Mga operasyon sa mga set. Konsepto ng set

Ang paksang ito ay naglalaman ng maraming terminolohiya, kaya magdadagdag ako ng nilalaman ng paksa na magpapadali sa pag-navigate sa materyal.

Magsimula tayo sa kung ano talaga ang ibig sabihin ng salitang “marami”. Sa isang intuitive na antas, ang isang set ay nauunawaan bilang isang tiyak na koleksyon ng mga bagay na tinatawag mga elemento ng set. Halimbawa, maaari mong pag-usapan ang maraming peras sa mesa, ang maraming titik sa salitang "marami," at iba pa. Georg Cantor (German mathematician, founder modernong teorya sets) ay sumulat na sa pamamagitan ng "set ay karaniwang ibig sabihin ko ang lahat na maaaring isipin bilang isang solong bagay, i.e. tulad ng isang koleksyon ng ilang mga elemento na, sa pamamagitan ng isang batas, ay maaaring pagsamahin sa isang kabuuan." Sa loob ng ilang panahon, ang konsepto ng isang set, na ipinakilala ni Cantor, ay itinuturing na medyo halata at hindi nangangailangan ng karagdagang paliwanag. Tila ang paglitaw ng mga gawa ni Bolzano, at pagkatapos ng Cantor sa huling bahagi ng ika-19 at unang bahagi ng ika-20 siglo, ay magwawakas sa maraming katanungan (halimbawa, sa wakas ay malulutas nito ang mga aporia ni Zeno, malulutas ang problema ng kawalang-hanggan, atbp.) at magiging simula ng isang bagong matematika. Sinabi ng magaling na matematikong Aleman na si David Hilbert na "Walang magpapatalsik sa atin mula sa paraiso na nilikha ni Cantor."

Gayunpaman, ang paglitaw ng mga kabalintunaan (Russell, Burali-Forti) ay nagtapos sa "paraiso ni Cantor." Ang isa sa mga pormulasyon ng kabalintunaan ni Russell, na kilala bilang "kabalintunaan ng barbero," ay ganito: sa isang partikular na nayon, inahit ng barbero ang mga iyon at ang mga taganayon lamang na hindi nag-aahit sa kanilang sarili. Sino ang nag-ahit sa barbero? Sabihin na nating inahit niya ang sarili niya. Yung. siya ay kabilang sa mga residente ng nayon na nag-aahit ng kanilang sarili, ngunit ayon sa kalagayan ng mga residenteng ito, ang mga barbero ay walang karapatang mag-ahit. Samakatuwid, ang pagpapalagay na ang barbero ay nag-ahit sa kanyang sarili ay humahantong sa isang kontradiksyon. Subukan natin ang isa pang paraan: hayaan ang barbero na huwag mag-ahit sa kanyang sarili. Kung siya mismo ay hindi nag-ahit, pagkatapos ay ayon sa kondisyon ang barbero ay obligadong mag-ahit sa kanya - muli isang kontradiksyon! Ang mga pagtatangka ay ginawa upang malutas ang mga kontradiksyon sa set theory na iminungkahi ni Cantor. Ang set theory mismo ni Cantor ay tinawag na "naive" ng mga mathematician. Ang layunin ng maraming mga gawa sa matematika ay upang bumuo ng isang sistema ng mga axiom kung saan ang mga kabalintunaan ay magiging imposible. Ngunit ang gawain ay naging hindi gaanong simple. Naka-on sa sandaling ito, sa pagkakaalam ko, walang pinag-isang axiomatics ng set theory. Ang pinakalaganap ay ang Zermelo-Fraenkel (ZFC) na sistema ng mga axiom, kung saan ang tinatawag na "axiom of choice" ay nakatayo. Mayroon ding mga pagkakaiba-iba ng sistemang ito: halimbawa, ang may-akda ng B-method, si Jean-Raymond Abrial, ay nagmungkahi ng isang typified set theory, sa batayan kung saan siya ay lumikha ng isang pormal na pamamaraan para sa pagbuo ng mga programa.

Notasyon ng mga set. Pag-aari ng isang elemento sa isang set. Walang laman na set.

Ang mga set ay karaniwang nakasulat sa mga kulot na braces. Halimbawa, ang hanay ng lahat ng mga patinig ng alpabetong Ruso ay isusulat tulad nito:

$$\(a, e, e, i, o, y, s, e, yu, i\) $$

At ang set ng lahat ng buong integer na mas malaki sa 8 ngunit mas mababa sa 15 ay magiging ganito:

$$\{9,10,11,12,13,14 \} $$

Ang isang set ay maaaring hindi maglaman ng isang elemento sa lahat. Sa kasong ito ito ay tinatawag na walang laman na set at tinukoy bilang $\varnothing$.

Kadalasan sa panitikan sa matematika, ang mga set ay tinutukoy gamit ang malalaking titik ng alpabetong Latin. Halimbawa:

$$A=\(0, 5, 6, -9 \),\; B=\(\Delta, +, -5, 0\).$$

Mayroon ding itinatag na mga notasyon para sa ilang mga hanay. Halimbawa, marami natural na mga numero karaniwang tinutukoy ng titik na $N$; ang hanay ng mga integer - sa pamamagitan ng titik $Z$; isang grupo ng mga rational na numero- titik $Q$; ang set ng lahat ng totoong numero - ang titik $R$. May iba pang itinatag na mga pagtatalaga, ngunit sasangguni kami sa kanila kung kinakailangan.

Ang isang set na naglalaman ng isang may hangganan na bilang ng mga elemento ay tinatawag may hangganan na hanay. Kung ang isang set ay naglalaman ng isang walang katapusang bilang ng mga elemento, ito ay tinatawag walang katapusan.

Halimbawa, ang hanay sa itaas na $A=\(0, 5, 6, -9 \)$ ay isang finite set, dahil naglalaman ito ng 4 na elemento (ibig sabihin, isang may hangganang bilang ng mga elemento). Ang hanay ng mga natural na numero na $N$ ay walang hanggan. Sa pangkalahatan, hindi natin palaging masasabi kaagad nang may katiyakan kung ang isang tiyak na hanay ay walang katapusan o hindi. Halimbawa, hayaang $F$ ang set mga pangunahing numero.

Ano ang prime number: Ipakita itago

Ang mga pangunahing numero ay ang mga natural na numerong higit sa 1 na nahahati lamang ng 1 o ng kanilang sarili. Halimbawa, 2, 3, 5, 7 at iba pa. Para sa paghahambing: ang numero 12 ay hindi isang pangunahing numero, dahil ito ay nahahati hindi lamang ng 12 at 1, kundi pati na rin ng iba pang mga numero (halimbawa, 3). Ang numero 12 ay pinagsama-sama.

Ang tanong ay lumitaw: ang set ba ng $F$ ay walang katapusan o hindi? Mayroon bang pinakamalaking prime number? Upang masagot ang tanong na ito, kinailangan ng isang buong teorama, na napatunayan ni Euclid, na ang hanay ng mga prime number ay walang katapusan.

Sa ilalim kapangyarihan ng set para sa mga may hangganan na set, ang bilang ng mga elemento ng isang naibigay na set ay nauunawaan. Ang cardinality ng set na $A$ ay tinutukoy ng $|A|$.

Halimbawa, dahil ang finite set $A=\(0, 5, 6, -9 \)$ ay naglalaman ng 4 na elemento, kung gayon ang cardinality ng set na $A$ ay 4, i.e. $|A|=4$.

Kung alam namin na ang isang partikular na bagay na $a$ ay kabilang sa set na $A$, pagkatapos ay isusulat namin ito nang ganito: $a\in A$. Halimbawa, para sa hanay sa itaas $A$ maaari naming isulat na $5\sa A$, $-9\sa A$. Kung ang bagay na $a$ ay hindi kabilang sa set na $A$, kung gayon ito ay tinutukoy bilang mga sumusunod: $a\notin A$. Halimbawa, $19\notin A$. Sa pamamagitan ng paraan, ang iba pang mga hanay ay maaaring mga elemento ng mga hanay, halimbawa:

$$ M=\(-9,1,0, \( a, g\), \varnothing \) $$

Ang mga elemento ng set na $M$ ay ang mga numero -9, 1, 0, gayundin ang set na $\( a,\; g\)$ at ang empty set na $\varnothing$. Sa pangkalahatan, upang gawing simple ang pang-unawa, ang isang set ay maaaring katawanin bilang isang portfolio. Ang isang walang laman na set ay isang walang laman na portpolyo. Ang pagkakatulad na ito ay magiging kapaki-pakinabang sa ibang pagkakataon.

Subset. Universal set. Pagkakapantay-pantay ng mga hanay. Boolean.

Tinatawag ang set na $A$ subset itakda ang $B$ kung ang lahat ng elemento ng set $A$ ay mga elemento din ng set na $B$. Pagtatalaga: $A\subseteq B$.

Halimbawa, isaalang-alang ang mga set na $K=\( -9,5\)$ at $T=\(8,-9,0,5,p, -11\)$. Ang bawat elemento ng set na $K$ (ibig sabihin -9 at 5) ay isa ring elemento ng set na $T$. Dahil dito, ang set na $K$ ay isang subset ng set na $T$, i.e. $K\subseteq T$.

Dahil ang lahat ng elemento ng anumang set na $A$ ay kabilang sa set na $A$ mismo, kung gayon ang set na $A$ ay isang subset ng set na $A$ mismo. Ang walang laman na hanay na $\varnothing$ ay isang subset ng anumang hanay. Yung. para sa isang arbitrary set $A$ ang sumusunod ay totoo:

$$A\subseteq A; \; \varnothing\subseteq A.$$

Ipakilala natin ang isa pang kahulugan - isang unibersal na hanay.

Pangkalahatang hanay(uniberso) Ang $U$ ay may ari-arian na ang lahat ng iba pang set na isinasaalang-alang sa problemang ito ay ang mga subset nito.

Sa madaling salita, ang uniberso ay naglalaman ng mga elemento ng lahat ng set na isinasaalang-alang sa loob ng balangkas ng isang tiyak na problema. Halimbawa, isaalang-alang ang sumusunod na problema: isang survey ng mga mag-aaral mula sa isang partikular na akademikong grupo ay isinasagawa. Ang bawat mag-aaral ay hinihiling na ipahiwatig mga mobile operator RF, na ang mga SIM card ay ginagamit niya. Ang data mula sa survey na ito ay maaaring katawanin bilang mga set. Halimbawa, kung ang estudyanteng si Vasily ay gumagamit ng mga SIM card mula sa MTS at Life, maaari mong isulat ang sumusunod:

$$ Vasilij=\(MTC, Buhay \) $$

Ang mga katulad na set ay maaaring i-compile para sa bawat mag-aaral. Ang uniberso sa modelong ito ay magiging isang set kung saan nakalista ang lahat ng mga operator ng Russia. Sa prinsipyo, bilang isang uniberso maaari din tayong kumuha ng isang set na naglilista ng lahat ng mga operator ng CIS, pati na rin ang hanay ng lahat ng mga mobile operator sa mundo. At hindi ito magiging kontradiksyon, dahil ang anumang operator sa Russia ay kasama sa maraming mga operator ng parehong CIS at sa buong mundo. Kaya, ang uniberso ay tinukoy lamang sa loob ng balangkas ng isang tiyak na problema, at madalas na posible na isaalang-alang ang ilang mga unibersal na hanay.

Tinatawag ang mga set na $A$ at $B$ pantay, kung binubuo sila ng parehong mga elemento. Sa madaling salita, kung ang bawat elemento ng set na $A$ ay isa ring elemento ng set na $B$, at ang bawat elemento ng set na $B$ ay isa ring elemento ng set na $A$, kung gayon ang $A=B$ .

Ang kahulugan ng pagkakapantay-pantay ng mga set ay maaari ding isulat sa ibang paraan: kung $A\subseteq B$ at $B\subseteq A$, pagkatapos ay $A=B$.

Isaalang-alang ang isang pares ng mga set: ang una ay magiging $\(\Delta, k \)$, at ang pangalawa ay magiging $\(k, \Delta\)$. Ang bawat elemento ng unang set (ibig sabihin $\Delta$ at $k$) ay isa ring elemento ng pangalawang set. Ang bawat elemento ng pangalawang set (ibig sabihin $k$ at $\Delta$) ay isa ring elemento ng pangalawang set. Konklusyon: $\(\Delta, k \)=\(k, \Delta\)$. Tulad ng nakikita mo, ang pagkakasunud-sunod kung saan ang mga elemento ay nakasulat sa isang set ay hindi mahalaga.

Isaalang-alang natin ang ilang higit pang set: $X=\(k, \Delta, k, k,k \)$ at $Y=\(\Delta, k \)$. Ang bawat elemento ng set na $X$ ay isa ring elemento ng set na $Y$; bawat elemento ng set na $Y$ ay isa ring elemento ng set na $X$. Samakatuwid, $\(k, \Delta, k, k, k \)=\(\Delta, k \)$. Isinasaalang-alang ang gayong mga pagkakapantay-pantay, sa set theory ay kaugalian na hindi ulitin ang parehong mga elemento nang dalawang beses sa notasyon. Halimbawa, ang hanay ng mga digit ng numerong 1111111555559999 ay magiging: $\(1,5,9\)$. Mayroong, siyempre, mga pagbubukod: ang tinatawag na mga multiset. Sa notasyon ng mga multiset, ang mga elemento ay maaaring ulitin, ngunit sa teoryang klasikal ang mga hanay ng mga pag-uulit ng mga elemento ay hindi pinapayagan.

Gamit ang konsepto ng pagkakapantay-pantay ng mga hanay, maaaring mauri ang mga subset.

Kung $A\subseteq B$, at $A\neq B$, kung gayon ang set na $A$ ay tinatawag sariling (mahigpit) na subset nagtatakda ng $B$. Sinasabi rin na ang set na $A$ ay mahigpit na kasama sa set na $B$. Isulat ito nang ganito: $A \subset B$.

Kung ang isang partikular na subset ng set na $A$ ay nag-tutugma sa set na $A$ mismo, ang subset na ito ay tinatawag na hindi sa iyo. Sa madaling salita, ang set na $A$ ay isang hindi tamang subset ng set na $A$ mismo.

Halimbawa, para sa mga set na $K=\( -9.5\)$ at $T=\(8,-9,0.5,p, -11\)$ na isinasaalang-alang sa itaas, mayroon kaming: $K\subseteq T$, na may itong $K\neq T$. Samakatuwid, ang set na $K$ ay isang wastong subset ng set na $T$, na isinulat bilang $K\subset T$. Masasabi rin natin ito: ang set na $K$ ay mahigpit na kasama sa set na $T$. Ang notasyong $K\subset T$ ay mas tiyak kaysa sa $K\subseteq T$. Ang punto ay sa pamamagitan ng pagsulat ng $K\subset T$ ginagarantiya namin na ang $K\neq T$. Habang ang notasyong $K\subseteq T$ ay hindi ibinubukod ang kaso ng pagkakapantay-pantay na $K=T$.

Tandaan sa terminolohiya: Ipakita itago

Sa pangkalahatan, mayroong ilang pagkalito sa terminolohiya. Ang kahulugan sa itaas ng mga hindi tamang hanay ay tinatanggap sa American at bahagi panitikang Ruso. Gayunpaman, sa isa pang bahagi ng panitikang Ruso mayroong isang bahagyang naiibang interpretasyon ng konsepto ng hindi tamang mga hanay.

Kung $A\subseteq B$, at $A\neq B$ at $A\neq \varnothing$, kung gayon ang hanay na $A$ ay tinatawag na wastong (mahigpit) na subset ng hanay na $B$. Sinasabi rin na ang set na $A$ ay mahigpit na kasama sa set na $B$. Isulat ito nang ganito: $A \subset B$. Ang mga set na $B$ at $\varnothing$ ay tinatawag na mga hindi tamang subset ng set na $B$.

Sa madaling salita, ang walang laman na hanay sa interpretasyong ito ay hindi kasama sa mga wastong subset at nagiging hindi wasto. Ang pagpili ng terminolohiya ay isang bagay ng panlasa.

Ang set ng lahat ng subset ng isang partikular na set na $A$ ay tinatawag Boolean o degree nagtatakda ng $A$. Ang Boolean ay tinutukoy bilang $P(A)$ o $2^A$.

Hayaan ang set na $A$ na maglaman ng $n$ na mga elemento. Ang Boolean ng set na $A$ ay naglalaman ng $2^n$ na mga elemento, i.e.

$$\kaliwa| P(A) \right|=2^(n),\;\; n=|A|. $$

Tingnan natin ang ilang halimbawa ng paggamit ng mga konseptong ipinakilala sa itaas.

Halimbawa Blg. 1

Mula sa listahang ibinigay, piliin ang mga pahayag na iyon na totoo. Magbigay ng mga dahilan para sa iyong sagot.

1. $\(-3.5, 9\)\subseteq \(-3, 9, 8, 5, 4, 6\) $;
2. $\(-3.5, 9\)\subset \(-3, 9, 8, 5, 4, 6\) $;
3. $\(-3.5, 9\)\in \(-3, 9, 8, 5, 4, 6\) $;
4. $\varnothing \subseteq \varnothing$;
5. $\varnothing=\(\varnothing \)$;
6. $\varnothing \in \varnothing$;
7. $A=\(9, -5, 8 \(7, 6 \) \);\; |A|=$5.

1. Bibigyan kami ng dalawang set: $\(-3.5, 9 \)$ at $\(-3, 9, 8, 5, 4, 6 \)$. Ang bawat elemento ng unang set ay isa ring elemento ng pangalawang set. Dahil dito, ang unang set ay isang subset ng pangalawa, i.e. $\(-3.5, 9\)\subseteq \(-3, 9, 8, 5, 4, 6\)$. Ang pahayag ng unang punto ay tama.
2. Sa unang punto, nalaman namin na $\(-3.5, 9\)\subseteq \(-3, 9, 8, 5, 4, 6\)$. Bukod dito, ang mga set na ito ay hindi pantay sa bawat isa, i.e. $\(-3.5, 9\)\neq \(-3, 9, 8, 5, 4, 6\)$. Nangangahulugan ito na ang set na $\(-3,5, 9 \)$ ay isang wastong (sa ibang terminolohiyang mahigpit) na subset ng set na $\(-3, 9, 8, 5, 4, 6 \)$. Ang katotohanang ito ay isinulat bilang $\(-3.5, 9\)\subset \(-3, 9, 8, 5, 4, 6\)$. Kaya, ang pahayag ng pangalawang punto ay totoo.
3. Ang set na $\(-3,5, 9 \)$ ay hindi elemento ng set na $\(-3, 9, 8, 5, 4, 6 \)$. Mali ang ikatlong punto. Para sa paghahambing, ang pahayag na $\(-3.5, 9\)\in \(9, 8, 5, 4, \(-3,5,9\), 6\)$ ay totoo.
4. Ang walang laman na hanay ay isang subset ng anumang hanay. Samakatuwid ang pahayag na $\varnothing \subseteq \varnothing$ ay totoo.
5. Mali ang pahayag. Ang set na $\varnothing$ ay walang mga elemento, ngunit ang set na $\(\varnothing \)$ ay naglalaman ng isang elemento, kaya ang equality $\varnothing=\(\varnothing \)$ ay mali. Upang gawing mas malinaw ito, maaari kang sumangguni sa pagkakatulad na inilarawan ko sa itaas. Ang isang set ay isang portfolio. Ang walang laman na hanay na $\varnothing$ ay isang walang laman na portfolio. Ang set na $\(\varnothing \)$ ay isang portfolio na naglalaman ng walang laman na portfolio. Naturally, magkaibang briefcase ang isang walang laman na portpolyo at isang walang laman na portpolyo na may nasa loob :)
6. Ang walang laman na set ay walang mga elemento. Wala kahit isa. Samakatuwid ang pahayag na $\varnothing \in \varnothing$ ay mali. Sa paghahambing, ang pahayag na $\varnothing\in\(\varnothing \)$ ay totoo.
7. Ang set na $A$ ay naglalaman ng 4 na elemento, katulad ng: 9, -5, 8 at $\(7, 6\)$. Samakatuwid, ang cardinality ng set $A$ ay 4, i.e. $|A|=4$. Samakatuwid, ang pahayag na $|A|=5$ ay mali.

Sagot: Ang mga pahayag sa mga talata No. 1, No. 2, No. 4 ay totoo.

Halimbawa Blg. 2

Isulat ang Boolean set $A=\(-5,10,9\)$.

Ang set na $A$ ay naglalaman ng 3 elemento. Sa madaling salita: ang cardinality ng set na $A$ ay 3, $|A|=3$. Dahil dito, ang hanay na $A$ ay mayroong $2^3=8$ na mga subset, ibig sabihin. ang Boolean ng set na $A$ ay bubuo ng walong elemento. Ilista natin ang lahat ng subset ng set na $A$. Ipaalala ko sa iyo na ang walang laman na hanay na $\varnothing$ ay isang subset ng anumang hanay. Kaya ang mga subset ay:

$$ \varnothing, \(-5\), \( 10\), \( 9\), \(-5,10\), \(-5, 9\), \(-10, 9\) , \(-5, 10, 9 \) $$

Ipaalala ko sa iyo na ang subset na $\(-5, 10, 9 \)$ ay hindi wasto, dahil ito ay kasabay ng set na $A$. Ang lahat ng iba pang mga subset ay sa kanila. Ang lahat ng mga subset na nakasulat sa itaas ay mga elemento ng Boolean set na $A$. Kaya:

$$ P(A)=\kaliwa\(\varnothing, \(-5\), \( 10\), \( 9\), \(-5,10\), \(-5, 9\) , \(-10, 9\), \(-5, 10, 9\) \right\) $$

Ang Boolean ay natagpuan, ang natitira na lamang ay isulat ang sagot.

Sagot: $P(A)=\left\(\varnothing, \(-5\), \( 10\), \( 9\), \(-5,10\), \(-5, 9\) , \(-10, 9\), \(-5, 10, 9\) \right\)$.

Mga pamamaraan para sa pagtukoy ng mga set.

Unang paraan ay isang simpleng enumeration ng mga elemento ng isang set. Naturally, ang pamamaraang ito ay angkop lamang para sa mga may hangganan na hanay. Halimbawa, ang paggamit ang pamamaraang ito ang set ng unang tatlong natural na numero ay isusulat tulad ng sumusunod:

$$ \{1,2,3\} $$

Kadalasan sa panitikan ay mahahanap mo ang mga notasyong ganito: $T=\(0,2,4,6,8, 10, \ldots \)$. Dito ang set ay hindi tinukoy sa pamamagitan ng paglilista ng mga elemento, na tila sa unang tingin. Ilista ang lahat kahit na di-negatibong mga numero, na bumubuo sa set na $T$, ay imposible, dahil walang katapusan ang marami sa mga numerong ito. Ang notasyon ng form na $T=\(0,2,4,6,8, 10, \ldots \)$ ay pinapayagan lamang kung hindi ito magdulot ng mga pagkakaiba.

Pangalawang paraan- tukuyin ang isang set gamit ang tinatawag na katangian na kondisyon (characteristic predicate) $P(x)$. Sa kasong ito, ang set ay nakasulat tulad ng sumusunod:

$$\(x| P(x)\)$$

Ang notasyong $\(x| P(x)\)$ ay ganito ang mababasa: "ang set ng lahat ng elemento ng $x$ kung saan ang pahayag na $P(x)$ ay totoo." Kung ano ang eksaktong ibig sabihin ng pariralang "kondisyong katangian" ay mas madaling ipaliwanag gamit ang isang halimbawa. Isaalang-alang ang pahayag na ito:

$$P(x)="x\; - \;natural\; numero,\; huling\; digit\; kung saan \;katumbas\; 7"$$

Palitan natin ang numerong 27 sa halip na $x$ sa pahayag na ito. Nakukuha natin ang:

$$P(27)="27\; - \;natural\; numero,\; huling\; digit\; kung saan \;katumbas\; 7"$$

Ito ay isang tunay na pahayag, dahil ang 27 ay talagang isang natural na numero, ang huling digit nito ay 7. Ipalit natin ang numerong $\frac(2)(5)$ sa pahayag na ito:

$$P\left(\frac(2)(5)\right)="\frac(2)(5)\; - \;natural\; number,\; the last\; digit\; which \;equals \ ; 7"$$

Mali ang pahayag na ito dahil ang $\frac(2)(5)$ ay hindi natural na numero. Kaya, para sa ilang mga bagay na $x$ ang pahayag na $P(x)$ ay maaaring mali, para sa ilan ay maaaring totoo (at para sa ilan ay hindi ito tinukoy sa lahat). Magiging interesado lamang kami sa mga bagay na iyon kung saan totoo ang pahayag na $P(x)$. Ang mga bagay na ito ang bumubuo sa set na tinukoy gamit ang katangiang kondisyon $P(x)$ (tingnan ang halimbawa No. 3).

Pangatlong paraan- tukuyin ang isang set gamit ang tinatawag na proseso ng pagbuo. Ang proseso ng pagbuo ay naglalarawan kung paano kumuha ng mga elemento ng isang set mula sa mga kilalang elemento o ilang iba pang mga bagay (tingnan ang halimbawa No. 4).

Halimbawa Blg. 3

Isulat ang set na $A=\(x| x\in Z \wedge x^2< 10\}$ перечислением элементов.

Ang set na $A$ ay tinukoy gamit ang katangiang kundisyon. Ang katangiang kondisyon sa kasong ito ay ipinahayag sa pamamagitan ng pagsulat ng “$x\in Z \wedge x^2< 10$" (знак "$\wedge$" означает "и"). Расшифровывается эта запись так: "$x$ - целое число, и $x^2 < 10$". Иными словами, в множество $A$ должны входить лишь целые числа, квадрат которых меньше 10. Таких чисел всего 7, т.е.

$$ A=\(0,-1,1,-2,2,-3,3\) $$

Ang set na $A$ ay tinukoy na ngayon gamit ang isang enumeration ng mga elemento.

Sagot: $A=\(0,-1,1,-2,2,-3,3\)$.

Halimbawa Blg. 4

Ilarawan ang mga elemento ng hanay na $M$, na tinukoy ng sumusunod na proseso ng pagbuo:

1. $3\sa M$;
2. Kung ang elemento ay $x\sa M$, pagkatapos ay $3x\sa M$.
3. Ang hanay na $M$ ay isang subset ng anumang hanay na $A$ na nakakatugon sa mga kondisyon No. 1 at No. 2.

Iwanan muna natin ang kundisyon No. 3 sa ngayon at tingnan kung anong mga elemento ang kasama sa set na $M$. Ang numero 3 ay kasama doon ayon sa unang punto. Dahil $3\in M$, pagkatapos ay ayon sa point No. 2 mayroon kami: $3\cdot 3\in M$, i.e. $9\sa M$. Dahil $9\sa M$, pagkatapos ay ayon sa punto No. 2 ay nakukuha namin: $3\cdot 9\sa M$, ibig sabihin. $27\sa M$. Dahil $27\sa M$, pagkatapos ay sa parehong punto No. 2 mayroon kaming: $81\sa M$. Sa madaling salita, ang itinayong set ng 3, 9, 27, 81 at iba pa ay natural na grado mga numero 3.

$$3^1=1; \; 3^2=9; \; 3^3=27; \; 3^4=81;\; \ldots$$

Kaya, tila ang kinakailangang hanay ay ibinigay. At ganito ang hitsura: $\(3,9,27,81,\ldots \)$. Gayunpaman, ang mga kundisyon No. 1 at No. 2 ba ay talagang tumutukoy sa set na ito?

Isaalang-alang natin ang hanay ng lahat ng natural na numero, i.e. $N$. Ang numero 3 ay isang natural na numero, samakatuwid ay $3\sa N$. Konklusyon: ang set na $N$ ay nakakatugon sa punto No. 1. Dagdag pa, para sa anumang natural na numerong $x$, ang set na $N$ ay naglalaman din ng numerong $3x$. Halimbawa, 5 at 15, 7 at 21, 13 at 39 at iba pa. Nangangahulugan ito na ang hanay na $N$ ay nakakatugon sa kondisyon No. 2. At, sa pamamagitan ng paraan, hindi lamang ang set na $N$ ay nakakatugon sa mga kondisyon No. 1 at No. 2. Halimbawa, ang hanay ng lahat ng kakaibang natural na numero na $N_1=\(1,3,5,7,9,11, \ldots\)$ ay umaangkop din sa mga kondisyon ng mga puntos No. 1 at No. 2. Paano natin masasabi na kailangan natin nang eksakto ang set na $\(3,9,27,81,\ldots \)$?

Maraming tao. Itakda ang mga Operasyon

Mga pamamaraan para sa pagtukoy ng isang set

Pagsasama at pagkakapantay-pantay ng mga hanay

Mga diagram ng Euler-Venn

Itakda ang mga Operasyon

a) Unyon ng mga hanay

b) Intersection ng mga set

c) Itakda ang pagkakaiba

Itakda ang pandagdag

Ang konsepto ng set ay isa sa mga pangunahing, hindi natukoy na mga konsepto ng matematika. Hindi ito maaaring bawasan sa iba, mas simpleng mga konsepto. Samakatuwid, hindi ito maaaring tukuyin, ngunit maaari lamang ipaliwanag sa pamamagitan ng pagtukoy ng mga kasingkahulugan para sa salitang "set" at pagbibigay ng mga halimbawa ng mga set: ang set ay isang set, isang set, isang koleksyon ng anumang mga bagay (elemento) na may katangian na karaniwang katangian. sa kanilang lahat.

Mga halimbawa ng set:

1) maraming mga mag-aaral sa madlang ito;

2) maraming tao na naninirahan sa ating planeta sa isang takdang sandali;

3) isang hanay ng mga punto ng isang ibinigay na geometric figure;

4) hanay ng kahit na mga numero;

5) ang hanay ng mga ugat ng equation x 2 -5x+6=0;

6) ang hanay ng mga tunay na ugat ng equation x 2 +9=0;

Ang tagapagtatag ng set theory, ang German mathematician na si Georg Cantor (1845-1918), ay sumulat: “Ang set ay maraming bagay na iniisip natin bilang isa.” At kahit na ang pahayag na ito ng siyentipiko ay hindi sa buong kahulugan ng isang lohikal na kahulugan ng konsepto ng isang set, ito ay tama na nagpapaliwanag na kapag pinag-uusapan nila ang tungkol sa isang set, ang ibig nilang sabihin ay isang tiyak na koleksyon ng mga bagay, at ang koleksyon na ito mismo ay itinuturing bilang isang solong kabuuan, bilang isang (bagong) bagay.

Ang mga bagay na bumubuo sa isang ibinigay na set ay tinatawag na mga elemento nito.

Karaniwang isinasaad ang isang set sa malalaking letrang Latin, at ang mga elemento ng set ay karaniwang isinasaad sa maliliit na letrang Latin. Kung ang elementong a ay kabilang sa set A, pagkatapos ay isulat ang: a

Halimbawa, hayaan ang N ang set ng mga natural na numero. Tapos 5

Sa matematika, ang tinatawag na mga set ng numero ay madalas na pinag-aaralan, i.e. set na ang mga elemento ay mga numero. Para sa pinakapangunahing mga hanay ng numero, ang mga sumusunod na notasyon ay naitatag:

Ang N ay ang set ng lahat ng natural na numero;

Ang Z ay ang set ng lahat ng integer;

Ang Q ay ang hanay ng lahat ng mga rational na numero;

Ang R ay ang set ng lahat ng tunay na numero.

Ang mga notasyong Z + , Q + , R + ay tinatanggap din, ayon sa pagkakabanggit, para sa mga hanay ng lahat ng di-negatibong integer, rasyonal at tunay na mga numero, at Z Ї , Q Ї , R Ї - para sa mga hanay ng lahat ng negatibong integer, rational at totoong mga numero.

Mga pamamaraan para sa pagtukoy ng isang set

Ang isang set A ay itinuturing na ibinigay kung, may kinalaman sa anumang bagay a, posibleng matukoy kung ang bagay na ito ay kabilang sa set A o hindi kabilang; sa madaling salita, kung posibleng matukoy kung ang a ay miyembro ng set A o hindi. Mayroong dalawang pangunahing paraan upang tukuyin ang isang set:

1) listahan ng mga elemento ng set;

2) indikasyon ng katangian ng pag-aari ng mga elemento ng set, i.e. tulad ng isang ari-arian na taglay ng lahat ng mga elemento ng isang naibigay na set at sila lamang.

Ang unang paraan ay kadalasang ginagamit upang tukuyin ang mga may hangganan na hanay. Halimbawa, ang hanay ng mga mag-aaral sa isang grupo ng pag-aaral ay ibinibigay ng kanilang listahan. Ang isang set na binubuo ng mga elemento a, b, c, …, d ay tinutukoy gamit ang mga kulot na braces: A = (a; b; c; …; d) . Ang hanay ng mga ugat ng equation na x 2 -5x+6=0 ay binubuo ng dalawang numero 2 at 3: A=(2; 3). Itakda ang B ng mga integer na solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay -2< х < 3 состоит из чисел –1, 0, 1, 2, поэтому В={–1; 0; 1; 2}.

Ang pangalawang paraan ng pagtukoy ng isang set ay mas pangkalahatan. Ang hanay ng mga elementong x na may ibinigay na katangiang katangian P(x) ay isinusulat din gamit ang mga kulot na brace: X = (x | P (x)), at basahin: ang set X ay binubuo ng mga elemento x na ang katangiang P(x) ) ay nasiyahan. Halimbawa, A=(x | x 2 -5x+6=0). Ang pagkakaroon ng solusyon sa equation x 2 -5x+6=0, maaari nating isulat ang set A sa unang paraan: A=(2; 3).

Isa pang halimbawa: X=(x | -1 ≤ x< 4, х

Isaalang-alang natin ang sumusunod na halimbawa: F=(f | │fґ(x)│≤ 1 , 1< x < 2}, т.е. F- множество функций f, производная которых в интервале (1; 2) не превосходит по абсолютной величине числа 1.

Maaaring mangyari na walang bagay ang may katangiang katangian na tumutukoy sa set A. Pagkatapos ay sinasabi nila na ang set A ay walang laman (hindi naglalaman ng isang solong elemento) at isulat: A = Ш.

Halimbawa, A=(x | xI+9=0, x

Pagsasama at pagkakapantay-pantay ng mga hanay

Hayaang ang X at Y ay dalawang set. Kung ang bawat elemento x ng set X ay isang elemento ng set Y, pagkatapos ay sinasabi nila na ang set X ay nakapaloob sa set Y at isulat ang: X

Kung para sa dalawang set X at Y mayroong magkasabay na dalawang inklusyon X

Mga diagram ng Euler-Venn

Ang mga diagram ng Euler-Venn ay ginagamit upang biswal na kumatawan sa mga hanay. Sa kasong ito, ang mga set ay tinutukoy ng mga rehiyon sa isang eroplano, at ang mga elemento ng hanay ay karaniwang matatagpuan sa loob ng mga rehiyong ito. Kadalasan, ang lahat ng mga set sa isang diagram ay inilalagay sa loob ng isang parihaba, na kumakatawan sa unibersal na hanay na U. Kung ang isang elemento ay kabilang sa higit sa isang hanay, kung gayon ang mga rehiyon na nauugnay sa naturang mga hanay ay dapat na magkakapatong upang ang isang karaniwang elemento ay maaaring sabay na nasa kaukulang mga rehiyon. Ang pagpili ng hugis ng mga lugar na kumakatawan sa mga set sa mga diagram ay maaaring maging arbitrary (mga bilog, interior ng mga ellipse, polygon, atbp.). Ipakita natin, halimbawa, gamit ang Euler-Venn diagram na ang set A ay isang subset ng set B.

Pagkatapos nating matutunan kung paano bumuo at makilala ang mga set, maaari na nating simulan ang pagtukoy ng iba pang mga operasyon sa mga ito.

Naturally, ang dalawang hanay ay maaaring magkaroon ng magkatulad na mga elemento (maaari silang paghiwalayin sa isang hiwalay na hanay), isang bagong hanay ay maaaring gawin mula sa lahat ng mga elemento ng dalawang hanay, at ang mga elemento ng isang hanay na wala sa pangalawang hanay ay maaari ding isaalang-alang nang hiwalay. .

Halimbawa, ang A ay ang hanay ng mga sticker (mga selyo) na mayroon si Petya, ang B ay ang hanay ng mga sticker na nakolekta ni Vasya. Mayroong maraming mga sticker na parehong guys ay may; isang koleksyon ng iba't ibang mga sticker na pinagsama-sama nila; Maraming mga sticker ni Petya na wala si Vasya.

Kaya ginawa namin ang mga operasyon mga intersection, unyon At pagkakaiba dalawang parte.

Def.2.3.1. Sa pagtawid set A at B ay tinatawag na set C, na binubuo ng lahat ng mga at tanging mga elementong kabilang sa bawat isa sa mga set na ito: C = (x | xОА at xОB). Tinutukoy ng A∩B.

Mga halimbawa. 1) Hayaan A= {1; 2; 3}, B= {2; 3; 4; 5}, D= (10; 11), pagkatapos A∩ B= {2; 3}, A∩ D= Æ.

2)A= {2n: nÎ N) - isang hanay ng mga numero na nahahati sa 2, B= {3n: nО N) ay ang hanay ng mga numero na nahahati sa 3, pagkatapos A∩ B= {6n| nÎ N) ay ang hanay ng mga numero na nahahati sa 6.

3) A- segment ng linya, SA- segment, pagkatapos A∩ B- segment ng linya.

4) Ang isang mag-aaral na nakapasa sa lahat ng pagsusulit na may mahusay na mga marka ay tumatanggap ng mas mataas na scholarship. Ang session ay binubuo ng apat na pagsusulit. Hayaan Аi– maraming estudyanteng nakapasa i-ang pagsusulit "mahusay" ( i= 1, 2, 3,4), pagkatapos:

I – maraming mga mag-aaral na tumatanggap ng mas mataas na scholarship.

Def. 2.3.2. Samahan set A at B ay tinatawag na set C, na binubuo ng lahat ng elemento ng mga set na ito A at B at tanging sa mga ito: C = (x |xОА o xОB). Ito ay itinalagang A UВ.

Mga halimbawa. 1) A= {1; 2; 3}, B= (2; 3; 4; 5), pagkatapos C= A U B== {1; 2; 3; 4; 5}.

2) A= (–∞, 2], B= (1, +∞), pagkatapos C= A U B= R.

3) A= , SA= , pagkatapos A U B= .

3) Kung A– maraming mag-aaral na hindi nakapasa sa unang pagsusulit, SA- pangalawa, pagkatapos A U SA– maraming estudyante ang nabaon sa utang pagkatapos ng dalawang pagsusulit (posibleng may hindi nakapasa sa parehong pagsusulit).

Def.2.3.3. Sa pamamagitan ng pagkakaiba set A at B ay tinatawag na set C, na binubuo ng lahat ng elemento ng set A na hindi kabilang sa set B: C = (x | x Î A at x Ï B). Tinutukoy ng A\B.

Mga halimbawa 1) A= {1; 2; 3}, B= (2; 3; 4; 5), pagkatapos ay A\B=(1), B\A=(4, 5).

2) R\ Q– isang hanay ng mga hindi makatwirang numero.

3) Q\ R= Æ.

Def.2.3.4. Pagkakaiba ng simetriko set A at B ay tinatawag na set C, na binubuo ng lahat ng elemento ng set A na hindi kabilang sa set B at lahat ng elemento ng set B na hindi kabilang sa set A: C = (x | (x Î A at x Ï B) o (x Î B at x Ï A) ). Tinutukoy ng A∆B.

Halimbawa.А=(1,2,3,4,5), В=(4,5,6,7), А∆В= (1,2,3,6,7)

Sa bawat indibidwal na kaso, isinasaalang-alang namin ang lahat ng posibleng subset ng parehong set. Halimbawa, sa mababang Paaralan ang mga bata ay natututong magtrabaho (magsagawa ng mga pangunahing operasyon sa aritmetika) muna gamit ang mga numero mula sa unang sampung natural na numero, pagkatapos ay mula sa unang daan, atbp. Ngunit ang kanilang mga aksyon ay hindi lalampas sa mga natural na numero (sasaklawin nila ang mga negatibo at fractional na numero sa ibang pagkakataon). Katulad nito, ang isang guro ay maaaring makipagtulungan sa ilang partikular na grupo ng mga mag-aaral na magiging mga subset ng isang partikular na hanay ng mga mag-aaral na tinuturuan ng isang partikular na guro. Ang bawat tao ay nagsusuot ng iba't ibang kumbinasyon ng mga bagay, ngunit mula lamang sa kanyang personal na wardrobe. Ang pangunahing set na ito (sa kanya sa bawat indibidwal na kaso) ay tinatawag unibersal marami.

Def.2.3.5. Pangkalahatang hanay ay isang set na ang mga subset (at sila lang) ang kasalukuyang isinasaalang-alang. Itinalaga ni E (o U sa iba't ibang panitikan).

Kapag nagtatrabaho sa mga numerical set, maliban kung ang mga karagdagang tagubilin ay ibinigay, isasaalang-alang namin ang set R ng mga tunay na numero bilang pangunahing (unibersal) na set.

Def.2.3.6. Supplement ng set A ay tinatawag na pagkakaiba E \A. Ito ay itinalagang A’ o at binasang “hindi-A”. Kung hindi, ang pandagdag ng isang set A ay ang set A', na binubuo ng lahat ng mga elemento na hindi kabilang sa set A.

Mga halimbawa. 1) E =( maraming estudyante sa grupo), A =( set ng mga mag-aaral na nakapasa sa unang pagsusulit), pagkatapos ay A' ={ maraming mag-aaral na hindi nakapasa sa unang pagsusulit).

2) E = (mga titik ng alpabetong Ruso), A = (maraming patinig), pagkatapos

A’=(maraming katinig at letrang ь at ъ).

3) Hayaan E- maraming kawani ng paaralan, A– maraming empleyado na higit sa 30 taong gulang, B– maraming empleyadong lalaki, C– maraming mga empleyado na sumasakop sa mga posisyon ng kawani ng suporta.

Pagkatapos SA’ - maraming mga kababaihan; А'ÇВÇC – maraming lalaki na sumasakop sa mga posisyon ng suporta ay wala pang 30 taong gulang; AÈ( SAÇ SA’) – maraming empleyado na higit sa 30 taong gulang o mga lalaki na hindi humahawak ng mga posisyon ng kawani ng suporta; B\C– maraming lalaki na hindi support staff; C\B– maraming support staff ang mga babae.

4) Mga ibinigay na set A=(2, 3, 5, 8, 13, 15), B=(1, 3, 4, 8, 16), C=(12, 13, 15, 16), D=(0 , 1, 20). Hanapin ang АУВ, СUD, В∩С, А∩D, А\С, D\В, АУВУС, А∩В∩С, ВUD∩С, А∩С\D.

Solusyon: Gagamitin namin ang mga kahulugan ng kaukulang mga operasyon at isasaalang-alang na una ang operasyon ng intersection ng mga set ay dapat isagawa, at pagkatapos ay ang unyon o pagkakaiba.

Nakukuha namin ang АУВ = (1, 2, 3, 4, 5, 8, 13, 15, 16);

СUD=(0, 1, 12, 13, 15, 16, 20);

A\C=(2, 3, 5, 8);

АУВУС=(1, 2, 3.4, 5, 8, 12, 13, 15, 16);

A∩B∩C=Æ;

ВUD∩С=(1, 3, 4, 8, 16);

A∩C\D=(13, 15).

5) Hayaan ang E=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9), A=(1, 2, 3, 5), B=(2, 4, 6, 8), C =(1, 3, 5, 7), D=(4, 5, 7, 8). Ipahayag ang mga sumusunod na set sa pamamagitan ng ibinigay na set A, B, C, D: 1) K=(1,2,3,4,5,7,8), 2) L=(4, 7,8), 3) F= (2, 5), 4) G=(5, 7, 9).

Solusyon: 1) K=(1,2,3,4,5,7,8)=AUD.

2) L=(4, 7,8)=D\A.

b) A\(C\D)=(2, 5).

b) AUB=(1, 2, 3, 4, 5, 6, 8),

c) (AUB)’=(7, 9),

d) (A∩D)U((AUB)’)=(5, 7, 9).

Mga katangian ng mga operasyon sa mga set:

Talahanayan 2.3.1.

§ 2.4. Euler-Venn diagram, mga talahanayan ng paglitaw ng mga elemento, coordinate plane.

Para sa isang visual na representasyon ( graphic na larawan) set at ang mga resulta ng mga operasyon sa kanila, ito ay maginhawa upang gamitin ang tinatawag na Euler-Venn diagram (Euler circles).

Sa kasong ito, ang mga hanay ay inilalarawan sa eroplano sa anyo ng mga saradong bilog, at ang unibersal na hanay sa anyo ng isang rektanggulo. Ang mga elemento ng isang set ay mga punto sa loob ng kaukulang bilog.

Talahanayan 2.4.1.

AB Association:

Intersection A∩B:

Pagkakaiba: A\B Mga halimbawa: Iguhit ang mga sumusunod na set gamit ang Venn diagram 1) (АУВ)\(С∩А): Talahanayan 2.4.2. 1)(AUB) 2) (C∩A) 3) (АУВ)\(С∩А) 2) A∩B∩C; a) A∩B b) A∩B∩C a) AUC 2. B∩C 3.(A∩B)U(B∩C) May isa pang paraan para ilarawan ang mga set operation. Ito ang tinatawag na talahanayan ng mga paglitaw ng mga elemento sa mga set, na isinasaalang-alang ang lahat ng posibleng kaso ng paglitaw ng napiling elemento sa mga set A At SA at ang kanilang mga kumbinasyon. Ang resulta ng elementong ito na kabilang sa mga set A At SA ay minarkahan sa unang dalawang column ng talahanayan ayon sa panuntunan: 1 – kung ang elemento ay kasama sa set na ito, 0 – kung hindi. Magreresulta ito sa apat na kaso o apat na linya sa talahanayan. Mga column na nauugnay sa mga operasyon A U B, A∩ B, A\ B, ay napunan ayon sa mga kahulugan ng mga operasyong ito (Talahanayan 1). Halimbawa, ang pangalawang hilera sa talahanayan. 1 ay ganito: kung ang isang elemento ay kasama sa A, ngunit hindi kasama sa B, saka siya pumasok A U SA, hindi kasama A∩ SA, ngunit kasama sa A\B. Mga halimbawa. 1) Gamit ang talahanayan ng mga paglitaw ng mga elemento, tukuyin kung ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo (A U SA) ’ = A ’ ∩SA ’ Mula sa talahanayan ng mga paglitaw ng mga elemento sa mga set ay malinaw na kapag iba't ibang mga pagpipilian paglitaw ng isang elemento sa mga set A, SA ito ay kasama o hindi kasama sa kaliwa at kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na isinasaalang-alang sa parehong oras (tingnan ang ikaapat at ikapitong hanay). ibig sabihin (A U SA) ’ = A ’ ∩SA ’. 2) Gamit ang talahanayan ng mga paglitaw ng mga elemento, alamin kung ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo (SA U SA) \ SA= SA. Ang ikalawa at ikaapat na column ay hindi pareho, kaya mali ang equation na ito. Sa isang linya ng coordinate, ang mga hanay ay inilalarawan bilang isang segment, ang mga dulo nito ay ipinapakita sa mga lupon: na may punong bilog kung ang coordinate ng dulo ng segment ay kabilang sa hanay, kung hindi ay may bukas na bilog. Halimbawa, ang set A = (x: − 2< x ≤ 3} на координатной прямой можно показать так: Mga halimbawa: Mga ibinigay na set: 1) A= {x: − 5 ≤ x≤ 6}, B= {x: − 3 < x< 8}, 2) A= {X: −3 < X≤ 2) at B= {X: 0 ≤ X< 5}, 3) C= {X: 2 < X< 4} и D= {X: 3 ≤ X≤ 5}, 4) E= {X: −3 ≤ X≤ 2) at F= {X: 2 < X≤ 5}. Hanapin ang mga intersection ng mga set at ipakita ang mga ito sa coordinate line. Solusyon: 1) Ilarawan natin ang mga set A at B sa linya ng coordinate: D = ( X: 3 ≤ X≤ 5}: 4Ï C, W nagsisimula, ang intersection ng mga set SA At D ang lahat ba ng mga punto ng kalahating pagitan ay nabibilang sa ? Solusyon. Bumuo tayo ng mga geometric na larawan ng mga hanay ng numero A at B: Hinahati ng mga boundary point ng ibinigay na set ang number line sa mga sumusunod na set: (−∞, −4) , (−4) , (−4, −2) , (−2) , (−2, 1) , ( 1) , (1 , 3) ​​, (3) , (3, 5) , (5) , (5, +∞) . Madaling makita na ang numerical set A ay maaaring "binuo" mula sa mga set na isinulat lamang sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng (−2) , (1, 3) , (3) at (3, 5) . Upang mahanap ang intersection ng set A at B, sapat na upang suriin kung ang mga huling set ay kasama sa set B. Yaong sa kanila na kasama sa B ay bubuo ng nais na intersection. Gawin natin ang nararapat na pagsusuri. Malinaw, (−2) ay kasama sa set B (dahil ang puntong may coordinate −2 ay isang panloob na punto ng segment [−4, 3]). Ang pagitan (1, 3) ay kasama rin sa B (may hatch sa itaas nito). Ang set (3) ay kasama rin sa B (ang puntong may coordinate 3 ay isang hangganan at hindi nabutas na punto ng set B). At ang pagitan (3, 5) ay hindi kasama sa numerical set B (walang shading sa itaas nito). Ang pagkakaroon ng marka sa mga konklusyon na ginawa sa pagguhit, ito ay kukuha ng form na ito Kaya, ang gustong intersection ng dalawang orihinal na numerical set A at B ay ang unyon ng mga sumusunod na set (−2) , (1, 3) , (3) , na maaaring isulat bilang (−2)∪(1, 3] . Sagot: {−2}∪(1, 3] . Ang natitira na lang ay talakayin kung paano hanapin ang intersection at unyon ng tatlo o higit pang mga set ng numero. Ang problemang ito ay maaaring bawasan sa sunud-sunod na paghahanap ng intersection at unyon ng dalawang set: una ang una sa pangalawa, pagkatapos ay ang nakuha na resulta sa pangatlo, pagkatapos ay ang nakuha na resulta sa ikaapat, at iba pa. O maaari kang gumamit ng algorithm na katulad ng isa na inihayag. Ang pagkakaiba lamang nito ay ang pagsuri sa paglitaw ng mga agwat at hanay na binubuo ng mga indibidwal na numero ay dapat isagawa hindi ng dalawa, ngunit ng lahat ng mga paunang hanay. Isaalang-alang natin ang isang halimbawa ng paghahanap ng intersection at unyon ng tatlong set. Halimbawa. Hanapin ang intersection at unyon ng tatlong set ng numero A=(−∞, 12] , B=(−3, 25] , D=(−∞, 25)∪(40) . Solusyon. Una, gaya ng dati, inilalarawan namin ang mga numerical set sa mga linya ng coordinate, at sa kaliwa ng mga ito ay naglalagay kami ng kulot na bracket na nagpapahiwatig ng intersection at isang square bracket para sa unyon, at sa ibaba ay inilalarawan namin ang mga linya ng coordinate na may mga boundary point ng mga numerical set na minarkahan ng mga stroke: Kaya ang linya ng coordinate ay lumalabas na kinakatawan ng mga numerical set (−∞, −3) , (−3) , (−3, 12) , (12) , (12, 25) , (25) , (25, 40 ), (40), (40, ∞) . Nagsisimula kaming maghanap ng mga intersection; para magawa ito, tinitingnan namin kung ang mga naitala na set ay kasama sa bawat isa sa mga set A, B at D. Kasama sa lahat ng tatlong paunang numerical set ang interval (−3, 12) at ang set (12) . Binubuo nila ang nais na intersection ng set A, B at D. Mayroon kaming A∩B∩D=(−3, 12] . Sa turn, ang nais na unyon ay bubuo ng mga set (−∞, −3) (kasama sa A), (−3) (kasama sa A), (−3, 12) (kasama sa A), (12) ( kasama sa A ), (12, 25) (kasama sa B ), (25) (kasama sa B ) at (40) (kasama sa D ). Kaya, A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) . Sagot: A∩B∩D=(−3, 12] , A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) . Sa konklusyon, tandaan na ang intersection ng mga set ng numero ay madalas na walang laman na set. Ito ay tumutugma sa mga kaso kapag ang mga orihinal na hanay ay walang mga elemento na sabay-sabay na nabibilang sa lahat ng mga ito. (10, 27), (27), (27, +∞) . Wala sa mga nakasulat na set ang sabay-sabay na kasama sa apat na orihinal na set, na nangangahulugang ang intersection ng set A, B, D at E ay ang walang laman na set. Sagot: A∩B∩D∩E=∅. Bibliograpiya. Algebra: aklat-aralin para sa ika-8 baitang. Pangkalahatang edukasyon mga institusyon / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; inedit ni S. A. Teleyakovsky. - ika-16 na ed. - M.: Edukasyon, 2008. - 271 p. : may sakit. - ISBN 978-5-09-019243-9. Mordkovich A. G. Algebra. Ika-9 na grado. Sa loob ng 2 oras. Bahagi 1. Textbook para sa mga mag-aaral ng pangkalahatang institusyong pang-edukasyon / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13th ed., nabura. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01752-3. Ibahagi sa mga kaibigan: Mga kaugnay na publikasyon Aralin “Didactic games na may clothespins Mga pangalan ng lalaki na nagsisimula sa letrang "P" Nakalimutan at bihirang mga pangalan ng babae at ang kahulugan nito Seryosong pangalan para sa mga batang babae Mga quote tungkol sa taglamig Mga cool na kasabihan tungkol sa niyebe noong Mayo