Mga function at graph. Power function, ang mga katangian nito at mga graph

1. Pag-andar ng kapangyarihan, mga katangian at graph nito;

2. Mga Pagbabago:

Parallel transfer;

Symmetry tungkol sa mga coordinate axes;

Symmetry tungkol sa pinagmulan;

Symmetry tungkol sa linyang y = x;

Lumalawak at lumiliit sa kahabaan ng coordinate axes.

3. Isang exponential function, mga katangian at graph nito, mga katulad na pagbabago;

4. Logarithmic function, mga katangian at graph nito;

5. Trigonometric function, mga katangian at graph nito, mga katulad na pagbabago (y = sin x; y = cos x; y = tg x);

Function: y = x\n - mga katangian at graph nito.

Power function, mga katangian at graph nito

y \u003d x, y \u003d x 2, y \u003d x 3, y \u003d 1 / x atbp. Ang lahat ng mga function na ito ay mga espesyal na kaso ng power function, ibig sabihin, ang function y = xp, kung saan ang p ay isang ibinigay na tunay na numero.
Ang mga katangian at graph ng isang power function ay mahalagang nakasalalay sa mga katangian ng isang kapangyarihan na may isang tunay na exponent, at lalo na sa mga halaga kung saan x at p may katuturan xp. Magpatuloy tayo sa isang katulad na pagsasaalang-alang ng iba't ibang mga kaso, depende sa
exponent p.

1. Tagapagpahiwatig p = 2n- kahit natural na numero.

y=x2n, saan n ay isang natural na numero at may mga sumusunod na katangian:

• ang domain ng kahulugan ay lahat ng tunay na numero, ibig sabihin, ang set R;
• hanay ng mga halaga - di-negatibong mga numero, ibig sabihin, ang y ay mas malaki sa o katumbas ng 0;
• function y=x2n kahit, dahil x 2n = (-x) 2n
• ang function ay bumababa sa pagitan x< 0 at pagtaas sa pagitan x > 0.

Function Graph y=x2n ay may parehong anyo tulad ng, halimbawa, ang graph ng isang function y=x4.

2. Tagapagpahiwatig p = 2n - 1- kakaibang natural na numero

Sa kasong ito, ang power function y=x2n-1, kung saan ang isang natural na numero, ay may mga sumusunod na katangian:

• domain ng kahulugan - itakda ang R;
• hanay ng mga halaga - set R;
• function y=x2n-1 kakaiba kasi (- x) 2n-1= x 2n-1 ;
• tumataas ang function sa buong totoong axis.

Function Graph y=x2n-1 y=x3.

3. Tagapagpahiwatig p=-2n, saan n- natural na numero.

Sa kasong ito, ang power function y=x-2n=1/x2n ay may mga sumusunod na katangian:

• hanay ng mga halaga - positibong numero y>0;
• function y = 1/x2n kahit, dahil 1/(-x) 2n= 1/x2n;
• ang pag-andar ay tumataas sa pagitan ng x0.

Graph ng function na y = 1/x2n ay may parehong anyo gaya ng, halimbawa, ang graph ng function na y = 1/x2.

4. Tagapagpahiwatig p = -(2n-1), saan n- natural na numero.
Sa kasong ito, ang power function y=x-(2n-1) ay may mga sumusunod na katangian:

• ang domain ng kahulugan ay ang set R, maliban sa x = 0;
• hanay ng mga halaga - set R, maliban sa y = 0;
• function y=x-(2n-1) kakaiba kasi (- x)-(2n-1) = -x-(2n-1);
• ang pag-andar ay bumababa sa mga pagitan x< 0 at x > 0.

Function Graph y=x-(2n-1) ay may parehong anyo tulad ng, halimbawa, ang graph ng function y = 1/x3.

Ang data ng sanggunian sa exponential function ay ibinigay - mga pangunahing katangian, mga graph at mga formula. Ang mga sumusunod na isyu ay isinasaalang-alang: domain ng kahulugan, hanay ng mga halaga, monotonicity, baligtad na pag-andar, derivative, integral, expansion in serye ng kapangyarihan at representasyon sa pamamagitan ng mga kumplikadong numero.

Kahulugan

Exponential function ay isang paglalahat ng produkto ng n bilang na katumbas ng a :
y (n) = a n = a a a a,
sa hanay ng mga tunay na numero x :
y (x) = x.
Narito ang isang nakapirming tunay na numero, na tinatawag ang base ng exponential function.
Tinatawag din ang exponential function na may base a exponential to base a.

Ang paglalahat ay isinasagawa bilang mga sumusunod.
Para sa natural na x = 1, 2, 3,... , ang exponential function ay ang produkto ng x factor:
.
Bukod dito, mayroon itong mga katangian (1.5-8) (), na sumusunod mula sa mga patakaran para sa pagpaparami ng mga numero. Sa zero at mga negatibong halaga integers , ang exponential function ay tinutukoy ng mga formula (1.9-10). Para sa mga fractional na halaga x = m/n mga rational na numero, , ito ay tinutukoy ng formula (1.11). Para sa real , ang exponential function ay tinukoy bilang limitasyon ng pagkakasunud-sunod:
,
kung saan ay isang di-makatwirang pagkakasunod-sunod ng mga rational na numero na nagtatagpo sa x : .
Sa kahulugang ito, ang exponential function ay tinukoy para sa lahat , at natutugunan ang mga katangian (1.5-8), pati na rin para sa natural na x .

Ang isang mahigpit na pagbabalangkas sa matematika ng kahulugan ng isang exponential function at isang patunay ng mga katangian nito ay ibinibigay sa pahinang "Kahulugan at patunay ng mga katangian ng isang exponential function".

Mga katangian ng exponential function

Ang exponential function na y = a x ay may mga sumusunod na katangian sa hanay ng mga tunay na numero () :
(1.1) ay tinukoy at tuloy-tuloy, para sa , para sa lahat;
(1.2) kapag ang isang ≠ 1 ay may maraming kahulugan;
(1.3) mahigpit na tumataas sa , mahigpit na bumababa sa ,
ay pare-pareho sa ;
(1.4) sa ;
sa ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Iba pang mga kapaki-pakinabang na formula
.
Ang formula para sa pag-convert sa isang exponential function na may ibang power base:

Para sa b = e , nakukuha namin ang pagpapahayag ng exponential function sa mga tuntunin ng exponent:

Mga pribadong halaga

, , , , .

Ipinapakita ng figure ang mga graph ng exponential function
y (x) = x
para sa apat na halaga mga batayan ng degree:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 at a = 1/8 . Makikita na para sa isang > 1 monotonically tumataas ang exponential function. Kung mas malaki ang base ng degree a, mas malakas ang paglago. Sa 0 < a < 1 Ang exponential function ay monotonically bumababa. Kung mas maliit ang exponent a, mas malakas ang pagbaba.

Pataas pababa

Ang exponential function sa ay mahigpit na monotoniko, kaya wala itong extrema. Ang mga pangunahing katangian nito ay ipinakita sa talahanayan.

Baliktad na pag-andar

Ang reciprocal ng isang exponential function na may base ng degree a ay ang logarithm sa base a.

Kung , kung gayon
.
Kung , kung gayon
.

Differentiation ng exponential function

Upang pag-iba-ibahin ang isang exponential function, ang base nito ay dapat bawasan sa bilang na e, ilapat ang talahanayan ng mga derivatives at ang panuntunan sa pagkita ng kaibhan. kumplikadong pag-andar.

Upang gawin ito, kailangan mong gamitin ang pag-aari ng logarithms
at ang formula mula sa talahanayan ng mga derivatives:
.

Hayaang magbigay ng exponential function:
.
Dinala namin ito sa base e:

Inilapat namin ang panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong function. Upang gawin ito, ipinakilala namin ang isang variable

Pagkatapos

Mula sa talahanayan ng mga derivatives mayroon tayo (palitan ang variable x ng z ):
.
Dahil ay isang pare-pareho, ang derivative ng z na may paggalang sa x ay
.
Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong pag-andar:
.

Derivative ng exponential function

.
Derivative ng ika-na order:
.
Pinagmulan ng mga formula > > >

Isang halimbawa ng pagkakaiba-iba ng exponential function

Hanapin ang derivative ng isang function
y= 35 x

Desisyon

Ipinapahayag namin ang base ng exponential function sa mga tuntunin ng numero e.
3 = e log 3
Pagkatapos
.
Ipinakilala namin ang isang variable
.
Pagkatapos

Mula sa talahanayan ng mga derivatives makikita natin:
.
Sa abot ng 5ln 3 ay isang pare-pareho, kung gayon ang derivative ng z na may paggalang sa x ay:
.
Ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong pag-andar, mayroon kaming:
.

Sagot

integral

Mga expression sa mga tuntunin ng kumplikadong mga numero

Isaalang-alang ang function kumplikadong numero z:
f (z) = az
kung saan z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Ipinapahayag namin ang complex constant a sa mga tuntunin ng modulus r at ang argumento φ :
a = r e i φ
Pagkatapos


.
Ang argumento φ ay hindi natatanging tinukoy. AT pangkalahatang pananaw
φ = φ 0 + 2 pn,
kung saan ang n ay isang integer. Samakatuwid, ang function na f (z) ay malabo rin. Kadalasang isinasaalang-alang ang pangunahing kahalagahan nito
.

Pagpapalawak sa serye

.

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.

1) Saklaw ng pag-andar at saklaw ng pag-andar.

Ang saklaw ng isang function ay ang hanay ng lahat ng wastong wastong halaga ng argumento x(variable x) kung saan ang function y = f(x) tinukoy. Ang hanay ng isang function ay ang hanay ng lahat ng tunay na halaga y na tinatanggap ng function.

Sa elementarya na matematika, ang mga function ay pinag-aaralan lamang sa hanay ng mga tunay na numero.

2) Mga function na zero.

Ang function na zero ay halaga ng argumento, kung saan ang halaga ng function ay katumbas ng zero.

3) Mga pagitan ng sign constancy ng isang function.

Ang mga function na constant-sign interval ay mga set ng mga value ng argument kung saan ang mga value ng function ay positibo lamang o negatibo lamang.

4) Monotonicity ng function.

Pagtaas ng function (sa ilang pagitan) - isang function kung saan ang isang mas malaking halaga ng argument mula sa agwat na ito ay tumutugma sa isang mas malaking halaga ng function.

Pagbaba ng function (sa ilang pagitan) - isang function kung saan ang isang mas malaking halaga ng argument mula sa agwat na ito ay tumutugma sa isang mas maliit na halaga ng function.

5) Kahit (kakaibang) function.

Ang even function ay isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan at para sa alinman X mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay f(-x) = f(x). Ang graph ng pantay na function ay simetriko tungkol sa y-axis.

Ang kakaibang function ay isang function na ang domain ng kahulugan ay simetriko na may paggalang sa pinagmulan at para sa alinman X mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay f(-x) = - f(x). Ang graph ng isang kakaibang function ay simetriko tungkol sa pinagmulan.

6) Limitado at walang limitasyong mga pag-andar.

Ang isang function ay tinatawag na bounded kung mayroong ganoon positibong numero M tulad na |f(x)| ≤ M para sa lahat ng halaga ng x . Kung walang ganoong numero, ang function ay walang hangganan.

7) Periodicity ng function.

Ang isang function na f(x) ay panaka-nakang kung mayroong isang hindi-zero na numerong T na para sa alinmang x mula sa domain ng function, f(x+T) = f(x). Ang pinakamaliit na bilang na ito ay tinatawag na panahon ng pagpapaandar. Lahat trigonometriko function ay pana-panahon. (Mga formula ng trigonometriko).

19. Mga pangunahing pag-andar ng elementarya, ang kanilang mga katangian at mga graph. Paglalapat ng mga tungkulin sa ekonomiya.

Mga pangunahing pag-andar ng elementarya. Ang kanilang mga katangian at mga graph

1. Linear function.

Linear function ay tinatawag na function ng form , kung saan ang x ay isang variable, at at ang b ay mga tunay na numero.

Numero a tinawag slope factor tuwid na linya, ito ay katumbas ng tangent ng anggulo ng pagkahilig ng tuwid na linyang ito sa positibong direksyon ng x-axis. Ang graph ng isang linear function ay isang tuwid na linya. Ito ay tinukoy ng dalawang puntos.

Mga Katangian ng Linear na Function

1. Domain ng kahulugan - ang hanay ng lahat ng totoong numero: D (y) \u003d R

2. Ang hanay ng mga halaga ay ang hanay ng lahat ng tunay na numero: E(y)=R

3. Ang function ay tumatagal ng isang zero na halaga para sa o.

4. Ang function ay tumataas (bumababa) sa buong domain ng kahulugan.

5. Ang linear function ay tuloy-tuloy sa buong domain ng definition, differentiable at .

2. Quadratic function.

Ang isang function ng form, kung saan ang x ay isang variable, ang coefficients a, b, c ay tunay na mga numero, ay tinatawag parisukat.

National Research University

Kagawaran ng Applied Geology

Sanaysay sa mas mataas na matematika

Sa paksa: "Mga pangunahing pag-andar sa elementarya,

kanilang mga katangian at mga graph"

Nakumpleto:

Sinuri:

guro

Kahulugan. function, ibinigay ng formula y=a x (kung saan ang a>0, a≠1) ay tinatawag exponential function may base a.

Bumuo tayo ng mga pangunahing katangian ng exponential function:

1. Ang domain ng kahulugan ay ang set (R) ng lahat ng tunay na numero.

2. Ang hanay ng mga halaga ay ang set (R+) ng lahat ng positibong tunay na numero.

3. Kapag a > 1, tataas ang function sa buong totoong linya; sa 0<а<1 функция убывает.

4. Ay isang pangkalahatang function.

Ang isang function ng form na y(х)=х n , kung saan ang n ay ang numerong ОR, ay tinatawag na power function. Ang numero n ay maaaring tumagal sa iba't ibang mga halaga: parehong integer at fractional, parehong kahit at kakaiba. Depende dito, magkakaroon ng ibang anyo ang power function. Isaalang-alang ang mga espesyal na kaso na mga power function at sumasalamin sa mga pangunahing katangian ng ganitong uri ng mga curve sa sumusunod na pagkakasunud-sunod: power function y \u003d x² (isang function na may pantay na exponent - isang parabola), isang power function y \u003d x³ (isang function na may kakaibang exponent - isang cubic parabola) at function na y \u003d √ x (x sa kapangyarihan ng ½) (function na may fractional exponent), isang function na may negatibong integer exponent (hyperbola).

Pag-andar ng kapangyarihan y=x²

1. D(x)=R – ang function ay tinukoy sa buong numerical axis;

2. E(y)= at tumataas sa pagitan

Pag-andar ng kapangyarihan y=x³

1. Ang graph ng function na y \u003d x³ ay tinatawag na cubic parabola. Ang power function na y=x³ ay may mga sumusunod na katangian:

2. D(x)=R – ang function ay tinukoy sa buong numerical axis;

3. E(y)=(-∞;∞) – kinukuha ng function ang lahat ng values ​​sa domain ng definition nito;

4. Kapag x=0 y=0 – dumadaan ang function sa pinagmulang O(0;0).

5. Tumataas ang function sa buong domain ng kahulugan.

6. Ang function ay kakaiba (symmetric tungkol sa pinagmulan).

Depende sa numerical factor sa harap ng x³, ang function ay maaaring maging matarik / flat at tumaas / bumaba.

Power function na may integer negative exponent:

Kung ang exponent n ay kakaiba, kung gayon ang graph ng naturang power function ay tinatawag na hyperbola. Ang power function na may negatibong integer exponent ay may mga sumusunod na katangian:

1. D(x)=(-∞;0)U(0;∞) para sa anumang n;

2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞) kung ang n ay isang kakaibang numero; E(y)=(0;∞) kung ang n ay isang even na numero;

3. Bumababa ang function sa buong domain ng kahulugan kung ang n ay isang kakaibang numero; ang function ay tumataas sa pagitan (-∞;0) at bumababa sa pagitan (0;∞) kung n ay isang even na numero.

4. Ang function ay kakaiba (simetriko tungkol sa pinagmulan) kung ang n ay isang kakaibang numero; ang isang function ay kahit na ang n ay isang even na numero.

5. Ang function ay dumadaan sa mga puntos (1;1) at (-1;-1) kung ang n ay isang kakaibang numero at sa pamamagitan ng mga puntos (1;1) at (-1;1) kung ang n ay isang even na numero.

Power function na may fractional exponent

Ang power function na may fractional exponent ng form (larawan) ay may graph ng function na ipinapakita sa figure. Ang power function na may fractional exponent ay may mga sumusunod na katangian: (larawan)

1. D(x) нR kung ang n ay isang kakaibang numero at D(x)=
, sa pagitan ng xн
, sa pagitan ng xн [-3;3]

Ang logarithmic function na y \u003d log a x ay may mga sumusunod na katangian:

1. Domain ng kahulugan D(x)н (0; + ∞).

2. Saklaw ng mga halaga E(y) О (- ∞; + ∞)

3. Ang function ay hindi kahit na o kakaiba (pangkalahatan).

4. Tumataas ang function sa pagitan (0; + ∞) para sa isang > 1, bumababa sa (0; + ∞) para sa 0< а < 1.

Ang graph ng function na y = log a x ay maaaring makuha mula sa graph ng function na y = a x gamit ang isang symmetry transformation tungkol sa linyang y = x. Sa Figure 9, ang isang plot ng logarithmic function para sa isang > 1 ay naka-plot, at sa Figure 10 - para sa 0< a < 1.

Ang mga function na y \u003d sin x, y \u003d cos x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x ay tinatawag na trigonometric functions.

Ang mga function y \u003d sin x, y \u003d tg x, y \u003d ctg x ay kakaiba, at ang function na y \u003d cos x ay even.

Function y \u003d sin (x).

1. Domain ng kahulugan D(x) ОR.

2. Saklaw ng mga halaga E(y) О [ - 1; isa].

3. Ang function ay panaka-nakang; ang pangunahing panahon ay 2π.

4. Ang function ay kakaiba.

5. Tumataas ang function sa mga pagitan [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] at bumababa sa mga pagitan [ π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.

Ang graph ng function na y \u003d sin (x) ay ipinapakita sa Figure 11.

Aralin at presentasyon sa paksa: "Mga power function. Properties. Graph"

Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi! Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.

Mga pantulong sa pagtuturo at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 11
Interactive na manwal para sa mga baitang 9-11 "Trigonometry"
Interactive na manwal para sa mga baitang 10-11 "Logarithms"

Mga function ng kapangyarihan, domain ng kahulugan.

Halimbawa. Lutasin ang equation: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Desisyon. Ang graph ng function na $y=x^(\frac(4)(3))$ ay tumataas, habang ang graph ng function na $y=24-x$ ay bumababa. Guys, alam mo at ako: kung ang isang function ay tumaas at ang isa ay bumaba, pagkatapos ay magsalubong sila sa isang punto lamang, iyon ay, mayroon lamang tayong isang solusyon.
Tandaan:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Ibig sabihin, para sa $х=8$ nakuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay $16=16$, ito ang solusyon ng aming equation.
Sagot: $x=8$.

Halimbawa.
I-plot ang function: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Desisyon.
Ang graph ng ating function ay nakuha mula sa graph ng function na $y=x^(\frac(3)(4))$, inililipat ito ng 3 units sa kanan at 2 units pataas.

Halimbawa. Isulat ang equation ng tangent sa linyang $y=x^(-\frac(4)(5))$ sa puntong $x=1$.
Desisyon. Ang tangent equation ay tinutukoy ng formula na alam natin:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Sa aming kaso $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Hanapin natin ang derivative:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Kalkulahin natin:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Hanapin ang tangent equation:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Sagot: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.

Mga gawain para sa malayang solusyon