Pinaghalong produkto ng mga vector. Cross product ng mga vector

Isaalang-alang ang produkto ng mga vectors, at , binubuo ng mga sumusunod:
. Dito ang unang dalawang vector ay pinarami ng vectorially, at ang kanilang resulta ay scalarly na pinarami ng ikatlong vector. Ang nasabing produkto ay tinatawag na vector-scalar, o mixed, product ng tatlong vectors. Ang pinaghalong produkto ay ilang numero.

Alamin natin ang geometric na kahulugan ng expression
.

Teorama . Ang pinaghalong produkto ng tatlong vectors ay katumbas ng volume ng parallelepiped na binuo sa mga vectors na ito, na kinuha na may plus sign kung ang mga vector na ito ay bumubuo ng right triple, at may minus sign kung bumubuo sila ng left triple.

Patunay.. Gumagawa kami ng parallelepiped na ang mga gilid ay ang mga vector , , at vector
.

Meron kami:
,
, saan - lugar ng parallelogram na binuo sa mga vector at ,
para sa tamang triple ng mga vectors at
para sa kaliwa, kung saan
ay ang taas ng parallelepiped. Nakukuha namin:
, ibig sabihin.
, saan - ang dami ng parallelepiped na nabuo ng mga vectors , at .

Pinaghalong katangian ng produkto

1. Ang pinaghalong produkto ay hindi nagbabago kapag paikot permutasyon ng mga salik nito, i.e. .

Sa katunayan, sa kasong ito, hindi nagbabago ang dami ng parallelepiped o ang oryentasyon ng mga gilid nito.

2. Ang pinaghalong produkto ay hindi nagbabago kapag ang mga palatandaan ng vector at scalar multiplication ay nabaligtad, i.e.
.

Talaga,
at
. Kinukuha namin ang parehong sign sa kanang bahagi ng mga pagkakapantay-pantay na ito, dahil ang mga triple ng mga vector , , at , , - isang oryentasyon.

Kaya naman,
. Ito ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang pinaghalong produkto ng mga vector
bilang
walang mga palatandaan ng vector, scalar multiplication.

3. Ang pinaghalong produkto ay nagbabago ng tanda kapag ang alinmang dalawang salik na vector ay nagbabago ng mga lugar, i.e.
,
,
.

Sa katunayan, ang gayong permutasyon ay katumbas ng isang permutasyon ng mga salik sa produkto ng vector, na nagbabago sa tanda ng produkto.

4. Pinaghalong Produkto ng Nonzero Vectors , at ay zero kung at kung sila ay coplanar.

2.12. Pag-compute ng pinaghalong produkto sa coordinate form sa isang orthonormal na batayan

Hayaan ang mga vectors
,
,
. Hanapin natin ang kanilang pinaghalong produkto gamit ang mga expression sa mga coordinate para sa vector at scalar na mga produkto:

. (10)

Ang resultang pormula ay maaaring maisulat nang mas maikli:

dahil ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (10) ay ang pagpapalawak ng pangatlong determinant ng pagkakasunud-sunod sa mga tuntunin ng mga elemento ng ikatlong hilera.

Kaya, ang halo-halong produkto ng mga vectors ay katumbas ng third-order determinant, na binubuo ng mga coordinate ng multiplied vectors.

2.13 Ilang mga aplikasyon ng pinaghalong produkto

Pagtukoy sa kamag-anak na oryentasyon ng mga vector sa espasyo

Pagtukoy sa kamag-anak na oryentasyon ng mga vector , at batay sa mga sumusunod na pagsasaalang-alang. Kung ang
, pagkatapos , , - tama tatlo kung
, pagkatapos , , - naiwan tatlo.

Kondisyon ng complanarity para sa mga vector

Mga vector , at ay coplanar kung at kung ang kanilang pinaghalong produkto ay zero (
,
,
):

mga vector , , coplanar.

Pagtukoy sa mga volume ng isang parallelepiped at isang triangular na pyramid

Madaling ipakita na ang dami ng isang parallelepiped na binuo sa mga vectors , at ay kinakalkula bilang
, at ang volume ng triangular pyramid na binuo sa parehong mga vector ay katumbas ng
.

Halimbawa 1 Patunayan na ang mga vectors
,
,
coplanar.

Desisyon. Hanapin natin ang pinaghalong produkto ng mga vector na ito gamit ang formula:

Nangangahulugan ito na ang mga vectors
coplanar.

Halimbawa 2 Dahil sa mga vertex ng isang tetrahedron: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Hanapin ang haba ng taas nito na ibinaba mula sa vertex .

Desisyon. Hanapin muna natin ang volume ng tetrahedron
. Ayon sa formula na nakukuha namin:

Dahil ang determinant ay negatibong numero, sa kasong ito, kailangan mong kumuha ng minus sign bago ang formula. Kaya naman,
.

Ang nais na halaga h matukoy mula sa formula
, saan S - base na lugar. Tukuyin natin ang lugar S:

saan

Sa abot ng

Pagpapalit sa formula
mga halaga
at
, nakukuha namin h= 3.

Halimbawa 3 Nabuo ang mga vectors
batayan sa kalawakan? Decompose Vector
sa batayan ng mga vectors.

Desisyon. Kung ang mga vector ay bumubuo ng isang batayan sa espasyo, kung gayon hindi sila nakahiga sa parehong eroplano, i.e. ay hindi coplanar. Hanapin ang pinaghalong produkto ng mga vector
:
,

Samakatuwid, ang mga vector ay hindi coplanar at bumubuo ng isang batayan sa espasyo. Kung ang mga vector ay bumubuo ng isang batayan sa espasyo, kung gayon ang anumang vector ay maaaring kinakatawan bilang isang linear na kumbinasyon ng mga batayang vector, ibig sabihin
, saan
mga coordinate ng vector sa batayan ng vector
. Hanapin natin ang mga coordinate na ito sa pamamagitan ng pag-compile at paglutas ng sistema ng mga equation

Ang paglutas nito sa pamamaraang Gauss, mayroon tayo

Mula rito
. Pagkatapos .

kaya,
.

Halimbawa 4 Ang mga vertices ng pyramid ay nasa mga punto:
,
,
,
. Kalkulahin:

a) bahagi ng mukha
;

b) ang dami ng pyramid
;

c) projection ng vector
sa direksyon ng vector
;

d) anggulo
;

e) suriin na ang mga vectors
,
,
coplanar.

Desisyon

a) Mula sa kahulugan ng isang cross product, alam na:

Paghahanap ng mga vector
at
, gamit ang formula

,
.

Para sa mga vector na tinukoy ng kanilang mga projection, ang produkto ng vector ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

, saan
.

Para sa aming kaso

Nahanap namin ang haba ng nagresultang vector gamit ang formula

,
.

at pagkatapos
(sq. units).

b) Ang pinaghalong produkto ng tatlong vectors ay katumbas ng absolute value sa volume ng parallelepiped na binuo sa mga vectors , , parang sa ribs.

Ang pinaghalong produkto ay kinakalkula ng formula:

Hanapin natin ang mga vectors
,
,
, coinciding sa mga gilid ng pyramid, converging sa tuktok :

Ang pinaghalong produkto ng mga vector na ito

Dahil ang dami ng pyramid ay katumbas ng bahagi ng dami ng parallelepiped na binuo sa mga vectors
,
,
, pagkatapos
(mga yunit ng kubiko).

c) Gamit ang formula
, na tumutukoy sa scalar product ng mga vectors , , ay maaaring isulat tulad nito:

saan
o
;

o
.

Upang mahanap ang projection ng vector
sa direksyon ng vector
hanapin ang mga coordinate ng mga vectors
,
, at pagkatapos ay ilapat ang formula

nakukuha natin

d) Upang mahanap ang anggulo
tukuyin ang mga vector
,
, pagkakaroon ng isang karaniwang pinagmulan sa punto :

Pagkatapos, ayon sa scalar product formula

e) Para sa tatlong vectors

,
,

ay coplanar, kinakailangan at sapat na ang kanilang pinaghalong produkto ay katumbas ng zero.

Sa aming kaso mayroon kami
.

Samakatuwid, ang mga vector ay coplanar.

Para sa mga vector , at , na ibinigay ng kanilang mga coordinate , , ang pinaghalong produkto ay kinakalkula ng formula: .

Ang pinaghalong produkto ay ginagamit: 1) upang kalkulahin ang mga volume ng isang tetrahedron at isang parallelepiped na binuo sa mga vectors , at , tulad ng sa mga gilid, ayon sa formula: ; 2) bilang isang kondisyon para sa complanarity ng mga vectors , at : at ay coplanar.

Paksa 5. Mga tuwid na linya at eroplano.

Normal na line vector , ang anumang di-zero na vector na patayo sa ibinigay na linya ay tinatawag. Direksyon vector tuwid , ang anumang di-zero na vector na kahanay sa ibinigay na linya ay tinatawag.

Diretso sa ibabaw

1) - pangkalahatang equation tuwid na linya, kung saan ang normal na vector ng tuwid na linya;

2) - ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto na patayo sa isang naibigay na vector;

3) canonical equation );

5) - mga equation ng linya may slope , saan ang punto kung saan dumadaan ang linya; () - ang anggulo na ginagawa ng linya gamit ang axis; - ang haba ng segment (na may sign ) na pinutol ng isang tuwid na linya sa axis (sign “ ” kung ang segment ay pinutol sa positibong bahagi ng axis at “ ” kung sa negatibong bahagi).

6) - straight line equation sa mga hiwa, kung saan at ang mga haba ng mga segment (na may tanda ) ay pinutol ng isang tuwid na linya sa mga coordinate axes at (ang sign " " kung ang segment ay pinutol sa positibong bahagi ng axis at " " kung sa negatibong isa ).

Distansya mula sa punto hanggang linya , na ibinigay ng pangkalahatang equation sa eroplano, ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Iniksyon, ( )sa pagitan ng mga tuwid na linya at , na ibinibigay ng mga pangkalahatang equation o equation na may slope, ay matatagpuan ng isa sa mga sumusunod na formula:

Kung o .

Kung o

Mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya at matatagpuan bilang isang solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation: o .

Ang normal na vector ng eroplano , ang anumang di-zero na vector na patayo sa ibinigay na eroplano ay tinatawag.

Eroplano sa coordinate system ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng isang equation ng isa sa mga sumusunod na uri:

1) - pangkalahatang equation eroplano, kung saan ang normal na vector ng eroplano;

2) - ang equation ng eroplano na dumadaan sa puntong patayo sa ibinigay na vector;

3) - equation ng eroplano na dumadaan sa tatlong puntos , at ;

4) - equation ng eroplano sa mga hiwa, kung saan , at ang mga haba ng mga segment (na may sign ) ay pinutol ng eroplano sa mga coordinate axes , at (ang sign " " kung ang segment ay pinutol sa positibong bahagi ng axis at " " kung sa negatibo isa).

Distansya mula sa punto hanggang sa eroplano , na ibinigay ng pangkalahatang equation , ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Iniksyon,( )sa pagitan ng mga eroplano at , na ibinigay ng mga pangkalahatang equation, ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Diretso sa kalawakan sa coordinate system ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng isang equation ng isa sa mga sumusunod na uri:

1) - pangkalahatang equation isang tuwid na linya, bilang mga linya ng intersection ng dalawang eroplano, kung saan at ang mga normal na vector ng mga eroplano at;

2) - equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto na kahanay sa isang naibigay na vector ( canonical equation );

3) - equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos, ;

4) - equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto na kahanay sa isang naibigay na vector, ( parametric equation );

Iniksyon, ( ) sa pagitan ng mga tuwid na linya at sa kalawakan , na ibinigay ng mga canonical equation, ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng linya , na ibinigay ng parametric equation at eroplano , na ibinigay ng pangkalahatang equation, ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga linear na equation: .

Iniksyon, ( ) sa pagitan ng linya , na ibinigay ng canonical equation at eroplano , na ibinigay ng pangkalahatang equation ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: .

Paksa 6. Mga kurba ng pangalawang pagkakasunud-sunod.

Algebraic curve ng pangalawang order sa coordinate system ay tinatawag na curve, pangkalahatang equation na mukhang:

kung saan ang mga numero - ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras. Mayroong sumusunod na klasipikasyon ng second-order curves: 1) kung , pagkatapos ay ang pangkalahatang equation ay tumutukoy sa curve uri ng elliptical (bilog (para sa ), ellipse (para sa ), walang laman na hanay, punto); 2) kung , pagkatapos - curve uri ng hyperbolic (hyperbola, isang pares ng mga intersecting na linya); 3) kung , pagkatapos - curve parabolic type(parabola, walang laman na hanay, linya, pares ng parallel na linya). Tinatawag na bilog, ellipse, hyperbola at parabola non-degenerate curves ng pangalawang order.

Ang pangkalahatang equation , kung saan , na tumutukoy sa isang hindi degenerate na curve (bilog, ellipse, hyperbola, parabola), ay maaaring palaging (gamit ang buong paraan ng pagpili ng mga parisukat) sa isang equation ng isa sa mga sumusunod na uri:

1a) - equation ng bilog na nakasentro sa isang punto at radius (Larawan 5).

1b)- ang equation ng isang ellipse na nakasentro sa isang punto at mga ax ng symmetry parallel sa mga coordinate axes. Ang mga numero at - ay tinatawag semi-axes ng isang ellipse ang pangunahing parihaba ng ellipse; ang mga vertex ng ellipse .

Upang bumuo ng isang ellipse sa coordinate system: 1) markahan ang gitna ng ellipse; 2) iginuhit namin sa gitna na may tuldok na linya ang axis ng simetrya ng ellipse; 3) itinatayo namin ang pangunahing rektanggulo ng isang ellipse na may isang tuldok na linya na may isang sentro at mga gilid na kahanay sa mga axes ng simetrya; 4) gumuhit kami ng isang ellipse na may isang solidong linya, na inilalagay ito sa pangunahing rektanggulo upang ang ellipse ay hawakan lamang ang mga gilid nito sa mga vertices ng ellipse (Larawan 6).

Katulad nito, ang isang bilog ay itinayo, ang pangunahing parihaba na kung saan ay may mga panig (Larawan 5).

Fig.5 Fig.6

2) - mga equation ng hyperbolas (tinatawag na conjugate) nakasentro sa isang punto at symmetry axes parallel sa coordinate axes. Ang mga numero at - ay tinatawag semiaxes ng hyperbolas ; isang parihaba na may mga gilid na kahanay sa mga palakol ng mahusay na proporsyon at nakasentro sa isang punto - ang pangunahing parihaba ng hyperbolas; mga punto ng intersection ng pangunahing parihaba na may mga palakol ng mahusay na proporsyon - vertex ng hyperbolas; mga tuwid na linya na dumadaan sa magkasalungat na mga vertex ng pangunahing parihaba - asymptotes ng hyperbolas .

Upang bumuo ng hyperbola sa coordinate system: 1) markahan ang gitna ng hyperbola; 2) iginuhit namin sa gitna na may tuldok na linya ang axis ng simetrya ng hyperbola; 3) itinatayo namin ang pangunahing parihaba ng isang hyperbola na may tuldok na linya na may sentro at gilid at kahanay sa mga palakol ng simetrya; 4) gumuhit kami ng mga tuwid na linya sa magkasalungat na mga vertices ng pangunahing parihaba na may putol-putol na linya, na mga asymptotes ng hyperbola, kung saan ang mga sanga ng hyperbola ay lumalapit nang walang katiyakan, sa isang walang katapusang distansya mula sa pinanggalingan, nang hindi tumatawid sa kanila; 5) inilalarawan namin ang mga sanga ng hyperbola (Larawan 7) o hyperbola (Larawan 8) na may solidong linya.

Fig.7 Fig.8

3a)- ang equation ng isang parabola na may vertex sa isang punto at isang axis ng symmetry parallel sa coordinate axis (Fig. 9).

3b)- ang equation ng isang parabola na may vertex sa isang punto at isang axis ng symmetry parallel sa coordinate axis (Fig. 10).

Upang bumuo ng isang parabola sa coordinate system: 1) markahan ang tuktok ng parabola; 2) iginuhit namin sa pamamagitan ng vertex na may tuldok na linya ang axis ng simetrya ng parabola; 3) inilalarawan namin ang isang parabola na may isang solidong linya, na nagdidirekta sa sangay nito, na isinasaalang-alang ang tanda ng parameter ng parabola: sa - sa positibong direksyon ng coordinate axis na kahanay sa axis ng symmetry ng parabola (Larawan 9a at 10a); sa - sa negatibong bahagi ng coordinate axis (Larawan 9b at 10b) .

kanin. 9a Fig. 9b

kanin. 10a Fig. 10b

Paksa 7. Mga set. Mga hanay ng numero. Function.

Sa ilalim marami maunawaan ang isang tiyak na hanay ng mga bagay ng anumang kalikasan, na nakikilala sa bawat isa at naiisip bilang isang solong kabuuan. Tinatawag ito ng mga bagay na bumubuo sa isang set mga elemento . Ang isang set ay maaaring walang katapusan (binubuo ng isang walang katapusang bilang ng mga elemento), may hangganan (binubuo ng isang may hangganan na bilang ng mga elemento), walang laman (walang mga elemento). Ang mga set ay tinutukoy ng , at ang kanilang mga elemento ng . Ang walang laman na hanay ay tinutukoy ng .

Itakda ang tawag subset itakda kung ang lahat ng elemento ng set ay kabilang sa set at isulat ang . Nagtakda at tinawag pantay , kung sila ay binubuo ng parehong mga elemento at sumulat . Dalawang set at magiging pantay kung at kung at .

Itakda ang tawag unibersal (sa loob ng balangkas ng teoryang ito sa matematika) , kung ang mga elemento nito ay lahat ng bagay na isinasaalang-alang sa teoryang ito.

Marami ang maaaring itakda: 1) enumeration ng lahat ng mga elemento nito, halimbawa: (para lamang sa mga finite set); 2) sa pamamagitan ng pagtatakda ng isang tuntunin para sa pagtukoy kung ang isang elemento ng isang unibersal na set ay kabilang sa isang ibinigay na set : .

Samahan

pagtawid set at tinatawag na set

pagkakaiba set at tinatawag na set

Supplement set (hanggang sa isang unibersal na set) ay tinatawag na set.

Ang dalawang set at tinatawag katumbas at isulat ang ~ kung ang isa-sa-isang sulat ay maaaring maitatag sa pagitan ng mga elemento ng mga set na ito. Tinatawag ang set mabibilang , kung ito ay katumbas ng set ng mga natural na numero : ~ . Ang walang laman na hanay ay, sa pamamagitan ng kahulugan, mabibilang.

Ang konsepto ng cardinality ng isang set ay lumitaw kapag ang mga set ay inihambing sa bilang ng mga elemento na naglalaman ng mga ito. Ang cardinality ng set ay tinutukoy ng . Ang cardinality ng isang finite set ay ang bilang ng mga elemento nito.

Ang mga katumbas na set ay may parehong cardinality. Tinatawag ang set hindi mabilang kung ang cardinality nito ay mas malaki kaysa sa cardinality ng set .

Wasto (totoo) numero ay tinatawag na infinite decimal fraction, na kinuha gamit ang sign na "+" o "". Ang mga tunay na numero ay nakikilala sa mga puntos sa linya ng numero. modyul (ganap na halaga) ng isang tunay na numero ay isang hindi-negatibong numero:

Tinatawag ang set numerical kung ang mga elemento nito ay tunay na mga numero.Numeric sa mga pagitan ang mga hanay ng mga numero ay tinatawag na: , , , , , , , , .

Ang hanay ng lahat ng mga punto sa linya ng numero na nakakatugon sa kundisyon , kung saan ang isang arbitraryong maliit na numero, ay tinatawag na -kapitbahayan (o isang kapitbahayan lamang) ng isang punto at tinutukoy ng . Ang hanay ng lahat ng mga punto ayon sa kundisyon , kung saan ay isang arbitraryong malaking bilang, ay tinatawag na - kapitbahayan (o kapitbahayan lang) ng infinity at tinutukoy ng .

Ang isang dami na nagpapanatili ng parehong numerical na halaga ay tinatawag pare-pareho. Ang isang dami na tumatagal sa iba't ibang mga halaga ng numero ay tinatawag variable. Function ang panuntunan ay tinatawag, ayon sa kung saan ang bawat numero ay itinalaga ng isang mahusay na tinukoy na numero, at sila ay sumulat. Tinatawag ang set domain ng kahulugan mga function, - marami ( o rehiyon ) mga halaga mga function, - argumento , - halaga ng function . Ang pinakakaraniwang paraan upang tukuyin ang isang function ay ang analytical method, kung saan ang function ay tinukoy ng isang formula. natural na domain Ang function ay ang hanay ng mga halaga ng argumento kung saan may katuturan ang formula na ito. Function Graph , sa isang rectangular coordinate system , ay ang set ng lahat ng mga punto ng eroplano na may mga coordinate , .

Tinatawag ang function kahit sa set , simetriko na may paggalang sa punto , kung ang sumusunod na kondisyon ay nasiyahan para sa lahat: at kakaiba kung matugunan ang kondisyon. Kung hindi, isang generic na function o hindi kahit na o kakaiba .

Tinatawag ang function periodical sa set kung mayroong isang numero ( panahon ng pag-andar ) upang ang sumusunod na kondisyon ay nasiyahan para sa lahat: . Ang pinakamaliit na bilang ay tinatawag na pangunahing panahon.

Tinatawag ang function monotonically pagtaas (humihina ) sa set kung ang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa mas malaki (mas maliit) na halaga ng function .

Tinatawag ang function limitado sa set , kung mayroong isang numero na ang sumusunod na kondisyon ay nasiyahan para sa lahat : . Kung hindi, ang function ay walang limitasyon .

Reverse upang gumana , , ang naturang function ay tinatawag na , na tinukoy sa set at sa bawat isa

Mga katugmang ganyan. Upang mahanap ang function na kabaligtaran sa function , kailangan mong lutasin ang equation medyo . Kung ang function , ay mahigpit na monotonic sa , pagkatapos ay palaging may kabaligtaran, at kung ang pag-andar ay tumaas (bumababa), kung gayon ang kabaligtaran na pag-andar ay tataas din (bumababa).

Ang isang function na kinakatawan bilang , kung saan , ay ilang mga function na ang domain ng kahulugan ng function ay naglalaman ng buong hanay ng mga halaga ng function, ay tinatawag na kumplikadong pag-andar malayang argumento. Ang variable ay tinatawag na intermediate argument. Ang isang kumplikadong function ay tinatawag ding komposisyon ng mga function at , at nakasulat: .

Basic elementary ang mga function ay: kapangyarihan function, pagpapakita function ( , ), logarithmic function ( , ), trigonometriko function , , , , baligtad na trigonometriko function , , , . elementarya tinatawag na function na nakuha mula sa basic elementary functions sa pamamagitan ng isang may hangganang bilang ng kanilang mga arithmetic operations at compositions.

Kung ang graph ng function ay ibinigay, ang pagbuo ng graph ng function ay nababawasan sa isang serye ng mga pagbabagong-anyo (shift, compression o stretching, display) ng graph:

1) 2) ipinapakita ng pagbabagong-anyo ang graph nang simetriko tungkol sa axis; 3) inililipat ng pagbabagong-anyo ang graph sa kahabaan ng axis ng mga yunit ( - sa kanan, - sa kaliwa); 4) inililipat ng pagbabagong-anyo ang tsart sa kahabaan ng axis ng mga yunit (- pataas, - pababa); 5) transformation graph sa kahabaan ng axis ay umaabot sa mga oras, kung o compresses sa mga oras, kung ; 6) ang pagbabago ng graph sa kahabaan ng axis ay nag-compress sa pamamagitan ng isang factor kung o umaabot ng isang factor kung .

Ang pagkakasunud-sunod ng mga pagbabagong-anyo kapag nag-plot ng isang function graph ay maaaring katawanin bilang simbolo bilang:

Tandaan. Kapag nagsasagawa ng pagbabago, tandaan na ang dami ng shift sa kahabaan ng axis ay tinutukoy ng pare-pareho na direktang idinaragdag sa argumento, at hindi sa argumento.

Ang graph ng function ay isang parabola na may vertex sa , na ang mga sanga ay nakadirekta pataas kung o pababa kung . Ang graph ng isang linear-fractional function ay isang hyperbola na nakasentro sa punto , na ang mga asymptote ay dumadaan sa gitna, parallel sa mga coordinate axes. , nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon. tinawag.

Para sa mga vector , at , na ibinigay ng mga coordinate , , ang pinaghalong produkto ay kinakalkula ng formula: .

Paksa 5. Mga linya sa eroplano.

Diretso sa ibabaw sa coordinate system ay maaaring ibigay sa pamamagitan ng isang equation ng isa sa mga sumusunod na uri:

1) - pangkalahatang equation tuwid na linya, kung saan ang normal na vector ng tuwid na linya;

2) - ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto na patayo sa isang naibigay na vector;

3) - equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto na kahanay sa isang naibigay na vector ( canonical equation );

4) - equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos, ;

Distansya mula sa punto hanggang linya , na ibinigay ng pangkalahatang equation sa eroplano, ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

Iniksyon, ( )sa pagitan ng mga tuwid na linya at , na ibinibigay ng mga pangkalahatang equation o equation na may slope, ay matatagpuan ng isa sa mga sumusunod na formula:

Kung o .

Kung o

Mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya at matatagpuan bilang isang solusyon sa isang sistema ng mga linear na equation: o .

Paksa 10. Mga set. Mga hanay ng numero. Mga pag-andar.

Itakda ang tawag subset itakda kung ang lahat ng elemento ng set ay kabilang sa set at isulat ang .

Nagtakda at tinawag pantay , kung sila ay binubuo ng parehong mga elemento at sumulat . Dalawang set at magiging pantay kung at kung at .

Itakda ang tawag unibersal (sa loob ng balangkas ng teoryang ito sa matematika) , kung ang mga elemento nito ay lahat ng bagay na isinasaalang-alang sa teoryang ito.

Samahan

pagtawid set at tinatawag na set

pagkakaiba set at tinatawag na set

Supplement set (hanggang sa isang unibersal na set) ay tinatawag na set.

Wasto (totoo) numero ay tinatawag na infinite decimal fraction, na kinuha gamit ang sign na "+" o "". Ang mga tunay na numero ay nakikilala sa mga puntos sa linya ng numero.

modyul (ganap na halaga) ng isang tunay na numero ay isang hindi-negatibong numero:

Tinatawag ang set numerical kung ang mga elemento nito ay tunay na mga numero. Numeric sa mga pagitan ay tinatawag na set

numero: , , , , , , , , .

Tinatawag ang function monotonically pagtaas (humihina ) sa set kung ang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa mas malaki (mas maliit) na halaga ng function .

Tinatawag ang function limitado sa set , kung mayroong isang numero na ang sumusunod na kondisyon ay nasiyahan para sa lahat : . Kung hindi, ang function ay walang limitasyon .

Reverse upang gumana , , ay isang function na tinukoy sa isang set at itinalaga sa bawat isa na . Upang mahanap ang function na kabaligtaran sa function , kailangan mong lutasin ang equation medyo . Kung ang function , ay mahigpit na monotonic sa , pagkatapos ay palaging may kabaligtaran, at kung ang pag-andar ay tumaas (bumababa), kung gayon ang kabaligtaran na pag-andar ay tataas din (bumababa).

Ang graph ng function ay isang parabola na may vertex sa , na ang mga sanga ay nakadirekta pataas kung o pababa kung .

Sa ilang mga kaso, kapag gumagawa ng isang graph ng isang function, ipinapayong hatiin ang domain ng kahulugan nito sa ilang mga hindi intersecting na pagitan at sunud-sunod na bumuo ng isang graph sa bawat isa sa kanila.

Anumang ordered set ng real numbers ay tinatawag tuldok-dimensional na arithmetic (coordinate) space at denoted o , habang ang mga numero ay tinatawag nito mga coordinate .

Hayaan at maging ilang hanay ng mga puntos at . Kung ang bawat punto ay itinalaga, ayon sa ilang panuntunan, isang mahusay na tinukoy na tunay na numero , pagkatapos ay sinasabi nila na ang isang numerical function ng mga variable ay ibinibigay sa set at sumulat o maikli at , habang tinatawag domain ng kahulugan , - hanay ng mga halaga , - mga argumento (mga independiyenteng variable) function.

Ang isang function ng dalawang variable ay madalas na tinutukoy, isang function ng tatlong variable -. Ang domain ng kahulugan ng isang function ay isang tiyak na hanay ng mga punto sa eroplano, ang mga function ay isang tiyak na hanay ng mga punto sa espasyo.

Paksa 7. Mga numerical na sequence at series. Limitasyon ng pagkakasunud-sunod. Limitasyon ng isang function at pagpapatuloy.

Kung, ayon sa ilang panuntunan, ang bawat natural na numero ay nauugnay sa isang mahusay na tinukoy na tunay na numero, pagkatapos ay sinasabi nila iyon numerical sequence . Maikling tukuyin ang . Tinatawag ang numero karaniwang miyembro ng sequence . Ang isang sequence ay tinatawag ding function ng isang natural na argumento. Ang isang sequence ay palaging naglalaman ng isang walang katapusang bilang ng mga elemento, ang ilan sa mga ito ay maaaring pantay.

Tinatawag ang numero limitasyon ng pagkakasunud-sunod , at isulat kung para sa anumang numero mayroong isang numero na ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasiyahan para sa lahat.

Ang pagkakasunod-sunod na may hangganan na limitasyon ay tinatawag nagtatagpo , kung hindi - divergent .

: 1) humihina , kung ; 2) dumarami , kung ; 3) hindi bumababa , kung ; 4) hindi tumataas , kung . Ang lahat ng mga pagkakasunud-sunod sa itaas ay tinatawag monotonous .

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag limitado , kung mayroong isang numero na ang sumusunod na kundisyon ay nasiyahan para sa lahat: . Kung hindi, ang pagkakasunod-sunod ay walang limitasyon .

Ang bawat monotone bounded sequence ay may limitasyon ( Weierstrass theorem).

Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag infinitesimal , kung . Ang pagkakasunod-sunod ay tinatawag walang hanggan malaki (nagtatagpo sa kawalang-hanggan) kung .

numero ay tinatawag na limitasyon ng pagkakasunod-sunod, kung saan

Ang constant ay tinatawag na nonpeer number. Ang batayang logarithm ng isang numero ay tinatawag na natural na logarithm ng isang numero at tinutukoy .

Ang isang expression ng form , kung saan ay isang sequence ng mga numero, ay tinatawag na numerical series at minarkahan. Tinatawag ang kabuuan ng mga unang termino ng serye ika partial sum hilera.

Tinatawag ang hilera nagtatagpo kung may hangganang hangganan at divergent kung ang limitasyon ay hindi umiiral. Tinatawag ang numero ang kabuuan ng isang convergent series , habang nagsusulat.

Kung ang serye ay nagtatagpo, kung gayon (isang kinakailangang criterion para sa convergence ng serye ) . Ang kabaligtaran ay hindi totoo.

Kung , kung gayon ang serye ay magkakaiba ( isang sapat na pamantayan para sa divergence ng serye ).

Pangkalahatang harmonic series ay tinatawag na isang serye na nagtatagpo sa at diverges sa .

Geometric na serye tumawag sa isang serye na nagtatagpo sa , habang ang kabuuan nito ay katumbas ng at diverges sa . maghanap ng numero o simbolo. (kaliwang semi-kapitbahayan, kanang semi-kapitbahayan) at

Sa araling ito, titingnan natin ang dalawa pang operasyon na may mga vector: cross product ng mga vectors at pinaghalong produkto ng mga vector (kaagad na link para sa mga nangangailangan nito). Okay lang, minsan nangyayari na para sa kumpletong kaligayahan, bukod pa sa tuldok na produkto ng mga vector, parami nang parami ang kailangan. Ganyan ang pagkagumon sa vector. Maaaring makuha ng isa ang impresyon na papasok tayo sa gubat ng analytic geometry. Hindi ito totoo. Sa seksyong ito ng mas mataas na matematika, sa pangkalahatan ay may maliit na panggatong, maliban marahil ay sapat para sa Pinocchio. Sa katunayan, ang materyal ay napaka-pangkaraniwan at simple - halos hindi mas mahirap kaysa sa pareho produktong scalar, kahit na magkakaroon ng mas kaunting mga karaniwang gawain. Ang pangunahing bagay sa analytic geometry, tulad ng makikita o nakita na ng marami, ay HINDI MAGMALI NG PAGKUKULANG. Ulitin tulad ng isang spell, at ikaw ay magiging masaya =)

Kung ang mga vector ay kumikinang sa isang lugar sa malayo, tulad ng kidlat sa abot-tanaw, hindi mahalaga, magsimula sa aralin Mga vector para sa mga dummies upang ibalik o muling makuha ang pangunahing kaalaman tungkol sa mga vector. Ang mas handa na mga mambabasa ay maaaring maging pamilyar sa impormasyon nang pili, sinubukan kong kolektahin ang pinaka kumpletong koleksyon ng mga halimbawa na madalas na matatagpuan sa praktikal na gawain

Ano ang magpapasaya sa iyo? Noong maliit pa ako, nakaka-juggle ako ng dalawa at kahit tatlong bola. Ito ay gumana nang maayos. Ngayon hindi na kailangang mag-juggle, dahil isasaalang-alang natin mga space vector lang, at ang mga flat vector na may dalawang coordinate ay maiiwan. Bakit? Ito ay kung paano ipinanganak ang mga pagkilos na ito - ang vector at pinaghalong produkto ng mga vector ay tinukoy at gumagana sa tatlong-dimensional na espasyo. Mas madali na!

Sa operasyong ito, sa parehong paraan tulad ng sa scalar product, dalawang vector. Hayaan itong mga hindi nasisira na mga titik.

Ang aksyon mismo denoted sa sumusunod na paraan: . Mayroong iba pang mga pagpipilian, ngunit sanay akong magtalaga ng cross product ng mga vector sa ganitong paraan, sa mga square bracket na may krus.

At kaagad tanong: kung nasa tuldok na produkto ng mga vector dalawang vector ang kasangkot, at dito dalawang vectors ay pinarami din, pagkatapos ano ang pinagkaiba? Isang malinaw na pagkakaiba, una sa lahat, sa RESULTA:

Ang resulta ng scalar product ng mga vector ay NUMBER:

Ang resulta ng cross product ng mga vector ay isang VECTOR: , ibig sabihin, pinaparami namin ang mga vector at muling nakakuha ng vector. Saradong club. Sa totoo lang, kaya ang pangalan ng operasyon. Sa iba't ibang literatura na pang-edukasyon, ang mga pagtatalaga ay maaari ding mag-iba, gagamitin ko ang titik .

Kahulugan ng cross product

Una ay magkakaroon ng isang kahulugan na may isang larawan, pagkatapos ay magkomento.

Kahulugan: cross product hindi collinear mga vector, kinuha sa ganitong pagkakasunud-sunod, ay tinatawag na VECTOR, haba na ayon sa bilang katumbas ng lugar ng paralelogram, na binuo sa mga vector na ito; vector orthogonal sa mga vector, at itinuro upang ang batayan ay may tamang oryentasyon:

Sinusuri namin ang kahulugan ng mga buto, mayroong maraming mga kagiliw-giliw na bagay!

Kaya, maaari nating i-highlight ang mga sumusunod na mahahalagang punto:

1) Source vectors , na ipinahiwatig ng mga pulang arrow, ayon sa kahulugan hindi collinear. Angkop na isaalang-alang ang kaso ng mga collinear vectors sa ibang pagkakataon.

2) Kinuha ang mga vector sa mahigpit na pagkakasunud-sunod: – Ang "a" ay pinarami ng "maging", hindi "maging" sa "a". Ang resulta ng pagpaparami ng vector ay VECTOR , na nakasaad sa asul. Kung ang mga vector ay pinarami sa reverse order, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang vector na katumbas ng haba at kabaligtaran sa direksyon (kulay ng pulang-pula). Ibig sabihin, ang pagkakapantay-pantay .

3) Ngayon, kilalanin natin ang geometric na kahulugan ng produkto ng vector. Ito ay isang napakahalagang punto! Ang LENGTH ng asul na vector (at, samakatuwid, ang crimson vector ) ay numerong katumbas ng AREA ng parallelogram na binuo sa mga vector . Sa figure, ang paralelogram na ito ay may kulay na itim.

Tandaan : ang pagguhit ay eskematiko, at, siyempre, ang nominal na haba ng cross product ay hindi katumbas ng lugar ng parallelogram.

Naaalala namin ang isa sa mga geometric na formula: ang lugar ng isang parallelogram ay katumbas ng produkto ng mga katabing panig at ang sine ng anggulo sa pagitan nila. Samakatuwid, batay sa nabanggit, ang formula para sa pagkalkula ng LENGTH ng isang produkto ng vector ay wasto:

Binibigyang-diin ko na sa formula ay pinag-uusapan natin ang LENGTH ng vector, at hindi ang mismong vector. Ano ang praktikal na kahulugan? At ang kahulugan ay tulad na sa mga problema ng analytic geometry, ang lugar ng isang paralelogram ay madalas na matatagpuan sa pamamagitan ng konsepto ng isang produkto ng vector:

Nakukuha namin ang pangalawang mahalagang formula. Ang dayagonal ng paralelogram (pulang may tuldok na linya) ay hinahati ito sa dalawang pantay na tatsulok. Samakatuwid, ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors (red shading) ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:

4) Ang isang pantay na mahalagang katotohanan ay ang vector ay orthogonal sa mga vectors, iyon ay . Siyempre, ang kabaligtaran na nakadirekta na vector (crimson arrow) ay orthogonal din sa orihinal na mga vector .

5) Ang vector ay nakadirekta sa gayon batayan Mayroon itong tama oryentasyon. Sa isang aralin tungkol sa paglipat sa isang bagong batayan Nagsalita ako nang detalyado tungkol sa oryentasyon ng eroplano, at ngayon ay malalaman natin kung ano ang oryentasyon ng espasyo. Ipapaliwanag ko sa iyong mga daliri kanang kamay. Mentally combine hintuturo may vector at hinlalato may vector. Ring finger at kalingkingan pindutin sa iyong palad. Ang resulta hinlalaki- titingnan ang produkto ng vector. Ito ang right-oriented na batayan (ito ay nasa figure). Ngayon palitan ang mga vectors ( hintuturo at gitnang daliri) sa ilang mga lugar, bilang isang resulta, ang hinlalaki ay iikot, at ang produkto ng vector ay titingin na sa ibaba. Ito rin ay isang batayan na nakatuon sa tama. Marahil mayroon kang tanong: anong batayan ang may kaliwang oryentasyon? "Italaga" ang parehong mga daliri kaliwang kamay vectors , at kunin ang kaliwang batayan at kaliwang space orientation (sa kasong ito, ang hinlalaki ay matatagpuan sa direksyon ng mas mababang vector). Sa matalinghagang pagsasalita, ang mga base na ito ay "twist" o i-orient ang espasyo sa iba't ibang direksyon. At ang konseptong ito ay hindi dapat ituring na isang bagay na malayo o abstract - halimbawa, ang pinaka-ordinaryong salamin ay nagbabago sa oryentasyon ng espasyo, at kung "hilahin mo ang sinasalamin na bagay mula sa salamin", kung gayon sa pangkalahatan ay hindi posible na pagsamahin ito sa "orihinal". Sa pamamagitan ng paraan, dalhin ang tatlong daliri sa salamin at suriin ang pagmuni-muni ;-)

... kung gaano kahusay na alam mo na ngayon ang tungkol sa kanan at kaliwa oriented base, kasi grabe ang mga pahayag ng ilang lecturer tungkol sa pagbabago ng oryentasyon =)

Vector na produkto ng collinear vectors

Ang kahulugan ay ginawa nang detalyado, nananatili itong malaman kung ano ang mangyayari kapag ang mga vector ay collinear. Kung ang mga vector ay collinear, maaari silang ilagay sa isang tuwid na linya at ang aming parallelogram ay "tupi" din sa isang tuwid na linya. Ang lugar ng ganoon, gaya ng sinasabi ng mga mathematician, mabulok paralelogram ay zero. Ang parehong sumusunod mula sa formula - ang sine ng zero o 180 degrees ay katumbas ng zero, na nangangahulugan na ang lugar ay zero

Kaya, kung , pagkatapos at . Pakitandaan na ang cross product mismo ay katumbas ng zero vector, ngunit sa pagsasanay ito ay madalas na napapabayaan at nakasulat na ito ay katumbas din ng zero.

Ang isang espesyal na kaso ay ang produkto ng vector ng isang vector at mismo:

Gamit ang cross product, maaari mong suriin ang collinearity ng three-dimensional vectors, at susuriin din namin ang problemang ito, bukod sa iba pa.

Upang malutas ang mga praktikal na halimbawa, maaaring kailanganin ito trigonometriko talahanayan upang mahanap ang mga halaga ng mga sine mula dito.

Buweno, magsimula tayo ng apoy:

Halimbawa 1

a) Hanapin ang haba ng vector product ng mga vectors kung

b) Hanapin ang lugar ng isang paralelogram na binuo sa mga vectors kung

Desisyon: Hindi, hindi ito isang typo, sadyang ginawa kong pareho ang paunang data sa mga item ng kondisyon. Dahil mag-iiba ang disenyo ng mga solusyon!

a) Ayon sa kondisyon, kinakailangang hanapin haba vector (produktong vector). Ayon sa kaukulang formula:

Sagot:

Dahil tinanong ito tungkol sa haba, pagkatapos ay sa sagot ay ipinapahiwatig namin ang sukat - mga yunit.

b) Ayon sa kondisyon, ito ay kinakailangan upang mahanap parisukat paralelogram na binuo sa mga vectors. Ang lugar ng parallelogram na ito ay ayon sa bilang na katumbas ng haba ng cross product:

Sagot:

Mangyaring tandaan na sa sagot tungkol sa produkto ng vector ay walang pag-uusap, tinanong kami tungkol sa lugar ng pigura, ayon sa pagkakabanggit, ang sukat ay square units.

Palagi naming tinitingnan kung ANO ang kinakailangan upang matagpuan ng kundisyon, at, batay dito, bumalangkas kami malinaw sagot. Maaaring ito ay tila literalismo, ngunit may sapat na mga literalista sa mga guro, at ang gawain na may magandang pagkakataon ay ibabalik para sa rebisyon. Bagaman hindi ito isang partikular na pilit na nitpick - kung ang sagot ay hindi tama, kung gayon ang isa ay makakakuha ng impresyon na ang tao ay hindi naiintindihan ang mga simpleng bagay at / o hindi naiintindihan ang kakanyahan ng gawain. Ang sandaling ito ay dapat palaging panatilihing nasa ilalim ng kontrol, paglutas ng anumang problema sa mas mataas na matematika, at sa iba pang mga paksa.

Saan napunta ang malaking letrang "en"? Sa prinsipyo, maaari itong maging karagdagan sa solusyon, ngunit upang paikliin ang rekord, hindi ko ginawa. Umaasa ako na ang lahat ay naiintindihan iyon at ang pagtatalaga ng parehong bagay.

Isang sikat na halimbawa para sa isang do-it-yourself na solusyon:

Halimbawa 2

Hanapin ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors kung

Ang formula para sa paghahanap ng lugar ng isang tatsulok sa pamamagitan ng produkto ng vector ay ibinibigay sa mga komento sa kahulugan. Solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Sa pagsasagawa, ang gawain ay talagang napakakaraniwan, ang mga tatsulok sa pangkalahatan ay maaaring pahirapan.

Upang malutas ang iba pang mga problema, kailangan namin:

Mga katangian ng cross product ng mga vectors

Isinaalang-alang na namin ang ilang mga katangian ng produkto ng vector, gayunpaman, isasama ko ang mga ito sa listahang ito.

Para sa mga arbitrary na vector at isang arbitrary na numero, ang mga sumusunod na katangian ay totoo:

1) Sa iba pang mga mapagkukunan ng impormasyon, ang item na ito ay karaniwang hindi nakikilala sa mga katangian, ngunit ito ay napakahalaga sa mga praktikal na termino. Kaya hayaan mo na.

2) - ang ari-arian ay tinalakay din sa itaas, kung minsan ito ay tinatawag anticommutativity. Sa madaling salita, mahalaga ang pagkakasunud-sunod ng mga vector.

3) - kumbinasyon o nag-uugnay mga batas ng produkto ng vector. Ang mga constant ay madaling alisin sa mga limitasyon ng produkto ng vector. Talaga, ano ang ginagawa nila doon?

4) - pamamahagi o pamamahagi mga batas ng produkto ng vector. Wala ring problema sa pagbubukas ng mga bracket.

Bilang isang pagpapakita, isaalang-alang ang isang maikling halimbawa:

Halimbawa 3

Hanapin kung

Desisyon: Sa pamamagitan ng kundisyon, muling kinakailangan upang mahanap ang haba ng produkto ng vector. Ipinta natin ang ating miniature:

(1) Ayon sa mga nauugnay na batas, kinukuha namin ang mga constant na lampas sa mga limitasyon ng produkto ng vector.

(2) Inalis namin ang pare-pareho sa module, habang ang module ay "kumakain" ng minus sign. Ang haba ay hindi maaaring negatibo.

(3) Ang mga sumusunod ay malinaw.

Sagot:

Oras na para maghagis ng kahoy sa apoy:

Halimbawa 4

Kalkulahin ang lugar ng isang tatsulok na binuo sa mga vectors kung

Desisyon: Hanapin ang lugar ng isang tatsulok gamit ang formula . Ang hadlang ay ang mga vector na "ce" at "te" ay kinakatawan mismo bilang mga kabuuan ng mga vector. Ang algorithm dito ay pamantayan at medyo nakapagpapaalaala sa mga halimbawa No. 3 at 4 ng aralin. Tuldok na produkto ng mga vector. Hatiin natin ito sa tatlong hakbang para sa kalinawan:

1) Sa unang hakbang, ipinapahayag namin ang produkto ng vector sa pamamagitan ng produkto ng vector, sa katunayan, ipahayag ang vector sa mga tuntunin ng vector. Wala pang salita sa haba!

(1) Pinapalitan namin ang mga expression ng mga vector .

(2) Gamit ang mga batas sa pamamahagi, buksan ang mga bracket ayon sa tuntunin ng pagpaparami ng mga polynomial.

(3) Gamit ang mga nag-uugnay na batas, inaalis namin ang lahat ng mga constant na lampas sa mga produkto ng vector. Sa kaunting karanasan, ang mga aksyon 2 at 3 ay maaaring isagawa nang sabay-sabay.

(4) Ang una at huling termino ay katumbas ng zero (zero vector) dahil sa kaaya-ayang katangian . Sa pangalawang termino, ginagamit namin ang anticommutativity property ng vector product:

(5) Nagpapakita kami ng mga katulad na termino.

Bilang isang resulta, ang vector ay lumabas na ipinahayag sa pamamagitan ng isang vector, na kung ano ang kinakailangan upang makamit:

2) Sa pangalawang hakbang, nakita namin ang haba ng produkto ng vector na kailangan namin. Ang pagkilos na ito ay katulad ng Halimbawa 3:

3) Hanapin ang lugar ng kinakailangang tatsulok:

Ang mga hakbang 2-3 ng solusyon ay maaaring ayusin sa isang linya.

Sagot:

Ang itinuturing na problema ay karaniwan sa mga pagsubok, narito ang isang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 5

Hanapin kung

Maikling solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Tingnan natin kung gaano ka naging matulungin sa pag-aaral ng mga nakaraang halimbawa ;-)

Cross product ng mga vector sa mga coordinate

, ibinigay sa orthonormal na batayan, ay ipinahayag ng pormula:

Ang formula ay talagang simple: isinusulat namin ang mga coordinate vectors sa tuktok na linya ng determinant, "nag-pack" kami ng mga coordinate ng mga vector sa pangalawa at pangatlong linya, at inilalagay namin sa mahigpit na pagkakasunud-sunod- una, ang mga coordinate ng vector "ve", pagkatapos ay ang mga coordinate ng vector na "double-ve". Kung ang mga vector ay kailangang i-multiply sa ibang pagkakasunud-sunod, ang mga linya ay dapat ding palitan:

Halimbawa 10

Suriin kung ang mga sumusunod na space vector ay collinear:
a)
b)

Desisyon: Ang pagsusulit ay batay sa isa sa mga pahayag sa araling ito: kung ang mga vector ay collinear, kung gayon ang kanilang cross product ay zero (zero vector): .

a) Hanapin ang produkto ng vector:

Kaya ang mga vector ay hindi collinear.

b) Hanapin ang produkto ng vector:

Sagot: a) hindi collinear, b)

Narito, marahil, ang lahat ng pangunahing impormasyon tungkol sa produkto ng vector ng mga vector.

Ang seksyong ito ay hindi magiging napakalaki, dahil kakaunti ang mga problema kung saan ginagamit ang pinaghalong produkto ng mga vector. Sa katunayan, ang lahat ay nakasalalay sa kahulugan, geometric na kahulugan at isang pares ng mga gumaganang formula.

Ang pinaghalong produkto ng mga vector ay produkto ng tatlong mga vector:

Ganito sila pumila na parang tren at maghintay, hindi sila makapaghintay hanggang sa sila ay makalkula.

Una muli ang kahulugan at larawan:

Kahulugan: Pinaghalong produkto hindi coplanar mga vector, kinuha sa ganitong pagkakasunud-sunod, ay tinatawag na dami ng parallelepiped, na binuo sa mga vector na ito, na nilagyan ng "+" sign kung tama ang batayan, at isang "-" sign kung naiwan ang batayan.

Gawin natin ang pagguhit. Ang mga linyang hindi natin nakikita ay iginuhit ng isang tuldok na linya:

Sumisid tayo sa kahulugan:

2) Kinuha ang mga vector sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod, iyon ay, ang permutasyon ng mga vector sa produkto, tulad ng maaari mong hulaan, ay hindi napupunta nang walang mga kahihinatnan.

3) Bago magkomento sa geometric na kahulugan, mapapansin ko ang malinaw na katotohanan: ang pinaghalong produkto ng mga vector ay isang NUMBER: . Sa pang-edukasyon na panitikan, ang disenyo ay maaaring medyo naiiba, ginamit ko upang italaga ang isang halo-halong produkto sa pamamagitan ng, at ang resulta ng mga kalkulasyon na may titik na "pe".

A-prioryo ang pinaghalong produkto ay ang dami ng parallelepiped, na binuo sa mga vector (ang figure ay iginuhit na may mga pulang vector at itim na linya). Iyon ay, ang numero ay katumbas ng dami ng ibinigay na parallelepiped.

Tandaan : Ang pagguhit ay eskematiko.

4) Huwag na nating pakialaman muli ang konsepto ng oryentasyon ng batayan at espasyo. Ang kahulugan ng huling bahagi ay ang isang minus sign ay maaaring idagdag sa volume. Sa madaling salita, maaaring negatibo ang pinaghalong produkto: .

Ang formula para sa pagkalkula ng dami ng isang parallelepiped na binuo sa mga vector ay direktang sumusunod mula sa kahulugan.