Pagbuo ng linear trend. Mga parameter ng equation ng trend

Ang pagkuha ng tuwid na linya bilang isang hypothetical function ng theoretical level, tinutukoy namin ang mga parameter ng huli:

Ang sistemang ito ay maaaring malutas gamit ang mga formula:

Kaya ang nais na equation ng trend: . Ang pagpapalit ng mga halaga 1, 2, 3, 4, 5 sa nagresultang equation, tinutukoy namin ang teoretikal na antas ng serye (tingnan ang penultimate column ng Table 4.3). Ang paghahambing ng mga halaga ng empirical at teoretikal na antas, nakikita natin na sila ay malapit, i.e. maaari nating sabihin na ang nahanap na equation ay matagumpay na nailalarawan ang pangunahing ugali ng mga pagbabago sa mga antas nang tumpak bilang isang linear function.

Ang sistema ng mga normal na equation ay pinasimple kung ang oras ay binibilang mula sa gitna ng row. Halimbawa, kapag kakaibang bilang ng mga antas ang midpoint (taon, buwan) ay kinuha bilang zero. Pagkatapos ang mga nakaraang panahon ay itinalaga -1, -2, -3, atbp., ayon sa pagkakabanggit, at ang mga sumusunod sa average - +1, +2, +3, atbp., ayon sa pagkakabanggit. Sa pantay na bilang ng mga antas, ang dalawang gitnang sandali (mga yugto) ng oras ay itinalaga −1 at +1, at lahat ng kasunod at nauna, ayon sa pagkakabanggit, sa dalawang pagitan: atbp.

Sa ganitong pagkakasunud-sunod ng pagbibilang ng oras (mula sa gitna ng row), ang sistema ng mga normal na equation ay pinasimple sa sumusunod na dalawang equation, na ang bawat isa ay nalulutas nang nakapag-iisa:

Mahalaga Kapag gumagawa ng isang modelo ng serye ng oras, ang mga seasonal at cyclical na pagbabago ay isinasaalang-alang. Ang pinakasimpleng diskarte upang isaalang-alang ang mga seasonal at cyclical na pagbabagu-bago sa modelo ay ang kalkulahin ang mga halaga ng seasonal/cyclical component at bumuo ng isang additive at multiplicative na time series na modelo.

Pangkalahatang anyo Ang additive model ay ang mga sumusunod: Y=T+S+E. Ipinapalagay ng modelong ito na ang bawat antas ng oras ng serye ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng trend T, pana-panahon S at isang random na bahagi. Ang pangkalahatang hitsura ng multiplicative na modelo ay ganito: Y=T∙S∙E.

Ang pagpili ng isa sa dalawang modelo ay batay sa isang pagsusuri ng istraktura ng mga pana-panahong pagbabagu-bago. Kung ang amplitude ng mga oscillations ay humigit-kumulang pare-pareho, ang isang additive na modelo ng serye ng oras ay itinayo kung saan ang mga halaga ng seasonal na bahagi ay ipinapalagay na pare-pareho para sa iba't ibang mga cycle. Kung ang amplitude ng mga seasonal fluctuation ay tumataas o bumababa, isang multiplicative na time series na modelo, na ginagawang ang mga antas ng serye ay nakadepende sa mga halaga ng seasonal na bahagi.

Ang pagbuo ng mga additive at multiplicative na modelo ay bumaba sa pagkalkula T, S, E para sa bawat antas ng hilera. Ang mga yugto ng pagbuo ng isang modelo ay kinabibilangan ng mga sumusunod na hakbang:

1. Pag-align ng orihinal na serye gamit ang moving average na paraan

2. Pagkalkula ng mga seasonal component value S.

3. Pag-aalis ng seasonal na bahagi mula sa mga unang antas ng serye at pagkuha ng nakahanay na data sa additive ( T+E) o multiplicative ( T∙E) mga modelo.

4. Analytical leveling ( T+E) o ( T∙E) at pagkalkula ng mga halaga T gamit ang resultang equation ng trend.

5. Pagkalkula ng mga halaga na nakuha mula sa modelo ( T+E) o ( T∙E).

6. Pagkalkula ng ganap at/o mga kamag-anak na pagkakamali. Kung ang nakuha na mga halaga ay hindi naglalaman ng autocorrelation, maaari nilang palitan ang mga orihinal na antas ng serye at pagkatapos ay gamitin ang serye ng oras ng mga error. E upang suriin ang kaugnayan sa pagitan ng orihinal na serye at iba pang serye ng panahon.

Isaalang-alang natin ang iba pang mga pamamaraan para sa pagsusuri ng mga relasyon, sa pag-aakalang ang serye ng oras na pinag-aaralan ay hindi naglalaman ng mga pana-panahong pagbabagu-bago. Ipagpalagay natin na pinag-aaralan natin ang dependence sa pagitan ng serye X At sa. Upang matukoy ang dami ng pag-asa na ito, ginagamit namin linear coefficient mga ugnayan. Kung nagte-trend ang pinag-uusapang serye ng oras, magiging mataas ang absolute value na coefficient ng correlation. Gayunpaman, hindi ito nangangahulugan na X dahilan sa. Ang mataas na koepisyent ng ugnayan sa kasong ito ay ang resulta ng katotohanan na X At sa depende sa oras, o naglalaman ng trend. Sa kasong ito, ang mga serye na ganap na walang kaugnayan sa isa't isa sa pamamagitan ng sanhi-at-epektong pag-asa ay maaaring magkaroon ng pareho o magkasalungat na ugali. Halimbawa, ang koepisyent ng ugnayan sa pagitan ng bilang ng mga nagtapos sa unibersidad at ang bilang ng mga holiday home sa Russian Federation sa panahon mula 1970-1990 ay 0.8. Gayunpaman, hindi ito nangangahulugan na ang bilang ng mga holiday home ay nakakatulong sa pagtaas ng bilang ng mga nagtapos o vice versa.

Upang makakuha ng mga koepisyent ng ugnayan na nagpapakilala sa ugnayang sanhi-at-epekto sa pagitan ng seryeng pinag-aaralan, kailangang alisin ang tinatawag na maling ugnayan na dulot ng pagkakaroon ng trend sa bawat serye, na inaalis ng isa. ng mga pamamaraan.

Ipagpalagay natin na para sa dalawang serye ng panahon x t At y t isang pares na regression equation ang binuo linear regression uri: . ang pagkakaroon ng trend sa bawat isa sa mga time series na ito ay nangangahulugan na ang dependent y t at malaya x t Ang mga variable ng modelo ay naiimpluwensyahan ng salik ng oras, na hindi direktang isinasaalang-alang sa modelo. Ang impluwensya ng kadahilanan ng oras ay ipinahayag sa ugnayan sa pagitan ng mga halaga ng mga nalalabi para sa kasalukuyan at nakaraang mga punto sa oras, na tinatawag na autocorrelation sa mga nalalabi.

Ang autocorrelation sa mga residual ay isang paglabag sa isa sa mga pangunahing lugar ng OLS - ang pagpapalagay na ang mga residual na nakuha mula sa equation ng regression ay random. Ang isang posibleng paraan upang malutas ang problemang ito ay ang paggamit ng isang pangkalahatang paraan ng least squares.

Upang maalis ang trend, dalawang grupo ng mga pamamaraan ang ginagamit:

Mga pamamaraan batay sa pagbabago ng mga antas ng orihinal na serye sa mga bagong variable na hindi naglalaman ng mga uso (ang paraan ng sunud-sunod na mga pagkakaiba at ang paraan ng paglihis mula sa mga uso);

Mga pamamaraan batay sa pag-aaral ng ugnayan sa pagitan ng mga unang antas ng serye ng oras kapag inaalis ang epekto ng time factor sa umaasa at independiyenteng mga variable ng modelo (pagsasama ng time factor sa regression model para sa time series).

Hayaang magkaroon ng dalawang time series at , na ang bawat isa ay naglalaman ng bahagi ng trend T at isang random na bahagi. Ang analytical alignment ng bawat isa sa mga seryeng ito ay nagbibigay-daan sa amin na mahanap ang mga parameter ng kaukulang mga equation ng trend at matukoy ang mga antas na kinakalkula ng trend at ng mga katumbas. Ang mga kalkuladong halaga na ito ay maaaring kunin bilang isang pagtatantya ng bahagi ng trend T bawat hilera. Samakatuwid, ang impluwensya ng trend ay maaaring alisin sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga kinakalkula na halaga ng mga antas ng serye mula sa mga aktwal. Ginagawa ang pamamaraang ito para sa bawat serye ng oras sa modelo. Ang karagdagang pagsusuri ng ugnayan sa pagitan ng serye ay isinasagawa gamit hindi ang mga paunang antas, ngunit ang mga paglihis mula sa kalakaran at . Ito ay eksakto kung ano ito paraan ng paglihis ng trend.

Sa ilang mga kaso, sa halip na analytically na ihanay ang isang serye ng oras upang maalis ang isang trend, maaaring gumamit ng isang mas simpleng paraan. – paraan ng sunud-sunod na pagkakaiba. Kung ang isang serye ng oras ay naglalaman ng isang malakas na linear na trend, maaari itong alisin sa pamamagitan ng pagpapalit sa mga paunang antas ng serye ng mga nakakadena na ganap na pagtaas (mga unang pagkakaiba).

Hayaan mo, .

Coefficient b– isang pare-pareho na hindi nakasalalay sa oras. Sa pagkakaroon ng isang malakas na linear trend, ang mga pagbibitiw ay medyo maliit at, alinsunod sa mga pagpapalagay ng OLS, ay random sa kalikasan. Samakatuwid, ang mga unang pagkakaiba sa pagitan ng mga antas ng serye ay hindi nakasalalay sa variable ng oras; maaari silang magamit para sa karagdagang pagsusuri.

Kung ang isang serye ng oras ay naglalaman ng isang trend sa anyo ng isang pangalawang-order na parabola, pagkatapos ay upang maalis ito, maaari mong palitan ang mga unang antas ng serye ng mga pangalawang pagkakaiba: .

Kung ang trend ng isang time series ay sumusunod sa isang exponential o power law trend, ang paraan ng sunud-sunod na mga pagkakaiba ay dapat ilapat hindi sa orihinal na mga antas ng serye, ngunit sa kanilang mga logarithms.

View ng modelo: tumutukoy din sa pangkat ng mga modelo na kinabibilangan ng salik ng oras. Ang bentahe ng modelong ito sa mga pamamaraan ng paglihis mula sa mga uso at sunud-sunod na mga pagkakaiba ay nagbibigay-daan ito sa amin na isaalang-alang ang lahat ng impormasyong nakapaloob sa orihinal na data, dahil ang mga halaga at ang mga antas ng orihinal na serye ng oras. Bilang karagdagan, ang modelo ay binuo gamit ang buong hanay ng data para sa panahong isinasaalang-alang, sa kaibahan sa paraan ng sunud-sunod na mga pagkakaiba, na humahantong sa pagkawala ng bilang ng mga obserbasyon. Ang mga parameter ng modelong ito ay tinutukoy ng ordinaryong hindi bababa sa mga parisukat.

Halimbawa. Bumuo tayo ng trend equation batay sa inisyal na datos sa Talahanayan 4.4.

Talahanayan 4.4

Mga paggasta sa huling pagkonsumo at kabuuang kita (mga karaniwang yunit)

Ang sistema ng mga normal na equation ay may anyo:

Gamit ang paunang data, kinakalkula namin ang mga kinakailangang halaga at pinapalitan ang mga ito sa system:

Ang equation ng regression ay may anyo: .

Ang interpretasyon ng mga parameter ng equation ay ang mga sumusunod: ito ay nagpapakilala na may pagtaas sa kabuuang kita ng 1 yunit. ang panghuling paggasta sa pagkonsumo ay tataas ng average na CU 0.49, sa pag-aakalang isang patuloy na kalakaran. Ang parameter ay nangangahulugan na ang epekto ng lahat ng mga salik, maliban sa kabuuang kita, sa panghuling paggasta sa pagkonsumo ay hahantong sa average na taunang ganap na pagtaas nito na 0.63 cu.

Isaalang-alang ang isang regression equation ng form: . Para sa bawat sandali sa oras, ang halaga ng mga bahagi ay tinukoy bilang o . Isinasaalang-alang ang isang pagkakasunud-sunod ng mga nalalabi bilang isang serye ng oras, maaari mong iplano ang kanilang pagdepende sa oras. Ayon sa mga pagpapalagay ng OLS, ang mga nalalabi ay dapat na random (Larawan 4.4).

kanin. 4.4 Random na nalalabi

Gayunpaman, kapag nagmomodelo ng serye ng oras, madalas na may mga sitwasyon kung saan ang mga nalalabi ay naglalaman ng isang trend o cyclical fluctuations (Fig. 4.5). Iminumungkahi nito na ang bawat kasunod na halaga ng mga nalalabi ay nakasalalay sa mga nauna. Sa kasong ito, pinag-uusapan nila ang pagkakaroon ng autocorrelation sa mga nalalabi.

a) b)

kanin. 4.5 Pababang trend ( A) at cyclic fluctuations ( b)

sa mga natira

Autocorrelation ng random na bahagi- pag-asa sa ugnayan ng kasalukuyan at nakaraang mga halaga ng random na bahagi. Mga kahihinatnan ng random na bahagi ng autocorrelation:

Ang mga coefficient ng regression ay nagiging hindi epektibo;

Ang mga karaniwang error ng mga coefficient ng regression ay nagiging underestimated, at ang mga halaga t– ang mga pamantayan ay overestimated.

Upang matukoy ang autocorrelation ng mga residual, dalawang pinakakaraniwang pamamaraan ang kilala para sa pagtukoy ng autocorrelation ng mga residual. Ang unang paraan ay ang pag-plot ng mga residual laban sa oras at biswal na matukoy ang presensya o kawalan ng autocorrelation. Ang pangalawang paraan ay ang paggamit ng Durbin-Watson test, na bumubuhos sa pagsubok ng hypothesis:

H0 (pangunahing hypothesis): walang autocorrelation;

H1 at H2 (alternatibong hypotheses): mayroong positibo o negatibong autocorrelation sa mga residual, ayon sa pagkakabanggit.

Upang subukan ang pangunahing hypothesis, ginagamit ang mga istatistika ng pagsubok ng Durbin-Watson:

saan .

Sa malalaking sample d≈2(1-), Saan - 1st order autocorrelation coefficient.

.

Kung mayroong kumpletong positibong autocorrelation sa mga residual at =1, pagkatapos d=0; kung mayroong kumpletong negatibong autocorrelation sa mga residual, kung gayon = -1 at d=4; kung walang autocorrelation ng mga nalalabi, kung gayon = 0, pagkatapos d=2. Samakatuwid, 0.

Mayroong mga espesyal na istatistikal na talahanayan para sa pagtukoy ng mas mababa at itaas na mga kritikal na limitasyon d-mga istatistika -d L At d U. Ang mga ito ay tinutukoy depende sa n, bilang ng mga independiyenteng variable k at antas ng kahalagahan.

Kung dob ‹d L , pagkatapos ay tinatanggap ang hypothesis H1: positibong autocorrelation.

Kung d at ‹d obs. ‹2,

Kung 2‹d obs‹4-d at, pagkatapos ay tinatanggap ang hypothesis H0: walang autocorrelation.

Kung d obs ›4-d L , pagkatapos ay tinatanggap ang hypothesis H2: negatibong autocorrelation.

Kung 4-d at ‹d obs ‹4-d L , At d L ‹d obs ‹d at, pagkatapos ay mayroong isang kaso ng kawalan ng katiyakan.

0 d L d U 2 4- d U 4- d L 4

kanin. 4.6 Algorithm para sa pagsubok ng hypothesis tungkol sa pagkakaroon ng autocorrelation ng mga nalalabi

May mga limitasyon sa aplikasyon ng Durbin-Watson test. Hindi ito naaangkop para sa mga modelo na may kasamang mga lagged na halaga ng nagresultang katangian bilang mga independiyenteng variable, i.e. sa mga autoregressive na modelo. Ang pamamaraan ay naglalayon lamang sa pagtukoy ng autocorrelation ng mga natitirang first-order. Ang mga resulta ay mas maaasahan kapag nagtatrabaho sa mas malalaking sample.

Sa mga kaso kung saan mayroong autocorrelation ng mga nalalabi, upang matukoy ang mga pagtatantya ng parameter a, b gamitin ang pangkalahatang paraan ng least squares, na binubuo ng mga sumusunod na hakbang:

1. I-convert ang mga orihinal na variable y t At xt sa isip

2. Paglalapat ng karaniwang paraan ng least squares sa equation , Saan matukoy ang mga pagtatantya ng parameter at b.

4. Isulat ang orihinal na equation .

Sa mga econometric na modelo na binuo gamit ang data ng oras, ang mga dynamic na modelo ay nakikilala.

Ang modelong ekonomiko ay pabago-bago , kung nasa sa sandaling ito oras t isinasaalang-alang nito ang mga halaga ng mga variable na bumubuo nito na may kaugnayan sa kasalukuyan at nakaraang mga punto sa oras, i.e. ang modelong ito ay sumasalamin sa dinamika ng mga pinag-aralan na variable sa bawat punto ng oras.

Mayroong dalawang pangunahing uri ng mga dynamic na econometric na modelo. Kasama sa unang uri ng modelo ang mga autoregressive na modelo at mga distributed lag na modelo, kung saan direktang kasama sa modelo ang halaga ng isang variable sa mga nakaraang yugto ng panahon (mga lagged variable). Isinasaalang-alang ng mga modelo ng pangalawang uri ang dynamic na impormasyon. Kasama sa mga modelong ito ang mga variable na nagpapakilala sa inaasahan at ninanais na antas ng resulta, o isa sa mga salik sa isang punto ng oras. t.

Ibinahagi ang modelo ng lag ay may anyo:

Ang pagtatayo ng mga distributed lag at autoregressive na mga modelo ay may sariling mga detalye. Una, ang pagtatantya ng mga parameter ng mga autoregressive na modelo, at sa karamihan ng mga kaso, ang mga distributed lag models, ay hindi maaaring isagawa gamit ang conventional OLS dahil sa paglabag sa mga lugar nito at nangangailangan ng espesyal na paraang istatistikal. Pangalawa, kailangang lutasin ng mga mananaliksik ang problema sa pagpili ng pinakamainam na halaga ng lag at pagtukoy sa istraktura nito. Panghuli, pangatlo, mayroong isang tiyak na kaugnayan sa pagitan ng mga distributed lag na modelo at mga autoregressive na modelo, at sa ilang mga kaso kinakailangan na gumawa ng paglipat mula sa isang uri ng modelo patungo sa isa pa.

Isaalang-alang natin ang isang modelo na may distributed lag sa ilalim ng pagpapalagay na ang maximum na halaga ng lag ay may hangganan:

Sinasabi ng modelong ito na kung sa isang punto sa oras t nagbabago ang independent variable x, kung gayon ang pagbabagong ito ay makakaapekto sa mga halaga ng variable y habang l susunod na mga sandali sa oras.

Coefficient ng regression b 0 may variable xt nailalarawan ang average na ganap na pagbabago y t kapag nagbago ito xt para sa 1 unit ng pagsukat nito sa ilang takdang oras t, nang hindi isinasaalang-alang ang epekto ng mga nahuli na halaga ng kadahilanan x. Ang coefficient na ito ay tinatawag panandaliang multiplier.

Sa sandaling ito t+1 impluwensya ng variable na salik xt sa resulta y t magiging ( b 0 +b 1) mga karaniwang yunit; sa isang punto ng panahon t+2 ang epektong ito ay maaaring mailalarawan ng kabuuan ( b 0 +b 1 +b 2) atbp. Ang mga halagang nakuha sa ganitong paraan ay tinatawag intermediate multiplier.

Isinasaalang-alang ang finite value ng lag, masasabi nating ang pagbabago sa variable xt sa isang punto ng panahon t sa pamamagitan ng 1 conventional unit ay hahantong sa isang pangkalahatang pagbabago sa resulta sa pamamagitan ng l sandali sa oras (b 0 +b 1 +b 2 +…+b l).

Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon: b=(b 0 +b 1 +b 2 +…+b l). Sukat b tinawag pangmatagalang multiplier, na nagpapakita ng ganap na pagbabago sa katagalan t+l resulta y naiimpluwensyahan ng pagbabago ng 1 unit. salik a x.

Dami ay tinatawag kamag-anak na posibilidad ipinamahagi na mga modelo ng lag. Kung lahat ng coefficients b j magkaroon ng parehong mga palatandaan, kung gayon . Ang mga relatibong coefficient ay mga timbang para sa kaukulang coefficient b j. Ang bawat isa sa kanila ay sumusukat sa proporsyon ng kabuuang pagbabago sa nagresultang katangian sa isang punto ng oras t+j.

Ang pag-alam sa mga dami, gamit ang mga karaniwang formula maaari mong matukoy ang dalawang mas mahalagang katangian ng modelo maramihang pagbabalik: ang halaga ng average at median lags.

Average na lag kinakalkula gamit ang weighted arithmetic mean formula:

at kumakatawan sa average na panahon kung saan magbabago ang resulta sa ilalim ng impluwensya ng pagbabago sa salik x sa sandaling ito t. Kung maliit ang average na halaga ng lag, nangangahulugan ito ng medyo mabilis na pagtugon y para sa pagbabago x. Ang mataas na halaga ng average na lag ay nagpapahiwatig na ang epekto ng salik sa resulta ay mararamdaman sa mahabang panahon.

Median lag (L Me) – ito ang halaga ng lag kung saan ang panahon kung saan . Ito ang yugto ng panahon kung saan mula sa sandali ng oras t kalahati ng kabuuang epekto ng salik sa resulta ay maisasakatuparan.

Ang mga pamamaraan na nakabalangkas sa itaas para sa pagsusuri ng mga parameter ng isang modelo na may isang ipinamahagi na lag ay may bisa lamang sa ilalim ng pagpapalagay na ang lahat ng mga coefficient para sa kasalukuyan at lagged na mga halaga ng kadahilanan sa ilalim ng pag-aaral ay may parehong mga palatandaan. Ang palagay na ito ay ganap na nabigyang-katwiran mula sa isang pang-ekonomiyang punto ng view: ang epekto ng parehong kadahilanan sa resulta ay dapat na unidirectional, anuman ang tagal ng oras kung saan ang lakas o pagkakalapit ng ugnayan sa pagitan ng mga katangiang ito ay sinusukat. Gayunpaman, sa pagsasagawa, ang pagkuha ng isang istatistikal na makabuluhang modelo na ang mga parameter ay magkakaroon ng parehong mga palatandaan, lalo na sa isang malaking lag. l, napakahirap.

Ang paggamit ng mga kumbensyonal na hindi bababa sa mga parisukat sa mga naturang modelo ay sa karamihan ng mga kaso ay mahirap para sa mga sumusunod na kadahilanan:

Ang kasalukuyang at lagged na mga halaga ng isang independiyenteng variable, bilang isang panuntunan, ay malapit na nauugnay sa bawat isa, kaya ang pagtatantya ng mga parameter ng modelo ay isinasagawa sa ilalim ng mga kondisyon ng mataas na multicollinearity;

Sa isang malaking lag, ang bilang ng mga obserbasyon kung saan itinayo ang modelo ay bumababa, at ang bilang ng mga katangian ng kadahilanan nito ay tumataas, na humahantong sa pagkawala ng bilang ng mga antas ng kalayaan sa modelo;

Ang mga distributed lag na modelo ay kadalasang nahaharap sa problema ng autocorrelation ng mga nalalabi.

Tulad ng sa distributed lag model, b 0 sa modelong ito ay nailalarawan ang panandaliang pagbabago y t sa ilalim ng impluwensya ng pagbabago xt para sa 1 unit Gayunpaman, ang mga intermediate at pangmatagalang multiplier sa autoregressive na modelo ay medyo naiiba. Sa pagdating ng oras t+1 resulta y t nagbago sa ilalim ng impluwensya ng mga pagbabago sa pinag-aralan na kadahilanan sa isang pagkakataon t sa b 0 mga yunit, at y t +1– sa ilalim ng impluwensya ng pagbabago nito sa kaagad na naunang punto sa oras sa mula 1 mga yunit. Kaya, ang kabuuang ganap na pagbabago sa resulta sa panahong iyon t+1 magiging b 0 s 1 . Ganoon din sa panahong iyon t+2 ang ganap na pagbabago sa resulta ay magiging b 0 s 1 2 mga yunit, atbp. Samakatuwid, ang pangmatagalang multiplier sa autoregressive na modelo ay maaaring kalkulahin bilang kabuuan ng mga panandaliang at intermediate na multiplier:

Ang interpretasyong ito ng mga coefficient ng autoregressive na modelo at ang pagkalkula ng pangmatagalang multiplier ay batay sa premise na mayroong walang katapusang lag sa epekto ng kasalukuyang halaga ng dependent variable sa mga hinaharap na halaga nito.

Halimbawa. Ipagpalagay natin na, batay sa data sa dinamika ng pagkonsumo at mga tagapagpahiwatig ng kita sa rehiyon, nakuha ang isang modelo ng autoregression na naglalarawan sa pag-asa ng average na dami ng pagkonsumo ng bawat kapita para sa taon (C, milyong rubles) sa average na kabuuang per capita taunang kita (Y, milyong rubles) at ang dami ng pagkonsumo ng nakaraang taon :

.

Ang panandaliang multiplier ay 0.85. Sa modelong ito, kinakatawan nito ang marginal propensity to consumption in panandalian. Dahil dito, isang pagtaas sa average per capita kabuuang kita ng 1 milyong rubles. humahantong sa isang pagtaas sa pagkonsumo sa parehong taon sa pamamagitan ng isang average ng 850 libong rubles. Ang pangmatagalang marginal propensity na kumonsumo sa modelong ito ay maaaring tukuyin bilang

.

Sa mahabang panahon, isang pagtaas sa average per capita kabuuang kita ng 1 milyong rubles. ay hahantong sa isang pagtaas sa pagkonsumo ng isang average ng 944 libong rubles. Ang mga intermediate indicator ng marginal propensity to consume ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga kinakailangang bahagyang halaga para sa kaukulang mga yugto ng panahon. Halimbawa, para sa isang punto sa oras t+1

at isang talahanayan tulad nito:

Mga tagubilin. Tukuyin ang dami ng data (bilang ng mga hilera). Ang resultang solusyon ay nai-save sa isang Word at Excel file.

Ang takbo ng isang serye ng panahon ay nagpapakita ng isang hanay ng mga salik na may pangmatagalang impluwensya at bumubuo sa pangkalahatang dinamika ng indicator na pinag-aaralan.

Paraan ng pagbibilang ng oras mula sa isang kondisyon na simula

Halimbawa. Pag-aaral ng istatistika ng dinamika ng populasyon.

1. Gamit ang chain, basic, at average na dynamics indicator, suriin ang pagbabago sa mga numero at isulat ang iyong mga konklusyon.
2. Gamit ang paraan ng analytical alignment (tuwid na linya at parabola, pagtukoy ng mga coefficient gamit ang OLS), kilalanin ang pangunahing trend sa pag-unlad ng phenomenon (populasyon ng Komi Republic). Suriin ang kalidad ng mga resultang modelo gamit ang mga error at approximation coefficient.
3. Tukuyin ang mga linear at parabolic trend coefficient gamit ang Chart Wizard. Magbigay ng punto at pagitan ng mga hula sa populasyon para sa 2010. Isulat ang iyong mga konklusyon.

A) Linear equation ang kalakaran ay may anyong y = bt + a
1. Hanapin ang mga parameter ng equation gamit ang least squares method. Ginagamit namin ang paraan ng pagbibilang ng oras mula sa isang kondisyon na simula.
Ang sistema ng least squares equation para sa isang linear na trend ay may anyo:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t

Para sa aming data, ang sistema ng mga equation ay kukuha ng anyo:
10a 0 + 0a 1 = 10400
0a 0 + 330a 1 = -4038
Mula sa unang equation ay nagpapahayag kami ng 0 at pinapalitan ito sa pangalawang equation
Nakukuha namin ang isang 0 = -12.236, isang 1 = 1040
Trend equation:
y = -12.236 t + 1040

Suriin natin ang kalidad ng trend equation gamit ang absolute approximation error.

Ang error sa pagtatantya sa loob ng 5%-7% ay nagpapahiwatig ng isang mahusay na akma ng equation ng trend sa orihinal na data.

b) parabolic alignment
Ang equation ng trend ay y = sa 2 + bt + c
1. Hanapin ang mga parameter ng equation gamit ang least squares method.
Sistema ng mga equation ng hindi bababa sa mga parisukat:
a 0 n + a 1 ∑t + a 2 ∑t 2 = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 + a 2 ∑t 3 = ∑yt
a 0 ∑t 2 + a 1 ∑t 3 + a 2 ∑t 4 = ∑yt 2

Error sa pagtatantya para sa parabolic trend equation.

Dahil ang error ay mas mababa sa 7%, ang equation na ito ay maaaring gamitin bilang isang trend.

Minimum na error sa pagtatantya para sa parabolic alignment. Bilang karagdagan, ang koepisyent ng pagpapasiya R2 ay mas mataas kaysa sa linear. Samakatuwid, kinakailangang gumamit ng parabolic equation para sa pagtataya.

Pagtataya ng pagitan.
Tukuyin natin ang root mean square error ng hinulaang indicator.

m = 1 - ang bilang ng mga salik na nakakaimpluwensya sa equation ng trend.
Uy = y n+L ± K
saan

L - panahon ng lead; y n+L - point forecast ayon sa modelo sa (n + L)-th point sa oras; n ay ang bilang ng mga obserbasyon sa serye ng oras; Sy- karaniwang error hinulaang tagapagpahiwatig; T tab - tabular na halaga ng pagsusulit ng Mag-aaral para sa antas ng kahalagahan α at para sa bilang ng mga antas ng kalayaan na katumbas ng n-2.
Gamit ang talahanayan ng Estudyante nakita namin ang Ttable
T talahanayan (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306
Point forecast, t = 10: y(10) = 1.26*10 2 -12.24*10 + 998.5 = 1001.89 thousand tao.

1001.89 - 71.13 = 930.76 ; 1001.89 + 71.13 = 1073.02
Pagtataya ng pagitan:
t = 9+1 = 10: (930.76;1073.02)

Ay uso. Ang isa sa mga pinakasikat na paraan upang imodelo ang trend ng isang serye ng oras ay ang paghahanap ng isang analytical function na nagpapakilala sa pagtitiwala ng mga antas ng serye sa oras. Ang pamamaraang ito ay tinatawag na analytical time series alignment.

Maaaring tumagal ang pagtitiwala ng indicator sa oras iba't ibang hugis, samakatuwid, maghanap ng iba't ibang mga function: linear, hyperbola, exponential, function ng kapangyarihan, mga polynomial ng iba't ibang antas. Ang serye ng oras ay sinusuri katulad ng linear regression.

Mga parameter ng anumang trend maaaring matukoy ng ordinaryong paraan ng least squares gamit ang time t = 1, 2,…, n bilang isang factor, at mga antas ng time series bilang dependent variable. Para sa mga nonlinear na uso, isang pamamaraan ng linearization ang unang isinasagawa.

Kabilang sa mga pinakakaraniwang paraan upang matukoy ang uri ng trend qualitative analysis ng pinag-aralan na serye, pagbuo at pagsusuri ng isang graph ng pagtitiwala ng mga antas ng serye sa oras, pagkalkula ng mga pangunahing tagapagpahiwatig ng dinamika. Para sa parehong mga layunin, madalas mong magagamit at.

Linear na kalakaran

Natutukoy ang uri ng trend sa pamamagitan ng paghahambing ng mga first-order na autocorrelation coefficient. Kung ang isang time series ay may linear na trend, ang mga kalapit na antas nito na yt at yt-1 ay malapit na magkakaugnay. Sa kasong ito, dapat na maximum ang first-order na autocorrelation coefficient ng mga antas ng orihinal na serye. Kung ang isang serye ng oras ay naglalaman ng isang hindi linear na trend, kung gayon ang mas malakas na ang nonlinear na trend ay naka-highlight sa serye ng oras, mas sa mas malaking lawak ang mga halaga ng mga coefficient na ito ay magkakaiba.

Ang pagpili ng pinakamahusay na equation kung ang serye ay naglalaman ng , ay maaaring gawin sa pamamagitan ng paghahanap sa mga pangunahing uri ng trend, pagkalkula ng correlation coefficient para sa bawat equation at pagpili ng trend equation na may pinakamataas na halaga ng coefficient.

Mga Pagpipilian sa Trend

Ang mga parameter ng exponential at linear trend ay may pinakasimpleng interpretasyon.

Mga Pagpipilian sa Linear Trend binibigyang kahulugan ang mga sumusunod: a ay ang unang antas ng serye ng oras sa oras t = 0; b - average na ganap na pagtaas sa mga antas ng rad sa paglipas ng panahon.

Exponential Trend Parameter magkaroon ng ganitong interpretasyon. Ang parameter a ay ang paunang antas ng serye ng oras sa oras t = 0. Ang halaga ng exp(b) ay ang average sa bawat yunit ng oras rate ng paglago mga antas ng serye.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa linear na modelo, ang mga kinakalkula na halaga ng mga antas ng rad ayon sa exponential trend ay maaaring matukoy sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga halaga ng oras t = 1,2,..., n sa trend equation, o alinsunod sa ang interpretasyon ng mga parameter ng exponential trend: ang bawat kasunod na antas ng naturang serye ay produkto ng nakaraang antas sa pamamagitan ng kaukulang rate ng paglago

Kung mayroong implicit na nonlinear na trend, kinakailangang dagdagan ang mga pamamaraan na inilarawan sa itaas para sa pagpili ng pinakamahusay na equation ng trend na may qualitative analysis ng dynamics ng indicator na pinag-aaralan upang maiwasan ang mga error sa specification kapag pumipili ng uri ng trend. kwalitatibong pagsusuri nagsasangkot ng pag-aaral sa mga problema ng posibleng pagkakaroon ng mga turning point sa seryeng pinag-aaralan at mga pagbabago sa mga rate ng paglago, simula sa isang tiyak na punto ng oras sa ilalim ng impluwensya ng isang bilang ng mga kadahilanan, atbp. Kung ang equation ng trend ay napili nang hindi tama para sa malalaking halaga ng t, ang mga resulta ng pagtataya ng dynamics ng serye ng oras gamit ang equation na pinag-aaralan ay magiging hindi maaasahan dahil sa isang error sa detalye.

Ang isang paglalarawan ng posibleng paglitaw ng isang error sa pagtutukoy ay ibinigay sa figure.

Kung ang pinakamainam na hugis ng trend ay isang parabola, habang sa katunayan ay mayroong isang linear na trend, kung gayon sa malaking t ang parabola at ang linear function ay natural na maglalarawan ng trend sa mga antas ng serye sa ibang paraan.

23. Pagkalkula ng mga linear na parameter ng trend.

Ang pangunahing tendensya ng pag-unlad (trend) ay isang maayos at matatag na pagbabago sa antas ng isang phenomenon sa paglipas ng panahon, na libre mula sa mga random na pagbabago-bago.

Ang gawain ay upang tukuyin ang isang pangkalahatang trend sa mga pagbabago sa mga antas ng serye, napalaya mula sa pagkilos ng iba't ibang mga random na kadahilanan. Para sa layuning ito, ang mga serye ng oras ay pinoproseso gamit ang mga paraan ng pagpapalaki ng agwat, moving average, at analytical alignment.

*Isa sa pinaka mga simpleng pamamaraan ang pag-aaral sa pangunahing kalakaran sa serye ng dinamika ay ang pagpapalaki ng mga pagitan. Ito ay batay sa pagpapalaki ng mga yugto ng panahon, na kinabibilangan ng mga antas ng serye ng dynamics (kasabay nito, ang bilang ng mga agwat ay bumababa). Halimbawa, ang isang serye ng pang-araw-araw na produksyon na output ay pinapalitan ng isang serye ng buwanang produksyon na output, atbp. Ang average, na kinakalkula sa mga pinalaki na agwat, ay ginagawang posible upang matukoy ang direksyon at kalikasan (pagpabilis o pagbagal ng paglago) ng pangunahing trend ng pag-unlad.

* Ang pagkilala sa pangunahing kalakaran ay maaari ding isagawa gamit ang moving average na paraan. Ang kakanyahan nito ay nakasalalay sa katotohanan na ang average na antas ay kinakalkula mula sa isang tiyak na numero, kadalasang kakaiba (3, 5, 7, atbp.), Ang mga unang antas ng serye, pagkatapos ay mula sa parehong bilang ng mga antas, ngunit simula sa pangalawa , pagkatapos - simula sa pangatlo, atbp. Kaya, ang average na "mga slide" sa kahabaan ng serye ng dynamics, na gumagalaw sa isang termino.

para sa dalawang miyembro sa simula at dulo ng row. Ito ay hindi gaanong madaling kapitan sa mga pagbabagu-bago dahil sa mga random na dahilan kaysa sa aktwal na isa, at mas malinaw, sa anyo ng isang makinis na linya sa graph, ay nagpapahayag ng pangunahing trend ng paglago ng produktibo sa panahon ng pag-aaral, na nauugnay sa pagkilos ng pang- mga terminong sanhi at kundisyon ng pag-unlad.

Ang kawalan ng pagpapakinis ng isang serye ay ang "pagpapaikli" ng pinakinis na serye kumpara sa aktwal, at samakatuwid ay ang pagkawala ng impormasyon.

Ang itinuturing na mga paraan ng pagpapakinis ng serye ng oras (pagpapalaki ng mga agwat at ang moving average na paraan) ay ginagawang posible upang matukoy lamang ang pangkalahatang takbo ng pag-unlad ng hindi pangkaraniwang bagay, higit pa o mas kaunti napalaya mula sa random at parang alon na pagbabagu-bago. Gayunpaman, imposibleng makakuha ng pangkalahatang istatistikal na modelo ng trend gamit ang mga pamamaraang ito.

*Upang makapagbigay ng quantitative model na nagpapahayag ng pangunahing trend ng mga pagbabago sa mga antas ng isang time series sa paglipas ng panahon, ginagamit ang analytical alignment ng time series.

kung saan ang yt ay ang mga antas ng serye ng oras na kinakalkula gamit ang kaukulang analytical equation sa oras t.

Ang teoretikal (kinakalkula) na mga antas yt ay tinutukoy batay sa tinatawag na sapat na modelo ng matematika, na ang pinakamahusay na paraan ipinapakita (tinatayang) ang pangunahing trend ng serye ng dynamics. Ang pagpili ng uri ng modelo ay nakasalalay sa layunin ng pag-aaral at dapat na nakabatay sa isang teoretikal na pagsusuri na nagpapakita ng likas na katangian ng pag-unlad ng kababalaghan, gayundin sa graphic na representasyon serye ng dinamika (linear diagram).

Halimbawa, ang pinakasimpleng mga modelo (mga formula) na nagpapahayag ng trend ng pag-unlad ay:

linear function - tuwid na linya yt = a0 + a1t,

kung saan ang a0,a1 ay ang mga parameter ng equation; t - oras;

exponential function yt = A0A1t

power function - second order curve (parabola)

Sa mga kaso kung saan kinakailangan ang isang partikular na tumpak na pag-aaral ng isang trend ng pag-unlad (halimbawa, isang modelo ng trend para sa pagtataya), maaaring gamitin ang mga espesyal na pamantayan ng mga istatistika ng matematika kapag pumipili ng uri ng sapat na function.

Ang pagkalkula ng mga parameter ng pag-andar ay karaniwang isinasagawa gamit ang pinakamababang paraan ng mga parisukat, kung saan ang pinakamababang punto ng kabuuan ng mga parisukat na paglihis sa pagitan ng mga antas ng teoretikal at empirikal ay kinuha bilang isang solusyon:

kung saan yt - equalized (kinakalkula) mga antas; yt - aktwal na mga antas.

Ang mga parameter ng equation a, -, na nagbibigay-kasiyahan sa kundisyong ito, ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng isang sistema ng mga normal na equation. Batay sa nahanap na equation ng trend, kinakalkula ang mga equalized na antas. Kaya, ang pagkakahanay ng isang serye ng mga dinamika ay binubuo sa pagpapalit sa aktwal na mga antas ng y, - na may maayos na pagbabago ng mga antas ng y, na pinakamahusay na tinatayang ang istatistikal na data.

Ang straight leveling ay ginagamit, bilang panuntunan, sa mga kaso kung saan ang ganap na pagtaas ay halos pare-pareho, iyon ay, kapag ang mga antas ay nagbabago sa pag-unlad ng aritmetika(o malapit dito).

Ang alignment gamit ang exponential function ay ginagamit sa mga kaso kung saan ang serye ay sumasalamin sa pag-unlad sa geometric progression, iyon ay, kapag ang chain growth coefficients ay halos pare-pareho.

Isaalang-alang natin ang "teknikal" ng pag-align ng dynamics series sa isang tuwid na linya: yt=a0+a1t

Ang mga parameter a0, a1 ayon sa paraan ng least squares ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng sumusunod na sistema ng mga normal na equation na nakuha ng algebraic transformation ng kondisyon

kung saan ang y ay ang aktwal (empirical) na antas ng serye; t - oras (ordinal na bilang ng isang yugto o sandali sa oras).

Mga tagubilin

Ang isang linear na trend ay nagpapahayag ng function: y=ax+b, kung saan ay ang halaga kung saan ang susunod na halaga sa serye ng oras ay tataas; x ay ang bilang ng yugto sa isang partikular na serye ng oras (halimbawa, ang bilang ng buwan, araw o quarter);y ay ang pagkakasunud-sunod ng mga nasuri na halaga (maaaring ito ay mga benta para sa buwan); b – ang punto ng intersection, na nasa graph ay kasama ng y-axis (minimum na antas). , kung ang halaga ng a ay mas malaki kaysa sa zero, kung gayon ang paglago ay magiging positibo. Sa turn, kung ang a ay mas mababa sa zero, kung gayon ang dynamics ng linear uso magiging negatibo.

Gumamit ng linear na trend upang hulaan ang indibidwal na serye ng oras kung saan tumataas o bumababa ang data sa pare-parehong rate. Kapag gumagawa ng isang linear uso pwede mong gamitin Excel program. Halimbawa, kung kailangan mo ng linear na trend upang makabuo ng forecast ng benta ayon sa buwan, pagkatapos ay gumawa ng 2 variable sa serye ng oras (oras - buwan at dami ng benta).

Linear equation uso magkakaroon ka ng: y=ax+b, kung saan ang y ay ang dami ng benta, ang x ay buwan. Bumuo ng graph sa Excel. Sa x-axis makukuha mo ang iyong yugto ng panahon (1, 2, 3 - ayon sa buwan: Enero, Pebrero, atbp.), sa mga pagbabago sa y-axis sa dami ng benta. Pagkatapos nito, magdagdag ng linya sa graph uso.

Pahabain ang linya uso para sa pagtataya at pagtukoy ng mga halaga nito. Sa kasong ito, dapat mo lamang malaman ang mga halaga ng oras sa kahabaan ng X axis, at kailangan mong kalkulahin ang mga hinulaang halaga gamit ang dating tinukoy na formula.

Ihambing ang nakuha na hinulaang mga halaga ng linear uso na may aktwal na datos. Sa ganitong paraan matutukoy mo ang porsyento ng pagtaas ng mga benta.

Maaari mong ayusin ang mga hinulaang halaga ng linear uso kung sakaling hindi ka nasisiyahan sa paglago, i.e. naiintindihan mo na may mga sangkap na maaaring makaapekto dito. Kung babaguhin mo ang halaga ng "a" sa linear trend y=ax+b pagkatapos ay maaari mong taasan ang slope uso. Ito ay kung paano mo mababago ang slope uso, antas uso, o ang dalawang indicator na ito nang sabay-sabay.

Mga Pinagmulan:

• linear trend equation

Ang numerical sequence ay kinakatawan ng isang function ng form an=f(n), na tinukoy sa set natural na mga numero. Sa karamihan ng mga kaso, ang f(n) ay pinapalitan ng isang in number sequence. Ang mga numerong a1, a2, …, an ay mga miyembro ng sequence, na may a1 ang una, a2 ang pangalawa, at ak ang k-th. Batay sa data ng pag-andar pagkakasunod-sunod ng numero isang iskedyul ang ginagawa.

Kakailanganin mong

• - reference na libro sa matematika;
• - pinuno;
• - kuwaderno;
• - isang simpleng lapis;
• - paunang data.

Mga tagubilin

Bago simulan ang pagbuo, tukuyin na ang function ay isang pagkakasunod-sunod ng numero. Mayroong hindi tumataas o hindi bumababa na pagkakasunud-sunod (an), kung saan, para sa anumang halaga ng n, ang isang hindi pagkakapantay-pantay ng form ay wasto: an≥an+1 o an≤an+1. Sa kondisyon na an>an+1 o an

Kapag bumubuo ng isang pagkakasunud-sunod ng numero, bigyang-pansin ang katotohanan na ang pagkakasunud-sunod (an) ay maaaring limitado mula sa ibaba o mula sa itaas: para dito dapat mayroong