Scheme ng integration ng rational fractions. Pagsasama-sama ng mga rational function at ang paraan ng hindi tiyak na coefficients
Dito kami maghaharap mga detalyadong solusyon tatlong halimbawa ng integrasyon ng mga sumusunod rational fractions:
,
,
.
Halimbawa 1
Kalkulahin ang integral:
.
Solusyon
Dito, sa ilalim ng integral sign mayroong isang rational function, dahil ang integrand ay isang fraction ng polynomials. Ang antas ng denominator polynomial ( 3 ) ay mas mababa sa antas ng numerator polynomial ( 4 ). Samakatuwid, kailangan mo munang piliin ang buong bahagi ng fraction.
1.
Kunin natin ang integer na bahagi ng fraction. Hatiin ang x 4
sa x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:
Mula rito
.
2.
I-factorize natin ang denominator. Upang gawin ito, kailangan mong lutasin ang cubic equation:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Palitan ang x = 1
:
.
1
. Hatiin sa x - 1
:
Mula rito
.
Kami ang magdedesisyon quadratic equation.
.
Mga ugat ng equation: , .
Pagkatapos
.
3.
I-decompose natin ang fraction sa mga simple.
.
Kaya natagpuan namin:
.
Pagsamahin natin.
Sagot
Halimbawa 2
Kalkulahin ang integral:
.
Solusyon
Dito sa numerator ng fraction ay isang polynomial ng degree zero ( 1 = x0). Ang denominator ay isang third degree polynomial. Sa abot ng 0 < 3 , kung gayon ang fraction ay tama. Hatiin natin ito sa mga simpleng fraction.
1.
I-factorize natin ang denominator. Upang gawin ito, kailangan mong lutasin ang equation ng ikatlong antas:
.
Ipagpalagay na mayroon itong hindi bababa sa isang integer na ugat. Pagkatapos ito ay ang divisor ng numero 3
(isang miyembro na walang x ). Iyon ay, ang buong ugat ay maaaring isa sa mga numero:
1, 3, -1, -3
.
Palitan ang x = 1
:
.
Kaya nakahanap kami ng isang ugat x = 1
. Hatiin ang x 3 + 2 x - 3 sa x- 1
:
Kaya,
.
Lutasin namin ang quadratic equation:
x 2 + x + 3 = 0.
Hanapin ang discriminant: D = 1 2 - 4 3 = -11. Dahil si D< 0
, kung gayon ang equation ay walang tunay na ugat. Kaya, nakuha namin ang agnas ng denominator sa mga kadahilanan:
.
2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1)
.
Palitan ang x = 1
. tapos x- 1 = 0
,
.
Palitan sa (2.1)
x= 0
:
1 = 3 A - C;
.
Equate in (2.1)
coefficients sa x 2
:
;
0=A+B;
.
.
3.
Pagsamahin natin.
(2.2)
.
Upang kalkulahin ang pangalawang integral, pipiliin namin ang derivative ng denominator sa numerator at bawasan ang denominator sa kabuuan ng mga parisukat.
;
;
.
Kalkulahin ang I 2
.
.
Dahil ang equation x 2 + x + 3 = 0 ay walang tunay na ugat, pagkatapos x 2 + x + 3 > 0. Samakatuwid, maaaring tanggalin ang sign ng module.
Nagdedeliver kami sa (2.2)
:
.
Sagot
Halimbawa 3
Kalkulahin ang integral:
.
Solusyon
Dito, sa ilalim ng tanda ng integral ay isang fraction ng polynomials. Samakatuwid, ang integrand ay isang rational function. Ang antas ng polynomial sa numerator ay 3 . Ang antas ng polynomial ng denominator ng isang fraction ay 4 . Sa abot ng 3 < 4 , kung gayon ang fraction ay tama. Samakatuwid, maaari itong mabulok sa mga simpleng fraction. Ngunit para dito kailangan mong i-decompose ang denominator sa mga salik.
1.
I-factorize natin ang denominator. Upang gawin ito, kailangan mong lutasin ang equation ng ika-apat na antas:
.
Ipagpalagay na mayroon itong hindi bababa sa isang integer na ugat. Pagkatapos ito ay ang divisor ng numero 2
(isang miyembro na walang x ). Iyon ay, ang buong ugat ay maaaring isa sa mga numero:
1, 2, -1, -2
.
Palitan ang x = -1
:
.
Kaya nakahanap kami ng isang ugat x = -1
. Hatiin sa x - (-1) = x + 1:
Kaya,
.
Ngayon kailangan nating lutasin ang equation ng ikatlong antas:
.
Kung ipagpalagay natin na ang equation na ito ay may integer root, ito ay isang divisor ng numero 2
(isang miyembro na walang x ). Iyon ay, ang buong ugat ay maaaring isa sa mga numero:
1, 2, -1, -2
.
Palitan ang x = -1
:
.
Kaya, nakahanap kami ng isa pang ugat x = -1
. Posible, tulad ng sa nakaraang kaso, na hatiin ang polynomial sa pamamagitan ng , ngunit papangkatin natin ang mga termino:
.
Dahil ang equation x 2 + 2 = 0
ay walang tunay na mga ugat, pagkatapos ay makuha natin ang factorization ng denominator:
.
2.
I-decompose natin ang fraction sa mga simple. Naghahanap kami ng isang agnas sa anyo:
.
Inaalis namin ang denominator ng fraction, i-multiply sa (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1)
.
Palitan ang x = -1
. Pagkatapos x + 1 = 0
,
.
Magkaiba (3.1)
:
;
.
Palitan ang x = -1
at isaalang-alang na ang x + 1 = 0
:
;
;
.
Palitan sa (3.1)
x= 0
:
0 = 2A + 2B + D;
.
Equate in (3.1)
coefficients sa x 3
:
;
1=B+C;
.
Kaya, nakita namin ang agnas sa mga simpleng fraction:
.
3.
Pagsamahin natin.
.
Pagsasama ng isang fractional-rational function.
Paraan ng hindi natukoy na mga koepisyent
Patuloy kaming nagsusumikap sa pagsasama ng mga fraction. Napag-isipan na natin ang mga integral ng ilang uri ng mga fraction sa aralin, at ang araling ito sa isang kahulugan ay maaaring ituring na isang pagpapatuloy. Upang matagumpay na maunawaan ang materyal, kinakailangan ang mga pangunahing kasanayan sa pagsasama, kaya kung nagsimula ka pa lamang sa pag-aaral ng mga integral, iyon ay, ikaw ay isang teapot, pagkatapos ay kailangan mong magsimula sa artikulo Indefinite integral. Mga halimbawa ng solusyon.
Kakatwa, ngayon ay hindi na tayo makikibahagi sa paghahanap ng mga integral tulad ng sa ... mga sistema ng paglutas linear na equation. Kaugnay nito malakas Inirerekomenda ko ang pagbisita sa aralin Lalo na, kailangan mong maging bihasa sa mga pamamaraan ng pagpapalit (ang pamamaraan ng "paaralan" at ang paraan ng termino-by-term na pagdaragdag (pagbabawas) ng mga equation ng system).
Ano ang isang fractional rational function? Sa simpleng salita, ang fractional-rational function ay isang fraction sa numerator at denominator na mga polynomial o produkto ng polynomials. Kasabay nito, ang mga fraction ay mas sopistikado kaysa sa mga tinalakay sa artikulo. Pagsasama-sama ng ilang fraction.
Pagsasama-sama ng tamang fractional-rational function
Kaagad isang halimbawa at isang tipikal na algorithm para sa paglutas ng integral ng isang fractional rational function.
Halimbawa 1
Hakbang 1. Ang unang bagay na LAGI nating ginagawa kapag nilulutas ang isang integral ng isang rational-fractional function ay itanong ang sumusunod na tanong: tama ba ang fraction? Ang hakbang na ito ay ginagawa nang pasalita, at ngayon ay ipapaliwanag ko kung paano:
Tingnan muna ang numerator at alamin senior degree polinomyal: 
Ang pinakamataas na kapangyarihan ng numerator ay dalawa.
Ngayon tingnan ang denominator at alamin senior degree denominador. Ang malinaw na paraan ay upang buksan ang mga bracket at magdala ng mga katulad na termino, ngunit maaari mong gawin ito nang mas madali, sa bawat isa hanapin ng panaklong ang pinakamataas na antas 
at mentally multiply: - kaya, ang pinakamataas na antas ng denominator ay katumbas ng tatlo. Medyo halata na kung talagang bubuksan natin ang mga bracket, hindi tayo makakakuha ng degree na higit sa tatlo.
Output: Pinakamataas na kapangyarihan ng numerator MAHIGPIT mas mababa sa pinakamataas na kapangyarihan ng denominator, kung gayon ang fraction ay tama.
Kung sa halimbawang ito ang numerator ay naglalaman ng polynomial 3, 4, 5, atbp. degree, kung gayon ang fraction ay magiging mali.
Ngayon ay isasaalang-alang lamang natin ang wastong fractional-rational functions. Ang kaso kapag ang antas ng numerator ay mas malaki kaysa o katumbas ng antas ng denominator, susuriin natin sa pagtatapos ng aralin.
Hakbang 2 I-factorize natin ang denominator. Tingnan natin ang aming denominator: 
Sa pangkalahatan, narito na ang isang produkto ng mga kadahilanan, ngunit, gayunpaman, tinatanong natin ang ating sarili: posible bang palawakin ang iba pa? Ang layunin ng pagpapahirap, siyempre, ay ang square trinomial. Lutasin namin ang quadratic equation: 
Ang discriminant ay mas malaki sa zero, na nangangahulugan na ang trinomial ay talagang factorized:
Pangkalahatang tuntunin: LAHAT ng nasa denominator ay PWEDENG i-factorize - factorize
Magsimula tayo sa paggawa ng desisyon:
Hakbang 3 Gamit ang paraan ng hindi tiyak na mga koepisyent, pinalawak namin ang integrand sa kabuuan ng mga simpleng (elementarya) na fraction. Ngayon ito ay magiging mas malinaw.
Tingnan natin ang aming integrand function: 
At, alam mo, isang intuitive na pag-iisip sa paanuman ay dumaan na mas maganda kung gawing ilang maliliit ang ating malaking bahagi. Halimbawa, tulad nito: 
Ang tanong ay lumitaw, posible bang gawin ito? Huminga tayo ng kaluwagan, ang kaukulang theorem ng mathematical analysis ay nagsasaad - POSIBLE. Ang ganitong agnas ay umiiral at natatangi.
Isa lang ang catch, ang coefficients namin hanggang hindi namin alam, kaya ang pangalan - ang paraan ng hindi tiyak na coefficients.
Akala mo, ang mga kasunod na mga kilos kaya, huwag tumawa! ay maglalayong MATUTO lamang sa kanila - upang malaman kung ano ang mga ito ay katumbas.
Mag-ingat, nagpapaliwanag ako nang detalyado minsan!
Kaya, magsimula tayong sumayaw mula sa: 
Sa kaliwang bahagi dinadala namin ang expression sa isang karaniwang denominator:
Ngayon ay ligtas nating inalis ang mga denominador (dahil pareho sila):
Sa kaliwang bahagi, binubuksan namin ang mga bracket, habang hindi pa namin hinawakan ang hindi kilalang mga koepisyent:
Kasabay nito, inuulit namin ang tuntunin ng paaralan ng pagpaparami ng mga polynomial. Noong guro ako, natutunan kong sabihin ang panuntunang ito nang may tuwid na mukha: Upang i-multiply ang isang polynomial sa isang polynomial, kailangan mong i-multiply ang bawat termino ng isang polynomial sa bawat termino ng isa pang polynomial.
Mula sa punto ng view ng isang malinaw na paliwanag, mas mahusay na ilagay ang mga coefficient sa mga bracket (bagaman hindi ko personal na ginagawa ito upang makatipid ng oras):
Bumubuo kami ng isang sistema ng mga linear na equation.
Una, hinahanap namin ang mga senior degree:
At isinulat namin ang kaukulang mga coefficient sa unang equation ng system:
Tandaan ang sumusunod na nuance. Ano ang mangyayari kung ang kanang bahagi ay wala sa lahat? Sabihin, magpapakitang gilas ba ito nang walang parisukat? Sa kasong ito, sa equation ng system, kakailanganing ilagay ang zero sa kanan: . Bakit zero? At dahil sa kanang bahagi maaari mong palaging ipatungkol ang mismong parisukat na ito na may zero: Kung walang mga variable o (at) isang libreng termino sa kanang bahagi, pagkatapos ay maglalagay kami ng mga zero sa kanang bahagi ng kaukulang mga equation ng system.
Isinulat namin ang kaukulang coefficient sa pangalawang equation ng system: 
At, sa wakas, mineral water, pumipili kami ng mga libreng miyembro.
Eh, ... nagbibiro ako. Isantabi ang mga biro - ang matematika ay isang seryosong agham. Sa grupo namin sa institute, walang natawa nang sabihin ng assistant professor na ikakalat niya ang mga miyembro sa isang number line at pipiliin ang pinakamalaki sa kanila. Magseryoso tayo. Bagama't ... ang sinumang nabubuhay upang makita ang pagtatapos ng araling ito ay tahimik pa ring ngumiti.
Handa na ang system:
Nalutas namin ang sistema: 
(1) Mula sa unang equation, ipinapahayag at pinapalitan natin ito sa 2nd at 3rd equation ng system. Sa katunayan, posible na ipahayag (o isa pang titik) mula sa isa pang equation, ngunit sa kasong ito ay kapaki-pakinabang na ipahayag ito mula sa 1st equation, dahil doon ang pinakamaliit na posibilidad.
(2) Nagpapakita kami ng magkatulad na mga termino sa 2nd at 3rd equation.
(3) Idinaragdag namin ang 2nd at 3rd equation term sa pamamagitan ng term, habang kinukuha ang pagkakapantay-pantay , kung saan sinusundan iyon
(4) Pinapalitan natin ang pangalawa (o pangatlong) equation, kung saan natin makikita iyon
(5) Pinapalitan namin at sa unang equation, pagkuha ng .
Kung mayroon kang anumang mga paghihirap sa mga paraan ng paglutas ng system, gawin ang mga ito sa klase. Paano malutas ang isang sistema ng mga linear equation?
Pagkatapos malutas ang system, palaging kapaki-pakinabang na gumawa ng tseke - palitan ang mga nahanap na halaga sa bawat equation ng system, bilang isang resulta, ang lahat ay dapat "magtagpo".
Malapit na dumating. Ang mga coefficient ay matatagpuan, habang: 
Ang isang malinis na trabaho ay dapat magmukhang ganito:
Tulad ng nakikita mo, ang pangunahing kahirapan ng gawain ay ang pagbuo (tama!) at paglutas (tama!) ng isang sistema ng mga linear na equation. At sa huling yugto, ang lahat ay hindi napakahirap: ginagamit namin ang mga katangian ng linearity ng hindi tiyak na integral at pagsamahin. Iginuhit ko ang iyong pansin sa katotohanan na sa ilalim ng bawat isa sa tatlong integral mayroon tayong "libre" kumplikadong pag-andar, napag-usapan ko ang tungkol sa mga tampok ng pagsasama nito sa aralin Paraan ng pagbabago ng variable sa hindi tiyak na integral.
Suriin: Ibahin ang pagkakaiba ng sagot:
Ang orihinal na integrand ay nakuha, na nangangahulugan na ang integral ay natagpuan ng tama.
Sa panahon ng pag-verify, kinakailangang dalhin ang expression sa isang karaniwang denominator, at hindi ito sinasadya. Ang paraan ng mga hindi tiyak na coefficient at pagdadala ng expression sa isang common denominator ay magkabaligtaran na mga aksyon.
Halimbawa 2
Hanapin ang hindi tiyak na integral. 
Bumalik tayo sa fraction mula sa unang halimbawa: 
. Madaling makita na sa denominator ang lahat ng mga kadahilanan ay IBA. Ang tanong ay lumitaw, kung ano ang gagawin kung, halimbawa, ang isang bahagi ay ibinigay: 
? Dito mayroon tayong mga degree sa denominator, o, sa mga termino sa matematika, maraming salik. Bilang karagdagan, mayroong isang hindi nabubulok na square trinomial (madaling i-verify na ang discriminant ng equation 
ay negatibo, kaya ang trinomial ay hindi maisasaalang-alang sa anumang paraan). Anong gagawin? Ang pagpapalawak sa kabuuan ng mga elementarya na praksyon ay magiging ganito 
na may hindi kilalang coefficient sa itaas o sa ibang paraan?
Halimbawa 3
Magsumite ng function 
Hakbang 1. Sinusuri kung mayroon tayong tamang fraction
Pinakamataas na kapangyarihan ng numerator: 2
Pinakamataas na denominator: 8
, kaya tama ang fraction.
Hakbang 2 May maisasalik ba sa denominator? Halatang hindi, nakalatag na ang lahat. Ang square trinomial ay hindi lumalawak sa isang produkto para sa mga dahilan sa itaas. Mabuti. Mas konting trabaho.
Hakbang 3 Imagine fractional rational function bilang kabuuan ng mga elementary fraction.
Sa kasong ito, ang agnas ay may sumusunod na anyo:
Tingnan natin ang aming denominator:
Kapag nabubulok ang isang fractional-rational function sa kabuuan ng elementary fractions, tatlong pangunahing punto ang maaaring makilala:
1) Kung ang denominator ay naglalaman ng isang "malungkot" na kadahilanan sa unang antas (sa aming kaso ), pagkatapos ay naglalagay kami ng isang hindi tiyak na koepisyent sa itaas (sa aming kaso ). Ang mga halimbawa Blg. 1,2 ay binubuo lamang ng mga ganitong "malungkot" na salik.
2) Kung ang denominator ay naglalaman ng maramihan multiplier, pagkatapos ay kailangan mong mabulok tulad ng sumusunod: 
- iyon ay, sunud-sunod na pag-uri-uriin ang lahat ng mga degree ng "X" mula sa una hanggang sa ika-na degree. Sa aming halimbawa, mayroong dalawang maramihang mga kadahilanan: at , tingnan muli ang agnas na ibinigay ko at tiyaking eksaktong nabubulok ang mga ito ayon sa panuntunang ito.
3) Kung ang denominator ay naglalaman ng isang indecomposable polynomial ng pangalawang degree (sa aming kaso ), pagkatapos ay kapag lumalawak sa numerator, kailangan mong magsulat ng isang linear function na may hindi tiyak na mga coefficient (sa aming kaso, na may hindi tiyak na mga coefficient at ).
Sa katunayan, mayroon ding ika-4 na kaso, ngunit tatahimik ako tungkol dito, dahil sa pagsasagawa ito ay napakabihirang.
Halimbawa 4
Magsumite ng function 
bilang kabuuan ng mga elementarya na fraction na may hindi kilalang coefficient.
Ito ay isang halimbawa para sa malayang solusyon. Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.
Mahigpit na sundin ang algorithm!
Kung naisip mo na ang mga prinsipyo kung saan kailangan mong i-decompose ang isang fractional-rational function sa kabuuan, maaari mong basagin ang halos anumang integral ng uri na isinasaalang-alang.
Halimbawa 5
Hanapin ang hindi tiyak na integral. 
Hakbang 1. Malinaw, ang fraction ay tama:
Hakbang 2 May maisasalik ba sa denominator? Pwede. Narito ang kabuuan ng mga cube 
. Pagfactor ng denominator gamit ang pinaikling multiplication formula
Hakbang 3 Gamit ang paraan ng mga hindi tiyak na koepisyent, pinalawak namin ang integrand sa kabuuan ng mga elementarya na fraction:
Tandaan na ang polynomial ay hindi nabubulok (suriin na ang discriminant ay negatibo), kaya sa itaas ay naglalagay kami ng linear function na may hindi kilalang coefficient, at hindi isang solong titik.
Dinadala namin ang fraction sa isang karaniwang denominator:
Gawin at lutasin natin ang system:
(1) Mula sa unang equation, ipinapahayag at pinapalitan natin ang pangalawang equation ng system (ito ang pinaka-makatuwirang paraan).
(2) Nagpapakita kami ng mga katulad na termino sa pangalawang equation.
(3) Idinaragdag namin ang pangalawa at pangatlong equation ng term ng system sa pamamagitan ng termino.
Ang lahat ng karagdagang mga kalkulasyon, sa prinsipyo, ay pasalita, dahil ang sistema ay simple. 
(1) Isinulat namin ang kabuuan ng mga fraction alinsunod sa mga nakitang coefficient .
(2) Ginagamit namin ang mga katangian ng linearity ng hindi tiyak na integral. Ano ang nangyari sa pangalawang integral? Mahahanap mo ang paraang ito sa huling talata ng aralin. Pagsasama-sama ng ilang fraction.
(3) Muli naming ginagamit ang mga katangian ng linearity. Sa ikatlong integral, nagsisimula kaming maghiwalay buong parisukat(panghuling talata ng aralin Pagsasama-sama ng ilang fraction).
(4) Kinukuha namin ang pangalawang integral, sa pangatlo pipiliin namin ang buong parisukat.
(5) Kinukuha namin ang ikatlong integral. handa na.
Ang rational function ay isang fraction ng form , na ang numerator at denominator ay polynomial o produkto ng polynomials.
Halimbawa 1 Hakbang 2
.
Pinaparami namin ang mga hindi tiyak na coefficient sa mga polynomial na wala sa indibidwal na fraction na ito, ngunit nasa ibang mga fraction na nakuha:
Binubuksan namin ang mga bracket at itinutumbas ang numerator ng orihinal na pinagsama at natanggap sa nakuha na expression:
Sa parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay, naghahanap kami ng mga termino pantay na grado x at bumuo ng isang sistema ng mga equation mula sa kanila:
.
Kinansela namin ang lahat ng x at kumuha ng katumbas na sistema ng mga equation:
.
Kaya, ang huling pagpapalawak ng integrand sa kabuuan mga simpleng fraction:
.
Halimbawa 2 Hakbang 2 Sa hakbang 1, nakuha namin ang sumusunod na pagpapalawak ng orihinal na fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction na may hindi tiyak na coefficient sa mga numerator:
.
Ngayon nagsisimula kaming maghanap ng mga hindi tiyak na coefficient. Upang gawin ito, itinutumbas namin ang numerator ng orihinal na fraction sa expression ng function sa numerator ng expression na nakuha pagkatapos bawasan ang kabuuan ng mga fraction sa isang karaniwang denominator:
Ngayon ay kailangan mong lumikha at lutasin ang isang sistema ng mga equation. Upang gawin ito, itinutumbas namin ang mga coefficient ng variable sa naaangkop na degree sa numerator ng orihinal na expression ng function at mga katulad na coefficient sa expression na nakuha sa nakaraang hakbang:
Nalutas namin ang nagresultang sistema:
Kaya, mula dito
.
Halimbawa 3 Hakbang 2 Sa hakbang 1, nakuha namin ang sumusunod na pagpapalawak ng orihinal na fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction na may hindi tiyak na coefficient sa mga numerator:
Nagsisimula kaming maghanap ng mga hindi tiyak na coefficient. Upang gawin ito, itinutumbas namin ang numerator ng orihinal na fraction sa expression ng function sa numerator ng expression na nakuha pagkatapos bawasan ang kabuuan ng mga fraction sa isang karaniwang denominator:
Tulad ng sa mga nakaraang halimbawa, bumubuo kami ng isang sistema ng mga equation:
Binabawasan namin ang mga x at kumuha ng katumbas na sistema ng mga equation:
Ang paglutas ng system, nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng hindi tiyak na mga coefficient:
Nakukuha namin ang panghuling pagpapalawak ng integrand sa kabuuan ng mga simpleng fraction:
.
Halimbawa 4 Hakbang 2 Sa hakbang 1, nakuha namin ang sumusunod na pagpapalawak ng orihinal na fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction na may hindi tiyak na coefficient sa mga numerator:
.
Paano i-equate ang numerator ng orihinal na fraction sa expression sa numerator na nakuha pagkatapos mabulok ang fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction at bawasan ang kabuuan na ito sa isang common denominator, alam na natin mula sa mga nakaraang halimbawa. Samakatuwid, para lamang sa kontrol, ipinakita namin ang nagresultang sistema ng mga equation:
Ang paglutas ng system, nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng hindi tiyak na mga coefficient:
Nakukuha namin ang panghuling pagpapalawak ng integrand sa kabuuan ng mga simpleng fraction:
Halimbawa 5 Hakbang 2 Sa hakbang 1, nakuha namin ang sumusunod na pagpapalawak ng orihinal na fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction na may hindi tiyak na coefficient sa mga numerator:
.
Independiyente naming dinadala ang kabuuan na ito sa isang karaniwang denominator, itinutumbas ang numerator ng expression na ito sa numerator ng orihinal na fraction. Ang resulta ay dapat ang sumusunod na sistema ng mga equation:
Ang paglutas ng system, nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng hindi tiyak na mga coefficient:
.
Nakukuha namin ang panghuling pagpapalawak ng integrand sa kabuuan ng mga simpleng fraction:
.
Halimbawa 6 Hakbang 2 Sa hakbang 1, nakuha namin ang sumusunod na pagpapalawak ng orihinal na fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction na may hindi tiyak na coefficient sa mga numerator:
Ginagawa namin ang parehong mga aksyon sa halagang ito tulad ng sa mga nakaraang halimbawa. Ang resulta ay dapat ang sumusunod na sistema ng mga equation:
Ang paglutas ng system, nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng hindi tiyak na mga coefficient:
.
Nakukuha namin ang panghuling pagpapalawak ng integrand sa kabuuan ng mga simpleng fraction:
.
Halimbawa 7 Hakbang 2 Sa hakbang 1, nakuha namin ang sumusunod na pagpapalawak ng orihinal na fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction na may hindi tiyak na coefficient sa mga numerator:
.
Pagkatapos mga kilalang aksyon sa resultang kabuuan, ang sumusunod na sistema ng mga equation ay dapat makuha:
Ang paglutas ng system, nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng hindi tiyak na mga coefficient:
Nakukuha namin ang panghuling pagpapalawak ng integrand sa kabuuan ng mga simpleng fraction:
.
Halimbawa 8 Hakbang 2 Sa hakbang 1, nakuha namin ang sumusunod na pagpapalawak ng orihinal na fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction na may hindi tiyak na coefficient sa mga numerator:
.
Gumawa tayo ng ilang mga pagbabago sa mga aksyon na dinala na sa automaticity upang makakuha ng isang sistema ng mga equation. Mayroong isang artipisyal na lansihin, na sa ilang mga kaso ay nakakatulong upang maiwasan ang mga hindi kinakailangang kalkulasyon. Ang pagdadala ng kabuuan ng mga fraction sa isang karaniwang denominator, nakukuha natin at itinutumbas ang numerator ng expression na ito sa numerator ng orihinal na fraction, nakuha natin.
