Function graph y x3 2. Quadratic at cubic functions
Pumili kami ng isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate sa eroplano at i-plot ang mga halaga ng argumento sa abscissa axis X, at sa y-axis - ang mga halaga ng function y = f(x).
Function Graph y = f(x) ang hanay ng lahat ng mga punto ay tinatawag, kung saan ang mga abscissas ay nabibilang sa domain ng function, at ang mga ordinates ay katumbas ng kaukulang mga halaga ng function.
Sa madaling salita, ang graph ng function na y \u003d f (x) ay ang hanay ng lahat ng mga punto sa eroplano, ang mga coordinate X, sa na nagbibigay-kasiyahan sa relasyon y = f(x).
Sa fig. Ang 45 at 46 ay mga graph ng mga function y = 2x + 1 At y \u003d x 2 - 2x.
Sa mahigpit na pagsasalita, ang isa ay dapat na makilala sa pagitan ng graph ng isang function (eksaktong kahulugan ng matematika na ibinigay sa itaas) at ang iginuhit na kurba, na palaging nagbibigay lamang ng mas marami o hindi gaanong tumpak na sketch ng graph (at kahit noon, bilang panuntunan, hindi ang buong graph, ngunit ang bahagi lamang nito na matatagpuan sa huling bahagi ng eroplano) . Sa mga sumusunod, gayunpaman, karaniwang tinutukoy namin ang "chart" sa halip na "chart sketch".
Gamit ang isang graph, mahahanap mo ang halaga ng isang function sa isang punto. Namely, kung ang punto x = a nabibilang sa saklaw ng function y = f(x), pagkatapos ay upang mahanap ang numero f(a)(ibig sabihin, ang mga halaga ng function sa punto x = a) dapat gawin ito. Kailangan sa pamamagitan ng isang tuldok na may abscissa x = a gumuhit ng isang tuwid na linya parallel sa y-axis; ang linyang ito ay magsa-intersect sa graph ng function y = f(x) sa isang punto; ang ordinate ng puntong ito ay magiging, sa bisa ng kahulugan ng graph, katumbas ng f(a)(Larawan 47).
Halimbawa, para sa function f(x) = x 2 - 2x gamit ang graph (Larawan 46) makikita natin ang f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, atbp.
Ang isang function graph ay biswal na naglalarawan ng pag-uugali at mga katangian ng isang function. Halimbawa, mula sa isang pagsasaalang-alang ng Fig. 46 ito ay malinaw na ang function y \u003d x 2 - 2x tumatagal ng mga positibong halaga kapag X< 0 at sa x > 2, negatibo - sa 0< x < 2; pinakamaliit na halaga function y \u003d x 2 - 2x tumatanggap sa x = 1.
Upang magplano ng isang function f(x) kailangan mong mahanap ang lahat ng mga punto ng eroplano, mga coordinate X,sa na nagbibigay-kasiyahan sa equation y = f(x). Sa karamihan ng mga kaso, ito ay imposible, dahil mayroong walang katapusang maraming ganoong mga punto. Samakatuwid, ang graph ng function ay inilalarawan nang humigit-kumulang - na may mas malaki o mas mababang katumpakan. Ang pinakasimpleng ay ang multi-point plotting method. Ito ay binubuo sa katotohanan na ang argumento X magbigay ng isang tiyak na bilang ng mga halaga - sabihin, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k at gumawa ng isang talahanayan na kinabibilangan ng mga napiling halaga ng function.
Ang talahanayan ay ganito ang hitsura:
Ang pagkakaroon ng pinagsama-samang tulad ng isang talahanayan, maaari naming balangkasin ang ilang mga punto sa graph ng function y = f(x). Pagkatapos, ikinonekta ang mga puntong ito sa isang makinis na linya, makakakuha tayo ng tinatayang view ng graph ng function y = f(x).
Gayunpaman, dapat tandaan na ang paraan ng multi-point plotting ay hindi maaasahan. Sa katunayan, ang pag-uugali ng graph sa pagitan ng mga markadong punto at ang pag-uugali nito sa labas ng segment sa pagitan ng mga matinding puntos na kinuha ay nananatiling hindi alam.
Halimbawa 1. Upang magplano ng isang function y = f(x) may nag-compile ng table ng argument at function values:
Ang kaukulang limang puntos ay ipinapakita sa Fig. 48.
Batay sa lokasyon ng mga puntong ito, napagpasyahan niya na ang graph ng function ay isang tuwid na linya (ipinapakita sa Fig. 48 ng isang tuldok na linya). Maaari bang ituring na maaasahan ang konklusyong ito? Maliban kung may mga karagdagang pagsasaalang-alang upang suportahan ang konklusyong ito, halos hindi ito maituturing na maaasahan. maaasahan.
Upang patunayan ang aming assertion, isaalang-alang ang function
.
Ipinapakita ng mga kalkulasyon na ang mga halaga ng function na ito sa mga punto -2, -1, 0, 1, 2 ay inilarawan lamang ng talahanayan sa itaas. Gayunpaman, ang graph ng function na ito ay hindi sa lahat ng isang tuwid na linya (ito ay ipinapakita sa Fig. 49). Ang isa pang halimbawa ay ang function y = x + l + sinx; ang mga kahulugan nito ay inilarawan din sa talahanayan sa itaas.
Ang mga halimbawang ito ay nagpapakita na sa kanyang "dalisay" na anyo, ang multi-point plotting na paraan ay hindi maaasahan. Samakatuwid, upang mag-plot ng isang naibigay na function, bilang panuntunan, magpatuloy bilang mga sumusunod. Una, pinag-aaralan ang mga katangian ng pagpapaandar na ito, sa tulong kung saan posible na bumuo ng isang sketch ng graph. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga halaga ng function sa ilang mga punto (ang pagpili kung saan ay depende sa mga set na katangian ng function), ang mga kaukulang punto ng graph ay matatagpuan. At, sa wakas, ang isang kurba ay iginuhit sa pamamagitan ng mga itinayong punto gamit ang mga katangian ng pagpapaandar na ito.
Isasaalang-alang namin ang ilan (ang pinakasimple at madalas na ginagamit) na mga katangian ng mga function na ginamit upang makahanap ng sketch ng isang graph sa ibang pagkakataon, ngunit ngayon ay susuriin namin ang ilang karaniwang ginagamit na mga pamamaraan para sa pag-plot ng mga graph.
Graph ng function na y = |f(x)|.
Kadalasan ay kinakailangan upang magplano ng isang function y = |f(x)|, saan f(x) - sa likod ibinigay na function. Alalahanin kung paano ito ginagawa. Sa pamamagitan ng kahulugan ng ganap na halaga ng isang numero, maaaring magsulat ang isa
Nangangahulugan ito na ang graph ng function y=|f(x)| maaaring makuha mula sa graph, function y = f(x) tulad ng sumusunod: lahat ng mga punto ng graph ng function y = f(x), na ang mga ordinate ay hindi negatibo, ay dapat iwanang hindi nagbabago; higit pa, sa halip na ang mga punto ng graph ng function y = f(x), pagkakaroon ng mga negatibong coordinate, ang isa ay dapat bumuo ng mga kaukulang punto ng graph ng function y = -f(x)(ibig sabihin, bahagi ng function graph
y = f(x), na nasa ibaba ng axis X, ay dapat na maipakita nang simetriko tungkol sa axis X).
Halimbawa 2 I-plot ang isang function y = |x|.
Kinukuha namin ang graph ng function y = x(Fig. 50, a) at bahagi ng graph na ito kung kailan X< 0 (nakahiga sa ilalim ng axis X) ay simetriko na sinasalamin tungkol sa axis X. Bilang resulta, nakukuha namin ang graph ng function y = |x|(Larawan 50, b).
Halimbawa 3. I-plot ang isang function y = |x 2 - 2x|.
Una naming i-plot ang function y = x 2 - 2x. Ang graph ng function na ito ay isang parabola, ang mga sanga nito ay nakadirekta paitaas, ang tuktok ng parabola ay may mga coordinate (1; -1), ang graph nito ay nag-intersect sa abscissa axis sa mga puntos na 0 at 2. Sa pagitan (0; 2). ) ang function ay tumatagal ng mga negatibong halaga, samakatuwid ang bahaging ito ng graph ay sumasalamin sa simetriko tungkol sa x-axis. Ipinapakita ng Figure 51 ang isang graph ng function y \u003d |x 2 -2x |, batay sa graph ng function y = x 2 - 2x
Graph ng function na y = f(x) + g(x)
Isaalang-alang ang problema ng pag-plot ng function y = f(x) + g(x). kung ang mga graph ng mga function ay ibinigay y = f(x) At y = g(x).
Tandaan na ang domain ng function na y = |f(x) + g(х)| ay ang hanay ng lahat ng mga halagang iyon ng x kung saan ang parehong mga function na y = f(x) at y = g(x) ay tinukoy, ibig sabihin, ang domain na ito ng kahulugan ay ang intersection ng mga domain ng kahulugan, ang mga function na f(x ) at g(x).
Hayaan ang mga puntos (x 0, y 1) At (x 0, y 2) ayon sa pagkakabanggit ay kabilang sa mga function graph y = f(x) At y = g(x), ibig sabihin, y 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Pagkatapos ang punto (x0;. y1 + y2) ay kabilang sa graph ng function y = f(x) + g(x)(para sa f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. at anumang punto ng graph ng function y = f(x) + g(x) maaaring makuha sa ganitong paraan. Samakatuwid, ang graph ng function y = f(x) + g(x) maaaring makuha mula sa mga function graph y = f(x). At y = g(x) sa pamamagitan ng pagpapalit ng bawat punto ( x n, y 1) function na graphics y = f(x) tuldok (x n, y 1 + y 2), saan y 2 = g(x n), ibig sabihin, sa pamamagitan ng paglilipat ng bawat punto ( x n, y 1) function graph y = f(x) kasama ang axis sa sa dami y 1 \u003d g (x n). Sa kasong ito, ang mga naturang punto lamang ang isinasaalang-alang. X n kung saan ang parehong mga function ay tinukoy y = f(x) At y = g(x).
Ang pamamaraang ito ng pag-plot ng function graph y = f(x) + g(x) ay tinatawag na pagdaragdag ng mga graph ng mga function y = f(x) At y = g(x)
Halimbawa 4. Sa figure, sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag ng mga graph, ang isang graph ng function ay binuo
y = x + sinx.
Kapag nagpaplano ng isang function y = x + sinx inakala namin yun f(x) = x, ngunit g(x) = sinx. Upang bumuo ng isang function graph, pumili kami ng mga puntos na may abscissas -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Values f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx kakalkulahin namin ang mga napiling punto at ilagay ang mga resulta sa talahanayan.
Aralin sa paksa: "Graph at katangian ng function na $y=x^3$. Mga halimbawa ng plotting"
Mga karagdagang materyales
Minamahal na mga gumagamit, huwag kalimutang iwanan ang iyong mga komento, puna, mungkahi. Ang lahat ng mga materyales ay sinuri ng isang antivirus program.
Mga tulong sa pagtuturo at simulator sa online na tindahan na "Integral" para sa grade 7
Electronic textbook para sa grade 7 "Algebra sa 10 minuto"
Pang-edukasyon complex 1C "Algebra, grades 7-9"
Mga katangian ng function na $y=x^3$
Ilarawan natin ang mga katangian ng function na ito:
1. Ang x ay ang independent variable, ang y ay ang dependent variable.
2. Domain ng kahulugan: malinaw na para sa anumang halaga ng argumento (x) posibleng kalkulahin ang halaga ng function (y). Alinsunod dito, ang domain ng kahulugan ng function na ito ay ang buong linya ng numero.
3. Saklaw ng mga halaga: y ay maaaring maging anuman. Alinsunod dito, ang hanay ay ang buong linya ng numero.
4. Kung x= 0, kung gayon y= 0.
Graph ng function na $y=x^3$
1. Gumawa tayo ng talahanayan ng mga halaga:
2. Para sa mga positibong halaga ng x, ang graph ng function na $y=x^3$ ay halos kapareho sa isang parabola, ang mga sanga nito ay mas "pinipindot" sa OY axis.
3. Dahil para sa mga negatibong halaga Ang x function na $y=x^3$ ay may kabaligtaran na mga halaga, pagkatapos ay simetriko ang graph ng function na may kinalaman sa pinagmulan.
Ngayon markahan natin ang mga punto sa coordinate plane at bumuo ng isang graph (tingnan ang Fig. 1).
Ang kurba na ito ay tinatawag na cubic parabola.
Mga halimbawa
I. Ganap na natapos sa isang maliit na barko sariwang tubig. Kinakailangang magdala ng sapat na tubig mula sa lungsod. Ang tubig ay iniutos nang maaga at binayaran para sa isang buong kubo, kahit na punan mo ito ng kaunti. Gaano karaming mga cube ang dapat i-order upang hindi mag-overpay para sa isang dagdag na cube at ganap na mapuno ang tangke? Ito ay kilala na ang tangke ay may parehong haba, lapad at taas, na katumbas ng 1.5 m. Solusyonan natin ang problemang ito nang hindi nagsasagawa ng mga kalkulasyon.
Solusyon:
1. I-plot natin ang function na $y=x^3$.
2. Hanapin ang punto A, coordinate x, na katumbas ng 1.5. Nakikita namin na ang function coordinate ay nasa pagitan ng mga halaga 3 at 4 (tingnan ang Fig. 2). Kaya kailangan mong mag-order ng 4 na cubes.
Ang pagbuo ng mga graph ng mga function na naglalaman ng mga module ay kadalasang nagdudulot ng malaking kahirapan para sa mga mag-aaral. Gayunpaman, ang lahat ay hindi masyadong masama. Ito ay sapat na upang matandaan ang ilang mga algorithm para sa paglutas ng mga naturang problema, at maaari mong madaling bumuo ng isang graph kahit na para sa pinaka tila. kumplikadong pag-andar. Tingnan natin kung ano ang mga algorithm na ito.
1. Pag-plot ng function na y = |f(x)|
Tandaan na ang hanay ng mga halaga ng function y = |f(x)| : y ≥ 0. Kaya, ang mga graph ng naturang mga function ay palaging ganap na matatagpuan sa itaas na kalahating eroplano.
Pag-plot ng function na y = |f(x)| ay binubuo ng sumusunod na simpleng apat na hakbang.
1) Buuin nang mabuti at maingat ang graph ng function na y = f(x).
2) Iwanang hindi nagbabago ang lahat ng punto ng graph na nasa itaas o sa 0x axis.
3) Ang bahagi ng graph na nasa ibaba ng 0x axis, ay nagpapakita ng simetriko tungkol sa 0x axis.
Halimbawa 1. Gumuhit ng graph ng function na y = |x 2 - 4x + 3|
1) Bumubuo kami ng isang graph ng function na y \u003d x 2 - 4x + 3. Malinaw na ang graph ng function na ito ay isang parabola. Hanapin natin ang mga coordinate ng lahat ng mga punto ng intersection ng parabola na may mga coordinate axes at mga coordinate ng vertex ng parabola.
x 2 - 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Samakatuwid, ang parabola ay nag-intersect sa 0x axis sa mga punto (3, 0) at (1, 0).
y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.
Samakatuwid, ang parabola ay nag-intersect sa 0y axis sa punto (0, 3).
Mga coordinate ng parabola vertex:
x sa \u003d - (-4/2) \u003d 2, y sa \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1.
Samakatuwid, ang punto (2, -1) ay ang vertex ng parabola na ito.
Gumuhit ng parabola gamit ang natanggap na data (Larawan 1)
2) Ang bahagi ng graph na nasa ibaba ng 0x axis ay ipinapakita sa simetriko na may kinalaman sa 0x axis.
3) Nakukuha namin ang graph ng orihinal na function ( kanin. 2, ipinapakita ng may tuldok na linya).
2. Pag-plot ng function na y = f(|x|)
Tandaan na ang mga function ng form na y = f(|x|) ay pantay:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Nangangahulugan ito na ang mga graph ng naturang mga function ay simetriko tungkol sa 0y axis.
Ang pag-plot ng function na y = f(|x|) ay binubuo ng mga sumusunod na simpleng hanay ng mga aksyon.
1) I-plot ang function na y = f(x).
2) Iwanan ang bahaging iyon ng graph kung saan ang x ≥ 0, iyon ay, ang bahagi ng graph na matatagpuan sa kanang kalahating eroplano.
3) Ipakita ang bahagi ng graph na tinukoy sa talata (2) nang simetriko sa 0y axis.
4) Bilang panghuling graph, piliin ang unyon ng mga kurba na nakuha sa mga talata (2) at (3).
Halimbawa 2. Gumuhit ng graph ng function na y = x 2 – 4 · |x| + 3
Dahil x 2 = |x| 2 , kung gayon ang orihinal na function ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. At ngayon ay maaari nating ilapat ang algorithm na iminungkahi sa itaas.
1) Maingat at maingat naming binuo ang graph ng function y \u003d x 2 - 4 x + 3 (tingnan din kanin. isa).
2) Iniiwan namin ang bahaging iyon ng graph kung saan ang x ≥ 0, iyon ay, ang bahagi ng graph na matatagpuan sa kanang kalahating eroplano.
3) Pagpapakita kanang bahagi graphics simetriko sa 0y axis.
(Larawan 3).
Halimbawa 3. Gumuhit ng graph ng function na y = log 2 |x|
Inilapat namin ang scheme na ibinigay sa itaas.
1) Pinulot namin ang function na y = log 2 x (Larawan 4).
3. Pag-plot ng function na y = |f(|x|)|
Tandaan na ang mga function ng form na y = |f(|x|)| ay pantay din. Sa katunayan, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), at samakatuwid, ang kanilang mga graph ay simetriko tungkol sa 0y axis. Ang hanay ng mga halaga ng naturang mga pag-andar: y ≥ 0. Samakatuwid, ang mga graph ng naturang mga function ay ganap na matatagpuan sa itaas na kalahating eroplano.
Upang i-plot ang function na y = |f(|x|)|, kailangan mong:
1) Bumuo ng maayos na graph ng function na y = f(|x|).
2) Iwanang hindi nagbabago ang bahagi ng graph na nasa itaas o sa 0x axis.
3) Ang bahagi ng graph na matatagpuan sa ibaba ng 0x axis ay dapat ipakita sa simetriko na may kinalaman sa 0x axis.
4) Bilang panghuling graph, piliin ang unyon ng mga kurba na nakuha sa mga talata (2) at (3).
Halimbawa 4. Gumuhit ng graph ng function na y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Tandaan na x 2 = |x| 2. Kaya, sa halip na ang orihinal na function y = -x 2 + 2|x| - isa
maaari mong gamitin ang function na y = -|x| 2 + 2|x| – 1, dahil pareho ang kanilang mga graph.
Bumubuo kami ng graph na y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Para dito, ginagamit namin ang algorithm 2.
a) Pino-plot namin ang function y \u003d -x 2 + 2x - 1 (Larawan 6).
b) Iniiwan namin ang bahaging iyon ng graph, na matatagpuan sa kanang kalahating eroplano.
c) Ipakita ang resultang bahagi ng graph nang simetriko sa 0y axis.
d) Ang resultang graph ay ipinapakita sa figure na may tuldok na linya (Larawan 7).
2) Walang mga punto sa itaas ng 0x axis, iniiwan namin ang mga puntos sa 0x axis na hindi nagbabago.
3) Ang bahagi ng graph na matatagpuan sa ibaba ng 0x axis ay ipinapakita sa simetriko na may paggalang sa 0x.
4) Ang resultang graph ay ipinapakita sa figure sa pamamagitan ng isang tuldok na linya (Larawan 8).
Halimbawa 5. I-plot ang function na y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Una kailangan mong i-plot ang function na y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Upang gawin ito, bumalik kami sa algorithm 2.
a) Maingat na i-plot ang function na y = (2x – 4) / (x + 3) (Larawan 9).
Tandaan na ang function na ito ay linear-fractional at ang graph nito ay hyperbola. Upang bumuo ng isang curve, kailangan mo munang hanapin ang mga asymptotes ng graph. Pahalang - y \u003d 2/1 (ang ratio ng mga coefficient sa x sa numerator at denominator ng isang fraction), patayo - x \u003d -3.
2) Ang bahagi ng tsart na nasa itaas o sa 0x axis ay iiwang hindi magbabago.
3) Ang bahagi ng tsart na matatagpuan sa ibaba ng 0x axis ay ipapakita sa simetriko na may paggalang sa 0x.
4) Ang huling graph ay ipinapakita sa figure (Larawan 11).
site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, kinakailangan ang isang link sa pinagmulan.
"Natural na logarithm" - 0.1. natural logarithms. 4. "Logarithmic darts". 0.04. 7.121.
"Power function grade 9" - U. Cubic parabola. Y = x3. Guro sa Baitang 9 na si Ladoshkina I.A. Y = x2. Hyperbola. 0. Y \u003d xn, y \u003d x-n kung saan n ang ibinigay natural na numero. X. Ang exponent ay isang natural na numero (2n).
"Quadratic function" - 1 Quadratic function definition 2 Function properties 3 Function graphs 4 Quadratic inequalities 5 Konklusyon. Properties: Inequalities: Inihanda ni Andrey Gerlitz, isang mag-aaral sa grade 8A. Plano: Graph: -Mga agwat ng monotonicity sa isang > 0 sa a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
"Quadratic function and its graph" - Desisyon. y \u003d 4x A (0.5: 1) 1 \u003d 1 A- belongs. Kapag a=1, ang formula na y=ax ay nasa anyo.
"Class 8 quadratic function" - 1) Buuin ang tuktok ng parabola. Pag-plot ng quadratic function. x. -7. I-plot ang function. Algebra Grade 8 Teacher 496 school Bovina TV -1. Plano sa pagtatayo. 2) Buuin ang axis ng symmetry x=-1. y.
Ang function na y=x^2 ay tinatawag na quadratic function. Ang graph ng isang quadratic function ay isang parabola. Pangkalahatang anyo Ang parabola ay ipinapakita sa figure sa ibaba.
quadratic function
Fig 1. Pangkalahatang view ng parabola
Tulad ng makikita mula sa graph, ito ay simetriko tungkol sa Oy axis. Ang axis Oy ay tinatawag na axis of symmetry ng parabola. Nangangahulugan ito na kung gumuhit ka ng isang tuwid na linya parallel sa axis ng Ox sa itaas ng axis na ito sa chart. Pagkatapos ay i-intersect nito ang parabola sa dalawang punto. Magiging pareho ang distansya mula sa mga puntong ito sa y-axis.
Hinahati ng axis ng symmetry ang graph ng parabola, kumbaga, sa dalawang bahagi. Ang mga bahaging ito ay tinatawag na mga sanga ng parabola. At ang punto ng parabola na namamalagi sa axis ng symmetry ay tinatawag na vertex ng parabola. Iyon ay, ang axis ng symmetry ay dumadaan sa tuktok ng parabola. Ang mga coordinate ng puntong ito ay (0;0).
Mga pangunahing katangian ng isang quadratic function
1. Para sa x=0, y=0, at y>0 para sa x0
2. Naabot ng quadratic function ang pinakamababang halaga nito sa vertex nito. Ymin sa x=0; Dapat ding tandaan na ang maximum na halaga ng function ay hindi umiiral.
3. Bumababa ang function sa pagitan (-∞; 0] at tumataas sa pagitan )
