Teorya ng Probability at Mathematical Statistics.

Si Nanay ang naghugas ng frame

Sa pagtatapos ng mahabang bakasyon sa tag-araw, oras na para dahan-dahang bumalik sa mas matataas na matematika at taimtim na magbukas ng walang laman na Verd file upang magsimulang lumikha ng bagong seksyon - . Inaamin ko na ang mga unang linya ay hindi madali, ngunit ang unang hakbang ay kalahati ng paraan, kaya iminumungkahi ko sa lahat na maingat na pag-aralan ang panimulang artikulo, pagkatapos nito ay magiging 2 beses na mas madaling makabisado ang paksa! Hindi naman ako nag-e-exaggerate. ... Sa bisperas ng susunod na Setyembre 1, naalala ko ang unang baitang at primer .... Ang mga titik ay bumubuo ng mga pantig, mga pantig sa mga salita, mga salita sa mga maikling pangungusap - Si Nanay ay naghugas ng frame. Makayanan ang terver at mga istatistika ng matematika kasing dali ng matutong magbasa! Gayunpaman, para dito kinakailangan na malaman ang mga pangunahing termino, konsepto at pagtatalaga, pati na rin ang ilang mga tiyak na patakaran, kung saan nakatuon ang araling ito.

Ngunit una, mangyaring tanggapin ang aking pagbati sa simula (pagpapatuloy, pagkumpleto, tala kung kinakailangan) taon ng paaralan at tanggapin ang regalo. Ang pinakamagandang regalo ay isang libro, at para sa pansariling gawain Inirerekomenda ko ang sumusunod na panitikan:

1) Gmurman V.E. Teorya ng Probability at Mathematical Statistics

maalamat pagtuturo mahigit sampung edisyon. Naiiba ito sa pagiging madaling maunawaan at ang pinakasimpleng presentasyon ng materyal, at ang mga unang kabanata ay ganap na naa-access, sa palagay ko, para na sa mga mag-aaral sa mga baitang 6-7.

2) Gmurman V.E. Gabay sa Paglutas ng Problema sa Probability at Mathematical Statistics

Reshebnik ng parehong Vladimir Efimovich na may detalyadong mga halimbawa at gawain.

KINAKAILANGAN i-download ang parehong mga libro mula sa Internet o kunin ang kanilang mga orihinal na papel! Ang isang 60s-70s na bersyon ay magagawa, na mas mahusay para sa mga dummies. Bagaman ang pariralang "probability for dummies" ay parang katawa-tawa, dahil halos lahat ay limitado sa elementarya. mga operasyon sa aritmetika. Nadulas sila, gayunpaman, sa mga lugar derivatives at integral, ngunit ito ay sa mga lugar lamang.

Susubukan kong makamit ang parehong kalinawan ng pagtatanghal, ngunit dapat kong balaan ka na ang aking kurso ay nakatuon sa pagtugon sa suliranin at ang mga teoretikal na kalkulasyon ay pinananatiling pinakamababa. Kaya, kung kailangan mo ng isang detalyadong teorya, mga patunay ng theorems (theorem-theorem!), mangyaring sumangguni sa aklat-aralin. Well, sino gusto matutong lutasin ang mga problema sa probability theory at mathematical statistics sa karamihan maikling oras , Sundan mo ako!

Sapat na para makapagsimula =)

Habang binabasa mo ang mga artikulo, ipinapayong kilalanin (kahit saglit lang) sa mga karagdagang gawain ng mga uri na isinasaalang-alang. Sa pahina Mga handa nang solusyon para sa mas mataas na matematika kaugnay na pdf-ki na may mga halimbawa ng mga solusyon ay ilalagay. Magkakaroon din ng makabuluhang tulong IDZ 18.1 Ryabushko(mas madali) at nalutas ang IDZ ayon sa koleksyon ng Chudesenko(mas mahirap).

1) sum dalawang pangyayari at tinatawag na pangyayari na binubuo sa katotohanang o kaganapan o kaganapan o magkasabay na pangyayari. Kung sakaling ang mga pangyayari hindi magkatugma, nawawala ang huling opsyon, iyon ay, maaari itong mangyari o kaganapan o pangyayari .

Nalalapat din ang panuntunan sa malaking dami mga tuntunin, halimbawa, isang kaganapan ay kung ano ang mangyayari kahit isa mula sa mga pangyayari , a kung hindi magkatugma ang mga pangyayari – ang isa at isa lamang kaganapan mula sa kabuuan na ito: o kaganapan, o kaganapan, o kaganapan, o kaganapan, o pangyayari .

Maraming mga halimbawa:

Ang kaganapan (kapag ang paghagis ng isang mamatay ay hindi bumaba ng 5 puntos) ay iyon o 1, o 2, o 3, o 4, o 6 na puntos.

Kaganapan (huhulog wala na dalawang puntos) ay iyon 1 o 2puntos.

Kaganapan (magkakaroon ng kahit na bilang ng mga puntos) ay ang o 2 o 4 o 6 na puntos.

Ang kaganapan ay ang isang card ng pulang suit (puso) ay iguguhit mula sa deck o tamburin), at ang kaganapan - na ang "larawan" ay makukuha (jack o ginang o hari o alas).

Ang isang maliit na mas kawili-wiling ay ang kaso sa magkasanib na mga kaganapan:

Ang kaganapan ay ang isang club ay iguguhit mula sa deck o pito o pitong club Ayon sa kahulugan sa itaas, kahit ano- o anumang club o anumang pito o ang kanilang "pagtatawid" - pitong club. Madaling kalkulahin na ang kaganapang ito ay tumutugma sa 12 elementarya na kinalabasan (9 club card + 3 natitirang pito).

Ang kaganapan ay bukas sa 12.00 KAHIT ISA sa mga summable joint event, ibig sabihin:

- o magkakaroon lamang ng ulan / kulog lamang / araw lamang;
- o ilang pares lang ng mga kaganapan ang darating (ulan + bagyo / ulan + araw / bagyo + araw);
– o lahat ng tatlong kaganapan ay lilitaw sa parehong oras.

Ibig sabihin, kasama sa kaganapan ang 7 posibleng resulta.

Ang pangalawang haligi ng algebra ng mga kaganapan:

2) trabaho dalawang kaganapan at tinatawag na kaganapan, na binubuo sa magkasanib na hitsura ng mga kaganapang ito, sa madaling salita, ang pagpaparami ay nangangahulugan na sa ilalim ng ilang mga pangyayari ay darating at kaganapan, at pangyayari . Ang isang katulad na pahayag ay totoo para sa mas malaking bilang ng mga kaganapan, halimbawa, ang gawain ay nagpapahiwatig na sa ilalim ng ilang mga kundisyon, magkakaroon ng at kaganapan, at kaganapan, at kaganapan, …, at pangyayari .

Isaalang-alang ang isang pagsubok kung saan ang dalawang barya ay inihagis at ang mga sumusunod na kaganapan:

- ang mga ulo ay mahuhulog sa 1st coin;
- ang 1st coin ay makakarating ng mga buntot;
- ang 2nd coin ay makakarating sa mga ulo;
- ang 2nd coin ay lalabas ng mga buntot.

Pagkatapos:
at sa ika-2) ang isang agila ay mahuhulog;
- ang kaganapan ay binubuo sa katotohanan na sa parehong mga barya (sa 1st at sa ika-2) mga buntot ay mahuhulog;
– ang kaganapan ay ang 1st coin ay makakarating sa mga ulo at sa 2nd coin tails;
- ang kaganapan ay ang 1st coin ay lalabas ng mga buntot at sa 2nd coin isang agila.

Ito ay madaling makita na ang mga kaganapan hindi magkatugma (dahil hindi ito, halimbawa, mahuhulog ng 2 ulo at 2 buntot sa parehong oras) at anyo buong grupo (mula nang isaalang-alang lahat posibleng resulta ng paghagis ng dalawang barya). Ibuod natin ang mga pangyayaring ito: . Paano i-interpret ang entry na ito? Napakasimple - ang pagpaparami ay nangangahulugang lohikal na koneksyon At, at ang karagdagan ay O. Kaya, ang kabuuan ay madaling basahin sa naiintindihan na wika ng tao: “dalawang agila ang babagsak o dalawang buntot o ulo sa 1st coin at sa 2nd tail o ulo sa 1st coin at agila sa ika-2 barya »

Ito ay isang halimbawa noong sa isang pagsubok ilang bagay ang kasangkot, sa kasong ito ay dalawang barya. Isa pang karaniwan sa mga praktikal na gawain ah ang scheme ay paulit-ulit na pagsusulit kapag, halimbawa, ang parehong dice ay itinapon ng 3 beses sa isang hilera. Bilang isang pagpapakita, isaalang-alang ang mga sumusunod na kaganapan:

- sa 1st throw, 4 na puntos ang mahuhulog;
- sa 2nd roll, 5 puntos ang mahuhulog;
- sa 3rd throw, 6 points ang mahuhulog.

Tapos yung event ay binubuo sa katotohanan na sa 1st roll ay mahuhulog ang 4 na puntos at sa 2nd roll ay bababa ng 5 puntos at sa 3rd roll, 6 points ang babagsak. Malinaw, sa kaso ng isang die, magkakaroon ng mas maraming kumbinasyon (mga resulta) kaysa kung tayo ay naghahagis ng barya.

... Naiintindihan ko na, marahil, hindi nila masyadong naiintindihan kawili-wiling mga halimbawa, ngunit ito ang mga bagay na kadalasang nakakaharap sa mga gawain at hindi maiiwasan. Bilang karagdagan sa isang barya, isang die at isang deck ng mga baraha, may mga urn na may mga makukulay na bola, ilang hindi kilalang tao na bumaril sa isang target, at isang walang kapagurang manggagawa na patuloy na gumiling ng ilang mga detalye =)

Probability ng Kaganapan

Probability ng Kaganapan ay isang sentral na konsepto sa teorya ng posibilidad. ...Isang nakamamatay na lohikal na bagay, ngunit kailangan mong magsimula sa isang lugar =) Mayroong ilang mga diskarte sa kahulugan nito:

;
Geometric na kahulugan ng posibilidad ;
Istatistikong kahulugan ng posibilidad .

Sa artikulong ito, tututuon ko ang klasikal na kahulugan ng mga probabilidad, na pinakamalawak na ginagamit sa mga gawaing pang-edukasyon.

Notasyon. Ang posibilidad ng ilang kaganapan ay tinutukoy ng isang malaking Latin na titik , at ang kaganapan mismo ay kinuha sa mga bracket, na kumikilos bilang isang uri ng argumento. Halimbawa:

Gayundin, ang isang maliit na titik ay malawakang ginagamit upang kumatawan sa posibilidad. Sa partikular, maaaring iwanan ng isa ang masalimuot na pagtatalaga ng mga kaganapan at ang kanilang mga probabilidad pabor sa sumusunod na istilo:

ay ang posibilidad na ang paghagis ng isang barya ay magreresulta sa mga ulo;
- ang posibilidad na mahulog ang 5 puntos bilang resulta ng paghagis ng dice;
ay ang posibilidad na ang isang card ng club suit ay makukuha mula sa deck.

Ang pagpipiliang ito ay popular sa paglutas ng mga praktikal na problema, dahil pinapayagan ka nitong makabuluhang bawasan ang pagpasok ng solusyon. Tulad ng sa unang kaso, maginhawang gumamit ng "nag-uusap" na mga subscript/superscript dito.

Matagal nang nahulaan ng lahat ang tungkol sa mga numero na isinulat ko lang sa itaas, at ngayon malalaman natin kung paano sila naging:

Ang klasikal na kahulugan ng posibilidad:

Ang posibilidad ng isang kaganapan na nagaganap sa ilang pagsubok ay ang ratio , kung saan:

ay ang kabuuang bilang ng lahat pare-parehong posible, elementarya kinalabasan ng pagsusulit na ito, na bumubuo buong pangkat ng mga kaganapan;

- dami elementarya kinalabasan kanais-nais pangyayari .

Kapag ang isang barya ay inihagis, alinman sa mga ulo o buntot ay maaaring mahulog - ang mga kaganapang ito ay nabuo buong grupo, sa gayon, ang kabuuang bilang ng mga kinalabasan ; habang ang bawat isa sa kanila elementarya at pare-parehong posible. Ang kaganapan ay pinapaboran ng kinalabasan (mga ulo). Ayon sa klasikal na kahulugan ng mga probabilidad: .

Katulad nito, bilang isang resulta ng isang roll ng isang die, elementarya pantay na posibleng mga resulta ay maaaring lumitaw, na bumubuo ng isang kumpletong grupo, at ang kaganapan ay pinapaboran ng isang solong resulta (rolling a five). kaya naman: .HINDI ITO TINANGGAP NA GAWIN (bagama't hindi ipinagbabawal na alamin ang mga porsyento sa iyong isipan).

Nakaugalian na gumamit ng mga fraction ng isang yunit, at, malinaw naman, ang posibilidad ay maaaring mag-iba sa loob ng . Bukod dito, kung , kung gayon ang kaganapan ay imposible, kung - tunay, at kung , kung gayon ang pinag-uusapan natin random kaganapan.

! Kung sa kurso ng paglutas ng anumang problema makakakuha ka ng ilang iba pang halaga ng posibilidad - maghanap ng isang error!

Sa klasikal na diskarte sa kahulugan ng posibilidad, ang mga matinding halaga (zero at isa) ay nakuha sa pamamagitan ng eksaktong parehong pangangatwiran. Hayaang mabunot ng random ang 1 bola mula sa isang urn na naglalaman ng 10 pulang bola. Isaalang-alang ang mga sumusunod na kaganapan:

sa isang pagsubok, hindi mangyayari ang isang hindi malamang na kaganapan.

Iyon ang dahilan kung bakit hindi ka tatama sa Jackpot sa lottery kung ang posibilidad ng kaganapang ito ay, sabihin nating, 0.00000001. Oo, oo, ikaw ito - na may tanging tiket sa isang partikular na sirkulasyon. Gayunpaman, hindi gaanong makakatulong sa iyo ang mas maraming tiket at mas maraming draw. ... Kapag sinasabi ko sa iba ang tungkol dito, halos lagi kong naririnig bilang tugon: "ngunit may nanalo." Okay, pagkatapos ay gawin natin ang sumusunod na eksperimento: mangyaring bumili ng anumang tiket sa lottery ngayon o bukas (huwag mag-antala!). At kung manalo ka ... mabuti, hindi bababa sa higit sa 10 kilo rubles, siguraduhing mag-unsubscribe - ipapaliwanag ko kung bakit nangyari ito. Para sa isang porsyento, siyempre =) =)

Ngunit hindi kailangang malungkot, dahil mayroong isang kabaligtaran na prinsipyo: kung ang posibilidad ng ilang kaganapan ay napakalapit sa pagkakaisa, kung gayon sa isang pagsubok ito halos tiyak mangyayari. Samakatuwid, bago ang isang parachute jump, huwag matakot, sa kabaligtaran - ngumiti! Pagkatapos ng lahat, ganap na hindi maiisip at hindi kapani-paniwalang mga pangyayari ay dapat na lumitaw para mabigo ang parehong mga parasyut.

Bagaman ang lahat ng ito ay tula, dahil, depende sa nilalaman ng kaganapan, ang unang prinsipyo ay maaaring maging masaya, at ang pangalawa - malungkot; o kahit pareho ay parallel.

Malamang sapat na sa ngayon, sa klase Mga gawain para sa klasikal na kahulugan ng posibilidad pipigain natin ang maximum sa formula. Sa huling bahagi ng artikulong ito, isinasaalang-alang namin ang isang mahalagang teorama:

Ang kabuuan ng mga probabilidad ng mga kaganapan na bumubuo ng isang kumpletong pangkat ay katumbas ng isa. Sa halos pagsasalita, kung ang mga kaganapan ay bumubuo ng isang kumpletong grupo, pagkatapos ay may 100% na posibilidad na isa sa mga ito ang mangyayari. Sa pinakasimpleng kaso, ang magkasalungat na mga kaganapan ay bumubuo ng isang kumpletong grupo, halimbawa:

- bilang resulta ng paghagis ng barya, mahuhulog ang isang agila;
- bilang resulta ng paghahagis ng barya, mahuhulog ang mga buntot.

Ayon sa theorem:

Malinaw na ang mga kaganapang ito ay pantay na posibilidad at ang kanilang mga probabilidad ay pareho. .

Dahil sa pagkakapantay-pantay ng mga probabilidad, madalas na tinatawag ang mga pantay na posibleng pangyayari equiprobable . At narito ang twister ng dila para sa pagtukoy ng antas ng pagkalasing na lumabas =)

Halimbawa ng dice: ang mga kaganapan ay kabaligtaran, kaya .

Ang teorama na isinasaalang-alang ay maginhawa dahil pinapayagan ka nitong mabilis na mahanap ang posibilidad ng kabaligtaran na kaganapan. Kaya, kung alam mo ang posibilidad na mahulog ang lima, madaling kalkulahin ang posibilidad na hindi ito mahuhulog:

Ito ay mas madali kaysa sa pagbubuod ng mga probabilidad ng limang elementarya na kinalabasan. Para sa elementarya na kinalabasan, sa pamamagitan ng paraan, ang teorama na ito ay wasto din:
. Halimbawa, kung ang posibilidad na matamaan ng tagabaril ang target, kung gayon ay ang posibilidad na makaligtaan siya.

! Sa teorya ng posibilidad, hindi kanais-nais na gamitin ang mga titik at para sa anumang iba pang layunin.

Bilang karangalan sa Araw ng Kaalaman, hindi ako magbibigay ng takdang-aralin =), ngunit napakahalaga na masagot mo ang mga sumusunod na tanong:

Anong mga uri ng mga kaganapan ang mayroon?
– Ano ang pagkakataon at pantay na posibilidad ng isang kaganapan?
– Paano mo naiintindihan ang mga terminong compatibility / incompatibility ng mga event?
– Ano ang isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan, magkasalungat na mga kaganapan?
Ano ang ibig sabihin ng pagdaragdag at pagpaparami ng mga pangyayari?
– Ano ang kakanyahan ng klasikal na kahulugan ng posibilidad?
– Bakit kapaki-pakinabang ang addition theorem para sa mga probabilidad ng mga kaganapan na bumubuo ng isang kumpletong grupo?

Hindi, hindi mo kailangang magsiksikan ng anuman, ito ay mga pangunahing kaalaman lamang sa teorya ng posibilidad - isang uri ng panimulang aklat na mabilis na babagay sa iyong ulo. At upang mangyari ito sa lalong madaling panahon, iminumungkahi kong basahin mo ang mga aralin

ngunit higit pa sa lahat

naobserbahang mga frequency ay nagpapatatag

Sa

Ano ang praktikal na aplikasyon ng mga pamamaraan ng teorya ng posibilidad?

Praktikal na paggamit Ang mga pamamaraan ng teorya ng posibilidad ay muling kalkulahin ang mga probabilidad ng "kumplikadong" mga kaganapan sa pamamagitan ng mga probabilidad ng "mga simpleng kaganapan".

Halimbawa. Ang posibilidad na mahulog ang isang coat of arms sa isang solong paghagis ng isang tamang barya ay ½ (ang naobserbahang dalas ng pagkahulog mula sa isang coat of arms ay may posibilidad sa numerong ito na may malaking bilang ng mga paghagis). Kinakailangang hanapin ang posibilidad na pagkatapos ng tatlong paghagis ng tamang barya, 2 coat of arms ang mahuhulog.

Sagot: Ang formula ni Berulli ay nagbibigay ng tanong na ito:

0.375 (i.e. nagaganap ang ganitong kaganapan sa 37.5% ng mga kaso na may 2 pag-flip ng tamang barya).

katangian na tampok modernong teorya Ang posibilidad ay ang katotohanan na, sa kabila ng praktikal na oryentasyon nito, ginagamit nito ang pinakabagong mga seksyon ng halos lahat ng mga seksyon ng matematika.

Pangunahing konsepto: pangkalahatan at sample na populasyon.

Narito ang isang talahanayan ng pag-uugnay ng mga pangunahing konsepto ng pangkalahatang populasyon at ang sample.

Pagsusuri ng pagkakaiba-iba

Plano ng lecture.

1. One-way na pagsusuri ng pagkakaiba.

Mga tanong sa lecture.

Koepisyent ng ugnayan

Tumatanggap ng mga halaga sa hanay mula -1 hanggang +1

Walang sukat na dami

Ipinapakita ang higpit ng koneksyon (koneksyon bilang pagkakasabay, hindi pagbabago) sa pagitan ng mga tampok

Coefficient ng regression

Maaaring kumuha ng anumang halaga

Nakatali sa mga yunit ng sukat para sa parehong mga tampok

Ipinapakita ang istruktura ng ugnayan sa pagitan ng mga feature: nailalarawan ang koneksyon bilang pag-asa, impluwensya, nagtatatag ng mga ugnayang sanhi-at-bunga.

Ang tanda ng koepisyent ay nagpapahiwatig ng direksyon ng koneksyon

Komplikasyon ng modelo

Ang pinagsama-samang epekto ng lahat ng independiyenteng salik sa umaasang variable ay hindi maaaring katawanin bilang isang simpleng kabuuan ng ilang magkapares na regression.

Ang pinagsama-samang epekto na ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng isang mas kumplikadong paraan - ang multiple regression na paraan.

Mga yugto ng ugnayan at pagsusuri ng regression:

· Pagkilala sa kaugnayan sa pagitan ng mga tampok;

· Kahulugan ng anyo ng komunikasyon;

· Pagtukoy sa lakas, higpit at direksyon ng komunikasyon.

Mga gawaing dapat lutasin pagkatapos basahin ang panayam na ito:

Posibleng isulat ang direkta at kabaligtaran na mga equation ng regression para sa mga ibinigay na dami. Bumuo ng angkop na mga tsart. Hanapin ang koepisyent ng ugnayan ng mga isinasaalang-alang na dami. Sa pamamagitan ng pamantayan ng Mag-aaral, subukan ang hypothesis ng kahalagahan ng ugnayan. Ginagamit namin ang mga utos: LINEST at Chart Wizard sa Excel.

Panitikan.

1. Mga tala sa panayam.

1. Gmurman, V.E. Teorya ng Probability at Mathematical Statistics. - M.: graduate School, 2003. - 479 p.

1.8. Mga Pangunahing Konsepto ng Disenyo ng Eksperimento at Ilang Rekomendasyon

Plano ng lecture.

1. Pagpaplano ng eksperimento: mga pangunahing yugto at prinsipyo.

2. Ang konsepto ng eksperimento, tugon, response surface, factor space.

3. Pagtukoy sa layunin ng pagpaplano ng eksperimento.

4. Ang mga pangunahing yugto ng pagpaplano:

Mga tanong sa lecture:

1. Pangunahing konsepto. Pagbubuo ng problema.

Ang disenyo ng eksperimento ay ang pinakamainam (pinakamahusay) na kontrol ng eksperimento upang makuha ang maximum na posibleng impormasyon batay sa minimum na pinapayagang dami ng data. Sa mismong eksperimento, ang ibig naming sabihin ay isang sistema ng mga operasyon, aksyon o obserbasyon na naglalayong makakuha ng impormasyon tungkol sa isang bagay.

Ipinagpapalagay ng teorya ng pagpaplano ng eksperimento ang pagkakaroon ng ilang kaalaman at ang mga sumusunod na yugto ng pagpaplano ay maaaring matukoy nang may kondisyon:

1) pangongolekta at pangunahing pagproseso ng istatistikal na datos

2) pagpapasiya ng punto at pagitan ng mga pagtatantya ng pamamahagi

3) at ang kanilang kasunod na pagproseso, na nagpapahiwatig ng kaalaman paraang istatistikal mga sukat ng isang random na variable, ang teorya ng pagsubok sa statistical hypotheses, mga paraan ng pagpaplano ng isang eksperimento, sa partikular, isang passive na eksperimento, mga pamamaraan pagsusuri ng pagkakaiba-iba, mga pamamaraan para sa paghahanap ng extremum ng function ng tugon;

2) pagguhit ng isang plano ng eksperimento, pagsasagawa ng eksperimento mismo, pagproseso ng mga resulta ng eksperimento, pagtatasa ng katumpakan ng eksperimento.

Kaya, ibigay natin ang konsepto ng mismong eksperimento.

Eksperimento. Ang eksperimento ay ang pangunahing at pinakaperpektong paraan ng pag-unawa, na maaaring maging aktibo o pasibo.

Aktibo - ang pangunahing uri ng eksperimento, na isinasagawa sa ilalim ng kinokontrol at kinokontrol na mga kondisyon, na may mga sumusunod na pakinabang:

1) mga resulta ng mga obserbasyon independiyenteng karaniwang ipinamamahagi na mga random na variable;

2) ang mga pagkakaiba-iba ay katumbas ng bawat isa (dahil sa katotohanan na ang mga sample na pagtatantya ay homogenous);

3) mga malayang variable ay sinusukat sa isang maliit na error kumpara sa error ng halaga y ;

4) ang isang aktibong eksperimento ay mas mahusay na organisado: ang pinakamainam na paggamit ng factor space ay nagbibigay-daan, sa minimal na gastos, upang makakuha ng maximum na impormasyon tungkol sa mga proseso o phenomena na pinag-aaralan.

Ang isang passive na eksperimento ay hindi nakasalalay sa eksperimento, na sa kasong ito ay gumaganap bilang isang tagamasid sa labas.

Kapag nagpaplano ng isang eksperimento, ang bagay na pinag-aaralan ay ipinakita bilang isang "itim na kahon", na apektado ng nakokontrol at hindi nakokontrol na mga kadahilanan:

dito - kinokontrol na mga kadahilanan; - hindi makontrol na mga kadahilanan, - mga parameter ng pag-optimize na maaaring makilala ang pagpapatakbo ng bagay.

Mga salik. Ang bawat kadahilanan ay maaaring tumagal ng isang tiyak na bilang ng mga halaga na tinatawag mga antas mga kadahilanan. Ang hanay ng mga posibleng antas ng isang kadahilanan ay tinatawag domain ng kahulugan mga kadahilanan, na maaaring tuloy-tuloy o discrete, limitado at walang limitasyon. Ang mga kadahilanan ay maaaring:

- compatible: ang admissibility ng anumang kumbinasyon ng mga salik na hindi dapat makaapekto sa pangangalaga ng proseso sa ilalim ng pag-aaral ay ipinapalagay;

- independyente: hindi dapat magkaroon ng ugnayan sa pagitan ng mga kadahilanan, iyon ay, posibleng baguhin ang halaga ng bawat isa sa mga kadahilanan na isinasaalang-alang sa sistema nang nakapag-iisa sa bawat isa. Ang paglabag sa hindi bababa sa isa sa mga kinakailangang ito ay humahantong sa alinman sa imposibilidad ng paggamit ng pagpaplano ng eksperimento, o sa napakaseryosong mga paghihirap. Ginagawang posible ng tamang pagpili ng mga salik na malinaw na itakda ang mga kundisyon ng eksperimento.

Sinaliksik na mga parameter dapat matugunan ang ilang mga kinakailangan:

- kahusayan, nag-aambag sa mabilis na pagkamit ng layunin;

- universality, katangian hindi lamang para sa bagay na pinag-aaralan;

- statistical homogeneity, na nagpapahiwatig ng pagsunod, hanggang sa pang-eksperimentong error, na may isang tiyak na hanay ng mga halaga ng kadahilanan ng isang tiyak na halaga ng kadahilanan;

- quantitative expression sa pamamagitan ng isang numero;

- pagiging simple ng mga kalkulasyon;

- pagkakaroon sa anumang estado ng bagay.

Modelo. Ang ugnayan sa pagitan ng parameter ng output (tugon) at mga parameter ng input (mga kadahilanan) ay tinatawag na function ng tugon at may sumusunod na anyo:

(1)

Dito - ang tugon (ang resulta ng eksperimento); - mga independiyenteng variable (mga salik) na maaaring iba-iba kapag nagse-set up ng mga eksperimento.

Tugon. Ang tugon ay ang resulta ng karanasan sa ilalim ng naaangkop na mga kundisyon, na tinatawag ding layunin function, kahusayan criterion, optimality criterion, optimization parameter, atbp.

Sa teorya ng pagpaplano ng eksperimento, ang mga kinakailangan ay ipinapataw sa parameter ng pag-optimize, ang katuparan nito ay kinakailangan para sa matagumpay na solusyon ng problema. Ang pagpili ng parameter ng pag-optimize ay dapat na nakabatay sa isang malinaw na nakabalangkas na gawain, sa isang malinaw na pag-unawa sa panghuling layunin ng pag-aaral. Ang parameter ng pag-optimize ay dapat na mahusay sa isang istatistikal na kahulugan, iyon ay, dapat itong matukoy nang may sapat na katumpakan. Sa isang malaking error sa pagpapasiya nito, kinakailangan upang madagdagan ang bilang ng mga parallel na eksperimento.

Ito ay kanais-nais na ang mga parameter ng pag-optimize ay maliit hangga't maaari. Gayunpaman, hindi dapat hanapin ng isa na bawasan ang bilang ng mga parameter ng pag-optimize dahil sa pagkakumpleto ng mga katangian ng system. Ito rin ay kanais-nais na ang buong sistema ay nailalarawan sa pamamagitan ng simpleng mga parameter ng pag-optimize na may malinaw na pisikal na kahulugan. Natural, simple, may malinaw pisikal na kahulugan Pinoprotektahan ng parameter ng pag-optimize ang eksperimento mula sa maraming mga pagkakamali at pinapaginhawa siya ng maraming mga paghihirap na nauugnay sa paglutas ng iba't ibang mga isyu sa pamamaraan ng eksperimento at teknolohikal na interpretasyon ng mga resulta na nakuha.

Ang geometric na analogue ng parameter (response function) na tumutugma sa equation (1) ay tinatawag na response surface, at ang space kung saan itinayo ang ipinahiwatig na surface ay tinatawag na factor space. Sa pinakasimpleng kaso, kapag ang pagtitiwala ng tugon sa isang kadahilanan ay sinisiyasat, ang ibabaw ng tugon ay isang linya sa isang eroplano, iyon ay, sa dalawang-dimensional na espasyo. Sa pangkalahatan, kapag isinasaalang-alang ang mga salik, inilalarawan ng equation (1) ang surface ng tugon sa - dimensional na espasyo. Kaya, halimbawa, na may dalawang kadahilanan, ang factor space ay isang factor plane.

Ang layunin ng pagpaplano ng eksperimento ay upang makakuha ng mathematical model ng bagay o prosesong pinag-aaralan. Sa napakalimitadong kaalaman tungkol sa mekanismo ng proseso, ang analytical expression ng response function ay hindi alam, samakatuwid, ang mga polynomial ay karaniwang ginagamit. mga modelo ng matematika(algebraic polynomials) na tinatawag na regression equation, pangkalahatang anyo na:

(2)

saan - mga sample na coefficient ng regression na maaaring makuha gamit ang mga resulta ng eksperimento.

4. Kasama sa mga pangunahing yugto ng pagpaplano ng eksperimento ang:

1. Pagkolekta, pag-aaral, pagsusuri ng lahat ng data tungkol sa bagay.

2. Mga salik ng coding.

3. Pag-drawing ng isang experiment planning matrix.

4. Sinusuri ang reproducibility ng mga eksperimento.

5. Pagkalkula ng mga pagtatantya ng mga coefficient ng regression equation.

6. Sinusuri ang kahalagahan ng mga coefficient ng regression.

7. Sinusuri ang kasapatan ng resultang modelo.

8. Paglipat sa mga pisikal na variable.

Panitikan

1. Mga tala sa panayam.

4.1 Mga tanikala ng Markov. random na mga tampok. Paraan ng Monte Carlo. Pagmomodelo ng simulation. Pagpaplano ng network. Dynamic at Integer Programming

Plano ng lecture.

1. Mga pamamaraan ng Monte Carlo.

2. Paraan ng mga istatistikal na pagsusulit (mga pamamaraan ng Monte Carlo)

Mga tanong sa lecture.

Ano ang pag-aaral ng probability theory?

Ang teorya ng probabilidad ay nag-aaral ng tinatawag na random na mga kaganapan at nagtatatag ng mga pattern sa pagpapakita ng mga naturang kaganapan, maaari nating sabihin na ang probability theory ay isang sangay ng matematika kung saan ang mga modelo ng matematika ng mga random na eksperimento ay pinag-aralan, i.e. mga eksperimento, ang mga kinalabasan nito ay hindi matutukoy nang malinaw sa pamamagitan ng mga kundisyon ng eksperimento.

Upang ipakilala ang konsepto ng isang random na kaganapan, kinakailangang isaalang-alang ang ilang mga halimbawa ng mga tunay na eksperimento.

2. Ibigay ang konsepto ng random na eksperimento at magbigay ng mga halimbawa ng random na eksperimento.

Narito ang ilang halimbawa ng mga random na eksperimento:

1. Isang paghagis ng barya.

2. Isang paghagis ng dice.

3. Random na pagpili ng bola mula sa isang urn.

4. Pagsukat sa uptime ng isang bumbilya.

5. Pagsukat ng bilang ng mga tawag na dumarating sa PBX bawat yunit ng oras.

Ang isang eksperimento ay random kung imposibleng mahulaan ang resulta ng hindi lamang ang unang eksperimento, ngunit higit pa sa lahat. Halimbawa, ang ilan kemikal na reaksyon, ang kinalabasan nito ay hindi alam. Kung ito ay isinasagawa nang isang beses at ang isang tiyak na resulta ay nakuha, pagkatapos ay may karagdagang eksperimento sa ilalim ng parehong mga kondisyon, ang randomness ay nawawala.

Mayroong maraming mga halimbawa na gusto mo ng ganitong uri. Ano ang pangkalahatan ng mga eksperimento na may mga random na kinalabasan? Ito ay lumalabas na, sa kabila ng katotohanan na imposibleng mahulaan ang mga resulta ng bawat isa sa mga eksperimento na nakalista sa itaas, sa pagsasagawa, ang isang regularidad ay matagal nang napansin para sa kanila. isang tiyak na uri, ibig sabihin: kapag isinasagawa isang malaking bilang mga pagsubok naobserbahang mga frequency paglitaw ng bawat random na kaganapan ay nagpapatatag mga. paunti-unting naiiba mula sa isang tiyak na bilang na tinatawag na posibilidad ng isang kaganapan.

Ang naobserbahang dalas ng kaganapan A () ay ang ratio ng bilang ng mga paglitaw ng kaganapan A () hanggang kabuuang bilang mga pagsubok (N):

Ginagawang posible ng property na ito ng frequency stability, nang hindi mahulaan ang resulta ng isang indibidwal na eksperimento, upang tumpak na mahulaan ang mga katangian ng mga phenomena na nauugnay sa pinag-uusapang eksperimento. Samakatuwid, ang mga pamamaraan ng probability theory sa modernong buhay natagos sa lahat ng larangan ng aktibidad ng tao, at hindi lamang sa natural na agham, ekonomiya, kundi pati na rin sa humanidades, tulad ng kasaysayan, lingguwistika, atbp. Batay sa pamamaraang ito istatistikal na kahulugan ng posibilidad.

Sa (ang naobserbahang dalas ng isang kaganapan ay may posibilidad sa posibilidad nito na may pagtaas sa bilang ng mga eksperimento, iyon ay, may n).

Gayunpaman, ang kahulugan ng probabilidad sa mga tuntunin ng dalas ay hindi kasiya-siya para sa probability theory bilang isang mathematical science. Ito ay dahil sa ang katunayan na halos imposible na magsagawa ng isang walang katapusang bilang ng mga pagsubok at ang naobserbahang dalas ay nag-iiba sa bawat karanasan. Samakatuwid, A.N. Iminungkahi ni Kolmogorov kahulugan ng axiomatic probabilidad na kasalukuyang tinatanggap.

(o TViMS) - ganito ang madalas na tunog ng pangalan ng paksa sa iyong iskedyul o inirerekomendang aklat-aralin. Bakit dalawang item sa isa? Paano sila magkakaugnay? Kung ang nag-uusap kami tungkol sa malalim na pag-aaral ng paksa, kadalasan ang unang semestre ay nakatuon sa pag-aaral ng probability theory, at sa pangalawa lamang, batay sa kaalamang natamo, nagpapatuloy sila sa matematikal na istatistika.

Tingnan natin ang bawat paksa at alamin kung paano ito nauugnay sa isa't isa.

Kapaki-pakinabang na pahina? I-save o sabihin sa iyong mga kaibigan

Ano ang pag-aaral ng probability theory?

Teorya ng posibilidad, gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, ay tumatalakay sa mga probabilidad. Napapaligiran tayo ng maraming bagay at kababalaghan kung saan, gaano man kahusay ang agham, imposibleng makagawa ng tumpak na mga hula. Hindi namin alam kung aling card ang iguguhit namin nang random mula sa deck o kung ilang araw uulan sa Mayo, ngunit may ilang Karagdagang impormasyon, maaari tayong gumawa ng mga hula at kalkulahin ang mga probabilidad ng mga random na kaganapang ito.

Kaya, nahaharap tayo sa pangunahing konsepto random na pangyayari- isang kababalaghan na ang pag-uugali ay hindi mahulaan, isang eksperimento na ang resulta ay hindi maaaring kalkulahin nang maaga, atbp. Ito ay ang mga probabilidad ng mga kaganapan na kinakalkula sa mga karaniwang problema. Ang posibilidad ay ilan, sa mahigpit na pagsasalita, isang function na kumukuha ng mga halaga mula 0 hanggang 1 at nagpapakilala sa isang ibinigay na random na kaganapan. 0 - ang kaganapan ay halos imposible, 1 - ang kaganapan ay halos tiyak, 0.5 (o "50 hanggang 50") - ang kaganapan ay mangyayari na may pantay na posibilidad o hindi.

Mula sa probability theory hanggang sa mathematical statistics

Pinag-aaralan ng teorya ng probabilidad ang mga batas sa matematika ng pamamahagi ng mga random na kaganapan, at sa katunayan ay ang teoretikal na batayan para sa mga istatistika ng matematika. Ngunit, kung sa teorya ng posibilidad ang pamamahagi ay karaniwang ibinibigay sa isang paraan o iba pa, at ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga probabilidad, mga katangiang numero(halimbawa, inaasahan sa matematika, pagkakaiba, atbp.), bumuo ng mga graph ng function at density ng pamamahagi, pagkatapos ay sa mga problema sa istatistika ng matematika, sa kabaligtaran, ang data (sample) ay kilala, na nakolekta mula sa mga resulta ng ilang eksperimento o obserbasyon, sa pamamagitan ng kung saan ang batas ay dapat na matukoy ang pamamahagi, ang pinaka-angkop sa kasong ito, maaasahang impormasyon na may isang tiyak na antas ng posibilidad tungkol sa kung ano ang mathematical na inaasahan o karaniwang paglihis ng isang halaga, atbp.

Ano ang pinag-aaralan ng mathematical statistics?

Mahigpit na nagsasalita, mga istatistika sa matematika- Ito ay isang sangay ng matematika na mag-aaral ng mga pamamaraan ng pagkolekta, pag-systematize, pagproseso at paggamit ng mga istatistikal na datos upang makakuha ng mga konklusyon na batay sa siyentipiko at gumawa ng mga desisyon batay sa mga ito.

Bakit kailangan ng buong agham upang maproseso ang mga simpleng set ng data? Dahil ang data na ito, gaano man tayo kahirap subukan, ay hindi kailanman tumpak, ay naglalaman ng mga random na error. Ang mga ito ay maaaring mga pagkakamali ng mga instrumento sa pagsukat, at mga pagkakamali ng tao (na nauugnay sa mga nagsasagawa ng pananaliksik at pagsukat), at heterogeneity ng data o, siyempre, ang kanilang kakulangan (imposibleng pag-aralan, halimbawa, ang lahat ng mga baka sa mundo sa pagkakasunud-sunod upang makagawa ng mga konklusyon tungkol sa kanilang mga ani ng gatas; ), o upang i-poll ang lahat ng mga botante upang makagawa ng hula sa nanalong kandidato sa halalan).

Karaniwan, inuulit ng mananaliksik ang kanyang karanasan nang maraming beses (kung posible ito sa pisikal), tumatanggap ng malaking halaga ng parehong uri ng data, na kailangan na ngayong iproseso at gumawa ng mabibigat na konklusyon na magbibigay-daan hindi lamang sa mas malalim na pag-aaral ng ang paksa (maging ito ng gatas ng baka o mga kagustuhan sa pulitika), ngunit din upang makagawa ng mga konklusyon, mga pagtataya, gumawa ng mahahalagang desisyon sa ekonomiya, atbp.

Ang mga istatistika ng matematika na nagbibigay ng mga pamamaraan para sa pagpoproseso ng data, mga algorithm para sa pagsubok ng mga istatistikal na hypotheses, pamantayan para sa kasapatan at kahalagahan ng napiling modelo o batas, makatwirang mga limitasyon ng katumpakan para sa mga parameter ng pamamahagi na maaari nating makuha batay sa ating data, atbp.

Paano pag-aralan ang probability theory at mathematical statistics? Basahin (at lutasin ang mga halimbawa sa mga ito) mga aklat-aralin sa mga istatistika ng matematika, pag-aralan ang mga halimbawa ng mga solusyon, gumamit ng mga calculator sa TV, mga talahanayan at mga pormula ng istatistika para sa kaginhawahan. Ang solusyon sa online na probability theory ay makakatulong sa mahihirap na problema.

Ang teorya ng probabilidad ay isang sangay ng matematika na nag-aaral ng mga pattern ng mga random na phenomena: mga random na kaganapan, mga random na variable, ang kanilang mga katangian at mga operasyon sa kanila.

Sa mahabang panahon ang teorya ng posibilidad ay walang malinaw na kahulugan. Ito ay nabuo lamang noong 1929. Ang paglitaw ng teorya ng probabilidad bilang isang agham ay iniuugnay sa Middle Ages at ang mga unang pagtatangka sa mathematical analysis ng pagsusugal (toss, dice, roulette). Ang mga French mathematician ng ika-17 siglo na sina Blaise Pascal at Pierre Fermat, na naggalugad sa hula ng kabayaran sa pagsusugal, natuklasan ang mga unang probabilistikong pattern na lumitaw kapag naghahagis ng dice.

Ang teorya ng probabilidad ay lumitaw bilang isang agham mula sa paniniwala na ang ilang mga regularidad ay sumasailalim sa napakalaking random na mga kaganapan. Pinag-aaralan ng teorya ng probabilidad ang mga pattern na ito.

Ang teorya ng probabilidad ay tumatalakay sa pag-aaral ng mga pangyayari, na ang paglitaw nito ay hindi tiyak na alam. Pinapayagan ka nitong hatulan ang antas ng posibilidad ng paglitaw ng ilang mga kaganapan kumpara sa iba.

Halimbawa: imposibleng malinaw na matukoy ang resulta ng paghuhugas ng mga ulo o buntot ng barya, ngunit sa paulit-ulit na paghagis, humigit-kumulang sa parehong bilang ng mga ulo at buntot ang nahuhulog, na nangangahulugan na ang posibilidad na mahulog ang mga ulo o buntot ", ay pantay. hanggang 50%.

pagsusulit sa kasong ito, ang pagpapatupad ng isang tiyak na hanay ng mga kundisyon ay tinatawag, iyon ay, sa kasong ito, ang paghuhugas ng isang barya. Maaaring laruin ang pagsubok walang limitasyong dami minsan. Sa kasong ito, ang kumplikado ng mga kondisyon ay kinabibilangan ng mga random na kadahilanan.

Ang resulta ng pagsusulit ay kaganapan. Nangyayari ang kaganapan:

1. Maaasahan (palaging nangyayari bilang resulta ng pagsubok).
2. Imposible (hindi mangyayari).
3. Random (maaaring mangyari o hindi bilang resulta ng pagsubok).

Halimbawa, kapag naghahagis ng barya imposibleng pangyayari- ang barya ay nasa gilid, isang random na kaganapan - ang pagkawala ng "mga ulo" o "mga buntot". Ang tiyak na resulta ng pagsubok ay tinatawag kaganapan sa elementarya. Bilang resulta ng pagsusulit, mga elementarya lamang ang nangyayari. Tinatawag ang kabuuan ng lahat ng posibleng, iba, partikular na resulta ng pagsubok elementarya na espasyo ng kaganapan.

Pangunahing konsepto ng teorya

Probability- ang antas ng posibilidad ng paglitaw ng kaganapan. Kapag ang mga dahilan para sa ilang posibleng kaganapan ay aktwal na naganap kaysa sa kabaligtaran na mga dahilan, kung gayon ang kaganapang ito ay tinatawag na malamang, kung hindi - malamang o hindi malamang.

Random na halaga- ito ay isang halaga na, bilang resulta ng pagsubok, ay maaaring tumagal ng isa o isa pang halaga, at hindi alam nang maaga kung alin. Halimbawa: ang bilang ng mga istasyon ng bumbero bawat araw, ang bilang ng mga hit na may 10 putok, atbp.

Ang mga random na variable ay maaaring nahahati sa dalawang kategorya.

1. Discrete random variable ang naturang dami ay tinatawag, na, bilang isang resulta ng pagsubok, ay maaaring tumagal ng ilang mga halaga na may isang tiyak na posibilidad, na bumubuo ng isang mabibilang na hanay (isang set na ang mga elemento ay maaaring bilangin). Ang hanay na ito ay maaaring maging may hangganan o walang katapusan. Halimbawa, ang bilang ng mga shot bago ang unang hit sa target ay isang discrete random variable, dahil ang halagang ito ay maaaring tumagal sa isang walang katapusan, bagama't mabibilang, bilang ng mga halaga.
2. Patuloy na random variable ay isang dami na maaaring kumuha ng anumang halaga mula sa ilang may hangganan o walang katapusan na pagitan. Malinaw, ang bilang ng mga posibleng halaga ng isang tuluy-tuloy na random na variable ay walang hanggan.

Probability space- ang konseptong ipinakilala ni A.N. Kolmogorov noong 1930s upang gawing pormal ang konsepto ng probabilidad, na nagbunga ng mabilis na pag-unlad ng probability theory bilang isang mahigpit na disiplina sa matematika.

Ang probability space ay isang triple (minsan naka-frame sa angle bracket: , kung saan

Ito ay isang arbitrary set, ang mga elemento nito ay tinatawag na elementarya na mga kaganapan, kinalabasan o puntos;
- sigma-algebra ng mga subset na tinatawag na (random) na mga kaganapan;
- probabilistic measure o probabilidad, i.e. sigma-additive na may hangganan na panukalang tulad na .

De Moivre-Laplace theorem- isa sa mga naglilimitang theorems ng probability theory, na itinatag ni Laplace noong 1812. Sinabi niya na ang bilang ng mga tagumpay sa paulit-ulit na pag-uulit ng parehong random na eksperimento na may dalawang posibleng resulta ay tinatayang normal na pamamahagi. Pinapayagan ka nitong makahanap ng tinatayang halaga ng posibilidad.

Kung, para sa bawat isa sa mga independiyenteng pagsubok, ang posibilidad ng paglitaw ng ilang random na kaganapan ay katumbas ng () at ang bilang ng mga pagsubok kung saan ito aktwal na nangyayari, kung gayon ang posibilidad ng bisa ng hindi pagkakapantay-pantay ay malapit (para sa malaki ) sa ang halaga ng Laplace integral.

Distribution function sa probability theory- isang function na nagpapakilala sa pamamahagi ng isang random na variable o isang random na vector; ang posibilidad na ang isang random na variable na X ay kukuha ng isang halaga na mas mababa sa o katumbas ng x, kung saan ang x ay isang arbitrary na tunay na numero. Sa ilalim ng ilang mga kundisyon, ganap nitong tinutukoy ang isang random na variable.

Inaasahang halaga- ang average na halaga ng isang random variable (ito ang probability distribution ng isang random variable, na isinasaalang-alang sa probability theory). Sa panitikang Ingles, ito ay tinutukoy ng, sa Russian -. Sa mga istatistika, madalas na ginagamit ang notasyon.

Hayaang magbigay ng probability space at isang random variable na tinukoy dito. Iyon ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang masusukat na function. Pagkatapos, kung mayroong isang Lebesgue integral ng over space , kung gayon ito ay tinatawag na mathematical expectation, o mean value, at ito ay tinutukoy ng .

Pagkakaiba-iba ng isang random na variable- isang sukatan ng pagkalat ng isang naibigay na random na variable, ibig sabihin, ang paglihis nito mula sa inaasahan sa matematika. Itinalaga sa panitikang Ruso at sa dayuhan. Sa mga istatistika, ang pagtatalaga o ay kadalasang ginagamit. Kuwadrado na ugat mula sa pagpapakalat ay tinatawag karaniwang lihis, karaniwang lihis o karaniwang pagkalat.

Hayaan ang isang random na variable na tinukoy sa ilang probability space. Pagkatapos

kung saan ang simbolo ay nagsasaad ng matematikal na inaasahan.

Sa teorya ng posibilidad, dalawang random na kaganapan ang tinatawag malaya kung ang paglitaw ng isa sa mga ito ay hindi nagbabago sa posibilidad ng paglitaw ng isa pa. Katulad nito, dalawang random na variable ang tinatawag umaasa kung ang halaga ng isa sa mga ito ay nakakaapekto sa posibilidad ng mga halaga ng isa pa.

Ang pinakasimpleng anyo ng batas malalaking numero- ito ang theorem ni Bernoulli, na nagsasaad na kung ang posibilidad ng isang kaganapan ay pareho sa lahat ng mga pagsubok, kung gayon sa pagtaas ng bilang ng mga pagsubok, ang dalas ng kaganapan ay may posibilidad na mangyari ang kaganapan at titigil na maging random.

Ang batas ng malalaking numero sa teorya ng posibilidad ay nagsasaad na ang arithmetic mean ng isang finite sample mula sa isang fixed distribution ay malapit sa theoretical mean. inaasahan sa matematika itong pamamahagi. Depende sa uri ng convergence, ang isang mahinang batas ng malalaking numero ay nakikilala, kapag ang convergence sa probabilidad ay nagaganap, at isang malakas na batas ng malalaking numero, kapag ang convergence ay halos tiyak na magaganap.

Pangkalahatang kahulugan ng batas ng malalaking numero - magkasanib na pagkilos isang malaking bilang Ang magkapareho at independiyenteng random na mga kadahilanan ay humahantong sa isang resulta na hindi nakasalalay sa kaso sa limitasyon.

Ang mga pamamaraan para sa pagtatantya ng probabilidad batay sa pagsusuri ng isang limitadong sample ay batay sa property na ito. magandang halimbawa ay isang hula ng mga resulta ng halalan batay sa isang poll ng isang sample ng mga botante.

Central limit theorems- isang klase ng theorems sa probability theory na nagsasaad na ang kabuuan ng isang sapat na malaking bilang ng mahinang umaasa na random variable na may humigit-kumulang sa parehong sukat (wala sa mga termino ang nangingibabaw, hindi gumagawa ng isang mapagpasyang kontribusyon sa kabuuan) ay may distribusyon na malapit sa normal.

Dahil maraming mga random na variable sa mga application ang nabuo sa ilalim ng impluwensya ng ilang mahinang umaasa na random na mga kadahilanan, ang kanilang pamamahagi ay itinuturing na normal. Sa kasong ito, dapat na obserbahan ang kondisyon na wala sa mga salik ang nangingibabaw. Ang mga sentral na teorema ng limitasyon sa mga kasong ito ay nagbibigay-katwiran sa paggamit ng normal na pamamahagi.

Ano ang posibilidad?

Nahaharap sa terminong ito sa unang pagkakataon, hindi ko maintindihan kung ano ito. Kaya susubukan kong ipaliwanag sa paraang naiintindihan.

Ang probabilidad ay ang pagkakataon na mangyari ang nais na kaganapan.

Halimbawa, nagpasya kang bisitahin ang isang kaibigan, tandaan ang pasukan at maging ang sahig kung saan siya nakatira. Ngunit nakalimutan ko ang numero at lokasyon ng apartment. At dito ka tumayo hagdanan, at sa harap mo ang pintong mapagpipilian.

Ano ang pagkakataon (probability) na kung mag-doorbell ka sa unang pagkakataon, bubuksan ito ng iyong kaibigan para sa iyo? Buong apartment, at ang isang kaibigan ay nakatira lamang sa likod ng isa sa kanila. Sa pantay na pagkakataon, maaari tayong pumili ng anumang pinto.

Ngunit ano ang pagkakataong ito?

Mga pintuan, kanang pinto. Ang posibilidad ng paghula sa pamamagitan ng pag-ring sa unang pinto: . Ibig sabihin, one time out of three ay siguradong hulaan mo.

Nais naming malaman sa pamamagitan ng pagtawag nang isang beses, gaano kadalas namin hulaan ang pinto? Tingnan natin ang lahat ng mga pagpipilian:

1. tinawagan mo 1st Pinto
2. tinawagan mo ika-2 Pinto
3. tinawagan mo ika-3 Pinto

At ngayon isaalang-alang ang lahat ng mga pagpipilian kung saan ang isang kaibigan ay maaaring maging:

a. Per 1st pinto
b. Per ika-2 pinto
sa. Per ika-3 pinto

Ihambing natin ang lahat ng mga pagpipilian sa anyo ng isang talahanayan. Ang isang tik ay nagpapahiwatig ng mga opsyon kapag ang iyong pinili ay tumugma sa lokasyon ng isang kaibigan, isang krus - kapag hindi ito tumugma.

Paano mo nakikita ang lahat Siguro mga pagpipilian lokasyon ng kaibigan at ang iyong pagpili kung aling pinto ang tatawagan.

PERO kanais-nais na resulta ng lahat . Iyon ay, hulaan mo ang mga oras mula sa pamamagitan ng pag-ring sa pinto nang isang beses, i.e. .

Ito ang posibilidad - ang ratio ng isang kanais-nais na kinalabasan (kapag ang iyong pinili ay nag-tutugma sa lokasyon ng isang kaibigan) sa bilang ng mga posibleng kaganapan.

Ang kahulugan ay ang formula. Ang probabilidad ay karaniwang tinutukoy na p, kaya:

Hindi masyadong maginhawang magsulat ng gayong pormula, kaya kukuha kami para sa - ang bilang ng mga kanais-nais na kinalabasan, at para sa - kabuuan kinalabasan.

Ang posibilidad ay maaaring isulat bilang isang porsyento, para dito kailangan mong i-multiply ang resultang resulta sa pamamagitan ng:

Marahil, ang salitang "mga kinalabasan" ay nakakuha ng iyong mata. Dahil tumawag ang mga mathematician iba't ibang aktibidad(mayroon kaming ganoong aksyon - ito ay isang doorbell) mga eksperimento, kung gayon ang resulta ng naturang mga eksperimento ay karaniwang tinatawag na kinalabasan.

Well, ang mga kinalabasan ay paborable at hindi paborable.

Bumalik tayo sa ating halimbawa. Ipagpalagay na nag-ring kami sa isa sa mga pinto, ngunit ito ay binuksan sa amin estranghero. Hindi namin nahulaan. Ano ang posibilidad na kung tatawagin natin ang isa sa mga natitirang pinto, bubuksan ito ng ating kaibigan para sa atin?

Kung naisip mo iyon, kung gayon ito ay isang pagkakamali. Alamin natin ito.

Mayroon kaming dalawang pinto na natitira. Kaya mayroon kaming mga posibleng hakbang:

1) Tumawag sa 1st Pinto
2) Tumawag ika-2 Pinto

Ang isang kaibigan, kasama ang lahat ng ito, ay tiyak na nasa likod ng isa sa kanila (pagkatapos ng lahat, hindi siya nasa likod ng tinawag namin):

a) kaibigan 1st pinto
b) isang kaibigan para sa ika-2 pinto

Iguhit natin muli ang talahanayan:

Tulad ng nakikita mo, mayroong lahat ng mga pagpipilian, kung saan - kanais-nais. Ibig sabihin, pantay ang posibilidad.

Bakit hindi?

Ang sitwasyon na aming isinasaalang-alang ay halimbawa ng mga nakadependeng pangyayari. Ang unang kaganapan ay ang unang doorbell, ang pangalawang kaganapan ay ang pangalawang doorbell.

At sila ay tinatawag na umaasa dahil sila ay nakakaapekto sa mga sumusunod na aksyon. Pagkatapos ng lahat, kung binuksan ng isang kaibigan ang pinto pagkatapos ng unang ring, ano ang posibilidad na nasa likod siya ng isa sa dalawa? Tama, .

Ngunit kung mayroong umaasa na mga kaganapan, dapat na mayroon malaya? Totoo, mayroon.

Ang isang halimbawa ng aklat-aralin ay ang paghagis ng barya.

1. Naghahagis kami ng barya. Ano ang posibilidad na, halimbawa, ang mga ulo ay lalabas? Iyan ay tama - dahil ang mga pagpipilian para sa lahat ng bagay (alinman sa mga ulo o buntot, mapabayaan namin ang posibilidad ng isang barya upang tumayo sa gilid), ngunit nababagay lamang sa amin.
2. Ngunit ang mga buntot ay nahulog. Okay, ulitin natin. Ano ang posibilidad na magkaroon ng mga ulo ngayon? Walang nagbago, lahat ay pareho. Gaano karaming mga pagpipilian? Dalawa. Gaano tayo nasisiyahan? Isa.

At hayaang mahulog ang mga buntot nang hindi bababa sa isang libong beses sa isang hilera. Magiging pareho ang posibilidad ng pagbagsak ng ulo nang sabay-sabay. Palaging may mga pagpipilian, ngunit kanais-nais.

Madali ang pagkilala sa mga nakadependeng kaganapan mula sa mga independyenteng kaganapan:

1. Kung ang eksperimento ay isinasagawa nang isang beses (kapag ang isang barya ay inihagis, ang doorbell ay tumunog nang isang beses, atbp.), kung gayon ang mga kaganapan ay palaging independyente.
2. Kung ang eksperimento ay isinasagawa ng maraming beses (isang barya ay itinapon nang isang beses, ang doorbell ay tumunog nang maraming beses), kung gayon ang unang kaganapan ay palaging independyente. At pagkatapos, kung ang bilang ng mga kanais-nais o ang bilang ng lahat ng mga kinalabasan ay nagbabago, ang mga kaganapan ay nakasalalay, at kung hindi, sila ay independyente.

Magsanay tayo ng kaunti upang matukoy ang posibilidad.

Halimbawa 1

Ang barya ay inihagis ng dalawang beses. Ano ang posibilidad ng pagbangon ng dalawang beses sa isang hilera?

Solusyon:

Isaalang-alang ang lahat ng posibleng opsyon:

1. agila agila
2. buntot na agila
3. buntot-agila
4. Tails-tails

Tulad ng nakikita mo, lahat ng mga pagpipilian. Sa mga ito, kami ay nasiyahan lamang. Iyon ang posibilidad:

Kung ang kondisyon ay nagtatanong lamang upang mahanap ang posibilidad, kung gayon ang sagot ay dapat ibigay sa form decimal fraction. Kung ito ay ipinahiwatig na ang sagot ay dapat na ibinigay bilang isang porsyento, pagkatapos ay kami ay multiply sa.

Sagot:

Halimbawa 2

Sa isang kahon ng mga tsokolate, lahat ng mga kendi ay nakaimpake sa parehong balot. Gayunpaman, mula sa matamis - na may mga mani, konyak, seresa, karamelo at nougat.

Ano ang posibilidad na kumuha ng isang kendi at makakuha ng kendi na may mga mani. Ibigay ang iyong sagot sa porsyento.

Solusyon:

Ilang posibleng resulta ang mayroon? .

Iyon ay, ang pagkuha ng isang kendi, ito ay magiging isa sa mga nasa kahon.

At gaano karaming mga kanais-nais na resulta?

Dahil ang kahon ay naglalaman lamang ng mga tsokolate na may mga mani.

Sagot:

Halimbawa 3

Sa isang kahon ng mga bola. kung saan ay puti at itim.

1. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng puting bola?
2. Nagdagdag kami ng higit pang mga itim na bola sa kahon. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng puting bola ngayon?

Solusyon:

a) May mga bola lamang sa kahon. na kung saan ay puti.

Ang posibilidad ay:

b) Ngayon ay may mga bola sa kahon. At marami na rin kasing puti.

Sagot:

Buong Probability

Halimbawa, sa isang kahon ng pula at berdeng mga bola. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng pulang bola? berdeng bola? Pula o berdeng bola?

Ang posibilidad ng pagguhit ng pulang bola

berdeng bola:

Pula o berdeng bola:

Gaya ng nakikita mo, ang kabuuan ng lahat ng posibleng kaganapan ay katumbas ng (). Ang pag-unawa sa puntong ito ay makakatulong sa iyong malutas ang maraming problema.

Halimbawa 4

May mga felt-tip pen sa kahon: berde, pula, asul, dilaw, itim.

Ano ang posibilidad ng pagguhit ng HINDI isang pulang marker?

Solusyon:

Bilangin natin ang bilang kanais-nais na mga kinalabasan.

HINDI pulang marker, ibig sabihin ay berde, asul, dilaw, o itim.

Panuntunan para sa pagpaparami ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan

Alam mo na kung ano ang mga independent na kaganapan.

At kung kailangan mong hanapin ang posibilidad na dalawang (o higit pa) independiyenteng mga kaganapan ay magaganap nang magkasunod?

Sabihin nating gusto nating malaman kung ano ang posibilidad na sa paghahagis ng barya ng isang beses, dalawang beses tayong makakakita ng agila?

Napag-isipan na namin - .

Paano kung maghagis tayo ng barya? Ano ang posibilidad na makakita ng agila ng dalawang beses na magkasunod?

Kabuuang posibleng mga opsyon:

1. Agila-agila-agila
2. Eagle-head-tails
3. Head-tails-agila
4. Ulo-buntot-buntot
5. buntot-agila-agila
6. Mga buntot-ulo-buntot
7. Mga buntot-buntot-ulo
8. Tails-tails-tails

Hindi ko alam tungkol sa iyo, ngunit ginawa kong mali ang listahang ito minsan. Wow! At tanging pagpipilian (ang una) ang nababagay sa amin.

Para sa 5 roll, maaari kang gumawa ng isang listahan ng mga posibleng resulta sa iyong sarili. Ngunit ang mga mathematician ay hindi kasing sipag mo.

Samakatuwid, una nilang napansin, at pagkatapos ay pinatunayan, na ang posibilidad ng isang tiyak na pagkakasunud-sunod ng mga independiyenteng kaganapan ay bumababa sa bawat oras sa pamamagitan ng posibilidad ng isang kaganapan.

Sa ibang salita,

Isaalang-alang ang halimbawa ng parehong, masamang kapalaran, barya.

Posibilidad ng pagdating up ulo sa isang pagsubok? . Ngayon ay naghahagis kami ng barya.

Ano ang posibilidad na makakuha ng mga buntot sa isang hilera?

Ang panuntunang ito ay hindi lamang gagana kung hihilingin sa amin na hanapin ang posibilidad na ang parehong kaganapan ay magaganap nang maraming beses nang magkakasunod.

Kung gusto naming hanapin ang pagkakasunud-sunod ng TAILS-EAGLE-TAILS sa magkakasunod na pag-flip, gagawin namin ang parehong.

Ang posibilidad na makakuha ng mga buntot - , ulo - .

Ang posibilidad na makuha ang sequence TAILS-EAGLE-TAILS-TAILS:

Maaari mong suriin ito sa iyong sarili sa pamamagitan ng paggawa ng isang talahanayan.

Ang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga probabilidad ng mga hindi tugmang kaganapan.

Kaya tumigil ka na! Bagong kahulugan.

Alamin natin ito. Kunin natin ang luma nating barya at i-flip ito ng isang beses.
Mga posibleng opsyon:

1. Agila-agila-agila
2. Eagle-head-tails
3. Head-tails-agila
4. Ulo-buntot-buntot
5. buntot-agila-agila
6. Mga buntot-ulo-buntot
7. Mga buntot-buntot-ulo
8. Tails-tails-tails

Kaya narito ang mga hindi magkatugma na mga kaganapan, ito ay isang tiyak, ibinigay na pagkakasunud-sunod ng mga kaganapan. ay mga pangyayaring hindi magkatugma.

Kung gusto naming matukoy kung ano ang posibilidad ng dalawa (o higit pa) na hindi magkatugma na mga kaganapan, pagkatapos ay idagdag namin ang mga probabilidad ng mga kaganapang ito.

Kailangan mong maunawaan na ang pagkawala ng isang agila o buntot ay dalawang malayang kaganapan.

Kung gusto nating matukoy kung ano ang posibilidad ng isang sequence) (o anumang iba pa) na bumagsak, pagkatapos ay gagamitin natin ang panuntunan ng pagpaparami ng mga probabilidad.
Ano ang posibilidad na makakuha ng mga ulo sa unang paghagis at buntot sa pangalawa at pangatlo?

Ngunit kung gusto nating malaman kung ano ang posibilidad na makakuha ng isa sa ilang mga pagkakasunud-sunod, halimbawa, kapag ang mga ulo ay dumating nang eksaktong isang beses, i.e. mga pagpipilian at, pagkatapos ay dapat nating idagdag ang mga probabilidad ng mga pagkakasunud-sunod na ito.

Ang kabuuang mga pagpipilian ay nababagay sa amin.

Makukuha natin ang parehong bagay sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga probabilidad ng paglitaw ng bawat sequence:

Kaya, nagdaragdag kami ng mga probabilidad kapag gusto naming matukoy ang posibilidad ng ilan, hindi magkatugma, mga pagkakasunud-sunod ng mga kaganapan.

Mayroong isang mahusay na panuntunan upang matulungan kang hindi malito kung kailan dapat mag-multiply at kung kailan magdagdag:

Bumalik tayo sa halimbawa kung saan naghagis tayo ng isang beses ng barya at gustong malaman ang posibilidad na makakita ng mga ulo nang isang beses.
Ano kaya ang mangyayari?

Dapat ibagsak:
(mga ulo AT buntot AT buntot) O (buntot AT ulo AT buntot) O (buntot AT buntot AT ulo).
At kaya lumalabas:

Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa 5

May mga lapis sa kahon. pula, berde, orange at dilaw at itim. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng pula o berdeng lapis at?

Solusyon:

Halimbawa 6

Ang isang die ay inihagis ng dalawang beses, ano ang posibilidad na magkaroon ng kabuuang 8?

Solusyon.

Paano tayo makakakuha ng puntos?

(at) o (at) o (at) o (at) o (at).

Ang posibilidad ng pagkahulog sa isa (anumang) mukha ay .

Kinakalkula namin ang posibilidad:

Pag-eehersisyo.

Sa tingin ko ngayon ay naging malinaw na sa iyo kung kailan mo kailangan kung paano bilangin ang mga probabilidad, kung kailan idaragdag ang mga ito, at kung kailan dapat i-multiply ang mga ito. Hindi ba? Mag exercise tayo.

Mga gawain:

Kumuha tayo ng isang deck ng mga baraha kung saan ang mga baraha ay mga pala, puso, 13 club at 13 tamburin. Mula hanggang Ace ng bawat suit.

1. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng mga club sa isang hilera (inilagay namin ang unang card na iginuhit pabalik sa deck at shuffle)?
2. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng isang itim na kard (mga pala o club)?
3. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng isang larawan (jack, queen, king o ace)?
4. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng dalawang larawan sa isang hilera (tinatanggal namin ang unang card na iginuhit mula sa deck)?
5. Ano ang posibilidad, pagkuha ng dalawang card, upang mangolekta ng kumbinasyon - (Jack, Queen o King) at Ace Ang pagkakasunod-sunod kung saan ang mga card ay iguguhit ay hindi mahalaga.

Mga sagot:

Kung nagawa mong lutasin ang lahat ng mga problema sa iyong sarili, kung gayon ikaw ay isang mahusay na kapwa! Ngayon ang mga gawain sa teorya ng posibilidad sa pagsusulit ay mag-click ka tulad ng mga mani!

TEORYANG PROBABILIDAD. AVERAGE LEVEL

Isaalang-alang ang isang halimbawa. Sabihin nating magtapon tayo ng die. Anong klaseng buto ito, alam mo ba? Ito ang pangalan ng isang kubo na may mga numero sa mga mukha. Ilang mukha, napakaraming numero: mula hanggang ilan? dati.

Kaya't gumulong kami ng isang die at nais na makabuo ito ng isang o. At nahuhulog kami.

Sa probability theory sinasabi nila ang nangyari kanais-nais na kaganapan(hindi dapat malito sa mabuti).

Kung ito ay nahulog, ang kaganapan ay magiging mapalad din. Sa kabuuan, dalawang paborableng kaganapan lamang ang maaaring mangyari.

Ilang masama? Dahil ang lahat ng posibleng mga kaganapan, kung gayon ang hindi pabor sa kanila ay mga kaganapan (ito ay kung ito ay bumagsak o).

Kahulugan:

Ang probabilidad ay ang ratio ng bilang ng mga paborableng kaganapan sa bilang ng lahat ng posibleng kaganapan.. Ibig sabihin, ipinapakita ng probabilidad kung anong proporsyon ng lahat ng posibleng kaganapan ang paborable.

Ang posibilidad ay tinutukoy ng isang Latin na titik (tila, mula sa salitang Ingles probabilidad - probabilidad).

Nakaugalian na sukatin ang posibilidad bilang isang porsyento (tingnan ang paksa,). Upang gawin ito, ang halaga ng posibilidad ay dapat na i-multiply sa. Sa halimbawa ng dice, probability.

At sa porsyento: .

Mga halimbawa (magpasya para sa iyong sarili):

1. Ano ang posibilidad na ang paghagis ng isang barya ay mapunta sa mga ulo? At ano ang posibilidad ng isang buntot?
2. Ano ang posibilidad na magkaroon ng kahit na numero kapag inihagis ang isang dice? At sa ano - kakaiba?
3. Sa isang drawer ng plain, blue at red na mga lapis. Kami ay random na gumuhit ng isang lapis. Ano ang posibilidad na mabunot ang isang simple?

Mga solusyon:

1. Gaano karaming mga pagpipilian ang mayroon? Mga ulo at buntot - dalawa lang. At ilan sa kanila ang paborable? Isa lang ang agila. Kaya ang posibilidad

   Pareho sa mga buntot: .

2. Kabuuang mga opsyon: (ilang panig ang isang cube, napakarami iba't ibang mga pagpipilian). Mga kanais-nais: (lahat ito ay mga even na numero :).
   Probability. Sa kakaiba, siyempre, ang parehong bagay.
3. Kabuuan: . Kanais-nais: . Probability: .

Buong Probability

Lahat ng lapis sa drawer ay berde. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng pulang lapis? Walang mga pagkakataon: posibilidad (pagkatapos ng lahat, kanais-nais na mga kaganapan -).

Ang ganitong pangyayari ay tinatawag na imposible.

Ano ang posibilidad ng pagguhit ng berdeng lapis? Mayroong eksaktong bilang ng maraming paborableng mga kaganapan bilang mayroong kabuuang mga kaganapan (lahat ng mga kaganapan ay paborable). Kaya ang posibilidad ay o.

Ang ganitong kaganapan ay tinatawag na tiyak.

Kung may berde at pulang lapis sa kahon, ano ang posibilidad ng pagguhit ng berde o pula? Muli pa. Tandaan ang sumusunod na bagay: ang posibilidad ng pagguhit ng berde ay pantay, at ang pula ay .

Sa kabuuan, ang mga probabilidad na ito ay eksaktong pantay. Yan ay, ang kabuuan ng mga probabilidad ng lahat ng posibleng pangyayari ay katumbas ng o.

Halimbawa:

Sa isang kahon ng mga lapis, kabilang sa mga ito ay asul, pula, berde, simple, dilaw, at ang iba ay orange. Ano ang posibilidad ng hindi pagguhit ng berde?

Solusyon:

Tandaan na ang lahat ng mga probabilidad ay nagdaragdag. At ang posibilidad ng pagguhit ng berde ay pantay. Nangangahulugan ito na ang posibilidad ng hindi pagguhit ng berde ay pantay.

Tandaan ang trick na ito: Ang posibilidad na hindi mangyari ang isang kaganapan ay binabawasan ang posibilidad na mangyari ang kaganapan.

Mga independiyenteng kaganapan at ang panuntunan sa pagpaparami

I-flip mo ang isang barya ng dalawang beses at gusto mo itong lumabas nang dalawang beses. Ano ang posibilidad nito?

Suriin natin ang lahat ng posibleng opsyon at tukuyin kung ilan ang mayroon:

Eagle-Agila, Tails-Agila, Eagle-Tails, Tails-Tails. Ano pa?

Ang buong variant. Sa mga ito, isa lang ang nababagay sa atin: Eagle-Eagle. Kaya, ang posibilidad ay pantay.

Mabuti. Ngayon ay i-flip natin ang isang barya. Bilangin mo ang iyong sarili. Nangyari? (sagot).

Maaaring napansin mo na sa pagdaragdag ng bawat susunod na paghagis, ang posibilidad ay nababawasan ng isang kadahilanan. Pangkalahatang tuntunin tinawag tuntunin sa pagpaparami:

Ang mga posibilidad ng mga independiyenteng kaganapan ay nagbabago.

Ano ang mga malayang kaganapan? Ang lahat ay lohikal: ito ang mga hindi umaasa sa isa't isa. Halimbawa, kapag naghagis tayo ng barya ng ilang beses, sa bawat oras na may gagawing bagong paghagis, ang resulta nito ay hindi nakadepende sa lahat ng nakaraang paghagis. Sa parehong tagumpay, maaari tayong magtapon ng dalawang magkaibang barya nang sabay.

Higit pang mga halimbawa:

1. Ang isang mamatay ay itinapon ng dalawang beses. Ano ang posibilidad na ito ay lalabas sa dalawang beses?
2. Ang isang barya ay inihagis ng ilang beses. Ano ang posibilidad na makakuha ng mga ulo muna at pagkatapos ay dalawang beses na buntot?
3. Ang manlalaro ay nagpapagulong ng dalawang dice. Ano ang posibilidad na ang kabuuan ng mga numero sa kanila ay magiging pantay?

Mga sagot:

1. Ang mga kaganapan ay independyente, na nangangahulugang gumagana ang panuntunan sa pagpaparami: .
2. Ang posibilidad ng isang agila ay pantay. Tails probability din. Kami ay nagpaparami:
3. 12 ay makukuha lamang kung ang dalawang -ki ay bumagsak: .

Mga hindi tugmang kaganapan at ang panuntunan sa pagdaragdag

Ang mga hindi magkatugmang kaganapan ay mga kaganapan na umaakma sa isa't isa hanggang sa buong posibilidad. Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, hindi sila maaaring mangyari nang sabay. Halimbawa, kung maghahagis tayo ng barya, maaaring mahulog ang ulo o buntot.

Halimbawa.

Sa isang kahon ng mga lapis, kabilang sa mga ito ay asul, pula, berde, simple, dilaw, at ang iba ay orange. Ano ang posibilidad ng pagguhit ng berde o pula?

Solusyon .

Ang posibilidad ng pagguhit ng berdeng lapis ay pantay. Pula - .

Mga mapalad na kaganapan sa lahat: berde + pula. Kaya ang posibilidad ng pagguhit ng berde o pula ay pantay.

Ang parehong posibilidad ay maaaring katawanin sa sumusunod na anyo: .

Ito ang panuntunan sa pagdaragdag: ang mga posibilidad ng hindi magkatugma na mga kaganapan ay nagdaragdag.

Pinaghalong gawain

Halimbawa.

Ang barya ay inihagis ng dalawang beses. Ano ang posibilidad na mag-iba ang resulta ng mga rolyo?

Solusyon .

Nangangahulugan ito na kung ang mga ulo ay unang lumabas, ang mga buntot ay dapat na pangalawa, at kabaliktaran. Lumalabas na mayroong dalawang pares ng mga independiyenteng kaganapan dito, at ang mga pares na ito ay hindi tugma sa isa't isa. Paano hindi malito kung saan dadami at kung saan idadagdag.

Mayroong isang simpleng tuntunin para sa mga ganitong sitwasyon. Subukang ilarawan kung ano ang dapat mangyari sa pamamagitan ng pag-uugnay ng mga kaganapan sa mga unyon na "AT" o "O". Halimbawa, sa kasong ito:

Dapat gumulong (ulo at buntot) o (buntot at ulo).

Kung saan mayroong unyon na "at", magkakaroon ng multiplikasyon, at kung saan ang "o" ay karagdagan:

Subukan ito sa iyong sarili:

1. Ano ang posibilidad na magkaroon ng magkaparehong panig ang dalawang coin tosses?
2. Ang isang mamatay ay itinapon ng dalawang beses. Ano ang posibilidad na ang kabuuan ay bumaba ng mga puntos?

Mga solusyon:

Isa pang halimbawa:

Naghahagis kami ng barya nang isang beses. Ano ang posibilidad na lumitaw ang mga ulo kahit isang beses?

Solusyon:

TEORYANG PROBABILIDAD. MAIKLING TUNGKOL SA PANGUNAHING

Ang probabilidad ay ang ratio ng bilang ng mga paborableng kaganapan sa bilang ng lahat ng posibleng kaganapan.

Mga malayang kaganapan

Ang dalawang kaganapan ay independyente kung ang paglitaw ng isa ay hindi nagbabago sa posibilidad ng isa pang naganap.

Buong Probability

Ang posibilidad ng lahat ng posibleng kaganapan ay ().

Ang posibilidad na hindi mangyari ang isang kaganapan ay binabawasan ang posibilidad na mangyari ang kaganapan.

Panuntunan para sa pagpaparami ng mga probabilidad ng mga independiyenteng kaganapan

Ang posibilidad ng isang tiyak na pagkakasunud-sunod ng mga independiyenteng kaganapan ay katumbas ng produkto ng mga probabilidad ng bawat isa sa mga kaganapan.

Mga pangyayaring hindi magkatugma

Ang mga hindi tugmang kaganapan ay ang mga kaganapang hindi maaaring mangyari nang sabay-sabay bilang resulta ng isang eksperimento. Ang isang bilang ng mga hindi tugmang kaganapan ay bumubuo ng isang kumpletong pangkat ng mga kaganapan.

Ang mga posibilidad ng hindi magkatugma na mga kaganapan ay nagdaragdag.

Ang pagkakaroon ng inilarawan kung ano ang dapat mangyari, gamit ang mga unyon na "AT" o "O", sa halip na "AT" inilalagay namin ang tanda ng pagpaparami, at sa halip na "OR" - karagdagan.

Well, tapos na ang topic. Kung binabasa mo ang mga linyang ito, napaka-cool mo.

Dahil 5% lamang ng mga tao ang nakakabisa sa isang bagay sa kanilang sarili. At kung nabasa mo na hanggang dulo, ikaw ay nasa 5%!

Ngayon ang pinakamahalagang bagay.

Nalaman mo na ang teorya sa paksang ito. At, uulitin ko, ito ay ... super lang! Mas mahusay ka na kaysa sa karamihan ng iyong mga kapantay.

Ang problema ay maaaring hindi ito sapat ...

Para saan?

Para sa matagumpay na paghahatid Pinag-isang Eksaminasyon ng Estado, para sa pagpasok sa instituto sa badyet at, PINAKA MAHALAGA, habang buhay.

Hindi kita kukumbinsihin sa anumang bagay, isa lang ang sasabihin ko ...

Ang mga taong nakatanggap ng magandang edukasyon ay kumikita ng higit pa kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ito ay mga istatistika.

Ngunit hindi ito ang pangunahing bagay.

Ang pangunahing bagay ay MAS MASAYA sila (may mga ganyang pag-aaral). Marahil dahil marami pang pagkakataon ang nagbubukas sa harap nila at ang buhay ay nagiging mas maliwanag? hindi ko alam...

Pero isipin mo ang sarili mo...

Ano ang kinakailangan upang makatiyak na maging mas mahusay kaysa sa iba sa pagsusulit at sa huli ay ... mas masaya?

PUNUAN ANG IYONG KAMAY, SOLUSYON NG MGA PROBLEMA SA PAKSANG ITO.

Sa pagsusulit, hindi ka tatanungin ng teorya.

Kakailanganin mong lutasin ang mga problema sa oras.

At, kung hindi mo pa nasolusyunan ang mga ito (MARAMING!), Tiyak na gagawa ka ng isang hangal na pagkakamali sa isang lugar o hindi mo ito gagawin sa tamang oras.

Parang sa sports - kailangan mong ulitin ng maraming beses para siguradong manalo.

Maghanap ng koleksyon kahit saan mo gusto kinakailangang may mga solusyon detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!

Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (hindi kinakailangan) at tiyak na inirerekomenda namin ang mga ito.

Upang makakuha ng tulong sa tulong ng aming mga gawain, kailangan mong tumulong na palawigin ang buhay ng YouClever textbook na kasalukuyan mong binabasa.

Paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:

1. I-unlock ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa artikulong ito - 299 kuskusin.
2. I-unlock ang access sa lahat ng nakatagong gawain sa lahat ng 99 na artikulo ng tutorial - 499 kuskusin.

Oo, mayroon kaming 99 tulad na mga artikulo sa aklat-aralin at ang pag-access sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa mga ito ay mabubuksan kaagad.

Ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain ay ibinibigay para sa buong buhay ng site.

Sa konklusyon...

Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lang tumigil sa teorya.

Ang "Naiintindihan" at "Alam ko kung paano lutasin" ay ganap na magkaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.

Maghanap ng mga problema at lutasin!