Ellipse focal length. Canonical ellipse equation

Kapag a=b=R ang equation (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 naglalarawan ng bilog na radius R na may sentro sa puntong O"(x_0,y_0) .

Parametric equation ng ellipse

Parametric equation ng ellipse sa canonical coordinate system ay may anyo

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

Sa katunayan, ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (3.49), dumating tayo sa pangunahing trigonometric identity \cos^2t+\sin^2t=1 .

Halimbawa 3.20. Gumuhit ng isang ellipse \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 sa canonical coordinate system na Oxy. Hanapin ang mga semi-axes, focal length, eccentricity, compression ratio, focal parameter, directrix equation.

Solusyon. Ang paghahambing ng ibinigay na equation sa canonical, tinutukoy namin ang mga semi-axes: a=2 - semi-major axis, b=1 - semi-minor axis ng ellipse. Binubuo namin ang pangunahing rektanggulo na may mga gilid 2a=4,~2b=2 na may sentro sa pinanggalingan (Larawan 3.39). Isinasaalang-alang ang mahusay na proporsyon ng ellipse, nababagay namin ito sa pangunahing rektanggulo. Kung kinakailangan, tukuyin ang mga coordinate ng ilang mga punto ng ellipse. Halimbawa, ang pagpapalit ng x=1 sa equation ng ellipse, nakukuha natin

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Samakatuwid, ang mga puntos na may mga coordinate \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- nabibilang sa ellipse.

Kinakalkula ang ratio ng compression k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); Focal length 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); eccentricity e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); focal parameter p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Binubuo namin ang mga directrix equation: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

Mga lektura sa algebra at geometry. Semester 1.

Lektura 15. Ellipse.

Kabanata 15. Ellipse.

sugnay 1. Mga pangunahing kahulugan.

Kahulugan. Ang isang ellipse ay ang GMT ng isang eroplano, ang kabuuan ng mga distansya sa dalawang nakapirming punto ng eroplano, na tinatawag na foci, ay isang pare-parehong halaga.

Kahulugan. Ang distansya mula sa isang di-makatwirang punto M ng eroplano hanggang sa pokus ng ellipse ay tinatawag na focal radius ng puntong M.

Mga pagtatalaga:
- foci ng ellipse,
– focal radii ng point M.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang ellipse, ang isang punto M ay isang punto ng isang ellipse kung at kung lamang
- pare-pareho ang halaga. Ang pare-parehong ito ay karaniwang tinutukoy bilang 2a:

. (1)

pansinin mo yan
.

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang ellipse, ang foci nito ay mga fixed point, kaya ang distansya sa pagitan ng mga ito ay isang pare-parehong halaga para sa isang naibigay na ellipse.

Kahulugan. Ang distansya sa pagitan ng foci ng ellipse ay tinatawag na focal length.

pagtatalaga:
.

Mula sa isang tatsulok
sinusundan iyon
, ibig sabihin.

.

Ipahiwatig natin sa pamamagitan ng b ang bilang na katumbas ng
, ibig sabihin.

. (2)

Kahulugan. Saloobin

(3)

ay tinatawag na eccentricity ng ellipse.

Ipakilala natin ang isang coordinate system sa eroplanong ito, na tatawagin nating canonical para sa ellipse.

Kahulugan. Ang axis kung saan nakahiga ang foci ng ellipse ay tinatawag na focal axis.

Bumuo tayo ng canonical PDSC para sa ellipse, tingnan ang Fig. 2.

Pinipili namin ang focal axis bilang abscissa axis, at iguguhit ang ordinate axis sa gitna ng segment
patayo sa focal axis.

Pagkatapos ang foci ay may mga coordinate
,
.

sugnay 2. Canonical equation ng isang ellipse.

Teorama. Sa canonical coordinate system para sa isang ellipse, ang equation ng ellipse ay may anyo:

. (4)

Patunay. Isinasagawa namin ang patunay sa dalawang yugto. Sa unang yugto, patunayan namin na ang mga coordinate ng anumang punto na nakahiga sa ellipse ay nakakatugon sa equation (4). Sa ikalawang yugto ay patunayan natin na ang anumang solusyon sa equation (4) ay nagbibigay ng mga coordinate ng isang puntong nakahiga sa ellipse. Mula dito ay susundan na ang equation (4) ay nasiyahan ng mga at tanging mga punto ng coordinate plane na nasa ellipse. Mula dito at mula sa kahulugan ng equation ng isang kurba ay susunod na ang equation (4) ay isang equation ng isang ellipse.

1) Hayaang ang puntong M(x, y) ay isang punto ng ellipse, i.e. ang kabuuan ng focal radii nito ay 2a:

.

Gamitin natin ang formula para sa distansya sa pagitan ng dalawang punto sa coordinate plane at gamitin ang formula na ito upang mahanap ang focal radii ng isang naibigay na punto M:

,
, mula sa kung saan kami kumukuha:

Ilipat natin ang isang ugat sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay at parisukat ito:

Pagbawas, nakukuha natin:

Nagpapakita kami ng mga katulad, bawasan ng 4 at alisin ang radikal:

.

Pag-squaring

Buksan ang mga bracket at paikliin ng
:

kung saan kami kumukuha:

Gamit ang pagkakapantay-pantay (2), nakukuha natin ang:

.

Paghahati sa huling pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng
, nakakakuha tayo ng pagkakapantay-pantay (4), atbp.

2) Hayaan ngayon ang isang pares ng mga numero (x, y) na matugunan ang equation (4) at hayaan ang M(x, y) ang katumbas na punto sa coordinate plane na Oxy.

Pagkatapos mula sa (4) ito ay sumusunod:

.

Pinapalitan namin ang pagkakapantay-pantay na ito sa expression para sa focal radii ng point M:

.

Dito ginamit namin ang pagkakapantay-pantay (2) at (3).

kaya,
. Gayundin,
.

Ngayon tandaan na mula sa pagkakapantay-pantay (4) ito ay sumusunod na

o
atbp.
, pagkatapos ay ang hindi pagkakapantay-pantay ay sumusunod:

.

Mula dito ay sumusunod, sa turn, iyon

o
At

,
. (5)

Mula sa pagkakapantay-pantay (5) sinusundan iyon
, ibig sabihin. ang puntong M(x, y) ay isang punto ng ellipse, atbp.

Ang teorama ay napatunayan.

Kahulugan. Ang equation (4) ay tinatawag na canonical equation ng ellipse.

Kahulugan. Ang canonical coordinate axes para sa isang ellipse ay tinatawag na principal axes ng ellipse.

Kahulugan. Ang pinagmulan ng canonical coordinate system para sa isang ellipse ay tinatawag na sentro ng ellipse.

sugnay 3. Mga katangian ng ellipse.

Teorama. (Mga katangian ng isang ellipse.)

1. Sa canonical coordinate system para sa isang ellipse, lahat

ang mga punto ng ellipse ay nasa parihaba

,
.

2. Ang mga puntos ay namamalagi sa

3. Ang ellipse ay isang kurba na simetriko tungkol sa

kanilang mga pangunahing palakol.

4. Ang sentro ng ellipse ay ang sentro ng simetrya nito.

Patunay. 1, 2) Kaagad na sumusunod mula sa canonical equation ng ellipse.

3, 4) Hayaang ang M(x, y) ay isang arbitrary na punto ng ellipse. Pagkatapos ang mga coordinate nito ay tumutugma sa equation (4). Ngunit ang mga coordinate ng mga punto ay nakakatugon din sa equation (4), at, samakatuwid, ay mga punto ng ellipse, kung saan sumusunod ang mga pahayag ng theorem.

Ang teorama ay napatunayan.

Kahulugan. Ang quantity 2a ay tinatawag na major axis ng ellipse, ang quantity a ay tinatawag na semi-major axis ng ellipse.

Kahulugan. Ang quantity 2b ay tinatawag na minor axis ng ellipse, ang quantity b ay tinatawag na semiminor axis ng ellipse.

Kahulugan. Ang mga punto ng intersection ng isang ellipse kasama ang mga pangunahing axes nito ay tinatawag na vertices ng ellipse.

Magkomento. Ang isang ellipse ay maaaring itayo bilang mga sumusunod. Sa eroplano, kami ay "mamartilyo ng isang pako sa mga focal point" at i-fasten ang isang haba ng thread sa kanila
. Pagkatapos ay kumuha kami ng lapis at ginagamit ito upang mahatak ang sinulid. Pagkatapos ay inililipat namin ang tingga ng lapis sa kahabaan ng eroplano, tinitiyak na ang thread ay mahigpit.

Mula sa kahulugan ng eccentricity ito ay sumusunod na

Ayusin natin ang numero a at idirekta ang numero c sa zero. Pagkatapos sa
,
At
. Sa limitasyon na nakukuha natin

o
– equation ng isang bilog.

Idirekta natin ngayon
. Pagkatapos
,
at nakikita natin na sa limitasyon ang ellipse ay bumababa sa isang tuwid na linya ng segment
sa notasyon ng Figure 3.

sugnay 4. Parametric equation ng ellipse.

Teorama. Hayaan
– di-makatwirang tunay na mga numero. Pagkatapos ay ang sistema ng mga equation

,
(6)

ay mga parametric equation ng isang ellipse sa canonical coordinate system para sa ellipse.

Patunay. Ito ay sapat na upang patunayan na ang sistema ng mga equation (6) ay katumbas ng equation (4), i.e. mayroon silang parehong hanay ng mga solusyon.

1) Hayaang ang (x, y) ay isang arbitrary na solusyon sa system (6). Hatiin ang unang equation ng a, ang pangalawa sa b, parisukat ang parehong equation at idagdag ang:

.

Yung. anumang solusyon (x, y) ng system (6) ay nakakatugon sa equation (4).

2) Sa kabaligtaran, hayaan ang pares (x, y) na maging solusyon sa equation (4), i.e.

.

Mula sa pagkakapantay-pantay na ito ay sumusunod na ang punto na may mga coordinate
ay nasa isang bilog ng unit radius na may sentro sa pinanggalingan, i.e. ay isang punto sa isang trigonometric na bilog kung saan ang isang tiyak na anggulo ay tumutugma
:

Mula sa kahulugan ng sine at cosine ay agad itong sinusundan

,
, Saan
, kung saan sumusunod na ang pares (x, y) ay isang solusyon sa system (6), atbp.

Ang teorama ay napatunayan.

Magkomento. Ang isang ellipse ay maaaring makuha bilang isang resulta ng pare-parehong "compression" ng isang bilog ng radius a patungo sa abscissa axis.

Hayaan
– equation ng isang bilog na may sentro sa pinanggalingan. Ang "compression" ng isang bilog sa abscissa axis ay walang iba kundi isang pagbabagong-anyo ng coordinate plane, na isinasagawa ayon sa sumusunod na panuntunan. Para sa bawat punto M(x, y) iniuugnay namin ang isang punto sa parehong eroplano
, Saan
,
- ratio ng compression.

Sa pagbabagong ito, ang bawat punto sa bilog ay "lumilipat" sa isa pang punto sa eroplano, na may parehong abscissa, ngunit isang mas maliit na ordinate. Ipahayag natin ang lumang ordinate ng isang punto sa pamamagitan ng bago:

at palitan ang mga bilog sa equation:

.

Mula dito nakukuha natin ang:

. (7)

Ito ay sumusunod mula dito na kung bago ang pagbabagong "compression" ang puntong M(x, y) ay nakalagay sa bilog, i.e. nasiyahan ang mga coordinate nito sa equation ng bilog, pagkatapos pagkatapos ng pagbabagong "compression" ang puntong ito ay "nabago" sa punto
, na ang mga coordinate ay nakakatugon sa ellipse equation (7). Kung gusto nating makuha ang equation ng isang ellipse na may semiminor axisb, kailangan nating kunin ang compression factor

.

sugnay 5. Tangent sa isang ellipse.

Teorama. Hayaan
– di-makatwirang punto ng ellipse

.

Pagkatapos ay ang equation ng tangent sa ellipse na ito sa punto
ay may anyo:

. (8)

Patunay. Sapat na isaalang-alang ang kaso kapag ang punto ng tangency ay nasa una o ikalawang quarter ng coordinate plane:
. Ang equation ng ellipse sa upper half-plane ay may anyo:

. (9)

Gamitin natin ang tangent equation sa graph ng function
sa punto
:

saan
– ang halaga ng derivative ng isang ibinigay na function sa isang punto
. Ang ellipse sa unang quarter ay maaaring ituring bilang isang graph ng function (8). Hanapin natin ang derivative nito at ang halaga nito sa punto ng tangency:

,

. Dito namin sinamantala ang katotohanan na ang padaplis na punto
ay isang punto ng ellipse at samakatuwid ang mga coordinate nito ay natutugunan ang ellipse equation (9), i.e.

.

Pinapalitan namin ang nahanap na halaga ng derivative sa tangent equation (10):

,

kung saan kami kumukuha:

Ito ay nagpapahiwatig:

Hatiin natin ang pagkakapantay-pantay na ito sa pamamagitan ng
:

.

Ito ay nananatiling tandaan na
, dahil tuldok
nabibilang sa ellipse at ang mga coordinate nito ay nakakatugon sa equation nito.

Ang tangent equation (8) ay napatunayan sa katulad na paraan sa punto ng tangency na nasa ikatlo o ikaapat na quarter ng coordinate plane.

At sa wakas, madali nating mapatunayan na ang equation (8) ay nagbibigay ng tangent equation sa mga punto
,
:

o
, At
o
.

Ang teorama ay napatunayan.

sugnay 6. Mirror property ng isang ellipse.

Teorama. Ang padaplis sa ellipse ay may pantay na anggulo na may focal radii ng tangent point.

Hayaan
- punto ng pakikipag-ugnay,
,
– focal radii ng tangent point, P at Q – projection ng foci sa tangent na iginuhit sa ellipse sa punto
.

Ang theorem ay nagsasaad na

. (11)

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay maaaring bigyang-kahulugan bilang ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo ng saklaw at pagmuni-muni ng isang sinag ng liwanag mula sa isang ellipse na inilabas mula sa pokus nito. Ang ari-arian na ito ay tinatawag na mirror property ng ellipse:

Ang isang sinag ng liwanag na inilabas mula sa pokus ng ellipse, pagkatapos ng pagmuni-muni mula sa salamin ng ellipse, ay dumadaan sa isa pang pokus ng ellipse.

Katibayan ng teorama. Upang patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo (11), pinatutunayan namin ang pagkakapareho ng mga tatsulok
At
, kung saan ang mga partido
At
magiging katulad. Dahil ang mga triangles ay right-angled, ito ay sapat na upang patunayan ang pagkakapantay-pantay

Ang isang ellipse ay ang geometric na locus ng mga punto sa isang eroplano, ang kabuuan ng mga distansya mula sa bawat isa sa dalawang ibinigay na mga punto F_1, at ang F_2 ay isang pare-parehong halaga (2a), mas malaki kaysa sa distansya (2c) sa pagitan ng mga ibinigay na punto (Fig 3.36, a). Itong geometriko na kahulugan ay nagpapahayag focal property ng isang ellipse.

Focal property ng isang ellipse

Ang mga puntos na F_1 at F_2 ay tinatawag na foci ng ellipse, ang distansya sa pagitan ng mga ito 2c=F_1F_2 ay ang focal length, ang gitnang O ng segment na F_1F_2 ay ang sentro ng ellipse, ang numero 2a ay ang haba ng pangunahing axis ng ellipse (ayon dito, ang numero a ay ang semi-major axis ng ellipse). Ang mga segment na F_1M at F_2M na nagkokonekta sa isang arbitrary na punto M ng ellipse kasama ang foci nito ay tinatawag na focal radii ng point M. Ang segment na nag-uugnay sa dalawang punto ng isang ellipse ay tinatawag na isang chord ng ellipse.

Ang ratio na e=\frac(c)(a) ay tinatawag na eccentricity ng ellipse. Mula sa kahulugan (2a>2c) ito ay sumusunod na 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

Geometric na kahulugan ng ellipse, na nagpapahayag ng focal property nito, ay katumbas ng analytical definition nito - ang linyang ibinigay ng canonical equation ng ellipse:

Sa katunayan, ipakilala natin ang isang rectangular coordinate system (Fig. 3.36c). Kinukuha namin ang center O ng ellipse bilang pinagmulan ng coordinate system; kinukuha namin ang tuwid na linya na dumadaan sa foci (focal axis o unang axis ng ellipse) bilang abscissa axis (ang positibong direksyon dito ay mula sa punto F_1 hanggang sa punto F_2); kumuha tayo ng isang tuwid na linya na patayo sa focal axis at dumaan sa gitna ng ellipse (ang pangalawang axis ng ellipse) bilang ordinate axis (ang direksyon sa ordinate axis ay pinili upang ang rectangular coordinate system na Oxy ay tama) .

Gumawa tayo ng equation para sa ellipse gamit ang geometric na kahulugan nito, na nagpapahayag ng focal property. Sa napiling coordinate system, tinutukoy namin ang mga coordinate ng foci F_1(-c,0),~F_2(c,0). Para sa isang di-makatwirang punto M(x,y) na kabilang sa ellipse, mayroon kaming:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

Sa pagsulat ng pagkakapantay-pantay na ito sa anyo ng coordinate, makakakuha tayo ng:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

Inilipat namin ang pangalawang radikal sa kanang bahagi, parisukat ang magkabilang panig ng equation at nagdadala ng mga katulad na termino:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\Leftrightarrow ~4a\sqrt((x-c) )^2+y^2)=4a^2-4cx.

Hinahati sa 4, parisukat namin ang magkabilang panig ng equation:

a^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\Leftrightarrow~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

Ang pagkakaroon ng itinalaga b=\sqrt(a^2-c^2)>0, nakukuha namin b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. Ang paghahati sa magkabilang panig ng a^2b^2\ne0, dumating tayo sa canonical equation ng ellipse:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

Samakatuwid, ang napiling coordinate system ay kanonikal.

Kung ang foci ng ellipse ay nag-tutugma, kung gayon ang ellipse ay isang bilog (Larawan 3.36,6), dahil a=b. Sa kasong ito, ang anumang rectangular coordinate system na may pinanggalingan sa punto ay magiging canonical O\equiv F_1\equiv F_2, at ang equation na x^2+y^2=a^2 ay ang equation ng isang bilog na may sentro sa point O at radius na katumbas ng a.

Isinasagawa ang pangangatwiran sa baligtad na pagkakasunud-sunod, maipapakita na ang lahat ng mga punto na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation (3.49), at sila lamang, ay nabibilang sa locus ng mga puntos na tinatawag na ellipse. Sa madaling salita, ang analytical na kahulugan ng isang ellipse ay katumbas ng geometric na kahulugan nito, na nagpapahayag ng focal property ng ellipse.

Direktoryal na ari-arian ng isang ellipse

Ang mga directrix ng isang ellipse ay dalawang tuwid na linya na tumatakbo parallel sa ordinate axis ng canonical coordinate system sa parehong distansya \frac(a^2)(c) mula dito. Sa c=0, kapag ang ellipse ay isang bilog, walang mga directrix (maaari nating ipagpalagay na ang mga directrix ay nasa infinity).

Ellipse na may eccentricity 0 ang locus ng mga punto sa eroplano, para sa bawat isa kung saan ang ratio ng distansya sa isang naibigay na punto F (focus) sa distansya sa isang naibigay na tuwid na linya d (directrix) na hindi dumadaan sa isang naibigay na punto ay pare-pareho at katumbas ng eccentricity e ( directorial property ng isang ellipse). Narito ang F at d ay isa sa mga foci ng ellipse at isa sa mga directrix nito, na matatagpuan sa isang gilid ng ordinate axis ng canonical coordinate system, i.e. F_1,d_1 o F_2,d_2 .

Sa katunayan, halimbawa, para sa focus F_2 at directrix d_2 (Fig. 3.37,6) ang kundisyon \frac(r_2)(\rho_2)=e maaaring isulat sa coordinate form:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

Pag-alis ng irrationality at pagpapalit e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, dumating tayo sa canonical ellipse equation (3.49). Ang katulad na pangangatwiran ay maaaring isagawa para sa focus F_1 at direktor d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

Equation ng isang ellipse sa isang polar coordinate system

Ang equation ng ellipse sa polar coordinate system F_1r\varphi (Fig. 3.37, c at 3.37 (2)) ay may anyo

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

kung saan ang p=\frac(b^2)(a) ay ang focal parameter ng ellipse.

Sa katunayan, piliin natin ang kaliwang focus F_1 ng ellipse bilang pole ng polar coordinate system, at ang ray F_1F_2 bilang polar axis (Fig. 3.37, c). Pagkatapos para sa isang arbitrary na punto M(r,\varphi), ayon sa geometric na kahulugan (focal property) ng isang ellipse, mayroon tayong r+MF_2=2a. Ipinapahayag namin ang distansya sa pagitan ng mga puntong M(r,\varphi) at F_2(2c,0) (tingnan):

\begin(aligned)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end(aligned)

Samakatuwid, sa coordinate form, ang equation ng ellipse F_1M+F_2M=2a ay may anyo

r+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

Ibinubukod namin ang radikal, parisukat sa magkabilang panig ng equation, hatiin sa 4 at ipakita ang mga katulad na termino:

r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

Ipahayag ang polar radius r at gawin ang kapalit e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

r=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

Q.E.D.

Geometric na kahulugan ng mga coefficient sa ellipse equation

Hanapin natin ang mga intersection point ng ellipse (tingnan ang Fig. 3.37a) gamit ang mga coordinate axes (vertices ng ellipse). Ang pagpapalit ng y=0 sa equation, makikita natin ang mga punto ng intersection ng ellipse sa abscissa axis (na may focal axis): x=\pm a. Samakatuwid, ang haba ng segment ng focal axis na nasa loob ng ellipse ay katumbas ng 2a. Ang segment na ito, gaya ng nabanggit sa itaas, ay tinatawag na major axis ng ellipse, at ang number a ay ang semi-major axis ng ellipse. Ang pagpapalit ng x=0, makuha natin ang y=\pm b. Samakatuwid, ang haba ng segment ng pangalawang axis ng ellipse na nilalaman sa loob ng ellipse ay katumbas ng 2b. Ang segment na ito ay tinatawag na minor axis ng ellipse, at ang number b ay ang semiminor axis ng ellipse.

Talaga, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, at ang pagkakapantay-pantay b=a ay nakuha lamang sa kaso c=0, kapag ang ellipse ay isang bilog. Saloobin k=\frac(b)(a)\leqslant1 ay tinatawag na ellipse compression ratio.

Mga Tala 3.9

1. Nililimitahan ng mga tuwid na linya x=\pm a,~y=\pm b ang pangunahing parihaba sa coordinate plane, kung saan mayroong isang ellipse (tingnan ang Fig. 3.37, a).

2. Ang isang ellipse ay maaaring tukuyin bilang ang locus ng mga puntos na nakuha sa pamamagitan ng pag-compress ng isang bilog sa diameter nito.

Sa katunayan, hayaan ang equation ng isang bilog sa rectangular coordinate system na Oxy ay x^2+y^2=a^2. Kapag na-compress sa x-axis na may coefficient na 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

Ang pagpapalit ng mga bilog na x=x" at y=\frac(1)(k)y" sa equation, makuha namin ang equation para sa mga coordinate ng imaheng M"(x",y") ng point M(x,y). ):

(x")^2+(\kaliwa(\frac(1)(k)\cdot y"\kanan)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

dahil b=k\cdot a . Ito ang canonical equation ng ellipse.

3. Ang mga coordinate axes (ng canonical coordinate system) ay ang mga axes ng symmetry ng ellipse (tinatawag na pangunahing axes ng ellipse), at ang sentro nito ay ang sentro ng simetrya.

Sa katunayan, kung ang puntong M(x,y) ay kabilang sa ellipse . pagkatapos ay ang mga puntong M"(x,-y) at M""(-x,y), simetriko sa puntong M na nauugnay sa mga coordinate axes, ay nabibilang din sa parehong ellipse.

4. Mula sa equation ng ellipse sa polar coordinate system r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(tingnan ang Fig. 3.37, c), ang geometric na kahulugan ng focal parameter ay nilinaw - ito ay kalahati ng haba ng chord ng ellipse na dumadaan sa pokus nito patayo sa focal axis (r=p sa \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. Ang eccentricity e ay nagpapakilala sa hugis ng ellipse, katulad ng pagkakaiba sa pagitan ng ellipse at ng bilog. Kung mas malaki ang e, mas pinahaba ang ellipse, at mas malapit ang e sa zero, mas malapit ang ellipse sa isang bilog (Fig. 3.38a). Sa katunayan, isinasaalang-alang na e=\frac(c)(a) at c^2=a^2-b^2 , nakukuha natin

e^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\kaliwa(\frac(a)(b)\kanan )\^2=1-k^2, !}

kung saan ang k ay ang ellipse compression ratio, 0

6. Equation \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1 sa a

7. Equation \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant b tumutukoy sa isang ellipse na may sentro sa puntong O"(x_0,y_0), ang mga axes na kung saan ay parallel sa coordinate axes (Fig. 3.38, c). Ang equation na ito ay binawasan sa canonical na isa gamit ang parallel na pagsasalin (3.36).

Kapag a=b=R ang equation (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2 naglalarawan ng bilog na radius R na may sentro sa puntong O"(x_0,y_0) .

Parametric equation ng ellipse

Parametric equation ng ellipse sa canonical coordinate system ay may anyo

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

Sa katunayan, ang pagpapalit ng mga ekspresyong ito sa equation (3.49), nakarating tayo sa pangunahing trigonometric identity \cos^2t+\sin^2t=1.

Halimbawa 3.20. Gumuhit ng isang ellipse \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 sa canonical coordinate system na Oxy. Hanapin ang mga semi-axes, focal length, eccentricity, compression ratio, focal parameter, directrix equation.

Solusyon. Ang paghahambing ng ibinigay na equation sa canonical, tinutukoy namin ang mga semi-axes: a=2 - semi-major axis, b=1 - semi-minor axis ng ellipse. Binubuo namin ang pangunahing rektanggulo na may mga gilid 2a=4,~2b=2 na may sentro sa pinanggalingan (Larawan 3.39). Isinasaalang-alang ang mahusay na proporsyon ng ellipse, nababagay namin ito sa pangunahing rektanggulo. Kung kinakailangan, tukuyin ang mga coordinate ng ilang mga punto ng ellipse. Halimbawa, ang pagpapalit ng x=1 sa equation ng ellipse, nakukuha natin

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \Leftrightarrow \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

Samakatuwid, ang mga puntos na may mga coordinate \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- nabibilang sa ellipse.

Kinakalkula ang ratio ng compression k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); Focal length 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); eccentricity e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); focal parameter p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). Binubuo namin ang mga directrix equation: x=\pm\frac(a^2)(c)~\Leftrightarrow~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

Kahulugan 7.1. Ang hanay ng lahat ng mga punto sa eroplano kung saan ang kabuuan ng mga distansya sa dalawang nakapirming puntos na F 1 at F 2 ay isang ibinigay na pare-parehong halaga ay tinatawag ellipse.

Ang kahulugan ng isang ellipse ay nagbibigay ng sumusunod na paraan ng geometriko na konstruksyon nito. Inaayos namin ang dalawang puntos na F 1 at F 2 sa eroplano, at tinutukoy ang isang di-negatibong pare-parehong halaga ng 2a. Hayaan ang distansya sa pagitan ng mga punto F 1 at F 2 ay 2c. Isipin natin na ang isang hindi mapalawak na thread na may haba na 2a ay naayos sa mga puntong F 1 at F 2, halimbawa, gamit ang dalawang karayom. Malinaw na ito ay posible lamang para sa isang ≥ c. Ang paghila ng thread gamit ang isang lapis, gumuhit ng isang linya, na magiging isang ellipse (Larawan 7.1).

Kaya, ang inilarawan na set ay hindi walang laman kung ang isang ≥ c. Kapag a = c, ang ellipse ay isang segment na may dulo ng F 1 at F 2, at kapag c = 0, i.e. Kung ang mga nakapirming puntos na tinukoy sa kahulugan ng isang ellipse ay nag-tutugma, ito ay isang bilog ng radius a. Sa pagtatapon ng mga lumalalang kaso na ito, ipagpapalagay pa natin, bilang panuntunan, na a > c > 0.

Ang mga nakapirming puntos na F 1 at F 2 sa kahulugan 7.1 ng ellipse (tingnan ang Fig. 7.1) ay tinatawag ellipse foci, ang distansya sa pagitan nila, na ipinahiwatig ng 2c, - Focal length, at ang mga segment na F 1 M at F 2 M na nag-uugnay sa isang arbitrary na punto M sa ellipse kasama ang foci nito ay focal radii.

Ang hugis ng ellipse ay ganap na tinutukoy ng focal length |F 1 F 2 | = 2c at parameter a, at ang posisyon nito sa eroplano - isang pares ng mga puntos F 1 at F 2.

Mula sa kahulugan ng isang ellipse sumusunod na ito ay simetriko na may paggalang sa linya na dumadaan sa foci F 1 at F 2, pati na rin tungkol sa linya na naghahati sa segment F 1 F 2 sa kalahati at patayo dito. (Larawan 7.2, a). Ang mga linyang ito ay tinatawag ellipse axes. Ang punto O ng kanilang intersection ay ang sentro ng simetrya ng ellipse, at ito ay tinatawag ang gitna ng ellipse, at ang mga punto ng intersection ng ellipse na may mga axes ng simetrya (mga punto A, B, C at D sa Fig. 7.2, a) - mga vertex ng ellipse.

Ang numero a ay tinatawag semimajor axis ng ellipse, at b = √(a 2 - c 2) - nito menor de edad axis. Madaling makita na para sa c > 0, ang semi-major axis a ay katumbas ng distansya mula sa gitna ng ellipse hanggang sa mga vertices nito na nasa parehong axis na may foci ng ellipse (vertices A at B sa Fig. 7.2, a), at ang semi-minor axis b ay katumbas ng distansya mula sa center ellipse hanggang sa dalawa pang vertices nito (vertices C at D sa Fig. 7.2, a).

Ellipse equation. Isaalang-alang natin ang ilang ellipse sa eroplano na may mga nakatutok sa mga puntong F 1 at F 2, pangunahing axis 2a. Hayaang 2c ang focal length, 2c = |F 1 F 2 |

Pumili tayo ng isang rectangular coordinate system na Oxy sa eroplano upang ang pinagmulan nito ay tumutugma sa gitna ng ellipse, at ang foci nito ay nasa x-axis(Larawan 7.2, b). Ang ganitong coordinate system ay tinatawag kanonikal para sa ellipse na pinag-uusapan, at ang kaukulang mga variable ay kanonikal.

Sa napiling coordinate system, ang foci ay may mga coordinate F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0). Gamit ang formula para sa distansya sa pagitan ng mga punto, isinusulat namin ang kondisyon |F 1 M| + |F 2 M| = 2a sa mga coordinate:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Ang equation na ito ay hindi maginhawa dahil naglalaman ito ng dalawang square radical. Kaya't ibahin natin ito. Ilipat natin ang pangalawang radical sa equation (7.2) sa kanang bahagi at parisukat ito:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2.

Pagkatapos buksan ang mga panaklong at magdala ng mga katulad na termino, nakukuha namin

√((x + c) 2 + y 2) = a + εx

kung saan ε = c/a. Inuulit namin ang squaring operation upang alisin ang pangalawang radical: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2εax + ε 2 x 2, o, isinasaalang-alang ang halaga ng ipinasok na parameter ε, (a 2 - c 2 ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2 . Dahil ang isang 2 - c 2 = b 2 > 0, kung gayon

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

Ang equation (7.4) ay nasiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng lahat ng mga punto na nakahiga sa ellipse. Ngunit kapag hinango ang equation na ito, walang katumbas na pagbabagong-anyo ng orihinal na equation (7.2) ang ginamit - dalawang squarings na nag-aalis ng mga square radical. Ang pag-squaring ng isang equation ay isang katumbas na pagbabagong-anyo kung ang magkabilang panig ay may mga dami na may parehong tanda, ngunit hindi namin ito nasuri sa aming mga pagbabago.

Maiiwasan nating suriin ang katumbas ng mga pagbabago kung isasaalang-alang natin ang mga sumusunod. Isang pares ng mga puntos F 1 at F 2, |F 1 F 2 | = 2c, sa eroplano ay tumutukoy sa isang pamilya ng mga ellipse na may foci sa mga puntong ito. Ang bawat punto ng eroplano, maliban sa mga punto ng segment na F 1 F 2, ay kabilang sa ilang ellipse ng ipinahiwatig na pamilya. Sa kasong ito, walang dalawang ellipse ang nagsalubong, dahil ang kabuuan ng focal radii ay natatanging tumutukoy sa isang tiyak na ellipse. Kaya, ang inilarawan na pamilya ng mga ellipse na walang mga intersection ay sumasaklaw sa buong eroplano, maliban sa mga punto ng segment F 1 F 2. Isaalang-alang natin ang isang set ng mga puntos na ang mga coordinate ay nakakatugon sa equation (7.4) na may ibinigay na halaga ng parameter a. Maaari bang ipamahagi ang set na ito sa ilang ellipses? Ang ilan sa mga punto ng set ay nabibilang sa isang ellipse na may semimajor axis a. Hayaang mayroong isang punto sa set na ito na nakahiga sa isang ellipse na may semimajor axis a. Pagkatapos ang mga coordinate ng puntong ito ay sumusunod sa equation

mga. ang mga equation (7.4) at (7.5) ay mayroon pangkalahatang solusyon. Gayunpaman, madaling i-verify na ang system

para sa ã ≠ a ay walang mga solusyon. Upang gawin ito, sapat na upang ibukod, halimbawa, ang x mula sa unang equation:

na pagkatapos ng mga pagbabago ay humahantong sa equation

na walang mga solusyon para sa ã ≠ a, dahil . Kaya, ang (7.4) ay ang equation ng isang ellipse na may semi-major axis a > 0 at semi-minor axis b =√(a 2 - c 2) > 0. Ito ay tinatawag na canonical ellipse equation.

Ellipse view. Ang geometric na paraan ng pagbuo ng isang ellipse na tinalakay sa itaas ay nagbibigay ng sapat na ideya ng hitsura ellipse. Ngunit ang hugis ng ellipse ay maaari ding pag-aralan gamit ang canonical equation nito (7.4). Halimbawa, maaari mong, sa pag-aakalang y ≥ 0, ipahayag ang y hanggang x: y = b√(1 - x 2 /a 2), at, nang mapag-aralan ang function na ito, buuin ang graph nito. May isa pang paraan upang makagawa ng isang ellipse. Ang isang bilog na radius a na may sentro sa pinagmulan ng canonical coordinate system ng ellipse (7.4) ay inilalarawan ng equation x 2 + y 2 = a 2. Kung ito ay na-compress na may isang koepisyent a/b > 1 kasama y-axis, pagkatapos ay makakakuha ka ng curve na inilalarawan ng equation x 2 + (ya/b) 2 = a 2, ibig sabihin, isang ellipse.

Puna 7.1. Kung ang parehong bilog ay na-compress ng isang factor a/b

Ellipse eccentricity. Ang ratio ng focal length ng isang ellipse sa major axis nito ay tinatawag eccentricity ng ellipse at tinutukoy ng ε. Para sa isang ellipse na ibinigay

canonical equation (7.4), ε = 2c/2a = c/a. Kung sa (7.4) ang mga parameter a at b ay nauugnay sa hindi pagkakapantay-pantay a

Kapag c = 0, kapag ang ellipse ay naging bilog, at ε = 0. Sa ibang mga kaso, 0

Ang equation (7.3) ay katumbas ng equation (7.4), dahil ang mga equation (7.4) at (7.2) ay katumbas. Samakatuwid, ang equation ng ellipse ay din (7.3). Bilang karagdagan, ang kaugnayan (7.3) ay kawili-wili dahil nagbibigay ito ng simple, walang radikal na formula para sa haba |F 2 M| isa sa focal radii ng point M(x; y) ng ellipse: |F 2 M| = a + εx.

Ang isang katulad na pormula para sa pangalawang focal radius ay maaaring makuha mula sa mga pagsasaalang-alang ng symmetry o sa pamamagitan ng paulit-ulit na mga kalkulasyon kung saan, bago ang squaring equation (7.2), ang unang radical ay inililipat sa kanang bahagi, at hindi ang pangalawa. Kaya, para sa anumang punto M(x; y) sa ellipse (tingnan ang Fig. 7.2)

|F 1 M | = a - εx, |F 2 M| = a + εx, (7.6)

at bawat isa sa mga equation na ito ay isang equation ng isang ellipse.

Halimbawa 7.1. Hanapin natin ang canonical equation ng isang ellipse na may semimajor axis 5 at eccentricity 0.8 at buuin ito.

Alam ang semi-major axis ng ellipse a = 5 at ang eccentricity ε = 0.8, makikita natin ang semi-minor axis nito b. Dahil b = √(a 2 - c 2), at c = εa = 4, pagkatapos b = √(5 2 - 4 2) = 3. Kaya ang canonical equation ay may anyo na x 2 /5 2 + y 2 /3 2 = 1. Upang makabuo ng isang ellipse, ito ay maginhawa upang gumuhit ng isang rektanggulo na may sentro sa pinagmulan ng canonical coordinate system, ang mga gilid nito ay kahanay sa mga symmetry axes ng ellipse at katumbas ng kaukulang mga axes nito (Fig. 7.4). Ang parihaba na ito ay bumalandra sa

ang mga palakol ng ellipse sa mga vertice nito A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3), at ang ellipse mismo ay nakasulat dito. Sa Fig. Ipinapakita rin ng 7.4 ang foci F 1.2 (±4; 0) ng ellipse.

Mga geometric na katangian ng ellipse. Isulat muli natin ang unang equation sa (7.6) bilang |F 1 M| = (a/ε - x)ε. Tandaan na ang value a/ε - x para sa a > c ay positibo, dahil ang focus F 1 ay hindi kabilang sa ellipse. Ang halagang ito ay kumakatawan sa distansya sa patayong linya d: x = a/ε mula sa puntong M(x; y) na nakahiga sa kaliwa ng linyang ito. Ang ellipse equation ay maaaring isulat bilang

|F 1 M|/(a/ε - x) = ε

Nangangahulugan ito na ang ellipse na ito ay binubuo ng mga puntong M(x; y) ng eroplano kung saan ang ratio ng haba ng focal radius F 1 M sa distansya sa tuwid na linya d ay isang pare-parehong halaga na katumbas ng ε (Fig. 7.5).

Ang tuwid na linyang d ay may "doble" - ang patayong tuwid na linya d, simetriko sa d na nauugnay sa gitna ng ellipse, na ibinibigay ng equation na x = -a/ε. Tungkol sa d, ang ellipse ay inilalarawan sa sa parehong paraan tulad ng tungkol sa d. Parehong linya d at d" ay tinatawag mga directrix ng ellipse. Ang mga directrix ng ellipse ay patayo sa axis ng symmetry ng ellipse kung saan matatagpuan ang foci nito, at may pagitan mula sa gitna ng ellipse sa layo na a/ε = a 2 /c (tingnan ang Fig. 7.5).

Tinatawag ang distansya p mula sa directrix hanggang sa pokus na pinakamalapit dito focal parameter ng ellipse. Ang parameter na ito ay katumbas ng

p = a/ε - c = (a 2 - c 2)/c = b 2 /c

Ang ellipse ay may isa pang mahalagang geometric na katangian: ang focal radii F 1 M at F 2 M ay gumagawa ng pantay na mga anggulo na may tangent sa ellipse sa punto M (Fig. 7.6).

Ang ari-arian na ito ay may malinaw pisikal na kahulugan. Kung ang isang pinagmumulan ng liwanag ay inilagay sa focus F 1, kung gayon ang sinag na lumalabas mula sa pokus na ito, pagkatapos ng pagmuni-muni mula sa ellipse, ay pupunta sa pangalawang focal radius, dahil pagkatapos ng pagmuni-muni ito ay nasa parehong anggulo sa kurba tulad ng bago ang pagmuni-muni. Kaya, ang lahat ng sinag na lumalabas mula sa focus F 1 ay ikokonsentra sa pangalawang focus F 2, at vice versa. Batay sa interpretasyong ito, ang ari-arian na ito ay tinatawag optical property ng ellipse.

Ang canonical equation ng ellipse ay may anyo

kung saan ang a ay ang semimajor axis; b – semi-minor na aksis. Ang mga puntos na F1(c,0) at F2(-c,0) − c ay tinatawag

a, b - semi-axes ng ellipse.

Paghahanap ng foci, eccentricity, directrixes ng isang ellipse, kung kilala ang canonical equation nito.

Kahulugan ng hyperbole. Hyperbole tricks.

Kahulugan. Ang hyperbola ay isang hanay ng mga punto sa isang eroplano kung saan ang modulus ng pagkakaiba sa mga distansya mula sa dalawang ibinigay na mga punto, na tinatawag na foci, ay isang pare-parehong halaga na mas mababa kaysa sa distansya sa pagitan ng foci.

Sa pamamagitan ng kahulugan |r1 – r2|= 2a. F1, F2 – mga pokus ng hyperbola. F1F2 = 2c.

Ang canonical equation ng isang hyperbola. Semi-axes ng hyperbola. Pagbuo ng hyperbola kung alam ang canonical equation nito.

Canonical equation:

Ang semimajor axis ng hyperbola ay kalahati ng pinakamababang distansya sa pagitan ng dalawang sangay ng hyperbola, sa positibo at negatibong panig mga palakol (kaliwa at kanan na nauugnay sa pinagmulan). Para sa isang sangay na matatagpuan sa sa positibong panig, ang semi-axis ay magiging katumbas ng:

Kung ipahayag natin ito sa pamamagitan ng conic section at eccentricity, ang expression ay kukuha ng form:

Ang paghahanap ng foci, eccentricity, directrixes ng isang hyperbola, kung kilala ang canonical equation nito.

Hyperbola eccentricity

Kahulugan. Ang ratio ay tinatawag na eccentricity ng hyperbola, kung saan c -

kalahati ng distansya sa pagitan ng foci, at ang tunay na semi-axis.

Isinasaalang-alang ang katotohanan na c2 – a2 = b2:

Kung a = b, e = , kung gayon ang hyperbola ay tinatawag na equilateral (equilateral).

Directtrix ng isang hyperbole

Kahulugan. Ang dalawang tuwid na linya na patayo sa totoong axis ng hyperbola at matatagpuan sa simetriko na may kaugnayan sa gitna sa layo na a/e mula dito ay tinatawag na mga directrix ng hyperbola. Ang kanilang mga equation ay: .

Teorama. Kung ang r ay ang distansya mula sa isang di-makatwirang punto M ng hyperbola sa anumang focus, ang d ay ang distansya mula sa parehong punto sa directrix na naaayon sa focus na ito, kung gayon ang ratio r/d ay isang pare-parehong halaga na katumbas ng eccentricity.

Kahulugan ng isang parabola. Focus at directix ng isang parabola.

Parabola. Ang parabola ay ang locus ng mga puntos, na ang bawat isa ay pantay na malayo sa isang takdang punto at mula sa isang takdang linya. Ang punto tungkol sa kung saan pinag-uusapan natin sa kahulugan, ay tinatawag na pokus ng parabola, at ang tuwid na linya ay ang directrix nito.

Canonical equation ng isang parabola. Parabola ng parabola. Konstruksyon ng isang parabola.

Ang canonical equation ng isang parabola sa isang rectangular coordinate system: (o, kung ang mga axes ay ipinagpalit).

Paggawa ng isang parabola sa binigay na halaga Ang parameter p ay isinasagawa sa sumusunod na pagkakasunud-sunod:

Iguhit ang axis ng symmetry ng parabola at i-plot ang segment na KF=p dito;

Ang Directrix DD1 ay iginuhit sa pamamagitan ng puntong K patayo sa axis ng simetrya;

Ang segment na KF ay hinati sa kalahati upang makuha ang vertex 0 ng parabola;

Ang isang serye ng mga arbitrary na puntos 1, 2, 3, 5, 6 ay sinusukat mula sa itaas na may unti-unting pagtaas ng distansya sa pagitan nila;

Sa pamamagitan ng mga puntong ito, gumuhit ng mga pantulong na tuwid na linya patayo sa axis ng parabola;

Sa mga pantulong na linya, ang mga serif ay ginawa na may radius na katumbas ng distansya mula sa tuwid na linya hanggang sa directrix;

Ang mga resultang punto ay konektado sa pamamagitan ng isang makinis na kurba.