Power function, katangian nito at graph Demonstration material Lesson-lecture Konsepto ng function. Mga Katangian ng Function

Para sa kaginhawaan ng pagsasaalang-alang sa isang power function, isasaalang-alang namin ang 4 na magkakahiwalay na kaso: isang power function na may natural na exponent, isang power function na may integer exponent, isang power function na may rational exponent, at isang power function na may hindi makatwiran na exponent.

Power function na may natural na exponent

Upang magsimula, ipinakilala namin ang konsepto ng isang degree na may natural na exponent.

Kahulugan 1

Ang kapangyarihan ng isang tunay na numerong $a$ na may natural na exponent na $n$ ay isang numero na katumbas ng produkto ng $n$ na mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng bilang na $a$.

Larawan 1.

$a$ ang batayan ng antas.

$n$ - exponent.

Isaalang-alang ngayon ang isang power function na may natural na exponent, mga katangian at graph nito.

Kahulugan 2

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in N)$ ay tinatawag na power function na may natural na exponent.

Para sa karagdagang kaginhawahan, isaalang-alang nang hiwalay ang power function na may even exponent $f\left(x\right)=x^(2n)$ at ang power function na may odd exponent $f\left(x\right)=x^(2n- 1)$ ($n\in N)$.

Mga katangian ng isang power function na may natural even exponent

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n)=x^(2n)=f(x)$ ay isang even function.

Saklaw -- $ \

Bumababa ang function bilang $x\in (-\infty ,0)$ at tumataas bilang $x\in (0+\infty)$.

$f("")\left(x\right)=(\left(2n\cdot x^(2n-1)\right))"=2n(2n-1)\cdot x^(2(n-1) ))\ge 0$

Ang function ay matambok sa buong domain ng kahulugan.

Pag-uugali sa dulo ng saklaw:

\[(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^( 2n)\ )=+\infty \]

Graph (Larawan 2).

Figure 2. Graph ng function na $f\left(x\right)=x^(2n)$

Mga katangian ng isang power function na may natural na kakaibang exponent

Ang domain ng kahulugan ay lahat ng tunay na numero.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ ay isang kakaibang function.

Ang $f(x)$ ay tuloy-tuloy sa buong domain ng kahulugan.

Ang saklaw ay lahat ng tunay na numero.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Tumataas ang function sa buong domain ng kahulugan.

$f\left(x\right)0$, para sa $x\in (0+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \kaliwa(2n-1\kanan)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Ang function ay malukong para sa $x\in (-\infty ,0)$ at convex para sa $x\in (0+\infty)$.

Graph (Larawan 3).

Figure 3. Graph ng function na $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Power function na may integer exponent

Upang magsimula, ipinakilala namin ang konsepto ng isang degree na may isang integer exponent.

Kahulugan 3

Ang antas ng isang tunay na numerong $a$ na may integer exponent na $n$ ay tinutukoy ng formula:

Larawan 4

Isaalang-alang ngayon ang isang power function na may integer exponent, mga katangian at graph nito.

Kahulugan 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ ay tinatawag na power function na may integer exponent.

Kung ang antas ay mas malaki kaysa sa zero, pagkatapos ay dumating tayo sa kaso ng isang power function na may natural na exponent. Napag-usapan na natin ito sa itaas. Para sa $n=0$ nakakakuha kami ng linear function na $y=1$. Iniiwan namin ang pagsasaalang-alang nito sa mambabasa. Ito ay nananatiling isaalang-alang ang mga katangian ng isang power function na may negatibong integer exponent

Mga katangian ng isang power function na may negatibong integer exponent

Ang saklaw ay $\left(-\infty ,0\right)(0+\infty)$.

Kung ang exponent ay even, kung gayon ang function ay even; kung ito ay kakaiba, kung gayon ang function ay kakaiba.

Ang $f(x)$ ay tuloy-tuloy sa buong domain ng kahulugan.

Saklaw ng halaga:

Kung ang exponent ay even, kung gayon ay $(0+\infty)$, kung kakaiba, pagkatapos ay $\left(-\infty ,0\right)(0+\infty)$.

Kung kakaiba ang exponent, bumababa ang function bilang $x\in \left(-\infty ,0\right)(0+\infty)$. Para sa pantay na exponent, bumababa ang function bilang $x\in (0+\infty)$. at tataas bilang $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ sa buong domain

Ang mga katangian at graph ng mga function ng kapangyarihan ay ipinakita para sa iba't ibang mga halaga ng exponent. Mga pangunahing formula, domain at hanay ng mga halaga, parity, monotonicity, pagtaas at pagbaba, extrema, convexity, inflections, mga punto ng intersection na may mga coordinate axes, mga limitasyon, mga partikular na halaga.

Mga Formula ng Power Function

Sa domain ng power function na y = x p, ang mga sumusunod na formula ay mayroong:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Mga katangian ng mga function ng kapangyarihan at ang kanilang mga graph

Power function na may exponent na katumbas ng zero, p = 0

Kung ang exponent ng power function y = x p sero, p = 0 , pagkatapos ay tinukoy ang power function para sa lahat ng x ≠ 0 at pare-pareho, katumbas ng isa:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Power function na may natural odd exponent, p = n = 1, 3, 5, ...

Isaalang-alang ang isang power function na y = x p = x n na may natural na kakaibang exponent n = 1, 3, 5, ... . Ang nasabing indicator ay maaari ding isulat bilang: n = 2k + 1, kung saan ang k = 0, 1, 2, 3, ... ay isang non-negative integer. Nasa ibaba ang mga katangian at graph ng mga naturang function.

Graph ng power function na y = x n na may natural na kakaibang exponent para sa iba't ibang value ng exponent n = 1, 3, 5, ... .

Domain: -∞ < x < ∞
Maramihang mga halaga: -∞ < y < ∞
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: tumataas monotonically
Extremes: Hindi
Matambok:
sa -∞< x < 0 выпукла вверх
sa 0< x < ∞ выпукла вниз
Mga breakpoint: x=0, y=0
x=0, y=0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
sa x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
para sa x = 0, y(0) = 0 n = 0
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
para sa n = 1 , ang function ay kabaligtaran sa sarili nito: x = y
para sa n ≠ 1, baligtad na pag-andar ay isang ugat ng degree n:

Power function na may natural even exponent, p = n = 2, 4, 6, ...

Isaalang-alang ang isang power function na y = x p = x n na may natural even exponent n = 2, 4, 6, ... . Ang nasabing indicator ay maaari ding isulat bilang: n = 2k, kung saan ang k = 1, 2, 3, ... ay isang natural na numero. Ang mga katangian at mga graph ng naturang mga function ay ibinigay sa ibaba.

Graph ng power function na y = x n na may natural even exponent para sa iba't ibang value ng exponent n = 2, 4, 6, ... .

Domain: -∞ < x < ∞
Maramihang mga halaga: 0 ≤ y< ∞
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
para sa x ≤ 0 monotonically bumababa
para sa x ≥ 0 monotonically pagtaas
Extremes: pinakamababa, x=0, y=0
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
para sa x = 0, y(0) = 0 n = 0
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
para sa n = 2, Kuwadrado na ugat:
para sa n ≠ 2, ugat ng degree n:

Power function na may integer negative exponent, p = n = -1, -2, -3, ...

Isaalang-alang ang power function na y = x p = x n na may integer negatibong tagapagpahiwatig degree n = -1, -2, -3, ... . Kung ilalagay natin ang n = -k, kung saan ang k = 1, 2, 3, ... ay isang natural na numero, kung gayon maaari itong katawanin bilang:

Graph ng power function na y = x n na may negatibong integer exponent para sa iba't ibang value ng exponent n = -1, -2, -3, ... .

Kakaibang exponent, n = -1, -3, -5, ...

Nasa ibaba ang mga katangian ng function na y = x n na may kakaibang negatibong exponent n = -1, -3, -5, ... .

Domain: x ≠ 0
Maramihang mga halaga: y ≠ 0
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: bumababa nang monotoniko
Extremes: Hindi
Matambok:
sa x< 0 : выпукла вверх
para sa x > 0 : matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Tanda:
sa x< 0, y < 0
para sa x > 0, y > 0
Mga limitasyon:
; ; ;
Mga pribadong halaga:
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
para sa n = -1,
para sa n< -2 ,

Kahit exponent, n = -2, -4, -6, ...

Nasa ibaba ang mga katangian ng function na y = x n na may pantay na negatibong exponent n = -2, -4, -6, ... .

Domain: x ≠ 0
Maramihang mga halaga: y > 0
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
sa x< 0 : монотонно возрастает
para sa x > 0 : monotonically bumababa
Extremes: Hindi
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Tanda: y > 0
Mga limitasyon:
; ; ;
Mga pribadong halaga:
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:
para sa n = -2,
para sa n< -2 ,

Power function na may rational (fractional) exponent

Isaalang-alang ang power function na y = x p na may rational (fractional) exponent , kung saan ang n ay isang integer, ang m > 1 ay isang natural na numero. Bukod dito, ang n, m ay walang mga karaniwang divisors.

Ang denominator ng fractional indicator ay kakaiba

Hayaang kakaiba ang denominator ng fractional exponent: m = 3, 5, 7, ... . Sa kasong ito, ang power function x p ay tinukoy para sa parehong positibo at mga negatibong halaga argumento x . Isaalang-alang ang mga katangian ng naturang mga function ng kapangyarihan kapag ang exponent p ay nasa loob ng ilang mga limitasyon.

p ay negatibo, p< 0

Hayaang ang rational exponent (na may kakaibang denominator m = 3, 5, 7, ... ) ay mas mababa sa zero: .

Mga graph ng exponential function na may rational negative exponent para sa iba't ibang value ng exponent , kung saan ang m = 3, 5, 7, ... ay kakaiba.

Kakaibang numerator, n = -1, -3, -5, ...

Narito ang mga katangian ng isang power function na y = xp na may rasyonal na negatibong exponent , kung saan ang n = -1, -3, -5, ... ay isang kakaibang negatibong integer, m = 3, 5, 7 ... ay isang kakaibang natural na numero.

Domain: x ≠ 0
Maramihang mga halaga: y ≠ 0
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: bumababa nang monotoniko
Extremes: Hindi
Matambok:
sa x< 0 : выпукла вверх
para sa x > 0 : matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Tanda:
sa x< 0, y < 0
para sa x > 0, y > 0
Mga limitasyon:
; ; ;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:

Kahit numerator, n = -2, -4, -6, ...

Mga katangian ng isang power function na y = xp na may rasyonal na negatibong exponent , kung saan ang n = -2, -4, -6, ... ay isang kahit na negatibong integer, m = 3, 5, 7 ... ay isang kakaibang natural na numero .

Domain: x ≠ 0
Maramihang mga halaga: y > 0
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
sa x< 0 : монотонно возрастает
para sa x > 0 : monotonically bumababa
Extremes: Hindi
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Tanda: y > 0
Mga limitasyon:
; ; ;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
para sa x = 1, y(1) = 1 n = 1
Baliktad na function:

Ang p-value ay positibo, mas mababa sa isa, 0< p < 1

Graph ng power function na may rational exponent (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Kakaibang numerator, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domain: -∞ < x < +∞
Maramihang mga halaga: -∞ < y < +∞
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: tumataas monotonically
Extremes: Hindi
Matambok:
sa x< 0 : выпукла вниз
para sa x > 0 : matambok pataas
Mga breakpoint: x=0, y=0
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Tanda:
sa x< 0, y < 0
para sa x > 0, y > 0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = -1
para sa x = 0, y(0) = 0
para sa x = 1, y(1) = 1
Baliktad na function:

Kahit numerator, n = 2, 4, 6, ...

Ang mga katangian ng power function na y = x p na may rational exponent , na nasa loob ng 0 ay ipinakita.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domain: -∞ < x < +∞
Maramihang mga halaga: 0 ≤ y< +∞
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
sa x< 0 : монотонно убывает
para sa x > 0 : monotonically pagtaas
Extremes: pinakamababa sa x = 0, y = 0
Matambok: matambok paitaas sa x ≠ 0
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Tanda: para sa x ≠ 0, y > 0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = 1
para sa x = 0, y(0) = 0
para sa x = 1, y(1) = 1
Baliktad na function:

Ang exponent p ay mas malaki sa isa, p > 1

Graph ng power function na may rational exponent (p > 1 ) para sa iba't ibang value ng exponent , kung saan ang m = 3, 5, 7, ... ay kakaiba.

Kakaibang numerator, n = 5, 7, 9, ...

Mga katangian ng power function na y = x p na may rational exponent na mas malaki sa isa: . Kung saan ang n = 5, 7, 9, ... ay isang kakaibang natural na numero, m = 3, 5, 7 ... ay isang kakaibang natural na numero.

Domain: -∞ < x < ∞
Maramihang mga halaga: -∞ < y < ∞
Pagkakapantay-pantay: kakaiba, y(-x) = - y(x)
Monotone: tumataas monotonically
Extremes: Hindi
Matambok:
sa -∞< x < 0 выпукла вверх
sa 0< x < ∞ выпукла вниз
Mga breakpoint: x=0, y=0
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = -1
para sa x = 0, y(0) = 0
para sa x = 1, y(1) = 1
Baliktad na function:

Kahit numerator, n = 4, 6, 8, ...

Mga katangian ng power function na y = x p na may rational exponent na mas malaki sa isa: . Kung saan ang n = 4, 6, 8, ... ay isang natural na numero, m = 3, 5, 7 ... ay isang kakaibang natural na numero.

Domain: -∞ < x < ∞
Maramihang mga halaga: 0 ≤ y< ∞
Pagkakapantay-pantay: kahit, y(-x) = y(x)
Monotone:
sa x< 0 монотонно убывает
para sa x > 0 monotonically tumataas
Extremes: pinakamababa sa x = 0, y = 0
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Mga limitasyon:
;
Mga pribadong halaga:
para sa x = -1, y(-1) = 1
para sa x = 0, y(0) = 0
para sa x = 1, y(1) = 1
Baliktad na function:

Ang denominator ng fractional indicator ay pantay

Hayaang maging pantay ang denominator ng fractional exponent: m = 2, 4, 6, ... . Sa kasong ito, ang power function x p ay hindi tinukoy para sa mga negatibong halaga ng argumento. Ang mga pag-aari nito ay nag-tutugma sa mga pag-andar ng kapangyarihan na may hindi makatwirang exponent (tingnan ang susunod na seksyon).

Power function na may hindi makatwirang exponent

Isaalang-alang ang isang power function y = x p na may hindi makatwirang exponent p . Ang mga katangian ng naturang mga pag-andar ay naiiba sa mga isinasaalang-alang sa itaas dahil hindi sila tinukoy para sa mga negatibong halaga ng x argument. Para sa mga positibong halaga ng argumento, ang mga katangian ay nakadepende lamang sa halaga ng exponent p at hindi nakadepende sa kung ang p ay integer, rational, o hindi makatwiran.

y = x p para sa iba't ibang mga halaga ng exponent p .

Power function na may negatibong p< 0

Domain: x > 0
Maramihang mga halaga: y > 0
Monotone: bumababa nang monotoniko
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: Hindi
Mga limitasyon: ;
pribadong halaga: Para sa x = 1, y(1) = 1 p = 1

Power function na may positibong exponent p > 0

Ang tagapagpahiwatig ay mas mababa sa isang 0< p < 1

Domain: x ≥ 0
Maramihang mga halaga: y ≥ 0
Monotone: tumataas monotonically
Matambok: matambok
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Mga limitasyon:
Mga pribadong halaga: Para sa x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Para sa x = 1, y(1) = 1 p = 1

Ang indicator ay mas malaki sa isang p > 1

Domain: x ≥ 0
Maramihang mga halaga: y ≥ 0
Monotone: tumataas monotonically
Matambok: matambok pababa
Mga breakpoint: Hindi
Mga intersection point na may coordinate axes: x=0, y=0
Mga limitasyon:
Mga pribadong halaga: Para sa x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Para sa x = 1, y(1) = 1 p = 1

Mga sanggunian:
SA. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbook ng Mathematics para sa mga Inhinyero at Mag-aaral ng Mas Mataas na Institusyon ng Edukasyon, Lan, 2009.