Ano ang anggulo sa pagitan ng tangent chord? Materyal sa matematika "mga teorema sa mga anggulo na nabuo ng mga chord, tangents at secants"

Tangent sa isang bilog. Mahal na mga kaibigan! Ang batayan ng mga gawain para sa Unified State Exam sa matematika ay kinabibilangan ng isang pangkat ng mga problema kung saan ang kondisyon ay tumatalakay sa isang tangent at itinaas ang tanong ng pagkalkula ng isang anggulo. Ang mga gawaing ito ay napakasimple. Isang maliit na teorya:

Ano ang tangent sa isang bilog?

Mahalagang tandaan ang isang pangunahing katangian ng isang tangent:

Sa mga ipinakitang problema, dalawa pang katangian na nauugnay sa mga anggulo ang ginagamit:

1. Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang quadrilateral ay 360 0, higit pang mga detalye.

2. Ang kabuuan ng mga acute na anggulo ng isang right triangle ay 90 0.

Isaalang-alang natin ang mga gawain:

27879. Sa pamamagitan ng mga dulo A At B Ang mga arko ng isang bilog sa 62 0 tangents ay iginuhit A.C. At B.C.. Hanapin ang anggulo ACB. Ibigay ang iyong sagot sa antas.

Sinasabi na ang sukat ng antas ng arko AB ay tumutugma sa 62 degrees, iyon ay, ang anggulo ng AOB ay katumbas ng 62 0 .

Unang paraan.

Ito ay kilala na ang kabuuan ng mga anggulo sa isang quadrilateral ay 360 0.

Pangalawang paraan.

Sa tatsulok na ABC mahahanap natin ang mga anggulong ABC at BAC. Gamitin natin ang tangent property.

Dahil ang BC ay isang tangent, ang anggulo ng OBC ay katumbas ng 90 0, na nangangahulugang:

Ganun din

Sa isang isosceles triangle AOB:

ibig sabihin

Ayon sa theorem sa kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok:

Sagot: 118 0

27880. Tangents C.A. At C.B. bumuo ng isang anggulo sa bilog ACB, katumbas ng 122 0. Hanapin ang magnitude ng minor arc AB, kinontrata ng mga punto ng tangency. Ibigay ang iyong sagot sa antas.

Ang gawain ay kabaligtaran ng nauna. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang anggulo AOB.

Dahil ang BC at AC ay padaplis, sa pamamagitan ng padaplis na ari-arian:

Ito ay kilala na ang kabuuan ng mga anggulo sa isang quadrilateral ay 360 0 .

Sa quadrilateral OASV alam natin ang tatlong anggulo, mahahanap natin ang pang-apat:

Sagot: 58

27882. Anggulo ACO ay katumbas ng 28 0, kung saan O- gitna ng bilog. Yung side niya C.A. hinawakan ang bilog. Hanapin ang magnitude ng minor arc AB bilog na nakapaloob sa loob ng anggulong ito. Ibigay ang iyong sagot sa antas.

Ang antas ng halaga ng arko ay tumutugma sa anggulong AOS. Iyon ay, ang problema ay bumaba sa paghahanap ng anggulong AOC sa kanang tatsulok na OCA. Ang tatsulok ay hugis-parihaba dahil ang AC ay isang tangent, at ang anggulo sa pagitan ng tangent at ang radius na iginuhit sa tangent point ay 90 degrees.

Ayon sa pag-aari ng isang tamang tatsulok, ang kabuuan ng mga talamak na anggulo nito ay katumbas ng 90 0, na nangangahulugang:

Sagot: 62

27883. Hanapin ang anggulo ACO kung side niya C.A. hinawakan ang bilog O- ang gitna ng bilog, at ang pangunahing arko AD ang bilog na nasa loob ng anggulong ito ay katumbas ng 116 0. Ibigay ang iyong sagot sa antas.

Sinasabi na ang arko AD ang bilog na nakapaloob sa loob ng anggulo ASO ay katumbas ng 116 0, iyon ay, ang anggulong DOA ay katumbas ng 116 0. Ang Triangle OCA ay parihaba.

Ang mga anggulo AOC at DOA ay magkatabi, ibig sabihin, ang kanilang kabuuan ay katumbas ng 180 0, na nangangahulugang:

Ang kinakailangang anggulo ay:

Sagot: 26

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, address Email atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa natatanging alok, mga promosyon at iba pang mga kaganapan at mga paparating na kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan, alinsunod sa batas, hudisyal na pamamaraan, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong pagtatanong o mga kahilingan mula sa mga ahensya ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.

Aralin sa geometry sa ika-10 baitang UMK L.S. Atanasyan

MBOU Verkhlichskaya secondary school, Krasnogorsk district, Bryansk region

Guro: Strugovets Elena Vasilievna

Paksa ng aralin:Anggulo sa pagitan ng tangent at chord.

Layunin ng aralin:Patunayan ang theorem tungkol sa anggulo sa pagitan ng tangent at chord. Tulungan ang mga mag-aaral na bumuo ng kakayahang magamit ang natutunan na theorem kapag nilulutas ang mga problema.

Mga gawain:

I-systematize ang kaalaman ng mga mag-aaral sa seksyon ng planimetry "Ang mga anggulo na nauugnay sa isang bilog" Lumikha ng makabuluhan at organisasyonal na mga kondisyon para sa mga mag-aaral na gumamit ng isang kumplikadong kaalaman upang malutas ang mga problema.

Bumuo ng personal at semantikong relasyon ng mga mag-aaral sa paksang pinag-aaralan. Mag-ambag sa pagbuo ng sama-sama at pansariling gawain, bumuo ng kakayahang malinaw at malinaw na ipahayag ang iyong mga iniisip.

Upang maitanim sa mga mag-aaral ang interes sa paksa sa pamamagitan ng magkasanib na malikhaing gawain; bumuo ng kakayahang tumpak at may kakayahang magsagawa ng mga geometric na konstruksyon at mathematical notation.

Kagamitan:

Mga temang talahanayan, pagtatanghal.

Mga pagsusulit at answer card.

Sa panahon ng mga klase.

Oras ng pag-aayos. (1 min)

Suriin ang kahandaan ng mga mag-aaral para sa aralin at markahan ang mga lumiban.

Pagtatakda ng layunin. (2 minuto)

Sa iyong kuwaderno, isulat ang petsa at paksa ng aralin. Sa aralin, susuriin natin ang teoretikal na kaalaman sa paksang "Ang mga anggulo na nauugnay sa isang bilog." Patunayan natin ang theorem tungkol sa anggulo sa pagitan ng tangent at chord, at alamin kung paano ilapat ito sa paglutas ng mga problema ng iba't ibang uri.

Pag-update ng kaalaman. (7 min)

Pagdidikta (sinusundan ng pagsubok). Tapusin ang pangungusap na iyong binasa.

Ang isang anggulo na ang vertex ay nasa isang bilog ay tinatawag na... (inscribed).

Ang isang anggulo na may vertex sa gitna ng isang bilog ay ... (gitna).

Ang isang segment na nag-uugnay sa dalawang punto sa isang bilog ay tinatawag na... (chord).

Ang pinakamalaki sa mga chord ng mga bilog ay ... (diameter).

Ang sukat ng arko ay katumbas ng sukat ng ... (gitnang anggulo).

Ang isang tuwid na linya na mayroon lamang isang karaniwang punto na may bilog ay tinatawag na... (tangent)

Ang padaplis sa bilog at ang radius na iginuhit sa punto ng kontak ay magkapareho... (patayo)

Ang isang tuwid na linya na may dalawang karaniwang punto na may bilog ay tinatawag na... (secant).

Lahat ng nakasulat na anggulo batay sa diameter ... (kanan)

Ang isang anggulo na nabuo ng dalawang tangent na iginuhit mula sa isang karaniwang punto ay tinatawag na ... (circumscribed).

2) Paglutas ng mga problema ayon sa pagguhit.

3) Paglutas ng problema

Ang gitnang anggulo na AOB ay 30 0 na mas malaki kaysa sa naka-inscribe na anggulo na nasa ilalim ng arko AB. Hanapin ang bawat isa sa mga anggulong ito.

Sagot.30 0 ; 60 0 .

Sagot.50 0 .

IV . Katibayan ng teorama.(5 minuto)

Alam natin na ang isang naka-inscribe na anggulo ay sinusukat ng kalahati ng arko kung saan ito nakapatong. Patunayan natin ang theorem tungkol sa anggulo sa pagitan ng tangent at chord.

Teorama.
Ang anggulo sa pagitan ng tangent at ang chord na dumadaan sa punto ng tangency ay sinusukat ng kalahati ng arko na nakapaloob dito.
Patunay.

Fig.1

Hayaan AB- ibinigay na chord, SS 1 - padaplis na dumadaan sa isang punto A. Kung AB- diameter (Larawan 1), pagkatapos ay nakapaloob sa loob ng anggulo IKAW(at saka
anggulo IKAW 1 ) ang arko ay kalahating bilog. Sa kabilang banda, anggulo IKAW At IKAW 1 sa kasong ito sila ay tuwid, kaya ang teorama ay totoo.

Fig.2
Hayaan ngayon ang chordAB ay hindi diameter. Para sa katiyakan, ipagpalagay natin na ang mga puntosSA At SA 1 sa tangent ay pinili upang ang angguloSAV-
matalim, at ipahiwatig sa pamamagitan ng titik a ang laki ng arko na nakapaloob dito (Larawan 2). Gumuhit tayo ng diameterA D at tandaan na ang tatsulokAB D hugis-parihaba, kayaA D SA= 90° - D AB = IKAW, Dahil ang anggulo ABB nakasulat, pagkatapos A D SA= , at samakatuwid IKAW= . Kaya ang anggulo IKAW sa pagitan ng mga tangentAC at chord AB sinusukat ng kalahati ng arko na nakapaloob dito.
Ang isang katulad na pahayag ay totoo para sa angguloIKAW 1 . talaga, ang mga kantoIKAW At IKAW 1 - katabi, samakatuwidIKAW 1 = 180-=. Sa kabilang banda, (360° - ) ay ang magnitude ng arkoA D SA, nakapaloob sa loob ng sulokIKAW 1 . Ang teorama ay napatunayan.

Paglutas ng mga problema gamit ang mga guhit. (5 minuto)

1. Kung

2. Kung

VI. Paglutas ng mga problema sa disenyo. (7min)

1. Sa pamamagitan ng isang punto D , nakahiga sa radiusOA bilog na may gitnaTUNGKOL SA , isang chord ang iginuhitAraw , patayo saOA, at sa pamamagitan ng punto SA ang isang padaplis sa bilog ay iginuhit na nagsasalubong sa tuwid na linya OA sa puntoE . Patunayan na ang sinagVA- bisector.

Patunay.

ABE=AB – ayon sa teoramatungkol sa anggulo sa pagitan ng tangent at ng chord.

ABC=AC – may nakasulat na anggulo.

AB=AC – pantay na chord subtend pantay na arc, at chords AB at AC ay pantay, dahil ang ABC ay isosceles. Samakatuwid, ABE = ABC, sinagVA- bisector.

VII. Takdang aralin. ( 3 min)

1. Sa tatsulok ABC A=32 0, at C=24 0 . Ang isang bilog na may sentro sa punto B ay dumadaan sa punto A, nag-intersect sa AC sa puntong M, BC sa puntoN. Ano ang katumbas ng A? N M?

2. Mapatunayan ang isang teorama.

VIII. Pagbubuod. Pagsusuri sa sarili ng aralin. (3 min)

Pagsusuri ng gawain ng mga mag-aaral sa klase. Paggawa ng mga marka.

Pagsusuri sa sarili batay sa nakuhang kaalaman

Pangalan ng estudyante: _______________________________________

\[(\Large(\text(Central at inscribed na mga anggulo)))\]

Mga Kahulugan

Ang gitnang anggulo ay isang anggulo na ang vertex ay nasa gitna ng bilog.

Ang inscribed angle ay isang anggulo na ang vertex ay nasa isang bilog.

Ang sukat ng antas ng isang arko ng isang bilog ay ang sukat ng antas ng gitnang anggulo na nagpapalit dito.

Teorama

Ang sukat ng antas ng isang naka-inscribe na anggulo ay katumbas ng kalahati ng sukat ng antas ng arko kung saan ito nakapatong.

Patunay

Isasagawa namin ang patunay sa dalawang yugto: una, patunayan namin ang bisa ng pahayag para sa kaso kapag ang isa sa mga gilid ng inscribed na anggulo ay naglalaman ng diameter. Hayaan ang puntong \(B\) ang vertex ng naka-inscribe na anggulo \(ABC\) at \(BC\) ang diameter ng bilog:

Ang Triangle \(AOB\) ay isosceles, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) ay panlabas, pagkatapos \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), saan \(\angle ABC = 0.5\cdot\angle AOC = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).

Ngayon isaalang-alang ang isang arbitrary inscribed angle \(ABC\) . Iguhit natin ang diameter ng bilog \(BD\) mula sa tuktok ng naka-inscribe na anggulo. Mayroong dalawang posibleng kaso:

1) pinuputol ng diameter ang anggulo sa dalawang anggulo \(\angle ABD, \angle CBD\) (para sa bawat isa kung saan ang theorem ay totoo tulad ng napatunayan sa itaas, samakatuwid ito ay totoo rin para sa orihinal na anggulo, na siyang kabuuan ng mga ito dalawa at samakatuwid ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga arko kung saan sila nagpapahinga, iyon ay, katumbas ng kalahati ng arko kung saan ito nakasalalay). kanin. 1.

2) ang diameter ay hindi pinutol ang anggulo sa dalawang anggulo, pagkatapos ay mayroon kaming dalawa pang bagong inscribed na anggulo \(\angle ABD, \angle CBD\), na ang gilid ay naglalaman ng diameter, samakatuwid, ang teorama ay totoo para sa kanila, pagkatapos ito ay totoo rin para sa orihinal na anggulo (na katumbas ng pagkakaiba ng dalawang anggulong ito, na nangangahulugang ito ay katumbas ng kalahating pagkakaiba ng mga arko kung saan sila nagpapahinga, iyon ay, katumbas ng kalahati ng arko kung saan ito nakapatong) . kanin. 2.

Mga kahihinatnan

1. Ang mga naka-inscribe na anggulo na nag-subtending sa parehong arko ay pantay.

2. Ang isang naka-inscribe na anggulo na nasa ilalim ng kalahating bilog ay isang tamang anggulo.

3. Ang isang naka-inscribe na anggulo ay katumbas ng kalahati ng gitnang anggulo na nasa ilalim ng parehong arko.

\[(\Malaki(\text(Tangent sa bilog)))\]

Mga Kahulugan

May tatlong uri Kaugnay na posisyon tuwid na linya at bilog:

1) ang tuwid na linya na \(a\) ay nag-intersect sa bilog sa dalawang punto. Ang nasabing linya ay tinatawag na secant line. Sa kasong ito, ang distansya \(d\) mula sa gitna ng bilog hanggang sa tuwid na linya ay mas mababa sa radius \(R\) ng bilog (Larawan 3).

2) ang tuwid na linya \(b\) ay nag-intersect sa bilog sa isang punto. Ang nasabing linya ay tinatawag na tangent, at ang kanilang karaniwang puntong \(B\) ay tinatawag na punto ng tangency. Sa kasong ito \(d=R\) (Larawan 4).

Teorama

1. Ang isang padaplis sa isang bilog ay patayo sa radius na iginuhit sa punto ng tangency.

2. Kung ang isang linya ay dumaan sa dulo ng radius ng isang bilog at patayo sa radius na ito, kung gayon ito ay padaplis sa bilog.

Bunga

Ang mga tangent na segment na iginuhit mula sa isang punto hanggang sa isang bilog ay pantay.

Patunay

Gumuhit tayo ng dalawang tangents \(KA\) at \(KB\) sa bilog mula sa puntong \(K\):

Nangangahulugan ito na ang \(OA\perp KA, OB\perp KB\) ay parang radii. Mga Tamang Triangles Ang \(\triangle KAO\) at \(\triangle KBO\) ay pantay sa binti at hypotenuse, samakatuwid, \(KA=KB\) .

Bunga

Ang gitna ng bilog \(O\) ay nasa bisector ng anggulo \(AKB\) na nabuo ng dalawang tangent na iginuhit mula sa parehong punto \(K\) .

\[(\Large(\text(Theorems na may kaugnayan sa mga anggulo)))\]

Theorem sa anggulo sa pagitan ng mga secant

Ang anggulo sa pagitan ng dalawang secants na iginuhit mula sa parehong punto ay katumbas ng kalahating pagkakaiba sa mga sukat ng antas ng mas malaki at mas maliliit na arko na kanilang pinutol.

Patunay

Hayaang ang \(M\) ang punto kung saan iginuhit ang dalawang secan tulad ng ipinapakita sa figure:

Ipakita natin yan \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).

Ang \(\angle DAB\) ay ang panlabas na anggulo ng tatsulok \(MAD\), pagkatapos \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), saan \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\), ngunit ang mga anggulo na \(\angle DAB\) at \(\angle MDA\) ay nakasulat, pagkatapos \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), na kung ano ang kailangang patunayan.

Theorem sa anggulo sa pagitan ng intersecting chords

Ang anggulo sa pagitan ng dalawang intersecting chord ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga sukat ng antas ng mga arko na kanilang pinutol: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]

Patunay

\(\angle BMA = \angle CMD\) bilang patayo.

Mula sa tatsulok \(AMD\): \(\anggulo AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).

Pero \(\anggulo AMD = 180^\circ - \angle CMD\), kung saan napagpasyahan namin iyon \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ smile\over(CD)).\]

Theorem sa anggulo sa pagitan ng isang chord at isang padaplis

Ang anggulo sa pagitan ng padaplis at ang kuwerdas na dumadaan sa punto ng tangency ay katumbas ng kalahati ng sukat ng antas ng arko na nasa ilalim ng kuwerdas.

Patunay

Hayaang hawakan ng tuwid na linya \(a\) ang bilog sa puntong \(A\), \(AB\) ang chord ng bilog na ito, \(O\) ang sentro nito. Hayaang mag-intersect ang linyang naglalaman ng \(OB\) \(a\) sa puntong \(M\) . Patunayan natin yan \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).

Tukuyin natin ang \(\angle OAB = \alpha\) . Dahil ang \(OA\) at \(OB\) ay radii, kung gayon ang \(OA = OB\) at \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). kaya, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

Dahil ang \(OA\) ay ang radius na iginuhit sa tangent point, kung gayon ang \(OA\perp a\), ibig sabihin, \(\angle OAM = 90^\circ\), samakatuwid, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).

Theorem on arcs subtended by equal chords

Equal chords subtend equal arcs na mas maliit kaysa sa mga kalahating bilog.

At sa kabaligtaran: ang mga pantay na arko ay na-subtend ng pantay na mga chord.

Patunay

1) Hayaan \(AB=CD\) . Patunayan natin na ang mas maliliit na kalahating bilog ng arko .

Sa tatlong panig, samakatuwid, \(\angle AOB=\angle COD\) . Pero kasi \(\angle AOB, \angle COD\) - mga gitnang anggulo na sinusuportahan ng mga arko \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) ayon, kung gayon \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).

2) Kung \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), Iyon \(\triangle AOB=\triangle COD\) sa dalawang panig \(AO=BO=CO=DO\) at ang anggulo sa pagitan ng mga ito \(\angle AOB=\angle COD\) . Samakatuwid, at \(AB=CD\) .

Teorama

Kung hinahati ng radius ang chord, kung gayon ito ay patayo dito.

Ang kabaligtaran ay totoo rin: kung ang radius ay patayo sa chord, pagkatapos ay sa punto ng intersection ay hinahati ito.

Patunay

1) Hayaan \(AN=NB\) . Patunayan natin na \(OQ\perp AB\) .

Isaalang-alang ang \(\triangle AOB\) : ito ay isosceles, dahil \(OA=OB\) – radii ng bilog. kasi Ang \(ON\) ay ang median na iginuhit sa base, pagkatapos ito rin ang taas, samakatuwid, \(ON\perp AB\) .

2) Hayaan \(OQ\perp AB\) . Patunayan natin na \(AN=NB\) .

Katulad nito, ang \(\triangle AOB\) ay isosceles, \(ON\) ang taas, samakatuwid, ang \(ON\) ay ang median. Samakatuwid, \(AN=NB\) .

\[(\Large(\text(Theorems na nauugnay sa haba ng mga segment)))\]

Theorem sa produkto ng mga chord segment

Kung ang dalawang chord ng isang bilog ay nagsalubong, kung gayon ang produkto ng mga segment ng isang chord ay katumbas ng produkto ng mga segment ng isa pang chord.

Patunay

Hayaang magsalubong ang mga chord na \(AB\) at \(CD\) sa puntong \(E\) .

Isaalang-alang ang mga tatsulok \(ADE\) at \(CBE\) . Sa mga tatsulok na ito, ang mga anggulo \(1\) at \(2\) ay pantay-pantay, dahil ang mga ito ay nakasulat at nananatili sa parehong arko \(BD\), at ang mga anggulo \(3\) at \(4\) ay pantay bilang patayo. Ang mga Triangles \(ADE\) at \(CBE\) ay magkatulad (batay sa unang criterion ng pagkakatulad ng mga triangles).

Pagkatapos \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), kung saan \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .

Tangent at secant theorem

Square ng tangent segment katumbas ng produkto secant sa panlabas na bahagi nito.

Patunay

Hayaang dumaan ang tangent sa puntong \(M\) at pindutin ang bilog sa puntong \(A\) . Hayaang dumaan ang secant sa puntong \(M\) at i-intersect ang bilog sa mga puntong \(B\) at \(C\) upang \(MB\)< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Isaalang-alang ang mga tatsulok \(MBA\) at \(MCA\) : Ang \(\angle M\) ay karaniwan, \(\angle BCA = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Ayon sa theorem tungkol sa anggulo sa pagitan ng isang tangent at isang secant, \(\angle BAM = 0.5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Kaya, ang mga tatsulok \(MBA\) at \(MCA\) ay magkatulad sa dalawang anggulo.

Mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok \(MBA\) at \(MCA\) mayroon kami: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), na katumbas ng \(MB\cdot MC = MA^2\) .

Bunga

Ang produkto ng isang secant na iginuhit mula sa puntong \(O\) ng panlabas na bahagi nito ay hindi nakadepende sa pagpili ng secant na iginuhit mula sa puntong \(O\) .