Limitahan online na may detalyadong solusyon. Paano magbilang ng mga limitasyon

pare-parehong numero a tinawag limitasyon mga pagkakasunod-sunod(x n ) kung para sa anumang arbitraryong maliit positibong numero ε > 0 mayroong isang numero N tulad na ang lahat ng mga halaga x n, kung saan ang n>N, ay nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay

|x n - a|< ε. (6.1)

Isulat ito bilang sumusunod: o x n → a.

Ang hindi pagkakapantay-pantay (6.1) ay katumbas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

na nangangahulugan na ang mga puntos x n, simula sa ilang numero n>N, nasa loob ng pagitan (a-ε, a + ε ), ibig sabihin. mahulog sa anumang maliitε -kapitbahayan ng punto a.

Ang pagkakasunod-sunod na may limitasyon ay tinatawag nagtatagpo, kung hindi - divergent.

Ang konsepto ng limitasyon ng isang function ay isang generalization ng konsepto ng limitasyon ng isang sequence, dahil ang limitasyon ng isang sequence ay maaaring ituring bilang limitasyon ng function x n = f(n) ng isang integer argument n.

Hayaang maibigay ang isang function na f(x) at hayaan a - limitasyon ng punto ang domain ng kahulugan ng function na ito D(f), i.e. tulad ng isang punto, anumang kapitbahayan kung saan naglalaman ng mga punto ng set D(f) naiiba mula sa a. Dot a maaari o hindi kabilang sa set D(f).

Kahulugan 1.Ang pare-parehong numero A ay tinatawag limitasyon mga function f(x) sa x→a kung para sa anumang pagkakasunud-sunod (x n ) ng mga halaga ng argumento a, ang mga kaukulang sequence (f(x n)) ay may parehong limitasyon A.

Ang kahulugang ito ay tinatawag na pagtukoy sa limitasyon ng isang function ayon kay Heine, o" sa wika ng mga pagkakasunod-sunod”.

Kahulugan 2. Ang pare-parehong numero A ay tinatawag limitasyon mga function f(x) sa x→a kung, bibigyan ng isang arbitrary na arbitraryong maliit na positibong numero ε, mahahanap ng isa ang gayong δ>0 (depende sa ε), na para sa lahat x nakahiga saε-mga kapitbahayan ng isang numero a, ibig sabihin. para sa x nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay
0 < x-a< ε , ang mga halaga ng function na f(x) ay makikitaε-kapitbahayan ng bilang A, i.e.|f(x)-A|< ε.

Ang kahulugang ito ay tinatawag na pagtukoy sa limitasyon ng isang function ayon sa Cauchy, o “sa wikang ε - δ “.

Ang mga kahulugan 1 at 2 ay katumbas. Kung ang function na f(x) bilang x →a ay may limitasyon katumbas ng A, ito ay nakasulat bilang

. (6.3)

Kung sakaling ang sequence (f(x n)) ay tumaas (o bumaba) nang walang katiyakan para sa anumang paraan ng approximation x sa iyong limitasyon a, pagkatapos ay sasabihin natin na mayroon ang function na f(x). walang katapusang limitasyon, at isulat ito bilang:

Isang variable (i.e. sequence o function) na may limitasyon sero, ay tinatawag na walang katapusang maliit.

Ang isang variable na ang limitasyon ay katumbas ng infinity ay tinatawag walang hanggan malaki.

Upang mahanap ang limitasyon sa pagsasanay, gamitin ang mga sumusunod na theorems.

Teorama 1 . Kung ang bawat limitasyon ay umiiral

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Magkomento. Mga expression tulad ng 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - ay hindi tiyak, halimbawa, ang ratio ng dalawang infinitesimal o infinitely large quantities, at ang paghahanap ng limitasyon ng ganitong uri ay tinatawag na "uncertainty disclosure".

Teorama 2. (6.7)

mga. posible na pumasa sa limitasyon sa base ng antas sa isang pare-parehong exponent, sa partikular, ;

(6.8)

(6.9)

Teorama 3.

(6.10)

(6.11)

saan e » Ang 2.7 ay ang batayan ng natural na logarithm. Ang mga formula (6.10) at (6.11) ay tinatawag na una kahanga-hangang limitasyon at ang pangalawang kapansin-pansing limitasyon.

Ang mga corollaries ng formula (6.11) ay ginagamit din sa pagsasanay:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

sa partikular ang limitasyon

Kung x → a at sa parehong oras x > a, pagkatapos ay isulat ang x→a + 0. Kung, sa partikular, a = 0, sa halip na ang simbolo na 0+0 ay nagsusulat ng +0. Katulad nito, kung x→a at sa parehong oras x a-0. Numero at pinangalanan nang naaayon. tamang limitasyon at kaliwang limitasyon mga function f(x) sa punto a. Para umiral ang limitasyon ng function na f(x) bilang x→a ay kailangan at sapat para sa . Ang function na f(x) ay tinatawag tuloy-tuloy sa punto x 0 kung limitasyon

. (6.15)

Ang kundisyon (6.15) ay maaaring isulat muli bilang:

iyon ay, ang pagpasa sa limitasyon sa ilalim ng tanda ng isang function ay posible kung ito ay tuloy-tuloy sa isang naibigay na punto.

Kung ang pagkakapantay-pantay (6.15) ay nilabag, kung gayon sasabihin namin iyon sa x = xo function f(x) Mayroon itong gap. Isaalang-alang ang function na y = 1/x. Ang domain ng function na ito ay ang set R, maliban sa x = 0. Ang puntong x = 0 ay isang limit point ng set D(f), dahil sa alinman sa mga kapitbahayan nito, ibig sabihin,, anumang bukas na agwat na naglalaman ng punto 0 ay naglalaman ng mga puntos mula sa D(f), ngunit hindi ito kabilang sa set na ito. Ang value na f(x o)= f(0) ay hindi tinukoy, kaya ang function ay may discontinuity sa puntong x o = 0.

Ang function na f(x) ay tinatawag tuloy-tuloy sa kanan sa isang punto x o kung limitasyon

at tuloy-tuloy sa kaliwa sa isang punto x o kung limitasyon

Pagpapatuloy ng isang function sa isang punto x o ay katumbas ng pagpapatuloy nito sa puntong ito sa kanan at kaliwa.

Para sa isang function na maging tuluy-tuloy sa isang punto x o, halimbawa, sa kanan, kinakailangan, una, na may hangganan na limitasyon , at pangalawa, na ang limitasyong ito ay katumbas ng f(x o). Samakatuwid, kung hindi bababa sa isa sa dalawang kundisyong ito ang hindi matugunan, magkakaroon ng gap ang function.

1. Kung ang limitasyon ay umiiral at hindi katumbas ng f(x o), pagkatapos ay sinasabi nila iyon function f(x) sa punto mayroon si xo break ng unang uri, o tumalon.

2. Kung ang limitasyon ay+∞ o -∞ o wala, pagkatapos ay sasabihin namin iyon sa punto x o may pahinga ang function pangalawang uri.

Halimbawa, ang function na y = ctg x sa x→ Ang +0 ay may limitasyon na katumbas ng +∞, samakatuwid, sa puntong x=0 ito ay may discontinuity ng pangalawang uri. Function y = E(x) (integer na bahagi ng x) sa mga puntong may integer abscissas ay may mga discontinuities ng unang uri, o mga jump.

Ang isang function na tuluy-tuloy sa bawat punto ng pagitan ay tinatawag tuloy-tuloy sa . Ang isang tuluy-tuloy na function ay kinakatawan ng isang solid curve.

Maraming mga problema na nauugnay sa patuloy na paglaki ng ilang dami ang humahantong sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Ang mga naturang gawain, halimbawa, ay kinabibilangan ng: ang paglaki ng kontribusyon ayon sa batas ng tambalang interes, ang paglaki ng populasyon ng bansa, ang pagkabulok ng isang radioactive substance, ang pagdami ng bacteria, atbp.

Pag-isipan halimbawa ng Ya. I. Perelman, na nagbibigay ng interpretasyon ng numero e sa problema ng tambalang interes. Numero e may hangganan . Sa mga savings bank, ang pera ng interes ay idinaragdag sa nakapirming kapital taun-taon. Kung ang koneksyon ay ginawa nang mas madalas, kung gayon ang kapital ay lumalaki nang mas mabilis, dahil ang isang malaking halaga ay kasangkot sa pagbuo ng interes. Kumuha tayo ng isang purong teoretikal, lubos na pinasimpleng halimbawa. Hayaang maglagay ang bangko ng 100 den. mga yunit sa rate na 100% kada taon. Kung ang pera na may interes ay idinagdag sa nakapirming kapital pagkatapos lamang ng isang taon, sa oras na ito ay 100 den. mga yunit magiging 200 den. Ngayon tingnan natin kung ano ang magiging 100 den. mga yunit, kung ang pera ng interes ay idaragdag sa nakapirming kapital kada anim na buwan. Pagkatapos ng kalahating taon 100 den. mga yunit lumaki hanggang 100× 1.5 \u003d 150, at pagkatapos ng isa pang anim na buwan - sa 150× 1.5 \u003d 225 (den. unit). Kung ang pag-akyat ay ginagawa tuwing 1/3 ng taon, pagkatapos ng isang taon 100 den. mga yunit maging 100× (1 +1/3) 3 » 237 (den. units). Dadagdagan namin ang timeframe para sa pagdaragdag ng pera ng interes sa 0.1 taon, 0.01 taon, 0.001 taon, at iba pa. Tapos sa 100 den. mga yunit makalipas ang isang taon:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. units),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. units),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. units).

Sa walang limitasyong pagbawas sa mga tuntunin ng pagsali sa interes, ang naipon na kapital ay hindi lumalaki nang walang katapusan, ngunit lumalapit sa isang tiyak na limitasyon na katumbas ng humigit-kumulang 271. Ang kapital na inilagay sa 100% bawat taon ay hindi maaaring tumaas ng higit sa 2.71 beses, kahit na ang naipon na interes ay idinagdag sa kapital bawat segundo dahil ang limitasyon

Halimbawa 3.1.Gamit ang kahulugan ng limitasyon ng isang pagkakasunod-sunod ng numero, patunayan na ang pagkakasunod-sunod na x n =(n-1)/n ay may limitasyon na katumbas ng 1.

Solusyon.Kailangan nating patunayan na anumanε > 0 ang kinukuha namin, para dito mayroong natural na bilang N na para sa lahat n N ang hindi pagkakapantay-pantay|xn-1|< ε.

Kumuha ng anumang e > 0. Since ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, pagkatapos ay upang mahanap ang N sapat na upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay 1/n< e. Kaya n>1/ e at, samakatuwid, ang N ay maaaring kunin bilang integer na bahagi ng 1/ e , N = E(1/e ). Sa gayon ay napatunayan namin na ang limitasyon .

Halimbawa 3.2 . Hanapin ang limitasyon ng isang sequence na ibinigay ng isang karaniwang termino .

Solusyon.Ilapat ang limit sum theorem at hanapin ang limitasyon ng bawat termino. Para sa n→ ∞ ang numerator at denominator ng bawat termino ay may posibilidad na infinity, at hindi natin direktang mailalapat ang quotient limit theorem. Kaya naman, nag-transform muna tayo x n, hinahati ang numerator at denominator ng unang termino sa pamamagitan ng n 2, at ang pangalawa n. Pagkatapos, ang paglalapat ng quotient limit theorem at ang sum limit theorem, makikita natin:

Halimbawa 3.3. . Hanapin ang .

Solusyon. .

Dito ginamit namin ang degree limit theorem: ang limitasyon ng isang degree ay katumbas ng antas ng limitasyon ng base.

Halimbawa 3.4 . Hanapin ( ).

Solusyon.Imposibleng ilapat ang difference limit theorem, dahil mayroon tayong kawalan ng katiyakan sa form ∞-∞ . Ibahin natin ang pormula ng pangkalahatang termino:

Halimbawa 3.5 . Given a function f(x)=2 1/x . Patunayan na ang limitasyon ay hindi umiiral.

Solusyon.Ginagamit namin ang kahulugan 1 ng limitasyon ng isang function sa mga tuntunin ng isang sequence. Kumuha ng sequence ( x n ) converging to 0, i.e. Ipakita natin na ang value na f(x n)= ay kumikilos nang iba para sa iba't ibang sequence. Hayaan ang x n = 1/n. Malinaw, pagkatapos ay ang limitasyon Pumili tayo ngayon bilang x n isang pagkakasunud-sunod na may karaniwang termino x n = -1/n, na umaabot din sa zero. Samakatuwid, walang limitasyon.

Halimbawa 3.6 . Patunayan na ang limitasyon ay hindi umiiral.

Solusyon.Hayaang ang x 1 , x 2 ,..., x n ,... ay isang pagkakasunud-sunod kung saan
. Paano gumagana ang sequence (f(x n)) = (sin x n ) para sa iba't ibang x n → ∞

Kung x n \u003d p n, pagkatapos ay kasalanan x n \u003d kasalanan p n = 0 para sa lahat n at limitahan Kung
xn=2 p n+ p /2, pagkatapos sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 para sa lahat n at samakatuwid ang limitasyon. Kaya hindi umiiral.

Widget para sa pagkalkula ng mga limitasyon on-line

Sa itaas na kahon, sa halip na sin(x)/x, ilagay ang function na ang limitasyon ay gusto mong hanapin. Sa ibabang kahon, ipasok ang numerong x at i-click ang Calcular button, makuha ang gustong limitasyon. At kung mag-click ka sa Ipakita ang mga hakbang sa kanang sulok sa itaas sa window ng resulta, makakakuha ka ng isang detalyadong solusyon.

Mga panuntunan sa pag-input ng function: sqrt(x) - square root, cbrt(x) - cube root, exp(x) - exponent, ln(x) - natural logarithm, sin(x) - sine, cos(x) - cosine, tan (x) - tangent, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. Mga palatandaan: * multiplikasyon, / dibisyon, ^ exponentiation, sa halip na kawalang-hanggan Infinity. Halimbawa: ang function ay ipinasok bilang sqrt(tan(x/2)).

Limitasyon ng function sa infinity:
|f(x) - a|< ε при |x| >N

Kahulugan ng limitasyon ng Cauchy
Hayaan ang function f (x) ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng isang punto sa infinity, para sa |x| > Ang numero a ay tinatawag na limitasyon ng function f (x) dahil ang x ay may posibilidad na infinity (), kung para sa anumang arbitraryong maliit na positibong numero ε > 0 , mayroong isang numero N ε > K, depende sa ε , para sa lahat ng x, |x| > N ε , ang mga halaga ng function ay nabibilang sa ε kapitbahayan ng point a :
|f (x) - isang|< ε .
Ang limitasyon ng isang function sa infinity ay tinutukoy bilang mga sumusunod:
.
O sa .

Ang sumusunod na notasyon ay madalas ding ginagamit:
.

Isinulat namin ang kahulugang ito gamit ang mga lohikal na simbolo ng pagkakaroon at pagiging pangkalahatan:
.
Dito ipinapalagay na ang mga halaga ay kabilang sa saklaw ng pag-andar.

One-sided na mga limitasyon

Kaliwang limitasyon ng function sa infinity:
|f(x) - a|< ε при x < -N

Kadalasan mayroong mga kaso kapag ang function ay tinukoy lamang para sa positibo o negatibong mga halaga ng variable x (mas tiyak, sa paligid ng punto o ). Gayundin, ang mga limitasyon sa infinity para sa positibo at negatibong mga halaga ng x ay maaaring magkaroon ng magkakaibang mga halaga. Pagkatapos ay ginagamit ang mga one-sided na limitasyon.

Kaliwang limitasyon sa infinity o ang limitasyon bilang x ay may posibilidad na minus infinity () ay tinukoy bilang mga sumusunod:
.
Tamang limitasyon sa infinity o limitasyon habang ang x ay may posibilidad na plus infinity ():
.
Ang mga one-sided na limitasyon sa infinity ay kadalasang isinusulat nang ganito:
; .

Infinite function limit sa infinity

Infinite function limit sa infinity:
|f(x)| > M para sa |x| > N

Kahulugan ng walang katapusang limitasyon ayon kay Cauchy
Hayaan ang function f (x) ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng isang punto sa infinity, para sa |x| > K , kung saan ang K ay isang positibong numero. Limitasyon ng tungkulin f (x) kapag ang x ay may posibilidad na infinity (), ay katumbas ng infinity, kung para sa anumang arbitraryong malaking bilang na M > 0 , mayroong isang numerong N M > K, depende sa M , para sa lahat ng x, |x| > N M , ang mga halaga ng function ay nabibilang sa kapitbahayan ng punto sa infinity:
|f (x) | > M.
Ang walang katapusang limitasyon bilang x ay may posibilidad na infinity ay tinutukoy bilang mga sumusunod:
.
O sa .

Gamit ang mga lohikal na simbolo ng pagkakaroon at pagiging pangkalahatan, ang kahulugan ng walang katapusang limitasyon ng isang function ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
.

Ang mga kahulugan ng walang katapusang mga limitasyon ng ilang mga palatandaan na katumbas at ipinakilala nang katulad:
.
.

Mga kahulugan ng one-sided na limitasyon sa infinity.
Kaliwang limitasyon.
.
.
.
Tamang limitasyon.
.
.
.

Kahulugan ng limitasyon ng isang function ayon kay Heine

Hayaan ang function f (x) ay tinukoy sa ilang kapitbahayan ng punto sa infinity x 0 , saan o o .
Ang numerong a (finite o infinity) ay tinatawag na limit ng function f (x) sa punto x 0 :
,
kung para sa anumang pagkakasunod-sunod ( x n ), nagtatagpo sa x 0 : ,
na ang mga elemento ay nabibilang sa kapitbahayan , ang pagkakasunod-sunod (f(xn)) nagtatagpo sa isang:
.

Kung kukunin natin ang kapitbahayan ng isang unsigned point sa infinity bilang isang neighborhood: , pagkatapos ay makukuha natin ang kahulugan ng limitasyon ng function bilang x ay may posibilidad na infinity, . Kung kukunin natin ang kaliwa o kanang kamay na kapitbahayan ng punto sa infinity x 0 : o , pagkatapos ay makuha namin ang kahulugan ng limitasyon bilang x ay may posibilidad na minus infinity at plus infinity, ayon sa pagkakabanggit.

Ang mga kahulugan ng Heine at Cauchy ng limitasyon ay katumbas.

Mga halimbawa

Halimbawa 1

Gamit ang kahulugan ng Cauchy, ipakita iyon
.

Ipakilala natin ang notasyon:
.
Hanapin ang domain ng function. Dahil ang numerator at denominator ng isang fraction ay mga polynomial, ang function ay tinukoy para sa lahat ng x maliban sa mga punto kung saan nawawala ang denominator. Hanapin natin ang mga puntong ito. Nilulutas namin ang isang quadratic equation. ;
.
Mga ugat ng equation:
; .
Mula noon at .
Samakatuwid, ang function ay tinukoy para sa . Ito ang gagamitin natin sa hinaharap.

Isinulat namin ang kahulugan ng finite limit ng isang function sa infinity ayon sa Cauchy:
.
Ibahin natin ang pagkakaiba:
.
Hatiin ang numerator at denominator sa at multiply sa -1 :
.

Hayaan mong .
Pagkatapos
;
;
;
.

Kaya, nalaman namin na sa ,
.
.
Kaya naman sinusunod iyon
sa , at .

Dahil laging posible na madagdagan, kinukuha namin ang . Pagkatapos para sa anumang,
sa .
Ibig sabihin nito ay .

Halimbawa 2

Hayaan mong .
Gamit ang kahulugan ng limitasyon ng Cauchy, ipakita na:
1) ;
2) .

1) Solusyon para sa x tending to minus infinity

Since , pagkatapos ay ang function ay tinukoy para sa lahat ng x .
Isulat natin ang kahulugan ng limitasyon ng function na katumbas ng minus infinity:
.

Hayaan mong . Pagkatapos
;
.

Kaya, nalaman namin na sa ,
.
Naglalagay kami ng mga positibong numero at:
.
Kasunod nito na para sa anumang positibong numero M , mayroong isang numero , upang para sa ,
.

Ibig sabihin nito ay .

2) Solusyon para sa x tending to plus infinity

Ibahin natin ang orihinal na function. I-multiply ang numerator at denominator ng fraction at ilapat ang difference ng squares formula:
.
Meron kami:

.
Isulat natin ang kahulugan ng tamang limitasyon ng function para sa :
.

Ipakilala natin ang notasyon: .
Ibahin natin ang pagkakaiba:
.
I-multiply ang numerator at denominator sa pamamagitan ng:
.

Hayaan
.
Pagkatapos
;
.

Kaya, nalaman namin na sa ,
.
Naglalagay kami ng mga positibong numero at:
.
Kaya naman sinusunod iyon
sa at .

Dahil ito ay humahawak para sa anumang positibong numero, kung gayon
.

Mga sanggunian:
CM. Nikolsky. Kurso ng pagsusuri sa matematika. Tomo 1. Moscow, 1983.

Aplikasyon

Mga limitasyon online sa site para sa buong pagsasama-sama ng materyal na saklaw ng mga mag-aaral at mga mag-aaral. Paano mahahanap ang limitasyon online gamit ang aming mapagkukunan? Ito ay napakadaling gawin, kailangan mo lamang na isulat nang tama ang orihinal na function na may variable na x, piliin ang nais na infinity mula sa tagapili at i-click ang pindutang "Solusyon". Sa kaso kapag ang limitasyon ng function ay dapat kalkulahin sa ilang punto x, pagkatapos ay kailangan mong tukuyin ang numerical na halaga ng mismong puntong ito. Matatanggap mo ang sagot sa desisyon ng limitasyon sa loob ng ilang segundo, sa madaling salita - kaagad. Gayunpaman, kung nagpasok ka ng maling data, awtomatikong aabisuhan ka ng serbisyo ng isang error. Iwasto ang dating ipinakilala na function at kunin ang tamang desisyon limitasyon. Upang malutas ang mga limitasyon, ang lahat ng posibleng mga diskarte ay ginagamit, ang L'Hopital na pamamaraan ay kadalasang ginagamit, dahil ito ay pangkalahatan at humahantong sa isang sagot nang mas mabilis kaysa sa iba pang mga paraan ng pagkalkula ng limitasyon ng isang function. Nakatutuwang isaalang-alang ang mga halimbawa kung saan naroroon ang modyul. Sa pamamagitan ng paraan, ayon sa mga patakaran ng aming mapagkukunan, ang module ay tinutukoy ng klasikong vertical bar sa matematika na "|" o Abs(f(x)) mula sa Latin absolute. Kadalasan ang solusyon ng limitasyon ay kinakailangan upang makalkula ang kabuuan pagkakasunod-sunod ng numero. Tulad ng alam ng lahat, kailangan mo lamang na ipahayag nang tama ang bahagyang kabuuan ng pagkakasunud-sunod sa ilalim ng pag-aaral, at pagkatapos ang lahat ay mas simple, salamat sa aming libreng serbisyo site, dahil ang pagkalkula ng limitasyon mula sa isang bahagyang kabuuan ay ang panghuling kabuuan ng numerical sequence. Sa pangkalahatan, ang teorya ng pagpasa sa limitasyon ay ang pangunahing konsepto ng lahat ng pagsusuri sa matematika. Ang lahat ay tiyak na batay sa mga paglilipat ng limitasyon, iyon ay, ang solusyon ng mga limitasyon ay ang batayan ng agham ng pagsusuri sa matematika. Ginagamit din ng integration ang passage hanggang sa limitasyon, kapag ang integral ay theoretically na kinakatawan bilang kabuuan ng isang walang limitasyong bilang ng mga lugar. Kung saan mayroong isang walang limitasyong bilang ng isang bagay, iyon ay, ang pagkahilig ng bilang ng mga bagay hanggang sa kawalang-hanggan, kung gayon ang teorya ng mga paglilipat ng limitasyon ay palaging magkakabisa, at sa pangkalahatang tinatanggap na anyo, ito ang solusyon ng mga limitasyon na pamilyar sa lahat. . Ang paglutas ng mga limitasyon online sa site ng site ay isang natatanging serbisyo para sa pagkuha ng tumpak at agarang tugon sa real time. Limitasyon sa pag-andar (limitasyon ng halaga ng pag-andar) sa ibinigay na punto, na naglilimita para sa domain ng kahulugan ng function, ay tulad ng isang halaga kung saan ang halaga ng itinuturing na function ay may kaugaliang kapag ang argumento nito ay may gawi sa isang naibigay na punto. Hindi madalang, at masasabi nating madalas, ang mga estudyante ay may tanong tungkol sa paglutas ng mga limitasyon online kapag nag-aaral ng calculus. Nagtatanong tungkol sa paglutas ng limitasyon online gamit ang detalyadong solusyon lamang sa mga espesyal na kaso, nagiging malinaw na ang isang tao ay hindi makayanan ang isang kumplikadong gawain nang hindi gumagamit ng isang computational limit calculator. Ang solusyon ng mga limitasyon ng aming serbisyo ay isang garantiya ng katumpakan at pagiging simple. Ang limitasyon ng isang function ay isang generalization ng konsepto ng limitasyon ng isang sequence: sa simula, ang limitasyon ng isang function sa isang punto ay naunawaan na ang limitasyon ng isang pagkakasunud-sunod ng mga elemento ng hanay ng isang function, na binubuo ng mga larawan ng mga punto ng isang pagkakasunud-sunod ng mga elemento ng domain ng isang function na nagtatagpo sa isang naibigay na punto (limitasyon kung saan isinasaalang-alang); kung mayroong ganoong limitasyon, ang function ay sinasabing mag-uugnay sa tinukoy na halaga; kung ang naturang limitasyon ay hindi umiiral, kung gayon ang pag-andar ay sinasabing magkakaiba. Ang paglutas ng mga limitasyon online ay nagiging isang madaling sagot para sa mga gumagamit, kung alam nila kung paano lutasin ang limitasyon online gamit ang website. Magpokus tayo at huwag hayaan ang mga pagkakamali na magbigay ng problema sa anyo ng mga hindi kasiya-siyang marka. Tulad ng anumang solusyon sa mga limitasyon online, ang iyong gawain ay ipapakita sa isang maginhawa at naiintindihan na anyo, na may isang detalyadong solusyon, bilang pagsunod sa lahat ng mga patakaran at regulasyon para sa pagkuha ng isang solusyon. Ang kahulugan ng limitasyon ng isang function ay kadalasang binubuo sa wika ng mga kapitbahayan. Dito, ang mga limitasyon ng function ay isinasaalang-alang lamang sa mga punto na nililimitahan para sa domain ng function, ibig sabihin na sa bawat kapitbahayan ng isang naibigay na punto ay may mga puntos mula sa domain ng kahulugan ng mismong function na ito. Ito ay nagpapahintulot sa amin na pag-usapan ang tendency ng function argument sa isang naibigay na punto. Ngunit ang limitasyon ng punto ng domain ng kahulugan ay hindi kailangang kabilang sa domain mismo, at ito ay pinatunayan sa pamamagitan ng paglutas ng limitasyon: halimbawa, maaaring isaalang-alang ng isa ang limitasyon ng isang function sa mga dulo ng isang bukas na agwat kung saan ang function ay tinukoy. Sa kasong ito, ang mga hangganan ng agwat mismo ay hindi kasama sa domain ng kahulugan. Sa ganitong kahulugan, ang sistema ng mga nabutas na kapitbahayan ng isang naibigay na punto ay isang espesyal na kaso ng naturang base ng mga set. Ang paglutas ng mga limitasyon online gamit ang isang detalyadong solusyon ay ginagawa sa real time at naglalapat ng mga formula sa isang tahasang anyo. Makakatipid ka ng oras, at higit sa lahat ng pera, dahil hindi kami humihingi ng reward para dito. Kung mayroong limitasyon sa ilang punto ng domain ng function at ang solusyon sa limitasyong ito ay katumbas ng halaga ng function sa ibinigay na punto, kung gayon ang function ay tuluy-tuloy sa puntong iyon. Sa aming website, ang solusyon ng mga limitasyon ay magagamit online dalawampu't apat na oras sa isang araw, araw-araw at bawat minuto. Napakahalaga na gamitin ang limit calculator at ang pangunahing bagay ay gamitin ito sa tuwing kailangan mong suriin ang iyong kaalaman . Malinaw na nakikinabang ang mga mag-aaral mula sa lahat ng pagpapaandar na ito. Ang pagkalkula ng limitasyon, paggamit at paglalapat lamang ng teorya, ay hindi palaging kasingdali ng sinasabi ng mga may karanasang mag-aaral ng mga departamentong pangmatematika ng mga unibersidad sa bansa. Ang isang katotohanan ay nananatiling isang katotohanan sa pagkakaroon ng isang layunin. Karaniwan, ang nahanap na solusyon ng mga limitasyon ay hindi naaangkop sa lokal para sa pagtatakda ng mga problema. Magagalak ang mag-aaral sa sandaling matuklasan niya ang calculator ng limitasyon online sa Internet at sa libreng pag-access, at hindi lamang para sa kanyang sarili, ngunit para sa lahat. Ang paghirang ay dapat ituring bilang matematika, sa pangkalahatan, ang pag-unawa nito. Kung tatanungin mo sa Internet kung paano mahahanap ang limitasyon sa online nang detalyado, kung gayon ang dami ng mga site na lumilitaw bilang resulta ng kahilingan ay hindi makakatulong sa paraang ginagawa namin. Ang pagkakaiba ng mga panig ay pinarami ng katumbas ng pangyayari. Ang primordially lehitimong limitasyon ng isang function ay dapat matukoy sa pamamagitan ng kanilang pagbabalangkas ng matematikal na problema mismo. Tama si Hamilton, ngunit ito ay nagkakahalaga ng pagsasaalang-alang sa mga pahayag ng kanyang mga kontemporaryo. Sa anumang paraan ang pagkalkula ng mga limitasyon online ay hindi isang mahirap na gawain na maaaring tila sa isang tao sa unang tingin.. Upang hindi masira ang katotohanan ng hindi matitinag na mga teorya. Pagbabalik sa paunang sitwasyon, kinakailangang kalkulahin ang limitasyon nang mabilis, mahusay at sa isang maayos na na-format na anyo. Posible bang gawin kung hindi man? Ang pamamaraang ito ay malinaw at makatwiran. Ang limit calculator ay idinisenyo upang madagdagan ang kaalaman, mapabuti ang kalidad ng pagsusulat ng takdang-aralin at mapabuti pangkalahatang kalooban sa mga mag-aaral, ito ay magiging tama para sa kanila. Kailangan mo lang mag-isip nang mabilis hangga't maaari at ang isip ay magtatagumpay. Ang tahasang pagsasalita tungkol sa mga online na limitasyon sa mga termino ng interpolation ay isang napakapinong ehersisyo para sa mga propesyonal sa kanilang craft. Hinuhulaan namin ang ratio ng sistema ng mga hindi nakaiskedyul na pagkakaiba sa mga punto sa espasyo. At muli, ang problema ay nabawasan sa kawalan ng katiyakan, batay sa katotohanan na ang limitasyon ng function ay umiiral sa infinity at sa isang tiyak na kapitbahayan ng isang lokal na punto sa isang naibigay na x-axis pagkatapos ng isang affine transformation ng unang expression. Mas madaling pag-aralan ang pag-akyat ng mga punto sa eroplano at sa tuktok ng kalawakan. AT pangkalahatang posisyon hindi sinasabi ang mga bagay tungkol sa derivation ng isang mathematical formula, sa kalikasan at sa teorya, upang ang online limit calculator ay ginagamit para sa nilalayon nitong layunin sa ganitong kahulugan. Nang walang pagtukoy sa limitasyon online, nahihirapan akong higit pang mga kalkulasyon sa larangan ng pag-aaral ng curvilinear space. Hindi ito magiging mas madali sa mga tuntunin ng paghahanap ng totoong tamang sagot. Hindi ba posible na kalkulahin ang limitasyon kung ang isang naibigay na punto sa espasyo ay hindi natukoy nang maaga? Pabulaanan natin ang pagkakaroon ng mga sagot sa labas ng larangan ng pag-aaral. Mula sa punto ng view ng mathematical analysis, ang isa ay maaaring magtaltalan tungkol sa solusyon ng mga limitasyon bilang simula ng pag-aaral ng isang pagkakasunud-sunod ng mga puntos sa isang axis. Maaaring hindi angkop ang mismong katotohanan ng pagpapatakbo ng mga kalkulasyon. Ang mga numero ay kinakatawan bilang isang walang katapusang pagkakasunud-sunod at kinilala sa unang tala pagkatapos naming malutas ang limitasyon online nang detalyado ayon sa teorya. makatwiran pabor sa pinakamahusay na halaga. Ang resulta ng limitasyon ng pag-andar, bilang isang malinaw na pagkakamali ng isang hindi wastong nabalangkas na problema, ay maaaring masira ang ideya ng totoong mekanikal na proseso ng isang hindi matatag na sistema. Ang kakayahang direktang ipahayag ang kahulugan sa viewport. Ang pagkakaroon ng paghahambing ng online na limitasyon sa isang katulad na talaan ng isang panig na halaga ng limitasyon, mas mabuting iwasan ang tahasang pagpapahayag nito gamit ang mga formula ng pagbabawas. Bilang karagdagan sa pagsisimula ng proporsyonal na pagpapatupad ng gawain. Pinapalawak namin ang polynomial pagkatapos naming makalkula ang one-sided na limitasyon at isulat ito sa infinity. Ang mga simpleng pagmuni-muni ay humahantong sa pagsusuri sa matematika sa totoong resulta. Ang isang simpleng solusyon ng mga limitasyon ay kadalasang bumababa sa ibang antas ng pagkakapantay-pantay ng mga maipapatupad na kabaligtaran na mga guhit sa matematika. Natukoy ng mga linya at numero ng Fibonacci ang online na calculator ng limitasyon, depende dito, maaari kang mag-order ng walang limitasyong pagkalkula at ang pagiging kumplikado ay maaaring bumaba sa background. Mayroong proseso ng paglalahad ng graph sa isang eroplano sa isang slice ng three-dimensional na espasyo. Nagdulot ito ng pangangailangan para sa iba't ibang pananaw sa isang kumplikadong problema sa matematika. Gayunpaman, ang resulta ay hindi maghihintay sa iyo. Gayunpaman, ang patuloy na proseso ng pagpapatupad ng pataas na produkto ay sumisira sa espasyo ng mga linya at isinusulat ang online na limitasyon upang maging pamilyar sa pahayag ng problema. Ang pagiging natural ng daloy ng proseso ng akumulasyon ng mga problema ay tumutukoy sa pangangailangan para sa kaalaman sa lahat ng mga lugar ng mga disiplina sa matematika. Ang isang mahusay na calculator ng limitasyon ay magiging isang kailangang-kailangan na tool sa mga kamay ng mga dalubhasang mag-aaral, at pahahalagahan nila ang lahat ng mga pakinabang nito sa mga analogue ng digital na pag-unlad. Sa mga paaralan, sa ilang kadahilanan, iba ang tawag sa mga limitasyon sa online kaysa sa mga institute. Ang halaga ng function ay lalago mula sa pagbabago ng argumento. Kahit na sinabi ni Lopital - upang mahanap ang limitasyon ng function ay kalahati lamang ng labanan, kinakailangan upang dalhin ang gawain sa lohikal na konklusyon nito at ipakita ang sagot sa pinalawak na anyo. Ang katotohanan ay sapat sa pagkakaroon ng mga katotohanan sa kaso. Makasaysayang naka-link sa online na limitasyon mahahalagang aspeto mga disiplina sa matematika at naging batayan ng pag-aaral ng teorya ng numero. Page encoding in mga pormula sa matematika magagamit sa wika ng kliyente sa browser. Paano mo kalkulahin ang limitasyon sa pamamagitan ng isang katanggap-tanggap na legal na pamamaraan, nang hindi pinipilit ang function na baguhin sa direksyon ng x-axis. Sa pangkalahatan, ang realidad ng espasyo ay nakasalalay hindi lamang sa convexity ng isang function o sa concavity nito. Tanggalin ang lahat ng hindi alam mula sa problema, at ang solusyon sa mga limitasyon ay magbabawas sa mga mapagkukunang matematika na magagamit mo sa pinakamababang halaga. Ang solusyon ng nakatakdang gawain ay itatama ang pag-andar ng isang daang porsyento. Anong nangyayari inaasahang halaga ay i-tap ang online na limitasyon nang detalyado tungkol sa paglihis mula sa hindi bababa sa makabuluhang ratio ng tampok. Tatlong araw na ang lumipas mula nang magawa ang desisyon sa matematika na pabor sa agham. Ito talaga kapaki-pakinabang na aktibidad. Kung walang dahilan para hindi nililimitahan ang online ay mangangahulugan ng pagkakaiba sa pangkalahatang diskarte upang malutas ang mga problema sa sitwasyon. Ang isang mas mahusay na pangalan para sa one-sided na limitasyon na may 0/0 na kawalan ng katiyakan ay kinakailangan sa hinaharap. Ang isang mapagkukunan ay maaaring hindi lamang maganda at mabuti, ngunit kapaki-pakinabang din kapag nakalkula nito ang limitasyon para sa iyo. Ang mahusay na siyentipiko, bilang isang mag-aaral, ay ginalugad ang mga tungkulin para sa pagsulat gawaing siyentipiko. Sampung taon na ang lumipas. dati iba't ibang mga nuances ito ay nagkakahalaga ng hindi malabo na magkomento sa matematikal na inaasahan na pabor sa katotohanan na ang limitasyon ng function ay humiram ng pagkakaiba-iba ng mga punong-guro. Tumugon sila sa iniutos na gawaing kontrol. Sa matematika, ang isang pambihirang posisyon sa pagtuturo ay, kakaiba, ang pag-aaral ng online na limitasyon na may katumbas na mga third-party na relasyon. Gaya ng kadalasang nangyayari. Wala kang makalaro. Matapos suriin ang mga diskarte ng pag-aaral ng mga mag-aaral sa mga teorya sa matematika, lubusan naming iiwan ang desisyon ng mga limitasyon sa post final stage. Ito ang kahulugan ng mga sumusunod, suriin ang teksto. Ang repraksyon ay katangi-tanging tumutukoy sa isang mathematical expression bilang ang kakanyahan ng natanggap na impormasyon. online na limitasyon ay ang kakanyahan ng kahulugan totoong posisyon mathematical system ng relativity ng multidirectional vectors. Sa ganitong diwa, ibig kong sabihin ay ipahayag Personal na opinyon. Tulad ng sa nakaraang gawain. Ang online na natatanging limitasyon ay umaabot nang detalyado sa impluwensya nito sa matematikal na pananaw ng sunud-sunod na pag-aaral ng pagsusuri ng programa sa larangan ng pag-aaral. Sa konteksto ng teorya, ang matematika ay isang bagay na mas mataas kaysa sa agham lamang. Ang katapatan ay kinumpirma ng mga aksyon. Hindi posibleng sadyang masira ang kadena ng magkakasunod na numero na magsisimula ng kanilang pataas na paggalaw kung mali ang pagkalkula ng limitasyon. Ang dalawang-panig na ibabaw ay ipinahayag sa sa uri sa buong laki. Higit pa sa posibilidad na galugarin ang mathematical analysis, ang limitasyon ng isang function ay nagsasama ng isang sequence ng functional series bilang isang epsilon neighborhood sa isang partikular na punto. Sa kaibahan sa teorya ng mga pag-andar, ang mga error sa mga kalkulasyon ay hindi ibinukod, ngunit ito ay ibinigay para sa sitwasyon. Dibisyon sa pamamagitan ng limitasyon ng online na problema, maaari mong isulat ang variable divergence function para sa mabilis na produkto nonlinear na sistema tatlong-dimensional na espasyo. Ang maliit na kaso ay ang batayan ng operasyon. Hindi mo kailangang maging isang estudyante para pag-aralan ang kasong ito. Ang hanay ng mga sandali ng patuloy na pagkalkula, sa simula ay ang solusyon ng mga limitasyon, ay tumutukoy bilang ang paggana ng buong integral na sistema ng pag-unlad kasama ang ordinate axis sa maraming halaga ng mga numero. Kinukuha namin para sa batayang halaga ang pinakamaliit na posibleng mathematical value. Ang konklusyon ay malinaw. Ang distansya sa pagitan ng mga eroplano ay makakatulong upang mapalawak sa teorya online na mga limitasyon, dahil ang paggamit ng paraan ng divergent na pagkalkula ng circumpolar na aspeto ng kahalagahan ay hindi nagdadala ng pinagbabatayan na kahulugan. Ang isang mahusay na pagpipilian, kung ang limit calculator ay matatagpuan sa server, maaari itong kunin nang walang distorting ang kahalagahan ng pagbabago sa ibabaw sa mga lugar, kung hindi, ang problema sa linearity ay magiging mas mataas. Ang isang kumpletong pagsusuri sa matematika ay nagsiwalat ng kawalang-tatag ng system kasama ang paglalarawan nito sa rehiyon ng pinakamaliit na kapitbahayan ng punto. Tulad ng anumang limitasyon sa pag-andar sa kahabaan ng axis ng intersection ng mga ordinates at abscissas, posible na ilakip ang mga numerical na halaga ng mga bagay sa ilang minimum na kapitbahayan ayon sa pamamahagi ng pag-andar ng proseso ng pananaliksik. Isulat natin ang gawain sa bawat punto. Mayroong paghahati sa mga yugto ng pagsulat. Ang mga akademikong pahayag na talagang mahirap o hindi madaling kalkulahin ang limitasyon ay sinusuportahan ng pagsusuri ng mga pananaw sa matematika ng lahat ng mga mag-aaral at nagtapos na mga mag-aaral nang walang pagbubukod. Ang mga posibleng intermediate na resulta ay hindi maghihintay sa iyo sa mahabang panahon. Ang limitasyon sa itaas sa online ay nagsasaliksik nang detalyado sa ganap na minimum ng pagkakaiba ng system ng mga bagay, kung saan ang linearity ng espasyo ng matematika ay nabaluktot. Ang malaking bahagi ng lugar ng lugar ay hindi ginagamit ng mga mag-aaral upang kalkulahin ang maramihang pagkakaiba pagkatapos isulat ang online na calculator ng limitasyon sa pagbabawas. Pagkatapos ng simula, pagbabawalan namin ang mga mag-aaral na baguhin ang mga problema para sa pag-aaral ng spatial na kapaligiran sa matematika. Dahil natagpuan na natin ang limitasyon ng function, gumawa tayo ng graph ng pag-aaral nito sa eroplano. I-highlight natin ang y-axis na may espesyal na kulay at ipakita ang direksyon ng mga linya. May katatagan. Ang kawalan ng katiyakan ay naroroon sa mahabang panahon sa pagsulat ng sagot. Kalkulahin ang limitasyon ng isang function sa isang punto sa pamamagitan lamang ng pagsusuri sa pagkakaiba ng mga limitasyon sa infinity sa ilalim ng mga unang kundisyon. Ang pamamaraang ito ay hindi alam ng bawat gumagamit. Kailangan namin ng mathematical analysis. Ang solusyon ng mga limitasyon ay nag-iipon ng karanasan sa isipan ng mga henerasyon para sa maraming taon na darating. Imposibleng hindi kumplikado ang proseso. Ang mga mag-aaral sa lahat ng henerasyon ay may pananagutan sa konklusyon nito. Ang lahat ng nasa itaas ay maaaring magsimulang magbago sa kawalan ng pag-aayos ng argumento sa mga tuntunin ng posisyon ng mga pag-andar malapit sa isang tiyak na punto na nahuhuli sa mga limitasyon ng mga calculator sa mga tuntunin ng pagkakaiba sa kapangyarihan ng pagkalkula. Pag-aralan natin ang function upang makuha ang resultang sagot. Hindi halata ang konklusyon. Hindi kasama sa kabuuang bilang pahiwatig paunang-natukoy na mga function pagkatapos mag-convert ng mga mathematical expression, ang huling hakbang ay nananatili upang mahanap ang mga limitasyon online nang tama at may mataas na katumpakan. Kinakailangang suriin ang katanggap-tanggap ng inilabas na desisyon. Patuloy ang proseso. I-lock ang pagkakasunod-sunod sa paghihiwalay mula sa mga function at, sa pamamagitan ng paglalapat ng iyong sarili napakalaking karanasan, dapat kalkulahin ng mga mathematician ang limitasyon na lampas sa pagbibigay-katwiran sa tamang direksyon sa pag-aaral. Ang ganitong resulta ay hindi nangangailangan ng teoretikal na pagtaas. Baguhin ang proporsyon ng mga numero sa loob ng ilang kapitbahayan ng isang non-zero point sa x-axis sa side limit calculator online variable spatial angle ng inclination sa ilalim ng nakasulat na gawain sa matematika. Ikonekta natin ang dalawang lugar sa kalawakan. Ang mga hindi pagkakasundo ng mga solver tungkol sa kung paano ang limitasyon ng isang function ay nakakakuha ng mga katangian ng mga one-sided na halaga sa espasyo ay hindi maaaring balewalain ng pinalakas na kinokontrol na mga pagganap ng mga mag-aaral. Ang direksyon sa online na limitasyon ng matematika ay nakakuha ng isa sa pinakamaliit na pinagtatalunang posisyon tungkol sa kawalan ng katiyakan sa mga kalkulasyon ng mismong mga limitasyong ito. Sa isang maagang yugto ng agham, matututunan ng isang mag-aaral ang isang online na calculator ng limitasyon para sa taas ng isosceles triangles at cube na may gilid na tatlong bilog na radii. Ipaubaya natin sa konsensya ng mga mag-aaral na lutasin ang mga limitasyon sa pag-aaral ng isang gumaganang sistemang humina sa matematika mula sa gilid ng eroplano ng pananaliksik. Malabo ang pananaw ng mag-aaral sa teorya ng numero. Ang bawat isa ay may kanya-kanyang opinyon. Tamang daan sa pag-aaral ng matematika ay makakatulong upang makalkula ang limitasyon sa tunay na kahulugan, tulad ng kaso sa mga unibersidad ng mga advanced na bansa. Ang Cotangent sa matematika ay kinakalkula bilang isang calculator ng mga limitasyon at ang ratio ng dalawang iba pang elementarya trigonometriko function, lalo na ang cosine at sine ng argumento. Tinatapos nito ang solusyon sa kalahating mga segment. Ang isa pang diskarte ay malamang na hindi malulutas ang sitwasyon na pabor sa nakaraang sandali. Maaari kang makipag-usap nang mahabang panahon tungkol sa kung paano napakahirap at walang silbi upang malutas ang limitasyon online nang detalyado nang walang pag-unawa, ngunit ang diskarte na ito ay madaling kapitan ng pagbuo ng panloob na disiplina ng mga mag-aaral para sa mas mahusay.

Tutulungan ka ng online na calculator ng matematika na ito kung kailangan mo kalkulahin ang limitasyon ng pag-andar. Programa limitahan ang mga solusyon hindi lamang nagbibigay ng sagot sa problema, ito ay humahantong detalyadong solusyon na may mga paliwanag, ibig sabihin. ipinapakita ang progreso ng pagkalkula ng limitasyon.

Ang programang ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang para sa mga mag-aaral sa high school mga paaralan ng pangkalahatang edukasyon bilang paghahanda sa kontrol sa trabaho at mga pagsusulit, kapag sinusubukan ang kaalaman bago ang pagsusulit, ang mga magulang upang kontrolin ang solusyon ng maraming problema sa matematika at algebra. O baka masyadong mahal para sa iyo na kumuha ng tutor o bumili ng mga bagong aklat-aralin? O gusto mo lang bang matapos ito sa lalong madaling panahon? takdang aralin math o algebra? Sa kasong ito, maaari mo ring gamitin ang aming mga programa na may detalyadong solusyon.

Sa ganitong paraan, maaari kang magsagawa ng iyong sariling pagsasanay at/o pagsasanay ng iyong mga nakababatang kapatid na lalaki o babae, habang tumataas ang antas ng edukasyon sa larangan ng mga gawaing dapat lutasin.

Magpasok ng expression ng function
Kalkulahin ang Limitasyon

Napag-alaman na ang ilang mga script na kailangan upang malutas ang gawaing ito ay hindi na-load, at ang programa ay maaaring hindi gumana.
Maaaring pinagana mo ang AdBlock.
Sa kasong ito, huwag paganahin ito at i-refresh ang pahina.

Na-disable mo ang JavaScript sa iyong browser.
Dapat na pinagana ang JavaScript para lumitaw ang solusyon.
Narito ang mga tagubilin kung paano paganahin ang JavaScript sa iyong browser.

kasi Maraming tao ang gustong malutas ang problema, ang iyong kahilingan ay nakapila.
Pagkatapos ng ilang segundo, lilitaw ang solusyon sa ibaba.
Maghintay, mangyaring sec...

kung ikaw napansin ang isang error sa solusyon, pagkatapos ay maaari mong isulat ang tungkol dito sa Form ng Feedback.
Huwag kalimutan ipahiwatig kung aling gawain magpasya ka kung ano pumasok sa mga patlang.

Ang aming mga laro, puzzle, emulator:

Medyo teorya.

Ang limitasyon ng function sa x-> x 0

Hayaang tukuyin ang function na f(x) sa ilang set X at hayaan ang puntong $x_0 \in X $ o $x_0 \notin X $

Kumuha mula sa X ng isang pagkakasunud-sunod ng mga puntos maliban sa x 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
nagtatagpo sa x*. Ang mga halaga ng function sa mga punto ng pagkakasunud-sunod na ito ay bumubuo rin ng isang numerical sequence
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
at maaaring ibigay ng isa ang tanong ng pagkakaroon ng limitasyon nito.

Kahulugan. Ang numero A ay tinatawag na limitasyon ng function na f (x) sa puntong x \u003d x 0 (o sa x -> x 0), kung para sa anumang pagkakasunud-sunod (1) ng mga halaga ng argumento x na nagtatagpo sa x 0, naiiba sa x 0, ang katumbas na sequence (2) ng function ng mga value ay nagtatagpo sa numerong A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = Isang $$

Ang function na f(x) ay maaari lamang magkaroon ng isang limitasyon sa puntong x 0. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na ang pagkakasunod-sunod
(f(x n)) ay may isang limitasyon lamang.

May isa pang kahulugan ng limitasyon ng isang function.

Kahulugan Ang numerong A ay tinatawag na limitasyon ng function na f(x) sa puntong x = x 0 kung para sa anumang numero $\varepsilon > 0 $ mayroong isang numerong $\delta > 0 $ para sa lahat ng \ (x \in X, \; x \neq x_0 \) na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay $|x-x_0| Gamit ang mga lohikal na simbolo, ang kahulugang ito ay maaaring isulat bilang
\((\forall \varepsilon > 0) (\umiiral \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Tandaan na ang mga hindi pagkakapantay-pantay \(x \neq x_0 , \; |x-x_0| Ang unang kahulugan ay batay sa konsepto ng limitasyon ng isang numeric sequence, kaya madalas itong tinatawag na "sequence language" definition. Ang pangalawang kahulugan ay tinatawag na "\(\varepsilon - \delta $" kahulugan.
Ang dalawang kahulugan ng limitasyon ng isang function ay katumbas, at maaari mong gamitin ang alinman sa mga ito, alinman ang mas maginhawa para sa paglutas ng isang partikular na problema.

Tandaan na ang kahulugan ng limitasyon ng isang function "sa wika ng mga sequence" ay tinatawag ding kahulugan ng limitasyon ng isang function ayon kay Heine, at ang kahulugan ng limitasyon ng isang function "sa wika $\varepsilon - \delta $" ay tinatawag ding kahulugan ng limitasyon ng isang function ayon sa Cauchy.

Limitasyon sa paggana sa x->x 0 - at sa x->x 0 +

Sa sumusunod, gagamitin namin ang mga konsepto ng isang panig na limitasyon ng isang function, na tinukoy bilang mga sumusunod.

Kahulugan Ang numerong A ay tinatawag na kanan (kaliwa) na limitasyon ng function na f (x) sa puntong x 0 kung para sa anumang pagkakasunod-sunod (1) na nagtatagpo sa x 0, na ang mga elementong x n ay mas malaki (mas mababa) kaysa sa x 0 , ang katumbas na pagkakasunod-sunod (2) nagtatagpo sa A.

Symbolically ito ay nakasulat tulad nito:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Ang isa ay maaaring magbigay ng katumbas na kahulugan ng isang panig na mga limitasyon ng isang function "sa wikang $\varepsilon - \delta $":

Kahulugan ang numerong A ay tinatawag na kanang (kaliwa) na limitasyon ng function na f(x) sa puntong x 0 kung para sa alinmang $\varepsilon > 0 $ mayroong $\delta > 0 $ para sa lahat ng x na kasiya-siya ang mga hindi pagkakapantay-pantay \(x_0 Symbolic entries:

\((\forall \varepsilon > 0) (\umiiral \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Para sa mga nais malaman kung paano hanapin ang mga limitasyon sa artikulong ito ay pag-uusapan natin ito. Hindi natin sisilipin ang teorya, karaniwan itong ibinibigay sa mga lektura ng mga guro. Kaya yun" boring theory"Dapat nakabalangkas sa iyong mga notebook. Kung hindi ito ang kaso, maaari mong basahin ang mga aklat-aralin na kinuha mula sa aklatan institusyong pang-edukasyon o iba pang online na mapagkukunan.

Kaya, ang konsepto ng limitasyon ay lubos na mahalaga sa pag-aaral ng kurso ng mas mataas na matematika, lalo na kapag nakita mo ang integral calculus at nauunawaan ang kaugnayan sa pagitan ng limitasyon at integral. Sa kasalukuyang materyal ay isasaalang-alang mga simpleng halimbawa, pati na rin ang mga paraan upang malutas ang mga ito.

Mga halimbawa ng solusyon

Halimbawa 1
Kalkulahin ang a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $
Solusyon
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Madalas naming nakukuha ang mga limitasyong ito na ipinapadala sa amin na humihingi ng tulong upang malutas. Napagpasyahan naming i-highlight ang mga ito bilang isang hiwalay na halimbawa at ipaliwanag na ang mga limitasyong ito ay kailangang alalahanin, bilang panuntunan. Kung hindi mo malutas ang iyong problema, ipadala ito sa amin. Magbibigay kami ng detalyadong solusyon. Magagawa mong maging pamilyar sa pag-usad ng pagkalkula at makakalap ng impormasyon. Makakatulong ito sa iyong makakuha ng kredito mula sa guro sa isang napapanahong paraan!
Sagot
$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac (1 )(x) = 0 $$

Ano ang gagawin sa kawalan ng katiyakan ng form: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Halimbawa 3
Lutasin ang $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $
Solusyon
Gaya ng dati, magsisimula tayo sa pamamagitan ng pagpapalit ng halaga ng $ x $ sa expression sa ilalim ng limit sign. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Anong susunod? Ano ang dapat na maging resulta? Dahil ito ay isang kawalan ng katiyakan, ito ay hindi pa isang sagot at ipinagpatuloy namin ang pagkalkula. Dahil mayroon tayong polynomial sa mga numerator, nabubulok natin ito sa mga salik gamit ang pamilyar na formula na $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Naalala? Magaling! Ngayon sige at ilapat ito sa kanta :) Nakukuha namin na ang numerator $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Patuloy naming nilulutas ang pagbabago sa itaas: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$
Sagot
$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Dalhin natin ang limitasyon sa huling dalawang halimbawa sa infinity at isaalang-alang ang kawalan ng katiyakan: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Halimbawa 5
Kalkulahin ang $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $
Solusyon
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Anong gagawin? Paano maging? Huwag mag-panic, dahil posible ang imposible. Kinakailangang kunin ang mga bracket sa parehong numerator at denominator X, at pagkatapos ay bawasan ito. Pagkatapos nito, subukang kalkulahin ang limitasyon. Sinusubukan... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Gamit ang kahulugan mula sa Halimbawa 2 at pinapalitan ang infinity para sa x, nakukuha natin ang: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$
Sagot
$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algorithm para sa pagkalkula ng mga limitasyon

Kaya, maikling ibubuod natin ang nasuri na mga halimbawa at gumawa ng algorithm para sa paglutas ng mga limitasyon:

Palitan ang point x sa expression na sumusunod sa limit sign. Kung ang isang tiyak na numero ay nakuha, o infinity, pagkatapos ang limitasyon ay ganap na malulutas. Kung hindi, mayroon tayong kawalan ng katiyakan: "zero na hinati ng zero" o "infinity na hinati ng infinity" at magpatuloy sa susunod na mga talata ng pagtuturo.
Upang maalis ang kawalan ng katiyakan "zero divide by zero" kailangan mong i-factor ang numerator at denominator. Bawasan ang katulad. Palitan ang point x sa expression sa ilalim ng limit sign.
Kung ang kawalan ng katiyakan ay "infinity na hinati ng infinity", pagkatapos ay kinuha namin pareho sa numerator at sa denominator x ng pinakamalaking degree. Pinaikli namin ang mga x. Pinapalitan namin ang mga halaga ng x mula sa ilalim ng limitasyon sa natitirang expression.

Sa artikulong ito, nakilala mo ang mga pangunahing kaalaman sa paglutas ng mga limitasyon, kadalasang ginagamit sa kursong Calculus. Siyempre, hindi ito lahat ng mga uri ng problema na inaalok ng mga tagasuri, ngunit ang pinakasimpleng mga limitasyon lamang. Pag-uusapan natin ang tungkol sa iba pang mga uri ng mga gawain sa mga artikulo sa hinaharap, ngunit kailangan mo munang matutunan ang araling ito upang magpatuloy. Tatalakayin natin kung ano ang gagawin kung may mga ugat, degree, pag-aaralan natin ang infinitesimal equivalent function, kahanga-hangang mga limitasyon, ang panuntunan ng L'Hopital.

Kung hindi mo maisip ang mga limitasyon sa iyong sarili, huwag mag-panic. Kami ay palaging masaya na tumulong!