Mga pagbabago sa numerical trigonometric formula expression. Mga entry na may tag na "pasimplehin ang trigonometric expression"

Video tutorial na "Pagpapasimple trigonometriko expression» ay dinisenyo upang bumuo ng mga kasanayan ng mga mag-aaral sa paglutas ng mga problema sa trigonometriko gamit ang mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometriko. Sa panahon ng aralin sa video, ang mga uri ng trigonometric na pagkakakilanlan ay isinasaalang-alang, mga halimbawa ng paglutas ng mga problema gamit ang mga ito. Gamit ang mga visual aid, mas madali para sa guro na makamit ang mga layunin ng aralin. Ang matingkad na presentasyon ng materyal ay nakakatulong sa pagsasaulo mahahalagang puntos. Ang paggamit ng mga animation effect at voice acting ay nagbibigay-daan sa iyong ganap na palitan ang guro sa yugto ng pagpapaliwanag ng materyal. Kaya, gamit ang visual aid na ito sa mga aralin sa matematika, madaragdagan ng guro ang pagiging epektibo ng pagtuturo.

Sa simula ng aralin sa video, inihayag ang paksa nito. Pagkatapos ay ang trigonometriko pagkakakilanlan na pinag-aralan kanina ay recalled. Ipinapakita ng screen ang equalities sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, kung saan t≠π/2+πk para sa kϵZ, ctg t=cos t/sin t, true para sa t≠πk, kung saan ang kϵZ, tan t · ctg t=1, sa t≠πk/2, kung saan ang kϵZ, na tinatawag na mga pangunahing trigonometric na pagkakakilanlan. Napansin na ang mga pagkakakilanlan na ito ay kadalasang ginagamit sa paglutas ng mga problema kung saan kinakailangan upang patunayan ang pagkakapantay-pantay o pasimplehin ang pagpapahayag.

Dagdag pa, ang mga halimbawa ng aplikasyon ng mga pagkakakilanlan na ito sa paglutas ng mga problema ay isinasaalang-alang. Una, iminungkahi na isaalang-alang ang paglutas ng mga problema sa pagpapasimple ng mga expression. Sa halimbawa 1, kinakailangang gawing simple ang expression cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Upang malutas ang halimbawa, ang karaniwang salik na cos 2 t ay unang naka-bracket. Bilang resulta ng naturang pagbabago sa mga bracket, nakuha ang expression na 1- cos 2 t, ang halaga kung saan mula sa pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometrya ay katumbas ng sin 2 t. Matapos ang pagbabagong-anyo ng expression, malinaw na ang isa pang karaniwang salik na sin 2 t ay maaaring alisin sa mga bracket, pagkatapos kung saan ang expression ay nasa anyo na sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). Mula sa parehong pangunahing pagkakakilanlan, hinuhusgahan natin ang halaga ng expression sa mga bracket na katumbas ng 1. Bilang resulta ng pagpapasimple, nakukuha natin ang cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

Sa halimbawa 2, kailangan ding gawing simple ang expression cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint). Dahil ang gastos sa pagpapahayag ay nasa mga numerator ng parehong mga fraction, maaari itong i-bracket bilang isang karaniwang kadahilanan. Pagkatapos ang mga fraction sa mga bracket ay binabawasan sa isang karaniwang denominator sa pamamagitan ng pagpaparami (1- sint)(1+ sint). Pagkatapos ng pagbabawas ng magkatulad na termino, 2 ang nananatili sa numerator, at 1 - sin 2 t sa denominator. Sa kanang bahagi ng screen, ang pangunahing trigonometric identity sin 2 t+cos 2 t=1 ay naaalala. Gamit ito, makikita natin ang denominator ng fraction cos 2 t. Pagkatapos bawasan ang fraction, nakakakuha kami ng pinasimpleng anyo ng expression cost / (1- sint) + cost / (1 + sint) \u003d 2 / cost.

Susunod, isinasaalang-alang namin ang mga halimbawa ng pagpapatunay ng mga pagkakakilanlan kung saan inilalapat ang nakuhang kaalaman tungkol sa mga pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometrya. Sa Halimbawa 3, kailangang patunayan ang pagkakakilanlan (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Ang kanang bahagi ng screen ay nagpapakita ng tatlong pagkakakilanlan na kakailanganin para sa patunay - tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t at tg t=sin t/cos t na may mga paghihigpit. Upang patunayan ang pagkakakilanlan, unang binuksan ang mga bracket, pagkatapos nito ay nabuo ang isang produkto na sumasalamin sa pagpapahayag ng pangunahing trigonometric identity tg t·ctg t=1. Pagkatapos, ayon sa pagkakakilanlan mula sa kahulugan ng cotangent, ang ctg 2 t ay binago. Bilang resulta ng mga pagbabago, nakuha ang expression na 1-cos 2 t. Gamit ang pangunahing pagkakakilanlan, makikita natin ang halaga ng expression. Kaya, napatunayan na (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

Sa halimbawa 4, kailangan mong hanapin ang halaga ng expression na tg 2 t+ctg 2 t kung tg t+ctg t=6. Upang suriin ang expression, ang kanan at kaliwang bahagi ng equation (tg t+ctg t) 2 =6 2 ay unang naka-squad. Ang pinaikling formula ng pagpaparami ay ipinapakita sa kanang bahagi ng screen. Matapos buksan ang mga bracket sa kaliwang bahagi ng expression, ang kabuuan tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t ay nabuo, para sa pagbabagong-anyo kung saan ang isa sa mga trigonometrikong pagkakakilanlan tg t ctg t=1 ay maaaring ilapat, ang anyo nito ay naaalala sa kanang bahagi ng screen. Pagkatapos ng pagbabago, ang pagkakapantay-pantay tg 2 t+ctg 2 t=34 ay nakuha. Ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay tumutugma sa kondisyon ng problema, kaya ang sagot ay 34. Nalutas ang problema.

Ang araling video na "Pagpapasimple ng mga trigonometric na expression" ay inirerekomenda para sa paggamit sa isang tradisyonal na aralin sa matematika ng paaralan. Gayundin, ang materyal ay magiging kapaki-pakinabang sa guro, na isinasagawa pag-aaral ng malayo. Upang makabuo ng kasanayan sa paglutas ng mga problemang trigonometriko.

INTERPRETASYON NG TEKSTO:

"Pagpapasimple ng trigonometriko expression".

Pagkakapantay-pantay

1)sin 2 t + cos 2 t = 1 (sine squared te plus cosine squared te ay katumbas ng isa)

2) tgt =, at t ≠ + πk, kϵZ (ang tangent ng te ay katumbas ng ratio ng sine ng te sa cosine ng te kapag ang te ay hindi katumbas ng pi ng dalawang plus pi ka, ang ka ay kabilang sa zet)

3) ctgt = , at t ≠ πk, kϵZ (ang cotangent ng te ay katumbas ng ratio ng cosine ng te sa sine ng te kapag ang te ay hindi katumbas ng peak ng ka, na kabilang sa z).

4)tgt ∙ ctgt = 1 para sa t ≠ , kϵZ

ay tinatawag na mga pangunahing trigonometrikong pagkakakilanlan.

Kadalasan ginagamit ang mga ito sa pagpapasimple at pagpapatunay ng mga trigonometriko na expression.

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng paggamit ng mga formula na ito kapag pinasimple ang mga trigonometrikong expression.

HALIMBAWA 1. Pasimplehin ang expression: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (expression isang cosine squared te minus cosine ng ikaapat na antas ng te plus sine ng ikaapat na antas ng te).

Desisyon. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(kinuha namin ang karaniwang kadahilanan na cosine square te, sa mga bracket ay nakuha namin ang pagkakaiba sa pagitan ng pagkakaisa at ang parisukat ng cosine te, na katumbas ng square ng sine te sa pamamagitan ng unang pagkakakilanlan. Nakukuha namin ang kabuuan ng sine ng ikaapat degree te ng produkto cosine square te at sine square te. Ang karaniwang salik na sine square te ay aalisin sa labas ng mga bracket, sa mga bracket ay nakukuha natin ang kabuuan ng mga parisukat ng cosine at sine, na, ayon sa pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan katumbas ng isa. Bilang resulta, nakukuha namin ang parisukat ng sine ng te).

HALIMBAWA 2. Pasimplehin ang ekspresyong: + .

(ang expression ay ang kabuuan ng dalawang fraction sa numerator ng unang cosine te sa denominator one minus sine te, sa numerator ng pangalawang cosine te sa denominator ng pangalawang isa plus sine te).

(Alisin natin ang common factor cosine te sa mga bracket, at sa mga bracket ay dalhin ito sa isang common denominator, na produkto ng one minus sine te by one plus sine te.

Sa numerator nakukuha natin: one plus sine te plus one minus sine te, binibigyan natin ng mga katulad, ang numerator ay katumbas ng dalawa pagkatapos magdala ng mga katulad.

Sa denominator, maaari mong ilapat ang pinaikling formula ng multiplikasyon (pagkakaiba ng mga parisukat) at makuha ang pagkakaiba sa pagitan ng yunit at parisukat ng sine te, na, ayon sa pangunahing pagkakakilanlan ng trigonometric

ay katumbas ng parisukat ng cosine te. Pagkatapos bawasan ng cosine te, makukuha natin ang huling sagot: dalawa na hinati ng cosine te).

Isaalang-alang ang mga halimbawa ng paggamit ng mga formula na ito sa patunay ng mga trigonometrikong expression.

HALIMBAWA 3. Patunayan ang pagkakakilanlan (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (ang produkto ng pagkakaiba sa pagitan ng mga parisukat ng tangent ng te at ng sine ng te at ang parisukat ng cotangent ng ang te ay katumbas ng parisukat ng sine ng te).

Patunay.

Ibahin natin ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = kasalanan 2 t

(Buksan natin ang mga bracket, mula sa dating nakuhang ugnayan ay nalalaman na ang produkto ng mga parisukat ng tangent ng te ng cotangent ng te ay katumbas ng isa. Alalahanin na ang cotangent ng te ay katumbas ng ratio ng cosine ng te sa sine ng te, na nangangahulugan na ang parisukat ng cotangent ay ang ratio ng parisukat ng cosine ng te sa parisukat ng sine ng te.

Pagkatapos ng pagbawas ng sine square ng te, nakuha namin ang pagkakaiba sa pagitan ng pagkakaisa at ang cosine ng square ng te, na katumbas ng sine ng square ng te). Q.E.D.

HALIMBAWA 4. Hanapin ang halaga ng expression na tg 2 t + ctg 2 t kung tgt + ctgt = 6.

(ang kabuuan ng mga parisukat ng tangent ng te at ang cotangent ng te, kung ang kabuuan ng tangent at cotangent ay anim).

Desisyon. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

I-square natin ang parehong bahagi ng orihinal na pagkakapantay-pantay:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (ang parisukat ng kabuuan ng padaplis ng te at ang cotangent ng te ay anim na parisukat). Alalahanin ang pinaikling formula ng multiplikasyon: Ang parisukat ng kabuuan ng dalawang dami ay katumbas ng parisukat ng una at dalawang beses ang produkto ng una at ang pangalawa kasama ang parisukat ng pangalawa. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Nakukuha natin ang tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

Dahil ang produkto ng tangent ng te at ang cotangent ng te ay katumbas ng isa, kung gayon ang tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (ang kabuuan ng mga parisukat ng tangent ng te at ang cotangent ng te at dalawa ay tatlumpu't anim),

Sa pakiusap mo.

6. Pasimplehin ang expression:

Bilang ang mga cofunction ng mga anggulo na umakma sa isa't isa hanggang 90° ay katumbas ng, pagkatapos ay palitan natin ang sin50° sa numerator ng fraction ng cos40° at ilapat ang sinus formula ng double argument sa numerator. Nakukuha namin ang 5sin80° sa numerator. Palitan natin ang sin80° ng cos10°, na magbibigay-daan sa atin na bawasan ang fraction.

Inilapat ang mga formula: 1) sinα=cos(90°-α); 2) sin2α=2sinαcosα.

7. AT pag-unlad ng aritmetika, na ang pagkakaiba ay 12, at ang ikawalong termino ay 54, hanapin ang bilang ng mga negatibong termino.

Plano ng solusyon. Gumawa tayo ng pormula para sa karaniwang termino ng pag-unlad na ito at alamin kung anong mga halaga ng n negatibong termino ang makukuha. Upang magawa ito, kakailanganin nating hanapin ang unang termino ng pag-unlad.

Mayroon kaming d=12, a 8 =54. Ayon sa formula a n \u003d a 1 + (n-1) ∙ d isinulat namin:

a 8 =a 1 +7d. Palitan ang magagamit na data. 54=a 1 +7∙12;

isang 1 \u003d -30. I-substitute ang value na ito sa formula na a n =a 1 +(n-1)∙d

isang n =-30+(n-1)∙12 o isang n =-30+12n-12. Pasimplehin: a n \u003d 12n-42.

Hinahanap namin ang bilang ng mga negatibong termino, kaya kailangan naming lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

isang n<0, т.е. неравенство: 12n-42<0;

12n<42 ⇒ n<3,5. Из чего заключаем, что в данной прогрессии всего три отрицательных члена, т.е. n=3.

8. Hanapin ang mga saklaw ng sumusunod na function: y=x-|x|.

Palawakin natin ang mga modular bracket. Kung x≥0, kung gayon y=x-x ⇒ y=0. Ang graph ay magsisilbing x-axis sa kanan ng pinanggalingan. Kung x<0, то у=х+х ⇒ у=2х. Графиком будет та часть прямой у=2х, которая лежит ниже оси Ох. Таким образом, график данной функции y=x-|x| есть объединение полупрямых. Областью значений служат все неположительные числа, т.е. E(y)=(-∞; 0].

9. Hanapin ang lateral surface area ng isang right circular cone kung ang generatrix nito ay 18 cm at ang base area ay 36 cm 2.

Isang kono na may axial section na MAB ay ibinigay. Bumubuo ng BM=18, S pangunahing. =36π. Ang lugar ng lateral surface ng cone ay kinakalkula ng formula: S side. \u003d πRl, kung saan ang l ay ang generatrix at katumbas ng 18 cm ayon sa kondisyon, ang R ay ang radius ng base, nakikita natin sa pamamagitan ng formula: S cr. = πR 2 . May S cr kami. = S pangunahing. = 36π. Kaya πR 2 =36π ⇒ R=6.

Tapos S side. =π∙6∙18 ⇒ S gilid. \u003d 108π cm 2.

12. Lutasin namin ang logarithmic equation. Ang isang fraction ay katumbas ng 1 kung ang numerator nito ay katumbas ng denominator, i.e.

lg(x 2 +5x+4)=2lgx at lgx≠0. Inilapat namin ang pag-aari ng antas ng numero sa ilalim ng tanda ng logarithm sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay: lg (x 2 +5x+4) \u003d lgx 2, Ang mga decimal logarithm na ito ay pantay, samakatuwid ang mga numero sa ilalim ng mga palatandaan ng mga logarithms ay pantay din, samakatuwid:

x 2 +5x+4=x 2 , kaya 5x=-4; nakukuha namin ang x=-0.8. Gayunpaman, ang halagang ito ay hindi maaaring kunin, dahil ang mga positibong numero lamang ang maaaring nasa ilalim ng tanda ng logarithm, samakatuwid ang equation na ito ay walang mga solusyon. Tandaan. Hindi kinakailangang hanapin ang ODZ sa simula ng solusyon (maglaan ng oras!), Mas mainam na gumawa ng tseke (tulad ng tayo ngayon) sa dulo.

13. Hanapin ang halaga ng expression (x o - y o), kung saan (x o; y o) ang solusyon sa sistema ng mga equation:

14. Lutasin ang equation:

Kung hahatiin mo sa 2 at ang numerator at denominator ng isang fraction, malalaman mo ang formula para sa padaplis ng isang dobleng anggulo. Makakakuha ka ng isang simpleng equation: tg4x=1.

15. Hanapin ang derivative ng function: f(x)=(6x 2 -4x) 5 .

Binigyan kami ng isang kumplikadong function. Tinukoy namin ito sa isang salita - ito ay isang degree. Samakatuwid, ayon sa panuntunan ng pagkita ng kaibhan ng isang kumplikadong pag-andar, hinahanap namin ang derivative ng degree at i-multiply ito sa derivative ng base ng degree na ito ayon sa formula:

(u n)' = n ∙ ikaw n-1 ∙ ikaw'.

f ‘(x)= 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (6x 2 -4x)' = 5(6x 2 -4x) 4 ∙ (12x-4)=5(6x2-4x)4 ∙ 4(3x-1)=20(3x-1)(6x 2 -4x) 4 .

16. Kinakailangang hanapin ang f '(1) kung ang function

17. Sa isang equilateral triangle, ang kabuuan ng lahat ng bisectors ay 33√3 cm. Hanapin ang lugar ng triangle.

Ang bisector ng isang equilateral triangle ay parehong median at taas. Kaya, ang haba ng taas BD ng tatsulok na ito ay

Hanapin natin ang gilid AB mula sa parihabang Δ ABD. Dahil sin60° = BD : AB, pagkatapos AB = BD : kasalanan60°.

18. Ang bilog ay nakasulat sa isang equilateral triangle na ang taas ay 12 cm. Hanapin ang lugar ng bilog.

Ang bilog (O; OD) ay nakasulat sa equilateral Δ ABC. Ang taas na BD ay isa ring bisector at median, at ang gitna ng bilog, point O, ay nasa BD.

O - ang punto ng intersection ng mga taas, bisector at median ay naghahati sa median BD sa isang ratio na 2:1, na binibilang mula sa itaas. Samakatuwid, OD=(1/3)BD=12:3=4. Circle radius R=OD=4 cm. Lugar ng bilog S=πR 2 =π∙4 2 ⇒ S=16π cm 2.

19. Ang mga gilid ng gilid ng isang regular na quadrangular pyramid ay 9 cm, at ang gilid ng base ay 8 cm. Hanapin ang taas ng pyramid.

Ang base ng isang regular na quadrangular pyramid ay ang parisukat na ABCD, ang base ng MO na taas ay ang sentro ng parisukat.

20. Pasimplehin:

Sa numerator, ang parisukat ng pagkakaiba ay nababawasan.

Isinasali namin ang denominator gamit ang paraan ng pagpapangkat ng summand.

21. Kalkulahin:

Upang ma-extract ang arithmetic square root, dapat na full square ang root expression. Kinakatawan namin ang expression sa ilalim ng root sign bilang parisukat ng pagkakaiba ng dalawang expression ayon sa formula:

a 2 -2ab+b 2 =(a-b) 2 , sa pag-aakalang a 2 +b 2 =10.

22. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay:

Kinakatawan namin ang kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay bilang isang produkto. Ang kabuuan ng mga sine ng dalawang anggulo ay katumbas ng dalawang beses ang produkto ng sine ng kalahating kabuuan ng mga anggulong ito at ang cosine ng kalahating pagkakaiba ng mga anggulong ito:

Nakukuha namin ang:

Solusyonan natin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito nang grapiko. Pinipili namin ang mga puntong iyon ng graph y=cost na nasa itaas ng tuwid na linya at tinutukoy ang abscissas ng mga puntong ito (ipinapakita sa pamamagitan ng pagtatabing).

23. Hanapin ang lahat ng antiderivatives para sa function: h(x)=cos 2 x.

Binabago namin ang function na ito sa pamamagitan ng pagpapababa ng antas nito gamit ang formula:

1+cos2α=2cos2α. Kumuha kami ng isang function:

24. Maghanap ng mga coordinate ng vector

25. Ipasok ang mga palatandaan ng aritmetika sa halip na mga asterisk upang makuha ang tamang pagkakapantay-pantay: (3 * 3) * (4 * 4) \u003d 31 - 6.

Nagtatalo kami: ang numero 25 ay dapat makuha (31 - 6 \u003d 25). Paano makukuha ang numerong ito mula sa dalawang "triple" at dalawang "fours" gamit ang mga palatandaan ng aksyon?

Syempre ito ay: 3 ∙ 3 + 4 ∙ 4 \u003d 9 + 16 \u003d 25. Sagot E).

Aralin 1

Paksa: Baitang 11 (paghahanda para sa pagsusulit)

Pagpapasimple ng trigonometriko expression.

Solusyon ng pinakasimpleng trigonometric equation. (2 oras)

Mga layunin:

I-systematize, i-generalize, palawakin ang kaalaman at kasanayan ng mga mag-aaral na may kaugnayan sa paggamit ng mga formula ng trigonometry at ang solusyon ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometric.

Kagamitan para sa aralin:

Istraktura ng aralin:

Orgmoment
Pagsubok sa mga laptop. Ang talakayan ng mga resulta.
Pinapasimple ang mga trigonometrikong expression
Solusyon ng pinakasimpleng trigonometric equation
Pansariling gawain.
Buod ng aralin. Pagpapaliwanag ng takdang-aralin.

1. Organisasyon sandali. (2 minuto.)

Binabati ng guro ang madla, inihayag ang paksa ng aralin, naaalala na ang gawain ay ibinigay dati upang ulitin ang mga formula ng trigonometrya at itinakda ang mga mag-aaral para sa pagsubok.

2. Pagsubok. (15min + 3min na talakayan)

Ang layunin ay upang subukan ang kaalaman ng trigonometriko formula at ang kakayahang ilapat ang mga ito. Ang bawat mag-aaral ay may laptop sa kanyang mesa kung saan mayroong opsyon sa pagsusulit.

Maaaring mayroong anumang bilang ng mga pagpipilian, magbibigay ako ng isang halimbawa ng isa sa mga ito:

Opsyon ko.

Pasimplehin ang mga expression:

a) mga pangunahing trigonometrikong pagkakakilanlan

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) mga pormula ng karagdagan

3. sin5x - sin3x;

c) pag-convert ng isang produkto sa isang kabuuan

6. 2sin8y cos3y;

d) mga formula ng dobleng anggulo

7.2sin5x cos5x;

e) mga formula ng kalahating anggulo

f) mga formula ng triple angle

g) pangkalahatang pagpapalit

h) pagpapababa ng antas

16. cos 2 (3x/7);

Ang mga mag-aaral sa isang laptop sa harap ng bawat formula ay nakikita ang kanilang mga sagot.

Ang trabaho ay agad na sinusuri ng computer. Ang mga resulta ay ipinapakita sa isang malaking screen para makita ng lahat.

Gayundin, pagkatapos ng pagtatapos ng gawain, ang mga tamang sagot ay ipinapakita sa mga laptop ng mga mag-aaral. Nakikita ng bawat mag-aaral kung saan nagawa ang pagkakamali at kung anong mga formula ang kailangan niyang ulitin.

3. Pagpapasimple ng trigonometriko expression. (25 min.)

Ang layunin ay ulitin, gawin at pagsama-samahin ang paggamit ng mga pangunahing formula ng trigonometrya. Paglutas ng mga problema B7 mula sa pagsusulit.

Sa yugtong ito, ipinapayong hatiin ang klase sa mga grupo ng malalakas (mag-isa na nagtatrabaho sa kasunod na pag-verify) at mahihinang mga mag-aaral na nakikipagtulungan sa guro.

Takdang-aralin para sa malalakas na mag-aaral (inihanda nang maaga sa isang nakalimbag na batayan). Ang pangunahing diin ay sa pagbawas at dobleng anggulo na mga formula, ayon sa USE 2011.

Pasimplehin ang mga expression (para sa malalakas na mag-aaral):

Kaayon, ang guro ay nakikipagtulungan sa mahihinang mga mag-aaral, tinatalakay at paglutas ng mga gawain sa screen sa ilalim ng pagdidikta ng mga mag-aaral.

Kalkulahin:

5) kasalanan(270º - α) + cos(270º + α)

Pasimplehin:

Ito ay ang turn upang talakayin ang mga resulta ng gawain ng malakas na grupo.

Lumilitaw ang mga sagot sa screen, at gayundin, sa tulong ng isang video camera, ang gawain ng 5 iba't ibang mga mag-aaral ay ipinapakita (isang gawain para sa bawat isa).

Nakikita ng mahinang grupo ang kondisyon at paraan ng solusyon. May diskusyon at pagsusuri. Sa paggamit ng mga teknikal na paraan, mabilis itong nangyayari.

4. Solusyon ng pinakasimpleng trigonometric equation. (30 minuto.)

Ang layunin ay ulitin, i-systematize at gawing pangkalahatan ang solusyon ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko, na nagre-record ng kanilang mga ugat. Solusyon sa problema B3.

Anumang trigonometric equation, gaano man natin ito lutasin, ay humahantong sa pinakasimple.

Kapag kinukumpleto ang gawain, dapat bigyang-pansin ng mga mag-aaral ang pagsulat ng mga ugat ng mga equation ng mga partikular na kaso at pangkalahatang anyo at sa pagpili ng mga ugat sa huling equation.

Lutasin ang mga Equation:

Isulat ang pinakamaliit na positibong ugat ng sagot.

5. Malayang gawain (10 min.)

Ang layunin ay subukan ang mga nakuhang kasanayan, tukuyin ang mga problema, mga pagkakamali at mga paraan upang maalis ang mga ito.

Ang iba't ibang gawain ay inaalok sa pagpili ng mag-aaral.

Pagpipilian para sa "3"

1) Hanapin ang halaga ng expression

2) Pasimplehin ang expression 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Lutasin ang equation

Pagpipilian para sa "4"

1) Hanapin ang halaga ng expression

2) Lutasin ang equation Isulat ang pinakamaliit na positibong ugat ng iyong sagot.

Pagpipilian para sa "5"

1) Hanapin ang tgα kung

2) Hanapin ang ugat ng equation Isulat ang pinakamaliit na positibong ugat ng iyong sagot.

6. Buod ng aralin (5 min.)

Binubuo ng guro ang katotohanan na ang aralin ay paulit-ulit at pinagsama-samang mga formula ng trigonometriko, ang solusyon ng pinakasimpleng mga equation ng trigonometriko.

Ang takdang-aralin ay itinalaga (inihanda sa isang naka-print na batayan nang maaga) na may isang spot check sa susunod na aralin.

Lutasin ang mga Equation:

10) Ibigay ang iyong sagot bilang pinakamaliit na positibong ugat.

Aralin 2

Paksa: Baitang 11 (paghahanda para sa pagsusulit)

Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko. Pagpili ng ugat. (2 oras)

Mga layunin:

I-generalize at i-systematize ang kaalaman sa paglutas ng mga trigonometric equation ng iba't ibang uri.
Upang maisulong ang pag-unlad ng pag-iisip ng matematika ng mga mag-aaral, ang kakayahang mag-obserba, maghambing, mag-generalize, mag-uri-uriin.
Hikayatin ang mga mag-aaral na malampasan ang mga paghihirap sa proseso ng aktibidad ng kaisipan, sa pagpipigil sa sarili, pagsisiyasat ng sarili sa kanilang mga aktibidad.

Kagamitan para sa aralin: KRMu, mga laptop para sa bawat estudyante.

Istraktura ng aralin:

Orgmoment
Pagtalakay d/s at samot. ang gawain ng huling aralin
Pag-uulit ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.
Paglutas ng mga equation ng trigonometriko
Pagpili ng mga ugat sa trigonometric equation.
Pansariling gawain.
Buod ng aralin. Takdang aralin.

1. Sandali ng pagsasaayos (2 min.)

Binabati ng guro ang madla, ibinalita ang paksa ng aralin at ang plano sa trabaho.

2. a) Pagsusuri ng takdang-aralin (5 min.)

Ang layunin ay suriin ang pagganap. Ang isang gawa sa tulong ng isang video camera ay ipinapakita sa screen, ang iba ay piling kinokolekta para suriin ng guro.

b) Pagsusuri ng malayang gawain (3 min.)

Ang layunin ay upang ayusin ang mga pagkakamali, ipahiwatig ang mga paraan upang malampasan ang mga ito.

Sa screen ay ang mga sagot at solusyon, ang mga mag-aaral ay nai-pre-issue ang kanilang trabaho. Mabilis ang takbo ng pagsusuri.

3. Pag-uulit ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometric equation (5 min.)

Ang layunin ay maalala ang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.

Itanong sa mga mag-aaral kung anong mga paraan ng paglutas ng mga trigonometric equation ang alam nila. Bigyang-diin na may mga tinatawag na basic (madalas na ginagamit) na mga pamamaraan:

variable na pagpapalit,
factorization,
homogenous equation,

at may mga inilapat na pamamaraan:

ayon sa mga formula para sa pag-convert ng isang kabuuan sa isang produkto at isang produkto sa isang kabuuan,
sa pamamagitan ng mga pormula ng pagbabawas,
unibersal na trigonometrikong pagpapalit
pagpapakilala ng isang pantulong na anggulo,
pagpaparami ng ilang trigonometriko function.

Dapat ding alalahanin na ang isang equation ay maaaring malutas sa iba't ibang paraan.

4. Paglutas ng mga trigonometric equation (30 min.)

Ang layunin ay gawing pangkalahatan at pagsamahin ang kaalaman at kasanayan sa paksang ito, upang maghanda para sa paglutas ng C1 mula sa USE.

Itinuturing kong nararapat na lutasin ang mga equation para sa bawat pamamaraan kasama ng mga mag-aaral.

Ang mag-aaral ang nagdidikta ng solusyon, ang guro ay nagsusulat sa tablet, ang buong proseso ay ipinapakita sa screen. Ito ay magbibigay-daan sa iyong mabilis at mahusay na ibalik ang dating sakop na materyal sa iyong memorya.

Lutasin ang mga Equation:

1) pagbabago ng variable 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) factorization 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogenous equation sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) pag-convert ng kabuuan sa produkto cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) pag-convert ng produkto sa kabuuan 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) pagpapababa ng antas ng sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0.5

7) unibersal na trigonometric substitution sinx + 5cosx + 5 = 0.

Kapag nilulutas ang equation na ito, dapat tandaan na ang paggamit ng paraang ito ay humahantong sa pagpapaliit ng domain ng kahulugan, dahil ang sine at cosine ay pinalitan ng tg(x/2). Samakatuwid, bago isulat ang sagot, kinakailangang suriin kung ang mga numero mula sa set na π + 2πn, n Z ay mga kabayo ng equation na ito.

8) pagpapakilala ng isang auxiliary angle √3sinx + cosx - √2 = 0

9) pagpaparami ng ilang trigonometriko function na cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Pagpili ng mga ugat ng trigonometric equation (20 min.)

Dahil sa mga kondisyon ng matinding kumpetisyon kapag pumapasok sa mga unibersidad, ang solusyon ng isang unang bahagi ng pagsusulit ay hindi sapat, karamihan sa mga mag-aaral ay dapat bigyang-pansin ang mga gawain ng ikalawang bahagi (C1, C2, C3).

Samakatuwid, ang layunin ng yugtong ito ng aralin ay alalahanin ang naunang pinag-aralan na materyal, upang maghanda para sa paglutas ng problema C1 mula sa USE noong 2011.

May mga trigonometric equation kung saan kailangan mong piliin ang mga ugat kapag isinusulat ang sagot. Ito ay dahil sa ilang mga paghihigpit, halimbawa: ang denominator ng isang fraction ay hindi katumbas ng zero, ang expression sa ilalim ng ugat ng isang even na degree ay hindi negatibo, ang expression sa ilalim ng sign ng logarithm ay positibo, atbp.

Ang mga nasabing equation ay itinuturing na mga equation ng tumaas na kumplikado at sa USE na bersyon ay nasa pangalawang bahagi, katulad ng C1.

Lutasin ang equation:

Ang fraction ay zero kung pagkatapos gamit ang unit circle, pipiliin namin ang mga ugat (tingnan ang Figure 1)

Larawan 1.

nakukuha natin ang x = π + 2πn, n Z

Sagot: π + 2πn, n Z

Sa screen, ang pagpili ng mga ugat ay ipinapakita sa isang bilog sa isang kulay na imahe.

Ang produkto ay katumbas ng zero kapag ang hindi bababa sa isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng zero, at ang arko, sa parehong oras, ay hindi nawawala ang kahulugan nito. Pagkatapos

Gamit ang unit circle, piliin ang mga ugat (tingnan ang Figure 2)