Paano makahanap ng isang punto na simetriko tungkol sa isang tuwid na linya. Ang pinakasimpleng mga problema sa isang tuwid na linya sa isang eroplano

Oh-oh-oh-oh-oh ... well, it's tinny, as if you read the sentence to yourself =) However, then relaxation will help, especially since today I bought suitable accessories. Samakatuwid, magpatuloy tayo sa unang seksyon, umaasa ako, sa pagtatapos ng artikulo ay mapanatili ko ang isang masayang kalooban.

Mutual arrangement ng dalawang tuwid na linya

Ang kaso kapag kumakanta ang bulwagan sa koro. Dalawang linya pwede:

1) tugma;

2) maging parallel: ;

3) o bumalandra sa isang punto: .

Tulong para sa mga dummies : mangyaring tandaan ang mathematical sign ng intersection , ito ay magaganap nang napakadalas. Ang entry ay nangangahulugan na ang linya ay bumalandra sa linya sa punto.

Paano matukoy ang kamag-anak na posisyon ng dalawang linya?

Magsimula tayo sa unang kaso:

Dalawang linya ang nagtutugma kung at kung ang kani-kanilang mga coefficient ay proporsyonal, iyon ay, mayroong isang bilang na "lambda" na ang mga pagkakapantay-pantay

Isaalang-alang natin ang mga tuwid na linya at bumuo ng tatlong equation mula sa kaukulang coefficient: . Mula sa bawat equation ay sumusunod na, samakatuwid, ang mga linyang ito ay nag-tutugma.

Sa katunayan, kung ang lahat ng mga coefficient ng equation multiply sa -1 (pagbabago ng mga palatandaan), at lahat ng mga coefficient ng equation bawasan ng 2, makakakuha ka ng parehong equation: .

Ang pangalawang kaso kapag ang mga linya ay parallel:

Dalawang linya ay magkatulad kung at kung ang kanilang mga coefficient sa mga variable ay proporsyonal: , ngunit.

Bilang halimbawa, isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya. Sinusuri namin ang proporsyonalidad ng kaukulang coefficient para sa mga variable:

Gayunpaman, malinaw na .

At ang pangatlong kaso, kapag nagsalubong ang mga linya:

Dalawang linya ay nagsalubong kung at kung ang kanilang mga coefficient ng mga variable ay HINDI proporsyonal, ibig sabihin, WALANG ganoong halaga ng "lambda" na natutupad ang mga pagkakapantay-pantay

Kaya, para sa mga tuwid na linya bubuo kami ng isang sistema:

Mula sa unang equation ito ay sumusunod na , at mula sa pangalawang equation: , samakatuwid, hindi pare-pareho ang sistema(walang solusyon). Kaya, ang mga coefficient sa mga variable ay hindi proporsyonal.

Konklusyon: ang mga linya ay nagsalubong

AT mga praktikal na gawain magagamit ang scheme ng solusyon na tinalakay lang. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay halos kapareho sa algorithm para sa pagsuri ng mga vectors para sa collinearity, na isinasaalang-alang namin sa aralin. Ang konsepto ng linear (non) dependence ng mga vectors. Batayang vector. Ngunit mayroong isang mas sibilisadong pakete:

Halimbawa 1

Alamin ang relatibong posisyon ng mga linya:

Desisyon batay sa pag-aaral ng pagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:

a) Mula sa mga equation nakita natin ang mga vector ng direksyon ng mga linya: .

, kaya ang mga vector ay hindi collinear at ang mga linya ay nagsalubong.

Kung sakali, maglalagay ako ng bato na may mga pointer sa sangang-daan:

Ang natitira ay tumalon sa ibabaw ng bato at sumunod, diretso sa Kashchei na Walang Kamatayan =)

b) Hanapin ang mga vector ng direksyon ng mga linya:

Ang mga linya ay may parehong direksyon ng vector, na nangangahulugang sila ay kahanay o pareho. Dito hindi kailangan ang determinant.

Malinaw, ang mga coefficient ng mga hindi alam ay proporsyonal, habang .

Alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay:

kaya,

c) Hanapin ang mga vector ng direksyon ng mga linya:

Kalkulahin natin ang determinant, na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito:
, samakatuwid, ang mga vector ng direksyon ay collinear. Ang mga linya ay magkatulad o magkatugma.

Ang proportionality factor na "lambda" ay madaling makita nang direkta mula sa ratio ng mga vector ng collinear na direksyon. Gayunpaman, maaari rin itong matagpuan sa pamamagitan ng mga coefficient ng mga equation mismo: .

Ngayon, alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay. Ang parehong mga libreng termino ay zero, kaya:

Ang resultang halaga ay nakakatugon sa equation na ito (anumang numero sa pangkalahatan ay nakakatugon dito).

Kaya, ang mga linya ay nag-tutugma.

Sagot:

Sa lalong madaling panahon matututunan mo (o kahit na natutunan na) upang malutas ang itinuturing na problema sa literal na salita sa loob ng ilang segundo. Sa bagay na ito, wala akong nakikitang dahilan para mag-alok ng anuman malayang desisyon, mas mahusay na maglagay ng isa pang mahalagang brick sa geometric na pundasyon:

Paano gumuhit ng isang linya parallel sa isang ibinigay na isa?

Para sa kamangmangan nito ang pinakasimpleng gawain mahigpit na pinarurusahan ang Nightingale na Magnanakaw.

Halimbawa 2

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Sumulat ng isang equation para sa isang parallel na linya na dumadaan sa punto.

Desisyon: Ipahiwatig ang hindi kilalang linya sa pamamagitan ng titik. Ano ang sinasabi ng kondisyon tungkol dito? Ang linya ay dumadaan sa punto. At kung ang mga linya ay magkatulad, kung gayon ito ay malinaw na ang nagdidirekta na vector ng linyang "ce" ay angkop din para sa pagtatayo ng linyang "de".

Inalis namin ang vector ng direksyon mula sa equation:

Sagot:

Ang geometry ng halimbawa ay mukhang simple:

Ang analytical na pag-verify ay binubuo ng mga sumusunod na hakbang:

1) Sinusuri namin na ang mga linya ay may parehong direksyon ng vector (kung ang equation ng linya ay hindi maayos na pinasimple, kung gayon ang mga vector ay magiging collinear).

2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa resultang equation.

Ang analytical na pag-verify sa karamihan ng mga kaso ay madaling gawin sa salita. Tingnan ang dalawang equation at marami sa inyo ang mabilis na malalaman kung paano magkatulad ang mga linya nang walang anumang pagguhit.

Ang mga halimbawa para sa paglutas sa sarili ngayon ay magiging malikhain. Dahil kailangan mo pang makipagkumpitensya sa Baba Yaga, at siya, alam mo, ay isang mahilig sa lahat ng uri ng mga bugtong.

Halimbawa 3

Sumulat ng isang equation para sa isang linya na dumadaan sa isang punto na kahanay ng linya kung

Mayroong isang makatwiran at hindi masyadong makatwiran na paraan upang malutas. Ang pinakamaikling paraan ay nasa dulo ng aralin.

Gumawa kami ng kaunting trabaho na may mga parallel na linya at babalik sa kanila mamaya. Ang kaso ng magkasabay na mga linya ay hindi gaanong interesado, kaya isaalang-alang ang isang problema na pamilyar sa iyo mula sa kurikulum ng paaralan:

Paano mahahanap ang punto ng intersection ng dalawang linya?

Kung diretso bumalandra sa punto , pagkatapos ang mga coordinate nito ay ang solusyon sistema ng mga linear na equation

Paano mahahanap ang punto ng intersection ng mga linya? Lutasin ang sistema.

Eto para sayo geometriko na kahulugan dalawa linear na equation na may dalawang hindi alam ay dalawang intersecting (pinaka madalas) tuwid na linya sa isang eroplano.

Halimbawa 4

Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya

Desisyon: Mayroong dalawang paraan upang malutas - graphical at analytical.

Grapikong paraan ay ang simpleng pagguhit ng mga ibinigay na linya at alamin ang punto ng intersection nang direkta mula sa pagguhit:

Narito ang aming punto: . Upang suriin, dapat mong palitan ang mga coordinate nito sa bawat equation ng isang tuwid na linya, dapat silang magkasya doon at doon. Sa madaling salita, ang mga coordinate ng isang punto ay ang solusyon ng system . Sa katunayan, isinasaalang-alang namin ang isang graphical na paraan upang malutas sistema ng mga linear na equation na may dalawang equation, dalawang hindi alam.

Ang graphical na paraan, siyempre, ay hindi masama, ngunit may mga kapansin-pansing disadvantages. Hindi, ang punto ay hindi ang mga ikapitong baitang ang magpapasya sa ganitong paraan, ang punto ay magtatagal ng oras upang makagawa ng tama at TOTOONG pagguhit. Bilang karagdagan, ang ilang mga linya ay hindi gaanong madaling gawin, at ang intersection point mismo ay maaaring nasa isang lugar sa ika-tatlumpung kaharian sa labas ng notebook sheet.

Samakatuwid, mas kapaki-pakinabang na hanapin ang intersection point pamamaraang analitikal. Lutasin natin ang sistema:

Upang malutas ang sistema, ginamit ang paraan ng termwise na pagdaragdag ng mga equation. Upang mapaunlad ang mga kaugnay na kasanayan, bisitahin ang aralin Paano malutas ang isang sistema ng mga equation?

Sagot:

Ang pag-verify ay walang halaga - ang mga coordinate ng intersection point ay dapat matugunan ang bawat equation ng system.

Halimbawa 5

Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya kung magsalubong ang mga ito.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Maginhawang hatiin ang problema sa maraming yugto. Ang pagsusuri sa kondisyon ay nagmumungkahi na ito ay kinakailangan:
1) Isulat ang equation ng isang tuwid na linya.
2) Isulat ang equation ng isang tuwid na linya.
3) Alamin ang relatibong posisyon ng mga linya.
4) Kung magsalubong ang mga linya, hanapin ang punto ng intersection.

Ang pagbuo ng isang algorithm ng aksyon ay tipikal para sa maraming mga geometric na problema, at paulit-ulit kong tututuon ito.

Kumpletong Solusyon at ang sagot sa katapusan ng aralin:

Ang isang pares ng sapatos ay hindi pa napupuna, nang makarating kami sa ikalawang seksyon ng aralin:

Mga linyang patayo. Ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya.
Anggulo sa pagitan ng mga linya

Magsimula tayo sa isang tipikal at napakahalagang gawain. Sa unang bahagi, natutunan namin kung paano bumuo ng isang tuwid na linya na kahanay sa ibinigay, at ngayon ang kubo sa mga binti ng manok ay magiging 90 degrees:

Paano gumuhit ng isang linya na patayo sa isang ibinigay?

Halimbawa 6

Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Sumulat ng isang equation para sa isang patayong linya na dumadaan sa isang punto.

Desisyon: Ito ay kilala sa pamamagitan ng pagpapalagay na . Masarap na hanapin ang vector ng direksyon ng tuwid na linya. Dahil ang mga linya ay patayo, ang lansihin ay simple:

Mula sa equation ay "tinatanggal" namin ang normal na vector: , na siyang magiging direksyon ng vector ng tuwid na linya.

Binubuo namin ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang nagdidirekta na vector:

Sagot:

Buksan natin ang geometric sketch:

Hmmm... Orange na langit, orange na dagat, orange na kamelyo.

Analytical na pag-verify ng solusyon:

1) I-extract ang mga vector ng direksyon mula sa mga equation at sa tulong tuldok na produkto ng mga vector napagpasyahan namin na ang mga linya ay talagang patayo: .

Sa pamamagitan ng paraan, maaari kang gumamit ng mga normal na vector, mas madali ito.

2) Suriin kung ang punto ay nakakatugon sa resultang equation .

Ang pag-verify, muli, ay madaling gawin sa salita.

Halimbawa 7

Hanapin ang punto ng intersection ng mga patayong linya, kung ang equation ay kilala at tuldok.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Mayroong ilang mga aksyon sa gawain, kaya ito ay maginhawa upang ayusin ang solusyon sa bawat punto.

Ang aming kapana-panabik na paglalakbay ay nagpapatuloy:

Distansya mula sa punto hanggang linya

Sa harap namin ay isang tuwid na guhit ng ilog at ang aming gawain ay maabot ito sa pinakamaikling paraan. Walang mga hadlang, at ang pinakamainam na ruta ay ang paggalaw sa kahabaan ng patayo. Iyon ay, ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay ang haba ng perpendicular segment.

Ang distansya sa geometry ay tradisyonal na tinutukoy ng letrang Griyego na "ro", halimbawa: - ang distansya mula sa puntong "em" hanggang sa tuwid na linya na "de".

Distansya mula sa punto hanggang linya ay ipinahayag ng pormula

Halimbawa 8

Hanapin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya

Desisyon: ang kailangan mo lang ay maingat na palitan ang mga numero sa formula at gawin ang mga kalkulasyon:

Sagot:

Isagawa natin ang pagguhit:

Ang distansya na natagpuan mula sa punto hanggang sa linya ay eksaktong haba ng pulang segment. Kung gagawa ka ng drawing sa checkered na papel sa sukat na 1 unit. \u003d 1 cm (2 mga cell), kung gayon ang distansya ay maaaring masukat sa isang ordinaryong pinuno.

Isaalang-alang ang isa pang gawain ayon sa parehong pagguhit:

Ang gawain ay upang mahanap ang mga coordinate ng punto , na simetriko sa punto na may paggalang sa linya . Iminumungkahi kong gawin ang mga aksyon nang mag-isa, gayunpaman, ilalarawan ko ang algorithm ng solusyon na may mga intermediate na resulta:

1) Maghanap ng isang linya na patayo sa isang linya.

2) Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya: .

Ang parehong mga aksyon ay tinalakay nang detalyado sa araling ito.

3) Ang punto ay ang midpoint ng segment. Alam namin ang mga coordinate ng gitna at isa sa mga dulo. Sa pamamagitan ng mga formula para sa mga coordinate ng gitna ng segment hanapin ang .

Hindi magiging kalabisan upang suriin na ang distansya ay katumbas din ng 2.2 na yunit.

Ang mga paghihirap dito ay maaaring lumitaw sa mga kalkulasyon, ngunit sa tore ang isang microcalculator ay nakakatulong nang malaki, na nagpapahintulot sa iyo na magbilang mga karaniwang fraction. Nagpayo ng maraming beses at magrerekomenda muli.

Paano mahahanap ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya?

Halimbawa 9

Hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya

Ito ay isa pang halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon. Isang maliit na pahiwatig: mayroong walang katapusang maraming paraan upang malutas. Debriefing sa pagtatapos ng aralin, ngunit mas mahusay na subukang hulaan para sa iyong sarili, sa palagay ko ay nagawa mong ikalat ang iyong talino.

Anggulo sa pagitan ng dalawang linya

Anuman ang sulok, pagkatapos ay ang hamba:

Sa geometry, ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya ay kinukuha bilang MAS MALIIT na anggulo, kung saan awtomatiko itong sumusunod na hindi ito maaaring maging mahina. Sa figure, ang anggulo na ipinahiwatig ng pulang arko ay hindi itinuturing na anggulo sa pagitan ng mga intersecting na linya. At ang "berde" nitong kapitbahay o oppositely oriented pulang sulok.

Kung ang mga linya ay patayo, kung gayon ang alinman sa 4 na anggulo ay maaaring kunin bilang anggulo sa pagitan ng mga ito.

Paano naiiba ang mga anggulo? Oryentasyon. Una, ang direksyon ng "pag-scroll" sa sulok ay pangunahing mahalaga. Pangalawa, ang isang negatibong anggulo ay nakasulat na may minus sign, halimbawa, kung .

Bakit ko nasabi ito? Mukhang makakayanan mo ang karaniwang konsepto ng isang anggulo. Ang katotohanan ay na sa mga pormula kung saan makikita natin ang mga anggulo, ang isang negatibong resulta ay madaling makuha, at hindi ka dapat magtaka. Ang isang anggulo na may minus sign ay hindi mas masahol pa, at may napakaspesipikong geometric na kahulugan. Sa pagguhit para sa isang negatibong anggulo, kinakailangang ipahiwatig ang oryentasyon nito (clockwise) gamit ang isang arrow.

Paano mahahanap ang anggulo sa pagitan ng dalawang linya? Mayroong dalawang gumaganang formula:

Halimbawa 10

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya

Desisyon at Pamamaraan isa

Isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya na ibinigay ng mga equation sa pangkalahatang pananaw:

Kung diretso hindi patayo, pagkatapos nakatuon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Karamihan malapit na pansin bumaling sa denominator - ito ay eksakto produktong scalar mga vector ng direksyon ng mga tuwid na linya:

Kung , kung gayon ang denominator ng formula ay mawawala, at ang mga vector ay magiging orthogonal at ang mga linya ay magiging patayo. Iyon ang dahilan kung bakit ginawa ang isang reserbasyon tungkol sa hindi perpendikularidad ng mga linya sa pagbabalangkas.

Batay sa nabanggit, ang solusyon ay maginhawang gawing pormal sa dalawang hakbang:

1) Kalkulahin produktong scalar mga vector ng direksyon ng mga tuwid na linya:
kaya ang mga linya ay hindi patayo.

2) Nahanap namin ang anggulo sa pagitan ng mga linya sa pamamagitan ng formula:

Sa pamamagitan ng baligtad na pag-andar madaling mahanap ang sulok mismo. Sa kasong ito, ginagamit namin ang kakaiba ng arc tangent (tingnan ang Fig. Mga graph at katangian ng elementarya na pag-andar):

Sagot:

Sa sagot, ipahiwatig eksaktong halaga, pati na rin ang isang tinatayang halaga (mas mabuti sa parehong mga degree at radian) na kinakalkula gamit ang isang calculator.

Well, minus, kaya minus, okay lang. Narito ang isang geometric na paglalarawan:

Hindi nakakagulat na ang anggulo ay naging negatibong oryentasyon, dahil sa kondisyon ng problema ang unang numero ay isang tuwid na linya at ang "pag-twisting" ng anggulo ay nagsimula nang tumpak mula dito.

Kung gusto mo talagang makakuha ng positibong anggulo, kailangan mong palitan ang mga tuwid na linya, iyon ay, kunin ang mga coefficient mula sa pangalawang equation , at kunin ang mga coefficient mula sa unang equation . Sa madaling salita, kailangan mong magsimula sa isang direktang .

Pagbubuo ng problema. Hanapin ang mga coordinate ng isang puntong simetriko sa isang punto kamag-anak sa eroplano.

Plano ng solusyon.

1. Nahanap namin ang equation ng isang tuwid na linya na patayo sa isang naibigay na eroplano at dumadaan sa isang punto . Dahil ang linya ay patayo sa ibinigay na eroplano, kung gayon ang vector ng normal ng eroplano ay maaaring kunin bilang vector ng direksyon nito, i.e.

Samakatuwid, ang equation ng isang tuwid na linya ay magiging

2. Humanap ng punto intersection ng linya at mga eroplano (tingnan ang Problema 13).

3. Punto ay ang gitnang punto ng segment, kung saan ang punto ay isang puntong simetriko sa isang punto , Kaya naman

Gawain 14. Maghanap ng isang puntong simetriko sa isang punto na may paggalang sa eroplano.

Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto na patayo sa isang naibigay na eroplano ay magiging:

Hanapin ang punto ng intersection ng linya at ng eroplano.

saan - ang punto ng intersection ng linya at ng eroplano. ay ang midpoint ng segment, samakatuwid

Yung. .

Homogeneous na mga coordinate ng eroplano. Affine transformations sa eroplano.

Hayaan M X at sa

M(X, saAko (X, sa, 1) sa espasyo (Larawan 8).

Ako (X, sa

Ako (X, sa hu.

(hx, hy, h), h  0,

Magkomento

h(Halimbawa, h

Sa katunayan, isinasaalang-alang h

Magkomento

Halimbawa 1

b) sa kanto (Larawan 9).

1st step.

ika-2 hakbang. Pag-ikot ng anggulo 

ang matrix ng kaukulang pagbabago.

ika-3 hakbang. Ilipat sa vector A(a, b)

ang matrix ng kaukulang pagbabago.

Halimbawa 3

 kasama ang x-axis at

1st step.

ang matrix ng kaukulang pagbabago.

ika-2 hakbang.

ika-3 hakbang.

sa wakas nakuha

Magkomento

[R],[D],[M],[T],

Hayaan M- di-makatwirang punto ng eroplano na may mga coordinate X at sa kinakalkula na may kinalaman sa isang ibinigay na rectilinear coordinate system. Ang mga homogenous na coordinate ng puntong ito ay anumang triple ng sabay-sabay na di-zero na mga numero x 1, x 2, x 3, na nauugnay sa mga ibinigay na numero x at y ng mga sumusunod na relasyon:

Kapag nilulutas ang mga problema sa computer graphics, ang mga homogenous na coordinate ay karaniwang ipinakilala tulad ng sumusunod: isang arbitrary na punto M(X, sa) ang eroplano ay nakatalaga ng isang punto Ako (X, sa, 1) sa espasyo (Larawan 8).

Tandaan na ang isang arbitrary na punto sa linya na nagkokonekta sa pinanggalingan, ang puntong 0(0, 0, 0), kasama ang punto Ako (X, sa, 1) ay maaaring ibigay ng isang triple ng mga numero ng form (hx, hy, h).

Ang vector na may mga coordinate na hx, hy ay ang vector ng direksyon ng tuwid na linya na nagkokonekta sa mga puntos na 0 (0, 0, 0) at Ako (X, sa, isa). Ang linyang ito ay nag-intersect sa eroplanong z = 1 sa punto (x, y, 1), na natatanging tumutukoy sa punto (x, y) ng coordinate plane hu.

Kaya, sa pagitan ng isang arbitrary point na may mga coordinate (x, y) at isang set ng triple ng mga numero ng form

(hx, hy, h), h  0,

ang isang (one-to-one) na sulat ay itinatag, na nagpapahintulot sa amin na isaalang-alang ang mga numerong hx, hy, h bilang mga bagong coordinate ng puntong ito.

Magkomento

Ang mga homogenous na coordinate na malawakang ginagamit sa projective geometry ay ginagawang posible na epektibong ilarawan ang tinatawag na hindi wastong mga elemento (pangunahing yaong kung saan ang projective plane ay naiiba sa Euclidean plane na pamilyar sa atin). Higit pang mga detalye tungkol sa mga bagong tampok na ibinigay ng ipinakilalang homogenous na mga coordinate ay tinalakay sa ikaapat na seksyon ng kabanatang ito.

Sa projective geometry, para sa mga homogenous na coordinate, tinatanggap ang sumusunod na notasyon:

x: y: 1, o, sa pangkalahatan, x 1: x 2: x 3

(tandaan na dito ito ay ganap na kinakailangan na ang mga numero x 1, x 2, x 3 sa parehong oras ay hindi maglaho).

Ang paggamit ng mga homogenous na coordinate ay nagiging maginhawa kahit na nilutas ang pinakasimpleng mga problema.

Isaalang-alang, halimbawa, ang mga isyung nauugnay sa pag-scale. Kung ang display device ay gumagana lamang sa mga integer (o kung ito ay kinakailangan upang gumana lamang sa mga integer), pagkatapos ay para sa isang arbitrary na halaga h(Halimbawa, h= 1) isang punto na may magkakatulad na mga coordinate

hindi maisip. Gayunpaman, sa isang makatwirang pagpili ng h, posibleng matiyak na ang mga coordinate ng puntong ito ay mga integer. Sa partikular, para sa h = 10, para sa halimbawang isinasaalang-alang, mayroon kami

Isaalang-alang natin ang isa pang kaso. Upang ang mga resulta ng pagbabago ay hindi humantong sa aritmetika overflow, para sa isang punto na may mga coordinate (80000 40000 1000) maaari mong kunin, halimbawa, h=0.001. Bilang resulta, nakukuha natin ang (80 40 1).

Ang mga halimbawang ibinigay ay nagpapakita ng pagiging kapaki-pakinabang ng paggamit ng mga homogenous na coordinate sa mga kalkulasyon. Gayunpaman, ang pangunahing layunin ng pagpapakilala ng mga homogenous na coordinate sa mga computer graphics ay ang kanilang walang alinlangan na kaginhawahan sa pag-apply sa mga geometric na pagbabago.

Sa tulong ng mga triple ng homogenous na mga coordinate at matrice ng ikatlong pagkakasunud-sunod, maaaring ilarawan ang anumang affine transformation ng eroplano.

Sa katunayan, isinasaalang-alang h= 1, ihambing ang dalawang entry: minarkahan ng * at ang sumusunod, matrix:

Madaling makita na pagkatapos i-multiply ang mga expression sa kanang bahagi ng huling kaugnayan, makukuha natin ang parehong mga formula (*) at ang tama pagkakapantay-pantay ng numero 1=1.

Magkomento

Minsan sa panitikan ang isa pang notasyon ay ginagamit - isang notasyon sa pamamagitan ng mga hanay:

Ang notasyong ito ay katumbas ng notasyon ng linya sa itaas (at nakuha mula rito sa pamamagitan ng transposisyon).

Ang mga elemento ng isang arbitrary na matrix ng isang affine transformation ay hindi nagdadala ng isang tahasang geometric na kahulugan. Samakatuwid, upang maipatupad ang isang partikular na pagmamapa, iyon ay, upang mahanap ang mga elemento ng kaukulang matrix ayon sa isang ibinigay na geometric na paglalarawan, kinakailangan ang mga espesyal na diskarte. Karaniwan, ang pagtatayo ng matrix na ito, alinsunod sa pagiging kumplikado ng problemang isinasaalang-alang at sa mga partikular na kaso na inilarawan sa itaas, ay nahahati sa ilang mga yugto.

Sa bawat yugto, hinahanap ang isang matrix, na tumutugma sa isa o isa pa sa mga kaso sa itaas na A, B, C, o D, na may mahusay na tinukoy na mga katangian ng geometriko.

Isulat natin ang kaukulang matrice ng ikatlong pagkakasunud-sunod.

A. Rotation matrix, (pag-ikot)

B. Dilatation Matrix

B. Reflection Matrix

D. Transfer Matrix (pagsasalin)

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng mga pagbabago sa affine ng eroplano.

Halimbawa 1

Bumuo ng rotation matrix sa paligid ng point A (a,b) sa kanto (Larawan 9).

1st step. Ilipat sa vector - A (-a, -b) upang ihanay ang gitna ng pag-ikot sa pinanggalingan;

ang matrix ng kaukulang pagbabago.

ika-2 hakbang. Pag-ikot ng anggulo 

ang matrix ng kaukulang pagbabago.

ika-3 hakbang. Ilipat sa vector A(a, b) upang ibalik ang sentro ng pag-ikot sa dati nitong posisyon;

ang matrix ng kaukulang pagbabago.

Pina-multiply namin ang mga matrice sa parehong pagkakasunud-sunod na isinulat nila:

Bilang isang resulta, nakuha namin na ang nais na pagbabagong-anyo (sa matrix notation) ay magiging ganito:

Ang mga elemento ng resultang matrix (lalo na sa huling hilera) ay hindi madaling matandaan. Kasabay nito, ang bawat isa sa tatlong multiplied na matrice ay madaling mabuo mula sa geometric na paglalarawan ng kaukulang pagmamapa.

Halimbawa 3

Bumuo ng Stretch Matrix na may Stretch Factors kasama ang x-axis at kasama ang y-axis at nakasentro sa punto A(a, b).

1st step. Ilipat sa vector -А(-а, -b) upang itugma ang stretching center sa pinanggalingan;

ang matrix ng kaukulang pagbabago.

ika-2 hakbang. Pag-uunat sa mga coordinate axes na may mga coefficient  at , ayon sa pagkakabanggit; ang transformation matrix ay may anyo

ika-3 hakbang. Ilipat sa vector A(a, b) upang ibalik ang stretching center sa dati nitong posisyon; ang matrix ng kaukulang pagbabago ay

I-multiply ang mga matrice sa parehong pagkakasunud-sunod

sa wakas nakuha

Magkomento

Ang pagtatalo sa katulad na paraan, iyon ay, paghiwa-hiwalayin ang iminungkahing pagbabago sa mga yugto na sinusuportahan ng mga matrice[R],[D],[M],[T], ang isang tao ay maaaring bumuo ng matrix ng anumang affine transformation mula sa geometric na paglalarawan nito.

Ang shift ay ipinapatupad sa pamamagitan ng pagdaragdag, at pag-scale at pag-ikot sa pamamagitan ng multiplikasyon.

Pagbabago ng sukat Ang (dilation) na nauugnay sa pinagmulan ay may anyo:

o sa matrix form:

saan Dx,Dy ay ang mga scaling factor sa kahabaan ng axes, at

- scaling matrix.

Para sa D > 1, nangyayari ang pagpapalawak, para sa 0<=D<1- сжатие

I-rotate ang Transform may kaugnayan sa pinagmulan ay may anyo:

o sa matrix form:

kung saan ang φ ay ang anggulo ng pag-ikot, at

- rotation matrix.

Komento: Ang mga column at row ng rotation matrix ay magkaparehong orthogonal unit vectors. Sa katunayan, ang mga parisukat ng mga haba ng mga row vector ay katumbas ng isa:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 at (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

at ang scalar product ng row vectors ay

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Dahil ang scalar product ng mga vectors A · B = |A| ·| B| ·cosψ, kung saan | A| - haba ng vector A, |B| - haba ng vector B, at ang ψ ay ang pinakamaliit na positibong anggulo sa pagitan nila, pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay 0 ng scalar product ng dalawang row vectors ng haba 1 sumusunod na ang anggulo sa pagitan nila ay 90 ° .

1) Maghanap ng isang linya na patayo sa isang linya.

2) Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya: .

Ang parehong mga aksyon ay tinalakay nang detalyado sa araling ito.

3) Ang punto ay ang midpoint ng segment. Alam namin ang mga coordinate ng gitna at isa sa mga dulo. Sa pamamagitan ng mga formula para sa mga coordinate ng gitna ng segment hanapin ang .

Hindi magiging kalabisan upang suriin na ang distansya ay katumbas din ng 2.2 na yunit.

Ang mga paghihirap dito ay maaaring lumitaw sa mga kalkulasyon, ngunit sa tore ang isang microcalculator ay nakakatulong nang malaki, na nagpapahintulot sa iyo na magbilang ng mga ordinaryong fraction. Nagpayo ng maraming beses at magrerekomenda muli.

Paano mahahanap ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya?

Halimbawa 9

Hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang parallel na linya

Anggulo sa pagitan ng dalawang linya

Kung ang mga linya ay patayo, kung gayon ang alinman sa 4 na anggulo ay maaaring kunin bilang anggulo sa pagitan ng mga ito.

Paano mahahanap ang anggulo sa pagitan ng dalawang linya? Mayroong dalawang gumaganang formula:

Halimbawa 10

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya

Desisyon at Pamamaraan isa

Isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya na ibinigay ng mga equation sa pangkalahatang anyo:

Kung diretso hindi patayo, pagkatapos nakatuon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay maaaring kalkulahin gamit ang formula:

Bigyang-pansin natin ang denominator - ito ay eksakto produktong scalar mga vector ng direksyon ng mga tuwid na linya:

Batay sa nabanggit, ang solusyon ay maginhawang gawing pormal sa dalawang hakbang:

1) Kalkulahin ang scalar product ng pagdidirekta ng mga vector ng mga tuwid na linya:

2) Nahanap namin ang anggulo sa pagitan ng mga linya sa pamamagitan ng formula:

Gamit ang inverse function, madaling mahanap ang mismong anggulo. Sa kasong ito, ginagamit namin ang kakaiba ng arc tangent (tingnan ang Fig. Mga Graph at Properties elementarya na pag-andar ):

Sagot:

Sa sagot, ipinapahiwatig namin ang eksaktong halaga, pati na rin ang tinatayang halaga (mas mabuti sa mga degree at sa radians), na kinakalkula gamit ang isang calculator.

Hindi ko itatago, ako mismo ang pumili ng mga tuwid na linya sa pagkakasunud-sunod na positibo ang anggulo. Mas maganda, pero wala na.

Upang suriin ang solusyon, maaari kang kumuha ng protractor at sukatin ang anggulo.

Ikalawang pamamaraan

Kung ang mga linya ay ibinigay ng mga equation na may slope at hindi patayo, pagkatapos nakatuon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay matatagpuan gamit ang formula:

Ang kondisyon ng perpendicularity ng mga tuwid na linya ay ipinahayag ng pagkakapantay-pantay, mula sa kung saan, sa pamamagitan ng paraan, ang isang napaka-kapaki-pakinabang na relasyon ng mga slope coefficients ng patayo na tuwid na mga linya ay sumusunod: , na ginagamit sa ilang mga problema.

Ang algorithm ng solusyon ay katulad ng nakaraang talata. Ngunit una, muling isulat natin ang ating mga linya sa kinakailangang anyo:

Kaya, ang mga slope coefficient:

1) Suriin kung ang mga linya ay patayo:
kaya ang mga linya ay hindi patayo.

2) Ginagamit namin ang formula:

Sagot:

Ang pangalawang paraan ay angkop na gamitin kapag ang mga equation ng mga linya ay unang nakatakda sa isang slope. Dapat pansinin na kung hindi bababa sa isang linya ay kahanay sa y-axis, kung gayon ang formula ay hindi naaangkop sa lahat, dahil ang slope ay hindi tinukoy para sa mga naturang linya (tingnan ang artikulo Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano).

Mayroon ding ikatlong solusyon. Ang ideya ay kalkulahin ang anggulo sa pagitan ng mga vector ng direksyon ng mga linya gamit ang formula na tinalakay sa aralin Tuldok na produkto ng mga vector:

Dito hindi natin pinag-uusapan ang isang oriented na anggulo, ngunit "halos isang anggulo", iyon ay, ang resulta ay tiyak na magiging positibo. Ang catch ay maaari kang makakuha ng isang mahinang anggulo (hindi ang kailangan mo). Sa kasong ito, kailangan mong magpareserba na ang anggulo sa pagitan ng mga linya ay isang mas maliit na anggulo, at ibawas ang resultang arc cosine mula sa "pi" radians (180 degrees).

Ang mga nagnanais ay maaaring malutas ang problema sa ikatlong paraan. Ngunit inirerekomenda ko pa rin na manatili sa unang diskarte na nakatuon sa anggulo, dahil malawak itong ginagamit.

Halimbawa 11

Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya.

Ito ay isang halimbawa ng do-it-yourself. Subukang lutasin ito sa dalawang paraan.

Kahit papaano ang fairy tale ay namatay sa daan .... Dahil walang Kashchei the Immortal. Nandiyan ako, at hindi partikular na steamed. Sa totoo lang, naisip ko na ang artikulo ay mas mahaba. Ngunit gayunpaman, kukuha ako ng isang kamakailang nakuha na sumbrero na may mga baso at lumangoy sa tubig ng lawa ng Setyembre. Perpektong pinapawi ang pagkapagod at negatibong enerhiya.

Hanggang sa muli!

At tandaan, ang Baba Yaga ay hindi nakansela =)

Mga solusyon at sagot:

Halimbawa 3:Desisyon : Hanapin ang vector ng direksyon ng tuwid na linya :

Bubuo tayo ng equation ng nais na tuwid na linya gamit ang punto at vector ng direksyon . Dahil ang isa sa mga coordinate ng vector ng direksyon ay zero, ang equation isulat muli sa form:

Sagot :

Halimbawa 5:Desisyon :
1) Straight line equation gumawa ng dalawang puntos :

2) Straight line equation gumawa ng dalawang puntos :

3) Mga kaukulang coefficient para sa mga variable wala sa tamang hugis: , kaya nagsalubong ang mga linya.
4) Maghanap ng isang punto :

Tandaan : dito ang unang equation ng system ay pinarami ng 5, pagkatapos ang ika-2 ay binabawasan ng termino sa pamamagitan ng termino mula sa 1st equation.
Sagot :

Ang isang tuwid na linya sa kalawakan ay maaaring palaging tukuyin bilang isang linya ng intersection ng dalawang hindi magkatulad na eroplano. Kung ang equation ng isang eroplano ay ang equation ng pangalawang eroplano, kung gayon ang equation ng tuwid na linya ay ibinibigay bilang

dito hindi collinear
. Ang mga equation na ito ay tinatawag pangkalahatang equation tuwid na linya sa kalawakan.

Canonical equation ng tuwid na linya

Anumang di-zero na vector na nakahiga sa isang naibigay na linya o kahanay nito ay tinatawag na isang direktang vector ng linyang ito.

Kung alam ang punto
linya at vector ng direksyon nito
, pagkatapos ay ang mga canonical equation ng linya ay may anyo:

. (9)

Parametric equation ng isang tuwid na linya

Hayaang ibigay ang mga canonical equation ng linya

Mula dito, nakukuha natin ang mga parametric equation ng tuwid na linya:

(10)

Ang mga equation na ito ay kapaki-pakinabang para sa paghahanap ng punto ng intersection ng isang linya at isang eroplano.

Equation ng isang linya na dumadaan sa dalawang puntos
at
mukhang:

Anggulo sa pagitan ng mga linya

Anggulo sa pagitan ng mga linya

ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng kanilang mga vector ng direksyon. Samakatuwid, maaari itong kalkulahin sa pamamagitan ng formula (4):

Kondisyon ng mga parallel na linya:

Kondisyon ng perpendicularity ng mga eroplano:

Distansya ng isang punto mula sa isang tuwid na linya

P ibinigay na punto
at direktang

Mula sa mga canonical equation ng linya, ang punto ay kilala
, na kabilang sa linya, at vector ng direksyon nito
. Tapos yung point distance
mula sa isang tuwid na linya ay katumbas ng taas ng isang paralelogram na binuo sa mga vectors at
. Kaya naman,

Kondisyon ng intersection ng linya

Dalawang hindi magkatulad na linya

bumalandra kung at kung lamang

Mutual arrangement ng isang tuwid na linya at isang eroplano.

Hayaan ang tuwid na linya
at patag. Iniksyon sa pagitan ng mga ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula

Suliranin 73. Isulat ang mga canonical equation ng linya

(11)

Desisyon. Upang maisulat ang mga canonical equation ng linya (9), kailangang malaman ang anumang puntong kabilang sa linya at ang nagdidirekta na vector ng linya.

Hanapin natin ang vector parallel sa ibinigay na linya. Dahil dapat itong patayo sa mga normal na vector ng mga eroplanong ito, i.e.

,
, pagkatapos

Mula sa mga pangkalahatang equation ng tuwid na linya, mayroon tayo nito
,
. Pagkatapos

Since the point
anumang punto ng linya, kung gayon ang mga coordinate nito ay dapat matugunan ang mga equation ng linya, at ang isa sa mga ito ay maaaring tukuyin, halimbawa,
, nakita namin ang iba pang dalawang coordinate mula sa system (11):

Mula rito,
.

Kaya, ang mga canonical equation ng nais na linya ay may anyo:

o
.

Suliranin 74.

at
.

Desisyon. Mula sa mga canonical equation ng unang linya, ang mga coordinate ng punto ay kilala
na kabilang sa linya, at ang mga coordinate ng vector ng direksyon
. Mula sa mga canonical equation ng pangalawang linya, ang mga coordinate ng punto ay kilala rin
at mga coordinate ng vector ng direksyon
.

Ang distansya sa pagitan ng mga parallel na linya ay katumbas ng distansya ng isang punto
mula sa pangalawang linya. Ang distansya na ito ay kinakalkula ng formula

Hanapin natin ang mga coordinate ng vector
.

Kalkulahin ang produkto ng vector
:

Suliranin 75. Humanap ng punto simetriko punto
medyo tuwid

Desisyon. Isinulat namin ang equation ng eroplano na patayo sa ibinigay na linya at dumadaan sa punto . Bilang normal na vector nito maaari nating kunin ang nagdidirekta na vector bilang isang tuwid na linya. Pagkatapos
. Kaya naman,

Maghanap tayo ng punto
ang punto ng intersection ng ibinigay na linya at ang eroplano P. Upang gawin ito, isinusulat namin ang mga parametric equation ng linya, gamit ang mga equation (10), nakuha namin

Kaya naman,
.

Hayaan
punto simetriko sa punto
tungkol sa linyang ito. Pagkatapos ang punto
gitnang punto
. Upang mahanap ang mga coordinate ng isang punto ginagamit namin ang mga formula para sa mga coordinate ng gitna ng segment:

,
,
.

Kaya,
.

Suliranin 76. Isulat ang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang tuwid na linya
at

a) sa pamamagitan ng isang tuldok
;

b) patayo sa eroplano.

Desisyon. Isulat natin ang mga pangkalahatang equation ng tuwid na linyang ito. Upang gawin ito, isaalang-alang ang dalawang pagkakapantay-pantay:

Nangangahulugan ito na ang nais na eroplano ay kabilang sa isang lapis ng mga eroplano na may mga generator at ang equation nito ay maaaring isulat sa form (8):

a) hanapin
at mula sa kondisyon na ang eroplano ay dumaan sa punto
, samakatuwid, ang mga coordinate nito ay dapat matugunan ang equation ng eroplano. Palitan ang mga coordinate ng punto
sa equation ng isang sinag ng mga eroplano:

Nakahanap ng halaga
pinapalitan natin ang equation (12). makuha namin ang equation ng nais na eroplano:

b) hanapin
at mula sa kondisyon na ang nais na eroplano ay patayo sa eroplano. Ang normal na vector ng isang naibigay na eroplano
, ang normal na vector ng nais na eroplano (tingnan ang equation para sa isang bundle ng mga eroplano (12).

Dalawang vector ay patayo kung at kung ang kanilang tuldok na produkto ay zero. Kaya naman,

Palitan ang nahanap na halaga
sa equation ng isang sinag ng mga eroplano (12). Nakukuha namin ang equation ng nais na eroplano:

Mga gawain para sa malayang solusyon

Suliranin 77. Dalhin sa canonical form ang mga equation ng mga linya:

1)
2)

Suliranin 78. Sumulat ng mga parametric equation ng isang tuwid na linya
, kung:

1)
,
; 2)
,
.

Suliranin 79. Sumulat ng isang equation para sa isang eroplanong dumadaan sa isang punto
patayo sa linya

Problema 80. Isulat ang mga equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto
patayo sa eroplano.

Suliranin 81. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya:

1)
at
;

2)
at

Suliranin 82. Patunayan ang mga parallel na linya:

at
.

Suliranin 83. Patunayan ang perpendicularity ng mga linya:

Suliranin 84. Kalkulahin ang distansya ng punto
mula sa tuwid:

1)
; 2)
.

Suliranin 85. Kalkulahin ang distansya sa pagitan ng mga parallel na linya:

at
.

Suliranin 86. Sa mga straight line equation
tukuyin ang parameter upang ang linyang ito ay bumalandra sa linya at mahanap ang punto ng kanilang intersection.

Suliranin 87. Ipakita na ito ay tuwid
parallel sa eroplano
, at ang tuwid na linya
namamalagi sa eroplanong ito.

Suliranin 88. Humanap ng punto simetriko punto kamag-anak sa eroplano
, kung:

1)
, ;

2)
, ;.

Suliranin 89. Isulat ang equation para sa isang patayo na nahulog mula sa isang punto
direkta
.

Problema 90. Humanap ng punto simetriko punto
medyo tuwid
.

Hayaang magbigay ng ilang tuwid na linya na ibinigay ng isang linear equation at isang punto na ibinigay ng mga coordinate nito (x0, y0) at hindi nakahiga sa tuwid na linyang ito. Kinakailangang maghanap ng isang punto na magiging simetriko sa isang naibigay na punto na may paggalang sa isang ibinigay na tuwid na linya, iyon ay, ay magkakasabay dito, kung ang eroplano ay nakabaluktot sa kalahati sa tuwid na linya na ito.

Pagtuturo

1. Malinaw na ang parehong mga punto - ibinigay at ninanais - ay dapat na nasa parehong linya, at ang linyang ito ay dapat na patayo sa ibinigay. Kaya, ang unang bahagi ng problema ay upang mahanap ang equation ng isang tuwid na linya na magiging patayo sa ilang partikular na linya at sa parehong oras ay dumaan sa isang ibinigay na punto.

2. Ang isang tuwid na linya ay maaaring tukuyin sa dalawang paraan. Ang canonical equation ng isang tuwid na linya ay ganito ang hitsura: Ax + By + C = 0, kung saan ang A, B, at C ay mga constant. Gayundin, ang isang tuwid na linya ay maaaring matukoy gamit ang isang linear function: y \u003d kx + b, kung saan ang k ay ang angular exponent, b ay ang displacement. Ang dalawang pamamaraan na ito ay mapagpapalit, at pinapayagan itong lumipat mula sa bawat isa. Kung Ax + By + C = 0, y = – (Ax + C)/B. Sa madaling salita, sa isang linear function na y = kx + b, ang angular exponent k = -A/B, at ang offset b = -C/B. Para sa gawaing nasa kamay, mas komportable na mangatwiran batay sa canonical equation ng isang tuwid na linya.

3. Kung ang dalawang linya ay patayo sa isa't isa, at ang equation ng unang linya ay Ax + By + C = 0, kung gayon ang equation ng 2nd line ay dapat na Bx - Ay + D = 0, kung saan ang D ay isang pare-pareho. Upang makahanap ng isang tiyak na halaga ng D, kinakailangan na dagdagan na malaman kung saan dumadaan ang patayo na linya. Sa kasong ito, ito ang punto (x0, y0). Dahil dito, dapat matugunan ng D ang pagkakapantay-pantay: Bx0 – Ay0 + D = 0, ibig sabihin, D = Ay0 – Bx0.

4. Sa ibang pagkakataon, pagkatapos na matagpuan ang patayo na linya, kinakailangan upang kalkulahin ang mga coordinate ng punto ng intersection nito sa ibinigay na isa. Upang gawin ito, kailangan mong lutasin ang isang sistema ng mga linear na equation: Ax + By + C = 0, Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0. Ang solusyon nito ay magbibigay ng mga numero (x1, y1) na nagsisilbing mga coordinate ng punto ng intersection ng mga linya.

5. Ang nais na punto ay dapat na nasa nakitang linya, at ang distansya nito sa intersection point ay dapat na katumbas ng distansya mula sa intersection point hanggang sa punto (x0, y0). Ang mga coordinate ng isang puntong simetriko sa punto (x0, y0) ay maaaring matagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng sistema ng mga equation: Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0,?((x1 - x0)^2 + (y1 - y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Ngunit gawin itong mas madali. Kung ang mga puntos (x0, y0) at (x, y) ay nasa pantay na distansya mula sa punto (x1, y1), at lahat ng tatlong puntos ay nasa parehong linya, kung gayon: x - x1 = x1 - x0,y - y1 = y1 - y0. Dahil dito, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Ang pagpapalit ng mga halagang ito sa pangalawang equation ng unang sistema at pagpapasimple ng mga expression, madaling tiyakin na ang kanang bahagi nito ay magiging pareho sa kaliwa. Bilang karagdagan, walang saysay na isaalang-alang ang unang equation nang mas malapit, dahil alam na ang mga puntos (x0, y0) at (x1, y1) ay nagbibigay-kasiyahan dito, at ang punto (x, y) ay tiyak na namamalagi sa parehong linya .