Ano ang divisibility ng sum kl. Divisibility ng kabuuan, pagkakaiba, produkto ng integer na hindi negatibong mga numero

divisibility property. Divisibility ng isang kabuuan at isang produkto sa isang naibigay na numero. Mga gawain ng tumaas na kahirapan.
Uri ng aralin: aralin ng paglalahat at sistematisasyon ng kaalaman
Mga teknolohiya: pagtitipid sa kalusugan, pag-unlad ng mga kasanayan sa pananaliksik, edukasyon sa pag-unlad, problema sa pag-aaral, self-diagnosis at mga resulta ng self-correction.
Mga elemento ng nilalaman: Tunay na pangangatwiran, isang patas na pahayag, isang tanda ng divisibility ng isang produkto, isang tanda ng divisibility ng isang kabuuan.
Mga aktibidad: pagdidikta sa matematika, trabaho sa pisara at sa mga kuwaderno, gawaing pangharap kasama ang klase.
Mga Inaasahang Resulta (PLE):
Magagawang: - patunayan at ilapat kapag nagpapasya na kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay hindi mahahati sa isang tiyak na numero, kung gayon ang buong produkto ay mahahati sa numerong ito;
- patunayan at ilapat kapag nilutas na kung ang bawat termino ay nahahati sa isang tiyak na numero, kung gayon ang kabuuan ay mahahati sa numerong ito;
- makisali sa pandiwang komunikasyon, lumahok sa isang diyalogo;
– wastong gumuhit ng gawain, sumasalamin sa pagsulat ng kanilang mga desisyon, makabuo ng solusyon sa problema.

Sa panahon ng mga klase.
Subukan ang pagdidikta.
Isulat ang formula para sa multiples: a) 17; b) 41.
Isulat ang pormula para sa mga numero na, kapag hinati sa 17, magbibigay ng natitirang 3; kapag hinati sa 41, ang natitira ay 3.
Magpahiwatig ng dalawang magkaibang katangian na nagpapakilala sa set na ito 6; 12; labing-walo; 24; tatlumpu; 36; 42; 48; 54; 60; 66; 72; 78; 84; 90; 96.
Maghanap ng mga karaniwang multiple ng mga numero 5 at 4.
Ano ang mga formula batay sa?
a) 15n + 13; b) 4n+3; c) 17k + 8?
Komento ng guro. Kinokolekta ang mga notebook para sa pag-verify, at ang mga desisyon ay kinokomento.

Pagsasagawa ng mga pagsasanay sa divisibility ng kabuuan at ang produkto
(Pasalita). Ang kabuuan ba ay nahahati sa 3:
a) 450 + 160;
b) 150 +225;
c) 28422 + 22050;
Ang konklusyon ay nabuo:
Kung ang bawat isa sa mga termino ay nahahati sa ilang numero, kung gayon ang kanilang kabuuan ay dapat na mahahati sa parehong numero.
Kung ang bawat termino maliban sa isa ay nahahati sa ilang numero, at ang isa ay hindi mahahati, kung gayon ang kabuuan ay hindi mahahati sa bilang na iyon.

2. Totoo ba ang pahayag: kung ang kabuuan ay nahahati sa 3, kung gayon ang bawat termino ay mahahati din ng 3?
3. Nahahati ba ang produkto sa 3:
a) 6
23
75;
b) 6
23
· labing-apat;
c) 37
121
·19?
Ang konklusyon ay nabuo: Kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay nahahati sa ilang numero, kung gayon ang kanilang produkto ay mahahati din sa numerong ito.
3. Gamit ang mga katangian ng divisibility at ang data sa divisibility sa pamamagitan ng bilang k ng bawat termino, alamin kung ang kabuuan o ang produkto ay nahahati sa k.
1 numero
numero 2
numero 3
Sum
Trabaho

Solusyon.
1 numero
numero 2
numero 3
Sum
Trabaho

d
d
d
d
d

n
d
d
n
d

d
n
d
n
d

d
d
n
n
d

n
n
d
Maaaring ibahagi
Maaaring hindi ibahagi ang K°
d

n
d
n
Maaaring ibahagi
maaaring hindi ibahagi
d

d
n
n
Maaaring ibahagi
maaaring hindi ibahagi
d

n
n
n
Maaaring ibahagi
maaaring hindi ibahagi
n

Workshop
Ang lahat ng mga pagsasanay ay malulutas sa isang talaan sa pisara.
Nang hindi gumagawa ng mga kalkulasyon, itatag kung ang mga expression ay nahahati sa 4: a) 132 + 360 + 536; b) 540 - 332; c) 2512 127.
Solusyon.
a) dahil ang bawat termino ay nahahati sa 4, kung gayon ang kabuuan na 132 + 360 + 536 ay nahahati sa 4;
b) dahil ang minified 540 ay mahahati ng 4 at ang bawas na 332 ay mahahati ng 4, kung gayon ang pagkakaiba 540 - 332 ay mahahati ng 4;
c) dahil ang bilang na 2512 ay nahahati sa 4, ang produkto 2512 127 ay nahahati din sa 4.
Gumawa ng formula para sa mga numero kung saan ang expression ay:
a) 25 + x ay nahahati sa 25;
b) 78 + x ay nahahati sa 78.
3. Para sa anong mga halaga ng variable ang produkto:
a) 7
a ay nahahati sa 7,
b) 17
ang b ay nahahati sa b.
4. 4 na kahon ng ice cream ang inihatid sa cafe. Hindi kaya kailangan nating magbayad ng 224 rubles para dito?

Mga malikhaing gawain
Patunayan na para sa lahat ng natural na halaga ng variable, ang expression:
a) 56
(a + b) ay nahahati sa 14;
b) 144 a + 12b ay nahahati sa 12;
c) 100 a - 40a ay nahahati ng 30.
2. Ipahiwatig ang ilang limang divisors ng isang numero na katumbas ng produkto: 32 24 21.
3. Ipahiwatig kung alin sa mga sumusunod na pahayag ang mali.
a) Kung ang mga termino ay hindi mahahati sa ilang numero, kung gayon ang kabuuan ay hindi mahahati sa numerong iyon.
b) Kung ang produkto ng dalawang numero ay nahahati sa ilang numero, kung gayon kahit isa sa mga salik ay mahahati sa numerong iyon.
c) Kung ang mga kadahilanan ay hindi nahahati sa ilang numero, kung gayon ang produkto ay hindi mahahati sa numerong ito.
d) Kung ang pagkakaiba ay nahahati sa ilang numero, ang minuend at ang subtrahend ay mahahati sa numerong iyon.
Solusyon.
a) Mali. Halimbawa: 7+3 = 10; Ang 7 at 3 ay hindi nahahati ng 5, ngunit ang 10 ay nahahati ng 5.
b) Mali. Halimbawa: 6 (10 = 60; 60 ay nahahati sa 15, at ni 6 o 10 ay hindi mahahati.
c) Mali. Halimbawa: 6 (10 = 60; ni 6 o 10 ay hindi nahahati ng 15, ngunit ang 60 ay nahahati ng 15.
d) Mali. Halimbawa: 23 - 21 \u003d 2. Ang pagkakaiba 2 ay nahahati ng 2, ngunit ang 23 at 21 ay hindi nahahati ng 2.

5. Pagbubuod
Pag-uulit ng mga katangian ng divisibility ng produkto, kabuuan at pagkakaiba ng mga numero. Pagtatakda ng takdang-aralin. Nagkomento sa mga rating.

13 PAGE \* MERGEFORMAT 14115

kђHeading 115

Naka-attach na mga file

§ 63. Mga nilalaman ng kabanata.

Natutunan namin ang pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami at paghahati ng mga buong numero. Ang pagdaragdag at pagpaparami ay palaging magagawa anuman ang mga numero na ginawa sa kanila,

Ang sitwasyon ay naiiba sa mga reverse operations, i.e. sa pagbabawas at paghahati. Tungkol sa pagbabawas, sinabi namin na posible sa mga kaso kung saan ang subtrahend ay hindi mas malaki kaysa sa minuend.

Higit pang kahirapan ang nauugnay sa paghahati. Una sa lahat, may kahirapan kapag ang dibidendo ay mas mababa kaysa sa divisor (14:20), ngunit ito ay isang espesyal na isyu na haharapin natin sa susunod na bahagi ng ating aklat. Lumiko tayo sa isa pang kaso. Alam mo na kung minsan ang paghahati ay isinasagawa nang walang nalalabi, o, gaya ng sinasabi nila, "buo", at kung minsan ay may nalalabi. Ang mga tanong ay lumitaw: ano dapat ang mga numerong ito upang sila ay mahati nang walang natitira sa isa't isa? Posible bang itatag, sa pamamagitan ng ilang palatandaan ng mga numerong ito, na ang paghahati sa kasong ito ay magagawa?

§ 64. Maramihan at divisor.

Kahulugan. Kung ang isang numero ay nahahati nang walang natitira sa isa pa, kung gayon ang una ay tinatawag na multiple ng pangalawa, at ang pangalawa ay isang divisor ng una.

Nangangahulugan ito na ang numero 6 ay magiging multiple ng 3 (tatlo), at ang numero 3 mismo ay magiging divisor ng 6 (anim). Ang numerong 15 ay isang multiple ng 5, at ang 5 mismo ay isang divisor ng 15.

Ang isang numero ay maaaring isang multiple ng ilang mga numero.

Halimbawa, ang numerong 36 ay isang multiple ng mga numero: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 at 36.

Ang mga numerong nahahati sa 2 ay tinatawag na even na mga numero. Ang numerong sero ay isang numero din. Ang lahat ng iba pang mga numero ay tinatawag na kakaiba. Dahil dito:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12... ay pantay, 1, 3, 5, 7, 9, 11... ay kakaiba.

§ 65. Divisibility ng kabuuan at pagkakaiba.

1. Isaalang-alang ang sumusunod na mahalaga kabuuan ng ari-arian.

Kung ang bawat termino ay nahahati nang walang nalalabi sa ilang numero, kung gayon ang kabuuan ay mahahati din sa numerong iyon.

HALIMBAWA:

Ang 14 ay nahahati ng 7, ang 21 ay nahahati ng 7, ang kanilang kabuuan 14 + 21, ibig sabihin, 35, ay nahahati din ng 7.

Isa pang halimbawa: 39 ay nahahati sa 13, 65 ay nahahati sa 13, ang kanilang kabuuan 39 + 65 = 104 ay nahahati din ng 13.

Maaari nating kunin ang kabuuan ng higit sa dalawang termino, halimbawa tatlo, at ang nakasaad na pahayag ay magiging totoo:

Ang 25 ay nahahati sa 5,

Ang 35 ay nahahati sa 5,

Ang 50 ay nahahati sa 5.

Ang kabuuan na 25 + 35 +50 = 110 ay nahahati din sa 5.

Maaari naming gamitin ang property na ito ng kabuuan kung gusto naming malaman kung ang isang numero ay nahahati sa iba. Halimbawa, gusto kong malaman, nang hindi hinahati, kung ang 756 ay nahahati sa 7. Magagawa mo ito: kumakatawan sa 756 bilang kabuuan ng dalawang termino na 700 + 56. Ngayon ay kailangan mong isipin kung ang bawat isa sa mga terminong ito ay nahahati sa 7 . Dito ay madali nang malaman na ang 700 ay nahahati sa 7 at ang 56 ay nahahati sa 7, na nangangahulugan na ang kabuuan, ibig sabihin, 756, ay mahahati sa 7.

Ang tanong ay lumitaw: kung ang mga termino ay hindi mahahati sa ilang numero, hahatiin ba ang kabuuan sa numerong ito o hindi?

Upang masagot ang tanong na ito, kailangan nating isaalang-alang ang iba't ibang posibleng mga kaso dito:

a) Ang mga tuntunin 21 at 22 ay hindi mahahati ng 5; ang kanilang kabuuan 43 ay hindi rin mahahati ng 5.

b) Ang mga tuntunin 22 at 23 ay hindi mahahati ng 5; ngunit ang kanilang kabuuan na 45 ay nahahati sa 5.

Nangangahulugan ito na kung ang mga indibidwal na termino ay hindi mahahati sa isang naibigay na numero, kung gayon sa ilang mga kaso ang kanilang kabuuan ay maaaring hatiin sa numerong ito.

Ngayon isipin natin kung ang kabuuan ng dalawang termino ay nahahati sa ilang numero, kung ang isa sa mga termino ay hindi nahahati sa numerong ito, at ang isa ay nahahati.

Hayaan ang isa sa mga termino ay 33, at ang isa pang 17, ang kanilang kabuuan ay 50. Ang unang termino (33) ay nahahati sa 11, at ang pangalawang 17 ay hindi mahahati, ang kabuuan ng 50 ay hindi rin mahahati ng 11.

Kunin natin ang kabuuan ng tatlong termino: 15, 20 at 23, ie 58. Ang bawat isa sa unang dalawang termino (15 at 20) ay nahahati sa 5, ngunit ang ikatlong termino 23 ay hindi nahahati ng 5, ang kabuuan 58 ay hindi rin. mahahati sa 5.

Mula sa mga halimbawang ito, maaari nating tapusin:

Kung ang bawat termino maliban sa isa ay nahahati sa ilang bilang, at ang isang ito ay hindi nahahati nito, kung gayon ang kabuuan ng lahat ng mga terminong ito ay hindi mahahati nito.

Ginagamit namin ang derivation na ito upang magpasya kung ang numero 150 ay mahahati sa 14. Katawanin natin ang 150 tulad ng sumusunod:

Ang unang termino ng kabuuan na ito (140) ay nahahati sa 14, ngunit dahil ang pangalawang termino, ibig sabihin, 10, ay hindi nahahati ng 14, kung gayon ang 150 ay hindi nahahati ng 14.

2. Ngayon isaalang-alang ang mahalaga pagkakaiba ng ari-arian.

Kung ang minuend at ang subtrahend ay nahahati sa isang buong numero, ang pagkakaiba ay hahatiin sa numerong iyon.

Ang 45 ay nahahati ng 9, ang 18 ay nahahati ng 9, ang kanilang pagkakaiba ay 45-18, ibig sabihin, ang 27, ay nahahati din ng 9.

Isa pang halimbawa:

Ang 88 ay nahahati ng 11, ang 33 ay nahahati ng 11, ang kanilang pagkakaiba 88-33 = 55 ay nahahati din ng 11.

Minsan ay maaari naming gamitin ang property na ito ng pagkakaiba para linawin ang mga tanong tungkol sa divisibility ng isang numero sa isa pa. Hayaang kailanganin na sagutin ang tanong kung ang bilang na 693 ay nahahati sa 7. Idagdag natin ang 7 dito, makakakuha tayo ng 700. Pagkatapos ay maaari nating isulat ang sumusunod na pagkakapantay-pantay: 700 - 7 = 693. Sa loob nito, ang nabawasang 700 ay nahahati. sa pamamagitan ng 7, ang ibinawas na 7 ay nahahati sa 7, na nangangahulugan na ang pagkakaiba 693 ay nahahati din ng 7.

§ 66. Sa mga palatandaan ng divisibility ng mga numero.

Sa maraming kaso, napakahalagang matukoy, nang hindi hinahati, kung ang isang numero ay ganap na hinati ng isa pa. Hayaang kailanganin, halimbawa, na sagutin ang tanong kung ang 156 ay nahahati sa 4. Ang mga ganitong katanungan sa hinaharap, halimbawa, kapag nag-aaral ng mga fraction, ay kailangang itanong nang madalas. Upang masagot ang tanong, maaari mong, siyempre, hatiin ang unang numero sa pangalawa, ngunit ang gayong pamamaraan ay hindi kumikita. Samakatuwid, sa aritmetika, sinusubukan nila, nang hindi hinahati, upang malaman kung ang isang numero ay nahahati sa isa pang ganap o hindi. Dahil dito, pag-aaralan natin ngayon ang mga ganitong katangian o katangian ng mga numero na ginagawang posible upang hatulan ang divisibility ng isang numero sa isa pa. Makukuha natin ngayon ang ilan sa mga "senyales" na ito ng divisibility.

§ 67. Tanda ng divisibility ng 2.

Anong mga numero ang nahahati sa 2? Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng mga numero na nahahati ng 2 at mga numero na hindi nahahati ng 2? Kumuha tayo ng dalawang numero: 35 at 32. Ang una sa kanila, ibig sabihin, 35, ay hindi nahahati ng 2, ngunit ang 32 ay nahahati ng 2. Ano ang pagkakaiba sa pagitan nila? Alam na natin mula sa naunang isa na kung ang bawat isa sa dalawang numero ay nahahati sa isang pangatlo, kung gayon ang kanilang kabuuan ay mahahati sa bilang na iyon. Katawanin natin ang mga numerong ito bilang kabuuan ng sampu at isa:

Ang 35 ay binubuo ng tatlong sampu at limang isa. Ang bawat sampu ay nahahati sa 2, na nangangahulugan na ang 3 sampu, ibig sabihin, 30, ay hahatiin ng 2, ngunit ang pangalawang termino, ibig sabihin, 5, ay hindi mahahati sa 2; kaya nga ang buong bilang na 35 ay hindi nahahati ng 2.

Kung isasaalang-alang natin ang bilang na 32, makikita natin na ito ay ang kabuuan ng 30 at 2, i.e. ang mga numero, na ang bawat isa ay nahahati sa 2. Kaya, ang bilang na 32 ay nahahati ng 2.

Isaalang-alang ang isa pang numero, at pumili ng mas malaking numero kaysa sa 32, halimbawa 876. Maaari naming katawanin ang numerong ito tulad ng sumusunod:

Ang unang termino 870 ay nahahati sa 2, dahil ito ay binubuo ng 87 sampu, ang pangalawang termino 6 ay nahahati din ng 2, na nangangahulugan na ang buong bilang na 876 ay mahahati sa 2.

Ang mga halimbawang ito ay nagpapakita na ang divisibility ng mga numero sa pamamagitan ng 2 ay nakasalalay lamang sa divisibility ng pangalawang termino (mga yunit). Pagkatapos ng lahat, ang bilang na 35 ay hindi nahahati ng 2 dahil ang pangalawang termino nito ay hindi nahahati ng 2. Kung ang numero ay nagtatapos sa 0, 2, 4, 6, 8, hahatiin ito sa 2, kung hindi, hindi ito mahahati.

Batay sa nabanggit, ang pagsubok para sa divisibility sa pamamagitan ng 2 ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod: Ang nahahati sa 2 ay ang mga numerong iyon at ang mga numero lamang na nagtatapos sa pantay na digit.(Ang zero ay tumutukoy sa mga even na numero.)

§ 68. Tanda ng divisibility ng 4.

Itatag muna natin ang katotohanang ito; Ang 4 ay nahahati sa 100 at samakatuwid ang anumang bilang na kabuuan ng daan-daan (200, 300, ..., 1400, 1500, ..., 2000, ...). Ngunit anumang numero na ang kabuuan ng daan-daan ay nagtatapos sa dalawang zero. Kaya ang bawat numero na nagtatapos sa dalawang zero ay nahahati sa 4.

Ngayon ay kumuha tayo ng isang numero na nagtatapos hindi sa mga zero, ngunit sa ilang iba pang mga numero, halimbawa 123456.

Kinakatawan namin ito bilang kabuuan ng dalawang termino tulad ng sumusunod:

Ang unang termino ng kabuuan na ito (123,400) ay hahatiin sa 4, dahil nagtatapos ito sa dalawang zero. Kung ang pangalawang termino (56) ay nahahati sa 4, kung gayon ang kabuuan (123456) ay mahahati din ng 4. Ang pangalawang termino 56 ay nahahati ng 4. Kaya, ang bilang na 123456 ay nahahati din ng 4.

Kunin natin ang numerong 1634 at katawanin ito bilang kabuuan ng dalawang termino tulad nito:

Ang unang termino ng kabuuan na ito, 1,600, ay nahahati sa 4, ngunit ang pangalawa (34) ay hindi mahahati. Nangangahulugan ito na ang kabuuan, i.e. ang bilang na 1634, ay hindi maaaring hatiin ng 4.

Kaya, ang mga iyon at tanging ang mga numerong iyon ay nahahati sa 4 na nagtatapos sa dalawang zero o ang huling dalawang digit ay nagpapahayag ng isang numero na nahahati sa 4.

Halimbawa, hinati ng 4: 4600, 1264; ay hindi nahahati sa 4: 110, 4562.

§ 69. Tanda ng divisibility ng 5.

Una sa lahat, tandaan namin na ang numero 10 ay nahahati sa 5 at, samakatuwid, anumang numero na binubuo ng sampu (20, 30, ..., 140, 150, ..., 2160, 2170, ...).

Sa kabilang banda, ang anumang multi-digit na numero ay maaaring ituring bilang kabuuan ng sampu at mga yunit.

Ang unang termino, bilang binubuo lamang ng sampu, ay palaging mahahati sa 5. Nangangahulugan ito na ang divisibility ng anumang multi-valued na numero ng 5 ay magdedepende lamang sa divisibility ng 5 ng pangalawang termino, ibig sabihin, mga unit ng numero.

Pero sa mga unit meron isahan Ang , na nahahati ng 5, ay ang mismong numero 5. Samakatuwid, para sa mga numerong nahahati ng 5, ang pangalawang termino ay maaari lamang maging numero 5.

Kung kukuha tayo, halimbawa, ang bilang na 2347, na walang 5, ngunit 7 sa halip na mga yunit, kung gayon ang numerong ito ay hindi mahahati sa 5, dahil sa kabuuan 2340 + 7 ang unang termino ay mahahati, at ang pangalawang termino ( 7) ay hindi nahahati sa 5.

Dahil dito, ang pagsubok para sa divisibility ng 5 ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod: Ang nahahati sa 5 ay ang mga numerong iyon at ang mga numero lamang na nagtatapos sa zero o bilang 5.

Halimbawa, nahahati ng 5: 1 320; 4065; hindi nahahati ng 5: 21; 432; 6543.

§ 70. Tanda ng divisibility ng 25.

Ang bilang na 100 ay nahahati ng 25. Samakatuwid, ang anumang bilang na binubuo ng daan-daan ay dapat na mahahati ng 25 (200, 300, ..., 1400, 1500, ..., 5600, ...). Ngunit dahil ang isang numero na binubuo ng daan-daan ay nagtatapos sa dalawang zero, ang lahat ng mga numero na nagtatapos sa dalawang zero ay dapat na mahahati sa 25.

Ngayon ay kumuha tayo ng dalawang numero na nagtatapos hindi sa mga zero, ngunit sa ilang iba pang mga numero: 23456 at 34875.

Ang bawat isa sa kanila ay maaaring katawanin sa anyo ng dalawang termino tulad ng sumusunod:

23,400 + 56 at 34,800 + 75.

Sa unang kaso, ang pangalawang termino (56) ay hindi nahahati sa 25, samakatuwid, ang buong numero (sum) ay hindi nahahati sa 25. Sa pangalawang kaso, ang pangalawang termino (75) ay nahahati sa 25, kaya ang kabuuan ang numero ay nahahati ng 25. Kaya, ang divisibility ng numero sa pamamagitan ng 25 ay nakasalalay sa paghahati ng 25 ng numero na binubuo ng huling dalawang digit. Ngunit sa loob ng isang daan ay mayroon lamang tatlong tulad na mga numero: 25, 50 at 75.

Sa batayan na ito, masasabi natin iyan ang mga iyon at ang mga numero lamang na nagtatapos sa 00 ay nahahati sa 25; 25; 50 at 75.

§ 71. Mga pagsubok para sa divisibility ng 9 at 3.

Anong mga numero ang nahahati sa 9? Una sa lahat, ang lahat ng mga numero na nakasulat sa numero 9, ibig sabihin, 9, ay nahahati sa 9; 99; 999; 9 999 atbp.

Dagdag pa, tandaan na ang mga numerong kinakatawan ng isang yunit na may mga zero, kapag hinati sa 9, ay nagbibigay ng natitirang 1. Sa katunayan: 10: 9 \u003d 1 at 1 sa natitira; 100: 9 = 11 at 1 sa natitira; 1000: 9 = 111 at 1 natitira; 10,000: 9 = 1,111 at 1 ang natitira.

Isinasaalang-alang ito, hinahati namin ang numerong 567 sa 9. Katawanin natin ito bilang kabuuan ng mga bit unit:

567 = 500 + 60 + 7.

Ang bilang na 500 kapag hinati sa 9 ay nag-iiwan ng natitirang limang (5) units, dahil bawat daan kapag hinati sa 9 ay nag-iiwan ng natitirang 1.

Ang bilang na 60 kapag hinati sa 9 ay nag-iiwan ng natitira sa anim (6) na isa, dahil bawat sampu kapag hinati sa 9 ay nag-iiwan ng natitirang 1.

Ang bilang na pito (7) ay hindi nahahati sa 9 at ito rin ay nalalabi.

Kaya, mayroon tayong mga sumusunod na natitira: 5, 6 at 7.

Kung ang kabuuan ng mga natitira na ito, i.e. 5 + 6 + 7 = 18, ay nahahati sa 9, kung gayon ang bilang na 567 ay mahahati din ng 9. Sa kasong ito, ang kabuuan ng mga natitira ay nahahati sa 9.

Kung kukuha tayo ng isa pang numero, halimbawa 476, kung saan ang kabuuan ng mga natitira, dahil madaling malaman batay sa nauna, ay:

pagkatapos dito ang kabuuan ng mga natitira ay hindi mahahati ng 9; samakatuwid, ang buong bilang (476) ay hindi maaaring hatiin ng 9.

Ngunit ano ang kabuuan na ito ng mga nalalabi? Ito ang kabuuan ng mga numero na tumutugma sa mga digit ng ibinigay na numero (para sa kapakanan ng kaiklian, sinasabi nila na ito ang kabuuan ng mga digit ng numero).

Samakatuwid, ang pagsubok para sa divisibility sa pamamagitan ng 9 ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod: Ang nahahati sa 9 ay ang mga numerong iyon lamang na ang kabuuan ng mga digit ay nahahati sa 9.

Ang anumang numero na mahahati ng 9 ay mahahati din ng 3 (ngunit hindi kabaligtaran). Maaari tayong magsagawa ng katulad na pangangatwiran, na may kaugnayan sa numero 3. Pagkatapos ang tanda ng divisibility sa pamamagitan ng 3 ay ipapahayag tulad ng sumusunod: Ang nahahati sa 3 ay ang mga numerong iyon lamang na ang kabuuan ng mga digit ay nahahati sa 3. Halimbawa, 3 ang mahahati: 51; 231; 8 112; 12 345.

Kagamitan: board, table, educational literature, computer, projector, screen.

Sa panahon ng mga klase

1. Organisasyon sandali

2. Aktwalisasyon ng pangunahing kaalaman

Pagdidikta sa matematika

3. Asimilasyon ng bagong kaalaman

Ang mga mag-aaral ay nahahati sa 4 na pangkat. Pinag-aaralan ng bawat pangkat ang isa sa mga ari-arian, ang patunay ng ari-arian na ito.

Isaalang-alang ang ilang katangian ng divisibility ng kabuuan at ng produkto.

1. Kung sa kabuuan ng mga integer, ang bawat termino ay nahahati sa ilang numero, pagkatapos ang kabuuan ay nahahati din sa numerong ito.

Isinasagawa namin ang patunay para sa tatlong termino. Kung mga numero a, b, At c ay nahahati sa p, pagkatapos a=pk, b=pm, c=pn, saan k,m At n- buong numero. Pagkatapos

a+b+c=pk+pm+pn=p(k+m+n),

at mula noon k+m+n ay isang integer, kung gayon a+b+c hinati ng p.

Sa kaso ng isang arbitrary na bilang ng mga termino, ang paraan ng patunay ay nananatiling pareho. Malinaw, ang kabaligtaran ay hindi totoo.

2. Kung ang dalawang integer ay nahahati sa ilang numero, kung gayon ang kanilang pagkakaiba ay mahahati sa numerong iyon.

Ang ari-arian na ito ay sumusunod mula sa nauna, dahil ang pagkakaiba a-b maaaring palaging kinakatawan bilang isang kabuuan a+(-b).

3. Kung sa kabuuan ng mga integer ang lahat ng termino maliban sa isa ay mahahati sa ilang numero, kung gayon ang kabuuan ay hindi mahahati sa numerong ito.

Hayaan ang mga numero a At b ay nahahati sa p, at ang numero c hindi mahahati ng p. Patunayan natin na ang kabuuan a+b+c hindi ibinahagi p. Ipagpalagay ang kabaligtaran: hayaan a+b+c hinati ng p. Pagkatapos ay sa pagkakaiba (a+b+c)-(a+b) ang minuend ay hinati ng p sa pamamagitan ng pagpapalagay, at ang subtrahend ay mahahati ng p sa pamamagitan ng ari-arian 1, at samakatuwid, sa pamamagitan ng ari-arian 2, ang pagkakaiba ay mahahati ng p. Gayunpaman, ang pagkakaibang ito ay c at sa p kondisyon na hindi mahahati. Dumating tayo sa isang kontradiksyon. Samakatuwid, ang aming palagay ay mali at ang kabuuan a+b+c hinati ng R, Q.E.D.

Tandaan na dahil ang pagkakaiba a-b maaaring tingnan bilang kabuuan a+(-b), pagkatapos ay ang mga napatunayang katangian ng kabuuan ay nalalapat sa anumang algebraic na kabuuan ng mga numero.

4. Kung sa isang produkto ng mga integer ang isa sa mga kadahilanan ay nahahati sa ilang numero, kung gayon ang produkto ay mahahati sa numerong iyon.

Kung ngunit hinati ng mula sa, pagkatapos a=ck, saan k-integer. Pagkatapos ab=(ck)b mga ab=c(kb), at kb ay isang integer, dahil ang produkto ng mga integer ay isang integer. ibig sabihin ab hinati ng mula sa.

Kapag nilulutas ang mga problema sa divisibility, kadalasang kapaki-pakinabang ang mga katangiang nauugnay sa sequential arrangement ng mga integer. Halimbawa:

Isa sa n magkakasunod na integer ay nahahati sa n;

Ang isa sa dalawang magkasunod na even na numero ay nahahati sa 4;

Ang produkto ng tatlong magkakasunod na integer ay nahahati sa 6;

Ang produkto ng dalawang magkasunod na even na numero ay nahahati sa 8.

Paglutas ng mga problema gamit ang mga katangian ng divisibility ng kabuuan at produkto.

Patunayan na ang kabuuan na 333555 + 555333 ay nahahati sa 37.

333 555 + 555 333 \u003d (3 * 111) 555 + (5 * 111) 333 \u003d 111 * (3 555 * 111 554 + 5 333 * 111 332). Dahil ang 111 ay nahahati sa 37, ang expression na ito ay nahahati ng 37.

Alamin natin kung hindi bababa sa isang punto ang nabibilang sa graph ng equation na 15x + 25 y= 114, na ang mga coordinate ay mga integer.

Ipagpalagay na ang graph ay dumadaan sa puntong M (a; b), kung saan ang a at b ay mga integer. Kung gayon ang tamang equation ay 15a + 25c = 114. Sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito, ang kabuuan ay nakasulat, na nahahati sa 5, dahil ang bawat terminong 15a at 25c ay nahahati ng 5. Kung gayon ang bilang na 114 ay hindi mahahati ng 5. Ang resultang kontradiksyon ay nagpapakita na ang palagay ay mali at walang isang puntong may integer na coordinate sa graph ng equation na 15x + 25y = 114.

Alamin kung ang integer a, hindi sero at alin ang hindi divisor ng 240, maging ugat ng equation na 17x 3 -10x 2 -6x + 240 = 0.

Ipagpalagay na ang a ay isang integer na ugat ng equation. Tapos yung equality

17а 3 – 10а 2 – 6а + 240 =0.

Ang kaliwang bahagi ay ang kabuuan kung saan ang bawat termino maliban sa isa ay nahahati ng a, at samakatuwid ang kabuuan na ito ay hindi nahahati ng a. Ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito ay nahahati ng a, dahil ang 0 ay nahahati sa anumang numero maliban sa zero. Ang resultang kontradiksyon ay nagpapakita na ang palagay ay mali at ang numerong a ay hindi maaaring maging ugat ng equation na ito.

Pinatunayan namin na kung ang n ay isang prime number na mas malaki sa 3, kung gayon ang pagkakaiba n 2 - 1 ay mahahati ng 24.

Mayroon kaming n 2 - 1 =(n-1)(n+1) . Sa tatlong magkakasunod na numero n-1, n, n + 1, hindi bababa sa isa ang nahahati ng 3. Gayunpaman, ang bilang n ay hindi nahahati ng 3, na nangangahulugan na ang isa sa mga numero n-1 at n + 1 ay mahahati. sa pamamagitan ng 3 at, samakatuwid, ang kanilang produkto (n -1)(n+1). Malinaw sa kondisyon na ang bilang n ay kakaiba. Kaya ang n-1 at n+1 ay dalawang magkasunod na even na numero. Ang isa sa mga numerong ito ay nahahati sa 2 at ang isa sa 4, kaya ang kanilang produkto ay nahahati sa 8.

Kaya, ang pagkakaiba n 2 -1, kung saan ang n ay isang prime number at n>3, ay nahahati sa 3 at 8. At dahil ang 3 at 8 ay coprime, ang pagkakaiba na ito ay nahahati sa 24.

Desisyon Blg. 108, 110, 111(a), 116(a), 119, 123.

4. Pagbubuod

5. Takdang aralin

Divisibility ratio at mga katangian nito

Divisibility ng mga natural na numero

Tulad ng alam mo, ang pagbabawas at paghahati sa hanay ng mga natural na numero ay hindi palaging magagawa. Ang tanong ng pagkakaroon ng pagkakaiba sa pagitan ng mga natural na numero a at b ay malulutas lamang - sapat na upang maitatag (sa pamamagitan ng notasyon ng mga numero) na b< а. Для деления такого общего и простого признака нет. Поэтому в математической науке с давних пор пытались найти такие правила, которые позволили бы по записи числа а узнавать, делится оно на число b или нет, не выполняя непосредственного деления а на b. В результате этих поисков были открыты не только некоторые признаки делимости, но и другие важные свойства чисел; познакомимся с некоторыми из них.

Ang divisibility ng natural na mga numero, bilang panuntunan, ay hindi pinag-aaralan sa elementarya na mga kurso sa matematika, ngunit maraming mga katotohanan mula sa seksyong ito ng matematika ang tuwirang ginagamit. Halimbawa, ang criterion para sa divisibility ng isang kabuuan, pagkakaiba, at produkto sa pamamagitan ng isang numero ay malapit na nauugnay sa mga panuntunan para sa paghahati ng kabuuan, pagkakaiba, at produkto sa isang numero, na pinag-aralan sa mababang Paaralan. Sa isang bilang ng mga kurso, ang mga palatandaan ng divisibility ng mga numero sa pamamagitan ng 2, 3, 5 at iba pa ay pinag-aaralan.

Sa pangkalahatan, ang kaalaman tungkol sa divisibility ng mga natural na numero ay nagpapalawak ng pag-unawa sa hanay ng mga natural na numero, nagbibigay-daan sa iyo upang mas mahusay na maunawaan ang materyal na may kaugnayan sa paghahati ng mga natural na numero, ilapat ang kaalaman na nakuha nang mas maaga tungkol sa mga pamamaraan ng patunay, tungkol sa mga katangian ng relasyon, atbp.

Divisibility ratio at mga katangian nito

Kahulugan . Hayaang ibigay ang mga natural na bilang na a at b. Sinasabi namin na ang numero a ay nahahati sa bilang b, kung mayroong ganoon natural na numero q na a - bq.

Sa kasong ito, ang numero b ay tinatawag number divisor a, isang numero a - maramihan ng b .

Halimbawa, ang 24 ay nahahati sa 8 dahil mayroong q = 3 na ang 24 = 8 3. Sa madaling salita, ang 8 ay isang divisor ng 24, at ang 24 ay isang multiple ng 8.

Sa kaso kapag ang a ay nahahati sa b, isinusulat nila ang: a b. Ang talaan na ito ay kadalasang binabasa ng ganito: "a is a multiple of b."

Tandaan na ang konsepto ng "divisor ng isang naibigay na numero" ay dapat na nakikilala mula sa konsepto ng "divisor", na tumutukoy sa bilang kung saan ito hinati. Halimbawa, kung ang 18 ay nahahati ng 5, kung gayon ang numero 5 ay isang divisor, ngunit ang 5 ay hindi isang divisor ng 18. Kung ang 18 ay nahahati ng 6, kung gayon ang mga konsepto ng "divisor" at "divisor ng numerong ito" ay magkakasabay.

Mula sa kahulugan ng ugnayan ng divisibility at ang pagkakapantay-pantay a = 1 a, na wasto para sa anumang natural na a, sumusunod na 1 ay isang divisor ng anumang natural na numero.

Alamin natin kung gaano karaming mga divisors ang maaaring mayroon ang isang natural na numero. Isaalang-alang muna natin ang sumusunod na teorama.

Teorama 1. Ang divisor b ng isang ibinigay na numero a ay hindi lalampas sa numerong ito, i.e. kung a b, kung gayon b≤a.

Patunay. Dahil ang a ay b, mayroong q N tulad na a=bq at kaya a-b = bq-b = b (q- 1). Dahil ang a ay N, kung gayon ang q≥l. Pagkatapos b+ (q- 1) ≥0 at samakatuwid b≤a.

Ito ay sumusunod mula sa teorama na ito na ang hanay ng mga divisors ng isang naibigay na numero ay may hangganan . Pangalanan natin, halimbawa, ang lahat ng mga divisors ng numero 36. Bumubuo sila ng isang finite set (1, 2, 3.4, 6.9, 12, 18, 36).

Depende sa bilang ng mga divisors sa mga natural na numero, ang prime at composite na mga numero ay nakikilala.

Kahulugan. pangunahing numero ay isang natural na numero na mayroon lamang dalawang divisors - isa at ang numero mismo.

Halimbawa, ang numero 13 ay prime dahil mayroon lamang itong dalawang divisors: 1 at 13.

Kahulugan. Ang composite number ay isang natural na numero na mayroong higit sa dalawang divisors.

Kaya ang numero 4 ay pinagsama, mayroon itong tatlong divisors: 1, 2 at 4.

Ang numero 1 ay hindi prime o composite na numero dahil sa katotohanan na mayroon lamang itong isang divisor.

Ang mga numero na multiple ng isang naibigay na numero ay maaaring tawagin hangga't gusto mo - mayroong isang walang katapusang bilang ng mga ito. Kaya, ang mga numero na multiple ng 4 na anyo walang katapusang hilera: 4, 8, 12, 16, 20, 24, ..., at lahat ng mga ito ay maaaring makuha ng formula a = 4q, kung saan kinukuha ng q ang mga halaga 1, 2, 3, ....

Alam namin na ang ugnayan ng divisibility ay may ilang mga katangian, sa partikular, ito ay reflexive, antisymmetric, at transitive. Ngayon, ang pagkakaroon ng isang kahulugan ng ugnayan ng divisibility, maaari nating patunayan ang mga ito at iba pang mga katangian nito.

Teorama 2. Ang divisibility relation ay reflexive, i.e. Ang anumang natural na numero ay nahahati sa sarili nito.

Patunay. Para sa anumang natural na a, ang pagkakapantay-pantay a = a 1 ay totoo. Dahil 1 N, kung gayon, sa pamamagitan ng kahulugan ng ugnayan ng divisibility, a.

Teorama 3. Ang divisibility relation ay antisymmetric, i.e.

kung a b at a≠b, kung gayon .

Patunay. Ipagpalagay na ang kabaligtaran, i.e. ano b a. Ngunit pagkatapos ay a ≤ b, ayon sa teorama na tinalakay sa itaas.

Sa pamamagitan ng kondisyon a b at a≠b. Pagkatapos, sa pamamagitan ng parehong teorama, b≤а.

Ang mga hindi pagkakapantay-pantay a ≤ b at b ≤ a ay magiging wasto lamang kapag a=b, na sumasalungat sa kondisyon ng theorem. Samakatuwid, mali ang aming palagay at samakatuwid kung a b at a≠b, kung gayon .

Teorama 4. Ang divisibility relation ay transitive, i.e. kung a b at b c, pagkatapos ay a c.

Patunay. Dahil a b, pagkatapos ay mayroong isang natural na bilang q tulad na a - bq, at dahil b c, pagkatapos ay mayroong isang natural na bilang p na b = cf. Ngunit mayroon tayong: a=bq = (cp)q = c(pq). Ang bilang na pq ay natural. Samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan ng ugnayan ng divisibility, at s.

Teorama 5 (sign of divisibility of the sum). Kung ang bawat isa sa mga natural na numero a 1 , a 2 , ... , at n ay nahahati sa natural na bilang b, kung gayon ang kanilang kabuuan a 1 + a 2+ ...+ at n ay mahahati sa numerong ito.

Patunay. Dahil a 1 b, pagkatapos ay mayroong natural na bilang q 1 na ang a 1= bq 1 . Dahil a 2 b, mayroong isang natural na numero q 2 na ang a 2 = bq 2 . Sa pagpapatuloy ng pangangatwiran, nakukuha natin na kung a n b, pagkatapos ay mayroong natural na bilang q n tulad na a n = bq n . Ang mga pagkakapantay-pantay na ito ay nagpapahintulot sa amin na baguhin ang kabuuan a 1 + a 2 + ... + a n sa kabuuan ng anyong bq 1 + bq 2 + ... + bq n . Inalis namin ang karaniwang kadahilanan b, at ang natural na numero q 1 + q 2 + ... + q n nakuha sa mga bracket ay tinutukoy ng titik q. Pagkatapos ay isang 1 + a 2 + ... + a n = b(g 1 + q 2 + ... + q n)= bq, i.e. ang kabuuan a 1 + a 2 + ... + a n ay lumabas na kinakatawan bilang isang produkto ng bilang b at ilang natural na bilang q. At ito ay nangangahulugan na ang kabuuan a 1 + a 2 + ... + a n ay nahahati sa b, na kinakailangang patunayan.

Halimbawa, nang hindi gumagawa ng mga kalkulasyon, maaari nating sabihin na ang kabuuan na 175 + 360 + 915 ay nahahati ng 5, dahil ang bawat termino sa kabuuan na ito ay nahahati ng 5.

Teorama 6(sign of divisibility of difference). Kung ang mga numerong a 1 at a 2 ay nahahati sa b at a 1 > a 2, kung gayon ang kanilang pagkakaiba a 1 - a 2 ay mahahati ng b.

Ang patunay ng theorem na ito ay katulad ng patunay ng criterion para sa divisibility ng isang sum.

Teorama 7 (isang tanda ng divisibility ng trabaho). Kung ang bilang a ay nahahati sa b, kung gayon ang produkto ng anyong palakol, kung saan ang x ay N, ay mahahati ng b.

Patunay. Dahil ang a ay b, mayroong isang natural na bilang na q na ang a = bq. I-multiply ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito sa isang natural na bilang na x. Pagkatapos ax = (bq)x, kung saan, sa batayan ng associativity property ng multiplication (bq)x – b(qx) at, samakatuwid, ax = b(qx), kung saan ang qx ​​ay isang natural na numero. Ayon sa kahulugan ng divisibility relation ax b, na dapat patunayan.

Ito ay sumusunod mula sa napatunayang teorama na kung ang isa sa mga salik ng isang produkto ay nahahati sa natural na bilang b, kung gayon ang buong produkto ay mahahati din ng b.

Halimbawa, ang produkto 24 - 976 - 305 ay nahahati sa 12, dahil ang salik 24 ay nahahati ng 12.

Isaalang-alang ang tatlo pang theorems na may kaugnayan sa divisibility ng sum at ng produkto, na kadalasang ginagamit sa paglutas ng mga problema sa divisibility.

Teorama 8. Kung sa kabuuan ang isang termino ay hindi nahahati sa bilang b, at lahat ng iba pang termino ay nahahati sa bilang b, kung gayon ang buong kabuuan ay hindi mahahati sa bilang b.

Patunay. Hayaan ang s = a 1 + a 2 + ... + a n + c at ito ay kilala na

na a 1 b, a 2 b ... a n b, ngunit . Patunayan natin iyan.

Ipagpalagay na ang kabaligtaran, i.e. hayaan natin b. Ibahin natin ang kabuuan s sa anyong c = s - (a 1 + a 2 + ... + a n). Dahil s b sa pamamagitan ng pagpapalagay, (a 1 + a 2 + ... + a n) b ayon sa criterion ng divisibility ng kabuuan, pagkatapos ay sa pamamagitan ng divisibility theorem ng pagkakaiba sa b. Dumating sa isang kontradiksyon sa kung ano ang ibinigay. Dahil dito, .

Halimbawa, ang kabuuan 34 + 125 + 376 + 1024 ay hindi nahahati sa 2, dahil 34 2, 376 2.124 2, ngunit .

Teorama 9. Kung sa produkto ab ang factor a ay nahahati sa natural na bilang na m, at ang factor b ay nahahati sa natural na bilang n, kung gayon ang ab ay nahahati sa mn.

Ang bisa ng assertion na ito ay sumusunod mula sa theorem sa divisibility ng isang produkto.

Teorama 10. Kung ang produkto ac ay nahahati sa produktong bc, at c ay isang natural na numero, kung gayon ang i ay nahahati din sa b.

Patunay. Dahil ang ac ay nahahati sa bc, mayroong isang natural na bilang na q na ang ac = (bc)q, kung saan ac = (bq)c at kaya a =bq, i.e. a b.

Mga palatandaan ng divisibility

Ang mga katangian ng ugnayan ng divisibility na isinasaalang-alang sa talata 88 ay ginagawang posible na patunayan ang mga kilalang palatandaan ng divisibility ng mga numero na nakasulat sa sistema ng decimal na numero ng 2, 3.4, 5, 9.

Ang mga palatandaan ng divisibility ay nagbibigay-daan sa iyo na magtatag sa pamamagitan ng pagsulat ng isang numero kung ito ay nahahati ng iba nang hindi nagsasagawa ng dibisyon.

Teorama 11 (sign of divisibility by 2). Upang ang numerong x ay mahahati sa 2, kinakailangan at sapat na ang decimal notation nito ay magtatapos sa isa sa mga digit na 0, 2, 4, 6, 8.

Patunay. Hayaang isulat ang numerong x sa decimal notation, i.e. x \u003d a n 10 n + a n-1 10 n-1 + ... + a 1 10 + a 0 , kung saan a n , a n-1 ,..., a 1 , kunin ang mga halaga 0, 1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, habang ang n ≠ 0 at a 0 ay kumukuha ng mga halaga 0,2,4,6,8. Patunayan natin na x 2.

Mula noong 10 2, pagkatapos ay 10 2 2, 10 3 2, ..., 10 n 2 at, samakatuwid, (a n 10 n + a n-1 10 n-1 + ... + a 1 10 ) 2. Ayon sa ang kundisyon, ang isang 0 ay nahahati din ng 2, at samakatuwid ang bilang na x ay maaaring ituring bilang kabuuan ng dalawang termino, na ang bawat isa ay mahahati ng 2. Samakatuwid, ayon sa tanda ng divisibility ng kabuuan, ang bilang na x ay nahahati sa 2.

Patunayan natin ang kabaligtaran: kung ang numerong x ay nahahati sa 2, ang decimal notation nito ay magtatapos sa isa sa mga digit na 0, 2.4, 6, 8.

Isulat natin ang pagkakapantay-pantay x = a n 10 n + a n-1 10 n-1 + ... + a 1 10+a sa form na ito:

a o \u003d x-(a n 10 n + a n-1 10 n-1 + ... + a 1 10). Ngunit pagkatapos, sa pamamagitan ng divisibility theorem, ang pagkakaiba, a o 2, dahil x 2 at (a n 10 n + a n-1 10 n-1 + ... + a 1 10) 2. Upang isang digit at ang 0 ay nahahati sa 2, dapat itong kunin ang mga halaga 0, 2, 4, 6, 8.

Teorama 12 (sign of divisibility by 5). Upang ang numerong x ay mahahati sa 5, kinakailangan at sapat na ang decimal notation nito ay magtatapos sa 0 o 5.

Ang patunay ng pagsusulit na ito ay katulad ng patunay ng pagsusulit para sa divisibility ng 2.

Teorama 13 (sign of divisibility by 4). Upang ang numerong x ay mahahati ng 4, kinakailangan at sapat na ang dalawang-digit na numero na nabuo ng huling dalawang digit ng decimal na notasyon ng x ay mahahati sa 4.

Patunay. Hayaang isulat ang numerong x sa decimal notation, i.e. x \u003d a n 10 n + a n-1 10 n-1 + ... + a 1 10 + a 0 at ang huling dalawang digit sa entry na ito ay bumubuo ng isang numero na nahahati sa 4. Pinatutunayan namin na pagkatapos ay x 4 .

Mula noong 100 4, pagkatapos ay (a n 10 n + a n-1 10 n-1 + ... + a 1 10) 4. Ayon sa kondisyon, a 1 10 + a 0 (ito ang notasyon ng dalawang may halagang numero) ay nahahati din ng 4. Samakatuwid, ang bilang na x ay maaaring ituring na kabuuan ng dalawang termino, na ang bawat isa ay nahahati ng 4. Samakatuwid, ayon sa tanda ng divisibility ng kabuuan, ang bilang na x mismo ay nahahati ng 4.

Patunayan natin ang kabaligtaran, i.e. kung ang numerong x ay nahahati sa 4, ang dalawang-digit na numero na nabuo ng mga huling digit ng decimal na notasyon nito ay mahahati din sa 4.

Isinulat namin ang pagkakapantay-pantay x \u003d a n 10 n + a n-1 10 n-1 + ... + a 1 10 + a 0 sa form na ito: a 1 10 + a o \u003d x- (a n 10 n + a n -1 10 n-1 + ... + a 2 10 2). Dahil x 4 at (a n 10 n + a n-1 10 n-1 + ... + a 2 10 2) 4, pagkatapos ay sa pamamagitan ng theorem sa divisibility ng pagkakaiba (a 1 10 + a o) 4 Ngunit ang expression a 1 · 10 + a 0 ay isang talaan ng isang dalawang-digit na numero na nabuo ng mga huling digit ng talaan ng numerong x.

Teorama 1(sign of divisibility of the sum). Kung ang bawat termino ay nahahati sa nat. bilang c, kung gayon ang kabuuan ng mga numero ay mahahati sa c. Patunay: hayaan ang a⋮c at b⋮c. Pagkatapos ay mayroong mga natural na numero q 1 at q 2 na ang a=cq 1 at b=cq 2 . Mayroon kaming: a + b \u003d cq 1 + cq 2 \u003d c (q 1 + q 2). Dahil ang mga numerong q 1 at q 2 ay natural, kung gayon ang q 1 + q 2 ay isa ring natural na numero. Pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay a + b \u003d c (q 1 + q 2) ito ay sumusunod na (a + c) ⋮ c. P: Ang mga numerong 96 at 48 ay nahahati sa 12, kaya ang kanilang kabuuan na 96+48=144 ay nahahati din ng 12. Ang kabaligtaran ng teorama na ito ay mali, i.e. kung ang dalawang numero a at b ay nahahati sa ilang bilang c, hindi ito nangangahulugan na ang bawat termino na bumubuo sa kabuuan na ito ay nahahati sa bilang c. Teorama 2(sa divisibility ng pagkakaiba). Kung ang bawat isa sa mga numerong a at b ay nahahati sa natural na bilang c at b ≤ a, kung gayon ang pagkakaiba ng mga numerong ito ay mahahati sa c. Teorama 3(sa divisibility ng trabaho). Kung hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay nahahati sa bilang c, kung gayon ang produkto ay mahahati din sa bilang na ito c. Dok. Hayaan ang isang ⋮ c. Pagkatapos, sa pamamagitan ng kahulugan ng ugnayan ng divisibility, mayroong isang natural na bilang q na ang a= cq. Isaalang-alang ang bilang a ∙ b = (сq) ∙ в =с ∙ (qв). Dahil ang qv ay isang natural na numero, sumusunod ito mula sa huling pagkakapantay-pantay na (av) ⋮ s. Teorama4(sa divisibility ng trabaho). Kung sa produkto ab ng dalawang salik ang unang salik ay nahahati sa natural na bilang c, at ang pangalawang salik ay nahahati sa natural na bilang d, ang produktong ito ay nahahati sa cd. Patunay. Sa pamamagitan ng kundisyon a=cq 1 at b=dq 2 , kung saan q 1 , q 2 ∈ N. Pagkatapos ay ab =(cq 1)(dq 2) =с (q 1 (dq 2)=c ((q 1 ∙ d) q 2)= с ((dq 1) ∙ q 2)= c (d(q 1 q 2))= (cd)(q 1 ∙ q 2), kung saan q 1 ∙ q 2 ∈ N. Samakatuwid, (av) ⋮ (na may d) P: dahil ang numero 30 ay nahahati sa 5, at ang numero 14 ay nahahati sa 7, kung gayon ang produkto ng 30 at 14 ay nahahati sa produkto ng 5 at 7, ibig sabihin (30 14) ay nahahati ng (5 7) Sa katunayan, 30 14=420, 5 7=35, at 420:35=12, ibig sabihin, 420 35.

21. Tanda ng divisibility ni Pascal.Theorem: ang natural na numero a, na ibinigay sa sistema ng decimal na numero, ay nahahati sa natural na numero sa kung at kung ang kabuuan ng mga produkto ng bawat digit ng numero a ay hinati ng sa mga natitirang bahagi ng paghahati sa katumbas na bit mga yunit (1,10,10 2,10 3, …,10 p). Doc-in: hayaan ang a = a p a p-1 ... a 2 a 1 a 0 . Hayaang ibigay ng mga numerong 10, 10 2 , 10 3 , …, 10 p ang mga natitira r 1 , r 2 , r 3 , …, r p-1 , rp kapag hinahati sa pamamagitan ng into. Ayon sa division theorem na may nalalabi, tayo mayroon: 10 = sa q 1 + r 1 , 10 2 \u003d q 2 + r 2, 10 3 \u003d q 3 + r 3, ..., 10 p-1 \u003d qq p-1 + r p-1 , 10 p \u003d qqp + r p. ibinigay na numero a sa form: a \u003d apa p-1 ... a 2 a 1 a 0 \u003d ap 10 p + a p-1 10 p-1 + .. . + a 2 10 2 + a 1 10 1 + a 0 \u003d ap (vq p + rp) + a p-1 (bq p-1 + r p-1) + ... + a 2 (bq 2 + r 2) + a 1 (bq 1 + r 1) + a 0 \u003d (apqp + a p-1 q p-1 + ... + a 2 q 2 + a 1 q 1) c + (aprp + a p-1 r p-1 + ... + a 2 r 2 + a 1 r 1 + a 0). Nakikita natin na ang unang termino ay nahahati ng in, dahil naglalaman ito ng marami.c. Upang ang isang naibigay na numero a ay mahahati ng b, kinakailangan at sapat na ang pangalawang termino ay mahahati din ng b, ibig sabihin, ang bilang c \u003d a 0 + a 1 r 1 + a 2 r 2 + ... + ap -1 r p-1 + a p r p. Ang numerong ito ay ang kabuuan ng mga produkto ng bawat digit ng numero a at ang mga natitira mula sa paghahati sa katumbas na mga yunit ng bit. P: ipakita natin na ang bilang na 65345 ay nahahati sa 7. Hanapin natin ang mga natitira mula sa paghahati sa 7 bit units 10 1 , 10 2 , …, 10 5 . Kung ang natitira ay malapit sa numero 7, pagkatapos ay papalitan natin ito ng isang kakulangan, iyon ay, ang bilang ng mga yunit na nawawala para sa divisibility ng 7. 10 1:7, r 1 =3; 10 2:7, r 2 =2; 10 3:7, r 3 = -1; 10 4:7, r 4 = -3. Pagkatapos c=5+4 3+3 2+ 5 (-1)+ 6 (-3)= 5+12+6-5-18=0. Dahil ang 0 ay nahahati sa 7, ang bilang na 65345 ay nahahati din ng 7.

Ang konsepto ng rational number. Mga ugnayan sa pagitan ng mga set ng natural, integer at rational na mga numero.

Ang rational na numero ay isang numero na kinakatawan ng isang ordinaryong fraction, ang numerator m ay isang integer, at ang denominator n ay isang natural na numero, halimbawa 2/3. Ang hanay ng mga positibong rational na numero ay tinutukoy ng Q + . Ipakita natin na ang lahat ng natural na numero ay nakapaloob sa set na ito, i.e. na N c Q + . Hayaang ang haba ng segment a sa unit length e ay ipahayag ng natural na bilang na m. ika-na bahagi ang segment e ay magkakasya sa segment a m p beses, ibig sabihin, ang haba ng segment a ay ipahahayag bilang mga fraction ng form . Ngunit marami sa mga fraction na ito ay positibo. makatwirang numero. Samakatuwid, ang haba ng segment a, sa isang banda, ay ipinahayag ng natural na bilang na m, at sa kabilang banda, ng positibong rational na numero. Ngunit ito ay dapat na parehong numero. Samakatuwid, ipinapayong isaalang-alang na ang mga praksyon ng anyo ay mga talaan ng natural na bilang na m. Kasunod nito na ang anumang natural na bilang na m ay maaaring katawanin bilang isang fraction, samakatuwid N c Q +. Ang lahat ng natural na numero ay nakapaloob sa maraming posisyon ng mga rational na numero. Ang mga numero na umakma sa maramihan ng natural na mga numero sa maramihan ng mga posisyon ng mga rational na numero ay tinatawag na mga fractional na numero.

Pagdaragdag at pagbabawas ng mga rational na numero. Mga batas sa karagdagan.

sum rational number at tinatawag na rational number. Dahil ang anumang dalawang fraction ay maaaring bawasan sa isang karaniwang denominator, kung gayon ang kabuuan ng mga rational na numero at magiging katumbas ng: + = + = . Ang kabuuan ng mga rational na numero ay palaging umiiral at natatangi. Teorama: ang operasyon ng pagdaragdag ng mga rational na numero ay may commutative at associative properties, i.e. 1. ( a, b Q) a + b \u003d b + a (commutativity ng karagdagan); 2. ( a, b, c Q) (a + c) + c \u003d a + (b + c) (associativity ng karagdagan). Ang mga batas ng karagdagan: commutative - a + b \u003d b + a para sa anumang a, b Q +; associative - (a + c) + c \u003d a + (b + c) para sa anumang a, c, c Q +. Pagkakaiba fractions at tinatawag na fraction tulad na + = . Ayon sa kahulugan - = + = . Kunin natin ang panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction, ibig sabihin, hanapin ang halaga ng fraction. kasi + = , pagkatapos = . Kaya naman: (py+xq) n= (qy) m o pyn+xqn=qum, x(qp)= y(qm-pn). Mula sa huling pagkakapantay-pantay magkakaroon tayo ng: = . Kaya, nakuha namin ang: - = . Sa partikular, - = . Para sa mga rational na numero, ang pahayag ay totoo: ang pagkakaiba ng mga rational na numero ay palaging umiiral at natatangi. Nangangahulugan ito na kahit na anong dalawang rational na numero ang ibinigay, ang kanilang pagkakaiba ay palaging mahahanap, ibig sabihin, pagbabawas ordinaryong fraction laging nagagawang operasyon.

Pagkakasunud-sunod ng ugnayan sa hanay ng mga rational na numero. Mga katangian ng hanay ng mga rational na numero (infinity, orderliness, countability, density).

Mq np o mq np. Para sa mga integer, totoo rin ito: a in o 1 in 1. P: ihambing ang mga fraction at . 19 27=513 at 23 25= 575 at ihambing ang mga ito. kasi 513 575, pagkatapos . Teorama: ang ugnayang "mas mababa sa" ng maraming rational na numero ay palipat, walang simetriko at anti-reflexive, ibig sabihin. 1) at , pagkatapos - transitivity; 2) , kung gayon hindi totoo na - kawalaan ng simetrya; 3) hindi totoo na antireflexivity. Ito ay sumusunod mula sa theorems na ang ugnayang "mas mababa sa" sa set Q ng mga rational na numero ay isang relasyon ng mahigpit linear order, at ang pl.Q mismo ay isang linearly ordered set. Mga katangian ng maramihang mga rational na numero: 1.Mn.Q ng mga rational na numero ay mabibilang, ibig sabihin, ang mga elemento nito ay maaaring bilangin gamit ang mga natural na numero.

N: 1.2, 3, 4, 5, 6.

Mula sa graph makikita natin na ang Q N, na nangangahulugan na ang pl.Q ay mabibilang.

2.Mn.Q ng mga rational na numero ay walang hanggan. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang Q ay N, at ang set N ay walang katapusan. 3. Walang pinakamaliit na bilang sa maramihang positibong rational na numero. 4.Mn.Q ng mga rational na numero ay siksik. Nangangahulugan ito na sa pagitan ng alinmang dalawang magkaibang rational na numero a at sa maramihan na Q ay mayroong walang katapusang maramihan ng mga rational na numero. 5. Ang bawat rational number ay tumutugma sa isang punto sa coordinate line, ngunit hindi lahat ng point ay tumutugma sa isang rational number. Ang pagsusulatan sa pagitan ng maraming Q rational na numero at maraming punto ng coordinate line ay hindi bijective.

konsepto hindi makatwiran na numero. Set ng mga positibong tunay na numero.

Ang isang hindi makatwirang numero ay isang numero na ipinahayag bilang isang walang katapusang decimal na non-periodic na fraction. Ang mga hindi makatwirang numero ay nakukuha hindi lamang kapag kumukuha ng mga ugat mula sa ilang mga numero ( ; ), hindi lamang kapag sinusukat ang mga haba ng mga segment, kundi pati na rin kapag nilulutas mga praktikal na gawain, halimbawa, kapag sinusukat ang lugar, kinakalkula ang ratio ng circumference ng isang bilog sa diameter nito (). P: mga numero 0.0100100010000100…; 45.3232232223222232…; =3.141592…; =1.732050…; \u003d 1.414213 ... ay hindi makatwiran, dahil ang mga ito ay walang katapusang non-periodic decimal fraction (imposibleng makilala ang isang tuldok sa kanila). Maramihang mga posisyon ng mga hindi makatwirang numero ay nagsasaad ng I + . Ang unyon ng mga plural na posisyon ng mga rational na numero at ang plural na posisyon ng mga irrational na numero ay bumubuo sa plural na posisyon ng mga tunay na numero, na kung saan ay tinutukoy ng R + , i.e. R + =Q + I + , at Q + c R + , I + c R + , Q + I + = . Mn. Ang R + ay nahahati sa dalawang klase: 1. ang klase ng walang katapusang periodic decimal fraction; 2. klase ng walang katapusang di-pana-panahong mga decimal fraction. Pangwakas mga decimal ay maaari ding ituring bilang walang katapusang periodic fraction na may panahon na 0. H: 0.4 \u003d 0.40000 ... Bilang karagdagan, ang anumang rational na numero ay maaaring isulat bilang isang walang katapusang periodic fraction na may panahon na 9.

Pag-order ng hanay ng mga positibong tunay na numero. Mga Katangian ng Set ng Positive Real Numbers.

Ang ugnayang "mas mababa sa" ng maramihang R + ay isang kaugnayan ng mahigpit na linear na pagkakasunud-sunod, na nangangahulugang ito ay walang simetriko (kung x y, pagkatapos y x), palipat (kung x y, y z, pagkatapos x z) at konektado (o x \u003d y, o xy, o yx). Ito ay sumusunod mula dito na ang set R + ng positive real numbers ay isang ordered set. Maaaring i-order ang mga elemento nito gamit ang ugnayang "mas mababa sa". Mn. Ang R + ay siksik sa sarili nito, ibig sabihin, sa pagitan ng alinmang dalawang tunay na numero ay mayroong isang walang katapusang hanay ng mga tunay na numero. H: nasa pagitan ng mga numero 1.2 at 1.3 ang mga numerong 1.21; 1.211 atbp. Mn. Ang R + ay tuluy-tuloy, ibig sabihin, kung ang numerical set X ay matatagpuan sa kaliwa ng numerical plural Y, pagkatapos ay mayroong kahit isang numero na naghihiwalay sa mga set na ito. Maraming posisyon ng mga tunay na numero ang hindi mabilang. Dock-in (sa paraan ng kontradiksyon): patunayan namin na sa ilalim ng walang pag-uutos ng pl. R + imposibleng ibilang ang mga numero nito. Ipagpalagay natin na ang mga elemento R + pinamamahalaang upang mabilang: 1 m 1, a 1 a 2 a 3 ...; 2 m 2, sa 1 sa 2 sa 3 ...; 3 m 3, s 1 s 2 s 3 ...; ...., saan ako - buong bahagi numero, titik a, b, c,… ay mga decimal na lugar pagkatapos ng decimal point. Ipagpalagay na ang pagkakasunud-sunod ng mga fraction na ito ay naglalarawan ng lahat ng tunay na numero. Kunin natin ang numerong z=0, abs…, kung saan a a 1, c c 2, c c 3, atbp. Ang bagong numerong z na ito ay naiiba mula sa unang numero sa pamamagitan ng mga ikasampu, mula sa pangalawa sa pamamagitan ng daan-daang, mula sa ikatlo sa pamamagitan ng libo, at iba pa. Ito ay naiiba sa ika-n na numero sa pagkakasunud-sunod sa pamamagitan ng ika-1 na digit ng bahaging praksyonal. Nangangahulugan ito na may lumitaw na bagong numerong z, na hindi binibilang. Sinasalungat nito ang pagpapalagay na ang lahat ng tunay na numero ay binilang. Kaya, napatunayan na ang R + hindi mabilang. Mn. R + infinite (pinatunayan ng kontradiksyon).

Mga pagpapatakbo ng aritmetika sa hanay ng lahat ng tunay na numero.

sum dalawang tunay na numerong x at y ay tinatawag na tunay na numero na tumutugon sa mga sumusunod na kondisyon: 1) ang kabuuan ng mga positibong numero ay isang positibong numero na ang modulus ay katumbas ng kabuuan mga module ng mga termino: |x+y|=|x|+|y|; 2) ang kabuuan ng mga negatibong numero ay isang negatibong numero, ang module na kung saan ay katumbas ng kabuuan ng mga module ng mga termino: (-x) + (-y) \u003d - (x + y); 3) ang kabuuan ng dalawang numero na may iba't ibang palatandaan mayroong isang numero na tumutugma sa tanda ng termino na mayroong isang mas malaking module, at ang sum module ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mas malaki at mas maliit na mga module ng mga termino: kung x y, pagkatapos x + (-y) \u003d x-y; kung ang x ay y, kung gayon ang x+(-y)=-(y-x). Ang operasyon ng karagdagan sa pangmaramihang R ay commutative ( x, y R) x+y=y+x at associative ( x, y, z R)(x+y)+z= x+(y+z). Ang numero 0 ay isang neutral na elemento na may kinalaman sa karagdagan, ibig sabihin, x + 0 = 0 + x = x. Ang operasyon ng pagbabawas sa pangmaramihang R ay tinukoy bilang ang kabaligtaran na operasyon ng karagdagan. Dahil para sa bawat isa sa R ​​mayroong isang numero-in tulad na sa + (-in) = 0, kung gayon ang pagbabawas ay katumbas ng karagdagan sa numero-in, ibig sabihin, a-in = a+ (-in). trabaho dalawang tunay na numerong x at y ay tinatawag na tunay na numerong z, na nakakatugon sa mga sumusunod na kondisyon: 1) ang modulus ng produkto ng dalawang numero ay katumbas ng produkto ng mga module ng mga numerong ito: |xy|=|x|∙| y|; 2) ang tanda sa produkto ng dalawang numero ay positibo kung ang mga palatandaan ng mga kadahilanan ay pareho; 3) ang sign sa produkto ng dalawang numero ay negatibo kung ang mga palatandaan ng mga kadahilanan ay magkaiba. Ang operasyon ng multiplikasyon sa pangmaramihang R ay commutative ( x, y R)x∙y=y∙x; nag-uugnay ( x,y,z R)(x∙y) ∙z=x∙(y∙z); distributive ( x,y,z. 1-neutral na elemento na may kinalaman sa multiplikasyon: x∙1=1∙x=x; 0-absorbing element na may kinalaman sa multiplikasyon: x∙0=0∙x=0. Ang dibisyon ng real Ang mga numero ay maaaring ituring bilang isang aksyon , ang kabaligtaran ng multiplikasyon, dahil x: y=x ∙ , kung saan ang y Dibisyon ng 0 sa set R ay imposible.

Ang haba ng segment at ang pagsukat nito.

Ang haba ng isang segment ay isang value na tinukoy para sa bawat segment upang: 1) magkaparehong haba ang mga pantay na segment; 2) kung ang isang segment ay binubuo ng isang may hangganang bilang ng mga segment, ang haba nito ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga segment na ito. Sa matematika, ang dalawang magkasalungat na problema ay itinuturing na nauugnay sa haba ng isang segment: pagsukat ng haba ng isang segment a gamit ang segment na e, pinili bilang isang unit segment, at pagbuo ng isang segment a ayon sa ibinigay na haba nito. Mga katangian ng haba ng segment 1. Sa napiling yunit ng haba, ang haba ng anumang segment ay ipinahayag ng isang positibong tunay na numero, at para sa bawat positibong tunay na numero mayroong isang segment na ang haba ay ipinahayag ng numerong ito. Ang mga numerical na halaga ng kanilang mga haba ay pantay din, at kabaliktaran: kung ang mga numerical na halaga Kung ang haba ng dalawang segment ay pantay, ang mga segment mismo ay pantay. a=b (a) = (b). 2. Kung ang isang partikular na segment ay binubuo ng isang may hangganan na bilang ng mga segment, ang numerical na halaga ng haba nito ay katumbas ng kabuuan ng mga numerical na halaga ng mga haba ng mga constituent na segment, at vice versa: kung ang numerical na halaga ng segment ang haba ay katumbas ng kabuuan ng mga numerical na halaga ng ilang mga segment, kung gayon ang segment mismo ay katumbas ng kabuuan ng mga segment na ito. c= a + b (c) = (a) + (b). Ipakita natin. Hayaan ang a = e, b= e. a + b \u003d ( + 4. Kung ang mga haba ng mga segment a at b ay tulad na b \u003d xa, kung saan ang x ay isang positibong tunay na numero, pagkatapos ay upang mahanap ang numerical na halaga ng haba ng segment b kasama ang yunit ng sukat e, sapat na upang mahanap ang produkto ng numero x at ang numerical na halaga ang haba ng segment a sa pagkakaisa e. b \u003d xa (b) \u003d x (a).Hayaan b \u003d xa at a \u003d e, pagkatapos ay sa \u003d xe \u003d (x) e. 5. Kapag binago ang yunit ng haba, ang halaga ng haba ng segment ay tumataas ( bumababa) nang maraming beses sa bilang ng beses na ang bagong yunit ay mas kaunti (mas malaki) kaysa sa luma. Hayaang bigyan ang dalawang yunit ng haba e at e 1 na e 1 \u003d ke. Nangangahulugan ito na ang bagong yunit ay k beses na mas malaki kaysa sa luma. Pagkatapos kung a \u003d e, pagkatapos kapag lumipat sa isang bagong yunit, magkakaroon tayo ng: a \u003d 1 \u003d e 1. Ang bilang ay k beses na mas mababa kaysa sa numero.P: 14m \u003d 14 1m \u003d 14 \u003d (14 1400 cm. Ang resultang bilang 1400 ay 100 beses mas maraming numero 14, dahil ang bagong yunit ng haba, ang sentimetro, ay 100 beses na mas maliit kaysa sa metro.

Ang lugar ng figure at ang pagsukat nito.

Ang lugar ng isang figure ay isang hindi-negatibong halaga na tinukoy para sa bawat figure sa paraang: 1) pantay na mga numero ay may pantay na mga lugar; 2) kung ang isang figure ay binubuo ng isang may hangganan na bilang ng mga numero, kung gayon ang lugar nito ay katumbas ng kabuuan ng kanilang mga lugar. Upang sukatin ang lugar ng isang figure, kailangan mong magkaroon ng isang yunit ng lugar. Ang area unit ay ang lugar ng isang parisukat na may gilid e. Ang lugar ng isang parisukat na may gilid e ay tinutukoy ng e 2 . N., S \u003d 20 cm 2 na may unit area na 1 cm 2. Pagsukat ng lugar ng mga hugis gamit ang isang palette. Ang palette ay isang grid ng mga parisukat na inilapat sa isang transparent na materyal. Ang pagsukat gamit ang isang palette ay tinatayang at kinakalkula ng formula: S, kung saan ang S 1 ay ang lugar ng panloob na sistema ng mga parisukat, ang S 2 ay ang lugar ng sistema ng mga parisukat na ganap na sumasakop sa figure. Ang iba pang paraan upang sukatin ang mga lugar ng mga figure ay ang paggamit ng mga formula upang kalkulahin ang mga ito: 1. Lugar ng isang parihaba: S=ab, kung saan ang a ay ang haba, ang b ay ang lapad ng parihaba. 2. Ang lugar ng parallelogram: S=ah, kung saan ang a ay ang haba ng gilid ng parallelogram, h ang taas nito. 3. Lugar ng isang tatsulok: S= ah, kung saan ang a ay ang haba ng gilid ng tatsulok, h ang taas nito. 4. Ang lugar ng rhombus: S= d 1 d 2, kung saan ang d 1 at d 2 ay ang mga haba ng mga diagonal ng rhombus. 5. Ang lugar ng trapezoid: S = , kung saan ang a at b ay ang mga haba ng mga base ng trapezoid, h ang taas nito. 6. Ang lugar ng bilog: S= 2, kung saan ang R ay ang haba ng radius ng bilog. Ang mga lugar ng mga flat figure ay may mga katangian: a) ang mga lugar ng pantay na mga figure na may parehong yunit ng lugar ay katumbas ng bawat isa. b) kung ang figure F ay binubuo ng mga figure F 1, F 2, ..., F n, kung gayon ang area value ng figure F ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng figure F 1, F 2, ... , F p na may parehong area unit. c) kapag binabago ang yunit ng pagsukat ng lugar, ang numerical na halaga ng lugar ng figure ay tumataas (bumababa) nang maraming beses sa bilang ng beses na ang bagong yunit ng pagsukat ay mas mababa (mas malaki) kaysa sa luma. P: 12 m 2 = 12 2 = 12 2 = 1200 dm 2. Ang paunang yunit ng pagsukat na 1m 2 ay nabawasan ng 100 beses, at ang halaga ng lugar ay tumaas ng 100 beses. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang 1m 2 \u003d 100dm 2, at 1dm 2 \u003d 0.01m 2.