Ang square root ng 6 x x. Mga formula ng ugat

Ang matematika ay ipinanganak nang ang isang tao ay namulat sa kanyang sarili at nagsimulang iposisyon ang kanyang sarili bilang isang autonomous na yunit ng mundo. Ang pagnanais na sukatin, ihambing, kalkulahin kung ano ang nakapaligid sa iyo - ito ang pinagbabatayan ng isa sa mga pangunahing agham sa ating mga araw. Sa una, ito ay mga piraso ng elementarya na matematika, na naging posible upang maiugnay ang mga numero sa kanilang mga pisikal na pagpapahayag, nang maglaon ang mga konklusyon ay nagsimulang ipakita lamang sa teorya (dahil sa kanilang abstractness), ngunit pagkaraan ng ilang sandali, tulad ng sinabi ng isang siyentipiko, " Ang matematika ay umabot sa kisame ng pagiging kumplikado kapag ang lahat ng mga numero." Ang konsepto ng "square root" ay lumitaw sa isang pagkakataon kung saan madali itong masuportahan ng empirical data, na lampas sa eroplano ng mga kalkulasyon.

Kung paano nagsimula ang lahat

Ang unang pagbanggit ng ugat, na sa sa sandaling ito na tinutukoy bilang √, ay naitala sa mga sinulat ng mga Babylonian mathematician, na naglatag ng pundasyon para sa modernong aritmetika. Siyempre, medyo kamukha nila ang kasalukuyang anyo - ang mga siyentipiko noong mga taong iyon ay unang gumamit ng malalaking tableta. Ngunit sa ikalawang milenyo BC. e. nakaisip sila ng tinatayang formula ng pagkalkula na nagpakita kung paano kunin ang square root. Ang larawan sa ibaba ay nagpapakita ng isang bato kung saan inukit ng mga siyentipiko ng Babylonian ang proseso ng output √2, at ito ay naging tama na ang pagkakaiba sa sagot ay natagpuan lamang sa ikasampung decimal na lugar.

Bilang karagdagan, ang ugat ay ginamit kung kinakailangan upang mahanap ang gilid ng isang tatsulok, sa kondisyon na ang iba pang dalawa ay kilala. Buweno, kapag nilulutas ang mga quadratic equation, walang pagtakas mula sa pagkuha ng ugat.

Kasama ng mga akdang Babylonian, ang paksa ng artikulo ay pinag-aralan din sa akdang Tsino na "Mathematics in Nine Books", at ang mga sinaunang Griyego ay dumating sa konklusyon na ang anumang numero kung saan ang ugat ay hindi nakuha nang walang natitira ay nagbibigay ng isang hindi makatwiran na resulta. .

Ang pinagmulan ng terminong ito ay nauugnay sa Arabic na representasyon ng numero: ang mga sinaunang siyentipiko ay naniniwala na ang parisukat ng isang arbitrary na numero ay lumalaki mula sa ugat, tulad ng isang halaman. Sa Latin, ang salitang ito ay parang radix (maaaring masubaybayan ng isa ang isang pattern - lahat ng may "ugat" na semantic load ay katinig, maging labanos man o sciatica).

Kinuha ng mga siyentipiko ng mga sumunod na henerasyon ang ideyang ito, na itinalaga ito bilang Rx. Halimbawa, noong ika-15 siglo, upang ipahiwatig na ang square root ay kinuha mula sa isang di-makatwirang numero a, isinulat nila ang R 2 a. Ang "tik" √, pamilyar sa modernong hitsura, ay lumitaw lamang noong ika-17 siglo salamat kay Rene Descartes.

Ang ating mga araw

Sa matematika, ang square root ng y ay ang numerong z na ang parisukat ay y. Sa madaling salita, ang z 2 =y ay katumbas ng √y=z. ngunit depinisyon na ito may kaugnayan lamang para sa arithmetic root, dahil ito ay nagpapahiwatig ng isang hindi negatibong halaga ng expression. Sa madaling salita, √y=z, kung saan ang z ay mas malaki sa o katumbas ng 0.

Sa pangkalahatan, na wasto para sa pagtukoy ng isang algebraic na ugat, ang halaga ng isang expression ay maaaring maging positibo o negatibo. Kaya, dahil sa katotohanang ang z 2 =y at (-z) 2 =y, mayroon tayong: √y=±z o √y=|z|.

Dahil sa katotohanan na ang pag-ibig sa matematika ay tumaas lamang sa pag-unlad ng agham, mayroong iba't ibang mga pagpapakita ng kalakip dito, hindi ipinahayag sa mga tuyong kalkulasyon. Halimbawa, kasama ang mga kagiliw-giliw na kaganapan tulad ng araw ng Pi, ang mga pista opisyal ng square root ay ipinagdiriwang din. Ang mga ito ay ipinagdiriwang ng siyam na beses sa isang daang taon, at tinutukoy ayon sa sumusunod na prinsipyo: ang mga numero na nagsasaad ng araw at buwan sa pagkakasunud-sunod ay dapat na ang square root ng taon. Kaya, sa susunod na pagkakataon ang holiday na ito ay ipagdiriwang sa Abril 4, 2016.

Mga katangian ng square root sa field R

Halos lahat ng mathematical expression ay may geometric na batayan, ang kapalarang ito ay hindi pumasa at √y, na tinukoy bilang gilid ng isang parisukat na may lugar na y.

Paano mahahanap ang ugat ng isang numero?

Mayroong ilang mga algorithm ng pagkalkula. Ang pinakasimpleng, ngunit sa parehong oras ay medyo mahirap, ay ang karaniwang pagkalkula ng aritmetika, na kung saan ay ang mga sumusunod:

1) mula sa numero na kung saan ang ugat ay kailangan natin, ang mga kakaibang numero ay ibinabawas sa turn - hanggang ang natitira sa output ay mas mababa kaysa sa ibinawas o kahit sero. Ang bilang ng mga galaw ay magiging nais na numero. Halimbawa, ang pagkalkula parisukat na ugat sa 25:

Ang susunod na kakaibang numero ay 11, ang natitira ay: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Para sa mga ganitong kaso, mayroong pagpapalawak ng serye ng Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , kung saan ang n ay kumukuha ng mga value mula 0 hanggang

+∞, at |y|≤1.

Graphic na representasyon ng function na z=√y

Isaalang-alang ang isang elementary function na z=√y sa patlang ng mga tunay na numero R, kung saan ang y ay mas malaki sa o katumbas ng zero. Ang kanyang tsart ay ganito ang hitsura:

Ang kurba ay lumalaki mula sa pinanggalingan at kinakailangang tumawid sa punto (1; 1).

Mga katangian ng function na z=√y sa larangan ng mga tunay na numero R

1. Ang domain ng kahulugan ng itinuturing na function ay ang pagitan mula sa zero hanggang plus infinity (kasama ang zero).

2. Ang hanay ng mga halaga ng itinuturing na function ay ang pagitan mula sa zero hanggang plus infinity (zero ay kasama muli).

3. Kinukuha ng function ang pinakamababang halaga (0) lamang sa puntong (0; 0). Walang maximum na halaga.

4. Ang function na z=√y ay hindi kahit na o kakaiba.

5. Ang function na z=√y ay hindi pana-panahon.

6. Mayroon lamang isang punto ng intersection ng graph ng function na z=√y sa mga coordinate axes: (0; 0).

7. Ang intersection point ng graph ng function na z=√y ay ang zero din ng function na ito.

8. Ang function na z=√y ay patuloy na lumalaki.

9. Ang function na z=√y ay tumatagal lamang ng mga positibong halaga, samakatuwid, ang graph nito ay sumasakop sa unang coordinate angle.

Mga opsyon para sa pagpapakita ng function na z=√y

Sa matematika, para mapadali ang pagkalkula ng mga kumplikadong expression, minsan ginagamit ang power form ng pagsulat ng square root: √y=y 1/2. Ang pagpipiliang ito ay maginhawa, halimbawa, sa pagpapataas ng isang function sa isang kapangyarihan: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Ang pamamaraang ito ay isa ring magandang representasyon para sa pagkita ng kaibhan na may pagsasama, dahil salamat dito ang square root ay kinakatawan ng isang ordinaryong power function.

At sa programming, ang kapalit ng simbolong √ ay ang kumbinasyon ng mga letrang sqrt.

Ito ay nagkakahalaga ng noting na sa lugar na ito ang square root ay nasa malaking demand, dahil ito ay bahagi ng karamihan sa mga geometric na formula na kinakailangan para sa mga kalkulasyon. Ang algorithm ng pagbibilang mismo ay medyo kumplikado at nakabatay sa recursion (isang function na tumatawag sa sarili nito).

Ang square root sa kumplikadong field C

Sa pangkalahatan, ito ang paksa ng artikulong ito na nagpasigla sa pagtuklas ng larangan ng kumplikadong mga numero C, dahil ang mga mathematician ay pinagmumultuhan ng tanong ng pagkuha ng kahit na degree na ugat mula sa isang negatibong numero. Ito ay kung paano lumitaw ang haka-haka na yunit na i, na nailalarawan sa pamamagitan ng isang napaka-kagiliw-giliw na katangian: ang parisukat nito ay -1. Dahil dito, nakakuha ng solusyon ang mga quadratic equation at may negatibong discriminant. Sa C, para sa square root, ang parehong mga katangian ay may kaugnayan tulad ng sa R, ang tanging bagay ay ang mga paghihigpit sa root expression ay tinanggal.

Ang pagpapataas ng isang numero sa isang kapangyarihan ay isang pinaikling anyo ng pagsulat ng operasyon ng maramihang pagpaparami, kung saan ang lahat ng mga kadahilanan ay katumbas ng orihinal na numero. At ang pag-extract sa ugat ay nangangahulugan ng reverse operation - pagtukoy sa salik na dapat kasangkot sa multiple multiplication operation upang makuha ang root number bilang resulta. Parehong ipinahihiwatig ng exponent at root exponent ang parehong bagay - kung gaano karaming mga salik ang dapat sa naturang multiplication operation.

Kakailanganin mong

Access sa Internet.

Pagtuturo

Kung gusto mong ilapat sa isang numero o expression ang parehong operasyon ng pag-extract ng ugat at pagpapataas nito sa isang kapangyarihan, bawasan ang parehong mga aksyon sa isa - sa pagtaas sa isang kapangyarihan na may fractional exponent. Ang numerator ng isang fraction ay dapat ang exponent, at ang denominator ay dapat ang ugat. Halimbawa, kung gusto mong parisukat ang isang kubiko ugat, kung gayon ang dalawang operasyong ito ay magiging katumbas ng isang pagtaas ng numero sa kapangyarihan na ⅔.
Kung ang mga kondisyon ay nangangailangan ng parisukat ugat na may exponent na katumbas ng dalawa, hindi ito isang gawain sa pagkalkula, ngunit isang pagsubok sa iyong kaalaman. Gamitin ang paraan mula sa unang hakbang at makukuha mo ang fraction na 2/2, i.e. 1. Nangangahulugan ito na ang resulta ng pag-square ng square root ng anumang numero ay ang numerong iyon mismo.
Square kung kinakailangan ugat na may pantay na exponent, palaging may posibilidad na pasimplehin ang operasyon. Dahil ang dalawa (ang numerator ng isang fractional exponent) at anumang kahit na numero (denominator) ay may isang karaniwang divisor, pagkatapos na gawing simple ang fraction, ang numerator ay magkakaroon ng isa, na nangangahulugan na hindi kinakailangan na itaas sa isang kapangyarihan sa mga kalkulasyon, ito ay sapat na upang i-extract ugat na may kalahating exponent. Halimbawa, ang pag-square ng ikaanim na ugat ng isang figure na walo ay maaaring bawasan sa pagkuha ng isang cube root mula dito, dahil 2/6=1/3.
Upang kalkulahin ang resulta para sa anumang exponent ng root, gamitin, halimbawa, ang calculator na nakapaloob sa Google search engine. Ito marahil ang pinakamadaling paraan upang magbayad kung mayroon kang access sa Internet mula sa iyong computer. Ang karaniwang tinatanggap na kapalit para sa tanda ng pagpaparami ng operasyon ay tulad ng isang "takip": ^. Gamitin ito kapag naglalagay ng query sa paghahanap sa Google. Halimbawa, kung gusto mong parisukat ugat ikalimang kapangyarihan ng 750, bumalangkas ng kahilingan tulad ng sumusunod: 750 ^ (2/5). Matapos ipasok ito, ang search engine, kahit na hindi pinindot ang pindutan ng ipadala sa server, ay magpapakita ng resulta ng pagkalkula na may katumpakan ng hanggang pitong decimal na lugar: 750 ^ (2 / 5) = 14.1261725.

Ang lugar ng isang parisukat na plot ng lupa ay 81 dm². Hanapin ang kanyang panig. Ipagpalagay na ang haba ng gilid ng parisukat ay X desimetro. Kung gayon ang lugar ng balangkas ay X² square decimetro. Dahil, ayon sa kondisyon, ang lugar na ito ay 81 dm², kung gayon X² \u003d 81. Ang haba ng gilid ng parisukat - positibong numero. Ang isang positibong numero na ang parisukat ay 81 ay ang numero 9. Kapag nilutas ang problema, kinakailangan upang mahanap ang numerong x, ang parisukat na kung saan ay 81, ibig sabihin, lutasin ang equation X² = 81. Ang equation na ito ay may dalawang ugat: x 1 = 9 at x 2 \u003d - 9, dahil 9² \u003d 81 at (- 9)² \u003d 81. Ang parehong mga numero 9 at - 9 ay tinatawag na square roots ng numero 81.

Tandaan na ang isa sa parisukat na ugat X Ang = 9 ay isang positibong numero. Ito ay tinatawag na arithmetic square root ng 81 at denoted na √81, kaya √81 = 9.

Arithmetic square root ng isang numero ngunit tinawag hindi isang negatibong numero, na ang parisukat ay ngunit.

Halimbawa, ang mga numero 6 at -6 ay ang mga square root ng 36. Ang numero 6 ay ang arithmetic square root ng 36, dahil ang 6 ay isang non-negative na numero at 6² = 36. Ang numero -6 ay hindi isang arithmetic root.

Arithmetic square root ng isang numero ngunit isinasaad ng sumusunod: √ ngunit.

Ang tanda ay tinatawag na arithmetic square root sign; ngunit ay tinatawag na root expression. Pagpapahayag √ ngunit basahin tulad nito: ang arithmetic square root ng isang numero ngunit. Halimbawa, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. Sa mga kaso kung saan malinaw na pinag-uusapan natin ang tungkol sa aritmetika na ugat, maikli nilang sinasabi: "ang square root ng ngunit«.

Ang gawain ng paghahanap ng square root ng isang numero ay tinatawag na pagkuha ng square root. Ang pagkilos na ito ay kabaligtaran ng pag-squaring.

Ang anumang numero ay maaaring i-squad, ngunit hindi lahat ng numero ay maaaring maging square roots. Halimbawa, imposibleng kunin ang square root ng numero - 4. Kung mayroong ganoong ugat, kung gayon, tinutukoy ito ng titik X, makakakuha tayo ng maling pagkakapantay-pantay x² \u003d - 4, dahil mayroong isang hindi negatibong numero sa kaliwa, at isang negatibong numero sa kanan.

Pagpapahayag √ ngunit may sense lang kapag isang ≥ 0. Ang kahulugan ng square root ay maaaring maikli na isulat bilang: √ isang ≥ 0, (√ngunit)² = ngunit. Pagkakapantay-pantay (√ ngunit)² = ngunit wasto para sa isang ≥ 0. Kaya, upang matiyak na ang square root ng isang di-negatibong numero ngunit katumbas b, ibig sabihin, na √ ngunit =b, kailangan mong suriin na ang sumusunod na dalawang kundisyon ay natutugunan: b ≥ 0, b² = ngunit.

Ang square root ng isang fraction

kalkulahin natin. Tandaan na √25 = 5, √36 = 6, at tingnan kung ang pagkakapantay-pantay ay nananatili.

kasi at , kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay totoo. Kaya, .

Teorama: Kung ngunit≥ 0 at b> 0, ibig sabihin, ang ugat ng fraction ay katumbas ng ugat ng numerator na hinati sa ugat ng denominator. Kinakailangang patunayan na: at .

Dahil √ ngunit≥0 at √ b> 0, pagkatapos .

Sa pamamagitan ng pag-aari ng pagtataas ng isang fraction sa isang kapangyarihan at pagtukoy ng square root napatunayan ang teorama. Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Kalkulahin , ayon sa napatunayang teorama .

Pangalawang halimbawa: Patunayan iyon , kung ngunit ≤ 0, b < 0. .

Isa pang halimbawa: Kalkulahin .

Pagbabago ng square root

Paglabas ng multiplier mula sa ilalim ng tanda ng ugat. Hayaang magbigay ng ekspresyon. Kung ngunit≥ 0 at b≥ 0, pagkatapos ay sa pamamagitan ng theorem sa ugat ng produkto, maaari nating isulat:

Ang ganitong pagbabago ay tinatawag na factoring out ang root sign. Isaalang-alang ang isang halimbawa;

Kalkulahin sa X= 2. Direktang pagpapalit X= 2 sa radikal na expression ay humahantong sa mga kumplikadong kalkulasyon. Ang mga kalkulasyong ito ay maaaring gawing simple kung aalisin muna natin ang mga salik sa ilalim ng root sign: . Ngayon pinapalitan ang x = 2, nakukuha natin:.

Kaya, kapag kinuha ang factor mula sa ilalim ng root sign, ang radical expression ay kinakatawan bilang isang produkto kung saan ang isa o higit pang mga kadahilanan ay ang mga parisukat ng mga hindi negatibong numero. Ang root product theorem ay pagkatapos ay inilapat at ang ugat ng bawat kadahilanan ay kinuha. Isaalang-alang ang isang halimbawa: Pasimplehin ang expression na A = √8 + √18 - 4√2 sa pamamagitan ng pagkuha ng mga salik mula sa ilalim ng root sign sa unang dalawang termino, makakakuha tayo ng:. Binibigyang-diin namin na ang pagkakapantay-pantay balido lamang kapag ngunit≥ 0 at b≥ 0. kung ngunit < 0, то .

Palaging tinatanong ng mga estudyante: “Bakit hindi ako gumamit ng calculator sa pagsusulit sa matematika? Paano kunin ang square root ng isang numero nang walang calculator? Subukan nating sagutin ang tanong na ito.

Paano kunin ang square root ng isang numero nang walang tulong ng isang calculator?

Aksyon square root extraction kabaligtaran ng parisukat.

√81= 9 9 2 =81

Kung kukunin natin ang square root ng isang positibong numero at parisukat ang resulta, makukuha natin ang parehong numero.

Mula sa hindi malalaking numero, na mga eksaktong parisukat natural na mga numero, halimbawa 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 square roots ay maaaring makuha sa salita. Karaniwan sa paaralan ay nagtuturo sila ng isang talahanayan ng mga parisukat ng mga natural na numero hanggang dalawampu't. Alam ang talahanayang ito, madaling i-extract ang square roots mula sa mga numerong 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Mula sa mga numerong higit sa 400, maaari mong kunin gamit ang paraan ng pagpili gamit ang ilang tip. Subukan natin ang isang halimbawa upang isaalang-alang ang pamamaraang ito.

Halimbawa: I-extract ang ugat ng numerong 676.

Napansin namin na 20 2 \u003d 400, at 30 2 \u003d 900, na nangangahulugang 20< √676 < 900.

Ang mga eksaktong parisukat ng mga natural na numero ay nagtatapos sa 0; isa; 4; lima; 6; siyam.
Ang bilang na 6 ay ibinibigay ng 4 2 at 6 2 .
Kaya, kung ang ugat ay kinuha mula sa 676, kung gayon ito ay alinman sa 24 o 26.

Nananatili itong suriin: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Sagot: √676 = 26 .

Pa halimbawa: √6889 .

Mula noong 80 2 \u003d 6400, at 90 2 \u003d 8100, pagkatapos ay 80< √6889 < 90.
Ang numero 9 ay ibinibigay ng 3 2 at 7 2, pagkatapos ay ang √6889 ay alinman sa 83 o 87.

Suriin: 83 2 = 6889.

Sagot: √6889 = 83 .

Kung nahihirapan kang lutasin sa pamamagitan ng paraan ng pagpili, maaari mong i-factor ang root expression.

Halimbawa, hanapin ang √893025.

I-factorize natin ang numerong 893025, tandaan, ginawa mo ito noong ika-anim na baitang.

Nakukuha namin ang: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Pa halimbawa: √20736. I-factorize natin ang numerong 20736:

Nakukuha natin ang √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Siyempre, ang factoring ay nangangailangan ng kaalaman sa divisibility criteria at factoring skills.

At sa wakas, mayroon square root rule. Tingnan natin ang panuntunang ito na may isang halimbawa.

Kalkulahin ang √279841.

Upang kunin ang ugat ng isang multi-digit na integer, hinati namin ito mula kanan pakaliwa sa mga mukha na naglalaman ng 2 digit bawat isa (maaaring mayroong isang digit sa kaliwang extreme na mukha). Sumulat ng ganito 27'98'41

Upang makuha ang unang digit ng ugat (5), kinukuha namin ang square root ng pinakamalaking eksaktong parisukat na nasa unang kaliwang mukha (27).
Pagkatapos ay ang parisukat ng unang digit ng ugat (25) ay ibabawas mula sa unang mukha at ang susunod na mukha (98) ay iniuugnay (giniba) sa pagkakaiba.
Sa kaliwa ng natanggap na numero 298, isinusulat nila ang dobleng digit ng ugat (10), hatiin sa pamamagitan nito ang bilang ng lahat ng sampu ng dating nakuhang numero (29/2 ≈ 2), maranasan ang quotient (102 ∙ 2 = Ang 204 ay dapat na hindi hihigit sa 298) at isulat ang (2) pagkatapos ng unang digit ng ugat.
Pagkatapos ay ang resultang quotient 204 ay ibabawas mula sa 298, at ang susunod na facet (41) ay iniuugnay (na-demolish) sa pagkakaiba (94).
Sa kaliwa ng resultang numero 9441, isinulat nila ang dobleng produkto ng mga digit ng ugat (52 ∙ 2 = 104), hatiin sa produktong ito ang bilang ng lahat ng sampu ng numero 9441 (944/104 ≈ 9), karanasan ang quotient (1049 ∙ 9 = 9441) ay dapat na 9441 at isulat ito (9) pagkatapos ng pangalawang digit ng ugat.

Nakuha namin ang sagot na √279841 = 529.

Katulad ng extract ugat ng mga decimal. Ang radikal na numero lamang ang dapat na hatiin sa mga mukha upang ang kuwit ay nasa pagitan ng mga mukha.

Halimbawa. Hanapin ang halaga √0.00956484.

Kailangan mo lang tandaan na kung desimal ay may kakaibang bilang ng mga decimal na lugar, hindi ito eksaktong sukat ng square root.

Kaya, ngayon ay nakakita ka ng tatlong paraan upang kunin ang ugat. Piliin ang isa na pinakaangkop sa iyo at magsanay. Upang matutunan kung paano lutasin ang mga problema, kailangan mong lutasin ang mga ito. At kung mayroon kang anumang mga katanungan, mag-sign up para sa aking mga aralin.

site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.

Katotohanan 1.
\(\bullet\) Kumuha ng ilang hindi negatibong numero \(a\) (ibig sabihin \(a\geqslant 0\) ). Pagkatapos (aritmetika) parisukat na ugat mula sa numerong \(a\) ay tinatawag ang gayong hindi negatibong numero na \(b\), kapag ini-square ito ay nakukuha natin ang numerong \(a\) : \[\sqrt a=b\quad \text(katulad ng )\quad a=b^2\] Ito ay sumusunod mula sa kahulugan na \(a\geqslant 0, b\geqslant 0\). Ang mga paghihigpit na ito ay isang mahalagang kondisyon para sa pagkakaroon ng isang square root at dapat tandaan!
Alalahanin na ang anumang numero kapag naka-squad ay nagbibigay ng hindi negatibong resulta. Ibig sabihin, \(100^2=10000\geqslant 0\) at \((-100)^2=10000\geqslant 0\) .
\(\bullet\) Ano ang \(\sqrt(25)\) ? Alam namin na \(5^2=25\) at \((-5)^2=25\) . Dahil sa depinisyon kailangan nating maghanap ng hindi negatibong numero, ang \(-5\) ay hindi angkop, kaya \(\sqrt(25)=5\) (dahil \(25=5^2\) ).
Ang paghahanap ng value na \(\sqrt a\) ay tinatawag na pagkuha ng square root ng numero \(a\) , at ang numerong \(a\) ay tinatawag na root expression.
\(\bullet\) Batay sa kahulugan, ang mga expression na \(\sqrt(-25)\) , \(\sqrt(-4)\) , atbp. walang saysay.

Katotohanan 2.
Para sa mabilis na pagkalkula, magiging kapaki-pakinabang na matutunan ang talahanayan ng mga parisukat ng mga natural na numero mula \(1\) hanggang \(20\) : \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 at \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 at \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 at \quad17^2=289\\ 8^2=64 at \quad18^2=324\\ 9^2=81 at \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(array)\]

Katotohanan 3.
Ano ang maaaring gawin sa mga square root?
\(\bullet\) Ang kabuuan o pagkakaiba ng mga square root ay HINDI PANTAY sa square root ng kabuuan o pagkakaiba, i.e. \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\] Kaya, kung kailangan mong kalkulahin, halimbawa, \(\sqrt(25)+\sqrt(49)\) , dapat mo munang hanapin ang mga value \(\sqrt(25)\) at \(\sqrt (49)\ ) at pagkatapos ay idagdag ang mga ito. Dahil dito, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Kung ang mga halaga \(\sqrt a\) o \(\sqrt b\) ay hindi matagpuan kapag idinaragdag ang \(\sqrt a+\sqrt b\), kung gayon ang gayong expression ay hindi na mako-convert pa at mananatiling ganito. Halimbawa, sa kabuuan na \(\sqrt 2+ \sqrt (49)\) mahahanap natin ang \(\sqrt(49)\) - ito ay \(7\) , ngunit ang \(\sqrt 2\) ay hindi maaaring na-convert sa anumang paraan, kaya naman \(\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7\). Dagdag pa, ang expression na ito, sa kasamaang-palad, ay hindi maaaring pasimplehin sa anumang paraan.\(\bullet\) Ang produkto/quotient ng square roots ay katumbas ng square root ng product/quotient, i.e. \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (sa kondisyon na ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay ay may katuturan)
Halimbawa: \(\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8\); \(\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16\); \(\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40\). \(\bullet\) Gamit ang mga katangiang ito, madaling mahanap ang square roots ng malalaking numero sa pamamagitan ng factoring sa kanila.
Isaalang-alang ang isang halimbawa. Hanapin ang \(\sqrt(44100)\) . Dahil \(44100:100=441\) , pagkatapos \(44100=100\cdot 441\) . Ayon sa criterion ng divisibility, ang numerong \(441\) ay nahahati sa \(9\) (dahil ang kabuuan ng mga digit nito ay 9 at nahahati ng 9), samakatuwid, \(441:9=49\) , ibig sabihin, \(441=9\ cdot 49\) .
Kaya, nakuha namin: \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\] Tingnan natin ang isa pang halimbawa: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
\(\bullet\) Ipakita natin kung paano maglagay ng mga numero sa ilalim ng square root sign gamit ang halimbawa ng expression na \(5\sqrt2\) (maikli para sa expression na \(5\cdot \sqrt2\) ). Dahil \(5=\sqrt(25)\) , pagkatapos \ Tandaan din na, halimbawa,
1) \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\) ,
2) \(5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3\)
3) \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\) .

Bakit ganon? Ipaliwanag natin sa halimbawa 1). Gaya ng naintindihan mo na, hindi namin mako-convert sa anumang paraan ang numero \(\sqrt2\) . Isipin na ang \(\sqrt2\) ay ilang numero \(a\) . Alinsunod dito, ang expression na \(\sqrt2+3\sqrt2\) ay walang iba kundi \(a+3a\) (isang numero \(a\) kasama ang tatlo pa sa parehong mga numero \(a\) ). At alam namin na ito ay katumbas ng apat na ganoong numero \(a\) , iyon ay, \(4\sqrt2\) .

Katotohanan 4.
\(\bullet\) Madalas na sinasabing "hindi ma-extract ang ugat" kapag hindi posibleng tanggalin ang sign \(\sqrt () \ \) ng ugat (radical) kapag hinahanap ang halaga ng ilang numero. Halimbawa, maaari mong i-root ang numero \(16\) dahil \(16=4^2\) , kaya \(\sqrt(16)=4\) . Ngunit upang kunin ang ugat mula sa numero \(3\) , iyon ay, upang mahanap \(\sqrt3\) , imposible, dahil walang ganoong numero na ibibigay ng squared \(3\) .
Ang mga naturang numero (o mga expression na may ganitong mga numero) ay hindi makatwiran. Halimbawa, mga numero \(\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)\) atbp. ay hindi makatwiran.
Hindi rin makatwiran ang mga numerong \(\pi\) (ang numerong "pi", humigit-kumulang katumbas ng \(3,14\) ), \(e\) (ang numerong ito ay tinatawag na Euler number, humigit-kumulang katumbas ng \(2 ,7\) ) atbp.
\(\bullet\) Pakitandaan na ang anumang numero ay magiging makatwiran o hindi makatwiran. At sama-sama ang lahat ng makatwiran at lahat hindi nakapangangatwiran numero bumuo ng isang set na tinatawag set ng tunay (totoong) mga numero. Ang set na ito ay tinutukoy ng titik \(\mathbb(R)\) .
Nangangahulugan ito na ang lahat ng mga numero na alam natin sa kasalukuyan ay tinatawag na mga tunay na numero.

Katotohanan 5.
Ang \(\bullet\) Modulus ng isang tunay na numero \(a\) ay isang di-negatibong numero \(|a|\) na katumbas ng distansya mula sa puntong \(a\) hanggang \(0\) sa real linya. Halimbawa, ang \(|3|\) at \(|-3|\) ay katumbas ng 3, dahil ang mga distansya mula sa mga puntong \(3\) at \(-3\) hanggang \(0\) ay ang pareho at katumbas ng \(3 \) .
\(\bullet\) Kung ang \(a\) ay isang hindi negatibong numero, kung gayon \(|a|=a\) .
Halimbawa: \(|5|=5\) ; \(\qquad |\sqrt2|=\sqrt2\) . \(\bullet\) Kung ang \(a\) ay isang negatibong numero, kung gayon \(|a|=-a\) .
Halimbawa: \(|-5|=-(-5)=5\) ; \(\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3\).
Sinasabi nila na para sa mga negatibong numero, ang module ay "kumakain" ng minus, at mga positibong numero, pati na rin ang numerong \(0\) , ang module ay umalis na hindi nagbabago.
PERO nalalapat lang ang panuntunang ito sa mga numero. Kung mayroon kang hindi kilalang \(x\) (o iba pang hindi alam) sa ilalim ng module sign, halimbawa, \(|x|\) , na hindi namin alam kung ito ay positibo, katumbas ng zero o negatibo, kung gayon tanggalin ang modyul na hindi natin kaya. Sa kasong ito, ang expression na ito ay nananatiling ganito: \(|x|\) . \(\bullet\) Ang mga sumusunod na formula ay mayroong: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\] \[(\malaki((\sqrt(a))^2=a)), \text( ibinigay ) a\geqslant 0\] Ang sumusunod na pagkakamali ay madalas na ginagawa: sinasabi nila na ang \(\sqrt(a^2)\) at \((\sqrt a)^2\) ay magkaparehong bagay. Ito ay totoo lamang kapag ang \(a\) ay isang positibong numero o zero. Ngunit kung ang \(a\) ay isang negatibong numero, hindi ito totoo. Sapat na isaalang-alang ang gayong halimbawa. Kunin natin ang numerong \(-1\) sa halip na \(a\). Pagkatapos \(\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1\) , ngunit ang expression na \((\sqrt (-1))^2\) ay wala sa lahat (dahil ito ay imposible sa ilalim ng root sign ilagay ang mga negatibong numero!).
Samakatuwid, iginuhit namin ang iyong pansin sa katotohanan na ang \(\sqrt(a^2)\) ay hindi katumbas ng \((\sqrt a)^2\) ! Halimbawa: 1) \(\sqrt(\left(-\sqrt2\right)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2\), dahil \(-\sqrt2<0\) ;

\(\phantom(00000)\) 2) \((\sqrt(2))^2=2\) . \(\bullet\) Dahil \(\sqrt(a^2)=|a|\) , pagkatapos ay \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\] (ang expression na \(2n\) ay nagsasaad ng even na numero)
Iyon ay, kapag kinukuha ang ugat mula sa isang numero na nasa ilang antas, ang antas na ito ay hinahati.
Halimbawa:
1) \(\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64\)
2) \(\sqrt((-25)^2)=|-25|=25\) (tandaan na kung hindi nakatakda ang module, lumalabas na ang ugat ng numero ay katumbas ng \(-25 \); ngunit natatandaan namin , na, sa pamamagitan ng kahulugan ng ugat, hindi ito maaaring: kapag kinukuha ang ugat, dapat lagi tayong makakuha ng positibong numero o zero)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8\) (dahil ang anumang numero sa pantay na kapangyarihan ay hindi negatibo)

Katotohanan 6.
Paano ihambing ang dalawang square roots?
\(\bullet\) True para sa square roots: kung \(\sqrt a<\sqrt b\) , то \(aHalimbawa:
1) ihambing ang \(\sqrt(50)\) at \(6\sqrt2\) . Una, binago namin ang pangalawang expression sa \(\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)\). Kaya, mula noong \(50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Sa pagitan ng aling mga integer ay \(\sqrt(50)\) ?
Dahil \(\sqrt(49)=7\) , \(\sqrt(64)=8\) , at \(49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Paghambingin ang \(\sqrt 2-1\) at \(0,5\) . Ipagpalagay na \(\sqrt2-1>0.5\) : \[\begin(aligned) &\sqrt 2-1>0.5 \ \big| +1\quad \text((magdagdag ng isa sa magkabilang panig))\\ &\sqrt2>0.5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text((kuwadradong magkabilang bahagi))\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end(aligned)\] Nakikita natin na nakakuha tayo ng hindi tamang hindi pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, mali ang aming palagay at \(\sqrt 2-1<0,5\) .
Tandaan na ang pagdaragdag ng isang tiyak na numero sa magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay hindi makakaapekto sa palatandaan nito. Ang pag-multiply/paghahati sa parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang positibong numero ay hindi rin makakaapekto sa sign nito, ngunit ang pag-multiply/paghahati sa isang negatibong numero ay binabaligtad ang tanda ng hindi pagkakapantay-pantay!
Ang magkabilang panig ng isang equation/hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring i-squad LAMANG KUNG ang magkabilang panig ay hindi negatibo. Halimbawa, sa hindi pagkakapantay-pantay mula sa nakaraang halimbawa, maaari mong parisukat ang magkabilang panig, sa hindi pagkakapantay-pantay \(-3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \(\bullet\) Tandaan na \[\begin(aligned) &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end(aligned)\] Ang pag-alam sa tinatayang kahulugan ng mga numerong ito ay makakatulong sa iyo kapag naghahambing ng mga numero! \(\bullet\) Upang makuha ang ugat (kung ito ay nakuha) mula sa ilang malaking bilang na wala sa talahanayan ng mga parisukat, kailangan mo munang matukoy kung aling "daan-daan" ito, pagkatapos ay sa pagitan ng kung aling "sampu", at pagkatapos ay tukuyin ang huling digit ng numerong ito. Ipakita natin kung paano ito gumagana sa isang halimbawa.
Kunin ang \(\sqrt(28224)\) . Alam namin na \(100^2=10\,000\) , \(200^2=40\,000\) at iba pa. Tandaan na ang \(28224\) ay nasa pagitan ng \(10\,000\) at \(40\,000\) . Samakatuwid, ang \(\sqrt(28224)\) ay nasa pagitan ng \(100\) at \(200\) .
Ngayon, tukuyin natin kung aling “sampu” ang ating numero (iyon ay, halimbawa, sa pagitan ng \(120\) at \(130\) ). Alam din natin mula sa talahanayan ng mga parisukat na \(11^2=121\) , \(12^2=144\) atbp., pagkatapos ay \(110^2=12100\) , \(120^2=14400 \ ) , \(130^2=16900\) , \(140^2=19600\) , \(150^2=22500\) , \(160^2=25600\) , \(170^2=28900 \ ). Kaya't nakikita natin na ang \(28224\) ay nasa pagitan ng \(160^2\) at \(170^2\) . Samakatuwid, ang numerong \(\sqrt(28224)\) ay nasa pagitan ng \(160\) at \(170\) .
Subukan nating matukoy ang huling digit. Tandaan natin kung anong mga solong-digit na numero ang ibinibigay sa pag-squaring sa dulo \ (4 \) ? Ito ay ang \(2^2\) at \(8^2\) . Samakatuwid, ang \(\sqrt(28224)\) ay magtatapos sa alinman sa 2 o 8. Suriin natin ito. Hanapin ang \(162^2\) at \(168^2\):
\(162^2=162\cdot 162=26224\)
\(168^2=168\cdot 168=28224\) .
Kaya \(\sqrt(28224)=168\) . Voila!

Upang sapat na malutas ang pagsusulit sa matematika, una sa lahat, kinakailangan na pag-aralan ang teoretikal na materyal, na nagpapakilala ng maraming theorems, formula, algorithm, atbp. Sa unang sulyap, maaaring mukhang ito ay medyo simple. Gayunpaman, ang paghahanap ng mapagkukunan kung saan ang teorya para sa Unified State Examination sa matematika ay ipinakita nang madali at naiintindihan para sa mga mag-aaral na may anumang antas ng pagsasanay, sa katunayan, isang medyo mahirap na gawain. Ang mga aklat-aralin sa paaralan ay hindi laging nasa kamay. At ang paghahanap ng mga pangunahing formula para sa pagsusulit sa matematika ay maaaring maging mahirap kahit sa Internet.

Bakit napakahalagang mag-aral ng teorya sa matematika, hindi lamang para sa mga kumukuha ng pagsusulit?

Dahil pinalalawak nito ang iyong pananaw. Ang pag-aaral ng teoretikal na materyal sa matematika ay kapaki-pakinabang para sa sinumang gustong makakuha ng mga sagot sa malawak na hanay ng mga tanong na may kaugnayan sa kaalaman sa mundo. Lahat ng bagay sa kalikasan ay maayos at may malinaw na lohika. Ito ay tiyak kung ano ang makikita sa agham, kung saan posible na maunawaan ang mundo.
Dahil ito ay nagpapaunlad ng talino. Ang pag-aaral ng mga sangguniang materyales para sa pagsusulit sa matematika, pati na rin ang paglutas ng iba't ibang mga problema, ang isang tao ay natututong mag-isip at mangatuwiran nang lohikal, upang bumalangkas ng mga kaisipan nang tama at malinaw. Nabubuo niya ang kakayahang pag-aralan, gawing pangkalahatan, gumawa ng mga konklusyon.

Inaanyayahan ka naming personal na suriin ang lahat ng mga pakinabang ng aming diskarte sa systematization at pagtatanghal ng mga materyal na pang-edukasyon.