Degree sa isang natural na tagapagpahiwatig at mga katangian nito. Degree at mga katangian nito
Video aralin 2: Degree sa isang natural na tagapagpahiwatig at mga katangian nito
Lecture:
Degree na may natural na tagapagpahiwatig
Sa ilalim degree ilang numero "a" na may ilang tagapagpahiwatig "n" maunawaan ang produkto ng isang numero "a" sa sarili "n" minsan.
Kapag pinag-uusapan ang isang degree na may natural na tagapagpahiwatig, nangangahulugan ito na ang numero "n" dapat ay integer at hindi negatibo.
a- ang base ng degree, na nagpapakita kung aling numero ang dapat i-multiply sa sarili nito,
n- exponent - ito ay nagsasabi kung gaano karaming beses ang base ay kailangang i-multiply sa sarili nito.
Halimbawa:
8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.
Sa kasong ito, ang base ng degree ay nauunawaan bilang ang numerong "8", ang index ng degree ay ang bilang na "4", ang halaga ng degree ay nauunawaan bilang ang bilang na "4096".
Ang pinakamalaki at pinakakaraniwang pagkakamali sa pagkalkula ng degree ay ang pagpaparami ng exponent sa base - HINDI ITO TOTOO!
Pagdating sa isang degree na may natural na exponent, nangangahulugan ito na ang exponent lang (n) dapat ay natural na numero.
Ang anumang numero sa linya ng numero ay maaaring gamitin bilang base.
Halimbawa,
(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).
Ang mathematical operation na ginagawa sa base at exponent ay tinatawag na exponentiation.
Ang pagdaragdag / pagbabawas ay ang mathematical na operasyon ng unang yugto, ang multiplikasyon / dibisyon ay ang operasyon ng ikalawang yugto, ang exponentiation ay ang matematikal na operasyon ng ikatlong yugto, iyon ay, isa sa pinakamataas.
Ang hierarchy na ito mga operasyong matematikal tinutukoy ang pagkakasunud-sunod sa pagkalkula. Kung ang aksyon na ito ay nangyayari sa mga gawain sa mga nakaraang dalawang, pagkatapos ito ay tapos na muna.
Halimbawa:
15 + 6 *2 2 = 39
Sa halimbawang ito, kailangan mo munang itaas ang 2 sa kapangyarihan, iyon ay
pagkatapos ay i-multiply ang resulta sa 6, iyon ay
Ang isang degree na may natural na tagapagpahiwatig ay ginagamit hindi lamang para sa mga tiyak na kalkulasyon, kundi pati na rin para sa kaginhawaan ng notasyon malalaking numero. Sa kasong ito, ginagamit din ang konsepto "karaniwang form ng numero". Ang notasyong ito ay nagpapahiwatig ng pagpaparami ng isang tiyak na numero mula 1 hanggang 9 sa pamamagitan ng power base na katumbas ng 10 na may ilang exponent.
Halimbawa, upang isulat ang radius ng Earth sa karaniwang anyo, gamitin ang sumusunod na notasyon:
6400000 m = 6.4 * 10 6 m,
at ang masa ng Earth, halimbawa, ay nakasulat tulad ng sumusunod:
mga katangian ng degree
Para sa kaginhawaan ng paglutas ng mga halimbawa na may mga degree, kinakailangang malaman ang kanilang mga pangunahing katangian:
1. Kung kailangan mong i-multiply ang dalawang kapangyarihan na may parehong base, kung gayon sa kasong ito ang base ay dapat iwanang hindi nagbabago, at idinagdag ang mga tagapagpahiwatig.
a n * a m = a n+m
Halimbawa:
5 2 * 5 4 = 5 6 .
2. Kung kinakailangan upang hatiin ang dalawang degree na may parehong base, kung gayon sa kasong ito ang base ay dapat iwanang hindi nagbabago, at ang mga tagapagpahiwatig ay ibawas. Pakitandaan na para sa mga operasyong may mga kapangyarihan na may natural na exponent, ang exponent ng dibidendo ay dapat na mas malaki kaysa sa exponent ng divisor. Kung hindi, ang quotient ng pagkilos na ito ay isang numero na may negatibong exponent.
a n / a m = a n-m
Halimbawa,
5 4 * 5 2 = 5 2 .
3. Kung kinakailangan na itaas ang isang kapangyarihan sa isa pa, ang base ng resulta ay nananatiling parehong numero, at ang mga exponent ay pinarami.
(a n) m = a n*m
Halimbawa,
4. Kung kinakailangan na itaas ang produkto ng mga di-makatwirang numero sa isang tiyak na kapangyarihan, pagkatapos ay maaari naming gamitin ang isang tiyak na batas sa pamamahagi, kung saan nakukuha namin ang produkto ng iba't ibang mga base sa parehong antas.
(a * b) m = a m * b m
Halimbawa,
(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .
5. Ang isang katulad na ari-arian ay maaaring gamitin upang hatiin ang mga kapangyarihan, sa madaling salita, upang itaas ang isang ordinaryong doble sa isang kapangyarihan.
(a / b) m = a m / b m
6. Anumang numero na itinaas sa isang exponent na katumbas ng isa ay katumbas ng orihinal na numero.
a 1 = a
Halimbawa,
7. Kapag itinaas ang anumang numero sa isang kapangyarihan na may exponent na zero, ang resulta ibinigay na kalkulasyon palaging magkakaroon ng isa.
at 0 = 1
Halimbawa,
| | |
ay matatagpuan gamit ang multiplikasyon. Halimbawa: 5+5+5+5+5+5=5x6. Sinasabi nila ang tungkol sa gayong pagpapahayag na ang kabuuan ng pantay na mga termino ay natiklop sa isang produkto. At kabaliktaran, kung babasahin natin ang pagkakapantay-pantay na ito mula kanan pakaliwa, malalaman natin na pinalawak natin ang kabuuan ng mga katumbas na termino. Katulad nito, maaari mong tiklop ang produkto ng ilang pantay na salik 5x5x5x5x5x5=5 6 .
Iyon ay, sa halip na i-multiply ang anim na magkaparehong salik 5x5x5x5x5x5, isinulat nila ang 5 6 at sinasabing "lima hanggang ikaanim na kapangyarihan."
Ang expression na 5 6 ay isang kapangyarihan ng isang numero, kung saan:
5 - base ng degree;
6 - exponent.
Ang mga operasyon kung saan ang produkto ng pantay na mga kadahilanan ay nakatiklop sa isang kapangyarihan ay tinatawag pagpaparami.
AT pangkalahatang pananaw degree na may base "a" at exponent "n" ay nakasulat bilang
Ang pagtaas ng bilang a sa kapangyarihan ng n ay nangangahulugan ng paghahanap ng produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a
Kung ang base ng degree na "a" ay 1, kung gayon ang halaga ng degree para sa anumang natural na n ay magiging katumbas ng 1. Halimbawa, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1
Kung itataas mo ang numerong "a" itaas sa unang degree, pagkatapos ay makuha natin ang numero mismo: a 1 = a
Kung magtataas ka ng anumang numero sa zero degree, pagkatapos bilang resulta ng mga kalkulasyon nakakakuha kami ng isa. a 0 = 1
Ang pangalawa at pangatlong kapangyarihan ng isang numero ay itinuturing na espesyal. Nakabuo sila ng mga pangalan para sa kanila: ang pangalawang degree ay tinatawag ang parisukat ng isang numero, pangatlo - kubo itong numero.
Anumang numero ay maaaring itaas sa isang kapangyarihan - positibo, negatibo o zero. Gayunpaman, ang mga sumusunod na patakaran ay hindi ginagamit:
Kapag hinahanap ang antas ng isang positibong numero, isang positibong numero ang nakuha.
Kapag kinakalkula ang zero in natural na antas nakukuha natin ang zero.
x m х n = x m + n
halimbawa: 7 1.7 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8
Upang ibahagi ang mga degree sa ang parehong mga batayan hindi namin binabago ang base, ngunit ibawas ang mga exponent:
x m / x n \u003d x m - n , saan, m > n
hal: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6
Kapag nagkalkula pagpaparami Hindi namin binabago ang base, ngunit pinaparami namin ang mga exponent sa bawat isa.
(sa m )n = y m n
halimbawa: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6
(X · y) n = x n · m ,
halimbawa: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,
Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon para sa exponentiation ng isang fraction itinataas natin ang numerator at denominator ng fraction sa ibinigay na kapangyarihan
(x/y)n = x n / y n
halimbawa: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .
Ang pagkakasunud-sunod ng pagsasagawa ng mga kalkulasyon kapag nagtatrabaho sa mga expression na naglalaman ng isang degree.
Kapag nagsasagawa ng mga kalkulasyon ng mga expression na walang mga bracket, ngunit naglalaman ng mga kapangyarihan, una sa lahat, ang exponentiation ay ginaganap, pagkatapos ay ang pagpaparami at paghahati ng mga operasyon, at pagkatapos lamang ang mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas.
Kung kinakailangan upang suriin ang isang expression na naglalaman ng mga bracket, pagkatapos ay una, sa pagkakasunud-sunod na ipinahiwatig sa itaas, ginagawa namin ang mga kalkulasyon sa mga bracket, at pagkatapos ay ang natitirang mga aksyon sa parehong pagkakasunud-sunod mula kaliwa hanggang kanan.
Napakalawak sa mga praktikal na kalkulasyon, upang gawing simple ang mga kalkulasyon, ginagamit ang mga yari na talahanayan ng mga degree.
Ang sumusunod na pormula ang magiging kahulugan degree na may natural na tagapagpahiwatig(a ang base ng exponent at ang paulit-ulit na factor, at n ang exponent, na nagpapakita kung gaano karaming beses inuulit ang factor):
Ang expression na ito ay nangangahulugan na ang kapangyarihan ng isang numero na may natural na exponent n ay ang produkto ng n mga kadahilanan, dahil ang bawat isa sa mga kadahilanan ay katumbas ng a.
17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857
17 - ang batayan ng antas,
5 - exponent,
Ang 1419857 ay ang halaga ng degree.
Ang exponent na may zero exponent ay 1 , sa kondisyon na ang isang \neq 0 :
a^0=1 .
Halimbawa: 2^0=1
Kailan Magre-record malaking numero karaniwang isang kapangyarihan ng 10 ang ginagamit.
Halimbawa, ang isa sa mga pinaka sinaunang dinosaur sa Earth ay nabuhay mga 280 milyong taon na ang nakalilipas. Ang kanyang edad ay nakasulat tulad ng sumusunod: 2.8 \cdot 10^8 .
Ang bawat bilang na higit sa 10 ay maaaring isulat bilang isang \cdot 10^n , sa kondisyon na 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют karaniwang view numero.
Mga halimbawa ng mga numero: 6978=6.978 \cdot 10^3, 569000=5.69 \cdot 10^5.
Maari mong sabihin ang parehong "a sa ika-n na kapangyarihan", at "ika-nasa kapangyarihan ng numerong a" at "a sa kapangyarihan ng n".
4^5 - "four to the power of 5" o "4 to the fifth power" o maaari mo ring sabihin ang "fifth power of the number 4"
Sa halimbawang ito, 4 ang base ng degree, 5 ang exponent.
Nagbibigay kami ngayon ng isang halimbawa na may mga fraction at negatibong numero. Upang maiwasan ang pagkalito, kaugalian na magsulat ng mga base maliban sa mga natural na numero sa mga bracket:
(7,38)^2 , \left(\frac 12 \right)^7, (-1)^4 atbp.
Pansinin din ang pagkakaiba:
(-5)^6 - nangangahulugang ang kapangyarihan ng isang negatibong numero −5 na may natural na exponent 6.
5^6 - tumutugma sa kabaligtaran na bilang ng 5^6 .
Mga katangian ng mga degree na may natural na exponent
Ang pangunahing pag-aari ng degree
a^n \cdot a^k = a^(n+k)
Ang base ay nananatiling pareho, ngunit ang mga exponent ay idinagdag.
Halimbawa: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5
Pag-aari ng mga bahagyang kapangyarihan na may parehong mga base
a^n: a^k=a^(n-k) kung n > k .
Ang mga exponent ay ibinabawas, ngunit ang base ay nananatiling pareho.
Ang paghihigpit na ito n > k ay ipinakilala upang hindi lumampas sa natural exponents. Sa katunayan, para sa n > k, ang exponent a^(n-k) ay magiging isang natural na numero, kung hindi, ito ay magiging negatibong numero (k< n ), либо нулем (k-n ).
Halimbawa: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1
Pag-aari ng power exponentiation
(a^n)^k=a^(nk)
Ang base ay nananatiling pareho, tanging ang mga exponent ay pinarami.
Halimbawa: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)
Pag-aari ng pagpaparami ng produkto
Ang bawat salik ay itinataas sa kapangyarihan ng n.
a^n \cdot b^n = (ab)^n
Halimbawa: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3
Ang pag-aari ng exponentiation ng isang fraction
\frac(a^n)(b^n)=\left(\frac(a)(b) \right) ^n, b \neq 0
Parehong ang numerator at denominator ng isang fraction ay itinaas sa isang kapangyarihan. \left(\frac(2)(5) \right)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)
Matapos itong matukoy antas ng, ito ay lohikal na pag-usapan mga katangian ng degree. Sa artikulong ito, ibibigay namin ang mga pangunahing katangian ng antas ng isang numero, habang hinahawakan ang lahat ng posibleng exponent. Dito ay magbibigay kami ng mga patunay ng lahat ng mga katangian ng antas, at ipapakita din kung paano inilalapat ang mga katangiang ito kapag nilulutas ang mga halimbawa.
Pag-navigate sa pahina.
Mga katangian ng mga degree na may natural na mga tagapagpahiwatig
Sa pamamagitan ng pagtukoy ng antas na may natural na tagapagpahiwatig ang kapangyarihan ng isang n ay ang produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng isang . Batay sa kahulugang ito, at paggamit real number multiplication properties, maaari nating makuha at bigyang katwiran ang mga sumusunod mga katangian ng degree na may natural na exponent:
- ang pangunahing katangian ng antas a m ·a n =a m+n , ang paglalahat nito;
- ang pag-aari ng mga bahagyang kapangyarihan na may parehong mga base a m:a n =a m−n ;
- product degree property (a b) n =a n b n , extension nito ;
- quotient property in kind (a:b) n =a n:b n ;
- exponentiation (a m) n =a m n , ang paglalahat nito (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
- paghahambing ng antas sa zero:
- kung a>0 , pagkatapos ay a n >0 para sa anumang natural n ;
- kung a=0 , pagkatapos ay a n =0 ;
- kung ang<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 kung a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- kung ang a at b ay mga positibong numero at a
- kung ang m at n ay mga natural na numero tulad ng m>n , pagkatapos ay sa 0
- kung ang m at n ay mga natural na numero tulad ng m>n , pagkatapos ay sa 0
Agad naming tandaan na ang lahat ng nakasulat na pagkakapantay-pantay ay magkapareho sa ilalim ng tinukoy na mga kondisyon, at ang kanilang kanan at kaliwang bahagi ay maaaring palitan. Halimbawa, ang pangunahing katangian ng fraction a m a n = a m + n na may pagpapasimple ng mga expression kadalasang ginagamit sa anyong a m+n = a m a n .
Ngayon tingnan natin ang bawat isa sa kanila nang detalyado.
Magsimula tayo sa pag-aari ng produkto ng dalawang kapangyarihan na may parehong mga base, na tinatawag na ang pangunahing pag-aari ng degree: para sa anumang tunay na bilang a at anumang natural na mga numerong m at n, ang pagkakapantay-pantay na a m ·a n =a m+n ay totoo.
Patunayan natin ang pangunahing pag-aari ng degree. Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may natural na exponent, ang produkto ng mga kapangyarihan na may parehong mga batayan ng anyong a m a n ay maaaring isulat bilang isang produkto. Dahil sa mga katangian ng multiplikasyon, ang resultang expression ay maaaring isulat bilang 
, at ang produktong ito ay ang kapangyarihan ng a na may natural na exponent m+n , iyon ay, a m+n . Kinukumpleto nito ang patunay.
Magbigay tayo ng isang halimbawa na nagpapatunay sa pangunahing pag-aari ng degree. Kumuha tayo ng mga degree na may parehong mga base 2 at natural na kapangyarihan 2 at 3, ayon sa pangunahing katangian ng degree, maaari nating isulat ang pagkakapantay-pantay 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Suriin natin ang bisa nito, kung saan kinakalkula natin ang mga halaga ng mga expression 2 2 ·2 3 at 2 5 . Pagtupad pagpaparami, meron kami 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 at 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, dahil ang mga pantay na halaga ay nakuha, kung gayon ang pagkakapantay-pantay 2 2 2 3 \u003d 2 5 ay tama, at kinukumpirma nito ang pangunahing pag-aari ng degree.
Ang pangunahing katangian ng isang degree na batay sa mga katangian ng multiplikasyon ay maaaring gawing pangkalahatan sa produkto ng tatlo o higit pang mga kapangyarihan na may parehong mga base at natural na exponent. Kaya para sa anumang bilang k ng mga natural na numero n 1 , n 2 , …, n k ang pagkakapantay-pantay a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
Halimbawa, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Maaari kang magpatuloy sa susunod na pag-aari ng mga degree na may natural na tagapagpahiwatig - ang pag-aari ng mga bahagyang kapangyarihan na may parehong mga batayan: para sa anumang di-zero real number a at arbitrary na natural na mga numero m at n na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon m>n , ang pagkakapantay-pantay a m:a n =a m−n ay totoo.
Bago ibigay ang patunay ng ari-arian na ito, talakayin natin ang kahulugan ng mga karagdagang kundisyon sa pahayag. Ang kundisyong a≠0 ay kinakailangan upang maiwasan ang paghahati ng zero, dahil 0 n =0, at nang makilala natin ang paghahati, napagkasunduan natin na imposibleng hatiin ng zero. Ang kundisyon m>n ay ipinakilala upang hindi tayo lumampas sa natural exponents. Sa katunayan, para sa m>n ang exponent a m−n ay isang natural na numero, kung hindi, ito ay magiging zero (na mangyayari para sa m−n ) o isang negatibong numero (na mangyayari para sa m Patunay. Ang pangunahing pag-aari ng isang fraction ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang pagkakapantay-pantay a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Mula sa nakuhang pagkakapantay-pantay a m−n ·a n =a m at mula rito ay sumusunod na ang m−n ay isang quotient ng mga kapangyarihan ng a m at a n . Pinatutunayan nito ang pag-aari ng mga bahagyang kapangyarihan na may parehong mga base. Kumuha tayo ng isang halimbawa. Kumuha tayo ng dalawang degree na may parehong mga base π at natural exponents 5 at 2, ang itinuturing na pag-aari ng degree ay tumutugma sa pagkakapantay-pantay π 5: π 2 = π 5−3 = π 3. Ngayon isaalang-alang ari-arian ng antas ng produkto: ang natural na digri n ng produkto ng alinmang dalawang tunay na numero a at b ay katumbas ng produkto ng mga digri a n at b n , ibig sabihin, (a b) n =a n b n . Sa katunayan, sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may natural na exponent, mayroon tayo Narito ang isang halimbawa: Ang pag-aari na ito ay umaabot sa antas ng produkto ng tatlo o higit pang mga kadahilanan. Ibig sabihin, ang likas na kapangyarihan na pag-aari n ng produkto ng k mga kadahilanan ay nakasulat bilang (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n. Para sa kalinawan, ipinapakita namin ang property na ito na may isang halimbawa. Para sa produkto ng tatlong salik sa kapangyarihan ng 7, mayroon kaming . Ang susunod na ari-arian ay likas na ari-arian: ang quotient ng mga tunay na numero a at b , b≠0 sa natural na kapangyarihan n ay katumbas ng quotient ng mga kapangyarihan a n at b n , ibig sabihin, (a:b) n =a n:b n . Ang patunay ay maaaring isagawa gamit ang dating ari-arian. Kaya (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, at ang pagkakapantay-pantay (a:b) n b n =a n ay nagpapahiwatig na ang (a:b) n ay ang quotient ng a n hinati ng b n . Isulat natin ang property na ito gamit ang halimbawa ng mga partikular na numero: Ngayon, boses natin pag-aari ng exponentiation: para sa anumang tunay na numero a at anumang natural na bilang na m at n, ang kapangyarihan ng a m sa kapangyarihan ng n ay katumbas ng kapangyarihan ng a na may exponent m·n , iyon ay, (a m) n =a m·n . Halimbawa, (5 2) 3 =5 2 3 =5 6 . Ang patunay ng power property sa isang degree ay ang sumusunod na chain of equalities: Ang itinuturing na ari-arian ay maaaring palawigin sa degree sa loob ng degree sa loob ng degree, at iba pa. Halimbawa, para sa anumang natural na numerong p, q, r, at s, ang pagkakapantay-pantay Ito ay nananatiling upang tumira sa mga katangian ng paghahambing ng mga degree sa isang natural na exponent. Magsisimula tayo sa pamamagitan ng pagpapatunay sa paghahambing na katangian ng zero at kapangyarihan na may natural na exponent. Una, bigyang-katwiran natin na a n >0 para sa alinmang a>0 . produkto ng dalawa mga positibong numero ay isang positibong numero, tulad ng sumusunod mula sa kahulugan ng multiplikasyon. Ang katotohanang ito at ang mga katangian ng pagpaparami ay nagpapahintulot sa amin na igiit na ang resulta ng pagpaparami ng anumang bilang ng mga positibong numero ay magiging isang positibong numero. At ang kapangyarihan ng a na may natural na exponent n ay, sa pamamagitan ng kahulugan, ang produkto ng n mga kadahilanan, na ang bawat isa ay katumbas ng a. Ang mga argumentong ito ay nagpapahintulot sa amin na igiit na para sa anumang positibong base a ang antas ng a n ay isang positibong numero. Sa bisa ng napatunayang ari-arian 3 5 >0 , (0.00201) 2 >0 at Ito ay lubos na halata na para sa anumang natural n na may a=0 ang antas ng isang n ay zero. Sa katunayan, 0 n =0·0·…·0=0 . Halimbawa, 0 3 =0 at 0 762 =0 . Lumipat tayo sa mga negatibong batayan. Magsimula tayo sa kaso kapag ang exponent ay isang even na numero, ipahiwatig ito bilang 2 m , kung saan ang m ay isang natural na numero. Pagkatapos Sa wakas, kapag ang base ng a ay isang negatibong numero at ang exponent ay isang kakaibang numero 2 m−1, kung gayon Bumaling tayo sa pag-aari ng paghahambing ng mga degree na may parehong natural na exponents, na may sumusunod na pagbabalangkas: ng dalawang degree na may parehong natural na exponents, n ay mas mababa sa isa na ang base ay mas mababa, at higit sa isa na ang base ay mas malaki. Patunayan natin. Hindi pagkakapantay-pantay a n katangian ng hindi pagkakapantay-pantay ang hindi pagkakapantay-pantay ay pinatutunayan ng anyong a n . Ito ay nananatiling patunayan ang pinakahuli sa mga nakalistang katangian ng mga kapangyarihan na may natural na exponent. Buuin natin ito. Sa dalawang degree na may natural na mga tagapagpahiwatig at parehong positibong mga base na mas mababa sa isa, ang antas ay mas malaki, ang tagapagpahiwatig na kung saan ay mas mababa; at ng dalawang degree na may natural na mga tagapagpahiwatig at ang parehong mga base na higit sa isa, ang antas na ang tagapagpahiwatig ay mas malaki ay mas malaki. Bumaling tayo sa patunay ng ari-arian na ito. Patunayan natin na para sa m>n at 0 Ito ay nananatiling patunayan ang ikalawang bahagi ng ari-arian. Patunayan natin na para sa m>n at a>1, ang isang m >a n ay totoo. Ang pagkakaiba ng a m −a n pagkatapos kunin ang isang n mula sa mga bracket ay nasa anyong a n ·(a m−n −1) . Ang produktong ito ay positibo, dahil para sa a>1 ang antas ng a n ay isang positibong numero, at ang pagkakaiba ng a m−n −1 ay isang positibong numero, dahil m−n>0 dahil sa paunang kondisyon, at para sa a>1, ang antas ng isang m−n ay mas malaki kaysa sa isa . Samakatuwid, a m − a n >0 at a m >a n , na dapat patunayan. Ang katangiang ito ay inilalarawan ng hindi pagkakapantay-pantay 3 7 >3 2 .
. Ang huling produkto, batay sa mga katangian ng pagpaparami, ay maaaring muling isulat bilang 
, na katumbas ng a n b n .
.
.
.
. Para sa higit na kalinawan, narito ang isang halimbawa na may mga partikular na numero: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Para sa bawat isa sa mga produkto ng anyong a·a ay katumbas ng produkto ng mga module ng mga numerong a at a, samakatuwid, ay isang positibong numero. Samakatuwid, ang produkto ay magiging positibo din. 
at degree a 2 m . Narito ang mga halimbawa: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 at .
. Ang lahat ng mga produkto a ay mga positibong numero, ang produkto ng mga positibong numero ay positibo rin, at ang pagpaparami nito sa natitira isang negatibong numero isang resulta sa isang negatibong numero. Dahil sa property na ito (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
Mga katangian ng mga degree na may mga integer exponents
Dahil ang mga positibong integer ay mga natural na numero, kung gayon ang lahat ng mga katangian ng mga kapangyarihan na may positibong integer na mga exponent ay eksaktong katugma sa mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga natural na exponent na nakalista at napatunayan sa nakaraang talata.
Degree na may integer negatibong exponent, pati na rin ang degree na may zero exponent, tinukoy namin sa paraang ang lahat ng katangian ng mga degree na may natural na exponent na ipinahayag ng mga pagkakapantay-pantay ay mananatiling wasto. Samakatuwid, ang lahat ng mga katangiang ito ay may bisa kapwa para sa mga zero exponents at para sa mga negatibong exponents, habang, siyempre, ang mga base ng mga degree ay nonzero.
Kaya, para sa anumang tunay at di-zero na mga numero a at b, pati na rin ang anumang integer na m at n, ang mga sumusunod ay totoo mga katangian ng mga degree na may mga integer exponent:
- a m a n \u003d a m + n;
- a m: a n = a m−n ;
- (a b) n = a n b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n = a m n ;
- kung ang n ay isang positibong integer, ang a at b ay mga positibong numero, at a b-n;
- kung ang m at n ay mga integer, at m>n , pagkatapos ay sa 0
Para sa a=0, ang kapangyarihan ng a m at a n ay may katuturan lamang kapag ang m at n ay positibong integer, iyon ay, natural na mga numero. Kaya, ang mga katangian na isinulat lamang ay wasto din para sa mga kaso kapag ang a=0 at ang mga numerong m at n ay mga positibong integer.
Hindi mahirap patunayan ang bawat isa sa mga pag-aari na ito, para dito sapat na gamitin ang mga kahulugan ng antas na may natural at integer na exponent, pati na rin ang mga katangian ng mga aksyon na may totoong mga numero. Bilang halimbawa, patunayan natin na ang power property ay may hawak para sa parehong positive integers at nonpositive integers. Upang gawin ito, kailangan nating ipakita na kung ang p ay zero o isang natural na numero at q ay zero o isang natural na numero, kung gayon ang mga pagkakapantay-pantay (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) at (a−p)−q =a (−p) (−q). Gawin natin.
Para sa positibong p at q, ang pagkakapantay-pantay (a p) q =a p·q ay napatunayan sa nakaraang subsection. Kung p=0 , kung gayon mayroon tayong (a 0) q =1 q =1 at a 0 q =a 0 =1 , kung saan (a 0) q =a 0 q . Katulad nito, kung q=0 , kung gayon (a p) 0 =1 at a p 0 =a 0 =1 , kung saan (a p) 0 =a p 0 . Kung parehong p=0 at q=0 , kung gayon (a 0) 0 =1 0 =1 at a 0 0 =a 0 =1 , kung saan (a 0) 0 =a 0 0 .
Patunayan natin ngayon na (a −p) q =a (−p) q . Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang degree na may negatibong integer exponent , kung gayon 
. Sa pamamagitan ng pag-aari ng quotient sa degree, mayroon kami 
. Dahil 1 p =1·1·…·1=1 at , pagkatapos . Ang huling expression ay, sa pamamagitan ng kahulugan, isang kapangyarihan ng anyong a −(p q) , na, sa bisa ng mga tuntunin sa pagpaparami, ay maaaring isulat bilang isang (−p) q .
Ganun din 
.
At 
.
Sa parehong prinsipyo, maaari mong patunayan ang lahat ng iba pang mga katangian ng degree na may isang integer exponent, na nakasulat sa anyo ng mga pagkakapantay-pantay.
Sa penultimate ng mga katangiang isinulat, nararapat na pag-isipan ang patunay ng hindi pagkakapantay-pantay a −n >b −n , na totoo para sa anumang negatibong integer −n at anumang positibong a at b kung saan ang kundisyon a . Dahil sa pamamagitan ng kondisyon a 0 . Ang produktong a n ·b n ay positibo rin bilang produkto ng mga positibong numero a n at b n . Pagkatapos ang resultang fraction ay positibo bilang isang quotient ng mga positibong numero b n − a n at a n b n . Kaya naman, saan a −n >b −n , na dapat patunayan.
Ang huling pag-aari ng mga degree na may mga integer na exponents ay napatunayan sa parehong paraan tulad ng kahalintulad na katangian ng mga degree na may mga natural na exponents.
Mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga rational exponents
Degree na may fractional exponent natukoy namin sa pamamagitan ng pagpapalawak dito ng mga katangian ng isang degree na may integer exponent. Sa madaling salita, ang mga degree na may mga fractional exponents ay may parehong mga katangian tulad ng mga degree na may integer exponents. Namely:
Ang patunay ng mga katangian ng mga degree na may mga fractional exponent ay batay sa kahulugan ng isang degree na may isang fractional exponent, sa at sa mga katangian ng isang degree na may isang integer exponent. Bigyan natin ng patunay.
Sa pamamagitan ng kahulugan ng degree na may fractional exponent at , pagkatapos 
. Ang mga katangian ng arithmetic root ay nagpapahintulot sa amin na isulat ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay. Dagdag pa, gamit ang property ng degree na may integer exponent, nakukuha namin ang , kung saan, sa pamamagitan ng kahulugan ng degree na may fractional exponent, mayroon kaming 
, at ang exponent ng degree na nakuha ay maaaring ma-convert bilang mga sumusunod: . Kinukumpleto nito ang patunay.
Ang pangalawang pag-aari ng mga kapangyarihan na may mga fractional exponents ay napatunayan sa eksaktong parehong paraan: 
Ang natitirang mga pagkakapantay-pantay ay pinatutunayan ng magkatulad na mga prinsipyo: 
Bumaling tayo sa patunay ng susunod na ari-arian. Patunayan natin na para sa anumang positibong a at b , a b p . Isinulat namin ang rational number p bilang m/n , kung saan ang m ay isang integer at n ay isang natural na numero. Kondisyon p<0 и p>0 sa kasong ito ay magiging katumbas ng mga kondisyon m<0 и m>0 ayon sa pagkakabanggit. Para sa m>0 at a
Katulad nito, para sa m<0 имеем a m >b m , kung saan , iyon ay, at a p >b p .
Ito ay nananatiling patunayan ang huli sa mga nakalistang katangian. Patunayan natin na para sa mga rational na numero p at q , p>q para sa 0 
at 
. At ang kahulugan ng isang degree na may rational exponent ay nagpapahintulot sa amin na pumasa sa mga hindi pagkakapantay-pantay at, ayon sa pagkakabanggit. Mula dito ay iginuhit natin ang pangwakas na konklusyon: para sa p>q at 0
Mga katangian ng mga degree na may mga hindi makatwirang exponent
Mula sa kung paano ito tinukoy degree na may hindi makatwirang exponent, maaari nating tapusin na mayroon itong lahat ng mga katangian ng mga kapangyarihan na may mga rational exponent. Kaya para sa anumang a>0 , b>0 at hindi makatwiran na mga numero p at q ang mga sumusunod ay totoo katangian ng mga degree na may hindi makatwirang exponent:
- a p a q = a p + q ;
- a p:a q = a p−q ;
- (a b) p = a p b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p q ;
- para sa anumang positibong numero a at b , a 0 ang hindi pagkakapantay-pantay a p b p ;
- para sa mga hindi makatwirang numero p at q , p>q sa 0
Mula dito maaari nating tapusin na ang mga kapangyarihan na may anumang tunay na exponents p at q para sa a>0 ay may parehong mga katangian.
Bibliograpiya.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathematics Zh textbook para sa 5 cell. institusyong pang-edukasyon.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: isang aklat-aralin para sa 7 mga cell. institusyong pang-edukasyon.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: aklat-aralin para sa 8 mga cell. institusyong pang-edukasyon.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: isang aklat-aralin para sa 9 na mga cell. institusyong pang-edukasyon.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. at iba pa.Algebra and the Beginnings of Analysis: A Textbook for Grades 10-11 of General Educational Institutions.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematics (isang manwal para sa mga aplikante sa mga teknikal na paaralan).
