Arcsin x derivative. Bumili ng diploma ng mas mataas na edukasyon sa murang halaga

Ang pagkalkula ng derivative ay madalas na matatagpuan sa GAMITIN ang mga takdang-aralin. Itong pahina naglalaman ng isang listahan ng mga formula para sa paghahanap ng mga derivatives.

Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba

1. (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Derivative ng isang kumplikadong function. Kung y=F(u) at u=u(x), kung gayon ang function na y=f(x)=F(u(x)) ay tinatawag na complex function ng x. Ay katumbas ng y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Derivative ng isang implicit function. Ang function na y=f(x) ay tinatawag na implicit function na ibinigay ng ugnayang F(x,y)=0 kung F(x,f(x))≡0.
6. Derivative baligtad na pag-andar. Kung g(f(x))=x, kung gayon ang function na g(x) ay tinatawag na inverse function para sa function na y=f(x).
7. Derivative ng isang parametrically given function. Hayaang ibigay ang x at y bilang mga function ng variable t: x=x(t), y=y(t). Sinasabi nila na y=y(x) parametrically ibinigay na function sa interval x∈ (a;b), kung sa interval na ito ang equation na x=x(t) ay maaaring ipahayag bilang t=t(x) at ang function na y=y(t(x))=y(x) maaaring tukuyin.
8. Derivative ng exponential function. Ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagkuha ng logarithm sa base ng natural na logarithm.

Kapag hinango ang pinakaunang formula ng talahanayan, magpapatuloy tayo mula sa kahulugan ng derivative ng isang function sa isang punto. Dalhin natin kung saan x- anumang tunay na numero, iyon ay, x– anumang numero mula sa lugar ng kahulugan ng function . Isulat natin ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function sa pagtaas ng argumento sa :

Dapat pansinin na sa ilalim ng tanda ng limitasyon, ang isang expression ay nakuha, na hindi ang kawalan ng katiyakan ng zero na hinati ng zero, dahil ang numerator ay naglalaman ng hindi isang infinitesimal na halaga, ngunit tiyak na zero. Sa madaling salita, ang pagtaas ng isang pare-parehong pag-andar ay palaging zero.

Sa ganitong paraan, derivative ng isang pare-parehong functionay katumbas ng zero sa buong domain ng kahulugan.

Derivative ng isang power function.

Derivative na Formula function ng kapangyarihan may porma , kung saan ang exponent p ay anumang tunay na numero.

Patunayan muna natin ang formula para sa natural na exponent, iyon ay, para sa p = 1, 2, 3, ...

Gagamitin namin ang kahulugan ng isang derivative. Isulat natin ang limitasyon ng ratio ng pagtaas ng function ng kapangyarihan sa pagtaas ng argumento:

Upang gawing simple ang expression sa numerator, bumaling tayo sa binomial formula ng Newton:

Dahil dito,

Pinatutunayan nito ang formula para sa derivative ng isang power function para sa isang natural na exponent.

Derivative ng exponential function.

Nakukuha namin ang derivative formula batay sa kahulugan:

Dumating sa kawalan ng katiyakan. Upang palawakin ito, ipinakilala namin ang isang bagong variable , at para sa . Tapos . Sa huling paglipat, ginamit namin ang formula para sa paglipat sa isang bagong base ng logarithm.

Magsagawa tayo ng pagpapalit sa orihinal na limitasyon:

Kung naaalala natin ang pangalawang kahanga-hangang limitasyon, darating tayo sa formula para sa derivative ng exponential function:

Derivative ng isang logarithmic function.

Patunayan natin ang formula para sa derivative ng logarithmic function para sa lahat x mula sa saklaw at lahat ng wastong base value a logarithm. Sa pamamagitan ng kahulugan ng derivative, mayroon kaming:

Tulad ng napansin mo, sa patunay, ang mga pagbabago ay isinagawa gamit ang mga katangian ng logarithm. Pagkakapantay-pantay ay may bisa dahil sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon.

Mga derivative ng trigonometriko function.

Upang makakuha ng mga formula para sa mga derivatives ng trigonometriko function, kailangan nating alalahanin ang ilang mga formula ng trigonometry, pati na rin ang unang kapansin-pansin na limitasyon.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng derivative para sa sine function, mayroon kami .

Ginagamit namin ang formula para sa pagkakaiba ng mga sine:

Ito ay nananatiling lumiko sa unang kapansin-pansing limitasyon:

Kaya ang derivative ng function kasalanan x meron kasi x.

Ang formula para sa cosine derivative ay napatunayan sa eksaktong parehong paraan.

Samakatuwid, ang derivative ng function kasi x meron – kasalanan x.

Ang derivation ng mga formula para sa table ng derivatives para sa tangent at cotangent ay isasagawa gamit ang mga napatunayang tuntunin ng differentiation (derivative ng isang fraction).

Mga derivative ng hyperbolic function.

Ang mga alituntunin ng pagkita ng kaibhan at ang formula para sa derivative ng exponential function mula sa talahanayan ng mga derivatives ay nagbibigay-daan sa amin upang makakuha ng mga formula para sa mga derivatives ng hyperbolic sine, cosine, tangent at cotangent.

Derivative ng inverse function.

Upang walang kalituhan sa pagtatanghal, tukuyin natin sa mas mababang index ang argumento ng function kung saan ginaganap ang pagkita ng kaibhan, iyon ay, ito ay ang derivative ng function. f(x) sa x.

Ngayon nag-formulate kami panuntunan para sa paghahanap ng derivative ng inverse function.

Hayaan ang mga function y = f(x) at x = g(y) magkabaligtaran, tinukoy sa mga pagitan at ayon sa pagkakabanggit. Kung sa isang punto ay mayroong isang finite non-zero derivative ng function f(x), pagkatapos ay sa puntong mayroong isang finite derivative ng inverse function g(y), at . Sa ibang entry .

Maaaring baguhin ang panuntunang ito para sa alinman x mula sa pagitan , pagkatapos ay makuha namin .

Suriin natin ang bisa ng mga formula na ito.

Hanapin natin ang inverse function para sa natural logarithm (dito y ay isang function, at x- argumento). Paglutas ng equation na ito para sa x, nakukuha natin (dito x ay isang function, at y kanyang argumento). Yan ay, at magkabaligtaran na mga pag-andar.

Mula sa talahanayan ng mga derivatives, makikita natin iyon at .

Siguraduhin natin na ang mga formula para sa paghahanap ng mga derivatives ng inverse function ay magdadala sa atin sa parehong mga resulta:

Ang derivation ng first order derivatives ng arcsine (arcsin x)′ at ang arccosine (arccos x)′ ay ipinakita. Para sa bawat isa sa mga function, ang output ay ibinibigay sa dalawang paraan.

Dito ipinapalagay natin na alam natin ang mga derivatives ng sine at cosine. Susunod, nakukuha namin ang mga derivatives ng arcsine at arccosine, na ibinigay na sila ay inverses ng sine at cosine, ayon sa pagkakabanggit.

Derivative ng derivative ng arcsine

Isaalang-alang ang arcsine function ng variable x :
y= arcsin x.
- 1 dati + 1 :
.
- π/2 dati + π/2:
.
Ang arcsine function ay ang kabaligtaran ng sine function:
x= siny.

Upang matukoy ang derivative ng arcsine, inilalapat namin ang formula para sa derivative ng inverse function:
(1) .

Alam natin ang derivative ng sine. Karaniwan itong nakasulat sa sumusunod na anyo:
.
Dito .
,
saan .
Palitan sa formula (1):
(2) .
Dito
y= arcsin x;
x= siny.

Ngayon ipinapahayag namin kanang bahagi formula (2) sa pamamagitan ng variable x . Para dito, tandaan namin na mula noong , noon . Pagkatapos
.
Palitan sa formula (2):
.

Kaya, nakuha namin ang formula para sa derivative ng arcsine:
.

Pangalawang paraan

Dahil ang arcsine at sine ay kabaligtaran na mga pag-andar na may paggalang sa isa't isa, kung gayon
(3) .
Dito .
Ibahin natin ang equation na ito na may paggalang sa variable na x. Iyon ay, hinahanap natin ang mga derivatives ng kaliwa at kanang bahagi at itinutumbas ang mga ito sa isa't isa:
(4) .

Nahanap namin ang derivative ng kanang bahagi mula sa talahanayan ng mga derivatives:
.

Nahanap namin ang derivative ng kaliwang bahagi sa pamamagitan ng formula para sa derivative ng isang kumplikadong function:
.
Dito .
Dahil, kung gayon. kaya lang
.
Pagkatapos
.

Palitan sa (4):
.
Mula rito
.

Derivation ng arccosine derivative

Gamit ang relasyon sa pagitan ng arcsine at arccosine

Ang derivative ng arc cosine ay madaling makuha mula sa derivative ng arc sine, kung gagamitin mo ang relasyon sa pagitan ng arc sine at arc cosine:
.
Mula rito
.

Ayon sa formula para sa derivative ng inverse function

Gayundin, ang derivative ng arc cosine ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula para sa derivative ng inverse function.

Isaalang-alang ang arccosine function:
y= arccos x.
Dito ang malayang variable na x ay maaaring kumuha ng mga halaga mula sa - 1 dati + 1 :
.
Dependent variable y ay maaaring kumuha ng mga halaga mula sa 0 dati π :
.
Ang arccosine function ay ang kabaligtaran ng cosine function:
x= dahil y.

Inilapat namin ang formula para sa derivative ng inverse function:
(1) .

Alam natin ang cosine derivative:
.
Dito .
Ipagpalit natin ang notasyon ng mga variable na x at y . Pagkatapos
,
saan .
Palitan sa formula (1):
(5) .
Dito
y= arccos x;
x= dahil y.

Ngayon ipahayag natin ang kanang bahagi ng formula (5) sa pamamagitan ng variable x . Dahil, kung gayon. Pagkatapos
.
Palitan sa formula (5):
.

Kaya, nakuha namin ang formula para sa derivative ng arc cosine:
.

• Talaan ng mga derivative ng exponential at logarithmic function

Mga derivatives ng mga simpleng function

Paliwanag:
Ipinapakita ng derivative ang rate kung saan nagbabago ang halaga ng function kapag nagbago ang argumento. Dahil ang numero ay hindi nagbabago sa anumang paraan sa ilalim ng anumang mga kundisyon, ang rate ng pagbabago nito ay palaging zero.

2. Derivative ng isang variable katumbas ng isa
x' = 1

Paliwanag:
Sa bawat pagtaas ng argument (x) ng isa, ang halaga ng function (resulta ng pagkalkula) ay tumataas ng parehong halaga. Kaya, ang rate ng pagbabago ng halaga ng function na y = x ay eksaktong katumbas ng rate ng pagbabago ng halaga ng argumento.

3. Ang derivative ng variable at factor ay katumbas ng factor na ito
сx´ = с
Halimbawa:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Paliwanag:
Sa kasong ito, sa bawat oras na ang function argument ( X) ang halaga nito (y) ay lumalaki Sa minsan. Kaya, ang rate ng pagbabago ng halaga ng function na may paggalang sa rate ng pagbabago ng argumento ay eksaktong katumbas ng halaga Sa.

Kung saan sinusundan iyon
(cx + b)" = c
ibig sabihin, ang pagkakaiba ng linear function na y=kx+b ay katumbas ng slope ng tuwid na linya (k).

5. Power derivative ng isang variable ay katumbas ng produkto ng bilang ng kapangyarihang ito at ang variable sa kapangyarihan, na nabawasan ng isa
(x c)"= cx c-1, sa kondisyon na ang x c at cx c-1 ay tinukoy at c ≠ 0
Halimbawa:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Upang isaulo ang formula:
Kunin ang exponent ng variable na "pababa" bilang isang multiplier, at pagkatapos ay bawasan ang exponent mismo ng isa. Halimbawa, para sa x 2 - ang dalawa ay nauuna sa x, at pagkatapos ay ang pinababang kapangyarihan (2-1=1) ay nagbigay lamang sa amin ng 2x. Ang parehong bagay ay nangyari para sa x 3 - binabaan namin ang triple, bawasan ito ng isa at sa halip na isang kubo mayroon kaming isang parisukat, iyon ay, 3x 2 . Medyo "unscientific", ngunit napakadaling tandaan.

6.Fraction derivative 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Halimbawa:
Dahil ang isang fraction ay maaaring katawanin bilang pagtaas sa negatibong kapangyarihan
(1/x)" = (x -1)" , pagkatapos ay maaari mong ilapat ang formula mula sa panuntunan 5 ng derivatives table
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Fraction derivative na may variable na di-makatwirang antas sa denominator
(1/x c)" = - c / x c+1
Halimbawa:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. pinagmulang ugat(derivative ng variable sa ilalim parisukat na ugat)
(√x)" = 1 / (2√x) o 1/2 x -1/2
Halimbawa:
(√x)" = (x 1/2)" para mailapat mo ang formula mula sa panuntunan 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivative ng isang variable sa ilalim ng root ng isang arbitrary degree
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

Kahulugan. Hayaang tukuyin ang function na \(y = f(x) \) sa ilang pagitan na naglalaman ng puntong \(x_0 \) sa loob. Dagdagan natin ang \(\Delta x \) sa argumento upang hindi umalis sa agwat na ito. Hanapin ang katumbas na pagtaas ng function na \(\Delta y \) (kapag dumadaan mula sa puntong \(x_0 \) patungo sa puntong \(x_0 + \Delta x \)) at buuin ang kaugnayan \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Kung may limitasyon ang kaugnayang ito sa \(\Delta x \rightarrow 0 \), kung gayon ang ipinahiwatig na limitasyon ay tinatawag derivative function\(y=f(x) \) sa puntong \(x_0 \) at tukuyin ang \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Ang simbolo na y ay kadalasang ginagamit upang tukuyin ang derivative. Tandaan na ang y" = f(x) ay bagong feature, ngunit natural na nauugnay sa function na y = f(x) na tinukoy sa lahat ng mga puntong x kung saan umiiral ang limitasyon sa itaas. Ang function na ito ay tinatawag na ganito: derivative ng function na y \u003d f (x).

Ang geometric na kahulugan ng derivative binubuo ng mga sumusunod. Kung ang isang tangent na hindi parallel sa y axis ay maaaring iguhit sa graph ng function na y \u003d f (x) sa isang punto na may abscissa x \u003d a, kung gayon ang f (a) ay nagpapahayag ng slope ng tangent:
\(k = f"(a)\)

Dahil \(k = tg(a) \), ang pagkakapantay-pantay \(f"(a) = tg(a) \) ay totoo.

At ngayon binibigyang-kahulugan natin ang kahulugan ng derivative sa mga tuntunin ng tinatayang pagkakapantay-pantay. Hayaang magkaroon ng derivative ang function na \(y = f(x) \) sa isang partikular na punto \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Nangangahulugan ito na malapit sa puntong x, ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), ibig sabihin, \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\). Ang makabuluhang kahulugan ng nakuhang tinatayang pagkakapantay-pantay ay ang mga sumusunod: ang pagtaas ng function ay "halos proporsyonal" sa pagtaas ng argumento, at ang koepisyent ng proporsyonalidad ay ang halaga ng derivative sa ibinigay na punto X. Halimbawa, para sa function na \(y = x^2 \) ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) ay totoo. Kung maingat nating susuriin ang kahulugan ng derivative, makikita natin na naglalaman ito ng algorithm para sa paghahanap nito.

Buuin natin ito.

Paano mahahanap ang derivative ng function y \u003d f (x) ?

1. Ayusin ang halaga \(x \), hanapin \(f(x) \)
2. Dagdagan ang \(x \) argument \(\Delta x \), lumipat sa isang bagong punto \(x+ \Delta x \), hanapin \(f(x+ \Delta x) \)
3. Hanapin ang pagtaas ng function: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Buuin ang kaugnayan \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Kalkulahin ang $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ang limitasyong ito ay ang derivative ng function sa x.

Kung ang function na y = f(x) ay may derivative sa puntong x, kung gayon ito ay tinatawag na differentiable sa puntong x. Ang pamamaraan para sa paghahanap ng derivative ng function y \u003d f (x) ay tinatawag pagkakaiba-iba mga function y = f(x).

Talakayin natin ang sumusunod na tanong: paano nauugnay ang continuity at differentiability ng isang function sa isang punto?

Hayaan ang function na y = f(x) na maging differentiable sa puntong x. Pagkatapos ay maaaring iguhit ang isang tangent sa graph ng function sa puntong M (x; f (x)) at, tandaan, ang slope ng tangent ay katumbas ng f "(x). Ang nasabing graph ay hindi maaaring "masira" sa ang punto M, ibig sabihin, ang function ay dapat na tuloy-tuloy sa x.

Ito ay pangangatwiran "sa mga daliri". Magharap tayo ng mas mahigpit na argumento. Kung ang function na y = f(x) ay naiba-iba sa puntong x, ang tinatayang pagkakapantay-pantay \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) ay magkakaroon. zero, pagkatapos ay \(\Delta y \ ) ay magkakaroon din ng zero, at ito ang kundisyon para sa pagpapatuloy ng function sa isang punto.

Kaya, kung ang isang function ay naiba-iba sa isang puntong x, kung gayon ito ay tuloy-tuloy din sa puntong iyon.

Ang kabaligtaran ay hindi totoo. Halimbawa: function y = |x| ay tuloy-tuloy sa lahat ng dako, lalo na sa puntong x = 0, ngunit ang padaplis sa graph ng function sa “joint point” (0; 0) ay hindi umiiral. Kung sa isang punto imposibleng gumuhit ng tangent sa function graph, kung gayon walang derivative sa puntong ito.

Isa pang halimbawa. Ang function na \(y=\sqrt(x) \) ay tuloy-tuloy sa buong linya ng numero, kabilang ang sa puntong x = 0. At ang tangent sa graph ng function ay umiiral sa anumang punto, kabilang ang sa puntong x = 0 Ngunit sa puntong ito ang tangent ay tumutugma sa y-axis, iyon ay, ito ay patayo sa abscissa axis, ang equation nito ay may anyo x \u003d 0. Slope walang ganoong linya, na nangangahulugan na ang \(f"(0) \) ay wala rin

Kaya, nakilala namin ang isang bagong pag-aari ng isang function - ang pagkakaiba-iba. Paano mo malalaman kung ang isang function ay naiba sa graph ng isang function?

Ang sagot ay talagang ibinigay sa itaas. Kung sa ilang mga punto ang isang tangent ay maaaring iguguhit sa graph ng isang function na hindi patayo sa x-axis, sa puntong ito ang function ay differentiable. Kung sa ilang mga punto ang tangent sa graph ng function ay hindi umiiral o ito ay patayo sa x-axis, pagkatapos ay sa puntong ito ang function ay hindi differentiable.

Mga panuntunan sa pagkakaiba-iba

Ang operasyon ng paghahanap ng derivative ay tinatawag pagkakaiba-iba. Kapag nagsasagawa ng operasyong ito, madalas kang kailangang magtrabaho sa mga quotient, sums, mga produkto ng mga function, pati na rin sa "mga function ng mga function", iyon ay, kumplikadong mga function. Batay sa kahulugan ng derivative, maaari tayong makakuha ng mga panuntunan sa pagkita ng kaibhan na nagpapadali sa gawaing ito. Kung ang C ay isang pare-parehong numero at f=f(x), g=g(x) ay ilang mga function na naiba-iba, kung gayon ang mga sumusunod ay totoo mga panuntunan sa pagkakaiba-iba:

Talaan ng mga derivatives ng ilang function