Paano malutas ang isang hindi magkakatulad na equation ng kaugalian. Linear inhomogeneous second order differential equation na may pare-parehong coefficient

Sa panayam, pinag-aaralan ang mga LNDE - linear inhomogeneous differential equation. Ang istraktura ng pangkalahatang solusyon ay isinasaalang-alang, ang solusyon ng LPDE sa pamamagitan ng paraan ng pagkakaiba-iba ng mga di-makatwirang constants, ang solusyon ng LDDE na may pare-parehong mga coefficient at ang kanang bahagi ng isang espesyal na anyo. Ang mga isyung isinasaalang-alang ay ginagamit sa pag-aaral ng sapilitang mga oscillation sa physics, electrical engineering at electronics, at ang teorya ng awtomatikong kontrol.

1. Structure ng pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous differential equation ng 2nd order.

Isaalang-alang muna natin ang isang linear inhomogeneous equation ng arbitrary order:

Isinasaalang-alang ang notasyon, maaari naming isulat:

Sa kasong ito, ipagpalagay namin na ang mga coefficient at ang kanang bahagi ng equation na ito ay tuloy-tuloy sa isang tiyak na pagitan.

Teorama. Ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous differential equation sa isang tiyak na domain ay ang kabuuan ng alinman sa mga solusyon nito at ang pangkalahatang solusyon ng kaukulang linear homogeneous differential equation.

Patunay. Hayaang maging solusyon ang Y sa isang hindi magkakatulad na equation.

Pagkatapos, kapag pinapalitan ang solusyon na ito sa orihinal na equation, nakukuha natin ang pagkakakilanlan:

Hayaan
- pangunahing sistema mga linear na solusyon homogenous equation
. Pagkatapos ang pangkalahatang solusyon ng homogenous na equation ay maaaring isulat bilang:

Sa partikular, para sa isang linear inhomogeneous differential equation ng 2nd order, ang istraktura ng pangkalahatang solusyon ay may anyo:

saan
ay ang pangunahing sistema ng mga solusyon sa katumbas na homogenous equation, at
- anumang partikular na solusyon ng isang inhomogeneous equation.

Kaya, upang malutas ang isang linear inhomogeneous differential equation, kinakailangan upang makahanap ng isang pangkalahatang solusyon sa katumbas na homogeneous equation at kahit papaano ay makahanap ng isang partikular na solusyon. hindi magkakatulad na equation. Kadalasan ito ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagpili. Isasaalang-alang namin ang mga paraan para sa pagpili ng pribadong solusyon sa mga sumusunod na tanong.

2. Paraan ng pagkakaiba-iba

Sa pagsasagawa, ito ay maginhawa upang gamitin ang paraan ng iba't ibang mga arbitrary constants.

Upang gawin ito, maghanap muna ng pangkalahatang solusyon sa katumbas na homogenous na equation sa anyo:

Pagkatapos, paglalagay ng mga coefficient C i mga function mula sa X, hinahangad ang isang solusyon sa hindi magkakatulad na equation:

Ito ay maaaring patunayan na upang mahanap ang mga function C i (x) kailangan nating lutasin ang sistema ng mga equation:

Halimbawa. Lutasin ang equation

Paglutas ng isang linear homogenous equation

Ang solusyon sa inhomogeneous equation ay magkakaroon ng anyo:

Gumawa tayo ng isang sistema ng mga equation:

Lutasin natin ang sistemang ito:

Mula sa kaugnayan nahanap namin ang function Oh).

Ngayon nahanap namin B(x).

Pinapalitan namin ang nakuha na mga halaga sa formula para sa pangkalahatang solusyon ng hindi magkakatulad na equation:

Panghuling sagot:

Sa pangkalahatan, ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga arbitrary na constant ay angkop para sa paghahanap ng mga solusyon sa anumang linear inhomogeneous equation. Pero kasi Ang paghahanap ng pangunahing sistema ng mga solusyon sa katumbas na homogenous na equation ay maaaring maging isang mahirap na gawain; ang pamamaraang ito ay pangunahing ginagamit para sa mga hindi magkakatulad na equation na may pare-parehong coefficient.

3. Mga equation na may kanang bahagi espesyal na uri

Mukhang posible na isipin ang uri ng isang partikular na solusyon depende sa uri ng kanang bahagi ng inhomogeneous equation.

Ang mga sumusunod na kaso ay nakikilala:

I. Ang kanang bahagi ng linear inhomogeneous differential equation ay may anyo:

kung saan ay isang polynomial ng degree m.

Pagkatapos ang isang partikular na solusyon ay hinahangad sa form:

Dito Q(x) - isang polynomial ng parehong antas ng P(x) , ilong hindi tiyak na mga coefficient, A r– isang numerong nagpapakita kung gaano karaming beses ang numerong  ang ugat ng katangiang equation para sa katumbas na linear homogeneous differential equation.

Halimbawa. Lutasin ang equation
.

Lutasin natin ang katumbas na homogenous equation:

Ngayon hanapin natin ang isang partikular na solusyon sa orihinal na hindi magkakatulad na equation.

Ihambing natin ang kanang bahagi ng equation sa anyo ng kanang bahagi na tinalakay sa itaas.

Naghahanap kami ng isang partikular na solusyon sa form:
, Saan

Yung.

Ngayon, tukuyin natin ang hindi kilalang coefficient A At SA.

Ipalit natin ang partikular na solusyon sa pangkalahatang anyo sa orihinal na inhomogeneous differential equation.

Kabuuan, pribadong solusyon:

Pagkatapos ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous differential equation ay:

II. Ang kanang bahagi ng linear inhomogeneous differential equation ay may anyo:

Dito R 1 (X) At R 2 (X)– polynomials ng degree m 1 at m 2 ayon sa pagkakabanggit.

Pagkatapos ang isang partikular na solusyon sa hindi magkakatulad na equation ay magkakaroon ng anyo:

nasaan ang numero r nagpapakita kung ilang beses ang isang numero
ay ang ugat ng katangian na equation para sa katumbas na homogenous na equation, at Q 1 (x) At Q 2 (x) – polynomials ng degree na hindi mas mataas kaysa m, Saan m- ang pinakamalaki sa mga degree m 1 At m 2 .

Talaan ng buod ng mga uri ng pribadong solusyon

para sa iba't ibang uri ng kanang bahagi

Tandaan na kung ang kanang bahagi ng equation ay isang kumbinasyon ng mga expression ng uri na isinasaalang-alang sa itaas, kung gayon ang solusyon ay matatagpuan bilang isang kumbinasyon ng mga solusyon sa mga auxiliary equation, na ang bawat isa ay may kanang bahagi na tumutugma sa expression na kasama sa kumbinasyon.

Yung. kung ang equation ay:
, kung gayon ang isang partikular na solusyon sa equation na ito ay magiging
saan sa 1 At sa 2 – mga partikular na solusyon ng mga auxiliary equation

At

Upang ilarawan, lutasin natin ang halimbawa sa itaas sa ibang paraan.

Halimbawa. Lutasin ang equation

Katawanin natin ang kanang bahagi ng differential equation bilang kabuuan ng dalawang function f 1 (x) + f 2 (x) = x + (- kasalanan x).

Buuin at lutasin natin ang katangiang equation:

Nakukuha namin: I.e.

Kabuuan:

Yung. ang kinakailangang partikular na solusyon ay may anyo:

Pangkalahatang solusyon ng isang hindi homogenous na differential equation:

Tingnan natin ang mga halimbawa ng aplikasyon ng mga inilarawang pamamaraan.

Halimbawa 1.. Lutasin ang equation

Bumuo tayo ng isang katangian na equation para sa katumbas na linear homogeneous differential equation:

Ngayon hanapin natin ang isang partikular na solusyon sa hindi magkakatulad na equation sa anyo:

Gamitin natin ang paraan ng indefinite coefficients.

Ang pagpapalit sa orihinal na equation, nakukuha natin:

Ang isang partikular na solusyon ay may anyo:

Pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous equation:

Halimbawa. Lutasin ang equation

Katangiang equation:

Pangkalahatang solusyon ng homogenous equation:

Partikular na solusyon ng inhomogeneous equation:
.

Hinahanap namin ang mga derivatives at pinapalitan ang mga ito sa orihinal na inhomogeneous equation:

Kumuha kami ng isang pangkalahatang solusyon sa hindi magkakatulad na equation ng kaugalian:

Mga pangunahing kaalaman sa paglutas ng linear inhomogeneous second order differential equation (LNDE-2) na may pare-parehong coefficient (PC)

Ang 2nd order na LDDE na may pare-parehong coefficient na $p$ at $q$ ay may anyong $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, kung saan $f\left(x \right)$ ay isang tuluy-tuloy na function.

Tungkol sa LNDU 2 sa PC, ang sumusunod na dalawang pahayag ay totoo.

Ipagpalagay natin na ang ilang function na $U$ ay isang di-makatwirang partial na solusyon ng isang inhomogeneous differential equation. Ipagpalagay din natin na ang ilang function na $Y$ ay ang pangkalahatang solusyon (GS) ng kaukulang linear homogeneous differential equation (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Pagkatapos ay ang GR ng Ang LHDE-2 ay katumbas ng kabuuan ng ipinahiwatig na pribado at pangkalahatang mga solusyon, iyon ay, $y=U+Y$.

Kung ang kanang bahagi ng isang 2nd order LMDE ay isang kabuuan ng mga function, ibig sabihin, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, pagkatapos ay mahahanap muna natin ang mga PD na $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ na katumbas sa bawat isa sa mga function $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, at pagkatapos nito isulat ang CR LNDU-2 sa anyong $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Solusyon ng 2nd order LPDE sa PC

Malinaw na ang uri ng isa o isa pang PD $U$ ng isang ibinigay na LNDU-2 ay nakasalalay sa partikular na anyo ng kanang bahagi nito $f\left(x\right)$. Ang pinakasimpleng mga kaso ng paghahanap para sa PD LNDU-2 ay binuo sa anyo ng sumusunod na apat na panuntunan.

Panuntunan #1.

Ang kanang bahagi ng LNDU-2 ay may anyong $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, kung saan $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, ibig sabihin, ito ay tinatawag na a polynomial ng degree $n$. Pagkatapos ang PD $U$ nito ay hinanap sa form na $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, kung saan ang $Q_(n) \left(x\right)$ ay isa pa polynomial na kapareho ng antas ng $P_(n) \left(x\right)$, at ang $r$ ay ang bilang ng mga ugat ng katangian na equation ng kaukulang LODE-2, katumbas ng zero. Ang mga coefficient ng polynomial na $Q_(n) \left(x\right)$ ay matatagpuan sa pamamagitan ng paraan ng indefinite coefficients (UK).

Panuntunan Blg. 2.

Ang kanang bahagi ng LNDU-2 ay may anyong $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, kung saan $P_(n) Ang \left( x\right)$ ay isang polynomial ng degree na $n$. Pagkatapos ang PD $U$ nito ay hinanap sa anyong $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, kung saan ang $Q_(n ) \ left(x\right)$ ay isa pang polynomial na kapareho ng degree ng $P_(n) \left(x\right)$, at ang $r$ ay ang bilang ng mga ugat ng katangian na equation ng kaukulang LODE-2 katumbas ng $\alpha $. Ang mga coefficient ng polynomial $Q_(n) \left(x\right)$ ay matatagpuan sa pamamagitan ng NC method.

Panuntunan Blg. 3.

Ang kanang bahagi ng LNDU-2 ay may anyong $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, kung saan ang $a$, $b$ at $\beta$ ay mga kilalang numero. Pagkatapos ang PD $U$ nito ay hinahanap sa form na $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, kung saan ang $A$ at $B$ ay mga hindi kilalang coefficient, at ang $r$ ay ang bilang ng mga ugat ng katangian na equation ng kaukulang LODE-2, katumbas ng $i\cdot \beta $. Ang mga coefficient na $A$ at $B$ ay matatagpuan gamit ang non-destructive method.

Panuntunan Blg. 4.

Ang kanang bahagi ng LNDU-2 ay may anyong $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, kung saan ang $P_(n) \left(x\right)$ ay isang polynomial ng degree na $ n$, at ang $P_(m) \left(x\right)$ ay isang polynomial ng degree na $m$. Pagkatapos ang PD $U$ nito ay hinahanap sa anyong $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, kung saan ang $Q_(s) \left(x\right)$ at ang $ R_(s) \left(x\right)$ ay mga polynomial ng degree na $s$, ang bilang na $s$ ay ang maximum ng dalawang numero na $n$ at $m$, at ang $r$ ay ang bilang ng mga ugat ng katangiang equation ng kaukulang LODE-2, katumbas ng $\alpha +i\cdot \beta $. Ang mga coefficient ng mga polynomial na $Q_(s) \left(x\right)$ at $R_(s) \left(x\right)$ ay matatagpuan sa pamamagitan ng NC method.

Ang paraan ng NK ay binubuo ng paglalapat ng sumusunod na tuntunin. Upang mahanap ang hindi kilalang mga coefficient ng polynomial na bahagi ng bahagyang solusyon ng inhomogeneous differential equation LNDU-2, kinakailangan:

• palitan ang PD $U$, nakasulat sa pangkalahatang anyo, sa kaliwang bahagi ng LNDU-2;
• sa kaliwang bahagi ng LNDU-2, magsagawa ng mga pagpapasimple at mga termino ng pangkat na may parehong kapangyarihan $x$;
• sa nagresultang pagkakakilanlan, ipantay ang mga koepisyent ng mga termino na may parehong kapangyarihan $x$ ng kaliwa at kanang panig;
• lutasin ang resultang sistema linear na equation may kaugnayan sa hindi kilalang coefficient.

Halimbawa 1

Gawain: hanapin O LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Hanapin din ang PD , na nagbibigay-kasiyahan sa mga paunang kundisyon $y=6$ para sa $x=0$ at $y"=1$ para sa $x=0$.

Isinulat namin ang kaukulang LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Katangiang equation: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Ang mga ugat ng katangiang equation ay: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Ang mga ugat na ito ay wasto at naiiba. Kaya, ang OR ng kaukulang LODE-2 ay may anyo: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Ang kanang bahagi ng LNDU-2 na ito ay may anyong $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Kinakailangang isaalang-alang ang koepisyent ng exponent na $\alpha =3$. Ang koepisyent na ito ay hindi tumutugma sa alinman sa mga ugat ng katangian na equation. Samakatuwid, ang PD ng LNDU-2 na ito ay may anyong $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Hahanapin namin ang mga coefficient na $A$, $B$ gamit ang NC method.

Nakita namin ang unang derivative ng Czech Republic:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Nakita namin ang pangalawang derivative ng Czech Republic:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Pinapalitan namin ang mga function na $U""$, $U"$ at $U$ sa halip na $y""$, $y"$ at $y$ sa ibinigay na NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Bukod dito, dahil ang exponent na $e^(3\cdot x)$ ay kasama bilang isang factor sa lahat ng bahagi, maaari itong alisin. Nakukuha namin ang:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Ginagawa namin ang mga aksyon sa kaliwang bahagi ng nagresultang pagkakapantay-pantay:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Ginagamit namin ang paraan ng NDT. Kumuha kami ng isang sistema ng mga linear na equation na may dalawang hindi alam:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Ang solusyon sa sistemang ito ay: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ para sa aming problema ay ganito ang hitsura: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

Ang OR $y=Y+U$ para sa aming problema ay ganito ang hitsura: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ kaliwa(-2\cdot x-1\kanan)\cdot e^(3\cdot x) $.

Upang maghanap ng PD na nakakatugon sa ibinigay na mga paunang kundisyon, nakita namin ang derivative na $y"$ ng OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Pinapalitan namin sa $y$ at $y"$ ang mga paunang kundisyon $y=6$ para sa $x=0$ at $y"=1$ para sa $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Nakatanggap kami ng isang sistema ng mga equation:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Solusyonan natin ito. Nahanap namin ang $C_(1) $ gamit ang formula ng Cramer, at $C_(2) $ ang tinutukoy namin mula sa unang equation:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\kanan|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Kaya, ang PD ng differential equation na ito ay may anyo: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \kanan )\cdot e^(3\cdot x) $.

Tinutugunan ng artikulong ito ang isyu ng paglutas ng linear inhomogeneous second-order differential equation na may pare-parehong coefficient. Ang teorya ay tatalakayin kasama ng mga halimbawa ng mga ibinigay na problema. Upang matukoy ang mga hindi malinaw na termino, kinakailangang sumangguni sa paksa tungkol sa mga pangunahing kahulugan at konsepto ng teorya ng mga differential equation.

Isaalang-alang natin ang isang linear differential equation (LDE) ng pangalawang pagkakasunud-sunod na may pare-parehong coefficients ng anyong y "" + p · y " + q · y = f (x), kung saan ang p at q ay mga arbitrary na numero, at ang umiiral na function f (x) ay tuloy-tuloy sa integration interval x.

Magpatuloy tayo sa pagbabalangkas ng theorem para sa pangkalahatang solusyon ng LNDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pangkalahatang solution theorem para sa LDNU

Isang pangkalahatang solusyon, na matatagpuan sa pagitan ng x, ng isang inhomogeneous differential equation ng anyong y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) na may tuluy-tuloy na integration coefficients sa x interval f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) at tuluy-tuloy na pag-andar Ang f (x) ay katumbas ng kabuuan ng pangkalahatang solusyon y 0, na tumutugma sa LOD at ilang partikular na solusyon y ~, kung saan ang orihinal na inhomogeneous na equation ay y = y 0 + y ~.

Ipinapakita nito na ang solusyon sa naturang pangalawang-order na equation ay may anyo na y = y 0 + y ~ . Ang algorithm para sa paghahanap ng y 0 ay tinalakay sa artikulo sa linear homogenous na second-order differential equation na may pare-parehong coefficient. Pagkatapos nito ay dapat tayong magpatuloy sa kahulugan ng y ~.

Ang pagpili ng isang partikular na solusyon sa LPDE ay depende sa uri ng magagamit na function f (x) na matatagpuan sa kanang bahagi ng equation. Upang gawin ito, kinakailangang isaalang-alang nang hiwalay ang mga solusyon ng linear inhomogeneous second-order differential equation na may pare-parehong coefficient.

Kapag ang f (x) ay itinuturing na isang polynomial ng nth degree f (x) = P n (x), sumusunod na ang isang partikular na solusyon ng LPDE ay matatagpuan gamit ang isang formula ng anyong y ~ = Q n (x ) x γ, kung saan ang Q n ( x) ay isang polynomial ng degree n, ang r ay ang bilang ng mga zero na ugat ng katangian na equation. Ang value y ~ ay isang partikular na solusyon y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , pagkatapos ay ang mga available na coefficient na tinutukoy ng polynomial
Q n (x), nakita namin ang paggamit ng paraan ng mga hindi tiyak na coefficient mula sa pagkakapantay-pantay y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Halimbawa 1

Kalkulahin gamit ang teorem ni Cauchy y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .

Solusyon

Sa madaling salita, kinakailangan na lumipat sa isang partikular na solusyon ng isang linear inhomogeneous differential equation ng pangalawang order na may pare-parehong coefficients y "" - 2 y " = x 2 + 1, na kung saan ay masisiyahan ang ibinigay na mga kondisyon y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

Ang pangkalahatang solusyon ng isang linear inhomogeneous equation ay ang kabuuan ng pangkalahatang solusyon, na tumutugma sa equation y 0 o isang partikular na solusyon sa inhomogeneous equation y ~, iyon ay, y = y 0 + y ~.

Una, hahanap tayo ng pangkalahatang solusyon para sa LNDU, at pagkatapos ay isang partikular na solusyon.

Lumipat tayo sa paghahanap ng y 0. Ang pagsusulat ng katangian na equation ay makakatulong sa iyong mahanap ang mga ugat. Nakukuha namin iyon

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Nalaman namin na ang mga ugat ay iba at totoo. Samakatuwid, isulat natin

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

Hanapin natin y ~ . Makikita na ang kanang bahagi ng ibinigay na equation ay isang polynomial ng pangalawang degree, pagkatapos ay ang isa sa mga ugat ay katumbas ng zero. Mula dito nakuha namin na ang isang partikular na solusyon para sa y ~ ay magiging

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, kung saan ang mga halaga ng A, B, C ay tumatagal sa hindi natukoy na mga koepisyent.

Hanapin natin ang mga ito mula sa pagkakapantay-pantay ng anyong y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Pagkatapos makuha namin iyon:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Equating ang coefficients sa ang parehong mga tagapagpahiwatig kapangyarihan ng x, nakakakuha tayo ng isang sistema ng mga linear na expression - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Kapag nag-solve ng alinman sa mga pamamaraan, hahanapin natin ang mga coefficient at isulat ang: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 at y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Ang entry na ito ay tinatawag na pangkalahatang solusyon ng orihinal na linear inhomogeneous second-order differential equation na may pare-parehong coefficient.

Upang makahanap ng isang partikular na solusyon na nakakatugon sa mga kondisyon y (0) = 2, y "(0) = 1 4, kinakailangan upang matukoy ang mga halaga C 1 At C 2, batay sa pagkakapantay-pantay ng anyong y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Nakukuha namin iyon:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Nagtatrabaho kami sa nagresultang sistema ng mga equation ng form C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, kung saan C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

Ang paglalapat ng teorama ni Cauchy, mayroon tayo nito

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Sagot: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Kapag ang function na f (x) ay kinakatawan bilang produkto ng isang polynomial na may degree n at isang exponent f (x) = P n (x) · e a x , pagkatapos ay makuha namin na ang isang partikular na solusyon ng pangalawang-order na LPDE ay magiging isang equation ng anyong y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ, kung saan ang Q n (x) ay isang polynomial ng nth degree, at ang r ay ang bilang ng mga ugat ng katangiang equation na katumbas ng α.

Ang mga coefficient na kabilang sa Q n (x) ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagkakapantay-pantay y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Halimbawa 2

Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa isang differential equation ng anyong y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Solusyon

Ang equation pangkalahatang pananaw y = y 0 + y ~ . Ang ipinahiwatig na equation ay tumutugma sa LOD y "" - 2 y " = 0. Mula sa nakaraang halimbawa ay makikita na ang mga ugat nito ay pantay. k 1 = 0 at k 2 = 2 at y 0 = C 1 + C 2 e 2 x sa pamamagitan ng katangiang equation.

Makikita na ang kanang bahagi ng equation ay x 2 + 1 · e x . Mula dito ang LPDE ay matatagpuan sa pamamagitan ng y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, kung saan ang Q n (x) ay isang polynomial ng pangalawang degree, kung saan ang α = 1 at r = 0, dahil ang characteristic equation ay hindi may ugat na katumbas ng 1. Mula dito nakukuha natin iyon

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

Ang A, B, C ay mga hindi kilalang coefficient na makikita ng pagkakapantay-pantay y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

Nakuha ko na

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Tinutumbas namin ang mga tagapagpahiwatig para sa parehong mga coefficient at kumuha ng isang sistema ng mga linear equation. Mula dito makikita natin ang A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

Sagot: makikita na ang y ~ = e x (A x 2 + B x + C) = e x - x 2 + 0 x - 3 = - e x x 2 + 3 ay isang partikular na solusyon ng LIDE, at y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3

Kapag ang function ay isinulat bilang f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x, at A 1 At SA 1 ay mga numero, pagkatapos ay isang equation ng anyong y ~ = A cos β x + B sin β x x γ , kung saan ang A at B ay itinuturing na mga indefinite coefficient, at r ang bilang ng mga kumplikadong conjugate na ugat na nauugnay sa katangiang equation, katumbas ng ± i β . Sa kasong ito, ang paghahanap para sa mga coefficient ay isinasagawa ng pagkakapantay-pantay y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Halimbawa 3

Hanapin ang pangkalahatang solusyon sa isang differential equation ng anyong y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Solusyon

Bago isulat ang katangiang equation, makikita natin ang y 0. Pagkatapos

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i

Mayroon kaming isang pares ng kumplikadong conjugate roots. Magbago tayo at makakuha ng:

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

Ang mga ugat ng characteristic equation ay itinuturing na conjugate pair ± 2 i, pagkatapos f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). Ipinapakita nito na ang paghahanap para sa y ~ ay gagawin mula sa y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Unknowns Hahanapin natin ang mga coefficient A at B mula sa isang pagkakapantay-pantay ng anyo y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Ibahin natin:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)

Pagkatapos ay malinaw na

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

Ito ay kinakailangan upang equate ang coefficients ng sines at cosines. Kumuha kami ng isang sistema ng form:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Kasunod nito na y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

Sagot: ang pangkalahatang solusyon ng orihinal na pangalawang-order na LDDE na may pare-parehong coefficient ay isinasaalang-alang

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Kapag f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), pagkatapos ay y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. Mayroon tayong r ay ang bilang ng mga kumplikadong pares ng conjugate ng mga ugat na nauugnay sa katangiang equation, katumbas ng α ± i β, kung saan ang P n (x), Q k (x), L m (x) at N m (x) ay mga polynomial ng degree n, k, m, m, kung saan m = m a x (n, k). Paghahanap ng mga coefficient L m (x) At N m (x) ay ginawa batay sa pagkakapantay-pantay y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Halimbawa 4

Hanapin ang pangkalahatang solusyon y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Solusyon

Ayon sa kondisyon ay malinaw na

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Pagkatapos m = m a x (n, k) = 1. Nahanap namin ang y 0 sa pamamagitan ng unang pagsulat ng isang katangian na equation ng form:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2

Nalaman namin na ang mga ugat ay totoo at naiiba. Kaya y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. Susunod, kailangang maghanap ng pangkalahatang solusyon batay sa hindi magkakatulad na equation y ~ ng form

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) kasalanan (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) kasalanan (5 x))

Ito ay kilala na ang A, B, C ay mga coefficients, r = 0, dahil walang pares ng conjugate roots na nauugnay sa katangian na equation na may α ± i β = 3 ± 5 · i. Nakikita namin ang mga coefficient na ito mula sa nagresultang pagkakapantay-pantay:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) kasalanan (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) kasalanan (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Ang paghahanap ng derivative at mga katulad na termino ay nagbibigay

E 3 x ((15 A + 23 C) x kasalanan (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) kasalanan (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

Pagkatapos equating ang coefficients, kumuha kami ng isang sistema ng form

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Mula sa lahat ay sinusundan iyon

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x+1)sin(5x))

Sagot: Ngayon nakuha namin ang isang pangkalahatang solusyon sa ibinigay na linear equation:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))

Algorithm para sa paglutas ng LDNU

Ang anumang iba pang uri ng function na f (x) para sa solusyon ay nagbibigay para sa algorithm ng solusyon:

• paghahanap ng pangkalahatang solusyon sa katumbas na linear homogeneous equation, kung saan y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, kung saan y 1 At y 2 ay linearly independent na bahagyang solusyon ng LODE, C 1 At C 2 ay itinuturing na mga arbitrary na pare-pareho;
• pag-aampon bilang pangkalahatang solusyon ng LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• pagtukoy ng mga derivatives ng isang function sa pamamagitan ng isang sistema ng anyong C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , at paghahanap ng mga function C 1 (x) at C 2 (x) sa pamamagitan ng pagsasama.

Halimbawa 5

Hanapin ang pangkalahatang solusyon para sa y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.

Solusyon

Nagpapatuloy kami sa pagsulat ng katangian na equation, na dati nang nakasulat y 0, y "" + 36 y = 0. Isulat at lutasin natin:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = kasalanan (6 x)

Mayroon kaming na ang pangkalahatang solusyon ng ibinigay na equation ay isusulat bilang y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Kinakailangang magpatuloy sa kahulugan ng mga derivative function C 1 (x) At C2(x) ayon sa isang sistema na may mga equation:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Kailangang gumawa ng desisyon tungkol sa C 1" (x) At C 2" (x) gamit ang anumang paraan. Pagkatapos ay sumulat kami:

C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Ang bawat isa sa mga equation ay dapat isama. Pagkatapos ay isulat namin ang mga nagresultang equation:

C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x kasalanan (6 x) + C 4

Ito ay sumusunod na ang pangkalahatang solusyon ay magkakaroon ng form:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 na kasalanan (6 x)

Sagot: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter