinding mga halaga, ay matatagpuan sa dalawa. magkaparehong patayo na mga eroplano.

Ang ganitong mga curvature K 1 = 1/R max. Ang K 2 \u003d 1 / R min ay tinatawag na mga pangunahing, at ang mga halaga ng H \u003d (K 1 + K 2) / 2 at K \u003d K 1 K 2 - ayon sa pagkakabanggit, ang average na curvature ng ang ibabaw at ang kabuuang (Gaussian) na kurbada ng ibabaw sa puntong isinasaalang-alang. Para sa mga elliptic point K > 0, hyperbolic K

Ang pagtatakda ng plane tangent sa ibabaw sa diagram ng Monge

Sa ibaba sa kongkretong mga halimbawa ipapakita namin ang pagbuo ng isang plane tangent sa isang surface na may elliptical (halimbawa 1), parabolic (halimbawa 2) at hyperbolic (halimbawa 3) na mga puntos.

HALIMBAWA 1. Bumuo ng isang eroplanong α, padaplis sa ibabaw ng rebolusyon β, na may mga elliptical point. Isaalang-alang ang dalawang opsyon para sa paglutas ng problemang ito, a) isang punto M ∈ β at b) isang punto M ∉ β

Pagpipilian a (Larawan 210).

Ang tangent plane ay tinukoy ng dalawang tangents t 1 at t 2 na iginuhit sa punto M sa parallel at meridian ng surface β.

Ang mga projection ng tangent t 1 sa parallel h ng surface β ay magiging t" 1 ⊥ (S"M") at t" 1 || x axis. Ang pahalang na projection ng tangent t "2 sa meridian d ng surface β, na dumadaan sa puntong M, ay mag-tutugma sa pahalang na projection ng meridian. Upang mahanap ang frontal projection ng tangent t" 2, ang meridional plane γ (γ ∋ M) sa pamamagitan ng pag-ikot sa paligid ng axis ng ibabaw β ay isinalin sa posisyon γ isa, parallel sa eroplanoπ 2 . Sa kasong ito, ang punto M → M 1 (M "1, M" 1). Ang projection ng tangent t "2 rarr; t" 2 1 ay tinutukoy ng (M "1 S"). Kung ibabalik natin ngayon ang eroplano γ 1 sa orihinal nitong posisyon, kung gayon ang puntong S "ay mananatili sa lugar (bilang kabilang sa axis ng pag-ikot), at M" 1 → M "at ang frontal projection ng tangent t" 2 ay matukoy (M "S")

Dalawang tangents t 1 at t 2 na nagsasalubong sa isang puntong M ∈ β ay tumutukoy sa isang eroplanong α tangent sa ibabaw β.

Pagpipilian b (Larawan 211)

Upang makabuo ng isang eroplanong padaplis sa isang ibabaw na dumadaan sa isang punto na hindi kabilang sa ibabaw, ang isa ay dapat magpatuloy mula sa mga sumusunod na pagsasaalang-alang: sa pamamagitan ng isang punto sa labas ng ibabaw na binubuo ng mga elliptical na punto, ang isa ay maaaring gumuhit ng maraming mga eroplanong padaplis sa ibabaw. Ang sobre ng mga ibabaw na ito ay magiging ilang korteng ibabaw. Samakatuwid, kung walang karagdagang mga indikasyon, kung gayon ang problema ay may maraming mga solusyon at sa kasong ito ay binabawasan sa pagguhit ng isang conical surface γ tangent sa ibinigay na ibabaw β.

Sa fig. Ipinapakita ng 211 ang pagbuo ng isang conical surface γ padaplis sa sphere β. Anumang plane α tangent sa conical surface γ ay magiging tangent sa surface β.

Upang bumuo ng mga projection ng ibabaw γ mula sa mga puntos na M "at M" gumuhit kami ng mga tangent sa mga bilog h "at f" - ang mga projection ng globo. Markahan ang mga touch point na 1 (1" at 1"), 2 (2" at 2"), 3 (3" at 3") at 4 (4" at 4"). Ang pahalang na projection ng bilog - ang linya ng contact sa pagitan ng conical na ibabaw at ang globo ay inaasahang sa [ 1 "2"] Upang mahanap ang mga punto ng ellipse kung saan ang bilog na ito ay inaasahang papunta sa frontal plane ng mga projection, gagamitin namin ang mga parallel ng globo.

Sa fig. 211 sa ganitong paraan, ang mga frontal projection ng mga puntos na E at F (E "at F") ay tinutukoy. Ang pagkakaroon ng conical surface γ, gumagawa kami ng tangent plane α dito. Ang kalikasan at pagkakasunud-sunod ng graphic

Ang ilan sa mga konstruksyon na kailangang gawin para dito ay ipinapakita sa sumusunod na halimbawa.

HALIMBAWA 2 Bumuo ng isang plane α tangent sa isang surface β na may parabolic point

Tulad ng sa Halimbawa 1, isaalang-alang ang dalawang solusyon: a) point N ∈ β; b) punto N ∉ β

Opsyon a (bigas 212).

Ang isang conical surface ay tumutukoy sa mga surface na may parabolic point (tingnan ang Fig. 207.) Ang isang plane tangent sa isang conical surface ay humihipo dito kasama ang isang rectilinear generatrix. Upang mabuo ito, kailangan mong:

1) gumuhit ng generatrix SN (S"N" at S"N") sa pamamagitan ng isang naibigay na punto N;

2) markahan ang intersection point ng generatrix (SN) gamit ang gabay na d: (SN) ∩ d = A;

3) gumuhit at padaplis t hanggang d sa punto A.

Tinutukoy ng generatrix (SA) at ang tangent na t intersecting ang plane α tangent sa conical surface β sa ibinigay na punto N*.

Upang gumuhit ng isang plane α tangent sa conical surface β at ang pagdaan sa puntong N ay hindi kabilang

* Dahil ang surface β ay binubuo ng mga parabolic point (maliban sa vertex S), ang eroplanong α tangent dito ay magkakaroon ng pagkakapareho hindi isang punto N, ngunit isang tuwid na linya (SN).

pagpindot sa isang naibigay na ibabaw, ito ay kinakailangan:

1) sa pamamagitan ng isang naibigay na punto N at isang vertex S ng conical surface β gumuhit ng isang tuwid na linya a (isang "at a");

2) matukoy ang pahalang na bakas ng linyang ito H a ;

3) iguhit ang tangents t "1 at t" 2 ng curve h 0β sa pamamagitan ng H a - ang pahalang na bakas ng conical na ibabaw;

4) ikonekta ang mga tangent point A (A "at A") at B (B "at B") sa tuktok ng conical surface S (S "at S").

Ang mga intersecting na linya t 1 , (AS) at t 2 , (BS) ay tumutukoy sa gustong tangent na eroplano α 1 at α 2

HALIMBAWA 3. Bumuo ng isang plane α tangent sa isang surface β na may hyperbolic point.

Ang Point K (Larawan 214) ay matatagpuan sa ibabaw ng globoid (ang panloob na ibabaw ng singsing).

Upang matukoy ang posisyon ng tangent plane α, ito ay kinakailangan:

1) gumuhit ng parallel sa ibabaw β h(h", h") sa pamamagitan ng point K;

2) gumuhit ng tangent sa pamamagitan ng puntong K" t" 1 (t" 1 ≡ h");

3) upang matukoy ang mga direksyon ng mga projection ng tangent sa seksyon ng meridional, kinakailangan upang gumuhit ng isang eroplano γ sa pamamagitan ng punto K at ang axis ng ibabaw, ang pahalang na projection t "2 ay magkakasabay sa h 0γ; upang bumuo ang frontal projection ng tangent t" 2, isinasalin muna namin ang eroplano γ sa pamamagitan ng pag-ikot nito sa paligid ng axis ng ibabaw ng rebolusyon sa posisyon γ 1 || π 2 . Sa kasong ito, ang meridional na seksyon sa pamamagitan ng eroplano γ ay magkakasabay sa kaliwang outline arc ng frontal projection - ang kalahating bilog g".

Point K (K", K"), na kabilang sa curve ng meridional section, ay lilipat sa posisyon K 1 (K" 1, K" 1). Sa pamamagitan ng K" 1 gumuhit kami ng frontal projection ng tangent t" 2 1, na nakahanay sa eroplano γ 1 || π 2 posisyon at markahan ang punto ng intersection nito sa frontal projection ng axis ng pag-ikot S "1. Ibinabalik namin ang eroplano γ 1 sa orihinal nitong posisyon, point K" 1 → K "(point S" 1 ≡ S ") . Ang frontal projection ng tangent t" 2 ay tinutukoy ng mga puntos na K" at S".

Tinutukoy ng mga tangent t 1 at t 2 ang nais na tangent plane α, na nagsa-intersect sa surface β kasama ang curve l .

HALIMBAWA 4. Bumuo ng isang eroplanong α tangent sa ibabaw β sa puntong K. Ang puntong K ay matatagpuan sa ibabaw ng isang one-sheet na hyperboloid ng rebolusyon (Larawan 215).

Ang problemang ito ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pagsunod sa algorithm na ginamit sa nakaraang halimbawa, ngunit isinasaalang-alang na ang ibabaw ng isang one-sheet na hyperboloid ng rebolusyon ay isang pinasiyahan na ibabaw na may dalawang pamilya ng mga rectilinear generator, at bawat isa sa mga generator ng isang pamilya pinag-intersect ang lahat ng generator ng kabilang pamilya (tingnan ang § 32, Fig. 138). Sa bawat punto ng surface na ito, maaaring gumuhit ng dalawang intersecting na tuwid na linya - mga generator na sabay-sabay na magkakadampi sa ibabaw ng isang one-sheet na hyperboloid ng rebolusyon.

Tinutukoy ng mga tangent na ito ang tangent plane, ibig sabihin, ang plane tangent sa ibabaw ng isang one-sheet na hyperboloid ng rebolusyon ay nag-intersect sa ibabaw na ito kasama ang dalawang tuwid na linya g 1 at g 2 . Upang mabuo ang mga projection ng mga linyang ito, sapat na gamitin ang pahalang na projection ng punto K upang dalhin ang mga tangents t "1 at t" 2 sa pahalang

ang thal projection ng bilog d "2 - ang lalamunan ng ibabaw ng isang solong-sheet na hyperboloid ng rebolusyon; tukuyin ang mga punto 1" at 2 kung saan ang t "1 at t" 2 ay nagsalubong sa isa sa mga gabay sa ibabaw d 1. Mula sa 1" at 2" nakita namin ang 1" at 2", na kasama ng K" ay tumutukoy sa mga frontal projection ng nais na mga linya.

Ang isang ibabaw ay tinukoy bilang isang hanay ng mga punto na ang mga coordinate ay nakakatugon tiyak na uri equation:

Kung ang function F (x , y , z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)) ay tuluy-tuloy sa ilang mga punto at may tuluy-tuloy na mga partial derivatives dito, hindi bababa sa isa sa mga ito ay hindi naglalaho, pagkatapos sa paligid ng puntong ito ang ibabaw na ibinigay ng equation (1) ay magiging tamang ibabaw.

Bilang karagdagan sa itaas implicit na paraan ng pagtatakda, maaaring tukuyin ang ibabaw malinaw, kung ang isa sa mga variable, halimbawa, z, ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng iba:

Mas mahigpit, patag na ibabaw ay ang imahe ng isang homeomorphic mapping (iyon ay, isang one-to-one at mutually continuous mapping) ng interior ng unit square. Ang depinisyon na ito ay maaaring bigyan ng analytical expression.

Hayaang maibigay ang isang parisukat sa isang eroplano na may isang parihabang sistema ng coordinate u at v , ang mga coordinate ng mga panloob na punto na kung saan ay nakakatugon sa mga hindi pagkakapantay-pantay 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Isang halimbawa simpleng ibabaw ay isang hemisphere. Ang buong lugar ay hindi patag na ibabaw. Nangangailangan ito ng karagdagang paglalahat ng konsepto ng isang ibabaw.

Isang subset ng espasyo kung saan ang bawat punto ay may kapitbahayan na patag na ibabaw, ay tinatawag na tamang ibabaw .

Ibabaw sa differential geometry

Helicoid

catenoid

Ang sukatan ay hindi natatanging tinutukoy ang hugis ng ibabaw. Halimbawa, ang mga sukatan ng isang helicoid at isang catenoid , na na-parameter sa isang naaangkop na paraan, ay nag-tutugma, iyon ay, mayroong isang sulat sa pagitan ng kanilang mga rehiyon na nagpapanatili ng lahat ng haba (isometry). Ang mga ari-arian na napanatili sa ilalim ng mga pagbabagong isometric ay tinatawag panloob na geometry ibabaw. Ang panloob na geometry ay hindi nakasalalay sa posisyon ng ibabaw sa espasyo at hindi nagbabago kapag ito ay nakatungo nang walang pag-igting at compression (halimbawa, kapag ang isang silindro ay nakatungo sa isang kono).

Mga sukatan na koepisyent E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G) matukoy hindi lamang ang mga haba ng lahat ng mga kurba, ngunit sa pangkalahatan ang mga resulta ng lahat ng mga sukat sa loob ng ibabaw (anggulo, lugar, kurbada, atbp.). Samakatuwid, ang lahat na nakasalalay lamang sa sukatan ay tumutukoy sa panloob na geometry.

Normal at normal na seksyon

Mga normal na vector sa mga surface point

Ang isa sa mga pangunahing katangian ng isang ibabaw ay ang normal- unit vector patayo sa tangent plane sa isang naibigay na punto:

Ang tanda ng normal ay depende sa pagpili ng mga coordinate.

Ang seksyon ng ibabaw sa pamamagitan ng isang eroplanong naglalaman ng normal ng ibabaw sa isang partikular na punto ay bumubuo ng isang tiyak na kurba, na tinatawag na normal na seksyon ibabaw. Ang pangunahing normal para sa isang normal na seksyon ay tumutugma sa normal sa ibabaw (hanggang sa isang palatandaan).

Kung ang kurba sa ibabaw ay hindi isang normal na seksyon, ang pangunahing normal nito ay bumubuo ng isang anggulo na may normal na ibabaw θ (\displaystyle \theta ). Tapos yung curvature k (\displaystyle k) ang kurba ay may kaugnayan sa kurbada k n (\displaystyle k_(n)) normal na seksyon (na may parehong tangent) Meunier's formula:

Ang mga coordinate ng normal na vector para sa iba't ibang paraan ng pagtukoy sa ibabaw ay ibinibigay sa talahanayan:

Dito D (y , z) D (u , v) = | y u y v z u z v | , D (z , x) D (u , v) = | z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ begin(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

Ang lahat ng mga derivatives ay kinuha sa punto (x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).

Curvature

Para sa iba't ibang direksyon sa isang naibigay na punto sa ibabaw, ang ibang curvature ng normal na seksyon ay nakuha, na tinatawag na normal na kurbada; ito ay nakatalaga ng plus sign kung ang pangunahing normal ng curve ay napupunta sa parehong direksyon tulad ng normal sa ibabaw, o isang minus sign kung ang mga direksyon ng mga normal ay kabaligtaran.

Sa pangkalahatan, sa bawat punto sa ibabaw mayroong dalawang patayong direksyon e 1 (\displaystyle e_(1)) At e 2 (\displaystyle e_(2)), kung saan ang normal na curvature ay tumatagal ng pinakamababa at pinakamataas na halaga; ang mga direksyong ito ay tinatawag pangunahing. Ang isang pagbubukod ay ang kaso kapag ang normal na curvature ay pareho sa lahat ng direksyon (halimbawa, malapit sa isang globo o sa dulo ng isang ellipsoid ng rebolusyon), at ang lahat ng mga direksyon sa isang punto ay punong-guro.

Mga ibabaw na may negatibong (kaliwa), zero (gitna), at positibo (kanan) na curvature.

Ang mga normal na curvature sa mga pangunahing direksyon ay tinatawag pangunahing mga kurbada; tukuyin natin sila κ 1 (\displaystyle \kappa _(1)) At κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). Sukat:

tinatawag na Gaussian curvature, ang kabuuang curvature, o simpleng curvature ng surface. Meron ding term curvature scalar, na nagpapahiwatig ng resulta ng convolution ng curvature tensor; sa kasong ito, ang curvature scalar ay dalawang beses na mas malaki kaysa sa Gaussian curvature.

Maaaring kalkulahin ang gaussian curvature sa pamamagitan ng isang sukatan, at samakatuwid ito ay isang object ng intrinsic geometry ng mga surface (tandaan na ang mga pangunahing curvature ay hindi nalalapat sa intrinsic geometry). Sa pamamagitan ng pag-sign ng curvature, maaari mong uriin ang mga punto ng ibabaw (tingnan ang figure). Ang kurbada ng eroplano ay zero. Ang curvature ng isang globo ng radius R ay kahit saan ay katumbas ng 1 R 2 (\displaystyle (\frac (1)(R^(2)))). Mayroon ding ibabaw ng patuloy na negatibong kurbada -