Teorya ng Probability. Mga Batayan ng Teorya ng Probability at Mga Istatistika ng Matematika
Ang ilang mga programmer, pagkatapos magtrabaho sa pagbuo ng mga maginoo na komersyal na aplikasyon, ay nag-iisip tungkol sa mastering machine learning at maging isang data analyst. Kadalasan ay hindi nila nauunawaan kung bakit gumagana ang ilang mga pamamaraan, at ang karamihan sa mga pamamaraan sa pag-aaral ng makina ay tila magic. Sa katunayan, ang pag-aaral ng makina ay batay sa mga istatistika ng matematika, at iyon naman, ay batay sa teorya ng posibilidad. Samakatuwid, sa artikulong ito kami ay tumutuon sa mga pangunahing konsepto teorya ng probabilidad: hahawakan natin ang mga kahulugan ng probabilidad, pamamahagi at pag-aaralan ang ilang simpleng halimbawa.
Maaaring alam mo na ang probability theory ay may kondisyong nahahati sa 2 bahagi. Pinag-aaralan ng discrete probability theory ang mga phenomena na maaaring ilarawan sa pamamagitan ng isang distribution na may hangganan (o mabibilang) na bilang ng mga posibleng pag-uugali (throws of dice, coins). Pinag-aaralan ng tuluy-tuloy na teorya ng probabilidad ang mga phenomena na ipinamahagi sa ilang siksik na hanay, halimbawa, sa isang segment o sa isang bilog.
Maaari mong isaalang-alang ang paksa ng probability theory sa simpleng halimbawa. Isipin ang iyong sarili bilang isang developer ng tagabaril. Ang isang mahalagang bahagi ng pagbuo ng mga laro sa genre na ito ay ang mekanika ng pagbaril. Ito ay malinaw na ang isang tagabaril kung saan ang lahat ng mga armas ay ganap na tumpak na bumaril ay magiging kaunting interes sa mga manlalaro. Samakatuwid, ito ay kinakailangan upang magdagdag ng pagkalat sa armas. Ngunit ang simpleng pag-randomize ng mga hitpoint ng armas ay hindi magbibigay-daan para sa fine-tuning, kaya magiging mahirap ang pagsasaayos ng balanse ng laro. Kasabay nito, ang paggamit mga random na variable at ang kanilang mga pamamahagi, maaari mong suriin kung paano gaganap ang isang sandata na may ibinigay na spread at tutulungan kang gawin ang mga kinakailangang pagsasaayos.
Space ng elementarya kinalabasan
Ipagpalagay, mula sa ilang random na eksperimento na maaari nating ulitin nang maraming beses (halimbawa, paghahagis ng barya), maaari tayong kumuha ng ilang pormal na impormasyon (mga ulo o buntot). Ang impormasyong ito ay tinatawag na elementarya na kinalabasan, at ito ay kapaki-pakinabang na isaalang-alang ang hanay ng lahat ng elementarya na kinalabasan, na kadalasang tinutukoy ng titik Ω (Omega).
Ang istraktura ng espasyong ito ay ganap na nakasalalay sa likas na katangian ng eksperimento. Halimbawa, kung isasaalang-alang namin ang pagbaril sa isang sapat na malaking pabilog na target, ang espasyo ng elementarya na mga kinalabasan ay magiging isang bilog, para sa kaginhawahan, inilalagay sa sentro sa zero, at ang kalalabasan ay magiging isang punto sa bilog na ito.
Bilang karagdagan, isinasaalang-alang nila ang mga hanay ng elementarya na mga resulta - mga kaganapan (halimbawa, ang pagpindot sa "top ten" ay isang concentric na bilog ng maliit na radius na may target). Sa discrete case, ang lahat ay medyo simple: maaari tayong makakuha ng anumang kaganapan, kabilang o hindi kasama ang mga elementarya na kinalabasan sa isang takdang panahon. Sa patuloy na kaso, gayunpaman, ang lahat ay mas kumplikado: kailangan namin ng ilang sapat na pamilya ng mga set upang isaalang-alang, na tinatawag na algebra, sa pamamagitan ng pagkakatulad sa mga simpleng tunay na numero na maaaring idagdag, ibawas, hatiin at i-multiply. Ang mga set sa isang algebra ay maaaring intersected at pinagsama, at ang resulta ng operasyon ay nasa algebra. Ito ay isang napakahalagang katangian para sa matematika sa likod ng lahat ng mga konseptong ito. Ang minimal na pamilya ay binubuo lamang ng dalawang set - ang walang laman na hanay at ang espasyo ng elementarya na mga resulta.
Sukat at Probability
Ang probabilidad ay isang paraan ng paggawa ng mga hinuha tungkol sa pag-uugali ng mga napakakomplikadong bagay nang hindi nauunawaan kung paano gumagana ang mga ito. Kaya, ang probabilidad ay tinukoy bilang isang function ng isang kaganapan (mula sa napakagandang pamilya ng mga set), na nagbabalik ng isang numero - ilang katangian kung gaano kadalas maaaring mangyari ang isang kaganapan sa katotohanan. Para sa katiyakan, sumang-ayon ang mga mathematician na ang bilang na ito ay dapat nasa pagitan ng zero at isa. Bilang karagdagan, ang mga kinakailangan ay ipinapataw sa function na ito: ang posibilidad ng isang imposibleng kaganapan ay zero, ang posibilidad ng buong hanay ng mga resulta ay pagkakaisa, at ang posibilidad ng pagsasama-sama ng dalawang independyenteng mga kaganapan (disjoint set) ay katumbas ng kabuuan ng mga probabilidad. . Ang isa pang pangalan para sa posibilidad ay isang sukatan ng posibilidad. Ang pinakakaraniwang ginagamit na sukat ng Lebesgue, na nagsa-generalize ng mga konsepto ng haba, lugar, volume sa anumang mga dimensyon (n-dimensional volume), at sa gayon ito ay naaangkop sa isang malawak na klase ng mga set.
Magkasama, tinatawag ang set ng set ng elementary outcomes, family of sets, at probability measure puwang ng posibilidad. Tingnan natin kung paano tayo makakagawa ng probability space para sa halimbawa ng target na pagbaril.
Isaalang-alang ang pagbaril sa isang malaking bilog na target ng radius R na hindi maaaring makaligtaan. Bilang isang hanay ng mga elementarya na kaganapan, naglalagay kami ng bilog na nakasentro sa pinagmulan ng mga coordinate ng radius R . Dahil gagamitin namin ang lugar (ang Lebesgue measure para sa dalawang-dimensional na hanay) upang ilarawan ang posibilidad ng isang kaganapan, gagamitin namin ang pamilya ng masusukat (kung saan umiiral ang panukalang ito) na mga hanay.
Tandaan Talaga, ito teknikal na punto at sa mga simpleng gawain ang proseso ng pagtukoy ng sukat at ang pamilya ng mga set ay hindi gumaganap ng isang espesyal na papel. Ngunit kinakailangang maunawaan na ang dalawang bagay na ito ay umiiral, dahil sa maraming mga libro sa teorya ng posibilidad, ang mga teorema ay nagsisimula sa mga salitang: " Hayaang ang (Ω,Σ,P) ay isang probability space...».
Tulad ng nabanggit sa itaas, ang posibilidad ng buong espasyo ng mga elementarya na kinalabasan ay dapat na katumbas ng isa. Ang lugar (ang dalawang-dimensional na sukat ng Lebesgue, na tutukuyin natin ng λ 2 (A), kung saan ang A ay ang kaganapan) ng bilog, ayon sa kilalang formula mula sa paaralan, ay π * R 2 . Pagkatapos ay maaari nating ipakilala ang posibilidad na P(A) = λ 2 (A) / (π *R 2) , at ang halagang ito ay nasa pagitan na ng 0 at 1 para sa anumang kaganapan A.
Kung ipagpalagay natin na ang pagtama sa anumang punto ng target ay pantay na posibilidad, ang paghahanap para sa posibilidad ng pagtama ng tagabaril sa ilang lugar ng target ay nabawasan sa paghahanap ng lugar ng set na ito (kaya maaari nating tapusin na ang Ang posibilidad na matamaan ang isang tiyak na punto ay zero, dahil ang lugar ng punto ay zero).
Halimbawa, gusto naming malaman kung ano ang posibilidad na matamaan ng tagabaril ang "sampu" (kaganapan A - natamaan ng tagabaril ang tamang hanay). Sa aming modelo, ang "sampu" ay kinakatawan ng isang bilog na nakasentro sa zero at may radius r. Kung gayon ang posibilidad na mahulog sa bilog na ito ay P(A) = λ 2 /(A)π *R 2 = π * r 2 /(π R 2)= (r/R) 2 .
Isa ito sa pinaka mga simpleng uri mga problema sa "geometric probability" - karamihan sa mga problemang ito ay nangangailangan ng paghahanap sa lugar.
mga random na variable
Ang isang random na variable ay isang function na nagko-convert ng mga elementarya na kinalabasan sa mga tunay na numero. Halimbawa, sa isinasaalang-alang na problema, maaari tayong magpakilala ng random variable ρ(ω) — ang distansya mula sa punto ng epekto hanggang sa gitna ng target. Ang pagiging simple ng aming modelo ay nagbibigay-daan sa amin na tahasang tukuyin ang espasyo ng elementarya na mga kinalabasan: Ω = (ω = (x,y) na mga numero na ang x 2 +y 2 ≤ R 2 ) . Pagkatapos ang random variable ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 .
Paraan ng abstraction mula sa probability space. Pag-andar at density ng pamamahagi
Ito ay mabuti kapag ang istraktura ng espasyo ay kilala, ngunit sa katotohanan ay hindi ito palaging ang kaso. Kahit na alam ang istraktura ng espasyo, maaari itong maging kumplikado. Upang ilarawan ang mga random na variable, kung hindi alam ang kanilang pagpapahayag, mayroong konsepto ng isang function ng pamamahagi, na tinutukoy ng F ξ (x) = P(ξ< x) (нижний индекс ξ здесь означает случайную величину). Т.е. это вероятность множества всех таких элементарных исходов, для которых значение случайной величины ξ на этом событии меньше, чем заданный параметр x .
Ang distribution function ay may ilang mga katangian:
- Una, ito ay nasa pagitan ng 0 at 1 .
- Pangalawa, hindi ito bumababa kapag tumaas ang argumento nito x.
- Pangatlo, kapag ang numero -x ay napakalaki, ang distribution function ay malapit sa 0, at kapag ang x mismo ay malaki, ang distribution function ay malapit sa 1.
Marahil, ang kahulugan ng konstruksiyon na ito ay hindi masyadong malinaw sa unang pagbasa. Isa sa mga kapaki-pakinabang na katangian- Binibigyang-daan ka ng distribution function na hanapin ang posibilidad na ang halaga ay kumuha ng halaga mula sa pagitan. Kaya, ang P (random variable ξ ay kumukuha ng mga halaga mula sa pagitan ) = F ξ (b)-F ξ (a) . Batay sa pagkakapantay-pantay na ito, maaari nating siyasatin kung paano nagbabago ang halagang ito kung ang mga hangganan a at b ng pagitan ay malapit.
Hayaan ang d = b-a , pagkatapos ay b = a+d . At samakatuwid, F ξ (b)-F ξ (a) = F ξ (a+d) - F ξ (a) . Para sa maliliit na halaga ng d, ang pagkakaiba sa itaas ay maliit din (kung tuluy-tuloy ang pamamahagi). Makatuwirang isaalang-alang ang kaugnayan p ξ (a,d)= (F ξ (a+d) - F ξ (a))/d . Kung para sa sapat na maliliit na halaga ng d ang ratio na ito ay naiiba nang kaunti mula sa ilang pare-parehong p ξ (a), independiyente sa d, kung gayon sa puntong ito ang random variable ay may density na katumbas ng p ξ (a) .
Tandaan Maaaring mapansin ng mga mambabasa na dati nang nakatagpo ng konsepto ng isang derivative na ang p ξ (a) ay ang derivative ng function F ξ (x) sa punto a . Sa anumang kaso, maaari mong pag-aralan ang konsepto ng isang derivative sa isang artikulo na nakatuon sa paksang ito sa website ng Mathprofi.
Ngayon ang kahulugan ng function ng pamamahagi ay maaaring tukuyin tulad ng sumusunod: ang hinango nito (density p ξ , na tinukoy namin sa itaas) sa puntong a ay naglalarawan kung gaano kadalas mahuhulog ang isang random na variable sa isang maliit na agwat na nakasentro sa punto a (kapitbahayan ng punto a) kumpara sa mga kapitbahayan ng iba pang mga punto. Sa madaling salita, mas mabilis na lumalaki ang function ng pamamahagi, mas malamang na lilitaw ang ganoong halaga sa isang random na eksperimento.
Bumalik tayo sa halimbawa. Maaari nating kalkulahin ang distribution function para sa isang random variable, ρ(ω) = ρ(x,y) = x 2 +y 2 , na nagsasaad ng distansya mula sa gitna hanggang sa punto ng random na hit sa target. Sa pamamagitan ng kahulugan, F ρ (t) = P(ρ(x,y)< t) . т.е. множество {ρ(x,y) < t)} — состоит из таких точек (x,y) , расстояние от которых до нуля меньше, чем t . Мы уже считали вероятность такого события, когда вычисляли вероятность попадания в «десятку» - она равна t 2 /R 2 . Таким образом, Fρ(t) = P(ρ(x,y) < t) = t 2 /R 2 , для 0 Mahahanap natin ang density p ρ ng random variable na ito. Napansin namin kaagad na ito ay zero sa labas ng pagitan, dahil ang distribution function sa interval na ito ay hindi nagbabago. Sa mga dulo ng agwat na ito, ang density ay hindi tinutukoy. Sa loob ng agwat, makikita ito gamit ang isang talahanayan ng mga derivatives (halimbawa, mula sa website ng Mathprofi) at mga panuntunan sa elementarya sa pagkakaiba-iba. Ang derivative ng t 2 /R 2 ay 2t/R 2 . Nangangahulugan ito na nakita namin ang density sa buong axis ng mga tunay na numero. Ang isa pang kapaki-pakinabang na katangian ng density ay ang posibilidad na ang isang function ay kumukuha ng isang halaga mula sa isang pagitan ay kinakalkula gamit ang integral ng density sa pagitan na ito (maaari kang maging pamilyar sa kung ano ito sa mga artikulo tungkol sa wasto, hindi wasto, hindi tiyak na mga integral sa website ng Mathprofi ). Sa unang pagbabasa, ang span integral ng function na f(x) ay maaaring isipin bilang ang lugar ng isang curvilinear trapezoid. Ang mga gilid nito ay isang fragment ng Ox axis, isang gap (ng pahalang na coordinate axis), mga vertical na segment na nagkokonekta sa mga punto (a,f(a)), (b,f(b)) sa curve na may mga puntos (a, 0), (b,0 ) sa x-axis. Ang huling bahagi ay isang fragment ng graph ng function na f mula sa (a,f(a)) hanggang (b,f(b)) . Maaari nating pag-usapan ang integral sa pagitan (-∞; b] , kapag para sa sapat na malalaking negatibong halaga, a, ang halaga ng integral sa pagitan ay magbabago nang maliit kumpara sa pagbabago sa bilang a. Ang integral sa ibabaw ng ang mga pagitan ay tinutukoy sa katulad na paraan Mga paksa ng teknolohiya ng impormasyon sa pangkalahatan EN probability theory ng pagkalkula ng posibilidad ng pagkakataon … Handbook ng Teknikal na Tagasalin Teorya ng posibilidad- may bahagi ng matematika na nag-aaral ng mga ugnayan sa pagitan ng mga probabilidad (tingnan ang Probability at Statistics) ng iba't ibang pangyayari. Inilista namin ang pinakamahalagang teorema na nauugnay sa agham na ito. Ang posibilidad ng paglitaw ng isa sa ilang mga hindi tugmang kaganapan ay katumbas ng ... ... encyclopedic Dictionary F. Brockhaus at I.A. Efron TEORYANG PROBABILIDAD- mathematical isang agham na nagpapahintulot, ayon sa mga posibilidad ng ilang mga random na kaganapan (tingnan), upang mahanap ang mga probabilidad ng mga random na kaganapan na nauugnay sa k. l. paraan kasama ang una. Modernong TV batay sa axiomatics (tingnan ang Axiomatic method) ng A. N. Kolmogorov. Sa… … Sociological encyclopedia ng Russia Teorya ng posibilidad- isang sangay ng matematika kung saan, ayon sa ibinigay na mga probabilidad ng ilang random na mga kaganapan, ang mga probabilidad ng iba pang mga kaganapan ay matatagpuan, na nauugnay sa ilang paraan sa una. Pinag-aaralan din ng probability theory ang mga random variable at random na proseso. Isa sa mga pangunahing…… Mga konsepto modernong natural na agham. Glossary ng mga pangunahing termino teorya ng posibilidad- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. teorya ng posibilidad vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, f rus. teorya ng posibilidad, f pranc. theorie des probabilités, f … Fizikos terminų žodynas Teorya ng Probability- ... Wikipedia Teorya ng posibilidad- isang matematikal na disiplina na nag-aaral ng mga pattern ng random phenomena ... Mga simula ng modernong natural na agham TEORYANG PROBABILIDAD- (teorya ng probabilidad) tingnan ang Probability ... Malaking paliwanag sosyolohikal na diksyunaryo Teorya ng posibilidad at mga aplikasyon nito- ("Probability Theory and Its Applications"), isang siyentipikong journal ng Department of Mathematics ng USSR Academy of Sciences. Mag-publish ng mga orihinal na artikulo at maikling mensahe ayon sa teorya ng posibilidad, pangkalahatang isyu mga istatistika ng matematika at ang kanilang mga aplikasyon sa natural na agham at ... ... Malaki ensiklopedya ng sobyet
Mga libro
