Ang mga limitasyon ng mga function ay kahanga-hangang mga limitasyon. Unang Kapansin-pansing Hangganan: Teorya at Mga Halimbawa

Patunay:

Patunayan muna natin ang theorem para sa kaso ng sequence

Ayon sa binomial formula ni Newton:

Ipagpalagay na makuha namin

Ito ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay na ito (1) na habang tumataas ang n, tataas ang bilang ng mga positibong termino sa kanang bahagi. Bilang karagdagan, habang tumataas ang n, bumababa ang bilang, kaya ang mga dami pagtaas. Samakatuwid ang pagkakasunod-sunod dumarami, habang (2)* Ipakita natin na ito ay may hangganan. Palitan natin ng isa ang bawat panaklong sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay, kanang bahagi tumataas, nakukuha natin ang hindi pagkakapantay-pantay

Pinalalakas namin ang nagresultang hindi pagkakapantay-pantay, pinapalitan ang 3,4,5, ..., na nakatayo sa mga denominator ng mga fraction, na may bilang 2: Nahanap namin ang kabuuan sa mga bracket gamit ang formula para sa kabuuan ng mga miyembro ng isang geometric na pag-unlad: Samakatuwid (3)*

Kaya, ang pagkakasunud-sunod ay nakatali mula sa itaas, habang ang mga hindi pagkakapantay-pantay (2) at (3) ay mayroong: Samakatuwid, batay sa Weierstrass theorem (isang criterion para sa convergence ng isang sequence), ang sequence tumataas ang monotonically at may hangganan, na nangangahulugang ito ay may limitasyon, na tinutukoy ng titik e. Yung.

Alam na ang pangalawa kahanga-hangang limitasyon ay totoo para sa mga natural na halaga ng x, patunayan namin ang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon para sa totoong x, iyon ay, patunayan namin na . Isaalang-alang ang dalawang kaso:

1. Hayaan ang bawat halaga ng x ay nakapaloob sa pagitan ng dalawang positibong integer: , where is buong bahagi x. =>

Kung , pagkatapos Samakatuwid, ayon sa limitasyon Meron kami

Sa pamamagitan ng pag-sign (tungkol sa limitasyon intermediate function) ang pagkakaroon ng mga limitasyon

2. Hayaan . Gumawa tayo ng pagpapalit − x = t, pagkatapos

Mula sa dalawang kasong ito ay sinusundan iyon para sa totoong x.

Mga kahihinatnan:

9 .) Paghahambing ng mga infinitesimal. Ang teorama sa pagpapalit ng mga infinitesimal ng katumbas ng mga nasa limitasyon at ang theorem sa pangunahing bahagi ng infinitesimals.

Hayaan ang mga function a( x) at b( x) – b.m. sa x ® x 0 .

MGA DEPINISYON.

1) a( x) tinawag isang infinitesimal na mas mataas na order kaysa b (x) kung

Isulat: a( x) = o(b( x)) .

2) a( x) at b( x)tinawag infinitesimal ng parehong pagkakasunud-sunod, kung

kung saan Cнℝ at C¹ 0 .

Isulat: a( x) = O(b( x)) .

3) a( x) at b( x) tinawag katumbas , kung

Isulat: a( x) ~ b( x).

4) a( x) ay tinatawag na infinitesimal order k na may kinalaman sa
napaka infinitesimal b( x), kung infinitesimal a( x)at(b( x)) k magkaroon ng parehong pagkakasunud-sunod, i.e. kung

kung saan Cнℝ at C¹ 0 .

TEOREM 6 (sa pagpapalit ng mga infinitesimal ng mga katumbas).

Hayaan a( x), b( x), a 1 ( x), b 1 ( x)– b.m. sa x ® x 0 . Kung ang a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),

pagkatapos

Patunay: Hayaan mo ( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x), pagkatapos

TEOREM 7 (tungkol sa pangunahing bahagi ng walang katapusang maliit).

Hayaan a( x)at b( x)– b.m. sa x ® x 0 , at b( x)– b.m. mas mataas na pagkakasunud-sunod kaysa a( x).

= , a since b( x) – mas mataas na pagkakasunud-sunod kaysa sa a( x), pagkatapos , ibig sabihin. mula sa malinaw na a( x) + b( x) ~ a( x)

10) Continuity ng isang function sa isang point (sa wika ng epsilon-delta limits, geometric) One-way continuity. Continuity sa isang interval, sa isang segment. Mga katangian ng tuluy-tuloy na pag-andar.

1. Mga pangunahing kahulugan

Hayaan f(x) ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng punto x 0 .

KAHULUGAN 1. tungkulin f(x) tinawag tuloy-tuloy sa isang punto x 0 kung totoo ang pagkakapantay-pantay

Remarks.

1) Sa pamamagitan ng Theorem 5 ng §3, ang pagkakapantay-pantay (1) ay maaaring isulat bilang

Kundisyon (2) - kahulugan ng pagpapatuloy ng isang function sa isang punto sa wika ng mga one-sided na limitasyon.

2) Ang pagkakapantay-pantay (1) ay maaari ding isulat bilang:

Sabi nila: "kung ang isang function ay tuloy-tuloy sa isang punto x 0 , pagkatapos ay ang sign ng limitasyon at ang function ay maaaring palitan.

KAHULUGAN 2 (sa wikang e-d).

tungkulin f(x) tinawag tuloy-tuloy sa isang punto x 0 kung"e>0 $d>0 ganyan, Ano

kung xОU( x 0 , d) (iyon ay, | x – x 0 | < d),

pagkatapos f(x)ОU( f(x 0), e) (ibig sabihin | f(x) – f(x 0) | < e).

Hayaan x, x 0 Î D(f) (x 0 - naayos, x- arbitrary)

Ipahiwatig: D x= x-x 0 – pagtaas ng argumento

D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – pagtaas ng function sa punto x 0

KAHULUGAN 3 (geometric).

tungkulin f(x) sa tinawag tuloy-tuloy sa isang punto x 0 kung sa puntong ito ang isang infinitesimal increment ng argument ay tumutugma sa infinitesimal na increment ng function, ibig sabihin.

Hayaan ang function f(x) ay tinukoy sa pagitan [ x 0 ; x 0 + d) (sa pagitan ( x 0 - d; x 0 ]).

DEPINISYON. tungkulin f(x) tinawag tuloy-tuloy sa isang punto x 0 sa kanan (umalis ), kung totoo ang pagkakapantay-pantay

Obvious naman yun f(x) ay tuloy-tuloy sa punto x 0 Û f(x) ay tuloy-tuloy sa punto x 0 kanan at kaliwa.

DEPINISYON. tungkulin f(x) tinawag tuloy-tuloy sa bawat pagitan e ( a; b) kung ito ay tuloy-tuloy sa bawat punto ng agwat na ito.

tungkulin f(x) ay tinatawag na tuloy-tuloy sa segment [a; b] kung ito ay tuloy-tuloy sa pagitan (a; b) at may isang panig na pagpapatuloy sa mga boundary point(i.e. tuloy-tuloy sa punto a tama, punto b- sa kaliwa).

11) Mga break point, ang kanilang klasipikasyon

DEPINISYON. Kung ang function f(x) ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng puntong x 0 , ngunit hindi tuloy-tuloy sa puntong iyon, kung gayon f(x) ay tinatawag na discontinuous sa puntong x 0 , ngunit ang punto x 0 tinatawag na breaking point mga tungkulin f(x) .

Remarks.

1) f(x) ay maaaring tukuyin sa isang hindi kumpletong kapitbahayan ng punto x 0 .

Pagkatapos ay isaalang-alang ang kaukulang one-sided na pagpapatuloy ng function.

2) Mula sa kahulugan ng z, ang punto x 0 ang break point ng function f(x) sa dalawang kaso:

a) U( x 0 , d)н D(f), ngunit para sa f(x) ang pagkakapantay-pantay ay hindi nasisiyahan

b) U * ( x 0 , d)н D(f) .

Para sa elementarya na pag-andar kaso lamang b) ay posible.

Hayaan x 0 - break point ng function f(x) .

DEPINISYON. punto x 0 tinawag sukdulan ako mabait kung ang function f(x)may hangganang limitasyon sa puntong ito sa kaliwa at sa kanan.

Kung, bilang karagdagan, ang mga limitasyong ito ay pantay, kung gayon ang puntong x 0 tinawag break point , kung hindi - jump point .

DEPINISYON. punto x 0 tinawag sukdulan II mabait kung hindi bababa sa isa sa mga one-sided na limitasyon ng function f(x)sa puntong ito ay katumbas ng¥ o wala.

12) Mga katangian ng mga function na tuluy-tuloy sa isang segment (Weierstrass's (walang patunay) at Cauchy's theorems

Weierstrass theorem

Hayaang maging tuluy-tuloy ang function na f(x) sa segment , pagkatapos

1)f(x) ay limitado sa

Kinukuha ng 2)f(x) ang pinakamaliit na halaga nito sa pagitan at pinakamataas na halaga

Kahulugan: Ang halaga ng function na m=f ay tinatawag na pinakamaliit kung m≤f(x) para sa alinmang x ∈ D(f).

Ang halaga ng function na m=f ay tinatawag na pinakamalaki kung m≥f(x) para sa alinmang x ∈ D(f).

Ang function ay maaaring tumagal ng pinakamaliit \ pinakamalaking halaga sa ilang mga punto ng segment.

f(x 3)=f(x 4)=max

Ang teorama ni Cauchy.

Hayaang maging tuluy-tuloy ang function na f(x) sa segment at ang x ay ang bilang na nakapaloob sa pagitan ng f(a) at f(b), pagkatapos ay mayroong kahit isang punto x 0 € na ang f(x 0)= g

Maghanap ng mga kahanga-hangang limitasyon mahirap hindi lamang para sa maraming mga mag-aaral sa una, ikalawang taon ng pag-aaral na nag-aaral ng teorya ng mga limitasyon, kundi pati na rin para sa ilang mga guro.

Formula ng unang kapansin-pansing limitasyon

Mga kahihinatnan ng unang kapansin-pansing limitasyon isulat ang mga formula
1. 2. 3. 4. Ngunit sa kanilang sarili pangkalahatang mga formula ang mga kapansin-pansing limitasyon ay hindi nakakatulong sa sinuman sa isang pagsusulit o pagsusulit. Ang ilalim na linya ay ang mga tunay na gawain ay binuo upang ang mga formula na nakasulat sa itaas ay kailangan pa ring maabot. At karamihan sa mga mag-aaral na lumalaktaw sa mga klase, pinag-aaralan ang kursong ito sa pamamagitan ng pagsusulatan o may mga guro na hindi nila laging nauunawaan kung ano ang kanilang ipinapaliwanag, ay hindi makakalkula ng pinakamaraming elementarya na mga halimbawa sa mga kapansin-pansing limitasyon. Mula sa mga formula ng unang kapansin-pansing limitasyon, nakikita namin na magagamit ang mga ito upang siyasatin ang mga kawalan ng katiyakan tulad ng zero na hinati ng zero para sa mga expression na may mga function na trigonometriko. Isaalang-alang muna natin ang isang serye ng mga halimbawa sa unang kahanga-hangang limitasyon, at pagkatapos ay pag-aralan natin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon.

Halimbawa 1. Hanapin ang limitasyon ng function na sin(7*x)/(5*x)
Solusyon: Gaya ng nakikita mo, ang function sa ilalim ng limitasyon ay malapit sa unang kapansin-pansing limitasyon, ngunit ang limitasyon ng mismong function ay tiyak na hindi katumbas ng isa. Sa ganitong mga pagtatalaga sa mga limitasyon, dapat isa-isa ng isa sa denominator ang isang variable na may parehong koepisyent na nakapaloob sa variable sa ilalim ng sine. Sa kasong ito, hatiin at i-multiply sa 7

Para sa ilan, ang gayong pagdedetalye ay tila hindi kailangan, ngunit para sa karamihan ng mga mag-aaral na nahihirapang magbigay ng mga limitasyon, makakatulong ito upang mas maunawaan ang mga patakaran at matutunan ang teoretikal na materyal.
Gayundin, kung mayroong isang kabaligtaran na anyo ng pag-andar - ito rin ang unang kahanga-hangang limitasyon. At lahat dahil ang kahanga-hangang limitasyon ay katumbas ng isa

Nalalapat ang parehong panuntunan sa mga kahihinatnan ng 1 kapansin-pansing limitasyon. Samakatuwid, kung tatanungin ka "Ano ang unang kahanga-hangang limitasyon?" Dapat mong sagutin nang walang pag-aalinlangan na ito ay isang yunit.

Halimbawa 2. Hanapin ang limitasyon ng function na sin(6x)/tan(11x)
Solusyon: Upang maunawaan ang huling resulta, isinusulat namin ang function sa form

Upang ilapat ang mga patakaran ng kapansin-pansin na limitasyon multiply at hatiin sa pamamagitan ng mga kadahilanan

Susunod, isinusulat namin ang limitasyon ng produkto ng mga function sa mga tuntunin ng produkto ng mga limitasyon

Nang walang kumplikadong mga formula, nakita namin ang limitasyon ng ilang trigonometric function. Para sa asimilasyon mga simpleng formula subukang makabuo at hanapin ang limitasyon sa 2 at 4, ang formula ng corollary 1 ng kahanga-hangang limitasyon. Isasaalang-alang namin ang mas kumplikadong mga gawain.

Halimbawa 3. Kalkulahin ang limitasyon (1-cos(x))/x^2
Solusyon: Kapag sinusuri sa pamamagitan ng pagpapalit, nakukuha namin ang kawalan ng katiyakan 0/0 . Maraming hindi alam kung paano bawasan ang gayong halimbawa sa 1 kahanga-hangang limitasyon. Dito mo dapat gamitin trigonometriko formula

Sa kasong ito, ang limitasyon ay mababago sa isang malinaw na anyo

Nagtagumpay kami sa pagbawas ng function sa parisukat ng isang kahanga-hangang limitasyon.

Halimbawa 4. Hanapin ang limitasyon
Solusyon: Kapag nagpapalit, nakukuha namin ang pamilyar na feature 0/0 . Gayunpaman, ang variable ay lumalapit sa Pi , hindi zero. Samakatuwid, upang mailapat ang unang kapansin-pansin na limitasyon, magsasagawa kami ng gayong pagbabago sa variable na x, upang ang bagong variable ay mapunta sa zero. Upang gawin ito, tinutukoy namin ang denominator bilang bagong variable na Pi-x=y

Kaya, gamit ang trigonometric formula, na ibinigay sa nakaraang gawain, ang halimbawa ay nabawasan sa 1 kahanga-hangang limitasyon.

Halimbawa 5 Kalkulahin ang Limitasyon
Solusyon: Sa una ay hindi malinaw kung paano gawing simple ang mga limitasyon. Pero kung may halimbawa, dapat may sagot. Ang katotohanan na ang variable ay napupunta sa pagkakaisa ay nagbibigay, kapag pinapalitan, ang isang singularity ng form na zero na pinarami ng infinity, kaya ang tangent ay dapat mapalitan ng formula

Pagkatapos nito, makuha namin ang ninanais na kawalan ng katiyakan 0/0. Susunod, nagsasagawa kami ng pagbabago ng mga variable sa limitasyon, at ginagamit ang periodicity ng cotangent

Ang mga huling pagpapalit ay nagpapahintulot sa amin na gamitin ang Corollary 1 ng kahanga-hangang limitasyon.

Ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay katumbas ng exponent

Ito ay isang klasiko kung saan sa totoong mga problema ay hindi laging madaling maabot ang mga limitasyon.
Para sa mga kalkulasyon kakailanganin mo Ang mga limitasyon ay mga kahihinatnan ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon:
1. 2. 3. 4.
Salamat sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon at mga kahihinatnan nito, maaaring tuklasin ng isang tao ang mga kawalan ng katiyakan tulad ng zero na hinati sa zero, isa sa kapangyarihan ng infinity, at infinity na hinati sa infinity, at maging sa parehong antas.

Simulan na nating kilalanin mga simpleng halimbawa.

Halimbawa 6 Hanapin ang limitasyon ng isang function
Solusyon: Direktang ilapat ang 2 kahanga-hangang limitasyon ay hindi gagana. Una kailangan mong i-on ang indicator upang magkaroon ito ng anyo na kabaligtaran sa termino sa mga bracket

Ito ang pamamaraan ng pagbabawas sa 2 kapansin-pansing limitasyon at, sa katunayan, ang derivation ng 2 formula ng kinahinatnan ng limitasyon.

Halimbawa 7 Hanapin ang limitasyon ng isang function
Solusyon: Mayroon kaming mga gawain para sa 3 formula ng corollary 2 ng kahanga-hangang limitasyon. Ang zero substitution ay nagbibigay ng singularity ng form na 0/0. Upang itaas ang limitasyon sa ilalim ng panuntunan, i-on namin ang denominator upang ang variable ay may parehong coefficient tulad ng sa logarithm

Madali din itong maunawaan at maisagawa sa pagsusulit. Ang mga paghihirap ng mga mag-aaral sa pagkalkula ng mga limitasyon ay nagsisimula sa mga sumusunod na gawain.

Halimbawa 8 Kalkulahin ang limitasyon ng pag-andar[(x+7)/(x-3)]^(x-2)
Solusyon: Mayroon kaming singularity ng uri 1 sa kapangyarihan ng infinity. Kung hindi ka naniniwala sa akin, maaari mong palitan ang infinity sa halip na "x" sa lahat ng dako at makita mo mismo. Upang itaas sa ilalim ng panuntunan, hinahati namin ang numerator sa pamamagitan ng denominator sa mga bracket, para dito muna namin ginagawa ang mga manipulasyon

Palitan ang expression sa limitasyon at i-on ito sa 2 kahanga-hangang limitasyon

Ang limitasyon ay ang exponent sa kapangyarihan ng 10. Ang mga constant na mga termino na may variable sa mga bracket at degree ay hindi nag-aambag ng anumang "panahon" - ito ay dapat tandaan. At kung tatanungin ka ng mga guro - "Bakit hindi mo buksan ang indicator?" (Para sa halimbawang ito sa x-3 ), pagkatapos ay sabihin na "Kapag ang variable ay may posibilidad na infinity, pagkatapos ay magdagdag ng 100 dito, o ibawas ang 1000, at ang limitasyon ay mananatiling pareho!".
Mayroong pangalawang paraan upang makalkula ang mga limitasyon ng ganitong uri. Pag-uusapan natin ito sa susunod na gawain.

Halimbawa 9 Hanapin ang limitasyon
Solusyon: Ngayon ay kinuha namin ang variable sa numerator at denominator at gagawing isa pa ang isang feature. Upang makuha ang pinal na halaga, ginagamit namin ang formula ng Corollary 2 ng kahanga-hangang limitasyon

Halimbawa 10 Hanapin ang limitasyon ng isang function
Solusyon: Hindi lahat ay makakahanap ng ibinigay na limitasyon. Upang itaas ang limitasyon sa 2, isipin na ang kasalanan (3x) ay isang variable, at kailangan mong i-on ang exponent

Susunod, isinusulat namin ang indicator bilang isang degree sa isang degree


Ang mga intermediate na argumento ay inilarawan sa panaklong. Bilang resulta ng paggamit ng una at pangalawang magagandang limitasyon, nakuha namin ang cubed exponent.

Halimbawa 11. Kalkulahin ang limitasyon ng pag-andar sin(2*x)/log(3*x+1)
Solusyon: Mayroon kaming kawalan ng katiyakan sa form 0/0. Bilang karagdagan, nakikita namin na ang function ay dapat na ma-convert sa paggamit ng parehong kahanga-hangang mga limitasyon. Gawin natin ang mga nakaraang pagbabagong matematikal

Dagdag pa, nang walang kahirapan, ang limitasyon ay tumatagal ng halaga

Ganito ang pakiramdam mo sa mga pagsubok, pagsubok, module kung matututunan mo kung paano mabilis na magpinta ng mga function at bawasan ang mga ito sa una o pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Kung mahirap para sa iyo na kabisaduhin ang mga pamamaraan sa itaas ng paghahanap ng mga limitasyon, maaari kang palaging mag-order pagsusulit sa ating mga limitasyon.
Upang gawin ito, punan ang form, tukuyin ang data at maglakip ng isang file na may mga halimbawa. Marami na kaming natulungang estudyante - matutulungan ka rin namin!

Mayroong ilang mga kahanga-hangang limitasyon, ngunit ang pinakasikat ay ang una at pangalawang magagandang limitasyon. Ang kapansin-pansing bagay tungkol sa mga limitasyong ito ay ang mga ito ay malawakang ginagamit at maaaring magamit upang mahanap ang iba pang mga limitasyon na nakatagpo sa maraming mga problema. Ito ang gagawin natin sa praktikal na bahagi ng araling ito. Upang malutas ang mga problema sa pamamagitan ng pagbawas sa una o pangalawang kapansin-pansin na limitasyon, hindi kinakailangang ibunyag ang mga kawalan ng katiyakan na nakapaloob sa mga ito, dahil ang mga halaga ng mga limitasyong ito ay matagal nang hinuhusgahan ng mga dakilang mathematician.

Ang unang kapansin-pansing limitasyon tinatawag na limitasyon ng ratio ng sine ng isang walang katapusang maliit na arko sa parehong arko, na ipinahayag sa radian na sukat:

Lumipat tayo sa paglutas ng mga problema sa unang kahanga-hangang limitasyon. Tandaan: kung ang isang trigonometric function ay nasa ilalim ng limit sign, ito ay halos isang siguradong senyales na ang expression na ito ay maaaring bawasan sa unang kapansin-pansin na limitasyon.

Halimbawa 1 Hanapin ang limitasyon.

Desisyon. Pagpapalit sa halip x ang zero ay humahantong sa kawalan ng katiyakan:

.

Ang denominator ay isang sine, samakatuwid, ang expression ay maaaring bawasan sa unang kapansin-pansin na limitasyon. Simulan natin ang pagbabago:

.

Sa denominator - ang sine ng tatlong x, at sa numerator mayroon lamang isang x, na nangangahulugan na kailangan mong makakuha ng tatlong x sa numerator. Para saan? Upang ipakita 3 x = a at kunin ang ekspresyon.

At dumating tayo sa isang pagkakaiba-iba ng unang kahanga-hangang limitasyon:

dahil hindi mahalaga kung ano ang titik (variable) sa formula na ito sa halip na x.

I-multiply namin ang x sa tatlo at agad na hatiin:

.

Alinsunod sa nabanggit na unang kapansin-pansing limitasyon, pinapalitan namin ang fractional expression:

Ngayon ay malulutas na natin ang limitasyong ito:

.

Halimbawa 2 Hanapin ang limitasyon.

Desisyon. Ang direktang pagpapalit ay muling humahantong sa kawalan ng katiyakan na "zero divide by zero":

.

Upang makuha ang unang kapansin-pansing limitasyon, kinakailangan na ang x sa ilalim ng sine sign sa numerator at ang x lamang sa denominator ay may parehong koepisyent. Hayaan ang koepisyent na ito ay katumbas ng 2. Upang gawin ito, isipin ang kasalukuyang koepisyent sa x tulad ng nasa ibaba, na gumaganap ng mga aksyon na may mga fraction, nakukuha natin ang:

.

Halimbawa 3 Hanapin ang limitasyon.

Desisyon. Kapag pinapalitan, muli nating makukuha ang kawalan ng katiyakan na "zero na hinati ng zero":

.

Malamang na naiintindihan mo na mula sa orihinal na expression maaari mong makuha ang unang kamangha-manghang limitasyon na pinarami ng unang kamangha-manghang limitasyon. Upang gawin ito, nabubulok namin ang mga parisukat ng x sa numerator at ang sine sa denominator sa parehong mga kadahilanan, at upang makuha ang parehong mga coefficient para sa x at ang sine, hinati namin ang x sa numerator ng 3 at agad na i-multiply sa 3. Nakukuha natin ang:

.

Halimbawa 4 Hanapin ang limitasyon.

Desisyon. Muli nating nakuha ang kawalan ng katiyakan "zero na hinati ng zero":

.

Makukuha natin ang ratio ng unang dalawang kapansin-pansing limitasyon. Hinahati namin ang numerator at ang denominator sa x. Pagkatapos, upang ang mga coefficients sa sines at sa x ay magkasabay, pinarami namin ang itaas na x sa 2 at agad na hatiin sa 2, at i-multiply ang mas mababang x sa 3 at agad na hatiin sa 3. Nakukuha namin:

Halimbawa 5 Hanapin ang limitasyon.

Desisyon. At muli, ang kawalan ng katiyakan ng "zero na hinati ng zero":

Naaalala namin mula sa trigonometry na ang tangent ay ang ratio ng sine sa cosine, at ang cosine ng zero ay katumbas ng isa. Gumagawa kami ng mga pagbabago at makakuha ng:

.

Halimbawa 6 Hanapin ang limitasyon.

Desisyon. trigonometriko function sa ilalim ng tanda ng limitasyon ay muling nagmumungkahi ng ideya ng paglalapat ng unang kapansin-pansin na limitasyon. Kinakatawan namin ito bilang ratio ng sine sa cosine.

Ang artikulong ito: "Ang Ikalawang Kahanga-hangang Limitasyon" ay nakatuon sa pagsisiwalat sa loob ng mga kawalan ng katiyakan ng mga species:

$ \bigg[\frac(\infty)(\infty)\bigg]^\infty $ at $ ^\infty $.

Gayundin, ang mga ganitong kawalan ng katiyakan ay maaaring ibunyag gamit ang logarithm ng exponential-power function, ngunit ito ay isa pang paraan ng solusyon, na tatalakayin sa ibang artikulo.

Formula at kahihinatnan

Formula ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon ay nakasulat tulad ng sumusunod: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1+\frac(1)(x)\bigg)^x = e, \text( where ) e \approx 2.718 $ $

Mula sa formula sundin kahihinatnan, na napakaginhawa para sa paglutas ng mga halimbawa na may mga limitasyon: $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(k)(x) \bigg)^x = e^k, \text( where ) k \in \mathbb(R) $$ $$ \lim_(x \to \infty) \bigg (1 + \frac(1)(f(x)) \bigg)^(f(x)) = e $ $ $$ \lim_(x \to 0) \bigg (1 + x \bigg)^\frac(1)(x) = e $$

Dapat pansinin na ang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon ay hindi maaaring palaging mailapat sa isang exponential-power function, ngunit lamang sa mga kaso kung saan ang base ay may gawi sa pagkakaisa. Upang gawin ito, kalkulahin muna ang limitasyon ng base sa isip, at pagkatapos ay gumuhit ng mga konklusyon. Ang lahat ng ito ay tatalakayin sa mga halimbawang solusyon.

Mga halimbawa ng solusyon

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng mga solusyon gamit ang direktang formula at ang mga kahihinatnan nito. Susuriin din namin ang mga kaso kung saan hindi kailangan ang formula. Sapat na isulat lamang ang handa na sagot.

Suriin natin ang mga kaso kapag ang problema ay katulad ng pangalawang kahanga-hangang limitasyon, ngunit nalutas nang wala ito.

Sa artikulong: "Ang pangalawang kapansin-pansin na limitasyon: mga halimbawa ng mga solusyon", ang formula ay nasuri, ang mga kahihinatnan nito ay ibinigay madalas na mga uri mga gawain sa paksang ito.