Mga pamamaraan ng quantitative analysis: Pagtatantya ng mga agwat ng kumpiyansa. Agwat ng kumpiyansa

Ang pagsusuri ng mga random na error ay batay sa teorya ng mga random na error, na ginagawang posible sa isang tiyak na garantiya upang makalkula ang aktwal na halaga ng sinusukat na halaga at suriin ang mga posibleng error.

Ang teorya ng mga random na error ay batay sa mga sumusunod na pagpapalagay:

na may malaking bilang ng mga sukat, ang mga random na error ng parehong magnitude, ngunit ng iba't ibang mga palatandaan, ay nangyayari nang pantay-pantay;

ang malalaking error ay hindi gaanong karaniwan kaysa sa maliliit (ang posibilidad ng isang error ay bumababa habang tumataas ang magnitude nito);

na may walang katapusang malaking bilang ng mga sukat, ang tunay na halaga ng sinusukat na dami ay katumbas ng arithmetic mean ng lahat ng resulta ng pagsukat;

ang hitsura ng isa o ibang resulta ng pagsukat bilang random na kaganapan ay inilalarawan ng normal na batas sa pamamahagi.

Sa pagsasagawa, ang isang pagkakaiba ay ginawa sa pagitan ng isang pangkalahatan at isang sample na hanay ng mga sukat.

Sa ilalim ng populasyon ipahiwatig ang buong hanay ng mga posibleng halaga ng pagsukat o posibleng mga halaga ng error
.

Para sa sample na populasyon bilang ng mga sukat limitado at mahigpit na tinutukoy sa bawat partikular na kaso. Iniisip nila na kung
, pagkatapos ay ang average na halaga ng hanay ng mga sukat na ito ay sapat na malapit sa tunay na halaga nito.

1. Pagsusuri ng pagitan gamit ang probability ng kumpiyansa

Para sa isang malaking sample at isang normal na distribusyon, ang pangkalahatang pagsusuri na katangian ng isang pagsukat ay dispersion
at koepisyent ng pagkakaiba-iba :

;
. (1.1)

Ang dispersion ay nagpapakilala sa homogeneity ng pagsukat. Ang mas mataas
, mas malaki ang scatter ng mga sukat.

Ang koepisyent ng pagkakaiba-iba ay nagpapakilala sa pagkakaiba-iba. Ang mas mataas , mas malaki ang pagkakaiba-iba ng mga sukat na nauugnay sa mga average na halaga.

Upang masuri ang pagiging maaasahan ng mga resulta ng pagsukat, ang mga konsepto ng agwat ng kumpiyansa at posibilidad ng kumpiyansa ay ipinakilala.

Pinagkakatiwalaan tinatawag na interval mga halaga , kung saan nahuhulog ang tunay na halaga sinusukat na dami na may ibinigay na posibilidad.

probabilidad ng kumpiyansa (kaasahan) ng isang pagsukat ay ang posibilidad na ang tunay na halaga ng sinusukat na halaga ay nasa loob ng isang partikular na agwat ng kumpiyansa, ibig sabihin. sa zone
. Ang halagang ito ay tinutukoy sa mga fraction ng isang yunit o bilang isang porsyento

,

saan
- Laplace integral function ( talahanayan 1.1 )

Ang Laplace integral function ay tinukoy ng sumusunod na expression:

.

Ang argumento sa pagpapaandar na ito ay kadahilanan ng garantiya :

Talahanayan 1.1

Laplace integral function

Kung, sa batayan ng ilang data, ang posibilidad ng kumpiyansa ay naitatag (ito ay kadalasang kinukuha na katumbas ng
), pagkatapos ito ay nakatakda katumpakan ng mga sukat (agwat ng kumpiyansa
) batay sa ratio

.

Ang kalahati ng confidence interval ay

, (1.3)

saan
- argumento ng Laplace function, kung
(talahanayan 1.1 );

- Mga tungkulin ng mag-aaral, kung
(talahanayan 1.2 ).

Kaya, ang agwat ng kumpiyansa ay nagpapakilala sa katumpakan ng pagsukat ng isang naibigay na sample, at ang posibilidad ng kumpiyansa ay nagpapakilala sa pagiging maaasahan ng pagsukat.

Halimbawa

Tapos na
mga sukat ng lakas ng ibabaw ng kalsada ng isang seksyon ng highway na may average na elastic modulus
at ang kinakalkula na halaga ng standard deviation
.

Kailangan matukoy ang kinakailangang katumpakan mga sukat para sa iba't ibang antas posibilidad ng kumpiyansa
, pagkuha ng mga halaga Sa pamamagitan ng talahanayan 1.1 .

Sa kasong ito, naaayon |

Dahil dito, para sa isang naibigay na paraan at paraan ng pagsukat, ang pagitan ng kumpiyansa ay tumataas ng humigit-kumulang beses kung tumaas ka pa lang
.

Agwat ng kumpiyansa para sa inaasahan sa matematika ay isang agwat na kinakalkula mula sa data na naglalaman ng isang mathematical na inaasahan na may alam na posibilidad populasyon. Ang natural na pagtatantya para sa mathematical na inaasahan ay ang arithmetic mean ng mga naobserbahang halaga nito. Samakatuwid, sa buong aralin ay gagamitin natin ang mga katagang "average" at "average na halaga". Sa mga problema sa pagkalkula ng agwat ng kumpiyansa, ang isang sagot na kadalasang kinakailangan ay tulad ng "Ang agwat ng kumpiyansa ng average na numero [halaga sa isang partikular na problema] ay mula sa [mas maliit na halaga] hanggang sa [mas malaking halaga]." Gamit ang isang agwat ng kumpiyansa, maaari mong suriin hindi lamang ang mga average na halaga, kundi pati na rin ang proporsyon ng isang partikular na katangian ng pangkalahatang populasyon. Mga average, pagkakaiba-iba, karaniwang lihis at ang mga pagkakamali kung saan tayo makakarating sa mga bagong kahulugan at pormula ay tinalakay sa aralin Mga katangian ng sample at populasyon .

Mga pagtatantya ng punto at pagitan ng mean

Kung ang ibig sabihin ng populasyon ay tinatantya ng isang numero (punto), pagkatapos ay para sa pagtantya ng hindi alam katamtamang laki ng pangkalahatang populasyon, isang tiyak na average ang kinuha, na kinakalkula mula sa isang sample ng mga obserbasyon. Sa kasong ito, ang halaga ng sample mean - isang random na variable - ay hindi tumutugma sa mean na halaga ng pangkalahatang populasyon. Samakatuwid, kapag ipinapahiwatig ang ibig sabihin ng sample, dapat mong sabay na ipahiwatig ang error sa sampling. Ang sukatan ng sampling error ay karaniwang error, na kung saan ay ipinahayag sa parehong mga yunit bilang ang average. Samakatuwid, ang sumusunod na notasyon ay kadalasang ginagamit: .

Kung ang pagtatantya ng average ay kailangang maiugnay sa isang tiyak na posibilidad, kung gayon ang parameter ng interes sa populasyon ay dapat na tasahin hindi sa pamamagitan ng isang numero, ngunit sa pamamagitan ng isang pagitan. Ang agwat ng kumpiyansa ay isang agwat kung saan, na may tiyak na posibilidad P matatagpuan ang halaga ng tinantyang indicator ng populasyon. Ang pagitan ng kumpiyansa kung saan ito ay malamang P = 1 - α ang random na variable ay matatagpuan, kinakalkula tulad ng sumusunod:

,

α = 1 - P, na makikita sa apendiks sa halos anumang aklat sa mga istatistika.

Sa pagsasagawa, hindi alam ang ibig sabihin at pagkakaiba ng populasyon, kaya ang pagkakaiba ng populasyon ay pinapalitan ng sample na variance, at ang ibig sabihin ng populasyon ng sample mean. Kaya, ang agwat ng kumpiyansa sa karamihan ng mga kaso ay kinakalkula tulad ng sumusunod:

.

Ang formula ng confidence interval ay maaaring gamitin upang tantyahin ang ibig sabihin ng populasyon kung

• ang karaniwang paglihis ng populasyon ay kilala;
• o ang karaniwang paglihis ng populasyon ay hindi alam, ngunit ang laki ng sample ay higit sa 30.

Ang sample mean ay isang walang pinapanigan na pagtatantya ng average ng populasyon. Sa turn, ang sample variance ay hindi isang walang pinapanigan na pagtatantya ng pagkakaiba-iba ng populasyon. Upang makakuha ng walang pinapanigan na pagtatantya ng pagkakaiba-iba ng populasyon sa sample na formula ng pagkakaiba, laki ng sample n dapat palitan ng n-1.

Halimbawa 1. Ang impormasyon ay nakolekta mula sa 100 random na napiling mga cafe sa isang tiyak na lungsod na ang average na bilang ng mga empleyado sa kanila ay 10.5 na may karaniwang paglihis na 4.6. Tukuyin ang 95% confidence interval para sa bilang ng mga empleyado ng cafe.

nasaan ang kritikal na halaga ng karaniwang normal na distribusyon para sa antas ng kabuluhan α = 0,05 .

Kaya, ang 95% confidence interval para sa average na bilang ng mga empleyado ng cafe ay mula 9.6 hanggang 11.4.

Halimbawa 2. Para sa isang random na sample mula sa isang populasyon ng 64 na mga obserbasyon, ang mga sumusunod na kabuuang halaga ay kinakalkula:

kabuuan ng mga halaga sa mga obserbasyon,

kabuuan ng mga squared deviations ng mga halaga mula sa mean .

Kalkulahin ang 95% na agwat ng kumpiyansa para sa inaasahan sa matematika.

Kalkulahin natin ang karaniwang paglihis:

,

Kalkulahin natin ang average na halaga:

.

Pinapalitan namin ang mga halaga sa expression para sa agwat ng kumpiyansa:

nasaan ang kritikal na halaga ng karaniwang normal na distribusyon para sa antas ng kabuluhan α = 0,05 .

Nakukuha namin:

Kaya, ang 95% na agwat ng kumpiyansa para sa inaasahan ng matematika ng sample na ito ay mula 7.484 hanggang 11.266.

Halimbawa 3. Para sa random na sample ng populasyon ng 100 obserbasyon, ang kinakalkula na mean ay 15.2 at ang standard deviation ay 3.2. Kalkulahin ang 95% confidence interval para sa inaasahang halaga, pagkatapos ay ang 99% confidence interval. Kung ang sample power at ang variation nito ay mananatiling hindi nagbabago at ang confidence coefficient ay tumaas, magpapaliit ba o lalawak ang confidence interval?

Pinapalitan namin ang mga halagang ito sa expression para sa agwat ng kumpiyansa:

nasaan ang kritikal na halaga ng karaniwang normal na distribusyon para sa antas ng kabuluhan α = 0,05 .

Nakukuha namin:

.

Kaya, ang 95% na agwat ng kumpiyansa para sa mean ng sample na ito ay mula 14.57 hanggang 15.82.

Muli naming pinapalitan ang mga halagang ito sa expression para sa agwat ng kumpiyansa:

nasaan ang kritikal na halaga ng karaniwang normal na distribusyon para sa antas ng kabuluhan α = 0,01 .

Nakukuha namin:

.

Kaya, ang 99% na agwat ng kumpiyansa para sa mean ng sample na ito ay mula 14.37 hanggang 16.02.

Tulad ng nakikita natin, habang tumataas ang koepisyent ng kumpiyansa, tumataas din ang kritikal na halaga ng karaniwang normal na distribusyon, at, dahil dito, ang mga panimulang punto at pagtatapos ng pagitan ay matatagpuan sa malayo mula sa mean, at sa gayon ang agwat ng kumpiyansa para sa inaasahan sa matematika ay tumataas. .

Mga pagtatantya ng punto at pagitan ng tiyak na gravity

Ang bahagi ng ilang sample na katangian ay maaaring bigyang-kahulugan bilang isang pagtatantya ng punto ng bahagi p ng parehong katangian sa pangkalahatang populasyon. Kung ang value na ito ay kailangang iugnay sa probabilidad, dapat kalkulahin ang confidence interval ng specific gravity p katangian sa populasyon na may posibilidad P = 1 - α :

.

Halimbawa 4. Sa ilang lungsod mayroong dalawang kandidato A At B tumatakbong mayor. Ang 200 residente ng lungsod ay random na na-survey, kung saan 46% ang tumugon na iboboto nila ang kandidato A, 26% - para sa kandidato B at 28% ang hindi alam kung sino ang kanilang iboboto. Tukuyin ang 95% confidence interval para sa proporsyon ng mga residente ng lungsod na sumusuporta sa kandidato A.

Agwat ng kumpiyansa

Agwat ng kumpiyansa- isang terminong ginamit sa mathematical statistics para sa interval (kumpara sa point) na pagtatantya istatistikal na mga parameter, na mas mainam na may maliit na sukat ng sample. Ang agwat ng kumpiyansa ay isa na sumasaklaw sa isang hindi kilalang parameter na may ibinigay na pagiging maaasahan.

Ang paraan ng mga pagitan ng kumpiyansa ay binuo ng Amerikanong istatistika na si Jerzy Neumann, batay sa mga ideya ng Ingles na istatistika na si Ronald Fisher.

Kahulugan

Agwat ng kumpiyansa ng parameter θ random variable distribution X na may antas ng kumpiyansa 100 p%, na nabuo ng sample ( x 1 ,…,x n), ay tinatawag na isang pagitan na may mga hangganan ( x 1 ,…,x n) at ( x 1 ,…,x n), na mga pagsasakatuparan ng mga random na variable L(X 1 ,…,X n) at U(X 1 ,…,X n), ganyan

Ang mga boundary point ng confidence interval ay tinatawag mga limitasyon ng kumpiyansa.

Ang interpretasyong batay sa intuwisyon ng agwat ng kumpiyansa ay: kung p ay malaki (sabihin nating 0.95 o 0.99), kung gayon ang pagitan ng kumpiyansa ay halos tiyak na naglalaman ng tunay na halaga θ .

Isa pang interpretasyon ng konsepto ng isang agwat ng kumpiyansa: maaari itong ituring bilang isang pagitan ng mga halaga ng parameter θ tugma sa pang-eksperimentong data at hindi sumasalungat sa mga ito.

Mga halimbawa

• Agwat ng kumpiyansa para sa mathematical na inaasahan ng isang normal na sample;
• Agwat ng kumpiyansa para sa normal na pagkakaiba-iba ng sample.

Bayesian confidence interval

Sa mga istatistika ng Bayesian, mayroong isang katulad ngunit naiiba sa ilang mga pangunahing detalye ng kahulugan ng isang agwat ng kumpiyansa. Dito, ang tinantyang parameter mismo ay itinuturing na isang random na variable na may ilang naibigay na naunang pamamahagi (sa pinakasimpleng kaso, uniporme), at ang sample ay naayos (sa mga klasikal na istatistika ang lahat ay eksaktong kabaligtaran). Ang agwat ng kumpiyansa ng Bayesian ay isang agwat na sumasaklaw sa value ng parameter na may posterior probability:

Sa pangkalahatan, magkaiba ang mga agwat ng kumpiyansa ng klasiko at Bayesian. Sa panitikan sa wikang Ingles, ang Bayesian confidence interval ay karaniwang tinatawag na termino mapagkakatiwalaang pagitan, at ang klasiko - agwat ng kumpiyansa.

Mga Tala

Wikimedia Foundation. 2010.

• Mga bata (pelikula)
• Kolonista

Tingnan kung ano ang "Confidence interval" sa iba pang mga diksyunaryo:

Agwat ng kumpiyansa- isang agwat na kinakalkula mula sa sample na data, na may ibinigay na posibilidad (kumpiyansa) ay sumasaklaw sa hindi alam na totoong halaga ng tinantyang parameter ng pamamahagi. Pinagmulan: GOST 20522 96: Mga Lupa. Mga pamamaraan para sa pagpoproseso ng istatistika ng mga resulta... Dictionary-reference na aklat ng mga tuntunin ng normatibo at teknikal na dokumentasyon

agwat ng kumpiyansa- para sa isang scalar parameter ng populasyon, ito ay isang segment na malamang na naglalaman ng parameter na ito. Ang pariralang ito ay walang kabuluhan nang walang karagdagang elaborasyon. Dahil ang mga hangganan ng agwat ng kumpiyansa ay tinatantya mula sa sample, natural na... ... Diksyunaryo ng Sociological Statistics

PAGTITIWALA NG PAGTITIWALA- isang paraan ng pagtatantya ng mga parameter na naiiba sa point estimation. Hayaang ang sample x1, . . ., xn mula sa isang distribution na may probability density f(x, α), at a*=a*(x1, . . ., xn) estimate α, g(a*, α) probability density estimate. Naghahanap ng…… Geological encyclopedia

PAGTITIWALA NG PAGTITIWALA- (Confidence interval) Isang agwat kung saan ang pagiging maaasahan ng halaga ng parameter para sa populasyon na nakuha batay sa isang sample na survey ay may tiyak na antas ng posibilidad, halimbawa 95%, na dahil sa sample mismo. Lapad…… Diksyonaryo ng ekonomiya

agwat ng kumpiyansa- ay ang pagitan kung saan matatagpuan ang tunay na halaga ng natukoy na dami na may ibinigay na probabilidad ng kumpiyansa. Pangkalahatang kimika: aklat-aralin / A.V. Zholnin ... Mga terminong kemikal

Agwat ng kumpiyansa CI- Confidence interval, CI * data interval, CI * confidence interval interval ng katangiang value, na kinakalkula para sa k.l. parameter ng pamamahagi (halimbawa, ang average na halaga ng isang katangian) sa kabuuan ng sample at may tiyak na posibilidad (halimbawa, 95% para sa 95% ... Genetics. encyclopedic Dictionary

PAGTITIWALA NG PAGTITIWALA- isang konsepto na lumitaw kapag tinatantya ang isang istatistikal na parameter. pamamahagi ayon sa pagitan ng mga halaga. D. at. para sa parameter q, naaayon sa koepisyent na ito. ang tiwala P ay katumbas ng ganoong pagitan (q1, q2) na para sa anumang probabilidad na pamamahagi ng hindi pagkakapantay-pantay... ... Pisikal na encyclopedia

agwat ng kumpiyansa- - Mga paksa sa telekomunikasyon, mga pangunahing konsepto EN agwat ng kumpiyansa ... Gabay ng Teknikal na Tagasalin

agwat ng kumpiyansa- pasikliovimo intervalas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultato vertė. atitikmenys: engl. agwat ng kumpiyansa vok. Vertrauensbereich, m rus.… … Penkiakalbis aiškinamasi metrologijos terminų žodynas

agwat ng kumpiyansa- pasikliovimo intervalas statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultatų vertė. atitikmenys: engl. confidence interval rus. lugar ng pagtitiwala; agwat ng kumpiyansa... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

Ang anumang sample ay nagbibigay lamang ng tinatayang ideya ng pangkalahatang populasyon, at ang lahat ng sample na istatistikal na katangian (mean, mode, variance...) ay ilang pagtatantya o magsasabi ng pagtatantya ng mga pangkalahatang parameter, na sa karamihan ng mga kaso ay hindi posibleng kalkulahin dahil sa hindi naa-access ng pangkalahatang populasyon (Larawan 20).

Figure 20. Sampling error

Ngunit maaari mong tukuyin ang agwat kung saan, na may isang tiyak na antas ng posibilidad, ang tunay (pangkalahatan) na halaga ng istatistikal na katangian ay namamalagi. Ang agwat na ito ay tinatawag d agwat ng kumpiyansa (CI).

Kaya ang pangkalahatang average na halaga na may posibilidad na 95% ay nasa loob

mula hanggang, (20)

saan t – halaga ng talahanayan ng pagsusulit ng Mag-aaral para sa α =0.05 at f= n-1

Ang isang 99% CI ay maaari ding matagpuan, sa kasong ito t pinili para sa α =0,01.

Ano ang praktikal na kahalagahan ng isang confidence interval?

Ang isang malawak na agwat ng kumpiyansa ay nagpapahiwatig na ang sample mean ay hindi tumpak na sumasalamin sa ibig sabihin ng populasyon. Ito ay kadalasang dahil sa hindi sapat na laki ng sample, o sa heterogeneity nito, i.e. malaking pagpapakalat. Parehong nagbibigay ng mas malaking error ng mean at, nang naaayon, isang mas malawak na CI. At ito ang batayan para bumalik sa yugto ng pagpaplano ng pananaliksik.

Ang itaas at mas mababang mga limitasyon ng CI ay nagbibigay ng isang pagtatantya kung ang mga resulta ay magiging makabuluhan sa klinikal

Isaalang-alang natin ang ilang detalye sa tanong ng istatistikal at klinikal na kahalagahan ng mga resulta ng pag-aaral ng mga katangian ng grupo. Tandaan natin na ang gawain ng mga istatistika ay tuklasin ang hindi bababa sa ilang mga pagkakaiba sa pangkalahatang populasyon batay sa sample na data. Ang hamon para sa mga clinician ay tuklasin ang mga pagkakaiba (hindi basta basta) na tutulong sa pagsusuri o paggamot. At ang mga istatistikal na konklusyon ay hindi palaging batayan para sa mga klinikal na konklusyon. Kaya, ang makabuluhang pagbaba ng hemoglobin ng 3 g/l ayon sa istatistika ay hindi isang dahilan para sa pag-aalala. At, sa kabaligtaran, kung ang ilang problema sa katawan ng tao ay hindi laganap sa antas ng buong populasyon, hindi ito dahilan upang hindi harapin ang problemang ito.

Layunin ng serbisyo. Gamit ang serbisyong ito, matutukoy mo:

• agwat ng kumpiyansa para sa pangkalahatang mean, agwat ng kumpiyansa para sa pagkakaiba;
• confidence interval para sa standard deviation, confidence interval para sa general share;

Halimbawa Blg. 1. Sa isang kolektibong bukid, sa kabuuang kawan ng 1000 tupa, 100 tupa ang sumailalim sa selective control shearing. Bilang isang resulta, ang isang average na gupit ng lana na 4.2 kg bawat tupa ay itinatag. Tukuyin na may probabilidad na 0.99 ang mean square error ng sample kapag tinutukoy ang average na paggugupit ng lana bawat tupa at ang mga limitasyon kung saan nakapaloob ang halaga ng paggugupit kung ang pagkakaiba ay 2.5. Ang sample ay hindi paulit-ulit.
Halimbawa Blg. 2. Mula sa isang batch ng mga imported na produkto sa post ng Moscow Northern Customs, 20 sample ng produkto "A" ang kinuha sa pamamagitan ng random na paulit-ulit na sampling. Bilang resulta ng pagsubok, ang average na nilalaman ng kahalumigmigan ng produkto na "A" sa sample ay itinatag, na naging katumbas ng 6% na may karaniwang paglihis ng 1%.
Tukuyin nang may posibilidad na 0.683 ang mga limitasyon ng average na nilalaman ng kahalumigmigan ng produkto sa buong batch ng mga imported na produkto.
Halimbawa Blg. 3. Ang isang survey sa 36 na mga mag-aaral ay nagpakita na ang average na bilang ng mga textbook na kanilang binabasa bawat taon Taong panuruan, naging katumbas ng 6. Ipagpalagay na ang bilang ng mga aklat-aralin na binabasa ng isang mag-aaral bawat semestre ay may normal na batas sa pamamahagi na may karaniwang paglihis na katumbas ng 6, hanapin ang: A) na may pagiging maaasahan na 0.99, isang pagtatantya ng pagitan para sa matematikal inaasahan ng random variable na ito; B) sa anong posibilidad na masasabi natin na ang average na bilang ng mga aklat-aralin na binabasa ng isang mag-aaral bawat semestre, na kinakalkula mula sa sample na ito, ay lilihis mula sa inaasahan sa matematika sa ganap na halaga ng hindi hihigit sa 2.

Pag-uuri ng mga agwat ng kumpiyansa

Ayon sa uri ng sample:

1. Agwat ng kumpiyansa para sa isang walang katapusang sample;
2. Agwat ng kumpiyansa para sa huling sample;

Pagkalkula ng average sampling error para sa random sampling

Average na mga formula ng error sa pag-sample
muling pagpili		ulitin ang pagpili
para sa karaniwan	para ibahagi	para sa karaniwan	para ibahagi

Mga formula para sa pagkalkula ng laki ng sample gamit ang isang random na paraan ng sampling