Ang antas ng a ay isang natural na tagapagpahiwatig. Mga katangian ng mga degree, formulations, proofs, mga halimbawa

Matapos matukoy ang antas ng numero, lohikal na pag-usapan mga katangian ng degree. Sa artikulong ito, ibibigay namin ang mga pangunahing katangian ng antas ng isang numero, habang hinahawakan ang lahat ng posibleng exponent. Dito ay magbibigay kami ng mga patunay ng lahat ng mga katangian ng antas, at ipapakita din kung paano inilalapat ang mga katangiang ito kapag nilulutas ang mga halimbawa.

Pag-navigate sa pahina.

Mga katangian ng mga degree na may natural na mga tagapagpahiwatig

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang kapangyarihan na may natural na exponent, ang kapangyarihan ng isang n ay produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng isang . Batay sa kahulugang ito, at paggamit real number multiplication properties, maaari nating makuha at bigyang katwiran ang mga sumusunod mga katangian ng degree na may natural na tagapagpahiwatig :

ang pangunahing katangian ng antas a m ·a n =a m+n , ang paglalahat nito;
ari-arian ng bahagyang kapangyarihan na may ang parehong mga batayan a m: a n = a m−n ;
product degree property (a b) n =a n b n , extension nito ;
pribadong ari-arian sa natural na antas(a:b) n =a n:b n ;
exponentiation (a m) n =a m n , ang paglalahat nito (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
paghahambing ng antas sa zero:
- kung a>0 , pagkatapos ay a n >0 para sa anumang natural n ;
- kung a=0 , pagkatapos ay a n =0 ;
- kung ang<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 kung a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
kung ang a at b ay mga positibong numero at a
kung ang m at n ay mga natural na numero tulad ng m>n , pagkatapos ay sa 0 0 ang hindi pagkakapantay-pantay a m >a n ay totoo.

Agad naming tandaan na ang lahat ng nakasulat na pagkakapantay-pantay ay magkapareho sa ilalim ng tinukoy na mga kondisyon, at ang kanilang kanan at kaliwang bahagi ay maaaring palitan. Halimbawa, ang pangunahing katangian ng fraction a m a n = a m + n na may pagpapasimple ng mga expression kadalasang ginagamit sa anyong a m+n = a m a n .

Ngayon tingnan natin ang bawat isa sa kanila nang detalyado.

Magsimula tayo sa pag-aari ng produkto ng dalawang kapangyarihan na may parehong mga base, na tinatawag na ang pangunahing pag-aari ng degree: para sa anumang tunay na bilang a at anumang natural na mga numerong m at n, ang pagkakapantay-pantay na a m ·a n =a m+n ay totoo.

Patunayan natin ang pangunahing pag-aari ng degree. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may natural na exponent, ang produkto ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan ng anyong a m a n ay maaaring isulat bilang isang produkto. Dahil sa mga katangian ng multiplikasyon, ang resultang expression ay maaaring isulat bilang , at ang produktong ito ay ang kapangyarihan ng a na may natural na exponent m+n , iyon ay, a m+n . Kinukumpleto nito ang patunay.

Magbigay tayo ng isang halimbawa na nagpapatunay sa pangunahing pag-aari ng degree. Kumuha tayo ng mga degree na may parehong mga base 2 at natural na kapangyarihan 2 at 3, ayon sa pangunahing katangian ng degree, maaari nating isulat ang pagkakapantay-pantay 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Suriin natin ang bisa nito, kung saan kinakalkula natin ang mga halaga ng mga expression 2 2 ·2 3 at 2 5 . Nagsasagawa ng exponentiation, mayroon kami 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 at 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, dahil ang mga pantay na halaga ay nakuha, kung gayon ang pagkakapantay-pantay 2 2 2 3 \u003d 2 5 ay tama, at kinukumpirma nito ang pangunahing pag-aari ng degree.

Ang pangunahing katangian ng isang degree na batay sa mga katangian ng multiplikasyon ay maaaring gawing pangkalahatan sa produkto ng tatlo o higit pang mga kapangyarihan na may parehong mga base at natural na exponent. Kaya para sa anumang bilang k ng mga natural na numero n 1 , n 2 , …, n k ang pagkakapantay-pantay a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

Halimbawa, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Maaari kang magpatuloy sa susunod na pag-aari ng mga degree na may natural na tagapagpahiwatig - ang pag-aari ng mga bahagyang kapangyarihan na may parehong mga batayan: para sa anumang di-zero real number a at arbitrary na natural na mga numero m at n na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon m>n , ang pagkakapantay-pantay a m:a n =a m−n ay totoo.

Bago ibigay ang patunay ng ari-arian na ito, talakayin natin ang kahulugan ng mga karagdagang kondisyon sa pagbabalangkas. Ang kundisyong a≠0 ay kinakailangan upang maiwasan ang paghahati ng zero, dahil 0 n =0, at nang makilala natin ang paghahati, napagkasunduan natin na imposibleng hatiin ng zero. Ang kundisyon m>n ay ipinakilala upang hindi tayo lumampas sa natural exponents. Sa katunayan, para sa m>n ang exponent a m−n ay isang natural na numero, kung hindi, ito ay magiging zero (na mangyayari para sa m−n ) o isang negatibong numero (na mangyayari para sa m
Patunay. Ang pangunahing pag-aari ng isang fraction ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang pagkakapantay-pantay a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Mula sa nakuhang pagkakapantay-pantay a m−n ·a n =a m at mula rito ay sumusunod na ang m−n ay isang quotient ng mga kapangyarihan ng a m at a n . Pinatutunayan nito ang pag-aari ng mga bahagyang kapangyarihan na may parehong mga base.

Kumuha tayo ng isang halimbawa. Kumuha tayo ng dalawang degree na may parehong mga base π at natural exponents 5 at 2, ang itinuturing na pag-aari ng degree ay tumutugma sa pagkakapantay-pantay π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.

Ngayon isaalang-alang ari-arian ng antas ng produkto: ang natural na digri n ng produkto ng alinmang dalawang tunay na numero a at b ay katumbas ng produkto ng mga digri a n at b n , ibig sabihin, (a b) n =a n b n .

Sa katunayan, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may natural na exponent, mayroon tayo . Ang huling produkto, batay sa mga katangian ng pagpaparami, ay maaaring muling isulat bilang , na katumbas ng a n b n .

Narito ang isang halimbawa: .

Ang pag-aari na ito ay umaabot sa antas ng produkto ng tatlo o higit pang mga kadahilanan. Ibig sabihin, ang likas na kapangyarihan na pag-aari n ng produkto ng k mga kadahilanan ay nakasulat bilang (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n.

Para sa kalinawan, ipinapakita namin ang property na ito na may isang halimbawa. Para sa produkto ng tatlong salik sa kapangyarihan ng 7, mayroon kaming .

Ang susunod na ari-arian ay likas na ari-arian: ang quotient ng mga tunay na numero a at b , b≠0 sa natural na kapangyarihan n ay katumbas ng quotient ng mga kapangyarihan a n at b n , ibig sabihin, (a:b) n =a n:b n .

Ang patunay ay maaaring isagawa gamit ang dating ari-arian. Kaya (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, at ang pagkakapantay-pantay (a:b) n b n =a n ay nagpapahiwatig na ang (a:b) n ay ang quotient ng a n hinati ng b n .

Isulat natin ang property na ito gamit ang halimbawa ng mga partikular na numero: .

Ngayon boses natin pag-aari ng exponentiation: para sa anumang tunay na numero a at anumang natural na bilang na m at n, ang kapangyarihan ng a m sa kapangyarihan ng n ay katumbas ng kapangyarihan ng a na may exponent m·n , iyon ay, (a m) n =a m·n .

Halimbawa, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 .

Ang patunay ng power property sa isang degree ay ang sumusunod na chain of equalities: .

Ang itinuturing na ari-arian ay maaaring palawigin sa degree sa loob ng degree sa loob ng degree, at iba pa. Halimbawa, para sa anumang natural na numerong p, q, r, at s, ang pagkakapantay-pantay . Para sa higit na kalinawan, narito ang isang halimbawa na may mga partikular na numero: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Ito ay nananatiling upang tumira sa mga katangian ng paghahambing ng mga degree sa isang natural na exponent.

Magsisimula tayo sa pamamagitan ng pagpapatunay sa paghahambing na katangian ng zero at kapangyarihan na may natural na exponent.

Una, bigyang-katwiran natin na a n >0 para sa alinmang a>0 .

produkto ng dalawa mga positibong numero ay isang positibong numero, tulad ng sumusunod mula sa kahulugan ng multiplikasyon. Ang katotohanang ito at ang mga katangian ng pagpaparami ay nagpapahintulot sa amin na igiit na ang resulta ng pagpaparami ng anumang bilang ng mga positibong numero ay magiging isang positibong numero. At ang kapangyarihan ng a na may natural na exponent n ay, sa pamamagitan ng kahulugan, ang produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Ang mga argumentong ito ay nagpapahintulot sa amin na igiit na para sa anumang positibong base a ang antas ng a n ay isang positibong numero. Sa bisa ng napatunayang ari-arian 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 at .

Ito ay lubos na halata na para sa anumang natural n na may a=0 ang antas ng isang n ay zero. Sa katunayan, 0 n =0·0·…·0=0 . Halimbawa, 0 3 =0 at 0 762 =0 .

Lumipat tayo sa mga negatibong batayan.

Magsimula tayo sa kaso kapag ang exponent ay isang even na numero, ipahiwatig ito bilang 2 m , kung saan ang m ay isang natural na numero. Pagkatapos . Para sa bawat isa sa mga produkto ng anyong a·a ay katumbas ng produkto ng mga module ng mga numerong a at a, samakatuwid, ay isang positibong numero. Samakatuwid, ang produkto ay magiging positibo din. at degree a 2 m . Narito ang mga halimbawa: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 at .

Sa wakas, kapag ang base ng a ay isang negatibong numero at ang exponent ay isang kakaibang numero 2 m−1, kung gayon . Ang lahat ng mga produkto a ay mga positibong numero, ang produkto ng mga positibong numero ay positibo rin, at ang pagpaparami nito sa natitira isang negatibong numero isang resulta sa isang negatibong numero. Dahil sa property na ito (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Bumaling tayo sa pag-aari ng paghahambing ng mga degree na may parehong natural na exponents, na may sumusunod na pagbabalangkas: ng dalawang degree na may parehong natural na exponents, n ay mas mababa sa isa na ang base ay mas mababa, at higit sa isa na ang base ay mas malaki. Patunayan natin.

Hindi pagkakapantay-pantay a n mga katangian ng hindi pagkakapantay-pantay ang hindi pagkakapantay-pantay ay pinatutunayan ng anyong a n .

Ito ay nananatiling patunayan ang pinakahuli sa mga nakalistang katangian ng mga kapangyarihan na may natural na exponent. Bumalangkas tayo. Sa dalawang degree na may natural na mga tagapagpahiwatig at parehong positibong mga base, mas mababa sa isa, ang antas ay mas malaki, ang tagapagpahiwatig na kung saan ay mas mababa; at ng dalawang degree na may natural na mga tagapagpahiwatig at ang parehong mga base na mas malaki kaysa sa isa, ang antas ay mas malaki, ang tagapagpahiwatig kung saan ay mas malaki. Bumaling tayo sa patunay ng ari-arian na ito.

Patunayan natin na para sa m>n at 0 0 dahil sa paunang kundisyon m>n , kung saan sinusundan iyon sa 0
Ito ay nananatiling patunayan ang ikalawang bahagi ng ari-arian. Patunayan natin na para sa m>n at a>1, ang isang m >a n ay totoo. Ang pagkakaiba ng a m −a n pagkatapos kunin ang isang n mula sa mga bracket ay nasa anyong a n ·(a m−n −1) . Ang produktong ito ay positibo, dahil para sa a>1 ang antas ng a n ay isang positibong numero, at ang pagkakaiba ng a m−n −1 ay isang positibong numero, dahil m−n>0 dahil sa paunang kondisyon, at para sa a>1, ang antas ng isang m−n ay mas malaki kaysa sa isa . Samakatuwid, a m − a n >0 at a m >a n , na dapat patunayan. Ang katangiang ito ay inilalarawan ng hindi pagkakapantay-pantay 3 7 >3 2 .

Mga katangian ng mga degree na may mga integer exponents
Dahil ang mga positibong integer ay mga natural na numero, kung gayon ang lahat ng mga katangian ng mga kapangyarihan na may positibong integer na mga exponent ay eksaktong katugma sa mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga natural na exponent na nakalista at napatunayan sa nakaraang talata.

Ang degree na may negatibong integer exponent, pati na rin ang degree na may zero exponent, tinukoy namin sa paraang ang lahat ng katangian ng mga degree na may natural na exponent na ipinahayag ng mga pagkakapantay-pantay ay mananatiling wasto. Samakatuwid, ang lahat ng mga katangiang ito ay may bisa kapwa para sa mga zero exponents at para sa mga negatibong exponents, habang, siyempre, ang mga base ng mga degree ay nonzero.

Kaya, para sa anumang tunay at di-zero na mga numero a at b, pati na rin ang anumang integer na m at n, ang mga sumusunod ay totoo mga katangian ng mga degree na may mga integer exponent:

a m a n \u003d a m + n;

a m: a n = a m−n ;

(a b) n = a n b n ;

(a:b) n =a n:b n ;

(a m) n = a m n ;

kung ang n ay isang positibong integer, ang a at b ay mga positibong numero, at a b-n;

kung ang m at n ay mga integer, at m>n , pagkatapos ay sa 0 1 natutupad ang hindi pagkakapantay-pantay a m >a n.

Para sa a=0, ang powers a m at a n ay may katuturan lamang kapag ang m at n ay positive integers, iyon ay, natural na mga numero. Kaya, ang mga katangian na isinulat lamang ay wasto din para sa mga kaso kapag ang a=0 at ang mga numerong m at n ay mga positibong integer.

Hindi mahirap patunayan ang bawat isa sa mga pag-aari na ito, para dito sapat na gamitin ang mga kahulugan ng antas na may natural at integer na exponent, pati na rin ang mga katangian ng mga aksyon na may totoong mga numero. Bilang halimbawa, patunayan natin na ang power property ay may hawak para sa parehong positive integers at nonpositive integers. Upang gawin ito, kailangan nating ipakita na kung ang p ay zero o isang natural na numero at q ay zero o isang natural na numero, kung gayon ang mga pagkakapantay-pantay (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) at (a−p)−q =a (−p) (−q). Gawin natin.

Para sa positibong p at q, ang pagkakapantay-pantay (a p) q =a p·q ay napatunayan sa nakaraang subsection. Kung p=0 , kung gayon mayroon tayong (a 0) q =1 q =1 at a 0 q =a 0 =1 , kung saan (a 0) q =a 0 q . Katulad nito, kung q=0 , kung gayon (a p) 0 =1 at a p 0 =a 0 =1 , kung saan (a p) 0 =a p 0 . Kung parehong p=0 at q=0 , kung gayon (a 0) 0 =1 0 =1 at a 0 0 =a 0 =1 , kung saan (a 0) 0 =a 0 0 .

Patunayan natin ngayon na (a −p) q =a (−p) q . Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may negatibong integer exponent , kung gayon . Sa pamamagitan ng pag-aari ng quotient sa degree, mayroon kami . Dahil 1 p =1·1·…·1=1 at , pagkatapos . Ang huling expression ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang kapangyarihan ng anyong a −(p q) , na, sa bisa ng mga tuntunin sa pagpaparami, ay maaaring isulat bilang isang (−p) q .

Ganun din .

At .

Sa parehong prinsipyo, maaari mong patunayan ang lahat ng iba pang mga katangian ng degree na may isang integer exponent, na nakasulat sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay.

Sa penultimate ng mga katangiang isinulat, nararapat na pag-isipan ang patunay ng hindi pagkakapantay-pantay a −n >b −n , na totoo para sa anumang negatibong integer −n at anumang positibong a at b kung saan ang kundisyon a . Dahil sa pamamagitan ng kondisyon a 0 . Ang produktong a n ·b n ay positibo rin bilang produkto ng mga positibong numero a n at b n . Pagkatapos ang resultang fraction ay positibo bilang isang quotient ng mga positibong numero b n − a n at a n b n . Kaya naman, saan a −n >b −n , na dapat patunayan.

Ang huling pag-aari ng mga degree na may mga integer na exponents ay napatunayan sa parehong paraan tulad ng kahalintulad na katangian ng mga degree na may mga natural na exponents.

Mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga rational exponents

Tinukoy namin ang degree na may fractional exponent sa pamamagitan ng pagpapalawak ng mga katangian ng isang degree na may integer exponent dito. Sa madaling salita, ang mga degree na may mga fractional exponents ay may parehong mga katangian tulad ng mga degree na may integer exponents. Namely:

Ang patunay ng mga katangian ng mga degree na may mga fractional exponent ay batay sa kahulugan ng isang degree na may isang fractional exponent, sa at sa mga katangian ng isang degree na may isang integer exponent. Bigyan natin ng patunay.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng degree na may fractional exponent at , pagkatapos . Ang mga katangian ng arithmetic root ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay. Dagdag pa, gamit ang property ng degree na may integer exponent, nakukuha namin ang , kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng degree na may fractional exponent, mayroon kaming , at ang exponent ng degree na nakuha ay maaaring ma-convert bilang mga sumusunod: . Kinukumpleto nito ang patunay.

Ang pangalawang pag-aari ng mga kapangyarihan na may mga fractional exponents ay napatunayan sa eksaktong parehong paraan:

Ang natitirang mga pagkakapantay-pantay ay pinatutunayan ng magkatulad na mga prinsipyo:

Bumaling tayo sa patunay ng susunod na ari-arian. Patunayan natin na para sa anumang positibong a at b , a b p . Isinulat namin ang rational number p bilang m/n , kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero. Kondisyon p<0 и p>0 sa kasong ito ay magiging katumbas ng mga kondisyon m<0 и m>0 ayon sa pagkakabanggit. Para sa m>0 at a
Katulad nito, para sa m<0 имеем a m >b m , kung saan , iyon ay, at a p >b p .

Ito ay nananatiling patunayan ang huli sa mga nakalistang katangian. Patunayan natin na para sa mga rational na numero p at q , p>q para sa 0 0 – hindi pagkakapantay-pantay a p >a q . Maaari nating palaging bawasan ang mga rational na numerong p at q sa isang karaniwang denominator, kumuha tayo ng mga ordinaryong fraction at, kung saan ang m 1 at m 2 ay mga integer, at ang n ay isang natural na numero. Sa kasong ito, ang kundisyon p>q ay tumutugma sa kundisyon m 1 >m 2, na sumusunod mula sa . Pagkatapos, sa pamamagitan ng pag-aari ng paghahambing ng mga kapangyarihan na may parehong mga base at natural na exponent sa 0 1 – hindi pagkakapantay-pantay a m 1 >a m 2 . Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na ito sa mga tuntunin ng mga katangian ng mga ugat ay maaaring muling isulat, ayon sa pagkakabanggit, bilang at . At ang kahulugan ng isang degree na may isang rational exponent ay nagpapahintulot sa amin na pumasa sa mga hindi pagkakapantay-pantay at, ayon sa pagkakabanggit. Mula dito ay iginuhit natin ang pangwakas na konklusyon: para sa p>q at 0 0 – hindi pagkakapantay-pantay a p >a q .

Mga katangian ng mga degree na may mga hindi makatwirang exponent

Mula sa kung paano tinukoy ang isang degree na may hindi makatwirang exponent, maaari itong tapusin na mayroon itong lahat ng mga katangian ng mga degree na may mga rational exponent. Kaya para sa anumang a>0 , b>0 at hindi makatwiran na mga numero p at q ang mga sumusunod ay totoo katangian ng mga degree na may hindi makatwirang exponent:

a p a q = a p + q ;

a p:a q = a p−q ;

(a b) p = a p b p ;

(a:b) p =a p:b p ;

(a p) q = a p q ;

para sa anumang positibong numero a at b , a 0 ang hindi pagkakapantay-pantay a p b p ;

para sa mga hindi makatwirang numero p at q , p>q sa 0 0 – hindi pagkakapantay-pantay a p >a q .

Mula dito maaari nating tapusin na ang mga kapangyarihan na may anumang tunay na exponents p at q para sa a>0 ay may parehong mga katangian.

Bibliograpiya.

Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematics Zh textbook para sa 5 cell. institusyong pang-edukasyon.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: isang aklat-aralin para sa 7 mga cell. institusyong pang-edukasyon.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. institusyong pang-edukasyon.

Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: isang aklat-aralin para sa 9 na mga cell. institusyong pang-edukasyon.

Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa.Algebra and the Beginnings of Analysis: A Textbook for Grades 10-11 of General Educational Institutions.

Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan).

Video aralin 2: Degree sa isang natural na tagapagpahiwatig at mga katangian nito
Lecture:

Degree na may natural na tagapagpahiwatig

Sa ilalim degree ilang numero "a" na may ilang tagapagpahiwatig "n" maunawaan ang produkto ng isang numero "a" sa sarili "n" minsan.
Kapag pinag-uusapan ang isang degree na may natural na tagapagpahiwatig, nangangahulugan ito na ang numero "n" dapat ay integer at hindi negatibo.
a- ang base ng degree, na nagpapakita kung aling numero ang dapat i-multiply sa sarili nito,
n- exponent - ito ay nagsasabi kung gaano karaming beses ang base ay kailangang i-multiply sa sarili nito.

Halimbawa:
8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.
Sa kasong ito, ang base ng degree ay ang numerong "8", ang exponent ay ang numerong "4", ang halaga ng degree ay ang numerong "4096".
Ang pinakamalaki at pinakakaraniwang pagkakamali sa pagkalkula ng degree ay ang pagpaparami ng exponent sa base - HINDI ITO TOTOO!

Pagdating sa isang degree na may natural na exponent, nangangahulugan ito na ang exponent lang (n) dapat natural na numero.

Ang anumang numero sa linya ng numero ay maaaring gamitin bilang base.

Halimbawa,
(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).
Ang mathematical operation na ginagawa sa base at exponent ay tinatawag na exponentiation.
Ang pagdaragdag / pagbabawas ay ang mathematical na operasyon ng unang yugto, ang multiplikasyon / dibisyon ay ang operasyon ng ikalawang yugto, ang exponentiation ay ang matematikal na operasyon ng ikatlong yugto, iyon ay, isa sa pinakamataas.
Tinutukoy ng hierarchy na ito ng mga mathematical operations ang pagkakasunud-sunod sa pagkalkula. Kung ang aksyon na ito ay nangyayari sa mga gawain sa mga nakaraang dalawang, pagkatapos ito ay tapos na muna.

Halimbawa:
15 + 6 *2 2 = 39
Sa halimbawang ito, kailangan mo munang itaas ang 2 sa kapangyarihan, iyon ay
pagkatapos ay i-multiply ang resulta sa 6, iyon ay
Ang isang degree na may natural na exponent ay ginagamit hindi lamang para sa mga tiyak na kalkulasyon, kundi pati na rin para sa kaginhawahan ng pagsulat ng malalaking numero. Sa kasong ito, ginagamit din ang konsepto "karaniwang form ng numero". Ang entry na ito ay nagpapahiwatig ng pagpaparami ng isang tiyak na numero mula 1 hanggang 9 sa pamamagitan ng power base na katumbas ng 10 na may ilang exponent.

Halimbawa, upang isulat ang radius ng Earth sa karaniwang anyo, gamitin ang sumusunod na notasyon:
6400000 m = 6.4 * 10 6 m,
at ang masa ng Earth, halimbawa, ay nakasulat tulad ng sumusunod:
mga katangian ng degree
Para sa kaginhawaan ng paglutas ng mga halimbawa na may mga degree, kinakailangang malaman ang kanilang mga pangunahing katangian:

1. Kung kailangan mong i-multiply ang dalawang kapangyarihan na may parehong base, kung gayon sa kasong ito ang base ay dapat iwanang hindi nagbabago, at idinagdag ang mga tagapagpahiwatig.
a n * a m = a n+m
Halimbawa:
5 2 * 5 4 = 5 6 .
2. Kung kinakailangan upang hatiin ang dalawang degree na may parehong base, kung gayon sa kasong ito ang base ay dapat iwanang hindi nagbabago, at ang mga tagapagpahiwatig ay ibawas. Pakitandaan na para sa mga operasyong may mga kapangyarihan na may natural na exponent, ang exponent ng dibidendo ay dapat na mas malaki kaysa sa exponent ng divisor. Kung hindi, ang quotient ng pagkilos na ito ay isang numero na may negatibong exponent.
a n / a m = a n-m
Halimbawa,
5 4 * 5 2 = 5 2 .
3. Kung kinakailangan na itaas ang isang kapangyarihan sa isa pa, ang base ng resulta ay nananatiling parehong numero, at ang mga exponent ay pinarami.
(a n) m = a n*m
Halimbawa,
4. Kung kinakailangan na itaas ang produkto ng mga di-makatwirang numero sa isang tiyak na kapangyarihan, pagkatapos ay maaari naming gamitin ang isang tiyak na batas sa pamamahagi, kung saan nakukuha namin ang produkto ng iba't ibang mga base sa parehong antas.
(a * b) m = a m * b m
Halimbawa,
(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Ang isang katulad na ari-arian ay maaaring gamitin upang hatiin ang mga kapangyarihan, sa madaling salita, upang itaas ang isang ordinaryong doble sa isang kapangyarihan.
(a / b) m = a m / b m
6. Anumang numero na itinaas sa isang exponent na katumbas ng isa ay katumbas ng orihinal na numero.
a 1 = a
Halimbawa,
7. Kapag itinaas ang anumang numero sa isang kapangyarihan na may exponent na zero, ang resulta ng pagkalkulang ito ay palaging magiging isa.
at 0 = 1
Halimbawa,

Unang antas

Degree at mga katangian nito. Comprehensive Guide (2019)

Bakit kailangan ang mga degree? Saan mo sila kailangan? Bakit kailangan mong maglaan ng oras sa pag-aaral ng mga ito?

Upang matutunan ang lahat tungkol sa mga degree, para saan ang mga ito, kung paano gamitin ang iyong kaalaman sa pang-araw-araw na buhay, basahin ang artikulong ito.

At, siyempre, ang pag-alam sa mga degree ay maglalapit sa iyo sa matagumpay na pagpasa sa OGE o sa Unified State Examination at pagpasok sa unibersidad na iyong mga pangarap.

Tara na... (Let's go!)

Mahalagang paalaala! Kung sa halip na mga formula ang nakikita mong kalokohan, i-clear ang iyong cache. Upang gawin ito, pindutin ang CTRL+F5 (sa Windows) o Cmd+R (sa Mac).

UNANG ANTAS

Ang exponentiation ay ang parehong mathematical operation bilang karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon o paghahati.

Ngayon ay ipapaliwanag ko ang lahat sa wika ng tao gamit ang napakasimpleng mga halimbawa. Bigyang-pansin. Ang mga halimbawa ay elementarya, ngunit ipaliwanag ang mahahalagang bagay.

Magsimula tayo sa karagdagan.

Walang maipaliwanag dito. Alam mo na ang lahat: walo kami. Bawat isa ay may dalawang bote ng cola. Magkano ang cola? Tama iyon - 16 na bote.

Ngayon multiplication.

Ang parehong halimbawa sa cola ay maaaring isulat sa ibang paraan: . Ang mga mathematician ay tuso at tamad na tao. Una nilang napansin ang ilang mga pattern, at pagkatapos ay gumawa ng isang paraan upang "mabilang" ang mga ito nang mas mabilis. Sa aming kaso, napansin nila na ang bawat isa sa walong tao ay may parehong bilang ng mga bote ng cola at nakaisip sila ng isang pamamaraan na tinatawag na multiplication. Sumang-ayon, ito ay itinuturing na mas madali at mas mabilis kaysa.

Kaya, upang mabilang nang mas mabilis, mas madali at walang mga error, kailangan mo lang tandaan talaan ng multiplikasyon. Siyempre, magagawa mo ang lahat nang mas mabagal, mas mahirap at may mga pagkakamali! Pero…

Narito ang talahanayan ng pagpaparami. Ulitin.

At isa pa, mas maganda:

At anong iba pang nakakalito na trick sa pagbibilang ang naisip ng mga tamad na mathematician? tama - pagtataas ng isang numero sa isang kapangyarihan.

Pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan

Kung kailangan mong i-multiply ang isang numero sa sarili nitong limang beses, pagkatapos ay sinabi ng mga mathematician na kailangan mong itaas ang numerong ito sa ikalimang kapangyarihan. Halimbawa, . Naaalala ng mga mathematician na dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay. At nalulutas nila ang mga naturang problema sa kanilang isip - mas mabilis, mas madali at walang mga pagkakamali.

Upang gawin ito, kailangan mo lamang tandaan kung ano ang naka-highlight sa kulay sa talahanayan ng mga kapangyarihan ng mga numero. Maniwala ka sa akin, gagawin nitong mas madali ang iyong buhay.

Nga pala, bakit second degree ang tawag parisukat mga numero, at ang pangatlo kubo? Ano ang ibig sabihin nito? Isang napakagandang tanong. Ngayon ay magkakaroon ka ng parehong mga parisukat at mga cube.

Halimbawa sa totoong buhay #1

Magsimula tayo sa isang parisukat o sa pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Isipin ang isang parisukat na pool na may sukat na metro bawat metro. Ang pool ay nasa iyong likod-bahay. Ang init at gusto ko talagang lumangoy. Ngunit ... isang pool na walang ilalim! Kinakailangan na takpan ang ilalim ng pool na may mga tile. Ilang tile ang kailangan mo? Upang matukoy ito, kailangan mong malaman ang lugar ng ilalim ng pool.

Mabibilang mo lang sa pamamagitan ng pagsundot ng iyong daliri na ang ilalim ng pool ay binubuo ng mga cube metro bawat metro. Kung ang iyong mga tile ay metro bawat metro, kakailanganin mo ng mga piraso. Madali lang... Pero saan ka nakakita ng ganyang tile? Ang tile ay mas magiging cm sa cm. At pagkatapos ay pahihirapan ka sa pamamagitan ng "pagbibilang gamit ang iyong daliri". Pagkatapos ay kailangan mong magparami. Kaya, sa isang gilid ng ilalim ng pool, magkakasya kami ng mga tile (piraso) at sa kabilang banda, din, mga tile. Kapag nagpaparami, makakakuha ka ng mga tile ().

Napansin mo ba na pinarami namin ang parehong numero nang mag-isa upang matukoy ang lugar ng ilalim ng pool? Ano ang ibig sabihin nito? Dahil ang parehong numero ay pinarami, maaari naming gamitin ang exponentiation technique. (Siyempre, kapag dalawa lang ang numero mo, kailangan mo pa ring i-multiply o itaas sa power. Pero kung marami ka, mas madali ang pagtaas sa power at mas kaunti rin ang error sa kalkulasyon. Para sa pagsusulit, ito ay napakahalaga).
Kaya, tatlumpu hanggang ikalawang antas ay magiging (). O maaari mong sabihin na tatlumpung squared ang magiging. Sa madaling salita, ang pangalawang kapangyarihan ng isang numero ay maaaring palaging kinakatawan bilang isang parisukat. At vice versa, kung makakita ka ng isang parisukat, ito ay palaging ang pangalawang kapangyarihan ng ilang numero. Ang parisukat ay isang imahe ng pangalawang kapangyarihan ng isang numero.

Halimbawa sa totoong buhay #2

Narito ang isang gawain para sa iyo, bilangin kung gaano karaming mga parisukat ang nasa chessboard gamit ang parisukat ng numero ... Sa isang gilid ng mga cell at sa kabilang panig din. Upang mabilang ang kanilang numero, kailangan mong i-multiply ang walo sa walo, o ... kung napansin mo na ang isang chessboard ay isang parisukat na may gilid, maaari mong kuwadrado ang walo. Kumuha ng mga cell. () Kaya?

Halimbawa sa totoong buhay #3

Ngayon ang kubo o ang ikatlong kapangyarihan ng isang numero. Ang parehong pool. Ngunit ngayon kailangan mong malaman kung gaano karaming tubig ang kailangang ibuhos sa pool na ito. Kailangan mong kalkulahin ang lakas ng tunog. (Ang mga volume at likido, sa paraan, ay sinusukat sa metro kubiko. Hindi inaasahan, tama ba?) Gumuhit ng isang pool: isang ilalim na isang metro ang laki at isang metro ang lalim at subukang kalkulahin kung gaano karaming mga cube na may sukat na isang metro sa isang metro ang papasok sa iyong pool.

Ituro lamang ang iyong daliri at magbilang! Isa, dalawa, tatlo, apat...dalawampu't dalawa, dalawampu't tatlo... Magkano ang naging resulta? Hindi nawala? Mahirap bang magbilang gamit ang iyong daliri? Kaya yun! Kumuha ng isang halimbawa mula sa mga mathematician. Ang mga ito ay tamad, kaya napansin nila na upang makalkula ang dami ng pool, kailangan mong i-multiply ang haba, lapad at taas nito sa bawat isa. Sa aming kaso, ang dami ng pool ay magiging katumbas ng mga cube ... Mas madali, tama?

Ngayon isipin kung gaano katamad at tuso ang mga mathematician kung gagawin nilang napakadali. Binawasan ang lahat sa isang aksyon. Napansin nila na ang haba, lapad at taas ay pantay at ang parehong bilang ay pinarami ng sarili nito ... At ano ang ibig sabihin nito? Nangangahulugan ito na maaari mong gamitin ang degree. Kaya, ang minsan mong binilang gamit ang isang daliri, ginagawa nila sa isang aksyon: tatlo sa isang cube ay pantay. Ito ay nakasulat tulad nito:

Nananatili lamang kabisaduhin ang talahanayan ng mga digri. Maliban kung, siyempre, ikaw ay tamad at tuso bilang mga mathematician. Kung gusto mong magtrabaho nang husto at magkamali, maaari mong patuloy na magbilang gamit ang iyong daliri.

Kaya, upang sa wakas ay makumbinsi ka na ang mga degree ay naimbento ng mga loafers at tusong tao upang malutas ang kanilang mga problema sa buhay, at hindi upang lumikha ng mga problema para sa iyo, narito ang ilang higit pang mga halimbawa mula sa buhay.

Halimbawa sa totoong buhay #4

Mayroon kang isang milyong rubles. Sa simula ng bawat taon, kumikita ka ng isa pang milyon para sa bawat milyon. Ibig sabihin, doble ang bawat isa sa iyong milyon sa simula ng bawat taon. Magkano ang pera mo sa mga taon? Kung nakaupo ka ngayon at "nagbibilang gamit ang iyong daliri", kung gayon ikaw ay isang napakasipag na tao at .. tanga. Ngunit malamang na magbibigay ka ng sagot sa loob ng ilang segundo, dahil matalino ka! Kaya, sa unang taon - dalawang beses dalawa ... sa ikalawang taon - kung ano ang nangyari, sa pamamagitan ng dalawa pa, sa ikatlong taon ... Stop! Napansin mo na ang bilang ay na-multiply sa sarili nitong isang beses. Kaya ang dalawa hanggang ikalimang kapangyarihan ay isang milyon! Ngayon isipin na mayroon kang isang kumpetisyon at ang isa na mas mabilis na nagkalkula ay makakakuha ng mga milyon-milyong ito ... Ito ba ay nagkakahalaga ng pag-alala sa mga antas ng mga numero, ano sa palagay mo?

Halimbawa sa totoong buhay #5

Mayroon kang isang milyon. Sa simula ng bawat taon, kikita ka pa ng dalawa sa bawat milyon. Ang galing diba? Bawat milyon ay triple. Magkano ang pera mo sa isang taon? Magbilang tayo. Ang unang taon - multiply sa pamamagitan ng, pagkatapos ay ang resulta sa pamamagitan ng isa pa ... Ito ay mayamot na, dahil naiintindihan mo na ang lahat: tatlo ay pinarami ng sarili nitong beses. Kaya ang pang-apat na kapangyarihan ay isang milyon. Kailangan mo lang tandaan na ang tatlo hanggang ikaapat na kapangyarihan ay o.

Ngayon alam mo na na sa pamamagitan ng pagtaas ng isang numero sa isang kapangyarihan, gagawin mong mas madali ang iyong buhay. Tingnan natin kung ano ang maaari mong gawin sa mga degree at kung ano ang kailangan mong malaman tungkol sa mga ito.

Mga tuntunin at konsepto ... para hindi malito

Kaya, una, tukuyin natin ang mga konsepto. Ano sa tingin mo, ano ang exponent? Napakasimple - ito ang numero na "nasa itaas" ng kapangyarihan ng numero. Hindi siyentipiko, ngunit malinaw at madaling tandaan ...

Well, at the same time, ano tulad ng isang base ng degree? Kahit na mas simple ay ang numero na nasa ibaba, sa base.

Narito ang isang larawan para makasigurado ka.

Buweno, sa mga pangkalahatang tuntunin, upang mas maging pangkalahatan at matandaan ... Ang isang degree na may base na "" at isang indicator "" ay binabasa bilang "sa degree" at nakasulat tulad ng sumusunod:

Kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent

Marahil ay nahulaan mo na: dahil ang exponent ay isang natural na numero. Oo, pero ano natural na numero? elementarya! Ang mga natural na numero ay ang mga ginagamit sa pagbibilang kapag naglilista ng mga item: isa, dalawa, tatlo ... Kapag nagbibilang kami ng mga item, hindi namin sinasabi: "minus five", "minus six", "minus seven". Hindi rin namin sinasabing "one third" o "zero point five tenths". Ang mga ito ay hindi natural na mga numero. Ano sa palagay mo ang mga numerong ito?

Ang mga numero tulad ng "minus five", "minus six", "minus seven" ay tumutukoy sa buong numero. Sa pangkalahatan, kasama sa mga integer ang lahat ng natural na numero, mga numerong kabaligtaran ng mga natural na numero (iyon ay, kinuha gamit ang minus sign), at isang numero. Madaling maunawaan ang Zero - ito ay kapag wala. At ano ang ibig sabihin ng mga negatibong ("minus") na numero? Ngunit sila ay naimbento lalo na upang ipahiwatig ang mga utang: kung mayroon kang balanse sa iyong telepono sa rubles, nangangahulugan ito na may utang ka sa operator na rubles.

Ang lahat ng mga fraction ay mga rational na numero. Paano sila nangyari, sa tingin mo? Napakasimple. Ilang libong taon na ang nakalilipas, natuklasan ng ating mga ninuno na wala silang sapat na natural na mga numero upang sukatin ang haba, timbang, lawak, atbp. At nakaisip sila mga rational na numero… Kawili-wili, hindi ba?

Mayroon ding mga hindi makatwirang numero. Ano ang mga numerong ito? Sa madaling salita, isang infinite decimal fraction. Halimbawa, kung hahatiin mo ang circumference ng isang bilog sa diameter nito, makakakuha ka ng hindi makatwiran na numero.

Buod:

Tukuyin natin ang konsepto ng degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (iyon ay, integer at positibo).

Anumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito:

Ang pag-square ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nito:

Ang pag-cube ng isang numero ay ang pagpaparami nito sa sarili nitong tatlong beses:

Kahulugan. Upang itaas ang isang numero sa isang natural na kapangyarihan ay upang i-multiply ang numero sa sarili nitong mga beses:
.

Mga katangian ng degree

Saan nagmula ang mga ari-arian na ito? Ipapakita ko sa iyo ngayon.

Tingnan natin kung ano at ?

A-priory:

Ilang multiplier ang nasa kabuuan?

Ito ay napaka-simple: nagdagdag kami ng mga kadahilanan sa mga kadahilanan, at ang resulta ay mga kadahilanan.

Ngunit ayon sa kahulugan, ito ang antas ng isang numero na may exponent, iyon ay: , na kinakailangang patunayan.

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Desisyon:

Halimbawa: Pasimplehin ang expression.

Desisyon: Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan kinakailangan dapat pareho ang dahilan!
Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:

para lamang sa mga produkto ng kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon dapat mong isulat iyon.

2. ibig sabihin -ika-kapangyarihan ng isang numero
Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ito ay lumiliko na ang expression ay pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang ika-kapangyarihan ng numero:

Sa katunayan, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:
Alalahanin natin ang mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon: ilang beses natin gustong sumulat?
Pero hindi totoo yun.

Degree na may negatibong base

Hanggang sa puntong ito, tinalakay lang natin kung ano ang dapat na exponent.

Ngunit ano ang dapat na maging batayan?

Sa mga degree mula sa natural na tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero. Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na.

Isipin natin kung anong mga palatandaan (" " o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? PERO? ? Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, naaalala namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang isang minus na beses ang isang minus ay nagbibigay ng isang plus." Iyon ay, o. Pero kung paramihin tayo, lumalabas.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1) 2) 3)
4) 5) 6)
Inayos mo ba?

Narito ang mga sagot: Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent, at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa halimbawa 5), ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng batayan - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo.

Well, maliban kung ang base ay zero. Ang batayan ay hindi pareho, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na napakasimple!

6 mga halimbawa ng pagsasanay

Pagsusuri ng solusyon 6 na halimbawa

Kung hindi natin papansinin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Tingnan natin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, tandaan? Ito ang pinaikling formula ng multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat! Nakukuha namin:

Maingat naming tinitingnan ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung sila ay ipinagpalit, maaaring ilapat ang panuntunan.

Ngunit paano gawin iyon? Ito ay lumiliko na ito ay napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa amin dito.

Ang mga termino ay nakapagpalit ng mga lugar. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket.

Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago sa parehong oras!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

buo pinangalanan namin ang mga natural na numero, ang kanilang mga kabaligtaran (iyon ay, kinuha gamit ang sign "") at ang numero.

positibong integer, at ito ay hindi naiiba mula sa natural, kung gayon ang lahat ay mukhang eksaktong katulad sa nakaraang seksyon.

Ngayon tingnan natin ang mga bagong kaso. Magsimula tayo sa isang tagapagpahiwatig na katumbas ng.

Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa:

Gaya ng dati, tinatanong natin ang ating sarili: bakit ganito?

Isaalang-alang ang ilang kapangyarihan na may base. Kunin, halimbawa, at i-multiply sa:

Kaya, pinarami namin ang numero sa pamamagitan ng, at nakuha ang parehong bilang ito ay -. Anong numero ang dapat i-multiply para walang magbago? Tama iyon, sa. ibig sabihin.

Magagawa natin ang parehong sa isang arbitrary na numero:

Ulitin natin ang panuntunan:

Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa.

Ngunit may mga pagbubukod sa maraming mga patakaran. At narito din doon - ito ay isang numero (bilang base).

Sa isang banda, ito ay dapat na katumbas ng anumang antas - gaano man karami mong i-multiply ang zero sa kanyang sarili, makakakuha ka pa rin ng zero, ito ay malinaw. Ngunit sa kabilang banda, tulad ng anumang numero sa zero degree, dapat itong pantay. Kaya ano ang katotohanan nito? Nagpasya ang mga mathematician na huwag makisali at tumanggi na itaas ang zero sa zero na kapangyarihan. Iyon ay, ngayon ay hindi lamang natin mahahati sa zero, ngunit itaas din ito sa zero na kapangyarihan.

Tayo ay pumunta sa karagdagang. Bilang karagdagan sa mga natural na numero at numero, kasama sa mga integer ang mga negatibong numero. Upang maunawaan kung ano ang isang negatibong antas, gawin natin ang katulad ng huling pagkakataon: minu-multiply natin ang ilang normal na numero sa pareho sa isang negatibong antas:

Mula dito madali nang ipahayag ang ninanais:

Ngayon ay pinalawak namin ang nagresultang panuntunan sa isang di-makatwirang antas:

Kaya, buuin natin ang panuntunan:

Ang isang numero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan. Ngunit sa parehong oras hindi maaaring null ang base:(dahil imposibleng hatiin).

Ibuod natin:

I. Ang pagpapahayag ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

II. Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa: .

III. Ang isang numero na hindi katumbas ng zero sa isang negatibong kapangyarihan ay ang kabaligtaran ng parehong numero sa isang positibong kapangyarihan: .

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Well, gaya ng dati, mga halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Pagsusuri ng mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Alam ko, alam ko, ang mga numero ay nakakatakot, ngunit sa pagsusulit kailangan mong maging handa sa anumang bagay! Lutasin ang mga halimbawang ito o suriin ang kanilang solusyon kung hindi mo ito malutas at matututunan mo kung paano madaling harapin ang mga ito sa pagsusulit!

Patuloy nating palawakin ang hanay ng mga numerong "angkop" bilang isang exponent.
Ngayon isaalang-alang mga rational na numero. Anong mga numero ang tinatawag na rational?
Sagot: lahat ng iyon ay maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer, bukod dito.

Upang maunawaan kung ano ang "fractional degree" Isaalang-alang natin ang isang fraction:

Itaas natin ang magkabilang panig ng equation sa isang kapangyarihan:

Ngayon tandaan ang panuntunan "degree to degree":

Anong numero ang dapat itaas sa isang kapangyarihan para makuha?

Ang pagbabalangkas na ito ay ang kahulugan ng ugat ng ika-degree.

Paalalahanan ko kayo: ang ugat ng ika-kapangyarihan ng isang numero () ay isang numero na, kapag itinaas sa isang kapangyarihan, ay katumbas.

Iyon ay, ang ugat ng ika-degree ay ang kabaligtaran na operasyon ng exponentiation: .

Lumalabas na. Malinaw, ang espesyal na kaso na ito ay maaaring palawigin: .

Ngayon idagdag ang numerator: ano ito? Ang sagot ay madaling makuha gamit ang power-to-power rule:

Ngunit maaari bang maging anumang numero ang base? Pagkatapos ng lahat, ang ugat ay hindi maaaring makuha mula sa lahat ng mga numero.

wala!

Tandaan ang panuntunan: anumang numero na itinaas sa pantay na kapangyarihan ay isang positibong numero. Iyon ay, imposibleng kunin ang mga ugat ng pantay na antas mula sa mga negatibong numero!

At nangangahulugan ito na ang mga naturang numero ay hindi maaaring itaas sa isang fractional na kapangyarihan na may pantay na denominator, iyon ay, ang expression ay walang kahulugan.

Paano naman ang expression?

Ngunit narito ang isang problema ay lumitaw.

Ang numero ay maaaring kinakatawan bilang iba, pinababang mga fraction, halimbawa, o.

At lumalabas na ito ay umiiral, ngunit hindi umiiral, at ito ay dalawang magkaibang mga talaan ng parehong numero.

O isa pang halimbawa: isang beses, pagkatapos ay maaari mo itong isulat. Ngunit sa sandaling isulat namin ang tagapagpahiwatig sa ibang paraan, muli kaming nagkakaproblema: (iyon ay, nakakuha kami ng ganap na kakaibang resulta!).

Upang maiwasan ang gayong mga kabalintunaan, isaalang-alang positibong base exponent lamang na may fractional exponent.

Kaya kung:

- natural na numero;

ay isang integer;

Mga halimbawa:

Ang mga kapangyarihan na may rational exponent ay lubhang kapaki-pakinabang para sa pagbabago ng mga expression na may mga ugat, halimbawa:

5 mga halimbawa ng pagsasanay

Pagsusuri ng 5 halimbawa para sa pagsasanay

Well, ngayon - ang pinakamahirap. Ngayon ay susuriin natin degree na may hindi makatwirang exponent.

Ang lahat ng mga panuntunan at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa mga degree na may isang rational exponent, maliban sa

Sa katunayan, ayon sa kahulugan, ang mga hindi makatwirang numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay, ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational na indicator, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang partikular na "larawan", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino.
Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses;

...walang kapangyarihan- ito ay, tulad ng, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa nagsisimulang dumami, na nangangahulugang ang bilang mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang tiyak na "paghahanda ng isang numero”, ibig sabihin ay isang numero;

...negatibong integer exponent- para bang isang tiyak na "reverse process" ang naganap, iyon ay, ang bilang ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Sa pamamagitan ng paraan, sa agham, ang isang degree na may isang kumplikadong exponent ay madalas na ginagamit, iyon ay, ang isang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero.
Ngunit sa paaralan, hindi namin iniisip ang mga ganitong paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.
KUNG SAAN KAMI SIGURO PUPUNTA KA! (kung matutunan mo kung paano lutasin ang mga ganitong halimbawa :))

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

Pagsusuri ng mga solusyon:

1. Magsimula tayo sa dati nang panuntunan para sa pagpapataas ng degree sa isang degree:

Ngayon tingnan ang iskor. May naaalala ba siya sa iyo? Naaalala namin ang formula para sa pinaikling pagpaparami ng pagkakaiba ng mga parisukat:

Sa kasong ito,

Lumalabas na:

Sagot: .

2. Dinadala namin ang mga fraction sa exponents sa parehong anyo: alinman sa parehong decimal o parehong ordinaryo. Nakukuha namin, halimbawa:

Sagot: 16

3. Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang katangian ng mga degree:

ADVANCED LEVEL

Kahulugan ng degree

Ang antas ay isang pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

— base ng degree;

- exponent.

Degree na may natural na exponent (n = 1, 2, 3,...)

Ang pagtaas ng isang numero sa natural na kapangyarihan n ay nangangahulugan ng pagpaparami ng numero sa sarili nitong beses:

Power na may integer exponent (0, ±1, ±2,...)

Kung ang exponent ay positibong integer numero:

paninigas sa zero na kapangyarihan:

Ang expression ay hindi tiyak, dahil, sa isang banda, sa anumang antas ay ito, at sa kabilang banda, anumang numero sa ika-degree ay ito.

Kung ang exponent ay negatibong integer numero:

(dahil imposibleng hatiin).

Isa pang beses tungkol sa nulls: ang expression ay hindi tinukoy sa kaso. Kung, kung gayon.

Mga halimbawa:

Degree na may rational exponent

- natural na numero;

ay isang integer;

Mga halimbawa:

Mga katangian ng degree

Upang gawing mas madali ang paglutas ng mga problema, subukan nating maunawaan: saan nagmula ang mga katangiang ito? Patunayan natin sila.

Tingnan natin: ano ang at?

A-priory:

Kaya, sa kanang bahagi ng expression na ito, ang sumusunod na produkto ay nakuha:

Ngunit ayon sa kahulugan, ito ay isang kapangyarihan ng isang numero na may exponent, iyon ay:

Q.E.D.

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Desisyon : .

Halimbawa : Pasimplehin ang expression.

Desisyon : Mahalagang tandaan na sa ating panuntunan kinakailangan dapat may parehong batayan. Samakatuwid, pinagsama namin ang mga degree sa base, ngunit nananatiling isang hiwalay na kadahilanan:

Isa pang mahalagang tala: ang panuntunang ito - para lamang sa mga produkto ng kapangyarihan!

Sa anumang pagkakataon dapat kong isulat iyon.

Tulad ng sa nakaraang pag-aari, buksan natin ang kahulugan ng antas:

Ayusin natin ito tulad nito:

Ito ay lumalabas na ang expression ay pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, ayon sa kahulugan, ito ang -th na kapangyarihan ng numero:

Sa katunayan, ito ay matatawag na "bracketing the indicator". Ngunit hindi mo ito magagawa sa kabuuan:!

Alalahanin natin ang mga pormula para sa pinaikling multiplikasyon: ilang beses natin gustong sumulat? Pero hindi totoo yun.

Power na may negatibong base.

Hanggang sa puntong ito, napag-usapan lang natin kung ano ang dapat tagapagpahiwatig degree. Ngunit ano ang dapat na maging batayan? Sa mga degree mula sa natural tagapagpahiwatig maaaring maging batayan kahit anong numero .

Sa katunayan, maaari nating i-multiply ang anumang numero sa bawat isa, maging sila ay positibo, negatibo, o kahit na. Isipin natin kung anong mga palatandaan (" " o "") ang magkakaroon ng mga antas ng positibo at negatibong mga numero?

Halimbawa, magiging positibo ba o negatibo ang numero? PERO? ?

Sa una, malinaw ang lahat: gaano man karaming positibong numero ang i-multiply natin sa isa't isa, magiging positibo ang resulta.

Ngunit ang mga negatibo ay medyo mas kawili-wili. Pagkatapos ng lahat, naaalala namin ang isang simpleng panuntunan mula sa ika-6 na baitang: "ang isang minus na beses ang isang minus ay nagbibigay ng isang plus." Iyon ay, o. Ngunit kung i-multiply natin sa (), makakakuha tayo ng -.

At iba pa ang ad infinitum: sa bawat kasunod na pagpaparami, magbabago ang tanda. Maaari mong buuin ang mga simpleng panuntunang ito:

kahit degree, - numero positibo.

Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.

Ang isang positibong numero sa anumang kapangyarihan ay isang positibong numero.

Ang zero sa anumang kapangyarihan ay katumbas ng zero.

Tukuyin para sa iyong sarili kung anong senyales ang magkakaroon ng mga sumusunod na expression:

1. 2. 3.
4. 5. 6.
Inayos mo ba? Narito ang mga sagot:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Sa unang apat na halimbawa, sana ay malinaw ang lahat? Tinitingnan lang namin ang base at exponent, at inilalapat ang naaangkop na panuntunan.

Sa halimbawa 5), ang lahat ay hindi rin nakakatakot gaya ng tila: hindi mahalaga kung ano ang katumbas ng batayan - ang antas ay pantay, na nangangahulugan na ang resulta ay palaging magiging positibo. Well, maliban kung ang base ay zero. Ang batayan ay hindi pareho, di ba? Malinaw na hindi, dahil (dahil).

Halimbawa 6) ay hindi na gaanong simple. Dito kailangan mong malaman kung alin ang mas kaunti: o? Kung naaalala mo iyon, nagiging malinaw iyon, na nangangahulugan na ang base ay mas mababa sa zero. Ibig sabihin, inilalapat namin ang panuntunan 2: magiging negatibo ang resulta.

At muli ginagamit namin ang kahulugan ng degree:

Ang lahat ay tulad ng dati - isinulat namin ang kahulugan ng mga degree at hatiin ang mga ito sa bawat isa, hatiin ang mga ito sa mga pares at makuha:

Bago pag-aralan ang huling tuntunin, lutasin natin ang ilang mga halimbawa.

Kalkulahin ang mga halaga ng mga expression:

Mga solusyon :

Kung hindi natin papansinin ang ikawalong antas, ano ang makikita natin dito? Tingnan natin ang programa sa ika-7 baitang. Kaya, tandaan? Ito ang pinaikling formula ng multiplikasyon, lalo na ang pagkakaiba ng mga parisukat!

Nakukuha namin:

Maingat naming tinitingnan ang denominator. Mukha itong isa sa mga kadahilanan ng numerator, ngunit ano ang mali? Maling pagkakasunud-sunod ng mga tuntunin. Kung mababaligtad ang mga ito, maaaring ilapat ang panuntunan 3. Ngunit paano ito gagawin? Ito ay lumiliko na ito ay napakadali: ang pantay na antas ng denominator ay tumutulong sa amin dito.

Kung i-multiply mo ito, walang magbabago di ba? Ngunit ngayon ay ganito ang hitsura:

Ang mga termino ay nakapagpalit ng mga lugar. Ang "phenomenon" na ito ay nalalapat sa anumang expression sa isang pantay na antas: maaari nating malayang baguhin ang mga palatandaan sa mga bracket. Ngunit mahalagang tandaan: lahat ng mga palatandaan ay nagbabago nang sabay-sabay! Hindi ito mapapalitan ng pagbabago lamang ng isang hindi kanais-nais na minus sa amin!

Bumalik tayo sa halimbawa:

At muli ang formula:

Kaya ngayon ang huling tuntunin:

Paano natin ito mapapatunayan? Siyempre, gaya ng dati: palawakin natin ang konsepto ng degree at pasimplehin:

Well, ngayon buksan natin ang mga bracket. Gaano karaming mga titik ang magkakaroon? beses sa pamamagitan ng mga multiplier - ano ang hitsura nito? Ito ay walang iba kundi ang kahulugan ng isang operasyon pagpaparami: total nagkaroon pala ng multipliers. Iyon ay, ito ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang kapangyarihan ng isang numero na may isang exponent:

Halimbawa:

Degree na may hindi makatwirang exponent

Bilang karagdagan sa impormasyon tungkol sa mga degree para sa average na antas, susuriin namin ang degree na may hindi makatwiran na tagapagpahiwatig. Ang lahat ng mga patakaran at katangian ng mga degree dito ay eksaktong kapareho ng para sa isang degree na may rational exponent, maliban sa lahat - pagkatapos ng lahat, sa pamamagitan ng kahulugan, ang mga hindi makatwiran na numero ay mga numero na hindi maaaring katawanin bilang isang fraction, kung saan at mga integer (iyon ay , ang mga hindi makatwirang numero ay lahat ng tunay na numero maliban sa mga makatwiran).

Kapag nag-aaral ng mga degree na may natural, integer at rational na indicator, sa bawat oras na bumubuo kami ng isang partikular na "larawan", "analogy", o paglalarawan sa mas pamilyar na mga termino. Halimbawa, ang natural na exponent ay isang numero na pinarami ng sarili nitong ilang beses; ang isang numero sa zero degree ay, kumbaga, isang numero na pinarami ng kanyang sarili nang isang beses, iyon ay, hindi pa ito nagsisimulang i-multiply, na nangangahulugang ang numero mismo ay hindi pa lumitaw - samakatuwid, ang resulta ay isang tiyak na "paghahanda ng isang numero", katulad ng isang numero; isang degree na may negatibong integer - parang isang tiyak na "reverse process" ang naganap, iyon ay, ang numero ay hindi pinarami ng sarili nito, ngunit hinati.

Napakahirap isipin ang isang degree na may hindi makatwiran na exponent (tulad ng mahirap isipin ang isang 4-dimensional na espasyo). Sa halip, ito ay isang purong matematikal na bagay na nilikha ng mga mathematician upang palawigin ang konsepto ng isang antas sa buong espasyo ng mga numero.

Sa pamamagitan ng paraan, sa agham, ang isang degree na may isang kumplikadong exponent ay madalas na ginagamit, iyon ay, ang isang exponent ay hindi kahit isang tunay na numero. Ngunit sa paaralan, hindi namin iniisip ang mga ganitong paghihirap; magkakaroon ka ng pagkakataong maunawaan ang mga bagong konseptong ito sa institute.

Kaya ano ang gagawin natin kung makakita tayo ng hindi makatwiran na exponent? Sinusubukan namin ang aming makakaya upang mapupuksa ito! :)

Halimbawa:

Magpasya para sa iyong sarili:

1) 2) 3)
Mga sagot:

Tandaan ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat. Sagot: .

Dinadala namin ang mga fraction sa parehong anyo: alinman sa parehong mga decimal, o parehong mga ordinaryong. Nakukuha namin, halimbawa: .

Walang espesyal, inilalapat namin ang karaniwang mga katangian ng mga degree:

BUOD NG SEKSYON AT BATAYANG FORMULA

Degree ay tinatawag na pagpapahayag ng anyo: , kung saan:

Degree na may integer exponent

degree, ang exponent nito ay isang natural na numero (i.e. integer at positive).

Degree na may rational exponent

degree, ang indicator kung saan ay negatibo at fractional na mga numero.

Degree na may hindi makatwirang exponent

exponent na ang exponent ay isang infinite decimal fraction o ugat.

Mga katangian ng degree

Mga tampok ng degree.

Negatibong numero itinaas sa kahit degree, - numero positibo.

Negatibong numero itinaas sa kakaiba degree, - numero negatibo.

Ang isang positibong numero sa anumang kapangyarihan ay isang positibong numero.

Ang zero ay katumbas ng anumang kapangyarihan.

Ang anumang numero sa zero na kapangyarihan ay katumbas.

NGAYON MAY SALITA KA NA...

Paano mo gusto ang artikulo? Ipaalam sa akin sa mga komento sa ibaba kung nagustuhan mo ito o hindi.

Sabihin sa amin ang tungkol sa iyong karanasan sa mga katangian ng kapangyarihan.

Marahil ay mayroon kang mga katanungan. O mga mungkahi.

Sumulat sa mga komento.

At good luck sa iyong mga pagsusulit!

ako. Trabaho n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a tinawag n-ika-kapangyarihan ng isang numero a at ipinapahiwatig an.

Mga halimbawa. Isulat ang produkto bilang isang degree.

1) mmmm; 2) aaabb; 3) 5 5 5 5 cc; 4) ppkk+ppkk-ppkkk.

Desisyon.

1) mmmm=m 4, dahil, sa pamamagitan ng kahulugan ng antas, ang produkto ng apat na mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng m, kalooban ang ikaapat na kapangyarihan ng m.

2) aaabb=a 3 b 2 ; 3) 5 5 5 5 ccc=5 4 c 3 ; 4) ppkk+ppkk-ppkkk=p 2 k 2 +p 3 k-p 2 k 3 .

II. Ang operasyon kung saan natagpuan ang produkto ng ilang pantay na salik ay tinatawag na exponentiation. Ang bilang na itinaas sa isang kapangyarihan ay tinatawag na base ng kapangyarihan. Ang bilang na nagpapahiwatig kung anong kapangyarihan ang itinaas ng base ay tinatawag na exponent. Kaya, an- degree, a- base ng degree n- exponent. Halimbawa:

2 3 — ito ay isang degree. Numero 2 - ang base ng degree, ang exponent ay katumbas ng 3 . Halaga ng degree 2 3 katumbas 8, bilang 2 3 =2 2 2=8.

Mga halimbawa. Isulat ang mga sumusunod na expression nang walang exponent.

5) 4 3 ; 6) a 3 b 2 c 3; 7) a 3 -b 3; 8) 2a 4 +3b 2 .

Desisyon.

5) 4 3 = 4 4 4 ; 6) a 3 b 2 c 3 = aaabbcc; 7) a 3 -b 3 = aaa-bbb; 8) 2a 4 +3b 2 = 2aaaa+3bb.

III. at 0 =1 Anumang numero (maliban sa zero) hanggang sa zero na kapangyarihan ay katumbas ng isa. Halimbawa, 25 0 =1.
IV. a 1 = aAnumang numero sa unang kapangyarihan ay katumbas ng sarili nito.

v. isang m∙ isang n= isang m + n Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay nananatiling pareho, at ang mga exponent magdagdag ng up.

Mga halimbawa. Pasimplehin:

9) a a 3 a 7; 10) b 0 +b 2 b 3; 11) c 2 c 0 c c 4 .

Desisyon.

9) a 3 a 7=a 1+3+7 =a 11 ; 10) b 0 +b 2 b 3 = 1+b 2+3 =1+b 5 ;

11) c 2 c 0 c c 4 = 1 c 2 c c 4 \u003d c 2+1+4 \u003d c 7 .

VI. isang m: isang n= isang m - nKapag naghahati ng mga kapangyarihan na may parehong base, ang base ay naiwang pareho, at ang exponent ng divisor ay ibabawas mula sa exponent ng dibidendo.

Mga halimbawa. Pasimplehin:

12) a 8: a 3; 13) m11:m4; 14) 5 6:5 4 .

12) a 8: a 3=a 8-3 =a 5 ; 13) m11:m4=m 11-4 =m 7 ; labing-apat ) 5 6:5 4 =5 2 =5 5=25.

VII. (isang m) n= amn Kapag nagtataas ng isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang base ay nananatiling pareho, at ang mga exponent ay pinarami.

Mga halimbawa. Pasimplehin:

15) (a 3) 4 ; 16) (s 5) 2.

15) (a 3) 4=a 3 4 =a 12 ; 16) (c 5) 2=c 5 2 =c 10 .

tala, na, dahil ang produkto ay hindi nagbabago mula sa isang permutasyon ng mga salik, pagkatapos:

15) (a 3) 4 \u003d (a 4) 3; 16) (c 5) 2 =(c 2) 5 .

Vako II. (a ∙ b) n =a n ∙ b n Kapag tinataas ang isang produkto sa isang kapangyarihan, ang bawat isa sa mga kadahilanan ay itinataas sa kapangyarihan na iyon.

Ang sumusunod na pormula ang magiging kahulugan degree na may natural na tagapagpahiwatig(a ay ang base ng exponent at ang paulit-ulit na salik, at n ang exponent, na nagpapakita kung gaano karaming beses ang salik ay inuulit):
Ang ekspresyong ito ay nangangahulugan na ang kapangyarihan ng numerong a na may natural na indeks n ay produkto ng n mga kadahilanan, dahil ang bawat isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng a.
17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857
17 - ang batayan ng antas,
5 - exponent,
Ang 1419857 ay ang halaga ng degree.
Ang exponent na may zero exponent ay 1 , sa kondisyon na ang isang \neq 0 :
a^0=1 .
Halimbawa: 2^0=1
Kapag kailangan mong magsulat ng isang malaking numero, ang kapangyarihan ng 10 ay karaniwang ginagamit.
Halimbawa, ang isa sa mga pinaka sinaunang dinosaur sa Earth ay nabuhay mga 280 milyong taon na ang nakalilipas. Ang kanyang edad ay nakasulat tulad ng sumusunod: 2.8 \cdot 10^8 .
Ang bawat bilang na higit sa 10 ay maaaring isulat bilang isang \cdot 10^n , sa kondisyon na 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют karaniwang anyo ng numero.
Mga halimbawa ng mga numero: 6978=6.978 \cdot 10^3, 569000=5.69 \cdot 10^5.
Maari mong sabihin ang parehong "a sa ika-n na kapangyarihan", at "ika-na-kapangyarihan ng numerong a" at "a sa kapangyarihan ng n".
4^5 - "four to the power of 5" o "4 to the fifth power" o maaari mo ring sabihin ang "fifth power of the number 4"
Sa halimbawang ito, 4 ang base ng degree, 5 ang exponent.
Nagbibigay kami ngayon ng isang halimbawa na may mga fraction at negatibong numero. Upang maiwasan ang pagkalito, kaugalian na magsulat ng mga base maliban sa mga natural na numero sa mga bracket:
(7,38)^2 , \left(\frac 12 \right)^7, (-1)^4 atbp.
Pansinin din ang pagkakaiba:
(-5)^6 - nangangahulugang ang kapangyarihan ng isang negatibong numero −5 na may natural na exponent 6.
5^6 - tumutugma sa kabaligtaran na bilang ng 5^6 .
Mga katangian ng mga degree na may natural na exponent
Ang pangunahing pag-aari ng degree
a^n \cdot a^k = a^(n+k)
Ang base ay nananatiling pareho, ngunit ang mga exponent ay idinagdag.
Halimbawa: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5
Pag-aari ng mga bahagyang kapangyarihan na may parehong mga base
a^n: a^k=a^(n-k) kung n > k .
Ang mga exponent ay ibinabawas, ngunit ang base ay nananatiling pareho.
Ang paghihigpit na ito n > k ay ipinakilala upang hindi lumampas sa natural exponents. Sa katunayan, para sa n > k, ang exponent a^(n-k) ay magiging isang natural na numero, kung hindi, ito ay magiging negatibong numero (k< n ), либо нулем (k-n ).
Halimbawa: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1
Pag-aari ng power exponentiation
(a^n)^k=a^(nk)
Ang base ay nananatiling pareho, ang mga exponent lamang ang pinarami.
Halimbawa: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)
Pag-aari ng pagpaparami ng produkto
Ang bawat salik ay itinataas sa kapangyarihan ng n.
a^n \cdot b^n = (ab)^n
Halimbawa: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3
Ang pag-aari ng exponentiation ng isang fraction
\frac(a^n)(b^n)=\left(\frac(a)(b) \right) ^n, b \neq 0
Parehong ang numerator at denominator ng isang fraction ay itinaas sa isang kapangyarihan. \left(\frac(2)(5) \right)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)