Pagsasama ng isang fractional-rational function. Paraan ng hindi natukoy na mga koepisyent

Pagbati sa lahat, mahal na mga kaibigan!

Well, congratulations! Ligtas naming naabot ang pangunahing materyal sa pagsasama ng mga rational fraction - paraan ng hindi tiyak na coefficients. Dakila at makapangyarihan.) Ano ang kanyang kamahalan at kapangyarihan? At ito ay namamalagi sa kanyang versatility. Makatuwirang malaman, tama ba? Binabalaan kita na magkakaroon ng ilang mga aralin sa paksang ito. Para sa paksa ay napakahaba, at ang materyal ay napakahalaga.)

Dapat kong sabihin kaagad na sa aralin ngayon (at mga kasunod din) ay haharapin natin ang hindi gaanong pagsasama bilang ... solusyon sa mga sistema linear na equation! Oo Oo! Kaya yung may problema sa systems, repeat matrice, determinants at Cramer's method. At para sa mga kasamang may problema sa mga matrice, hinihimok ko, sa pinakamasama, na i-refresh ang kanilang memorya ng hindi bababa sa "paaralan" na mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema - ang paraan ng pagpapalit at ang term-by-term na paraan ng karagdagan / pagbabawas.

Upang simulan ang aming pagkakakilala, i-rewind namin ang pelikula nang kaunti pabalik. Bumalik tayo sa mga nakaraang aralin at suriin ang lahat ng mga praksyon na isinama natin noon. Direkta, nang walang anumang paraan ng mga hindi tiyak na coefficient! Narito sila, ang mga fraction na ito. Hinati ko sila sa tatlong grupo.

Pangkat 1

Sa denominator - linear function alinman sa sarili o hanggang sa. Sa isang salita, ang denominator ay ang produkto magkapareho mga bracket ng form (Ha).

Halimbawa:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10)(x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5)(2x+5)(2x+5)

atbp. Siyanga pala, huwag mong hayaang lokohin ka ng panaklong. (4x+5) o (2x+5) 3 na may coefficient k sa loob. Ito ay pareho, sa esensya, mga bracket ng form (Ha). Para ito ang pinaka k mula sa gayong mga bracket ay maaaring palaging alisin.

Ganito:

Iyon lang.) At hindi mahalaga kung ano ang eksaktong nasa numerator - lamang dx o ilang uri ng polynomial. Palagi naming pinalawak ang numerator sa mga kapangyarihan ng mga bracket (x-a), naging isang malaking bahagi sa kabuuan ng maliliit, nagdala (kung kinakailangan) ng isang bracket sa ilalim ng kaugalian at pinagsama.

Pangkat 2

Ano ang pagkakatulad ng mga fraction na ito?

At ang karaniwang bagay ay na sa lahat ng mga denominador ay square trinomialpalakol 2 + bx+ c. Ngunit hindi lamang, ibig sabihin sa isang kopya. At hindi mahalaga dito kung ang discriminant ay positibo o negatibo.

Ang ganitong mga fraction ay palaging isinama sa isa sa dalawang paraan - alinman sa pamamagitan ng pagpapalawak ng numerator sa mga kapangyarihan ng denominator, o sa pamamagitan ng pagkuha ng isang buong parisukat sa denominator at pagkatapos ay baguhin ang variable. Ang lahat ay nakasalalay sa partikular na integrand.

Pangkat 3

Ito ang pinakamasamang fraction para sa pagsasama. Ang denominator ay isang hindi nabubulok na square trinomial, at maging sa antas n. Ngunit, muli, sa isang kopya. Para sa, bukod sa trinomial, walang iba pang mga kadahilanan sa denominator. Ang mga nasabing fraction ay isinama sa . Alinman sa direkta, o binawasan dito pagkatapos piliin ang buong parisukat sa denominator at pagkatapos ay baguhin ang variable.

Gayunpaman, sa kasamaang-palad, ang lahat ng mayamang pagkakaiba-iba ng mga rational fraction ay hindi limitado lamang sa tatlong itinuturing na grupong ito.

Ngunit paano kung ang denominator ay iba-iba panaklong? Halimbawa, tulad ng:

(x-1)(x+1)(x+2)

O sabay bracket (Ha) at isang parisukat na trinomial, parang (x-10)(x 2 -2x+17)? At sa iba pa katulad na mga kaso? Dito, ito ay sa ganitong mga kaso na ito ay dumating sa pagsagip. paraan ng hindi tiyak na coefficients!

Dapat kong sabihin kaagad: sa ngayon, makikipagtulungan lang kami tama mga fraction. Yaong kung saan ang antas ng numerator ay mahigpit na mas mababa kaysa sa antas ng denominator. Paano haharapin ang hindi wastong fractions, inilarawan nang detalyado sa mga fraction. Kinakailangang piliin ang buong bahagi (polynomial). Sa pamamagitan ng paghahati sa sulok ng numerator sa denominator o sa pamamagitan ng pagpapalawak ng numerator - ayon sa gusto mo. At kahit na ang halimbawa ay disassembled. At kahit papaano ay isinasama mo ang polynomial. Hindi maliit na pumunta.) Ngunit sa mga hindi wastong fraction Gumawa din tayo ng ilang halimbawa!

Ngayon kilalanin natin ang isa't isa. Hindi tulad ng karamihan sa mga aklat-aralin sa mas mataas na matematika, hindi natin sisimulan ang ating pagkilala sa isang tuyo at mabigat na teorya tungkol sa pangunahing teorama ng algebra, ang teorama ni Bezout, tungkol sa pagkabulok. rational fraction sa kabuuan ng pinakasimpleng (tungkol sa mga fraction na ito mamaya) at iba pang nakakapagod, at magsisimula tayo sa isang simpleng halimbawa.

Halimbawa, kailangan nating hanapin ang sumusunod na hindi tiyak na integral:

Unang tingnan ang integrand. Ang denominator ay produkto ng tatlong bracket:

(x-1)(x+3)(x+5)

At lahat ng bracket iba-iba. Samakatuwid, ang aming lumang teknolohiya na may pagpapalawak ng numerator sa mga kapangyarihan ng denominator ay hindi gumagana sa oras na ito: aling bracket ang dapat i-highlight sa numerator? (x-1)? (x+3)? Hindi malinaw ... Ang pagpili ng buong parisukat sa denominator ay wala rin sa cash register: mayroong polynomial pangatlo degree (kung i-multiply mo ang lahat ng mga bracket). Anong gagawin?

Kapag tinitingnan ang aming bahagi, isang ganap na natural na pagnanais ang lumitaw ... Talagang hindi mapaglabanan! Mula sa aming malaking bahagi, na hindi komportable pagsamahin, kahit papaano ay gumawa ng tatlong maliliit. Hindi bababa sa ganito:

Bakit kailangang hanapin ang ganitong uri? At lahat dahil sa form na ito ang aming unang bahagi ay na komportable upang isama! Idagdag ang denominator ng bawat maliit na bahagi at pasulong.)

Posible bang makakuha ng ganoong agnas? Maganda ang balita! Ang katumbas na theorem ng matematika ay nagsasabing − Oo kaya mo! Ang ganitong agnas ay umiiral at natatangi.

Ngunit may isang problema: ang mga coefficient PERO, AT at Sa tayo paalam hindi namin alam. At ngayon ang aming pangunahing gawain ay magiging makatarungan tukuyin ang mga ito. Alamin kung ano ang katumbas ng ating mga titik PERO, AT at Sa. Samakatuwid ang pangalan, ang pamamaraan hindi sigurado coefficients. Simulan natin ang ating kamangha-manghang paglalakbay!

Kaya, mayroon kaming pagkakapantay-pantay, kung saan nagsimula kaming sumayaw:

Dalhin natin ang lahat ng tatlong fraction sa kanan sa isang common denominator at idagdag ang:

Ngayon ay maaari mong ligtas na itapon ang mga denominador (dahil pareho ang mga ito) at itumbas lamang ang mga numerator. As usual ang lahat

susunod na hakbang buksan ang lahat ng mga bracket(mga coefficient PERO, AT at Sa paalam mabuti pang umalis sa labas)

At ngayon (mahalaga!) itinatayo namin ang aming buong istraktura sa kanan sa pamamagitan ng seniority: una, kinokolekta namin ang lahat ng miyembro na may x 2 sa isang pile, pagkatapos - sa x lang at, sa wakas, kinokolekta namin ang mga libreng miyembro. Sa katunayan, binibigyan lang namin ang mga katulad at pangkatin ang mga termino ayon sa mga kapangyarihan ng x.

Ganito:

At ngayon naiintindihan namin ang resulta. Sa kaliwa ay ang aming orihinal na polynomial. Ikalawang antas. Ang numerator ng aming integrand. Tama rin ilang polynomial ng ikalawang antas. ilong hindi kilalang coefficient. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay dapat na wasto para sa lahat pinahihintulutang halaga X. Ang mga fraction sa kaliwa at sa kanan ay pareho (ayon sa aming kalagayan)! Nangangahulugan ito na ang kanilang tagabilang at (i.e. ang ating mga polynomial) ay pareho din. Kaya ang mga coefficients na may parehong kapangyarihan ng x dapat mayroon ang mga polynomial na ito maging pantay!

Nagsisimula tayo sa pinakamataas na antas. Mula sa parisukat. Tingnan natin kung anong uri ng mga coefficient ang mayroon tayo X 2 kaliwa at kanan. Sa kanan mayroon kaming kabuuan ng mga coefficient A+B+C, at sa kaliwa - isang deuce. Kaya mayroon kaming unang equation.

Sumulat kami:

A+B+C = 2

meron. Ang unang equation ay tapos na.)

Pagkatapos ay pumunta kami sa isang bumababa na tilapon - tinitingnan namin ang mga termino na may x sa unang antas. Sa kanan sa x mayroon kami 8A+4B+2C. Mabuti. At ano ang mayroon tayo sa x sa kaliwa? Hm ... Sa kaliwa, walang term na may X! Meron lang 2x 2 - 3. How to be? Napakasimple! Nangangahulugan ito na ang coefficient sa x sa kaliwa ay mayroon tayo sero! Maaari naming isulat ang aming kaliwang bahagi tulad nito:

At ano? Meron kami buong kanan.) Mula dito, ang pangalawang equation ay ganito ang hitsura:

8 A+4 B+2 C = 0

Well, praktikal, iyon lang. Ito ay nananatiling katumbas ng mga libreng tuntunin:

15A-5B-3C = -3

Sa isang salita, ang equalization ng mga coefficient sa parehong kapangyarihan ng x ay nangyayari ayon sa sumusunod na pamamaraan:

Lahat ng tatlo sa ating pagkakapantay-pantay ay dapat masiyahan sabay-sabay. Samakatuwid, nag-iipon kami ng isang sistema mula sa aming mga nakasulat na equation:

Ang sistema ay hindi ang pinakamahirap para sa isang masigasig na mag-aaral - tatlong equation at tatlong hindi alam. Magpasya ayon sa gusto mo. Maaari mong gamitin ang paraan ng Cramer sa pamamagitan ng mga matrice na may mga determinant, maaari mong gamitin ang pamamaraang Gauss, maaari mo ring gamitin ang karaniwang pagpapalit ng paaralan.

Upang magsimula, lulutasin ko ang sistemang ito sa paraang karaniwang nalutas ang mga ganitong sistema. kultural na mga mag-aaral. Ibig sabihin, ang paraan ng Cramer.

Sinisimulan namin ang solusyon sa pamamagitan ng pag-compile ng system matrix. Ipinapaalala ko sa iyo na ang matrix na ito ay binubuo lamang ng talahanayan coefficients para sa mga hindi alam.

Narito siya:

Una sa lahat, kinakalkula namin determinant ng system matrix. O, sa madaling sabi, identifier ng system. Karaniwan itong tinutukoy ng letrang Griyego na ∆ ("delta"):

Mahusay, ang determinant ng system ay hindi zero (-48≠0) . Mula sa teorya ng mga sistema ng mga linear na equation, ang katotohanang ito ay nangangahulugan na ang aming sistema ay magkatugma at ay may natatanging solusyon.

Ang susunod na hakbang ay ang pagkalkula determinants ng mga hindi alam ∆A, ∆B, ∆C. Ipinapaalala ko sa iyo na ang bawat isa sa tatlong determinant na ito ay nakuha mula sa pangunahing determinant ng system sa pamamagitan ng pagpapalit sa mga column ng mga coefficient para sa mga kaukulang hindi alam ng isang column ng mga libreng termino.

Kaya binubuo namin ang mga determinant at isinasaalang-alang:

Hindi ko ipapaliwanag nang detalyado ang pamamaraan para sa pagkalkula ng mga determinant ng third-order dito. At huwag magtanong. This is already a quite a deviation from the topic will be.) Kung sino ang nasa paksa, naiintindihan niya kung tungkol saan ito. At, marahil, nahulaan mo na nang eksakto kung paano ko kinakalkula ang tatlong determinant na ito.)

Iyon lang at tapos na.)

Ganito ang karaniwang pagpapasya ng mga may kulturang estudyante ng mga sistema. Ngunit ... Hindi lahat ng mga estudyante ay kaibigan na may mga determinant. Sa kasamaang palad. Para sa ilan, ang mga simpleng konseptong ito ng mas mataas na matematika ay nananatiling isang Chinese letter at isang misteryosong halimaw sa hamog...

Buweno, lalo na para sa mga hindi kulturang estudyante, nagmumungkahi ako ng mas pamilyar na paraan ng paglutas - paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam. Sa katunayan, ito ay isang advanced na "paaralan" na paraan ng pagpapalit. Tanging magkakaroon ng higit pang mga hakbang.) Ngunit ang kakanyahan ay pareho. Una sa lahat, ibubukod ko ang variable Sa. Para dito ay ipapahayag ko Sa mula sa unang equation at palitan sa pangalawa at pangatlo:

Pinasimple namin, nagbibigay ng mga katulad at kumuha ng bagong sistema, mayroon na dalawa hindi alam:

Ngayon, dito bagong sistema, ang isa sa mga variable ay maaari ding ipahayag sa mga tuntunin ng isa pa. Ngunit ang pinaka-matulungin na mga mag-aaral ay malamang na mapansin na ang mga coefficient sa harap ng variable B – kabaligtaran. Dalawa at minus dalawa. Samakatuwid, ito ay magiging napaka-maginhawa upang idagdag ang parehong mga equation nang magkasama upang maalis ang variable AT at iwan lamang ang sulat PERO.

Idinagdag namin ang kaliwa at kanang bahagi, bawasan ang pag-iisip 2B at -2B at lutasin ang equation lamang na may kinalaman sa PERO:

meron. Nahanap ang unang coefficient: A = -1/24.

Tukuyin ang pangalawang koepisyent AT. Halimbawa, mula sa tuktok na equation:

Mula dito nakukuha natin ang:

ayos lang. Ang pangalawang koepisyent ay matatagpuan din: B = -15/8 . May natitira pang sulat Sa. Upang matukoy ito, ginagamit namin ang pinakamataas na equation, kung saan ipinahayag namin ito PERO at AT:

Kaya:

Ayan yun. May nakitang hindi kilalang logro! Hindi mahalaga kung ito ay sa pamamagitan ng Cramer o sa pamamagitan ng pagpapalit. Ang pangunahing bagay, tama natagpuan.)

Kaya, ang aming pagpapalawak ng isang malaking bahagi sa isang kabuuan ng mga maliliit ay magiging ganito:

At huwag malito sa nakuha na mga fractional coefficients: sa pamamaraang ito (ang paraan ng hindi tiyak na mga coefficient), ito ang pinakakaraniwang pangyayari. :)

At ngayon ay lubos na kanais-nais na suriin kung nahanap namin nang tama ang aming mga coefficient A, B at Sa. Kaya ngayon kumuha kami ng draft at naaalala ang ikawalong baitang - idinaragdag namin muli ang lahat ng tatlo sa aming maliliit na fraction.

Kung makuha natin ang orihinal na malaking bahagi, kung gayon ang lahat ay maayos. Hindi, ibig sabihin talunin mo ako at maghanap ng pagkakamali.

Ang karaniwang denominator ay malinaw na magiging 24(x-1)(x+3)(x+5).

Pumunta:

Oo!!! Kunin ang orihinal na fraction. Alin ang kailangang suriin. Lahat ay mabuti. Kaya't mangyaring huwag mo akong patulan.)

At ngayon bumalik tayo sa ating orihinal na integral. Hindi ito naging mas madali sa oras na iyon, oo. Ngunit ngayon na ang aming fraction ay nabulok sa isang kabuuan ng mga maliliit, ang pagsasama nito ay naging isang tunay na kasiyahan!

Tingnan mo ang iyong sarili! Ipinasok namin ang aming pagpapalawak sa orihinal na integral.

Nakukuha namin:

Ginagamit namin ang mga katangian ng linearity at sinisira ang aming malaking integral sa isang kabuuan ng mga maliliit, kinuha namin ang lahat ng mga constant sa labas ng mga palatandaan ng integral.

Nakukuha namin:

At ang nagresultang tatlong maliliit na integral ay madaling makuha .

Ipinagpapatuloy namin ang pagsasama:

Iyon lang.) At hindi mo na kailangan ang araling ito tinatanong ako kung saan nanggaling ang logarithms sa sagot! Sino ang nakakaalala, siya ay nasa paksa at mauunawaan ang lahat. At sino ang hindi nakakaalala - naglalakad kami kasama ang mga link. Hindi ko lang sila isusuot.

Panghuling sagot:

Narito ang isang magandang trinity: tatlong logarithms - isang duwag, isang karanasan at isang tuso. :) At subukan, hulaan ang isang tusong sagot kaagad! Ang paraan lamang ng mga indefinite coefficients ay nakakatulong, oo.) Sa totoo lang, nag-iimbestiga kami para sa layuning ito. Ano, paano at saan.

Bilang pagsasanay sa pagsasanay, Iminumungkahi kong isagawa mo ang pamamaraan at isama ang gayong bahagi:

Magsanay, hanapin ang integral, huwag dalhin ito para sa trabaho! Dapat kang makakuha ng sagot tulad nito:

Ang paraan ng mga hindi tiyak na coefficient ay isang makapangyarihang bagay. Nakakatipid ito kahit na sa pinakawalang pag-asa na sitwasyon, kapag na-convert mo pa rin ang fraction, at iba pa. At dito, maaaring mayroon ang ilang matulungin at interesadong mga mambabasa buong linya mga tanong:

- Paano kung ang polynomial sa denominator ay hindi naka-factor?

- PAANO dapat hanapin ng isang tao ang pagpapalawak ng anumang malaking rational fraction sa kabuuan ng maliliit? Sa anumang anyo? Bakit dito at hindi iyon?

- Paano kung mayroong maraming mga kadahilanan sa pagpapalawak ng denominator? O mga bracket sa mga kapangyarihan tulad ng (x-1) 2 ? Sa anong anyo hahanapin ang agnas?

- Paano kung, bilang karagdagan sa mga simpleng bracket ng form (x-a), ang denominator ay sabay na naglalaman ng hindi nabubulok na square trinomial? Sabihin nating x 2 +4x+5 ? Sa anong anyo hahanapin ang agnas?

Buweno, oras na upang lubusang maunawaan kung saan lumalaki ang mga binti. sa susunod na aralin.)

Pagsasama ng isang fractional-rational function.
Paraan ng hindi natukoy na mga koepisyent

Patuloy kaming nagsusumikap sa pagsasama ng mga fraction. Napag-isipan na natin ang mga integral ng ilang uri ng mga fraction sa aralin, at ang araling ito sa isang kahulugan ay maaaring ituring na isang pagpapatuloy. Upang matagumpay na maunawaan ang materyal, kinakailangan ang mga pangunahing kasanayan sa pagsasama, kaya kung nagsimula ka pa lamang sa pag-aaral ng mga integral, iyon ay, ikaw ay isang teapot, pagkatapos ay kailangan mong magsimula sa artikulo Indefinite integral. Mga halimbawa ng solusyon.

Kakatwa, ngayon ay haharapin natin ang hindi gaanong paghahanap ng mga integral bilang ... paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Kaugnay nito malakas Inirerekomenda ko ang pagbisita sa aralin Lalo na, kailangan mong maging bihasa sa mga pamamaraan ng pagpapalit (ang pamamaraan ng "paaralan" at ang paraan ng termino-by-term na pagdaragdag (pagbabawas) ng mga equation ng system).

Ano ang isang fractional rational function? Sa simpleng salita, ang fractional-rational function ay isang fraction sa numerator at denominator na mga polynomial o produkto ng polynomials. Kasabay nito, ang mga fraction ay mas sopistikado kaysa sa mga tinalakay sa artikulo. Pagsasama-sama ng ilang fraction.

Pagsasama-sama ng tamang fractional-rational function

Kaagad isang halimbawa at isang tipikal na algorithm para sa paglutas ng integral ng isang fractional rational function.

Halimbawa 1

Hakbang 1. Ang unang bagay na LAGI nating ginagawa kapag nilulutas ang isang integral ng isang rational-fractional function ay itanong ang sumusunod na tanong: tama ba ang fraction? Ang hakbang na ito ay ginagawa nang pasalita, at ngayon ay ipapaliwanag ko kung paano:

Tingnan muna ang numerator at alamin senior degree polinomyal:

Ang pinakamataas na kapangyarihan ng numerator ay dalawa.

Ngayon tingnan ang denominator at alamin senior degree denominador. Ang malinaw na paraan ay upang buksan ang mga bracket at magdala ng mga katulad na termino, ngunit maaari mong gawin ito nang mas madali, sa bawat isa hanapin ng panaklong ang pinakamataas na antas

at mentally multiply: - kaya, ang pinakamataas na antas ng denominator ay katumbas ng tatlo. Medyo halata na kung talagang bubuksan natin ang mga bracket, hindi tayo makakakuha ng degree na higit sa tatlo.

Konklusyon: Pinakamataas na kapangyarihan ng numerator MAHIGPIT mas mababa sa pinakamataas na kapangyarihan ng denominator, kung gayon ang fraction ay tama.

Kung sa halimbawang ito ang numerator ay naglalaman ng polynomial 3, 4, 5, atbp. degree, kung gayon ang fraction ay magiging mali.

Ngayon ay isasaalang-alang lamang natin ang wastong fractional-rational functions. Ang kaso kapag ang antas ng numerator ay mas malaki kaysa o katumbas ng antas ng denominator, susuriin natin sa pagtatapos ng aralin.

Hakbang 2 I-factorize natin ang denominator. Tingnan natin ang aming denominator:

Sa pangkalahatan, narito na ang isang produkto ng mga kadahilanan, ngunit, gayunpaman, tinatanong natin ang ating sarili: posible bang palawakin ang iba pa? Ang layunin ng pagpapahirap, siyempre, ay ang square trinomial. Lutasin namin ang quadratic equation:

Ang discriminant ay mas malaki sa zero, na nangangahulugan na ang trinomial ay talagang factorized:

Pangkalahatang tuntunin: LAHAT ng nasa denominator ay PWEDENG i-factorize - factorize

Magsimula tayo sa paggawa ng desisyon:

Hakbang 3 Gamit ang paraan ng hindi tiyak na mga koepisyent, pinalawak namin ang integrand sa kabuuan ng mga simpleng (elementarya) na fraction. Ngayon ito ay magiging mas malinaw.

Tingnan natin ang aming integrand function:

At, alam mo, isang intuitive na pag-iisip sa paanuman ay dumaan na mas maganda kung gawing ilang maliliit ang ating malaking bahagi. Halimbawa, tulad nito:

Ang tanong ay lumitaw, posible bang gawin ito? Huminga tayo ng kaluwagan, ang kaukulang theorem ng mathematical analysis ay nagsasaad - POSIBLE. Ang ganitong agnas ay umiiral at natatangi.

Isa lang ang catch, ang coefficients namin paalam hindi namin alam, kaya ang pangalan - ang paraan ng hindi tiyak na coefficients.

Akala mo, ang mga kasunod na mga kilos kaya, huwag tumawa! ay maglalayong MATUTO lamang sa kanila - upang malaman kung ano ang mga ito ay katumbas.

Mag-ingat, nagpapaliwanag ako nang detalyado minsan!

Kaya, magsimula tayong sumayaw mula sa:

Sa kaliwang bahagi dinadala namin ang expression sa isang karaniwang denominator:

Ngayon ay ligtas nating inalis ang mga denominador (dahil pareho sila):

Sa kaliwang bahagi, binubuksan namin ang mga bracket, habang hindi pa namin hinawakan ang hindi kilalang mga koepisyent:

Kasabay nito, inuulit namin ang tuntunin ng paaralan ng pagpaparami ng mga polynomial. Noong guro ako, natutunan kong sabihin ang panuntunang ito nang may tuwid na mukha: Upang i-multiply ang isang polynomial sa isang polynomial, kailangan mong i-multiply ang bawat termino ng isang polynomial sa bawat termino ng isa pang polynomial.

Mula sa punto ng view ng isang malinaw na paliwanag, mas mahusay na ilagay ang mga coefficient sa mga bracket (bagaman hindi ko personal na ginagawa ito upang makatipid ng oras):

Bumubuo kami ng isang sistema ng mga linear na equation.
Una, hinahanap namin ang mga senior degree:

At isinulat namin ang kaukulang mga coefficient sa unang equation ng system:

Tandaan ang sumusunod na nuance. Ano ang mangyayari kung ang kanang bahagi ay wala sa lahat? Sabihin, magpapakitang gilas ba ito nang walang parisukat? Sa kasong ito, sa equation ng system, kakailanganing ilagay ang zero sa kanan: . Bakit zero? At dahil sa kanang bahagi maaari mong palaging ipatungkol ang mismong parisukat na ito na may zero: Kung walang mga variable o (at) isang libreng termino sa kanang bahagi, pagkatapos ay maglalagay kami ng mga zero sa kanang bahagi ng kaukulang mga equation ng system.

Isinulat namin ang kaukulang coefficient sa pangalawang equation ng system:

At, sa wakas, mineral water, pumipili kami ng mga libreng miyembro.

Eh, ... nagbibiro ako. Isantabi ang mga biro - ang matematika ay isang seryosong agham. Sa grupo namin sa institute, walang natawa nang sabihin ng assistant professor na ikakalat niya ang mga miyembro sa isang number line at pipiliin ang pinakamalaki sa kanila. Magseryoso tayo. Bagama't ... ang sinumang nabubuhay upang makita ang pagtatapos ng araling ito ay tahimik pa ring ngumiti.

Handa na ang system:

Nalutas namin ang sistema:

(1) Mula sa unang equation, ipinapahayag at pinapalitan natin ito sa 2nd at 3rd equation ng system. Sa katunayan, posible na ipahayag (o isa pang titik) mula sa isa pang equation, ngunit sa kasong ito ay kapaki-pakinabang na ipahayag ito mula sa 1st equation, dahil doon ang pinakamaliit na posibilidad.

(2) Nagpapakita kami ng magkatulad na mga termino sa 2nd at 3rd equation.

(3) Idinaragdag namin ang 2nd at 3rd equation term sa pamamagitan ng term, habang kinukuha ang pagkakapantay-pantay , kung saan sinusundan iyon

(4) Pinapalitan natin ang pangalawa (o pangatlong) equation, kung saan natin makikita iyon

(5) Pinapalitan namin at sa unang equation, pagkuha ng .

Kung mayroon kang anumang mga paghihirap sa mga paraan ng paglutas ng system, gawin ang mga ito sa klase. Paano malutas ang isang sistema ng mga linear equation?

Pagkatapos malutas ang system, palaging kapaki-pakinabang na gumawa ng tseke - palitan ang mga nahanap na halaga sa bawat equation ng system, bilang isang resulta, ang lahat ay dapat "magtagpo".

Malapit na dumating. Ang mga coefficient ay matatagpuan, habang:

Ang isang malinis na trabaho ay dapat magmukhang ganito:

Tulad ng nakikita mo, ang pangunahing kahirapan ng gawain ay ang pagbuo (tama!) at paglutas (tama!) ng isang sistema ng mga linear na equation. At sa huling yugto, ang lahat ay hindi napakahirap: ginagamit namin ang mga katangian ng linearity ng hindi tiyak na integral at pagsasama. Iginuhit ko ang iyong pansin sa katotohanan na sa ilalim ng bawat isa sa tatlong integral mayroon kaming isang "libre" na kumplikadong pag-andar, nagsalita ako tungkol sa mga tampok ng pagsasama nito sa aralin Paraan ng pagbabago ng variable sa hindi tiyak na integral.

Suriin: Ibahin ang pagkakaiba ng sagot:

Ang orihinal na integrand ay nakuha, na nangangahulugan na ang integral ay natagpuan ng tama.
Sa panahon ng pag-verify, kinakailangang dalhin ang expression sa isang karaniwang denominator, at hindi ito sinasadya. Ang paraan ng hindi tiyak na mga koepisyent at pagbabawas ng expression sa isang karaniwang denominator ay magkabaligtaran na mga aksyon.

Halimbawa 2

Hanapin ang hindi tiyak na integral.

Bumalik tayo sa fraction mula sa unang halimbawa: . Madaling makita na sa denominator ang lahat ng mga kadahilanan ay IBA. Ang tanong ay lumitaw, kung ano ang gagawin kung, halimbawa, ang isang bahagi ay ibinigay: ? Dito mayroon tayong mga degree sa denominator, o, sa mga termino sa matematika, maraming salik. Bilang karagdagan, mayroong isang hindi nabubulok na square trinomial (madaling i-verify na ang discriminant ng equation ay negatibo, kaya ang trinomial ay hindi maisasaalang-alang sa anumang paraan). Anong gagawin? Ang pagpapalawak sa kabuuan ng mga elementarya na praksyon ay magiging ganito na may hindi kilalang coefficient sa itaas o sa ibang paraan?

Halimbawa 3

Magsumite ng function

Hakbang 1. Sinusuri kung mayroon tayong tamang fraction
Pinakamataas na kapangyarihan ng numerator: 2
Pinakamataas na denominator: 8
, kaya tama ang fraction.

Hakbang 2 May maisasalik ba sa denominator? Halatang hindi, nakalatag na ang lahat. Ang square trinomial ay hindi lumalawak sa isang produkto para sa mga dahilan sa itaas. Mabuti. Mas konting trabaho.

Hakbang 3 Katawan natin ang isang fractional-rational function bilang kabuuan ng mga elementary fraction.
Sa kasong ito, ang agnas ay may sumusunod na anyo:

Tingnan natin ang aming denominator:
Kapag nabubulok ang isang fractional-rational function sa kabuuan ng elementary fractions, tatlong pangunahing punto ang maaaring makilala:

1) Kung ang denominator ay naglalaman ng isang "malungkot" na kadahilanan sa unang antas (sa aming kaso ), pagkatapos ay naglalagay kami ng isang hindi tiyak na koepisyent sa itaas (sa aming kaso ). Ang mga halimbawa Blg. 1,2 ay binubuo lamang ng mga ganitong "malungkot" na salik.

2) Kung ang denominator ay naglalaman ng maramihan multiplier, pagkatapos ay kailangan mong mabulok tulad ng sumusunod:
- iyon ay, sunud-sunod na pag-uri-uriin ang lahat ng mga antas ng "x" mula sa una hanggang sa ika-1 na antas. Sa aming halimbawa, mayroong dalawang maramihang mga kadahilanan: at , tingnan muli ang agnas na ibinigay ko at tiyaking eksaktong nabubulok ang mga ito ayon sa panuntunang ito.

3) Kung ang denominator ay naglalaman ng isang indecomposable polynomial ng pangalawang degree (sa aming kaso ), pagkatapos ay kapag lumalawak sa numerator, kailangan mong magsulat ng isang linear function na may hindi tiyak na mga coefficient (sa aming kaso, na may hindi tiyak na mga coefficient at ).

Sa katunayan, mayroon ding ika-4 na kaso, ngunit tatahimik ako tungkol dito, dahil sa pagsasagawa ito ay napakabihirang.

Halimbawa 4

Magsumite ng function bilang kabuuan ng mga elementarya na fraction na may hindi kilalang coefficient.

Ito ay isang halimbawa para sa malayang desisyon. Kumpletong Solusyon at ang sagot sa pagtatapos ng aralin.
Mahigpit na sundin ang algorithm!

Kung naisip mo na ang mga prinsipyo kung saan kailangan mong i-decompose ang isang fractional-rational function sa kabuuan, maaari mong basagin ang halos anumang integral ng uri na isinasaalang-alang.

Halimbawa 5

Hanapin ang hindi tiyak na integral.

Hakbang 1. Malinaw, ang fraction ay tama:

Hakbang 2 May maisasalik ba sa denominator? Pwede. Narito ang kabuuan ng mga cube . Pagfactor ng denominator gamit ang pinaikling multiplication formula

Hakbang 3 Gamit ang paraan ng hindi tiyak na mga koepisyent, pinalawak namin ang integrand sa kabuuan ng mga elementary fraction:

Tandaan na ang polynomial ay hindi nabubulok (suriin na ang discriminant ay negatibo), kaya sa itaas ay naglalagay kami ng linear function na may hindi kilalang coefficient, at hindi isang solong titik.

Dinadala namin ang fraction sa isang karaniwang denominator:

Gawin at lutasin natin ang system:

(1) Mula sa unang equation, ipinapahayag at pinapalitan natin ang pangalawang equation ng system (ito ang pinaka-makatuwirang paraan).

(2) Nagpapakita kami ng mga katulad na termino sa pangalawang equation.

(3) Idinaragdag namin ang pangalawa at pangatlong equation ng term ng system sa pamamagitan ng termino.

Ang lahat ng karagdagang mga kalkulasyon, sa prinsipyo, ay pasalita, dahil ang sistema ay simple.

(1) Isinulat namin ang kabuuan ng mga fraction alinsunod sa mga nakitang coefficient .

(2) Ginagamit namin ang mga katangian ng linearity ng hindi tiyak na integral. Ano ang nangyari sa pangalawang integral? Mahahanap mo ang paraang ito sa huling talata ng aralin. Pagsasama-sama ng ilang fraction.

(3) Muli naming ginagamit ang mga katangian ng linearity. Sa ikatlong integral, nagsisimula kaming ihiwalay buong parisukat(panghuling talata ng aralin Pagsasama-sama ng ilang fraction).

(4) Kinukuha namin ang pangalawang integral, sa pangatlo pipiliin namin ang buong parisukat.

(5) Kinukuha namin ang ikatlong integral. handa na.

MINISTRY OF SCIENCE AND EDUCATION OF THE REPUBLIC OF BASHKORTO STAN

GAOU SPO Bashkir College of Architecture and Civil Engineering

Khaliullin Askhat Adelzyanovich,

guro ng matematika Bashkir

Kolehiyo ng Arkitektura at Civil Engineering

UFA

2014

Panimula ________________________________________________________3

Kabanata ako. Teoretikal na aspeto paggamit ng paraan ng hindi tiyak na coefficients _____________________________________________4

Kabanata II. Maghanap ng mga solusyon sa mga problema sa polynomial sa pamamagitan ng paraan ng hindi tiyak na coefficient ______________________________7

2.1 Pag-factor ng polynomial _____________________ 7

2.2. Mga gawaing may mga parameter________________________________ 10

2.3. Paglutas ng mga Equation _____________________________________14

2.4. Mga Functional Equation ___________________________19

Konklusyon________________________________________________23

Listahan ng mga sanggunian ____________________________24

Apendise ________________________________________________25

Panimula.

Ang gawaing ito ay nakatuon sa teoretikal at praktikal na mga aspeto ng pagpapakilala ng paraan ng hindi tiyak na mga koepisyent sa kursong matematika ng paaralan. Ang kaugnayan ng paksang ito ay tinutukoy ng mga sumusunod na pangyayari.

Walang sinuman ang magtatalo sa katotohanan na ang matematika bilang isang agham ay hindi nakatayo sa isang lugar, umuunlad ito sa lahat ng oras, lumilitaw ang mga bagong gawain ng mas kumplikado, na kadalasang nagiging sanhi ng ilang mga paghihirap, dahil ang mga gawaing ito ay karaniwang nauugnay sa pananaliksik. Ang ganitong mga gawain sa mga nakaraang taon ay inaalok sa paaralan, distrito at republican mathematical Olympiads, available din ang mga ito sa GAMITIN ang mga opsyon. Samakatuwid ito ay kinuha espesyal na paraan, na magbibigay-daan upang malutas ang hindi bababa sa ilan sa mga ito sa pinakamabilis, mahusay at abot-kayang. Sa gawaing ito, ang nilalaman ng pamamaraan ng hindi tiyak na mga koepisyent ay ipinakita sa isang naa-access na paraan, na malawakang ginagamit sa isang malawak na iba't ibang mga lugar ng matematika, mula sa mga tanong na kasama sa kurso ng isang pangkalahatang paaralan ng edukasyon hanggang sa mga pinaka-advanced na bahagi nito. Sa partikular, ang mga aplikasyon ng pamamaraan ng hindi tiyak na mga koepisyent sa paglutas ng mga problema sa mga parameter, fractional rational at functional equation ay lalong kawili-wili at epektibo; madali nilang mainteresan ang sinumang interesado sa matematika. Ang pangunahing layunin ng iminungkahing gawain at ang pagpili ng mga problema ay upang magbigay ng sapat na mga pagkakataon para sa paghasa at pagbuo ng kakayahang makahanap ng maikli at hindi pamantayang mga solusyon.

Ang gawaing ito ay binubuo ng dalawang kabanata. Ang una ay tumatalakay sa mga teoretikal na aspeto ng paggamit

paraan ng hindi tiyak na mga coefficient, sa pangalawa - praktikal at metodolohikal na aspeto ng naturang paggamit.

Ang apendiks sa trabaho ay naglalaman ng mga kondisyon ng mga tiyak na gawain para sa independiyenteng solusyon.

Kabanata ako . Teoretikal na aspeto ng paggamit paraan ng hindi tiyak na coefficients

"Ang tao ... ay ipinanganak upang maging isang panginoon,

master, hari ng kalikasan, ngunit karunungan,

na kung saan siya ay dapat pamunuan ay hindi ibinigay sa kanya

mula sa kapanganakan: ito ay nakuha sa pamamagitan ng pag-aaral"

N.I. Lobachevsky

Umiiral iba't-ibang paraan at mga pamamaraan para sa paglutas ng mga problema, ngunit ang isa sa mga pinaka-maginhawa, pinaka-epektibo, orihinal, eleganteng at sa parehong oras ay napaka-simple at naiintindihan ng lahat ay ang paraan ng hindi tiyak na mga coefficient. Ang paraan ng hindi tiyak na mga koepisyent ay isang paraan na ginagamit sa matematika upang mahanap ang mga koepisyent ng mga expression, na ang anyo nito ay kilala nang maaga.

Bago isaalang-alang ang aplikasyon ng pamamaraan ng mga hindi tiyak na coefficient sa paglutas ng iba't ibang uri ng mga problema, nagpapakita kami ng isang bilang ng teoretikal na impormasyon.

Hayaang bigyan sila

A n (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ··· + a n-1 x + a n

B m (x ) = b 0 x m + b 1 x m -1 + b 2 x m -2 + ··· + b m-1 x + b m ,

polynomial na may kinalaman sa X na may anumang ratio.

Teorama. Dalawang polynomial depende sa isa at ng parehong argumento ay magkapareho kung at kung lamangn = m at ang kani-kanilang coefficients aya 0 = b 0 , a 1 = b 1 , a 2 = b 2 ,··· , a n -1 = b m -1 , a n = b m at t. d.

Malinaw, ang mga pantay na polynomial ay tumatagal para sa lahat ng mga halaga X ang parehong mga halaga. Sa kabaligtaran, kung ang mga halaga ng dalawang polynomial ay pantay para sa lahat ng mga halaga X, pagkatapos ay ang polynomials ay pantay, iyon ay, ang kanilang mga coefficient sa parehong kapangyarihanX tugma.

Samakatuwid, ang ideya ng paglalapat ng paraan ng hindi tiyak na mga coefficient sa paglutas ng mga problema ay ang mga sumusunod.

Ipaalam sa amin na bilang resulta ng ilang pagbabago, nakuha ang expression isang tiyak na uri at tanging ang mga coefficient sa expression na ito ay hindi alam. Pagkatapos ang mga coefficient na ito ay tinutukoy ng mga titik at itinuturing na hindi kilala. Pagkatapos, ang isang sistema ng mga equation ay pinagsama-sama upang matukoy ang mga hindi alam na ito.

Halimbawa, sa kaso ng mga polynomial, ang mga equation na ito ay binubuo ng kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng mga coefficient sa parehong kapangyarihan. X para sa dalawang pantay na polynomial.

Ipinapakita namin ang nasa itaas sa mga sumusunod kongkretong mga halimbawa, at magsimula tayo sa pinakasimple.

Kaya, halimbawa, sa batayan ng mga teoretikal na pagsasaalang-alang, ang fraction

ay maaaring katawanin bilang isang kabuuan

, saan a , b at c - mga coefficient na dapat matukoy. Upang mahanap ang mga ito, itinutumbas namin ang pangalawang expression sa una:

=

at pag-alis ng denominator at pagkolekta ng mga termino mula sa kaliwa na may pantay na grado X, nakukuha natin:

(a + b + c )X 2 + ( b - c )x - a = 2X 2 – 5 X– 1

Dahil ang huling pagkakapantay-pantay ay dapat magkaroon ng lahat ng mga halaga X, pagkatapos ay ang mga coefficient sa parehong kapangyarihanX dapat pareho ang kanan at kaliwa. Kaya, tatlong equation ang nakuha para sa pagtukoy ng tatlong hindi kilalang coefficient:

a+b+c = 2

b - c = - 5

a= 1 , saan a = 1 , b = - 2 , c = 3

Kaya naman,

=
,

ang bisa ng pagkakapantay-pantay na ito ay madaling i-verify nang direkta.

Isipin din natin ang isang fraction

bilang a + b
+ c
+ d
, saan a , b , c at d- hindi kilalang rational coefficient. Ipantay ang pangalawang expression sa una:

a + b
+ c
+ d
=
o, pag-alis ng denominator, pag-alis, kung saan posible, ang mga makatwirang salik mula sa ilalim ng mga palatandaan ng mga ugat at pagdadala ng mga katulad na termino sa kaliwang bahagi, nakukuha natin:

(a- 2 b + 3 c ) + (- a+b +3 d )
+ (a+c - 2 d )
+

+ (b-c + d )
= 1 +
-
.

Ngunit ang gayong pagkakapantay-pantay ay posible lamang sa kaso kung ang mga makatwirang termino ng parehong bahagi at ang mga coefficient sa parehong mga radical ay pantay. Kaya, apat na equation ang nakuha para sa paghahanap ng mga hindi kilalang coefficient a , b , c at d :

a- 2b + 3c = 1

- a+b +3 d = 1

a+c - 2 d = - 1

b - c + d= 0 , saan a = 0 ; b = - ; c = 0 ; d= , iyon ay
= -
+
.

Kabanata II. Maghanap ng mga solusyon sa mga problema sa polynomial paraan ng hindi tiyak na coefficients.

“Walang nag-aambag sa asimilasyon ng paksa

Gusto ko ng aksyon kasama nito iba't ibang sitwasyon »

Academician B.V. Gnedenko

2. 1. Decomposition ng isang polynomial sa mga salik.

Mga pamamaraan para sa pag-factor ng polynomial:

1) alisin ang karaniwang salik sa mga bracket; 2) paraan ng pagpapangkat; 3) aplikasyon ng mga pangunahing formula ng pagpaparami; 4) pagpapakilala ng mga pantulong na termino; 5) paunang pagbabago ng isang binigay na polynomial sa tulong ng iba't ibang mga formula; 6) pagpapalawak sa pamamagitan ng paghahanap ng mga ugat ng isang binigay na polynomial; 7) paraan ng pagpapakilala ng parameter; 8) paraan ng hindi tiyak na mga coefficient.

Suliranin 1. I-decompose ang polynomial sa totoong mga salik X 4 + X 2 + 1 .

Desisyon. Walang mga ugat sa mga divisors ng libreng termino ng polynomial na ito. Hindi namin mahanap ang mga ugat ng isang polynomial sa pamamagitan ng iba pang elementarya na paraan. Samakatuwid, hindi posible na isagawa ang kinakailangang pagpapalawak sa pamamagitan ng unang paghahanap ng mga ugat ng polynomial na ito. Ito ay nananatiling naghahanap ng solusyon sa problema alinman sa pamamagitan ng pagpapasok ng mga pantulong na termino o sa pamamagitan ng paraan ng hindi tiyak na mga koepisyent. Obvious naman yun X 4 + X 2 + 1 = X 4 + X 3 + X 2 - X 3 - X 2 - X + X 2 + X + 1 =

= X 2 (X 2 + X + 1) - X (X 2 + X + 1) + X 2 + X + 1 =

= (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Ang mga resultang square trinomals ay walang mga ugat, at samakatuwid ay hindi maaaring mabulok sa totoong linear na mga kadahilanan.

Ang inilarawan na pamamaraan ay teknikal na simple, ngunit mahirap dahil sa pagiging artipisyal nito. Sa katunayan, napakahirap na makabuo ng mga kinakailangang pantulong na termino. Isang hula lang ang nakatulong sa amin na mahanap ang agnas na ito. Pero

Mayroong mas maaasahang mga paraan upang malutas ang mga naturang problema.

Maaaring magpatuloy ang isa tulad ng sumusunod: ipagpalagay na ang ibinigay na polynomial ay lumalawak sa isang produkto

(X 2 + a X + b )(X 2 + c X + d )

dalawang square trinomals na may integer coefficients.

Kaya, magkakaroon tayo niyan

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + a X + b )(X 2 + c X + d )

Ito ay nananatiling upang matukoy ang mga coefficienta , b , c at d .

Ang pagpaparami ng mga polynomial sa kanang bahagi ng huling pagkakapantay-pantay, makakakuha tayo ng:X 4 + X 2 + 1 = X 4 +

+ (a + c ) X 3 + (b + a c + d ) X 2 + (Ad + bc ) x + bd .

Pero dahil kailangan natin kanang bahagi ang pagkakapantay-pantay na ito ay naging parehong polynomial, na nasa kaliwang bahagi, kailangan namin ang mga sumusunod na kundisyon na matugunan:

a + c = 0

b + a c + d = 1

Ad + bc = 0

bd = 1 .

Ang resulta ay isang sistema ng apat na equation na may apat na hindi alama , b , c at d . Madaling makahanap ng mga coefficient mula sa system na itoa = 1 , b = 1 , c = -1 at d = 1.

Ngayon ang problema ay ganap na nalutas. Nakakuha kami:

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Suliranin 2. I-decompose ang polynomial sa totoong mga salik X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 .

Desisyon. Kinakatawan namin ang polynomial na ito sa anyo

X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X + a )(X 2 + bx + c), saan a , b at kasama - hindi pa natukoy na mga coefficient. Dahil ang dalawang polynomial ay magkapareho kung at kung ang mga coefficient sa parehong kapangyarihanX ay pantay, pagkatapos, equating ang coefficients, ayon sa pagkakabanggit, saX 2 , X at mga libreng termino, nakakakuha tayo ng sistema ng tatlong equation na may tatlong hindi alam:

a+b= - 6

ab+c = 14

ac = - 15 .

Ang solusyon ng sistemang ito ay lubos na mapasimple kung isasaalang-alang natin na ang numero 3 (ang divisor ng libreng termino) ay ang ugat ng equation na ito, at, samakatuwid,a = - 3 ,

b = - 3 at kasama = 5 .

Pagkatapos X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X – 3)(X 2 – 3 x + 5).

Ang inilapat na paraan ng hindi tiyak na mga koepisyent, kung ihahambing sa pamamaraan sa itaas ng pagpapakilala ng mga pantulong na termino, ay hindi naglalaman ng anumang artipisyal, ngunit sa kabilang banda ay nangangailangan ito ng aplikasyon ng maraming mga probisyon ng teoretikal at sinamahan ng medyo malalaking kalkulasyon. Para sa mga polynomial na mas mataas na antas, ang pamamaraang ito ng mga hindi tiyak na coefficient ay humahantong sa masalimuot na sistema ng mga equation.

2.2 Mga Gawain at may mga parameter.

Sa mga nakalipas na taon, ang mga gawain na may mga parameter ay iminungkahi sa mga variant ng USE. Ang kanilang solusyon ay kadalasang nagdudulot ng ilang mga paghihirap. Kapag nilulutas ang mga problema sa mga parameter, kasama ang iba pang mga pamamaraan, posible na epektibong ilapat ang paraan ng hindi tiyak na mga koepisyent. Eksakto ang pamamaraang ito ginagawang mas madali upang malutas ang mga ito at makakuha ng mabilis na sagot.

Gawain 3. Tukuyin kung anong mga halaga ng parameter a equation 2 X 3 – 3 X 2 – 36 X + a – Ang 3 = 0 ay may eksaktong dalawang ugat.

Desisyon. 1 paraan. Sa tulong ng isang derivative.

Kinakatawan namin ang equation na ito sa anyo ng dalawang function

2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3 = – a .

f (x) = 2x 3 - 3 X 2 – 36 X– 3 at φ( X ) = – a .

Paggalugad ng functionf (x) = 2x 3 - 3 X 2 – 36 X - 3 sa tulong ng isang derivative at buuin ang graph nito sa eskematiko (Larawan 1.).

f( – x )f (x ) , f (– x ) – f (x ). Ang function ay hindi kahit na o kakaiba.

3. Hanapin kritikal na mga punto function, ang mga pagitan ng pagtaas at pagbaba nito, mga extremum. f / (x ) = 6 x 2 – 6 X – 36. D (f / ) = R , kaya nahanap namin ang lahat ng mga kritikal na punto ng function sa pamamagitan ng paglutas ng equation f / (x ) = 0 .

6(X 2 – X– 6) = 0 ,

X 2 – X– 6 = 0 ,

X 1 = 3 , X 2 = – 2 sa pamamagitan ng theorem converse sa Vieta theorem.

f / (x ) = 6(X – 3)(X + 2).

+ max - min +

2 3 x

f / (x) > 0 para sa lahat X< – 2 at X > 3 at ang function ay tuloy-tuloy sa mga puntox =– 2 at X = 3 , samakatuwid, tumataas ito sa bawat isa sa mga pagitan (- ; - 2] at [ 3 ; ).

f / (x ) < 0 sa - 2 < X< 3, samakatuwid, bumababa ito sa pagitan [- 2; 3 ].

X = - 2 pinakamataas na punto, dahil sa puntong ito, ang tanda ng derivative ay nagbabago mula sa"+" hanggang "-".

f (– 2) = 2 (– 8) – 3 4 – 36 (– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = Ang 3 ay ang pinakamababang punto, dahil sa puntong ito ay nagbabago ang tanda ng derivative"-" hanggang "+".

f (3) = 2 27 - 3 9 - 36 3 - 3 = 54 - 27 - 108 - 3 = - 138 + +54 = - 84 .

Graph ng function na φ(X ) = – a ay isang tuwid na linya na kahanay ng x-axis at dumadaan sa isang punto na may mga coordinate (0; – a ). Ang mga graph ay may dalawang karaniwang punto sa −a= 41 , ibig sabihin. a =- 41 at - a= - 84 , ibig sabihin. a = 84 .

sa

41 φ( X)

2 3 X

3 f ( x ) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3

2 paraan. Paraan ng hindi tiyak na mga koepisyent.

Dahil, ayon sa kondisyon ng problema, ang equation na ito ay dapat magkaroon lamang ng dalawang ugat, ang katuparan ng pagkakapantay-pantay ay malinaw:

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + a – 3 = (x + b ) 2 (2 x + c ) ,

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + a – 3 = 2 x 3 + (4 b + c ) x 2 + (2 b 2 + +2 bc ) x + b 2 c ,

Ngayon equating ang coefficients sa parehong kapangyarihan X, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga equation

4 b + c = - 3

2b 2 + 2bc=- 36

b 2 c = a – 3 .

Mula sa unang dalawang equation ng system na nakita naminb 2 + b – 6 = 0, kung saan b 1 = - 3 o b 2 = 2 . Kanya-kanyang halagakasama 1 at kasama 2 ito ay madaling mahanap mula sa unang equation ng system:kasama 1 = 9 o kasama 2 = - 11 . Sa wakas, ang nais na halaga ng parameter ay maaaring matukoy mula sa huling equation ng system:

a = b 2 c + 3 , a 1 = - 41 o a 2 = 84.

Sagot: ang equation na ito ay may eksaktong dalawang magkaibang

ugat sa a= - 41 at a= 84 .

Gawain 4. Hanapin pinakamataas na halaga parametera , kung saan ang equationX 3 + 5 X 2 + Oh + b = 0

na may mga integer coefficient ay may tatlong magkakaibang ugat, ang isa ay - 2 .

Desisyon. 1 paraan. Pagpapalit X= - 2 sa kaliwang bahagi ng equation, nakukuha namin

8 + 20 – 2 a + b= 0, ibig sabihin b = 2 a – 12 .

Dahil ang numero - 2 ay ang ugat, maaari mong alisin ang karaniwang kadahilanan X + 2:

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + 2 X 2 + 3 X 2 + Oh + (2 a – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) – 6 x + Oh + (2 a – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) + (a – 6)(x +2) - 2(a – 6)+ (2 a- 12) =

= (X + 2)(X 2 + 3 x + (a – 6) ) .

Sa pamamagitan ng kundisyon, may dalawa pang ugat ng equation. Kaya naman, positibo ang discriminant ng pangalawang salik.

D =3 2 - 4 (a – 6) = 33 – 4 a > 0 , ibig sabihin a < 8,25 .

Tila ang magiging sagot a = walo . Ngunit kapag pinapalitan ang numero 8 sa orihinal na equation, nakukuha natin ang:

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + 5 X 2 + 8 X + 4 = (X + 2)(X 2 + 3 x + 2 ) =

= (X + 1) (X + 2) 2 ,

ibig sabihin, ang equation ay may dalawang natatanging ugat lamang. Ngunit sa a = Ang 7 ay talagang nakakakuha ng tatlong magkakaibang mga ugat.

2 paraan. Paraan ng hindi tiyak na coefficients.

Kung ang equation X 3 + 5 X 2 + Oh + b = 0 ay may ugat X = - 2, pagkatapos ay maaari kang palaging pumili ng mga numeroc at d para sa lahatX ang pagkakapantay-pantay ay totoo

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = (X + 2)(X 2 + kasama x + d ).

Para sa paghahanap ng mga numeroc at d buksan ang mga bracket sa kanang bahagi, magbigay ng mga katulad na termino at kumuha

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + (2 + kasama ) X 2 +(2 may + d ) X + 2 d

Pagtutumbas ng mga coefficient sa kaukulang kapangyarihan X may sistema tayo

2 + kasama = 5

2 kasama + d = a

2 d = b , saan c = 3 .

Kaya naman, X 2 + 3 x + d = 0 , D = 9 – 4 d > 0 o

d < 2.25, kaya d (- ; 2 ].

Ang kondisyon ng problema ay nasiyahan sa pamamagitan ng halaga d = isa. Ang huling nais na halaga ng parametera = 7.

A n e t: kailan a = 7 ang equation na ito ay may tatlong magkakaibang ugat.

2.3. Solusyon ng mga equation.

“Tandaan mo na kapag nalutas mo ang maliliit na problema, ikaw

ihanda ang iyong sarili para sa paglutas ng malaki at mahirap

mga gawain.”

Academician S.L. Sobolev

Kapag nilulutas ang ilang mga equation, posible at kinakailangan upang ipakita ang pagiging maparaan at talino, upang mag-aplay mga espesyal na trick. Ang pagkakaroon ng iba't ibang paraan ng pagbabago at ang kakayahang magsagawa ng lohikal na pangangatwiran ay mayroon sa matematika pinakamahalaga. Isa sa mga trick na ito ay ang magdagdag at magbawas ng ilang napiling expression o numero. Ang nakasaad na katotohanan mismo, siyempre, ay kilala ng lahat - ang pangunahing kahirapan ay upang makita sa isang tiyak na pagsasaayos ang mga pagbabagong iyon ng mga equation kung saan ito ay maginhawa at kapaki-pakinabang na ilapat ito.

Sa isang simpleng algebraic equation, inilalarawan namin ang isang hindi karaniwang paraan para sa paglutas ng mga equation.

Suliranin 5. Lutasin ang equation

=
.

Desisyon. I-multiply ang magkabilang panig ng equation na ito ng 5 at muling isulat ang mga sumusunod

= 0 ; X 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 o
= 0

Nilulutas namin ang mga nagresultang equation sa pamamagitan ng paraan ng mga hindi tiyak na coefficient

X 4 - X 3 –7 X – 3 = (X 2 + ah + b )(x 2 + cx + d ) = 0

X 4 - X 3 –7 X – 3 = X 4 + (a + c ) X 3 + (b + a c + d ) X 2 + (Ad + bc ) x++ bd

Pagtutumbas ng mga coefficient sa X 3 , X 2 , X at mga libreng termino, nakukuha namin ang sistema

a + c = -1

b + a c + d = 0

Ad + bc = -7

bd = -3 , mula sa kung saan natin makikita:a = -2 ; b = - 1 ;

kasama = 1 ; d = 3 .

Kaya X 4 - X 3 –7X– 3 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + X + 3) = 0 ,

X 2 – 2 X– 1 = 0 o X 2 + X + 3 = 0

X 1,2 =
walang ugat.

Katulad nito, mayroon kami

X 4 – 12X – 5 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + 2X + 5) = 0 ,

saan X 2 + 2 X + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

Sagot: X 1,2 =

Suliranin 6. Lutasin ang equation

= 10.

Desisyon. Upang malutas ang equation na ito, kinakailangan upang piliin ang mga numeroa at b upang ang mga numerator ng parehong mga fraction ay pareho. Samakatuwid, mayroon kaming isang sistema:

= 0 , X 0; -1 ; -

= - 10

Kaya, ang gawain ay upang kunin ang mga numeroa at b , kung saan ang pagkakapantay-pantay

(isang + 6) X 2 + ah- 5 = X 2 + (5 + 2 b ) x + b

Ngayon, ayon sa theorem sa pagkakapantay-pantay ng mga polynomial, kinakailangan na ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay na ito ay nagiging parehong polynomial na nasa kaliwang bahagi.

Sa madaling salita, ang mga relasyon ay dapat tumagal

isang + 6 = 1

a = 5 + 2 b

– 5 = b , kung saan makikita natin ang mga halagaa = - 5 ;

b = - 5 .

Sa mga halagang itoa at b pagkakapantay-pantay a + b = - 10 ay may bisa din.

= 0 , X 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(X 2 – 5X– 5)(X 2 + 3X + 1) = 0 ,

X 2 – 5X– 5 = 0 o X 2 + 3X + 1 = 0 ,

X 1,2 =
, X 3,4 =

Sagot: X 1,2 =
, X 3,4 =

Suliranin 7. Lutasin ang equation

= 4

Desisyon. Ang equation na ito ay mas kumplikado kaysa sa mga nauna at samakatuwid ay pinapangkat namin ito sa paraang iyon X 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

Mula sa kondisyon ng pagkakapantay-pantay ng dalawang polynomial

Oh 2 + (isang + 6) X + 12 = X 2 + (b + 11) x – 3 b ,

nakukuha at nilulutas natin ang sistema ng mga equation para sa hindi kilalang coefficienta at b :

a = 1

isang + 6 = b + 11

12 = – 3 b , saan a = 1 , b = - 4 .

Mga Polinomyal - 3 - 6X + cx 2 + 8 cx at X 2 + 21 + 12 d – dx ay magkapareho lamang sa isa't isa kapag

kasama = 1

8 may- 6 = - d

3 = 21 + 12 d , kasama = 1 , d = - 2 .

Para sa mga halagaa = 1 , b = - 4 , kasama = 1 , d = - 2

pagkakapantay-pantay
= - 4 ay patas.

Bilang resulta, ang equation na ito ay tumatagal ng sumusunod na anyo:

= 0 o
= 0 o
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

Mula sa isinasaalang-alang na mga halimbawa ay malinaw kung paano ang mahusay na paggamit ng paraan ng hindi tiyak na mga koepisyent,

tumutulong upang gawing simple ang solusyon ng isang medyo kumplikado, hindi pangkaraniwang equation.

2.4. Mga functional na equation.

“Ang pinakamataas na layunin ng matematika ... ay binubuo

upang mahanap ang nakatagong pagkakasunud-sunod

kaguluhan na nakapaligid sa atin

N. Wiener

Mga Functional Equation-Napaka pangkalahatang klase mga equation kung saan ninanais ang ilang function. Sa ilalim ng functional equation sa maliit na pagiisip Naiintindihan ng mga salita ang mga equation kung saan ang mga gustong function ay nauugnay sa mga kilalang function ng isa o higit pang variable gamit ang formation operation kumplikadong pag-andar. Ang isang functional equation ay maaari ding ituring bilang isang expression ng isang property na nagpapakilala sa isang partikular na klase ng mga function

[ halimbawa, ang functional equation f ( x ) = f (- x ) ay nagpapakilala sa klase ng even functions, ang functional equationf (x + 1) = f (x ) ay ang klase ng mga function na may panahon 1, atbp.].

Ang isa sa pinakasimpleng functional equation ay ang equationf (x + y ) = f (x ) + f (y ). Ang mga tuluy-tuloy na solusyon ng functional equation na ito ay may anyo

f (x ) = Cx . Gayunpaman, sa klase ng mga discontinuous function, ang functional equation na ito ay mayroon ding iba pang solusyon. Ang itinuturing na functional equation ay konektado

f (x + y ) = f (x ) · f (y ), f (x y ) = f (x ) + f (y ), f (x y ) = f (x )· f (y ),

tuloy-tuloy na mga solusyon, na mayroong, ayon sa pagkakabanggit, ang anyo

e cx , MAYlnx , x α (x > 0).

Kaya, ang mga functional equation na ito ay maaaring magsilbi upang tukuyin ang exponential, logarithmic at power function.

Ang pinaka-tinatanggap na ginagamit ay mga equation kung saan ang mga kumplikadong pag-andar ang ninanais ay mga panlabas na pag-andar. Teoretikal at praktikal na aplikasyon

ito ay tiyak na tulad equation na sinenyasan eminent mathematicians upang pag-aralan ang mga ito.

Halimbawa, sa pagkakahanay

f 2 (x) = f (x - y)· f (x + y)

N.I. Lobachevskyginagamit kapag tinutukoy ang anggulo ng parallelism sa kanyang geometry.

Sa mga nagdaang taon, ang mga problemang nauugnay sa solusyon ng mga functional equation ay madalas na inaalok sa mga mathematical Olympiad. Ang kanilang solusyon ay hindi nangangailangan ng kaalaman na lampas sa saklaw ng programa sa matematika pangkalahatang edukasyon na mga paaralan. Gayunpaman, ang solusyon ng mga functional equation ay kadalasang nagiging sanhi ng ilang mga paghihirap.

Ang isa sa mga paraan upang makahanap ng mga solusyon sa mga functional equation ay ang paraan ng mga hindi tiyak na coefficient. Maaari itong ilapat kapag hitsura maaaring tukuyin ang mga equation pangkalahatang anyo gustong function. Nalalapat ito, una sa lahat, sa mga kasong iyon kapag ang mga solusyon ng mga equation ay dapat hanapin sa kabuuan o fractional-rational function.

Ipaliwanag natin ang kakanyahan ng pamamaraang ito sa pamamagitan ng paglutas ng mga sumusunod na problema.

Gawain 8. Tungkulinf (x ) ay tinukoy para sa lahat ng tunay na x at nagbibigay-kasiyahan para sa lahatX R kundisyon

3 f(x) - 2 f(1- x) = x 2 .

Hanapinf (x ).

Desisyon. Dahil sa kaliwang bahagi ng equation na ito sa ibabaw ng independent variable x at ang mga halaga ng functionf mga linear na operasyon lamang ang ginagawa, at ang kanang bahagi ng equation ay quadratic function, pagkatapos natural na ipagpalagay na ang nais na function ay parisukat din:

f (X) = palakol 2 + bx + c , saana, b, c – mga coefficient na tutukuyin, ibig sabihin, mga hindi natukoy na coefficient.

Ang pagpapalit ng function sa equation, dumating tayo sa pagkakakilanlan:

3(palakol 2 + bx+c) – 2(a(1 – x) 2 + b(1 – x) + c) = x 2 .

palakol 2 + (5 b + 4 a) x + (c – 2 a – 2 b) = x 2 .

Magiging magkapareho ang dalawang polynomial kung magkapantay sila

coefficients sa parehong kapangyarihan ng variable:

a = 1

5b + 4a = 0

c– 2 a – 2 b = 0.

Mula sa sistemang ito makikita natin ang mga coefficient

a = 1 , b = - , c = , dinnakakabusogpagkakapantay-pantay

3 f (x ) - 2 f (1- x ) = x 2 sa hanay ng lahat ng tunay na numero. At the same time, meronx 0 Gawain 9. Tungkuliny=f(x) para sa lahat ng x ay tinukoy, tuloy-tuloy at nakakatugon sa kondisyonf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x . Maghanap ng dalawang ganoong function.

Desisyon. Dalawang aksyon ang ginagawa sa nais na function - ang pagpapatakbo ng pag-compile ng isang kumplikadong function at

pagbabawas. Dahil ang kanang bahagi ng equation ay isang linear function, natural na ipagpalagay na ang nais na function ay linear din:f(x) = palakol +b , saana atb ay mga hindi natukoy na coefficient. Ang pagpapalit ng function na ito saf (f ( (x ) = - X - 1 ;

f 2 (x ) = 2 X+ , na mga solusyon ng functional equationf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x .

Konklusyon.

Sa konklusyon, dapat tandaan na ang gawaing ito ay tiyak na makakatulong sa karagdagang pag-aaral ng orihinal at mabisang paraan paglutas ng iba't ibang mga problema sa matematika, na mga gawain ng tumaas na kahirapan at nangangailangan ng isang malalim na kaalaman sa kurso ng paaralan ng matematika at isang mataas na lohikal na kultura. , ang solusyon na magdadala ng benepisyo at kasiyahan.

Paggawa sa loob ng balangkas ng umiiral na kurikulum ng paaralan at sa isang form na naa-access para sa mabisang pang-unawa, ang paraan ng hindi tiyak na mga koepisyent ay ipinakita, na nag-aambag sa pagpapalalim ng kurso sa matematika ng paaralan.

Siyempre, ang lahat ng mga posibilidad ng paraan ng hindi tiyak na mga coefficient ay hindi maipapakita sa isang gawa. Sa katunayan, ang pamamaraan ay nangangailangan pa rin ng karagdagang pag-aaral at pananaliksik.

Listahan ng ginamit na panitikan.

Glazer G.I. Kasaysayan ng matematika sa paaralan.-M.: Edukasyon, 1983.

Gomonov S.A. Mga functional na equation sa kurso ng paaralan ng matematika // Matematika sa paaralan. - 2000 . -№10 .

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh.. Manwal sa matematika.- M.: Nauka, 1972.

Kurosh A.G.. Algebraic equation arbitrary degrees.-M.: Nauka, 1983.

Likhtarnikov L.M. Elementary na panimula sa mga functional equation. - St. Petersburg. : Lan, 1997 .

Manturov O.V., Solntsev Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin N.G. Explanatory dictionary of mathematical terms.-M.: Enlightenment, 1971

Manwal ng Modenov V.P. Mathematics. Ch.1.-M.: Moscow State University, 1977.

Modenov V.P. Mga problema sa mga parameter.-M.: Pagsusulit, 2006.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I. Algebra at pagsusuri ng mga elementary function.- M.: Nauka, 1980.

Khaliullin A.A.. Posibleng mas madaling malutas // Matematika sa paaralan. – 2003 . - №8 .

Khaliullin.

4. Palawakin ang polynomial 2X 4 – 5X 3 + 9X 2 – 5X+ 3 para sa mga multiplier na may mga integer coefficient.

5. Sa anong halaga a X 3 + 6X 2 + Oh+ 12 sa X+ 4 ?

6. Sa anong halaga ng parametera ang equationX 3 +5 X 2 + + Oh + b Ang = 0 na may mga integer coefficient ay may dalawang magkaibang ugat, ang isa ay katumbas ng 1 ?

7. Kabilang sa mga ugat ng isang polynomial X 4 + X 3 – 18X 2 + Oh + b na may integer coefficients mayroong tatlong pantay na integer. Hanapin ang halaga b .

8. Hanapin ang pinakamalaking integer value ng parameter a, sa ilalim ng equation X 3 – 8X 2 + ah +b Ang = 0 na may mga integer coefficient ay may tatlong magkakaibang ugat, ang isa ay katumbas ng 2.

9. Sa anong mga halaga a at b paghahati nang walang natitira X 4 + 3X 3 – 2X 2 + Oh + b sa X 2 – 3X + 2 ?

10. I-factorize ang mga polynomial:

a)X 4 + 2 X 2 – X + 2 sa)X 4 – 4X 3 +9X 2 –8X + 5 e)X 4 + 12X – 5

b)X 4 + 3X 2 + 2X + 3 G)X 4 – 3X –2 e)X 4 – 7X 2 + 1 .

11. Lutasin ang mga equation:

a)
= 2 = 2 f (1 – X ) = X 2 .

Hanapin f (X) .

13. Pag-andar sa= f (X) para sa lahat X ay tinukoy, tuloy-tuloy, at natutugunan ang kondisyon f ( f (X)) = f (X) + X. Maghanap ng dalawang ganoong function.

Ang rational function ay isang fraction ng form , na ang numerator at denominator ay polynomial o produkto ng polynomials.

Halimbawa 1 Hakbang 2

.

Pina-multiply namin ang mga indefinite coefficient sa mga polynomial na wala sa indibidwal na fraction na ito, ngunit nasa ibang mga fraction na nakuha:

Binubuksan namin ang mga bracket at itinutumbas ang numerator ng orihinal na pinagsama at natanggap sa nakuha na expression:

Sa parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay, naghahanap tayo ng mga terminong may parehong kapangyarihan ng x at bumubuo ng isang sistema ng mga equation mula sa kanila:

.

Kinansela namin ang lahat ng x at kumuha ng katumbas na sistema ng mga equation:

.

Kaya, ang huling pagpapalawak ng integrand sa kabuuan mga simpleng fraction:

.

Halimbawa 2 Hakbang 2 Sa hakbang 1, nakuha namin ang sumusunod na pagpapalawak ng orihinal na fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction na may hindi tiyak na coefficient sa mga numerator:

.

Ngayon nagsisimula kaming maghanap ng mga hindi tiyak na coefficient. Upang gawin ito, itinutumbas namin ang numerator ng orihinal na fraction sa expression ng function sa numerator ng expression na nakuha pagkatapos bawasan ang kabuuan ng mga fraction sa isang karaniwang denominator:

Ngayon ay kailangan mong lumikha at lutasin ang isang sistema ng mga equation. Upang gawin ito, itinutumbas namin ang mga coefficient ng variable sa naaangkop na degree sa numerator ng orihinal na expression ng function at mga katulad na coefficient sa expression na nakuha sa nakaraang hakbang:

Nalutas namin ang nagresultang sistema:

Kaya, mula dito

.

Halimbawa 3 Hakbang 2 Sa hakbang 1, nakuha namin ang sumusunod na pagpapalawak ng orihinal na fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction na may hindi tiyak na coefficient sa mga numerator:

Nagsisimula kaming maghanap ng mga hindi tiyak na coefficient. Upang gawin ito, itinutumbas namin ang numerator ng orihinal na fraction sa expression ng function sa numerator ng expression na nakuha pagkatapos bawasan ang kabuuan ng mga fraction sa isang karaniwang denominator:

Tulad ng sa mga nakaraang halimbawa, bumubuo kami ng isang sistema ng mga equation:

Binabawasan namin ang mga x at kumuha ng katumbas na sistema ng mga equation:

Ang paglutas ng system, nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng hindi tiyak na mga coefficient:

Nakukuha namin ang panghuling pagpapalawak ng integrand sa kabuuan ng mga simpleng fraction:

.

Halimbawa 4 Hakbang 2 Sa hakbang 1, nakuha namin ang sumusunod na pagpapalawak ng orihinal na fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction na may hindi tiyak na coefficient sa mga numerator:

.

Paano i-equate ang numerator ng orihinal na fraction sa expression sa numerator na nakuha pagkatapos mabulok ang fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction at bawasan ang kabuuan na ito sa isang common denominator, alam na natin mula sa mga nakaraang halimbawa. Samakatuwid, para lamang sa kontrol, ipinakita namin ang nagresultang sistema ng mga equation:

Ang paglutas ng system, nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng hindi tiyak na mga coefficient:

Nakukuha namin ang panghuling pagpapalawak ng integrand sa kabuuan ng mga simpleng fraction:

Halimbawa 5 Hakbang 2 Sa hakbang 1, nakuha namin ang sumusunod na pagpapalawak ng orihinal na fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction na may hindi tiyak na coefficient sa mga numerator:

.

Independiyente naming dinadala ang kabuuan na ito sa isang karaniwang denominator, itinutumbas ang numerator ng expression na ito sa numerator ng orihinal na fraction. Ang resulta ay dapat ang sumusunod na sistema ng mga equation:

Ang paglutas ng system, nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng hindi tiyak na mga coefficient:

.

Nakukuha namin ang panghuling pagpapalawak ng integrand sa kabuuan ng mga simpleng fraction:

.

Halimbawa 6 Hakbang 2 Sa hakbang 1, nakuha namin ang sumusunod na pagpapalawak ng orihinal na fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction na may hindi tiyak na coefficient sa mga numerator:

Ginagawa namin ang parehong mga aksyon sa halagang ito tulad ng sa mga nakaraang halimbawa. Ang resulta ay dapat ang sumusunod na sistema ng mga equation:

Ang paglutas ng system, nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng hindi tiyak na mga coefficient:

.

Nakukuha namin ang panghuling pagpapalawak ng integrand sa kabuuan ng mga simpleng fraction:

.

Halimbawa 7 Hakbang 2 Sa hakbang 1, nakuha namin ang sumusunod na pagpapalawak ng orihinal na fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction na may hindi tiyak na coefficient sa mga numerator:

.

Pagkatapos mga kilalang aksyon sa resultang kabuuan, ang sumusunod na sistema ng mga equation ay dapat makuha:

Ang paglutas ng system, nakukuha namin ang mga sumusunod na halaga ng hindi tiyak na mga coefficient:

Nakukuha namin ang panghuling pagpapalawak ng integrand sa kabuuan ng mga simpleng fraction:

.

Halimbawa 8 Hakbang 2 Sa hakbang 1, nakuha namin ang sumusunod na pagpapalawak ng orihinal na fraction sa kabuuan ng mga simpleng fraction na may hindi tiyak na coefficient sa mga numerator:

.

Gumawa tayo ng ilang mga pagbabago sa mga aksyon na dinala na sa automaticity upang makakuha ng isang sistema ng mga equation. Mayroong isang artipisyal na lansihin, na sa ilang mga kaso ay nakakatulong upang maiwasan ang mga hindi kinakailangang kalkulasyon. Ang pagdadala ng kabuuan ng mga fraction sa isang karaniwang denominator, nakukuha natin at itinutumbas ang numerator ng expression na ito sa numerator ng orihinal na fraction, nakuha natin.

Ang pamamaraan ay naaangkop para sa pagliit ng logic algebra function ng anumang bilang ng mga variable.

Isaalang-alang ang kaso ng tatlong variable. Ang isang Boolean function sa isang DNF ay maaaring katawanin sa anyo ng lahat ng posibleng conjunctive na mga miyembro na maaaring isama sa isang DNF:

kung saan ang kн(0,1) ay mga coefficient. Ang pamamaraan ay binubuo sa pagpili ng mga coefficient sa paraang ang resultang DNF ay minimal.

Kung itinakda natin ngayon ang lahat ng posibleng mga halaga ng mga variable mula 000 hanggang 111, pagkatapos ay makakakuha tayo ng 2 n (2 3 =8) equation para sa pagtukoy ng mga coefficient. k:

Isinasaalang-alang ang mga set kung saan ang function ay tumatagal ng isang zero na halaga, tukuyin ang mga coefficient na katumbas ng 0, at i-cross out ang mga ito sa mga equation, sa kanang bahagi kung saan ay 1. Sa natitirang mga coefficient sa bawat equation, isang coefficient ang equation sa pagkakaisa, na tumutukoy sa pagkakaugnay ng pinakamaliit na ranggo. Ang natitirang mga koepisyent ay tinutumbas sa 0. Kaya, ang mga yunit ng koepisyent k tukuyin ang kaukulang minimum na anyo.

Halimbawa. I-minimize ang isang ibinigay na function

kung ang mga halaga ay kilala:
;
;
;
;
;
;
;
.

Desisyon.

Matapos tanggalin ang mga zero coefficient, nakukuha namin ang:

=1;

=1;

=1;

=1.

Equate sa pagkakaisa ang koepisyent , na tumutugma sa conjunction ng pinakamaliit na ranggo at ginagawang 1 ang huling apat na equation, at sa unang equation ipinapayong itumbas ang coefficient sa 1 . Ang natitirang mga coefficient ay nakatakda sa 0.

Sagot: uri ng pinaliit na function.

Dapat tandaan na ang paraan ng hindi tiyak na mga coefficient ay epektibo kapag ang bilang ng mga variable ay maliit at hindi lalampas sa 5-6.

Multidimensional na kubo

Isaalang-alang ang isang graphical na representasyon ng isang function sa anyo ng isang multidimensional na kubo. Bawat taluktok n-dimensional na kubo ay maaaring ilagay sa pagsusulatan sa bumubuo ng yunit.

Ang subset ng mga minarkahang vertice ay isang pagmamapa sa n-dimensional cube ng Boolean function mula sa n mga variable sa SDNF.

Upang ipakita ang function mula sa n mga variable na ipinakita sa anumang DNF, kinakailangan na magtatag ng isang sulat sa pagitan ng mga miniterm at elemento nito n-dimensional na kubo.

Miniterm (n-1)-th rank
ay maaaring ituring bilang resulta ng pagdikit ng dalawang minitherms n-ika ranggo, i.e.

=

Sa n-dimensional cube, ito ay tumutugma sa pagpapalit ng dalawang vertices na naiiba lamang sa mga coordinate na halaga X i pag-uugnay sa mga vertice na ito sa isang gilid (sinasabing tinatakpan ng gilid ang insidente ng vertex dito).

Kaya, ang mga miniterms ( n-1)-ika na pagkakasunud-sunod ay tumutugma sa mga gilid ng n-dimensional na kubo.

Katulad nito, ang pagsusulatan ng mga miniterms ( n-2)-ika-utos na mukha n-dimensional na cube, na ang bawat isa ay sumasaklaw sa apat na vertices (at apat na gilid).

Mga elemento n-dimensional na kubo, na nailalarawan sa pamamagitan ng S ang mga sukat ay tinatawag S-mga cube.

Kaya ang mga vertices ay 0-cube, ang mga gilid ay 1-cube, ang mga mukha ay 2-cube, at iba pa.

Sa pagbubuod, masasabi nating ang miniterm ( n-S) ranggo sa DNF para sa function n ipinapakita ang mga variable S-kubo, at bawat isa S Sinasaklaw ng -cube ang lahat ng mga lower-dimensional na cube na konektado lamang sa mga vertices nito.

Halimbawa. Sa fig. ibinigay na pagmamapa

Narito ang mga miniterms
at
tumutugma sa 1-cube ( S=3-2=1), at miniterm X 3 nakamapa sa 2-cube ( S=3-1=2).

Kaya, ang anumang DNF ay nagmamapa sa n-dimensional na hanay ng kubo S-cube na sumasaklaw sa lahat ng vertices na tumutugma sa mga constituent ng mga unit (0-cube).

Mga nasasakupan. Para sa mga variable X 1 ,X 2 ,…X n pagpapahayag
ay tinatawag na bumubuo ng yunit, at
- ang bumubuo ng zero ( ibig sabihin ay alinman , o ).

Ang bahaging ito ng pagkakaisa (zero) ay nagiging pagkakaisa (zero) lamang na may isang hanay ng mga variable na halaga na naaayon dito, na nakukuha kung ang lahat ng mga variable ay kinuha katumbas ng isa (zero), at ang kanilang mga negasyon - sa zero (isa) .

Halimbawa: constituent unit
tumutugma sa set (1011), at ang zero constituent
- set (1001).

Dahil ang SD(K)NF ay isang disjunction (conjunction) ng mga constituent ng pagkakaisa (zero), maaari itong pagtalunan na ang Boolean function na kinakatawan nito f(x 1 , x 2 ,…, x n) nagiging isa (zero) lamang para sa mga hanay ng mga variable na halaga x 1 , x 2 ,…, x n naaayon sa mga kopyang ito. Sa iba pang mga set, ang function na ito ay nagiging 0 (isa).

Totoo rin ang converse assertion, kung saan ang paraan ng pagkatawan bilang isang pormula anuman isang boolean function na tinukoy ng isang table.

Upang gawin ito, kinakailangan na isulat ang mga disjunctions (conjunctions) ng mga nasasakupan ng isa (zero) na naaayon sa mga hanay ng mga variable na halaga kung saan ang function ay tumatagal ng halaga na katumbas ng isa (zero).

Halimbawa, ang function na ibinigay ng talahanayan

tumutugma

Ang mga resultang expression ay maaaring ma-convert sa isa pang anyo batay sa mga katangian ng algebra ng lohika.

Ang kabaligtaran na pahayag ay totoo rin: kung ilan ang itinakda S-sinasaklaw ng mga cubes ang hanay ng lahat ng vertices na tumutugma sa mga halaga ng unit ng function, pagkatapos ay ang disjunction na naaayon sa mga ito S-cubes ng miniterms ay ang pagpapahayag ng ibinigay na function sa DNF.

Sinasabi na ang naturang set S-cube (o miniterms na naaayon sa kanila) ay bumubuo ng isang takip ng function. Ang pagnanais para sa isang minimal na anyo ay intuitively nauunawaan bilang isang paghahanap para sa tulad ng isang takip, ang numero S-cubes na kung saan ay magiging mas maliit, at ang kanilang sukat S- higit pa. Ang takip na naaayon sa pinakamababang hugis ay tinatawag na pinakamababang takip.

Halimbawa, para sa function sa=
ang saklaw ay tumutugma sa hindi minimum na anyo:

bigas a) sa=,

isang coatings sa fig b) sa=
, bigas c) sa=
minimal.

kanin. Saklaw ng pag-andar sa=:

a) di-minimal; b), c) pinakamababa.

Naka-on ang function na pagmamapa n-dimensional na malinaw at simpleng may n3. Ang isang four-dimensional na kubo ay maaaring ilarawan tulad ng ipinapakita sa Fig., na nagpapakita ng mga function ng apat na variable at ang pinakamababang saklaw nito na naaayon sa expression sa=

Gamit ang paraang ito para sa n>4 ay nangangailangan ng ganitong kumplikadong mga konstruksyon na nawawala ang lahat ng mga pakinabang nito.