Ang pangalawang mahusay na mga halimbawa ng limitasyon ay calculator ng mga solusyon. Ang una at pangalawang kahanga-hangang limitasyon

Ang artikulong ito: "Ang Ikalawang Kahanga-hangang Limitasyon" ay nakatuon sa pagsisiwalat sa loob ng mga limitasyon ng mga kawalan ng katiyakan ng form:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ at $ ^\infty $.

Gayundin, ang mga ganitong kawalan ng katiyakan ay maaaring ibunyag gamit ang logarithm ng exponential function, ngunit ito ay isa pang paraan ng solusyon, na tatalakayin sa ibang artikulo.

Formula at kahihinatnan

Formula ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay nakasulat tulad ng sumusunod: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( where ) e \approx 2.718 $$

Ito ay sumusunod mula sa formula kahihinatnan, na napakaginhawang gamitin para sa paglutas ng mga halimbawa na may mga limitasyon: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( kung saan ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Ito ay nagkakahalaga ng noting na ang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon ay hindi maaaring palaging ilapat sa isang exponential function, ngunit lamang sa mga kaso kung saan ang base ay may gawi sa pagkakaisa. Upang gawin ito, kalkulahin muna ang limitasyon ng base, at pagkatapos ay gumuhit ng mga konklusyon. Ang lahat ng ito ay tatalakayin sa mga halimbawang solusyon.

Mga halimbawa ng solusyon

Tingnan natin ang mga halimbawa ng mga solusyon gamit ang direktang formula at ang mga kahihinatnan nito. Susuriin din namin ang mga kaso kung saan hindi kailangan ang formula. Ito ay sapat na upang isulat lamang ang isang handa na sagot.

Suriin natin ang mga kaso kung saan ang problema ay katulad ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon, ngunit maaaring malutas nang wala ito.

Sa artikulong: "Ang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon: mga halimbawa ng mga solusyon" ang formula, ang mga kahihinatnan nito ay nasuri at ibinigay karaniwang mga uri mga problema sa paksang ito.

Ngayon, na may mahinahong kaluluwa, magpatuloy tayo upang isaalang-alang kahanga-hangang mga limitasyon.
mukhang .

Sa halip na ang variable na x, ang iba't ibang mga function ay maaaring naroroon, ang pangunahing bagay ay ang mga ito ay may posibilidad na 0.

Kinakailangang kalkulahin ang limitasyon

Tulad ng nakikita mo, ang limitasyong ito ay halos kapareho sa unang kapansin-pansin, ngunit hindi ito ganap na totoo. Sa pangkalahatan, kung napansin mo ang kasalanan sa limitasyon, dapat mong isipin kaagad kung posible bang gamitin ang unang kapansin-pansin na limitasyon.

Ayon sa aming panuntunan No. 1, pinapalitan namin ang zero sa halip na x:

Nakakakuha tayo ng kawalan ng katiyakan.

Ngayon subukan nating ayusin ang unang kahanga-hangang limitasyon sa ating sarili. Upang gawin ito, gawin natin ang isang simpleng kumbinasyon:

Kaya inayos namin ang numerator at denominator upang i-highlight ang 7x. Ngayon ang pamilyar na kapansin-pansin na limitasyon ay lumitaw na. Maipapayo na i-highlight ito kapag nagpapasya:

Palitan natin ang solusyon ng una magandang halimbawa at makuha namin:

Pagpapasimple ng fraction:

Sagot: 7/3.

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay napaka-simple.

parang , kung saan ang e = 2.718281828... ay isang hindi makatwirang numero.

Maaaring naroroon ang iba't ibang mga pag-andar sa halip na ang variable na x, ang pangunahing bagay ay may posibilidad silang .

Kinakailangang kalkulahin ang limitasyon

Dito makikita natin ang pagkakaroon ng isang degree sa ilalim ng tanda ng isang limitasyon, na nangangahulugang posible na gumamit ng pangalawang kapansin-pansin na limitasyon.

Gaya ng dati, gagamitin namin ang panuntunan No. 1 - palitan ang x sa halip na:

Makikita na sa x ang base ng degree ay , at ang exponent ay 4x > , i.e. nakakakuha kami ng kawalan ng katiyakan ng form:

Gamitin natin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon para ibunyag ang ating kawalan ng katiyakan, ngunit kailangan muna nating ayusin ito. Tulad ng nakikita mo, kailangan nating makamit ang presensya sa tagapagpahiwatig, kung saan itinaas natin ang base sa kapangyarihan ng 3x, at sa parehong oras sa kapangyarihan ng 1/3x, upang ang expression ay hindi magbago:

Huwag kalimutang i-highlight ang aming napakagandang limitasyon:

Ganyan talaga sila kahanga-hangang mga limitasyon!
Kung mayroon ka pa ring mga katanungan tungkol sa ang una at pangalawang kahanga-hangang mga limitasyon, pagkatapos ay huwag mag-atubiling tanungin sila sa mga komento.
Sasagutin namin ang lahat hangga't maaari.

Maaari ka ring makipagtulungan sa isang guro sa paksang ito.
Ikinalulugod naming mag-alok sa iyo ng mga serbisyo ng pagpili ng isang kwalipikadong tutor sa iyong lungsod. Mabilis na pipili ang aming mga kasosyo ng isang mahusay na guro para sa iyo sa paborableng mga termino.

Hindi sapat na impormasyon? - Kaya mo !

Maaari kang magsulat ng mga kalkulasyon sa matematika sa mga notepad. Mas kaaya-aya na magsulat nang isa-isa sa mga notebook na may logo (http://www.blocnot.ru).

Maghanap ng mga kahanga-hangang limitasyon Ito ay mahirap hindi lamang para sa maraming mga mag-aaral sa una at ikalawang taon na nag-aaral ng teorya ng mga limitasyon, kundi pati na rin para sa ilang mga guro.

Formula para sa unang kapansin-pansing limitasyon

Mga kahihinatnan ng unang kapansin-pansing limitasyon isulat natin ito sa mga formula
1. 2. 3. 4. Ngunit sa kanilang sarili pangkalahatang mga formula ang mga kapansin-pansing limitasyon ay hindi nakakatulong sa sinuman sa isang pagsusulit o pagsusulit. Ang punto ay ang mga tunay na gawain ay itinayo upang kailangan mo pa ring makarating sa mga formula na nakasulat sa itaas. At ang karamihan ng mga mag-aaral na lumiliban sa mga klase, nag-aaral ng kursong ito nang in absentia, o may mga guro na hindi nila laging naiintindihan kung ano ang kanilang ipinapaliwanag, ay hindi makakalkula ng pinakamaraming elementarya na mga halimbawa sa mga kapansin-pansing limitasyon. Mula sa mga pormula ng unang kapansin-pansin na limitasyon nakita natin na sa kanilang tulong posible na pag-aralan ang mga kawalan ng katiyakan ng uri ng zero na hinati ng zero para sa mga expression na may mga function na trigonometriko. Isaalang-alang muna natin ang ilang halimbawa ng unang kahanga-hangang limitasyon, at pagkatapos ay pag-aralan ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon.

Halimbawa 1. Hanapin ang limitasyon ng function na sin(7*x)/(5*x)
Solusyon: Gaya ng nakikita mo, ang function sa ilalim ng limitasyon ay malapit sa unang kapansin-pansing limitasyon, ngunit ang limitasyon ng mismong function ay tiyak na hindi katumbas ng isa. Sa ganitong uri ng mga gawain sa mga limitasyon, dapat pumili sa denominator ang isang variable na may parehong koepisyent tulad ng nasa variable sa ilalim ng sine. Sa kasong ito, hatiin at i-multiply sa 7

Para sa ilan, ang naturang detalye ay mukhang hindi kailangan, ngunit para sa karamihan ng mga mag-aaral na nahihirapan sa mga limitasyon, makakatulong ito sa kanila na mas maunawaan ang mga patakaran at makabisado ang teoretikal na materyal.
Gayundin, kung mayroong isang kabaligtaran na anyo ng isang function, ito rin ang unang kahanga-hangang limitasyon. At lahat dahil ang kahanga-hangang limitasyon ay katumbas ng isa

Ang parehong panuntunan ay nalalapat sa mga kahihinatnan ng unang kapansin-pansing limitasyon. Samakatuwid, kung tatanungin ka, "Ano ang unang kahanga-hangang limitasyon?" Dapat mong sagutin nang walang pag-aalinlangan na ito ay isang yunit.

Halimbawa 2. Hanapin ang limitasyon ng function na sin(6x)/tan(11x)
Solusyon: Upang maunawaan ang huling resulta, isulat natin ang function sa form

Upang ilapat ang mga patakaran ng kapansin-pansin na limitasyon, i-multiply at hatiin sa pamamagitan ng mga kadahilanan

Susunod, isinusulat namin ang limitasyon ng isang produkto ng mga function sa pamamagitan ng produkto ng mga limitasyon

Nang walang kumplikadong mga formula, nakita namin ang limitasyon ng mga function ng trigonometriko. Para sa asimilasyon mga simpleng formula subukang makabuo at hanapin ang limitasyon sa 2 at 4, ang formula para sa corollary 1 ng kahanga-hangang limitasyon. Titingnan natin ang mas kumplikadong mga problema.

Halimbawa 3: Kalkulahin ang limitasyon (1-cos(x))/x^2
Solusyon: Kapag sinusuri sa pamamagitan ng pagpapalit, nakakakuha kami ng kawalan ng katiyakan na 0/0. Maraming tao ang hindi alam kung paano bawasan ang gayong halimbawa sa isang kahanga-hangang limitasyon. Dito mo dapat gamitin trigonometriko formula

Sa kasong ito, magbabago ang limitasyon sa isang malinaw na anyo

Nagawa naming bawasan ang function sa parisukat ng isang kahanga-hangang limitasyon.

Halimbawa 4. Hanapin ang limitasyon
Solusyon: Kapag nagpapalit, nakukuha namin ang pamilyar na tampok na 0/0. Gayunpaman, ang variable ay may posibilidad na Pi sa halip na zero. Samakatuwid, upang mailapat ang unang kapansin-pansin na limitasyon, magsasagawa kami ng gayong pagbabago sa variable na x upang ang bagong variable ay mapunta sa zero. Upang gawin ito, tinutukoy namin ang denominator bilang isang bagong variable Pi-x=y

Kaya, gamit ang trigonometric formula na ibinigay sa nakaraang gawain, ang halimbawa ay nabawasan sa 1 kapansin-pansing limitasyon.

Halimbawa 5: Kalkulahin ang Limitasyon
Solusyon: Sa una ay hindi malinaw kung paano gawing simple ang mga limitasyon. Pero dahil may halimbawa, dapat may sagot. Ang katotohanan na ang variable ay napupunta sa pagkakaisa ay nagbibigay, kapag pinapalitan, ang isang tampok ng form na zero na pinarami ng infinity, kaya ang tangent ay dapat mapalitan gamit ang formula

Pagkatapos nito makuha namin ang kinakailangang kawalan ng katiyakan 0/0. Susunod, nagsasagawa kami ng pagbabago ng mga variable sa limitasyon at ginagamit ang periodicity ng cotangent

Ang mga huling pagpapalit ay nagpapahintulot sa amin na gamitin ang Corollary 1 ng kahanga-hangang limitasyon.

Ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay katumbas ng exponential

Isa itong classic na hindi laging madaling maabot sa mga problema sa totoong limitasyon.
Sa mga kalkulasyon na kakailanganin mo Ang mga limitasyon ay mga kahihinatnan ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon:
1. 2. 3. 4.
Salamat sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon at mga kahihinatnan nito, posibleng tuklasin ang mga kawalan ng katiyakan tulad ng zero na hinati sa zero, isa sa kapangyarihan ng infinity, at infinity na hinati sa infinity, at kahit sa parehong antas.

Simulan na nating kilalanin mga simpleng halimbawa.

Halimbawa 6. Hanapin ang limitasyon ng isang function
Solusyon: Ang direktang paglalapat ng 2nd kapansin-pansing limitasyon ay hindi gagana. Una, dapat mong ibahin ang anyo ng exponent upang magmukhang kabaligtaran ng termino sa mga bracket

Ito ang pamamaraan ng pagbawas sa ika-2 kapansin-pansing limitasyon at, sa esensya, pagbabawas sa ika-2 formula para sa corollary ng limitasyon.

Halimbawa 7. Hanapin ang limitasyon ng isang function
Solusyon: Mayroon kaming mga gawain para sa formula 3 ng corollary 2 ng isang napakagandang limitasyon. Ang pagpapalit ng zero ay nagbibigay ng singularity ng form na 0/0. Upang itaas ang limitasyon sa isang panuntunan, i-on namin ang denominator upang ang variable ay may parehong coefficient tulad ng sa logarithm

Madali din itong maunawaan at maisagawa sa pagsusulit. Ang mga paghihirap ng mga mag-aaral sa pagkalkula ng mga limitasyon ay nagsisimula sa mga sumusunod na problema.

Halimbawa 8. Kalkulahin ang limitasyon ng isang function[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Solusyon: Mayroon kaming type 1 singularity sa kapangyarihan ng infinity. Kung hindi ka naniniwala sa akin, maaari mong palitan ang infinity para sa "X" sa lahat ng dako at siguraduhin na ito. Upang makabuo ng isang panuntunan, hinahati namin ang numerator sa pamamagitan ng denominator sa mga panaklong; upang gawin ito, ginagawa muna namin ang mga manipulasyon

Palitan natin ang expression sa limitasyon at gawin itong 2 kahanga-hangang limitasyon

Ang limitasyon ay katumbas ng exponential power na 10. Ang mga constant na mga termino na may variable, parehong nasa panaklong at isang degree, ay hindi nagpapakilala ng anumang "panahon" - dapat itong tandaan. At kung tatanungin ka ng iyong mga guro, "Bakit hindi mo i-convert ang indicator?" (Para sa halimbawang ito sa x-3), pagkatapos ay sabihin na "Kapag ang isang variable ay may posibilidad na infinity, pagkatapos ay magdagdag ng 100 dito o ibawas ang 1000, at ang limitasyon ay mananatiling pareho sa dati!"
Mayroong pangalawang paraan upang makalkula ang mga limitasyon ng ganitong uri. Pag-uusapan natin ito sa susunod na gawain.

Halimbawa 9. Hanapin ang limitasyon
Solusyon: Ngayon, kunin natin ang variable sa numerator at denominator at gawing isa pa ang isang feature. Upang makuha ang pangwakas na halaga, ginagamit namin ang formula ng Corollary 2 ng kahanga-hangang limitasyon

Halimbawa 10. Hanapin ang limitasyon ng isang function
Solusyon: Hindi lahat ay makakahanap ng ibinigay na limitasyon. Upang itaas ang limitasyon sa 2, isipin na ang kasalanan (3x) ay isang variable, at kailangan mong i-on ang exponent

Susunod, isinulat namin ang tagapagpahiwatig bilang isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan


Ang mga intermediate na argumento ay inilarawan sa panaklong. Bilang resulta ng paggamit ng una at pangalawang kapansin-pansin na mga limitasyon, nakuha namin ang exponential sa kubo.

Halimbawa 11. Kalkulahin ang limitasyon ng isang function sin(2*x)/ln(3*x+1)
Solusyon: Mayroon kaming kawalan ng katiyakan sa form 0/0. Bilang karagdagan, nakikita namin na ang function ay dapat na ma-convert upang magamit ang parehong magagandang limitasyon. Gawin natin ang mga nakaraang pagbabagong matematikal

Dagdag pa, nang walang kahirapan, ang limitasyon ay kukuha ng halaga

Ganyan ka libre ang mararamdaman mo sa mga takdang-aralin, pagsusulit, module kung matututunan mong mabilis na isulat ang mga function at bawasan ang mga ito sa una o pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Kung mahirap para sa iyo na kabisaduhin ang mga ibinigay na pamamaraan para sa paghahanap ng mga limitasyon, maaari kang palaging mag-order ng test paper sa mga limitasyon mula sa amin.
Upang gawin ito, punan ang form, magbigay ng data at maglakip ng isang file na may mga halimbawa. Marami na kaming natulungang estudyante - matutulungan ka rin namin!

Tutulungan ka ng online na calculator ng matematika na ito kung kailangan mo ito kalkulahin ang limitasyon ng isang function. Programa mga limitasyon ng solusyon hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ito ay humahantong detalyadong solusyon na may mga paliwanag, ibig sabihin. ipinapakita ang proseso ng pagkalkula ng limitasyon.

Maaaring maging kapaki-pakinabang ang programang ito para sa mga mag-aaral sa high school mga paaralang sekondarya bilang paghahanda sa mga pagsubok at mga pagsusulit, kapag sinusuri ang kaalaman bago ang Pinag-isang Pagsusulit ng Estado, para makontrol ng mga magulang ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ito sa lalong madaling panahon? takdang aralin sa matematika o algebra? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may mga detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay sa iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng paglutas ng mga problema.

Natuklasan na ang ilang mga script na kinakailangan upang malutas ang problemang ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

kasi Maraming mga tao na handang lutasin ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Sa ilang segundo ang solusyon ay lilitaw sa ibaba.
Mangyaring maghintay sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Isang maliit na teorya.

Limitasyon ng function sa x->x 0

Hayaang tukuyin ang function na f(x) sa ilang set X at hayaan ang puntong \(x_0 \in X\) o \(x_0 \notin X\)

Kumuha tayo mula sa X ng isang pagkakasunod-sunod ng mga puntos na naiiba sa x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
nagtatagpo sa x*. Ang mga halaga ng function sa mga punto ng pagkakasunud-sunod na ito ay bumubuo rin ng isang numerical sequence
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
at maaaring itaas ng isa ang tanong ng pagkakaroon ng limitasyon nito.

Kahulugan. Ang numerong A ay tinatawag na limitasyon ng function na f(x) sa puntong x = x 0 (o sa x -> x 0), kung para sa anumang pagkakasunud-sunod (1) ng mga halaga ng argumento na x iba sa x 0 converging to x 0, ang katumbas na sequence (2) ng values ​​function ay converge sa number A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = Isang $$

Ang function na f(x) ay maaari lamang magkaroon ng isang limitasyon sa puntong x 0. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang pagkakasunod-sunod
(f(x n)) ay may isang limitasyon lamang.

May isa pang kahulugan ng limitasyon ng isang function.

Kahulugan Ang numero A ay tinatawag na limitasyon ng function na f(x) sa puntong x = x 0 kung para sa anumang numero \(\varepsilon > 0\) mayroong isang numerong \(\delta > 0\) para sa lahat ng \ (x \in X, \; x \neq x_0 \), na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay \(|x-x_0| Gamit ang mga lohikal na simbolo, ang kahulugang ito ay maaaring isulat bilang
\((\forall \varepsilon > 0) (\umiiral \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Tandaan na ang mga hindi pagkakapantay-pantay \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Ang unang kahulugan ay batay sa konsepto ng limitasyon pagkakasunud-sunod ng numero, kaya naman madalas itong tinatawag na "sequence language" na kahulugan. Ang pangalawang kahulugan ay tinatawag na kahulugan "sa wikang \(\varepsilon - \delta \)".
Ang dalawang kahulugan ng limitasyon ng isang function ay katumbas at maaari mong gamitin ang alinman sa mga ito depende sa kung alin ang mas maginhawa para sa paglutas ng isang partikular na problema.

Tandaan na ang kahulugan ng limitasyon ng isang function "sa wika ng mga sequence" ay tinatawag ding kahulugan ng limitasyon ng isang function ayon kay Heine, at ang kahulugan ng limitasyon ng isang function "sa wika \(\varepsilon - \delta \)" ay tinatawag ding kahulugan ng limitasyon ng isang function ayon sa Cauchy.

Limitasyon ng function sa x->x 0 - at sa x->x 0 +

Sa sumusunod, gagamitin namin ang mga konsepto ng isang panig na limitasyon ng isang function, na tinukoy bilang mga sumusunod.

Kahulugan Ang numerong A ay tinatawag na kanang (kaliwa) na limitasyon ng function na f(x) sa puntong x 0 kung para sa anumang pagkakasunod-sunod (1) na nagtatagpo sa x 0, ang mga elementong x n kung saan ay mas malaki (mas mababa sa) x 0, ang ang kaukulang sequence (2) ay nagtatagpo sa A.

Symbolically ito ay nakasulat tulad nito:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Maaari kaming magbigay ng katumbas na kahulugan ng mga one-sided na limitasyon ng isang function "sa wikang \(\varepsilon - \delta \)":

Kahulugan ang isang numerong A ay tinatawag na kanang (kaliwa) na limitasyon ng function na f(x) sa puntong x 0 kung para sa alinmang \(\varepsilon > 0\) mayroong isang \(\delta > 0\) na para sa lahat ng x nagbibigay-kasiyahan sa mga hindi pagkakapantay-pantay \(x_0 Symbolic entries:

Sa paksang ito, susuriin namin ang mga formula na maaaring makuha gamit ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon (isang paksa na direktang nakatuon sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay matatagpuan). Hayaan akong alalahanin ang dalawang pormulasyon ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon na kakailanganin sa seksyong ito: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e$ at $\lim_(x \to\ 0)\left(1+x\right)^\frac(1)(x)=e$.

Kadalasan ay nagpapakita ako ng mga formula nang walang patunay, ngunit para sa pahinang ito, sa tingin ko ay gagawa ako ng pagbubukod. Ang punto ay ang patunay ng mga kahihinatnan ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay naglalaman ng ilang mga pamamaraan na kapaki-pakinabang sa direktang paglutas ng mga problema. Well, sa pangkalahatan, ipinapayong malaman kung paano ito o ang formula na iyon ay napatunayan. Nagbibigay-daan ito sa iyo na mas maunawaan ang panloob na istraktura nito, pati na rin ang mga limitasyon ng pagiging angkop. Ngunit dahil ang ebidensya ay maaaring hindi interesado sa lahat ng mga mambabasa, itatago ko ito sa ilalim ng mga tala na matatagpuan pagkatapos ng bawat kahihinatnan.

Corollary #1

Katibayan ng corollary No. 1: ipakita\itago

Dahil sa $x\to 0$ mayroon kaming $\ln(1+x)\to 0$, pagkatapos ay sa limitasyong isinasaalang-alang ay mayroong kawalan ng katiyakan ng form na $\frac(0)(0)$. Upang ipakita ang kawalan ng katiyakan na ito, ipakita natin ang expression na $\frac(\ln(1+x))(x)$ sa sumusunod na anyo: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$ . Ngayon, i-factor natin ang $\frac(1)(x)$ sa kapangyarihan ng expression na $(1+x)$ at ilapat ang pangalawang kapansin-pansing limitasyon:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ sa\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$

Muli ay mayroon kaming kawalan ng katiyakan sa anyo na $\frac(0)(0)$. Aasa tayo sa formula na napatunayan na natin. Dahil $\log_a t=\frac(\ln t)(\ln a)$, pagkatapos ay $\log_a (1+x)=\frac(\ln(1+x))(\ln a)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$

Corollary #2

Katibayan ng corollary No. 2: ipakita\itago

Dahil sa $x\to 0$ mayroon kaming $e^x-1\to 0$, kung gayon sa limitasyong isinasaalang-alang ay mayroong kawalan ng katiyakan ng form na $\frac(0)(0)$. Upang ipakita ang kawalan ng katiyakan na ito, baguhin natin ang variable, na nagsasaad ng $t=e^x-1$. Mula noong $x\to 0$, pagkatapos ay $t\to 0$. Susunod, mula sa formula na $t=e^x-1$ makukuha natin: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \kanan|=\kaliwa | \begin(aligned) & t=e^x-1;\; t\to 0.\\ & x=\ln(1+t).\end (aligned) \right|= \lim_(t\to 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\to 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$

Muli ay mayroon kaming kawalan ng katiyakan sa anyo na $\frac(0)(0)$. Aasa tayo sa formula na napatunayan na natin. Dahil $a^x=e^(x\ln a)$, kung gayon:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0 )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$

Corollary #3

Katibayan ng corollary No. 3: ipakita\itago

Muli tayong nakikitungo sa kawalan ng katiyakan ng form na $\frac(0)(0)$. Dahil $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$, nakukuha namin ang:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\kaliwa(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \kanan)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$

Halimbawa Blg. 1

Kalkulahin ang limitasyon $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$.

Mayroon kaming kawalan ng katiyakan sa form na $\frac(0)(0)$. Upang ipakita ang kawalan ng katiyakan na ito, gagamitin namin ang formula. Upang magkasya ang ating limitasyon sa formula na ito, dapat nating isaisip na ang mga expression sa kapangyarihan ng $e$ at sa denominator ay dapat magkasabay. Sa madaling salita, walang lugar para sa sine sa denominator. Ang denominator ay dapat na $9x$. Bukod pa rito, gagamitin ng solusyon sa halimbawang ito ang unang kapansin-pansing limitasyon.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \right)=\frac(9)( 5)\cdot 1 \cdot 1=\frac(9)(5). $$

Sagot: $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.

Halimbawa Blg. 2

Kalkulahin ang limitasyon $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$.

Mayroon kaming kawalan ng katiyakan sa form na $\frac(0)(0)$ (paalalahanan ko kayo na $\ln\cos 0=\ln 1=0$). Upang ipakita ang kawalan ng katiyakan na ito, gagamitin namin ang formula. Una, isaalang-alang natin na $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ (tingnan ang printout sa trigonometric functions). Ngayon $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, kaya sa denominator dapat nating makuha ang expression na $-2\sin^2 \ frac(x )(2)$ (upang magkasya ang aming halimbawa sa formula). Sa karagdagang solusyon, ang unang kapansin-pansing limitasyon ay gagamitin.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2)\right)^2 \right)=-\frac(1)( 2)\cdot 1\cdot 1^2=-\frac(1)(2). $$

Sagot: $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.