Kung ang determinant ng isang matrix ay zero, kung gayon ang kabaligtaran nito ay hindi umiiral. Paghahanap ng determinant ng orihinal na matrix
Sagot: PROPERTY 1. Hindi magbabago ang value ng determinant kung ang lahat ng row nito ay papalitan ng column, at ang bawat row ay papalitan ng column na may parehong numero, iyon ay.
PROPERTY 2. Ang pag-permute ng dalawang column o dalawang row ng isang determinant ay katumbas ng pagpaparami nito sa -1. Halimbawa,
.PROPERTY 3. Kung ang isang determinant ay may dalawang magkaparehong column o dalawang magkaparehong row, kung gayon sero.PROPERTY 4. Ang pagpaparami ng lahat ng elemento ng isang column o isang row ng determinant sa anumang bilang na k ay katumbas ng pagpaparami ng determinant sa bilang na ito na k. Halimbawa,
.PROPERTY 5. Kung ang lahat ng elemento ng ilang column o ilang row ay katumbas ng zero, kung gayon ang determinant mismo ay katumbas ng zero. Ang property na ito ay isang espesyal na kaso ng nauna (para sa k=0).PROPERTY 6. Kung ang mga katumbas na elemento ng dalawang column o dalawang row ng determinant ay proporsyonal, kung gayon ang determinant ay katumbas ng zero. PROPERTY 7. Kung ang bawat elemento ng n-th column o n-th row ng determinant ay ang kabuuan ng dalawang termino, kung gayon ang determinant ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng dalawang determinant, kung saan ang isa sa ika-n column o, ayon sa pagkakabanggit, sa nth row ay may ang una sa mga termino sa itaas, at ang isa ay may pangalawa; ang mga elemento sa natitirang mga lugar ay pareho para sa mga milestone ng tatlong determinants. Halimbawa,
PROPERTY 8. Kung idaragdag natin sa mga elemento ng ilang column (o ilang row) ang mga kaukulang elemento ng isa pang column (o isa pang row), na i-multiply sa anumang common factor, hindi magbabago ang value ng determinant. Halimbawa,
.
Ang mga karagdagang katangian ng mga determinant ay konektado sa konsepto ng algebraic complement at minor. Ang minor ng ilang elemento ay ang determinant na nakuha mula sa ibinigay sa pamamagitan ng pagtanggal sa row at column sa intersection kung saan matatagpuan ang elementong ito. Ang algebraic complement ng anumang elemento ng determinant ay katumbas ng minor ng elementong ito, na kinuha kasama ang sign nito , kung ang kabuuan ng mga numero ng row at column sa intersection kung saan ang elemento ay isang even na numero, at may kabaligtaran na sign kung kakaiba ang numerong ito. Ipatukoy natin ang algebraic complement ng isang elemento sa pamamagitan ng malaking titik ng parehong pangalan at kaparehong bilang ng titik na nagsasaad ng elemento mismo.PROPERTY 9. Determinant
ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng anumang column (o row) at ang kanilang algebraic complements.
Determinant. Ito ay isang polynomial na pinagsasama-sama ang mga elemento ng isang parisukat na matrix sa paraan na ang halaga nito ay napanatili sa panahon ng transposisyon at mga linear na kumbinasyon ng mga hilera o haligi. Iyon ay, ang determinant ay nagpapakilala sa nilalaman ng matrix. Sa partikular, kung ang matrix ay may mga linearly dependent na row o column, ang determinant ay katumbas ng zero. Ang determinant ay gumaganap ng mahalagang papel sa paglutas ng mga system sa pangkalahatan linear na equation, sa batayan nito, ipinakilala ang mga pangunahing konsepto. Sa pangkalahatang kaso, maaaring tukuyin ang isang matrix sa anumang commutative ring, kung saan ang determinant ay magiging elemento ng parehong singsing. Ang determinant ng isang matrix A ay tinutukoy bilang: det (A), |A| o ∆(A).
5. Degenerate matrix. Inverse matrix, mga katangian nito, pagkalkula, teorama ng pagkakaroon.
Sagot: Ang square matrix A ay tinatawag na degenerate, singular (singular) matrix kung ang determinant nito (Δ) ay katumbas ng zero. Kung hindi, ang matrix A ay tinatawag na nondegenerate.
Isaalang-alang ang problema ng pagtukoy ng operasyon na kabaligtaran sa pagpaparami ng matrix.
Hayaan ang isang parisukat na order matrix. Isang matrix na, kasama ng ibinigay na matrix, ay nakakatugon sa mga sumusunod na equation:
tinatawag na reverse. Ang isang matrix ay sinasabing mababalik kung mayroong isang kabaligtaran para dito, kung hindi, ito ay hindi maibabalik.
Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na kung ang isang inverse matrix ay umiiral, kung gayon ito ay parisukat ng parehong pagkakasunud-sunod bilang. Gayunpaman, hindi lahat ng square matrix ay may kabaligtaran. Kung ang determinant ng isang matrix ay zero, kung gayon walang kabaligtaran para dito. Sa katunayan, ang paglalapat ng theorem sa determinant ng produkto ng mga matrice para sa identity matrix, nakakakuha tayo ng kontradiksyon.
dahil ang determinant ng identity matrix ay katumbas ng 1. Lumalabas na ang pagkakaiba mula sa zero ng determinant ng square matrix ay ang tanging kondisyon para sa pagkakaroon baligtad na matris. Alalahanin na ang isang parisukat na matrix na ang determinant ay katumbas ng zero ay tinatawag na degenerate (isahan), kung hindi - non-singular (non-singular).
Theorem 4.1 sa pagkakaroon at pagiging natatangi ng inverse matrix. Ang isang parisukat na matrix na ang determinant ay hindi zero ay may kabaligtaran na matrix, at higit pa rito, isa lamang:
kung saan inilipat ang matrix para sa matrix na binubuo ng mga algebraic complement ng mga elemento ng matrix.
Ang matrix ay tinatawag na adjoint matrix na may paggalang sa matrix.
Sa katunayan, ang matrix ay umiiral sa ilalim ng kundisyon. Dapat nating ipakita na ito ay kabaligtaran sa, i.e. natutugunan ang dalawang kundisyon:
Patunayan natin ang unang pagkakapantay-pantay. Ayon sa aytem 4 ng Remarks 2.3, ito ay sumusunod mula sa mga katangian ng determinant na . Kaya
na dapat ipakita. Ang pangalawang pagkakapantay-pantay ay napatunayang katulad. Samakatuwid, sa ilalim ng kondisyon ang matrix ay may kabaligtaran
Pinatunayan namin ang pagiging natatangi ng inverse matrix sa pamamagitan ng kontradiksyon. Hayaan, bukod sa matrix, mayroong isa pang kabaligtaran na matrix 
ganyan. Ang pagpaparami ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na ito sa kaliwa ng matrix, nakukuha natin 
. Samakatuwid, na sumasalungat sa palagay. Samakatuwid, ang inverse matrix ay natatangi.
Pangungusap 4.1
1. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na ang mga matrice at ay nababago.
2. Ang kabaligtaran ng matrix sa isang di-degenerate na dayagonal ay dayagonal din:
3. Ang matrix na inverse sa isang nondegenerate lower (upper) triangular matrix ay lower (itaas) triangular.
4. Ang mga elementary matrice ay may inverses, na elementarya din (tingnan ang aytem 1 ng Remarks 1.11).
Inverse Matrix Properties
Ang matrix inversion operation ay may mga sumusunod na katangian:
kung ang mga operasyong ipinahiwatig sa mga pagkakapantay-pantay 1-4 ay may katuturan.
Patunayan natin ang ari-arian 2: kung ang produkto ng di-iisang square matrice ng parehong pagkakasunod-sunod ay may kabaligtaran na matrix, kung gayon.
Sa katunayan, ang determinant ng produkto ng mga matrice ay hindi katumbas ng zero, dahil
Samakatuwid, ang inverse matrix ay umiiral at natatangi. Ipakita natin sa pamamagitan ng kahulugan na ang isang matrix ay ang kabaligtaran ng isang matrix. Talaga:
Ang pagiging natatangi ng inverse matrix ay nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay. Ang pangalawang ari-arian ay napatunayan. Ang iba pang mga katangian ay napatunayang pareho.
Pangungusap 4.2
1. Para sa isang kumplikadong matrix, ang pagkakapantay-pantay na katulad ng property 3 ay totoo:
Nasaan ang matrix conjugation operation.
2. Ang operasyon ng matrix inversion ay nagpapahintulot sa amin na matukoy ang isang integer negatibong kapangyarihan matrice. Para sa isang nonsingular matrix at anumang natural na numero, tinutukoy namin 
.
6. sistema ng mga linear equation. Coefficient para sa hindi alam, libreng mga termino. Solusyon ng isang sistema ng mga linear na equation. Consistency ng isang sistema ng mga linear equation. Linear na sistema homogenous equation at mga tampok nito.
Sagot: Ang isang sistema ng linear algebraic equation na naglalaman ng m equation at n hindi alam ay isang sistema ng anyo
kung saan ang mga numerong a ij ay tinatawag na mga coefficient ng system, ang mga numerong b i ay mga libreng miyembro. Napapailalim sa paghahanap ng numero x n .
Ito ay maginhawa upang magsulat ng naturang sistema sa isang compact matrix form
Narito ang A ay ang matrix ng mga coefficient ng system, na tinatawag na pangunahing matrix;
Vector ng column ng mga hindi alam x j .
Libreng term column vector b i .
Ang produkto ng mga matrice A * X ay tinukoy, dahil mayroong kasing dami sa matrix A na may mga hilera sa matrix X (n piraso).
Ang pinalawig na matrix ng system ay ang matrix A ng system, na pupunan ng isang column ng mga libreng miyembro
Ang solusyon ng system ay n mga halaga ng mga hindi alam x 1 =c 1 , x 2 =c 2 , ..., x n =c n , na pinapalitan kung saan ang lahat ng mga equation ng system ay nagiging tunay na pagkakapantay-pantay. Ang anumang solusyon ng system ay maaaring isulat bilang isang column matrix
Ang isang sistema ng mga equation ay tinatawag na pare-pareho kung mayroon itong hindi bababa sa isang solusyon, at hindi pare-pareho kung wala itong mga solusyon.
Ang magkasanib na sistema ay tinatawag na tiyak kung mayroon itong natatanging solusyon, at hindi tiyak kung mayroon itong higit sa isang solusyon. Sa huling kaso, ang bawat isa sa mga solusyon nito ay tinatawag na isang partikular na solusyon ng system. Ang hanay ng lahat ng partikular na solusyon ay tinatawag na pangkalahatang solusyon.
Upang malutas ang isang sistema ay nangangahulugan na malaman kung ito ay katugma o hindi. Kung tugma ang system, hanapin ang pangkalahatang solusyon nito.
Dalawang sistema ay tinatawag na katumbas (katumbas) kung mayroon silang parehong pangkalahatang solusyon. Sa madaling salita, ang mga sistema ay katumbas kung ang bawat solusyon sa isa sa mga ito ay solusyon sa isa pa, at kabaliktaran.
Ang mga katumbas na sistema ay nakukuha, sa partikular, sa pamamagitan ng elementarya na pagbabago ng sistema, sa kondisyon na ang mga pagbabago ay ginaganap lamang sa mga hilera ng matrix.
Ang isang sistema ng mga linear na equation ay tinatawag na homogenous kung ang lahat ng mga libreng termino ay katumbas ng zero:
Ang isang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho, dahil ang x 1 =x 2 =x 3 =...=x n =0 ay isang solusyon sa system. Ang solusyon na ito ay tinatawag na null o trivial.
4.2. Paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation.
Kronecker-Capelli theorem
Hayaang magbigay ng isang arbitraryong sistema ng n linear equation na may n hindi alam
Ang isang kumpletong sagot sa tanong ng pagiging tugma ng sistemang ito ay ibinigay ng Kronecker-Capelli theorem.
Teorama 4.1. Ang isang sistema ng linear algebraic equation ay pare-pareho kung at kung ang ranggo ng pinalawig na matrix ng system ay katumbas ng ranggo ng pangunahing matrix.
Tinatanggap namin ito nang walang patunay.
Ang mga patakaran para sa praktikal na paghahanap para sa lahat ng mga solusyon ng isang pare-parehong sistema ng mga linear na equation ay sumusunod mula sa mga sumusunod na theorems.
Teorama 4.2. Kung ang ranggo ng isang pare-parehong sistema ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam, kung gayon ang sistema ay may natatanging solusyon.
Teorama 4.3. Kung ang ranggo ng isang pare-parehong sistema ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam, kung gayon ang sistema ay mayroon hindi mabilang mga solusyon.
Panuntunan para sa paglutas ng isang arbitraryong sistema ng mga linear na equation
1. Hanapin ang mga ranggo ng pangunahing at pinahabang matrice ng system. Kung r(A)≠r(A), kung gayon ang sistema ay hindi pare-pareho.
2. Kung r(A)=r(A)=r, compatible ang system. Maghanap ng ilang pangunahing minor ng order r (paalala: isang menor de edad na ang pagkakasunud-sunod ay tumutukoy sa ranggo ng isang matrix ay tinatawag na isang pangunahing). Kunin ang mga r equation na ang mga coefficient ay bumubuo sa batayang minor (i-discard ang iba pang equation). Ang mga hindi alam na ang mga coefficient ay kasama sa pangunahing menor ay tinatawag na mga pangunahing at kaliwa sa kaliwa, habang ang natitirang n-r hindi alam ay tinatawag na libre at inilipat sa mga kanang bahagi ng mga equation.
3. Maghanap ng mga expression ng mga pangunahing hindi alam sa mga tuntunin ng mga libre. Ang pangkalahatang solusyon ng system ay nakuha.
4. Ang pagbibigay ng mga di-makatwirang halaga sa mga libreng hindi alam, nakukuha namin ang kaukulang mga halaga ng mga pangunahing hindi alam. Sa ganitong paraan, mahahanap ang mga partikular na solusyon ng orihinal na sistema ng mga equation.
Halimbawa 4.1.
4.3 Solusyon ng mga non-degenerate linear system. Mga formula ng Cramer
Hayaang magbigay ng isang sistema ng n linear equation na may n hindi alam
(4.1)
o sa anyong matrix A*X=B.
Ang pangunahing matrix A ng naturang sistema ay parisukat. Ang determinant ng matrix na ito
ay tinatawag na determinant ng system. Kung ang determinant ng system ay nonzero, kung gayon ang sistema ay tinatawag na non-degenerate.
Hanapin natin ang solusyon ng sistemang ito ng mga equation sa kaso
Ang pagpaparami ng magkabilang panig ng equation A * X \u003d B sa kaliwa ng matrix A -1, nakukuha natin
A -1 *A*X=A -1 *B Dahil. A -1 *A=E at E*X=X, pagkatapos
Ang paghahanap ng solusyon sa system sa pamamagitan ng formula (4.1) ay tinatawag na matrix method ng paglutas ng system.
Sinusulat namin ang pagkakapantay-pantay ng matrix (4.1) sa form
Kaya naman sinusunod iyon
Ngunit mayroong isang agnas ng determinant
mga elemento ng unang hanay. Ang determinant ay nakuha mula sa determinant sa pamamagitan ng pagpapalit sa unang column ng coefficients ng column ng free terms. Kaya,
Katulad nito:
kung saan ang 2 ay nakuha mula sa sa pamamagitan ng pagpapalit sa ikalawang hanay ng mga coefficient ng isang hanay ng mga libreng termino:
ay tinatawag na mga formula ng Cramer.
Kaya, ang isang non-degenerate system ng n linear equation sa n unknowns ay may natatanging solusyon na makikita sa pamamagitan ng matrix method (4.1) o ng Cramer's formula (4.2).
Halimbawa 4.3.
4.4 Solusyon ng mga sistema ng linear equation sa pamamagitan ng Gauss method
Ang isa sa mga pinaka-unibersal at epektibong pamamaraan para sa paglutas ng mga linear algebraic system ay ang Gauss method, na binubuo sa sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam.
Hayaan ang sistema ng mga equation
Ang proseso ng solusyon sa Gaussian ay binubuo ng dalawang hakbang. Sa unang yugto (pasulong na pagtakbo), ang sistema ay nabawasan sa isang stepped (sa partikular, triangular) na anyo.
Ang system sa ibaba ay may stepwise form
Ang mga coefficients aii ay tinatawag na mga pangunahing elemento ng system.
Sa ikalawang yugto (reverse move), ang mga hindi alam mula sa stepwise system na ito ay sunud-sunod na tinutukoy.
Ilarawan natin ang pamamaraang Gauss nang mas detalyado.
Ibahin natin ang system (4.3) sa pamamagitan ng pag-aalis ng hindi kilalang x1 sa lahat ng equation maliban sa una (gamit ang elementarya na pagbabago ng system). Upang gawin ito, i-multiply namin ang parehong bahagi ng unang equation sa pamamagitan ng at idagdag ang termino sa pamamagitan ng termino sa pangalawang equation ng system. Pagkatapos ay i-multiply namin ang parehong bahagi ng unang equation at idagdag ang mga ito sa ikatlong equation ng system. Sa pagpapatuloy ng prosesong ito, nakakakuha kami ng katumbas na sistema
Narito, ang mga bagong halaga ng mga coefficient at kanang bahagi, na nakuha pagkatapos ng unang hakbang.
Katulad nito, kung isasaalang-alang ang pangunahing elemento , ibinubukod namin ang hindi kilalang x 2 mula sa lahat ng mga equation ng system, maliban sa una at pangalawa, at iba pa. Ipinagpapatuloy namin ang prosesong ito hangga't maaari.
Kung, sa proseso ng pagbabawas ng system (4.3) sa isang sunud-sunod na anyo, lilitaw ang mga zero na equation, ibig sabihin, ang mga pagkakapantay-pantay ng anyo 0=0, ang mga ito ay itatapon. Kung, gayunpaman, lilitaw ang isang equation ng form 
Ipinapahiwatig nito ang hindi pagkakatugma ng system.
Ang ikalawang yugto (reverse move) ay binubuo sa paglutas ng step system. Ang isang hakbang na sistema ng mga equation, sa pangkalahatan, ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Sa huling equation ng sistemang ito, ipinapahayag namin ang unang hindi alam na x k sa mga tuntunin ng natitirang mga hindi alam (x k+ 1,…,x n). Pagkatapos ay papalitan natin ang halaga ng x k sa penultimate equation ng system at ipahayag ang x k-1 hanggang (x k+ 1,…,x n). , pagkatapos ay hanapin ang x k-2 ,…,x 1. . Pagbibigay ng mga libreng hindi alam (x k+ 1,…,x n). mga arbitrary na halaga, nakakakuha tayo ng walang katapusang bilang ng mga solusyon sa system.
Mga Tala:
1. Kung ang sistema ng hakbang ay lumabas na tatsulok, ibig sabihin, k=n, kung gayon ang orihinal na sistema ay may natatanging solusyon. Mula sa huling equation nakita natin ang x n mula sa penultimate equation x n-1 , pagkatapos ay umakyat sa sistema, makikita natin ang lahat ng iba pang hindi alam (x n-1 ,...,x 1).
2. Sa pagsasagawa, mas maginhawang magtrabaho hindi kasama ang system (4.3), ngunit kasama ang pinahabang matrix nito, na gumaganap ng lahat ng elementarya na pagbabago sa mga hilera nito. Maginhawa na ang coefficient a 11 ay katumbas ng 1 (muling ayusin ang mga equation, o hatiin ang parehong bahagi ng equation sa isang 11 1).
Halimbawa 4.4.
Solusyon: Bilang resulta ng elementarya na pagbabago sa pinahabang matrix ng system
ang orihinal na sistema ay binawasan sa isang hakbang-hakbang:
Samakatuwid, ang pangkalahatang solusyon ng system: x 2 \u003d 5x 4 -13x 3 -3; x 1 \u003d 5x 4 -8x 3 -1 Kung ilalagay namin, halimbawa, x 3 \u003d 0,x 4 \u003d 0 , pagkatapos ay makikita natin ang isa sa mga partikular na solusyon ng sistemang ito x 1 = -1,x 2 = -3,x 3 =0,x 4 =0.
Halimbawa 4.5.
Lutasin ang system gamit ang Gauss method:
Solusyon: Nagsasagawa kami ng mga elementarya na pagbabago sa mga hilera ng pinahabang matrix ng system:
Ang resultang matrix ay tumutugma sa system
Sa pagsasagawa ng reverse move, makikita natin ang x 3 =1, x 2 =1,x 1 =1.
4.5 Mga sistema ng linear homogenous na equation
Hayaang ibigay ang sistema ng mga linear homogenous na equation
Malinaw, ang isang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho, mayroon itong zero (walang halaga) na solusyon x 1 =x 2 =x 3 =...=x n =0.
Sa ilalim ng anong mga kondisyon mayroon ding mga nonzero na solusyon ang isang homogenous na sistema?
Teorama 4.4. Para sa isang sistema ng homogenous equation na magkaroon ng mga nonzero na solusyon, kinakailangan at sapat na ang ranggo r ng pangunahing matrix nito ay mas mababa sa bilang n ng mga hindi alam, ibig sabihin, r Kailangan. Dahil ang ranggo ay hindi maaaring lumampas sa laki ng matrix, malinaw na ang r<=n.
Пусть r=n.
Тогда один из минеров размера nхn отличен
от нуля. Поэтому соответствующаясистема
линейных уравнений имеет
единственное решение: Samakatuwid, walang mga solusyon maliban sa mga walang kabuluhan. Kaya, kung mayroong isang di-maliit na solusyon, pagkatapos ay r Kasapatan: Hayaan ang r Teorama 4.5. Upang ang isang homogenous na sistema ng n linear equation na may n hindi alam ay magkaroon ng mga non-zero na solusyon, kinakailangan at sapat na ang determinant nito ay katumbas ng zero, ibig sabihin, =0. Kung ang sistema ay may mga nonzero na solusyon, kung gayon =0. Para sa 0 ang sistema ay mayroon lamang isang solong, zero na solusyon. Kung =0, kung gayon ang ranggo r ng pangunahing matrix ng system ay mas mababa sa bilang ng mga hindi alam, i.e. r Halimbawa 4.6. Lutasin ang sistema Ang paglalagay ng x 3 =0, makakakuha tayo ng isang partikular na solusyon: x 1 =0, x 2 =0, x 3 =0. Paglalagay ng x 3 \u003d 1, nakukuha namin ang pangalawang partikular na solusyon: x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1, atbp. MGA LINEAR EQUATIONS AT INEQUALITIES I § 28 Kondisyon kung saan ang determinant ng 2nd order ay katumbas ng zero Sa lahat ng aplikasyon ng teorya ng mga determinant, isang mahalagang papel ang ginagampanan ng mga kondisyon kung saan nawawala ang determinant. Isasaalang-alang namin ang mga kundisyong ito sa seksyong ito. Teorama 1. Kung ang determinant strings proporsyonal, kung gayon ang determinant na ito ay katumbas ng zero. Patunay. Proporsyonalidad ng hilera ( a, b
) at ( c, d
) ay nangangahulugan na: o a = kc, b = kd,
o c \u003d k "a, d \u003d k" b.
(Siyempre, hindi nito inaalis ang posibilidad ng pareho.) Kung ang a = kc, b = kd
, pagkatapos Ang sitwasyon ay katulad sa kaso kung kailan c \u003d k "a, d \u003d k" b
: Napatunayan na ang theorem. Ang converse theorem ay totoo din. Teorama 2. Kung ang determinant katumbas ng zero, kung gayon ang mga hilera nito ay proporsyonal. Patunay. Sa pamamagitan ng kondisyon ad - bc
= 0, ad = bc
. (1) Kung wala sa mga elemento ng pangalawang hilera ( c, d
) ay hindi katumbas ng zero, pagkatapos ay sumusunod mula sa (1) iyon a /
c
= b /
d
Ngunit ito ay nangangahulugan na ang mga linya ( a, b
) at ( c, d
) ay proporsyonal. Kung ang parehong numero kasama
at d
ay katumbas ng zero, kung gayon ang mga hanay ng mga determinant ay muling magiging proporsyonal (tingnan ang problema 226 mula sa nakaraang talata). Ito ay nananatiling isaalang-alang lamang ang kaso kapag ang isa sa mga numero kasama
at d
ay zero at ang isa ay di-zero. Hayaan, halimbawa, kasama
= 0, a d
=/= 0. Pagkatapos ay sumusunod mula sa (1) iyon a
= 0. Ngunit sa kasong ito, sa determinant ang unang column ay bubuo ng lahat ng mga zero. Samakatuwid, ang mga hilera ng determinant ay magiging proporsyonal (tingnan ang problema 226). Ang napatunayang dalawang theorems ay humantong sa sumusunod na resulta. Determinant ay zero kung at kung proporsyonal lamang ang mga hilera nito. Mga ehersisyo
227. Sa anong mga halaga a
ang mga linya ng data ng mga determinant ay proporsyonal: 228. Ang mga column ng 2nd order determinant ay tinatawag na proporsyonal kung ang isa man lang sa mga ito ay nakuha bilang resulta ng element-wise multiplication ng isa sa ilang numero k
. Patunayan na kung proporsyonal ang mga row sa determinant ng 2nd order, proporsyonal din ang mga column. Totoo ba ang kabaligtaran? 227
. a) ± 2; b) 0; c) para sa anumang halaga ng o ang mga hilera ng ibinigay na determinant ay hindi proporsyonal. Ang gawain ay nagsasangkot ng pag-familiarize sa user sa mga pangunahing konsepto ng mga numerical na pamamaraan, tulad ng determinant at inverse matrix, at iba't ibang paraan upang kalkulahin ang mga ito. Sa teoretikal na ulat na ito, sa simple at naa-access na wika, ang mga pangunahing konsepto at kahulugan ay unang ipinakilala, sa batayan kung saan isinasagawa ang karagdagang pananaliksik. Maaaring walang espesyal na kaalaman ang user sa larangan ng mga numerical na pamamaraan at linear algebra, ngunit madaling magagamit ang mga resulta ng gawaing ito. Para sa kalinawan, ang isang programa para sa pagkalkula ng matrix determinant sa pamamagitan ng ilang mga pamamaraan, na nakasulat sa C ++ programming language, ay ibinigay. Ang programa ay ginagamit bilang isang laboratory stand para sa paglikha ng mga ilustrasyon para sa ulat. At din ang isang pag-aaral ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ay isinasagawa. Ang kawalang-silbi ng pagkalkula ng inverse matrix ay napatunayan, kaya ang papel ay nagbibigay ng mas pinakamainam na paraan upang malutas ang mga equation nang hindi ito kinakalkula. Ipinaliwanag kung bakit napakaraming iba't ibang mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga determinant at inverse matrice at ang kanilang mga pagkukulang ay sinusuri. Ang mga error sa pagkalkula ng determinant ay isinasaalang-alang din at ang nakamit na katumpakan ay tinatantya. Bilang karagdagan sa mga terminong Ruso, ang kanilang mga katumbas sa Ingles ay ginagamit din sa trabaho upang maunawaan sa ilalim ng kung anong mga pangalan ang hahanapin para sa mga numerical na pamamaraan sa mga aklatan at kung ano ang ibig sabihin ng mga parameter nito. Ipakilala natin ang kahulugan ng determinant ng isang square matrix ng anumang pagkakasunud-sunod. Ang kahulugan na ito ay paulit-ulit, iyon ay, upang maitatag kung ano ang determinant ng order matrix, kailangan mong malaman na kung ano ang determinant ng order matrix. Tandaan din na ang determinant ay umiiral lamang para sa mga square matrice. Ang determinant ng isang parisukat na matrix ay ilalarawan ng o det . Kahulugan 1. determinant parisukat na matris determinant saan ang determinant ng order matrix na nakuha mula sa matrix sa pamamagitan ng pagtanggal sa unang row at column na may numero . Para sa kalinawan, isinulat namin kung paano mo makalkula ang determinant ng isang matrix ng ikaapat na pagkakasunud-sunod: Magkomento. Ang aktwal na pagkalkula ng mga determinant para sa mga matrice sa itaas ng ikatlong order batay sa kahulugan ay ginagamit sa mga pambihirang kaso. Bilang isang patakaran, ang pagkalkula ay isinasagawa ayon sa iba pang mga algorithm, na tatalakayin sa ibang pagkakataon at nangangailangan ng mas kaunting computational work. Magkomento. Sa Definition 1, magiging mas tumpak na sabihin na ang determinant ay isang function na tinukoy sa hanay ng mga square order matrice at pagkuha ng mga halaga sa hanay ng mga numero. Magkomento. Sa panitikan, sa halip na ang terminong "determinant", ang terminong "determinant" ay ginagamit din, na may parehong kahulugan. Mula sa salitang "determinant" lumabas ang designation det. Isaalang-alang natin ang ilang mga katangian ng mga determinant, na ating binubuo sa anyo ng mga assertion. Pahayag 1. Kapag nag-transpos ng isang matrix, ang determinant ay hindi nagbabago, iyon ay, . Pahayag 2. Ang determinant ng produkto ng square matrices ay katumbas ng produkto ng mga determinants ng mga salik, iyon ay, . Pahayag 3. Kung ang dalawang row sa isang matrix ay pinagpalit, ang determinant nito ay magbabago ng sign. Pahayag 4. Kung ang isang matrix ay may dalawang magkatulad na hanay, ang determinant nito ay zero. Sa hinaharap, kakailanganin nating magdagdag ng mga string at i-multiply ang isang string sa isang numero. Gagawin namin ang mga operasyong ito sa mga hilera (column) sa parehong paraan tulad ng mga operasyon sa row matrice (column matrice), iyon ay, elemento sa pamamagitan ng elemento. Ang resulta ay isang row (column), na, bilang panuntunan, ay hindi tumutugma sa mga row ng orihinal na matrix. Sa pagkakaroon ng mga operasyon ng pagdaragdag ng mga hilera (mga haligi) at pagpaparami ng mga ito sa isang numero, maaari rin nating pag-usapan ang tungkol sa mga linear na kumbinasyon ng mga hilera (mga haligi), iyon ay, mga kabuuan na may mga numerical coefficients. Pahayag 5. Kung ang isang hilera ng isang matrix ay pinarami ng isang numero, ang determinant nito ay i-multiply sa numerong iyon. Pahayag 6. Kung ang matrix ay naglalaman ng zero row, ang determinant nito ay zero. Pahayag 7. Kung ang isa sa mga hilera ng matrix ay katumbas ng isa pang pinarami ng isang numero (ang mga hilera ay proporsyonal), kung gayon ang determinant ng matrix ay zero. Pahayag 8. Hayaang ang i-th row sa matrix ay magmukhang . Pagkatapos, kung saan ang matrix ay nakuha mula sa matrix sa pamamagitan ng pagpapalit ng i-th row ng row, at ang matrix ay nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit ng i-th row ng row. Pahayag 9. Kung ang isa sa mga hilera ng matrix ay idinagdag sa isa pa, na pinarami ng isang numero, kung gayon ang determinant ng matrix ay hindi magbabago. Pahayag 10. Kung ang isa sa mga hilera ng isang matrix ay isang linear na kumbinasyon ng iba pang mga hilera nito, kung gayon ang determinant ng matrix ay zero. Kahulugan 2. Algebraic na karagdagan sa isang elemento ng matrix ay tinatawag na isang numero na katumbas ng , kung saan ang determinant ng matrix na nakuha mula sa matrix sa pamamagitan ng pagtanggal ng i-th row at ang j-th column. Ang algebraic na pandagdag sa isang elemento ng matrix ay tinutukoy ng . Halimbawa. Hayaan Magkomento. Gamit ang mga algebraic na pagdaragdag, ang kahulugan ng 1 determinant ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: Pahayag 11. Decomposition ng determinant sa isang arbitrary string. Ang matrix determinant ay nakakatugon sa formula Halimbawa. Kalkulahin Desisyon. Gamitin natin ang pagpapalawak sa ikatlong linya, ito ay mas kumikita, dahil sa ikatlong linya dalawang numero sa tatlo ay mga zero. Kunin Pahayag 12. Para sa isang parisukat na matrix ng order sa , mayroon kaming kaugnayan Pahayag 13. Ang lahat ng mga katangian ng determinant na binuo para sa mga hilera (mga pahayag 1 - 11) ay may bisa din para sa mga column, lalo na, ang agnas ng determinant sa j-th column ay wasto Pahayag 14. Ang determinant ng isang triangular matrix ay katumbas ng produkto ng mga elemento ng pangunahing dayagonal nito. Bunga. Ang determinant ng identity matrix ay katumbas ng isa, . Konklusyon. Ginagawang posible ng mga katangiang nakalista sa itaas na makahanap ng mga determinant ng mga matrice ng sapat na mataas na mga order na may medyo maliit na halaga ng mga kalkulasyon. Ang algorithm ng pagkalkula ay ang mga sumusunod. Algorithm para sa paglikha ng mga zero sa isang column. Hayaang kailanganin na kalkulahin ang determinant ng order. Kung , pagkatapos ay palitan ang unang linya at anumang iba pang linya kung saan ang unang elemento ay hindi zero. Bilang resulta, ang determinant , ay magiging katumbas ng determinant ng bagong matrix na may kabaligtaran na tanda. Kung ang unang elemento ng bawat hilera ay katumbas ng zero, kung gayon ang matrix ay may zero na column at, ayon sa Mga Pahayag 1, 13, ang determinant nito ay katumbas ng zero. Kaya, isinasaalang-alang namin na nasa orihinal na matrix . Iwanan ang unang linya na hindi nagbabago. Idagdag natin sa pangalawang linya ang unang linya, na pinarami ng numero . Pagkatapos ang unang elemento ng pangalawang hilera ay magiging katumbas ng Ang natitirang mga elemento ng bagong pangalawang hilera ay ilalarawan ng , . Ang determinant ng bagong matrix ayon sa Pahayag 9 ay katumbas ng . I-multiply ang unang linya sa numero at idagdag ito sa pangatlo. Ang unang elemento ng bagong ikatlong hilera ay magiging katumbas ng Ang natitirang mga elemento ng bagong ikatlong hilera ay ilalarawan ng , . Ang determinant ng bagong matrix ayon sa Pahayag 9 ay katumbas ng . Ipagpapatuloy namin ang proseso ng pagkuha ng mga zero sa halip na ang mga unang elemento ng mga string. Sa wakas, i-multiply namin ang unang linya sa isang numero at idagdag ito sa huling linya. Ang resulta ay isang matrix, na tinutukoy ng , na may anyo at . Upang kalkulahin ang determinant ng matrix, ginagamit namin ang pagpapalawak sa unang hanay Simula noon Ang determinant ng order matrix ay nasa kanang bahagi. Inilapat namin ang parehong algorithm dito, at ang pagkalkula ng determinant ng matrix ay mababawasan sa pagkalkula ng determinant ng order matrix. Ang proseso ay paulit-ulit hanggang sa maabot natin ang second-order determinant, na kinakalkula ayon sa kahulugan. Kung ang matrix ay walang anumang mga tiyak na katangian, kung gayon hindi posible na makabuluhang bawasan ang dami ng mga kalkulasyon kumpara sa iminungkahing algorithm. Ang isa pang magandang bahagi ng algorithm na ito ay madaling magsulat ng isang programa para sa isang computer upang makalkula ang mga determinant ng mga matrice ng malalaking order. Sa mga karaniwang programa para sa pagkalkula ng mga determinant, ginagamit ang algorithm na ito sa mga maliliit na pagbabago na nauugnay sa pagliit ng epekto ng mga error sa pag-round at mga error sa input ng data sa mga kalkulasyon ng computer. Halimbawa. Compute Matrix Determinant Desisyon. Ang unang linya ay hindi nababago. Sa pangalawang linya idinagdag namin ang una, na pinarami ng numero: Ang determinant ay hindi nagbabago. Sa ikatlong linya idinagdag namin ang una, na pinarami ng numero: Ang determinant ay hindi nagbabago. Sa ika-apat na linya idinagdag namin ang una, na pinarami ng numero: Ang determinant ay hindi nagbabago. Bilang resulta, nakukuha namin Gamit ang parehong algorithm, kinakalkula namin ang determinant ng isang matrix ng order 3, na nasa kanan. Iniwan namin ang unang linya na hindi nagbabago, sa pangalawang linya idinagdag namin ang una, na pinarami ng numero Sa ikatlong linya idinagdag namin ang una, na pinarami ng numero Bilang resulta, nakukuha namin Sagot. . Magkomento. Bagama't ginamit ang mga fraction sa mga kalkulasyon, ang resulta ay isang integer. Sa katunayan, gamit ang mga katangian ng mga determinant at ang katotohanan na ang mga orihinal na numero ay mga integer, ang mga operasyong may mga fraction ay maaaring iwasan. Ngunit sa pagsasanay sa engineering, ang mga numero ay napakabihirang integer. Samakatuwid, bilang panuntunan, ang mga elemento ng determinant ay magiging mga decimal fraction at hindi ipinapayong gumamit ng anumang mga trick upang pasimplehin ang mga kalkulasyon. Kahulugan 3. Ang matrix ay tinatawag baligtad na matris para sa isang square matrix kung . Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na ang inverse matrix ay magiging isang parisukat na matrix ng parehong pagkakasunud-sunod ng matrix (kung hindi, isa sa mga produkto o hindi matukoy). Ang inverse matrix para sa isang matrix ay tinutukoy ng . Kaya, kung mayroon, kung gayon . Mula sa kahulugan ng inverse matrix, sumusunod na ang matrix ay ang kabaligtaran ng matrix, iyon ay, . Matrices at masasabing inverse sa isa't isa o mutually inverse. Kung ang determinant ng isang matrix ay zero, kung gayon ang kabaligtaran nito ay hindi umiiral. Dahil para sa paghahanap ng inverse matrix mahalaga kung ang determinant ng matrix ay katumbas ng zero o hindi, ipinakilala namin ang mga sumusunod na kahulugan. Kahulugan 4. Tawagan natin ang square matrix mabulok o espesyal na matris, kung hindi nabubulok o nonsingular matrix, kung . Pahayag. Kung mayroong isang inverse matrix, kung gayon ito ay natatangi. Pahayag. Kung ang isang square matrix ay nondegenerate, kung gayon ang kabaligtaran nito ay umiiral at Teorama. Ang isang inverse matrix para sa isang square matrix ay umiiral kung at kung ang matrix ay nonsingular, ang inverse matrix ay natatangi, at ang formula (1) ay wasto. Magkomento. Ang partikular na atensyon ay dapat bayaran sa mga lugar na inookupahan ng algebraic complements sa inverse matrix formula: ang unang index ay nagpapakita ng numero hanay, at ang pangalawa ay ang numero mga linya, kung saan dapat isulat ang kalkuladong algebraic complement. Halimbawa. Desisyon. Paghahanap ng determinant Dahil , kung gayon ang matrix ay walang pagkabulok, at ang kabaligtaran para dito ay umiiral. Paghahanap ng mga algebraic na karagdagan: Binubuo namin ang inverse matrix sa pamamagitan ng paglalagay ng mga natagpuang algebraic na mga karagdagan upang ang unang index ay tumutugma sa column, at ang pangalawa sa row: Ang resultang matrix (2) ay ang sagot sa problema. Magkomento. Sa nakaraang halimbawa, magiging mas tumpak na isulat ang sagot tulad nito: Gayunpaman, ang notasyon (2) ay mas siksik at mas maginhawang magsagawa ng karagdagang mga kalkulasyon, kung mayroon man, kasama nito. Samakatuwid, mas mainam na isulat ang sagot sa anyong (2) kung ang mga elemento ng matrice ay mga integer. At kabaligtaran, kung ang mga elemento ng matrix ay mga decimal fraction, kung gayon mas mahusay na isulat ang kabaligtaran na matrix nang walang kadahilanan sa harap. Magkomento. Kapag hinahanap ang inverse matrix, kailangan mong magsagawa ng napakaraming kalkulasyon at isang hindi pangkaraniwang tuntunin para sa pag-aayos ng mga algebraic na karagdagan sa huling matrix. Samakatuwid, mayroong isang mataas na pagkakataon ng error. Upang maiwasan ang mga error, dapat kang gumawa ng isang tseke: kalkulahin ang produkto ng orihinal na matrix sa pamamagitan ng huling isa sa isang pagkakasunud-sunod o iba pa. Kung ang resulta ay isang identity matrix, kung gayon ang inverse matrix ay matatagpuan nang tama. Kung hindi, kailangan mong maghanap ng error. Halimbawa. Hanapin ang kabaligtaran ng isang matrix Desisyon.
Sagot: Konklusyon. Ang paghahanap ng inverse matrix sa pamamagitan ng formula (1) ay nangangailangan ng masyadong maraming kalkulasyon. Para sa mga matrice ng ikaapat na order at mas mataas, ito ay hindi katanggap-tanggap. Ang tunay na algorithm para sa paghahanap ng inverse matrix ay ibibigay sa ibang pagkakataon. Ang Gauss method ay maaaring gamitin upang mahanap ang determinant at inverse matrix. Ibig sabihin, ang matrix determinant ay katumbas ng det . Ang inverse matrix ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng mga sistema ng linear equation gamit ang Gaussian elimination method: Nasaan ang j-th column ng identity matrix , ay ang kinakailangang vector. Ang resultang solusyon vectors - form, malinaw naman, ang mga haligi ng matrix, dahil . 1.
Kung ang matrix ay nonsingular, kung gayon at (ang produkto ng mga nangungunang elemento). Dahil para sa paghahanap ng inverse matrix mahalaga kung ang determinant ng matrix ay katumbas ng zero o hindi, ipinakilala namin ang mga sumusunod na kahulugan. Kahulugan 14.9 Tawagan natin ang square matrix mabulok o espesyal na matris, kung hindi nabubulok o nonsingular matrix, kung . Alok 14.21 Kung mayroong isang inverse matrix, kung gayon ito ay natatangi. Patunay. Hayaan ang dalawang matrice at maging kabaligtaran ng matrix . Pagkatapos Kaya naman, . Ang panuntunan ni Cramer. Hayaan ang matrix equation AX=B saan ; ay ang determinant na nakuha mula sa determinant D kapalit i-th column sa pamamagitan ng column ng mga libreng miyembro ng matrix B: Patunay Ang teorama ay nahahati sa tatlong bahagi: 1. Ang solusyon ng system (1) ay umiiral at natatangi. 2. Ang mga pagkakapantay-pantay (2) ay bunga ng matrix equation (1). 3. Equalities (2) entail matrix equation (1). Dahil , mayroon ding kakaibang inverse matrix . pagiging natatangi Ang inverse matrix ay nagpapatunay sa unang bahagi ng theorem. Lumipat tayo sa patunay isa-sa-isang sulat sa pagitan ng mga formula (1) at (2). Gamit ang formula (4), nakakakuha tayo ng expression para sa i-ika elemento. Para dito kailangan mong magparami i-ika row ng matrix bawat hanay B. Kung ganoon i-th row ng nauugnay na matrix ay binubuo ng mga algebraic na pagdaragdag , nakuha namin ang sumusunod na resulta: Kumpleto na ang derivation ng mga formula ng Cramer. Ipakita natin ngayon na ang mga expression Baguhin natin ang pagkakasunud-sunod ng pagbubuod sa kanang bahagi ng resultang expression: nasaan ang simbolong delta Kronecker. Dahil inalis ng simbolong delta ang pagsusuma sa isa sa mga indeks, nakukuha namin ang kinakailangang resulta: Mga kumplikadong numero: Ang ideya ay upang tukuyin ang mga bagong bagay sa tulong ng mga kilala. Ang mga tunay na numero ay matatagpuan sa isang tuwid na linya. Kapag pumasa sa eroplano, nakakakuha tayo ng mga kumplikadong numero. Kahulugan: Ang kumplikadong numero ay isang pares ng mga tunay na numero z = (a,b). Ang bilang na a = Re z ay tinatawag na tunay na bahagi, at b = Im z ang haka-haka na bahagi ng kumplikadong numero z . Mga operasyon sa mga kumplikadong numero: Ang mga kumplikadong numero na z1 z2 ay Z1 = z2 ⇔ Re z1 = Re z2 at Im z1 = Im z2. Dagdag: Z=z1+z2. ⇔Rez=Rez1+Rez2 at Imz1+ Imz2. Ang numero (0,0) ay ipinapahiwatig ng 0. Ito ang neutral na elemento. Napatunayan na ang pagdaragdag ng mga kumplikadong numero ay may mga katangiang katulad ng sa pagdaragdag ng mga tunay na numero. (1. Z1+ z2 = z2 + z1 – commutativity; 2. Z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 – associativity; 3. Z1 + 0 = z1 - pagkakaroon ng zero (neutral na elemento); 4. z + (−z) = 0 - ang pagkakaroon ng kabaligtaran na elemento). Pagpaparami: z= z1 z2⇔Re z=Re z1 Re z2-Im z1 Im z2 & Im z1=Im z1 Re z2+Im z2 Re z1. Ang isang kumplikadong numero z ay nasa totoong axis kung Imz = 0 . Ang mga resulta ng mga operasyon sa naturang mga numero ay nag-tutugma sa mga resulta ng mga operasyon sa mga ordinaryong tunay na numero. Ang multiplikasyon ng mga kumplikadong numero ay may mga katangian ng pagsasara, commutativity at pagkakaugnay. Ang numero (1,0) ay tinutukoy ng 1. Ito ay isang neutral na elemento sa pamamagitan ng multiplikasyon. Kung a∈ R, z ∈C , kung gayon Re(az) = aRe z, Im(az) = a Imz . Kahulugan Ang bilang (0,1) ay ipinapahiwatig ng i at tinatawag na imaginary unit. Sa notasyong ito, nakuha namin ang representasyon ng isang kumplikadong numero sa algebraic form: z = a + ib, a,b∈ R. i=-1.(a,b)=(a,0)+(0,b) ;(a,0)+b(0,1)=a+ib=z; (a1+ib)(a2+ib2)=a1a2+i(a1b2+1-a2b1)-b1b2; (a+ib)(1+0i)=a+ib; z(a,b), z(0+i0)=0; z!=0; a 2 + b 2 > 0 (a + ib) (a-ib / a 2 + b 2) = 1. Ang numero ay tinatawag conjugate hanggang z kung Re =Re z ; Im =-
ako z. = + ; = ; z =(a+ib)(a-ib)=a 2 +b 2 Ang modulus ng isang numerong z ay isang tunay na numero| z |= . Patas na formula| z| 2 = z Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na z ≠ 0⇔| z|≠ 0. z -1 = //z| 2 (1) Trigonometric na anyo ng isang kumplikadong numero: a=rcos(t); b=r sin(t). Z=a+ib=r(cos(t)+isin(t))(2) t-argumento ng isang kumplikadong numero. Z1=z2 =>|z1|=|z2| arg(z1)-arg(z2)=2pk. Z1=r1(cos(t1)+isin(t1), Z2=r2(cos(t2)+isin(t2)), Z3=z1 z2=T1T2(cos(t1+t2)+isin(t1+t2)( isa) Arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2) (2) Z!=0 z -1 = /|z| 2 =1/r(cos(-t)+i(sin(-t)) Z=r(cos(t)+istn(t)) R(cos(t)-isin(t)) Kahulugan: Ang ugat ng antas n mula sa pagkakaisa ay ang solusyon ng equation na z n =1 Proposal. Mayroong n natatanging nth ugat ng pagkakaisa. Ang mga ito ay isinulat bilang z = cos(2 π k / n) + isin(2 π k / n), k = 0,..., n −1 . Teorama. Sa hanay ng mga kumplikadong numero, ang equation ay laging may n solusyon.Z=r(cos(t)+isin(t)); z n =r n (cos(nt)+isin(nt))=1(cos(0)+isin(0))=>z n =1 .Z-integers. K ay nabibilang sa Z. k=2=E 2 =E n-1 E n ; E n =1; E n+p =E p . Kaya, napatunayan na ang mga solusyon ng equation ay ang mga vertices ng isang regular na n-gon, at ang isa sa mga vertices ay tumutugma sa 1. nth root ng z 0. Z k \u003d Z 0; Z0 =0=>Z=0; Z 0 !=0;Z=r(cos(t)-isin(t)); Z 0 \u003d r 0 (cos (t0) + isin (t0)); r0!=0; Z n \u003d r n (cos (nt) + isin (nt))
r n \u003d r 0, nt-t 0 \u003d 2pk; r=; t=(2пk+t0)/n; z= (cos((2pk+t0)/n)+isin((2pk+t0)/n)= (cos t0/n+isin t0/n)(cos(2pk/n)+isin(2pk/n) )=Z 1 E k ;z=z 1 E k ;Z 1 n =z 0, k=0, n=1 Mga matrice. Kahulugan: Ang m × n matrix ay isang hugis-parihaba na talahanayan na naglalaman ng m row at n column, na ang mga elemento ay totoo o kumplikadong mga numero. Ang mga elemento ng matrix ay may dobleng indeks. Kung m = n, kung gayon ito ay isang parisukat na matrix ng order m, at ang mga elemento na may parehong index ay bumubuo sa pangunahing dayagonal ng matrix. Matrix Operations: Kahulugan: Dalawang matrice A,B ang tinatawag pantay kung magkapareho ang kanilang mga sukat at A = B,1≤ i ≤ m,1≤ j ≤ n Dagdag. Ang mga matrice ng parehong laki ay isinasaalang-alang. Kahulugan:C = A + B ⇔ C = A + B, ∀i, j Alok. Ang pagdaragdag ng matrix ay commutative, associative, mayroong neutral na elemento at para sa bawat matrix ay mayroong kabaligtaran na elemento. Ang neutral na elemento ay ang zero matrix, ang lahat ng mga elemento ay katumbas ng 0. Ito ay tinutukoy ng Θ. Pagpaparami. Ang isang m × n matrix A ay tinutukoy ng Amn . Kahulugan: C mk =A mn B nk ó C= Tandaan na, sa pangkalahatan, ang multiplikasyon ay hindi commutative. Ang pagsasara ay may bisa para sa isang parisukat na matrix ng isang nakapirming laki. Hayaang ibigay ang tatlong matrice na Amn , Bnk , Ckr. Pagkatapos (AB)C = A(BC). Kung mayroong isang produkto ng 3 matrice, kung gayon ito ay nauugnay. Ang simbolo ng Kronecker na δij . Ito ay 1 kung tumugma ang mga indeks, at 0 kung hindi. Kahulugan. Ang identity matrix I n ay isang square matrix ng order n kung saan ang equalities n I n [ i | j] = δij Alok. Pagkakapantay-pantay I m A mn =A mn I n =A mn Ang pagdaragdag at pagpaparami ng mga matrice ay konektado ng mga batas ng distributivity. A(B+C)=AB+AC; (A+B)C=AC+BC;(A(B+C)= = = + Transposisyon ng matrix. Ang transposed matrix ay isang matrix na nakuha mula sa orihinal sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga hilera ng mga column. (A+B) T = A T + B T (AB) T \u003d B T A T; (AB) T \u003d (AB) \u003d \u003d (B T A T) Pagpaparami ng matrix sa isang numero. Ang produkto ng numero a at ang matrix A mn ay tinatawag na bagong matrix B=aA 1*A=A;a(A+B)=aA+aB;(a+b)A=aA+bA; A(BC)=(aB)C=B(aC); (ab)A=a(bA)=b(aA) linear na espasyo(L) sa ibabaw ng field F ay tinatawag na set ng mga vectors L=(α,β..) 1.α+β=β+α(commutativity) 2.α+(β+γ)= (α+β)+γ, (ab)α=a(bα)(associativity) 3.α+θ=α, α∙1=α(existence ng neutral) 4.α+(-α)=θ (existence of opposite) a(α+β)=aα+aβ, (a+b)α=aα+bα. Dokumentasyon (|(a+b)α|=|a+b||α|, |aα|=|a||α|,|bα|=|b||α|, a at b>0, |a +b|=a+b,|a|=a,|b|=b.) aα+(-a)α=θ, (a+0)α=aα Ang isang halimbawa ng linear space ay isang set ng fixed-size matrice na may mga operasyon ng karagdagan at multiplikasyon sa isang numero. Sistema mga linear na vector tinawag nakadepende sa linear, kung 1.a 1 ,a 2 ..a n ≠0 2. a 1 α 1 ,a 2 α 2 ..a n α n =θ Kung ang sistema ay hindi linearly dependent, ito ay linearly independent. Isaalang-alang ang 1. n=1 α 1 depende. a 1 ≠0, a 1 α 1 =θ, a 1 -1 (a 1 α 1)= a 1 -1∙ θ=θ, (a 1 -1 a 1)α 1 =1∙α 1 =α 1 ; 2. nakadepende ang n=2 α 1 ,α 2. a 1 ≠0, a 1 α 1 + a 2 α 2 =θ, α 1 = -a 1 -1 a 2 α 2 = b 2 α 2; 3.n≥2 α 1 ..α n depende. a 1 ≠0, α 1 =Σ k =2 n b k α k , 1α 1 - Σ k =2 n b k α k =θ, (1,b 2 ..b n)≠0 Alok: Ang isang sistema ng mga vector na naglalaman ng higit sa 1 vector ay linearly dependent, at ang ilang vector ng system ay isang linear na kumbinasyon ng iba. Kung ang isang sistema ng mga vector ay naglalaman ng isang linearly dependent subsystem, ang buong sistema ay linearly dependent. Dokumentasyon: (α 1 ..α n depende. System: α 1 ..α n ;α n +1 ..α m , a 1 α 1 +..+a n α n +0α n +1 +.. +0α m =θ, a 1 ..a n ,0..0≠0.) Kung ang system ay naglalaman ng null vector, ito ay linearly dependent. Linear space theorem: (Hayaan ang 2 sistema ng mga vector α 1 ..α m , β 1 ..β n ay ibigay. Ang sistema ng mga vectors α ay ipinahayag sa mga tuntunin ng β kung ang bawat vector α ay isang linear na kumbinasyon β α i = Σ k =1 n a ik β k , (α ) ( (β), (β) ( (γ)→ (α) ( (γ)) Teorama: Dahil sa 2 sistema ng mga vector, ang α ay independyente at, (α) ( (β)→m≤n Patunayan natin na α 1 ..α m +1 β 1 ..β m (α) ( (β)→(α ) depende (Patunayan natin sa pamamagitan ng induction. m=1: α 1 =a 11 β 1 , α 2 =a 21 β 1. a 11 =0→ α 1 =θ. a 11 α 2 – a 21 α 1 = a 11 a 21 β 1 - a 21 a 11 β 1 =θ. α 1 = a 11 β 1 +.. a 1 n -1 β n -1 .. α n = a n 1 β 1 + .. a nn -1 β n - 1 Kung ang lahat ng coefficients =0 a 11 =a 12 =..=a 1 n -1 =0→ α 1 =θ→ ang buong sistema ay linearly dependent a 1 n -1 ≠0 α 2 ′= α 2 – с 2 α 1 =b 21 β 1 +..+b 2 n -2 β n -2 , c 2 =a 2 n -1 / a 1 n -1 , α 3 ′= α 3 –с 3 α 1 . . α n ′= α n –с n α 1. Sa pamamagitan ng pre-induction, mayroong isang non-zero set ng mga numero d 2 ..d n: d 2 α 2 ′+d 3 α 3 ′+.. d n α n ′=θ , d 2 ( α 2 –с 2 α 1)+d 3 (α 3 –с 3 α 1)+.. d n (α n –с n α 1)=θ , (α) ( (β) , m>n →(α )depende kung (α) independent →m≤n) MLNP-max.line.independent.subsystem. Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga vectors α 1 ..α n ng ilang subsystem. Ang α i 1 ..α in ay tinatawag na MLIS kung 1. α 1 ..α n ay malaya2. α i 1 ..α ir , α ij depende. Ang bawat vector ng system ay isang linear na kumbinasyon ng mga MLLM vectors. ( α i 1 ..α ir , α ij dependent a i 1 α i 1 +.. a ir α ir +a ij α ij =θ a i 1 ..a ir , a ij ≠0 kung a ij =0 → a i 1 α i 1 +.. a ir α ir =θ a i 1 ..a ir =0 kontradiksyon a ij ≠0 α ij = a ij - 1 (-a i 1 α i 1 -.. a ir α ir) (α 1 ..α n) ( (α i 1 ..α ir) Bunga: Anumang 2 MLIS mula sa isang sistema ng mga vector ay naglalaman ng parehong bilang ng mga vector (α i 1 ..α ir) ( (α j 1 ..α jk), (α j 1 ..α jk) ( (α i 1 . .α ir ) k≤r, r≤k →r=k Ang bilang ng mga MLLM vector ay tinatawag ranggo orihinal na sistema. Sa kaso ng isang linear na espasyo (isang sistema ng mga vector ay binubuo ng lahat ng mga vector sa espasyo), ang MLLM mb ay maaaring may hangganan o walang katapusan. Isinasaalang-alang namin ang huling kaso. Ang bilang ng mga vectors (ranggo) ay ang dimensyon ng linear space. base ng MLNP. Ang espasyo ng mga nakadirekta na mga segment. Dalawang non-collinear vector ang bumubuo base sa espasyo ng mga vector sa eroplano. α 3 = α 1 ′+ α 2 ′=a 1 α 1 + a 2 α 2 . 3 vectors linearly dependent α 3 =a 1 α 1 + a 2 α 2 . Complanarity - 3 vectors ay parallel sa parehong eroplano α 4 = α 4 ′+ α 5′ , α 4 ′=a 1 α 1 + a 2 α 2 , α 5 ′= a 3 α 3 , α 4 = a 1 α 1 + a 2 α 2 + a 3 α 3 . Space ng mga string ng haba n. α= Alok: Ang espasyo ng mga string ng haba n ay may sukat n. ( ξ 1 =<1…0>ξ2 =<0,1…0>.. n =<0…1>,a 1 ξ 1 + a 2 ξ 2 +.. a n ξ n =θ=<0,..0> → a 1 =a 2 =..a n =0 (linear independence) β= β= b 1 ξ 1 + b 2 ξ 2 +.. b n ξ n →ang espasyo ng mga string ng haba n ay may sukat at n. Ranggo ng matrix. Dalawang sistema ng vectors α at β ay tinatawag na katumbas kung ang bawat vector α( β(ipinahayag) at β( α. Alok. Ang mga ranggo ng mga katumbas na sistema ay nag-tutugma. α i 1 , α i 2 ,…, α ir – MLLM α , β i 1 , β i 2 ,…, β ik – MLLM β , α i 1 , α i 2 ,…, α ir< β < β i 1 , β i 2 ,…, β ik → r<=k Pagpapalit ng α at β na lugar → r>=k >>> Kaya, r=k. Kahulugan. Hayaan ang matrix A= Ranggo ng matrix Ang A ay tinatawag na ranggo ng sistema ng mga vectors α1, α2,…, αm, na binubuo ng matrix na ito >>rank(A)-rank Mula sa kahulugan, malinaw na kapag ang mga hanay ay muling inayos, ang ranggo ay hindi nagbabago. Ipakita natin na kapag inayos muli ang mga column, hindi rin nagbabago ang ranggo. A'= Nakadepende sa linear: b 1 α 1 + b 2 α 2 +…+ b m α m =θ, b 1 a 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0, b 1 α' 1 + b 2 α' 2 +…+ b m α' m , b 1 a 11 +b 2 a 21 +…+b m a m 1=0 Ito ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento ng ilang row o column at ang kanilang mga algebraic complements, i.e. , kung saan ang i 0 ay naayos. Pagtatalaga ng serbisyo. Idinisenyo ang serbisyong ito upang mahanap ang determinant ng matrix online kasama ang pagpapatupad ng buong solusyon sa format na Word. Bilang karagdagan, ang isang template ng solusyon ay nilikha sa Excel. Pagtuturo. Piliin ang dimensyon ng matrix, i-click ang Susunod. Tukuyin natin ang menor para sa (2,1): para gawin ito, tatanggalin natin ang pangalawang hilera at ang unang hanay mula sa matrix. Hanapin natin ang determinant gamit ang pagpapalawak ayon sa mga hilera (sa unang hilera):
Pagbubuo ng problema
Mga pangunahing kahulugan at simpleng katangian
Determinant
pangalawang order na numero ang tinatawag 
.
square matrix ng order , ay tinatawag na numero 
. Pagkatapos 
.
.
at pagkakapantay-pantay 
sa .
.
.
:
:
baligtad na matris
(1) kung saan ang mga algebraic na pagdaragdag sa mga elemento .
.
(2)
(3)
.
- umiiral.
.Kinakalkula ang determinant at inverse matrix gamit ang Gauss method
Mga formula para sa determinant
Ang pagpaparami ng parehong bahagi ng matrix equation (1) sa kaliwa ng , makuha natin ang solusyon ng equation na ito:
Ang expression (*) ay tinatawag na decomposition ng determinant D sa mga tuntunin ng mga elemento ng row na may bilang na i 0 .Algorithm para sa paghahanap ng determinant
Upang kalkulahin ang determinant na naglalaman ng mga function sa matrix, ginagamit ang mga karaniwang pamamaraan. Halimbawa, kalkulahin ang determinant ng isang 3rd order matrix: 
Gamitin natin ang pagpapalawak ng unang linya.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x) Mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga determinant
Paghahanap ng determinant sa pamamagitan ng algebraic na mga karagdagan ay isang karaniwang pamamaraan. Ang pinasimpleng bersyon nito ay ang pagkalkula ng determinant sa pamamagitan ng panuntunan ng Sarrus. Gayunpaman, na may malaking sukat ng matrix, ang mga sumusunod na pamamaraan ay ginagamit:
Sa Excel, para kalkulahin ang determinant, ginagamit ang function = MOPRED (saklaw ng mga cell). Inilapat na paggamit ng mga determinant
Ang mga determinant ay karaniwang kinakalkula para sa tiyak na sistema, na ibinigay bilang isang parisukat na matrix. Isaalang-alang ang ilang uri ng mga gawain sa paghahanap ng matrix determinant.
Minsan kinakailangan na maghanap ng hindi kilalang parameter a kung saan ang determinant ay magiging katumbas ng zero. Upang gawin ito, kinakailangan na gumuhit ng isang equation para sa determinant (halimbawa, ayon sa tuntuning tatsulok) at, itinutumbas ito sa 0 , kalkulahin ang parameter a .
agnas ayon sa mga hanay (sa pamamagitan ng unang hanay):
Minor para sa (1,1): Tanggalin ang unang row at ang unang column mula sa matrix.
Hanapin natin ang determinant para sa menor de edad na ito. ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6.
Hanapin natin ang determinant para sa menor de edad na ito. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Ang pangunahing determinant ay: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14
Minor para sa (1,1): Tanggalin ang unang row at ang unang column mula sa matrix.
Hanapin natin ang determinant para sa menor de edad na ito. ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6. Minor para sa (1,2): Tanggalin ang 1st row at 2nd column mula sa matrix. Kalkulahin natin ang determinant para sa menor de edad na ito. ∆ 1,2 \u003d (3 (-2) -1 1) \u003d -7. At upang mahanap ang menor de edad para sa (1,3) tinanggal namin ang unang hilera at ang ikatlong hanay mula sa matrix. Hanapin natin ang determinant para sa menor de edad na ito. ∆ 1.3 = (3 2-1 2) = 4
Nahanap namin ang pangunahing determinant: ∆ \u003d (1 (-6) -0 (-7) + (-2 4)) \u003d -14
